Upload
lowell
View
108
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TIKIMYB IŲ TEORIJA 3. VIENMAČIAI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI. A. Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu gali gauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų reikšmių aibės. Pvz.: 1) Kavinėje apsilankiusių klientų skaičius per valandą. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
TIKIMYBIŲ TEORIJA 3
VIENMAČIAI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI
Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu gali gauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų reikšmių aibės.Pvz.: 1) Kavinėje apsilankiusių klientų skaičius per valandą. 2) Matuojamų detalių matmenys.Atsitiktinis dydis žymimas graikiškomis raidėmis, o jo įgyjamos reikšmės mažosiomis lotyniškomis raidėmis:
... dzeta, -
eta, -
ksi, -
,...,, zyx
Tikimybinėje erdvėje (,F,P) atsitiktinis dydis tai elementarių įvykių funkcija ξ=ξ(ω) .(ω- elementarus įvykis)
A
A
Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jei visos jo galimos reikšmės yra baigtinė arba skaiti aibė.
A
Nagrinėkime diskretų atsitiktinį dydį ξ, kuris įgyja reikšmes x1,x2,...,xn . Atlikus bandymą atsitiktinis dydis gali įgyti tik vieną reikšmę, vadinasi įvykiai ξ=x1, ξ=x2,..., ξ=xn sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y. jei pažymėsime
nn pxPpxPpxP ,...,, 2211
Tada
11
n
iip
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymu vadinama bet kokia priklausomybė, kuri nurodo ryšį tarp atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.Jis gali būti nusakomas lentele, grafiku arba analizine išraiška:1) Lentelė- pasiskirstymo lentelė (skirstinys)
A
xi x1 x2 ... xn
pi p1 p2 ... pn
2) Grafiku, pvz. pasiskirstymo daugiakampiu:
xi
pi
x1 x2 xn
p1
p2
Atsitiktinio dydžio ξ pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija, kuri yra apibrėžta visom realiom x reikšmėms ir lygi tikimybei, kad ξ įgis reikšmes mažesnes už x, t.y.
)()( xPxF SAVYBĖS:
. 1)(lim 5.
; 0)(lim 4.
; )()( 3.
; )()()P(a .2
; 1)(0 .1
2121
xF
xF
xFxFxx
aFbFb
xF
x
x
A
Pavyzdys:Šaulio pataikymo tikimybė 0,3. Pataikęs šaulys gauna (+5) taškus, o nepataikęs (-2). Parašykite diskretaus ats.d. ξ- “gautų taškų skaičius” pasiskirstymo dėsnį ir pasiskirstymo funkciją atlikus 4 šūvius. Sprendimas:Pažymėkime pataikymo tikimybe p=0,3, o nepataikymo q=1-0,3=0,7. Turime Bernulio eksperimentą, vadinasi:
24.07.03.0)0( 400440 CPp (Nė karto nepataikė)
Analogiškai apskaičiuojamos ir kitos tikimybės ir surašomos į lentelę:
ξ -8 -1 6 13 20
pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1
20 kai , 1
2013 kai , 99.0
136 kai , 91.0
61 kai , 65.0
18 kai , 24.0
8 kai , 0
)(
x
x
x
x
x
x
xF
ξ -8 -1 6 13 20
pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1
Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis
iii pxM
.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei )4
;)( )3
;)( )2
; , )1
MMM
MMM
CMCM
constCCMC
2) Dispersija
nuokrypis isstandartin-
)( 22
D
pMxMMDi
ii
SAVYBĖS:
Savybės:
.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei 5)
;)( )4
;)( )3
;0 )2
;0 )1
22
2
DDD
MMD
DCCD
DC
D
3) Moda- ats.d. reikšmė, kuri dažniausiai pasikartoja, t.y p(M0)=pmax
ξ- unimodalusis ats.d. jei moda viena ir daugiamodalusis jei modų daugiau nei dvi.4) Mediana- ats.d. vidurinė reikšmė, t.y.
2
1ir )()( F(Me)MePMeP
Atsitiktinį dydį ξ vadinamas tolydžiuoju, jei jo pasiskirstymo funkcija F(x) yra tolydi ir diferencijuojama, be to P(ξ=xi)=0.
A
Tolydaus atsitiktinio dydžio ξ tankiu (tankio funkcija) vadinama jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, t.y.
A
)()( xFxp
.1)( )4
;)()( )3
; )2
;0)( )1
dxxp
dxxpbaP
p(x)dxF(x)
xp
b
a
x
-
SAVYBĖS:
Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis
dxxxpM )(
2) Dispersija
dxxpMxMMD )()( 22
3) Moda
4) Mediana
Pavyzdys: Duota pasiskirstymo funkcija
Raskite: a, b, P(ξ>2).Sprendimas:
3 , 1
31 ,
1 , 0
)( 2
x
xbax
x
xF
1020
1)(
kitur , 0
31 , 2)(
3
3
1
1
dxaxdxdx
dxxp
xaxxp
8
1
18
12
23
1
2
a
a
xa
Kadangi F(x) tolydi, tai kai x=3 turi F(3)=1
8
1
1)3(8
1 2
b
b
3 , 1
31 , 8
1
8
11 , 0
)( 2
x
xx
x
xF
8
5
8
14
8
11)2(1
)2(21)2(1)2(
F
PPPP
DISKRETIEJI SKIRSTINIAI
Binominis skirstinys
• Sakome, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirstęs pagal binominį dėsnį su parametrais n ir 0<p<1, jei jis įgyja reikšmes 0, 1, 2, ..., n su tikimybe
• Pavyzdžiui, jei gamybos procesas stabilus, tai gaminių su defektais skaičius gali būti laikomas binominiu atsitiktiniu dydžiu.
pqqpCkXP knkkn 1,
Binominis skirstinys
• Panaudojus reklamą, prekių pardavimas padidėja arba nepadidėja.
• Išdygusių sėklų skaičius iš n pasėtų.• Teigiamų rezultatų, gautų gydant 25 ligonius, skaičius.
Binominis skirstinys
• Vidurkis
• Dispersija
• Binominio atsitiktinio dydžio X labiausiai tikėtina reikšmė randama iš nelygybių
npqpkCkXkPMX knkn
k
kn
n
k
00
npqDX
pnkpn 111 0
0k
Puasono skirstinys
• Jei atsitiktinis dydis gali įgyti reikšmes ir tų reikšmių tikimybės yra
sakoma, kad skirstinys yra Puasono. Žymima taip:
kek
kXPk
0,!
,2,1,0k
PX ~
Puasono skirstinys
• Puasono atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija atitinkamai yra lygios
DXMX ,
Puasono skirstinys
• Ekonomikoje Puasono skirstinys naudojamas retiems įvykiams aprašyti:– banke yra daug sąskaitų, o stebimą valandą ateina tik maža
dalis visų klientų, todėl klientų skaičių galima aprašyti Puasono skirstiniu;
– požeminio elektros kabelio gedimų skaičius vieno kilometro intervale, taip pat aprašomas Puasono skirstiniu;
– brokuotų tam tikros produkcijos gaminių skaičiaus skirstinys taip pat Puasono;
Puasono skirstinys (pavyzdys)
• Vidutiniškai pirmadieniais į darbą neateina 3 darbuotojai. Kokia tikimybė, kad šį pirmadienį į darbą neateis ne mažiau kaip 2 darbuotojai?
• Taikysime Puasono skirstinį, kai ,t.y. 3MX 3
,!
3 3 ek
kXPk
8,0311012 33 eexPxPxP
Geometrinis skirstinys
• Tegu vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė . Nepriklausomus bandymus kartojame tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį.
10 p
,2,1,1 1 kppkXP k
Geometrinis skirstinys
• Vidurkis ir dispersija
2
1,
1
p
pDX
pMX
Geometrinis skirstinys (pavyzdys)
• Naftos kompanijos atstovai žino, kad tiriamajame rajone 80% gręžinių naftos neturi. Kokia tikimybė rasti naftos gręžiant penktą kartą? Kiek vidutiniškai gręžimų reiks išgręžti, kol bus rasta nafta?
• Tegu X – padarytų gręžinių skaičius iki naftos radimo. Atsitiktinis dydis X turi geometrinį skirstinį su parametru Todėl ieškomoji tikimybė
o vidurkis
2,0p
08192,08,02,05 4 XP
52,0
1MX
TOLYDIEJI SKIRSTINIAI
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį su parametrais m ir σ, jei jo tankio funkcija
o pasiskirstymo funkcija
2
2
2
2
1
mx
exp
Rx
x mx
dxexF2
2
2
2
1
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Normalusis skirstinys žymimas
• Kai normalusis skirstinys vadinamas standartiniu normaliuoju skirstiniu.
2,mN
1,0 m
2
2
2
1x
exp
x x
dtexF 2
2
2
1
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio dydžio, kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra dominuojančių.
• Normalusis skirstinys gerai aprašo žmonių ūgį, svorį, vidutinę oro temperatūrą, vidutinį pelną, intelekto koeficientą.
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Normaliojo atsitiktinio dydžio vidurkį ir dispersiją skaičiuojame pagal formules
mdxexMX
mx
2
2
2
2
1
222 2
2
2
1
dxemxDX
mx
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiko padėtis plokštumoje priklauso nuo vidurkio dydžio, o forma nuo dispersijos
Normalusis (Gauso) skirstinys
• Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis :
• Skaičiavimuose kartais naudojama Laplaso funkcija
baX ,
x t
dtex0
2
2
2
1)(
)()( xx
2
1)()( xx
mambbxaP )(
Normalusis (Gauso) skirstinys. Trijų σ taisyklė
• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip σ lygi 0,68
• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip 2 σ lygi 0,95
• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip 3 σ lygi 0,997
3,997.0
2,95.0
1,68.0
tkai
tkai
tkai
tmXP
Eksponentinis skirstinys
• Sakome, kad atsitiktinis dydis pasiskirstęs pagal eksponentinį dėsnį, jei :
.0,
,0,0
xe
xxp x
xxxx
xx
x eexdedxexF
10
0
.0,1
,0,0
xe
xxF x
Eksponentinis skirstinys
• Eksponentinis pasiskirstymas plačiai taikomas patikimumo teorijoje, masinio aptarnavimo teorijoje.
Eksponentinis skirstinys (pavyzdys)• Gatvių apšvietimo lempų tarnavimo laiko vidurkis lygus 500
dienų, o standartinis nuokrypis 50 dienų. Kam lygu tikimybė, kad lempa švies:
a) nuo 400 iki 600 dienų;
b) trumpiau negu 400 dienų;
954,01977,02122
2250
500400
50
500600600400
F
FFFFXP
.023,0977,0121010121102
50
5000
50
5004004000400
FFFFFF
FFXPXP
Tolygusis skirstinys
• Atsitiktinio dydžio X skirstinys vadinamas tolygiuoju intervale , jei ba,
.,,0
,1
bax
bxaabxp
.,1
,,
,,0
bx
bxaab
axax
xF
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
• χ2 (chi kvadratu) skirstinį su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis
• čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai
222
21
2nn XXX
nXXX ,,, 21
1;0~ NX i
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
• Nors χ2 skirstinio tankio funkcija gana sudėtinga, tačiau jo parametrai nusakomi paprastomis formulėmis:
nDnM 2, 22
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
• Kvantilis parenkamas taip, kad neužbrūkšniuotos dalies plotas būtų lygus .• χ2 skirstinio reikšmės priklausomai nuo ir laisvės
laipsnių skaičiaus n pateikiamos lentelėje
1P
p(t)
x 2;1 n
2n;-1
1
χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)
• Chi kvadrato skirstinio laisvės laipsnių skaičius lygus 20, o
Kaip rasti tokius dydžius c1 ir c2, kai
• Kadangi
95,0122201 ccP
22201
220 cPcP
122202
22011
220 cPccPcP
1122201
220 cPcP
025,022
2201
220
cPcP
χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)
Taigi c1 yra lygmens kvantilis2
59,9220;025,01 c
2
1 22202
220
cPcP
975,0025,012
12220
cP
.2,34220;975,02 c
Stjudento skirstinys
• Tarkime, kad nepriklausomi atsitikt. dydžiai X ir yra standartiniai normalieji dydžiai:
• Atsitiktinio dydžio t skirstinys vadinamas Stjudento skirstiniu su n laisvės laipsniu.
niX i ,,2,1
1;0~,1;0~ NXNX i
n
X
Xt
n
ii
1
2
Stjudento skirstinys
• Stjudento skirstinio reikšmių lentelė sudaryta priklausomai nuo tikimybės α ir laisvės laipsnių skaičiaus n.
• Joje pateiktos kvantilių reikšmės.n
t;
21
1P
f(t)
x n
t;
21
n
t;
2
n
t;
2
nntt
;2
1;2
Stjudento skirstinys
• Atsitiktinis dydis X turi Stjudento skirstinį su 12 laisvės laipsnių. Lygmenį atitinka kvantilis
• Kitaip sakant
975,0p
18,212;975,0 t
975,018,2 tP
Fišerio skirstinys
• Fišerio skirstinį su m ir n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis
čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai .
Fišerio skirstinio 1-α lygmens kvantilius galima rasti lentelėje.
nX
mX
nXXX
mYYY
Fn
m
n
m
nm 2
2
222
21
222
21
;
nm XXXYYY ,,,,,,, 2121
1;0~, NXY ij
AČIŪ UŽ DĖMESĮ