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Aula 07“Análise no domínio do tempo”
(Time domain analysis)parte II - Sistemas de 2ª ordem
cbsas)s(G
2 ++α=
outputinput
Sistema de segunda ordem
do tipo
S
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
S cbsas2 ++
α
cbsas)s(G
2 ++α=
Sistema de segunda ordem
do tipo
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
outputinput
a
cs
a
bs
a
)s(R
)s(Y
2 ++
α
=
Sistemas de segunda ordem:
Koωn2
ωn2
ou seja:
2ζωn
cbsas2 ++
α
cbsas)s(R
)s(Y2 ++
α=
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
outputinput
a função de transferência:
Ko = ganho do sistema
ζ = coeficiente de amortecimento
ωn = frequência natural
2
nn
2
2
no
s2s
K
)s(R
)s(Y
ω+ζω+ω=
outputinput
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Além destes 3 parâmetros acima, temos também
outputinput
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
ωd = frequência natural amortecida (‘damping frequency’)
1012
nd ≤ζ<ζ−⋅ω=ω
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ko = ganho do sistema
ζ = coeficiente de amortecimento
ωn = frequência natural
Exemplo 1:
1s12s4
3
)s(R
)s(Y2 ++
=
Ko = 3 ζ = 1 ωn = 1
Exemplo 2:
1s2s
3
)s(R
)s(Y2 ++
=
Ko = 3 ζ = 3 ωn = 0,5polos reais e distintos
polos reais e duplos
pólos: s = –2,914s = –0,086
polos: s = –1(duplo)
ωd = 0
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2s2s2
3
)s(R
)s(Y2 ++
=
Exemplo 3:
Ko = 3 ζ = 0 ωn = ωd = 1
Exemplo 4:
Ko = 1,5 ζ = 0,5 ωn = 1
1s
3
)s(R
)s(Y2 +
=
polos complexos conjugados
polos complexos conjugados
polos:
s = –0,5 ± 0,866j
polos: s = ± j
(imaginários
puros)
ωd = 0,866
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2
nn
2s2s)s(p ω+ζω+=
Equação característica:
∆ = 4 ζ2 ω2n – 4 ω2
n =
= 4 ω2n (ζ2 – 1)
ζ > 1 → polos reais e distintos
ζ = 1 → polos reais e duplos
0 < ζ < 1 → polos complexos conjugados
∆ > 0 → (ζ2 – 1) > 0 → ζ2 > 1 → ζ > 1
∆ = 0 → (ζ2 – 1) = 0 → ζ2 = 1 → ζ = 1
∆ < 0 → (ζ2 – 1) < 0 → ζ2 < 1 → ζ < 1
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Qual é a resposta ao degrau?(step response)
Entrada degrau unitário
outputinput
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2o n
2 2n n
KY(s) R(s)
s 2 s
ω= ⋅+ ζω + ω
e como r(t) = degrau unitário:
2o n
2 2n n
K 1Y(s)
ss 2 s
ω= ⋅+ ζω + ω
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[ ])s(Y)t(y 1−= La resposta ao degrau unitário depende do valor de ζ
a) 0 < ζ < 1 (sub amortecido)
b) ζ = 1 (amortecimento crítico)
c) ζ > 1 (sobre amortecido)
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0t,tsen1
tcos1K)t(y d2
d
tn
o >
ω⋅
ζ−ζ+ω−= ζω−
e
Logo, no caso de 0 < ζ < 1 (sub amortecido) a resposta ao degrau unitário é:
[ ])s(Y)t(y 1−= L
2
nd 1 ζ−⋅ω=ωonde frequência natural amortecida
( damping frequency )
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ω⋅
ζ−ζ+ω−= ζω−
tsen1
tcos1K)t(y d2
d
tn
o e
resposta ao degrau unitário:
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a resposta ao degrau unitário é:
ω⋅
ζ−ζ+ω−= ζω−
tsen1
tcos1K)t(y d2
d
tn
o e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )[ ] 0t,t11K)t(y n
tn
o >ω+⋅−= ζω−e
No caso de ζ = 1 (amortecimento crítico), a resposta ao degrau unitário é:
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
[ ])s(Y)t(y 1−= L
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
resposta ao degrau unitário:
outputinput
( )[ ]t11K)t(y n
tn
o ω+−= ζω−e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
resposta ao degrau unitário é:
( )[ ]t11K)t(y n
tn
o ω+−= ζω−e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0t,pp12
1K)t(y2
tp
1
tp
2
n21
o >
−⋅
−ζω+= ee
No caso de ζ > 1 (sobre amortecido), a resposta ao degrau unitário é:
[ ])s(Y)t(y 1−= L
( )11p 2
n
2
nn2,1 −ζ±ζω−=−ζωζω−= m
onde
Sistema tem polos reais
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
resposta ao degrau unitário:
−⋅
−ζω+=
2
tp
1
tp
2
n
pp121K)t(y
21
o
ee
2o n
2 2n n
K
s 2 s
ω+ ζω + ω
outputinput
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
resposta ao degrau unitário:
−⋅
−ζω+=
2
tp
1
tp
2
n
pp121K)t(y
21
o
ee
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 1
ζ = 2
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 4
ζ = 12
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Caso sub amortecido
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
No caso 0 < ζ < 1,A resposta ao degrau unitário
pode ter muitas formas diferentes, dependendo
dos valores de ζ (coeficiente de amortecimento),
ωn (frequência natural) e Ko (ganho)
0t,tsen1
tcos1K)t(y d2
d
tn
o >
ω⋅
ζ−ζ+ω−= ζω−
e
Observe que ωd depende de ζ e ωn
2
nd 1 ζ−⋅ω=ωfrequência natural amortecida(damping frequency)
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 0,132
ωn = 0,57
ζ = 0,1
ωn = 2
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 0,25
ωn = 1
ζ = 0,5
ωn = 0,2
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 0,65
ωn = 2
ζ = 0,72
ωn = 0,8
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 0,8
ωn = 1,4
ζ = 0,85
ωn = 0,7
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ = 0
ωn = 0,2
resposta ao degrau unitário
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Agora vamos nos concentrar neste
caso 0 < ζ < 1 e calcular alguns parâmetros.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Vamos calcular alguns parâ-
metros/variáveis para y(t) a resposta ao degrau unitário do sistema de 2ª ordem.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
resposta em estado estacionário ( steady state output )
yss
yss = resposta em estado estacionário ousaída em regime permanente ( steady state output )
)s(Rs2s
K)s(Y
2
nn
2
2
no ⋅ω+ζω+
ω=
o
2
nn
2
2
no
0s
ostss
K
s
1
s2s
sKlim
)s(Yslim)t(ylimy
=
=⋅ω+ζω+
ω=
=⋅==
→
→∞→
yss = Ko
s
1)s(R =
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
oss Ky =
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
tempo de subida ( rising time )
tr
tr tempo de subida ( rising time )tempo necessário para que a res-posta ao degrau, y(t), atinja o valor final yss = Ko pela primeira vez.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
oo Ktsen1
tcos1K)t(y rd2
rd
t
rrn =
ω⋅
ζ−ζ+ω−= ζω−
e
tr = tempo de subida ( rising time )
0tsen1
tcos rd2
rdrtn =
ω⋅
ζ−ζ+ωζω−
e
1
ζζ−−=ω
2
rd
1)t(tg
n
d
ζωω−=
é o instante em que y(t) atinge o valor final Ko pela primeira vez.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
tr = tempo de subida ( rising time )
depende dos valores de ζ ( coeficiente de amortecimento ),
e de ωn ( frequência natural )
d
2
d
n
d
r
1arctgarctg
tω
ζζ−−
=ω
ζωω−
=
tr = arctg(– ωd /ζω n) / ωd
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d
n
d
r
arctg
tω
ζωω−
=
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
instante de pico ( peak time )
tp
tp instante de pico ( peak time ) é o instante em que a reposta ao
degrau y(t) atinge o primeiro pico.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ω⋅
ζ−ωζ+ωω−−
+
ω⋅
ζ−ζ+ω⋅ζω==′
ζω−
ζω−
rd2
drdd
t
rd2
rd
t
n
tcos1
tsen
tsen1
tcosKdt
dyy
n
n
o
e
e
instante de pico ( peak time )
yss = Ko ( ganho )
ζ ( coeficiente de amortecimento ),
ωn ( frequência natural )
ωn
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
)tcostsen
tsen1
tcosKdt
dy
dndd
d2
n
2
dn
tn
o
ω⋅ζω−ωω+
+ω⋅
ζ−ωζ+ωζω⋅= ζω−
e
ζ−ζ−ω+
ζ−ωζ⋅ω⋅⋅= ζω−
2
2
n
2
n
2
d
t
1
)1(
1tsenK n
o e
01
tsenK2
nd
tn
o =ζ−
ω⋅ω⋅⋅= ζω−e
instante de pico ( peak time )
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0dt
dy =
d
ptωπ=
0tsen d =ω
L,3,2,,0td πππ=ω
tp = π / ωd
instante de pico ( peak time )
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d
ptωπ=
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
overshoot ( sobressinal máximo )
Mp
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mp overshoot ( sobressinal máximo ) é a percentagem acima do valor
final yss que o primeiro pico atinge.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O overshoot Mp pode ser expresso como
um valor entre 0 e 1.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ou também pode ser expresso como
um valor entre 0% e 100%.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0 ≤ overshoot Mp ≤ 1 ou
0% ≤ overshoot Mp ≤ 100%
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
o
o
ζ1
t
o
pK
K)(senζ
)(cos1K
M2
pnζ −
π−π−
=−
ω−e
overshoot ( sobressinal máximo )
ss
ssmaxp
y
yyM
−=o
op
pK
K)t(yM
−=ou
( )
o
o
/
oop
K
KKKM
dnζ −+=
ωπω−e
– 1 0
yss = Ko ( ganho )
ζ ( coeficiente de amortecimento ),
ωn ( frequência natural )
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
o
2
op
K
KM
ζ1
πζ
−
−
= e
2
p
ζ1
πζ
M−
−
= e
Mp depende apenas de ζ ( coeficiente de amortecimento )
overshoot ( sobressinal máximo )
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
%100M2
p
ζ1
πζ
×= −
−
e
overshoot ( sobressinal máximo )
Mp depende apenas de ζ ( coeficiente de amortecimento )
2
p
ζ1
πζ
M−
−
= eou
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2
p
ζ1
πζ
M
−
−
= e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
tempo de acomodação ( settling time )
ts
ts tempo de acomodação ( settling time ) é tempo necessário para a reposta ao degrau y(t) alcançar e permanecer dentro de uma pequena faixa em torno do valor final yss.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
esta faixa pode ser de 5% para cima e 5% para baixo do
valor final yss.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ou de 2% para cima e 2% para baixo do valor final yss.
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O tempo de acomodação (settling time) é obtido a partir das
equações de ye(t), as curvas envoltórias de y(t).
[ ] 0t,1K)t(yt
en
o >±= ζω−e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
n
s
3%)5(t
ζω=
n
s
4%)2(t
ζω=
O tempo de acomodação (settling time) ts é obtido fazendo
ye(ts) ≈ 1,05 Ko
para o caso de ts com 5% de tolerância, e
ye(ts) ≈ 1,02 Ko
para o caso de ts com 2% de tolerância.
Os valores que se obtém são:
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
tempo de acomodação ( settling time )
n
s
3%)5(t
ζω=
n
s
4%)2(t
ζω=
ts(5%) = 3 / ζωn
ts(2%) = 4 / ζωn
portanto:
e
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que o tempo de
acomodação tr é inversamente proporcional
a ζωn, que é a distância da parte real dos polos à origem.
n
s
3%)5(t
ζω=
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
n
s
4%)2(t
ζω=
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Entretanto, se ζ < 0 então:
Observe que vimos aqui os casos em que
o sistema é instável
0 < ζ < 1
ζ = 1
ζ > 1
ou seja:
ζ > 0
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ < 0 → sistema instável (um exemplo)
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ζ < 0 → sistema instável (outro exemplo)
Análise no domínio do tempo - Sistemas de 2ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________