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PROYECCIONES
a) Proyección en perspectiva. b) Proyección paralela
PROYECCIONES EN PERSPECTIVA
CONSTRUCCIÓN DE UNA PROYECCIÓN
PERSPECTIVA DE 2 PUNTOS
PROYECCIONES PARALELAS
Proyección ortográfica
PROYECCIÓN ISOMÉTRICA
PROYECCIÓN OBLICUA
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS PLANAS
ESPECIFICACIÓN DE LA VISTA EN 3D
El plano de vista se define mediante el punto de referencia de vista (VRP, view reference point) y una normal al plano llamada normal al plano de vista (VPN, view plane normal). Estos se definen en el sistemas de coordenadas de referencia de vista (VRC, viewing-reference-coordinates). El origen del VRC es el VPR. Un eje del VRC es VNP y se denomina n. El vector de vista arriba (VUP, view-up vector) determina el eje v del plano de vista. El eje u se define de tal manera que u, v y n forman un sistema de mano derecha. El centro de la ventana CW, lo determina los valores mínimos y máximos de u y v.
CONTINUACIÓN
El punto de referencia de proyección (PRP) define el centro de proyección y la dirección de proyección (DOP). Se especifica en el sistema VRC.
CONTINUACIÓN
El volumen de vista limita la porción del mundo que se recortará y proyectará sobre el plano de vista.El plano de recorte anterior y el plano de recorte posterior definen el volumen finito que se proyectará. Estos se definen por la distancia al plano anterior F y la distancia al plano posterior B.
EJEMPLOS DE VISTAS 3D
GRÁFICACIÓN
PROYECCIÓN DE UNA CASA
Proyección en perspectiva de dos puntos de una casa (figura 1), la casa esta definida en coordenadas de mundo de acuerdo con la figura 2.
Figura 1 Figura 2
VISTA POR OMISIÓN
Parámetros valor
VRP(WC) (0,0,0)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (0.5,0.5,1.0)
Ventana (0,1,0,1)
Tipo paralela
PROYECCIONES EN PERSPECTIVA
Parámetros valor
VRP(WC) (0,0,0)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (8,6,84)
Ventana (-50,50,-50,50)
Tipo perspectiva
CONTINUACIÓN
Parámetros valor
VRP(WC) (0,0,54)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (8,6,84)
Ventana (-1,17,-1,17)
Tipo perspectiva
DOS POSIBLES DEFINICIONES
PERSPECTIVA DE UN PUNTO
Parámetros valor
VRP(WC) (16,0,54)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (20,25,20)
Ventana (-20,20,-5,35)
Tipo perspectiva
PERSPECTIVA DE 2 PUNTOSParámetros valor
VRP(WC) (16,0,54)
VPN(WC) (1,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (0,25,202)
Ventana (-20,20,-5,35)
Tipo perspectiva
PROYECCIONES PARALELAS
Parámetros valor
VRP(WC) (0,0,0)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (8,8,100)
Ventana (-1,17,-1,17)
Tipo paralela
VOLÚMENES DE VISTA FINITOS
Parámetros valor
VRP(WC) (0,0,54)
VPN(WC) (0,0,1)
VUP(WC) (0,1,0)
PRP(WC) (8,6,84)
Ventana (-1,17,-1,17)
Tipo perspectiva
F(VRC) +1
B(VRC) -23
MATEMÁTICAS DE LAS PROYECCIONESPuede verse que se cumplen las siguientes razones debido a la semejanza de triángulos:
x
d
x
z
y
d
y
zp p ;
xd x
z
x
z dy
d y
z
y
z dp p
,
MATRIZ DE LA PROYECCIÓN
0100
0100
0010
0001
per
d
M
La forma matricial de esta transformación es:
10100
0100
0010
0001
per z
y
x
d
PM
W
Z
Y
X
El punto homogéneo es:
;,,,,,,
ddz
y
dz
xzyx
W
Z
W
Y
W
Xppp
El punto real es:
VOLÚMENES CANÓNICOS
x x y y z z 1 1 1 1 0 1, , , ,
x z x z y z y z z z z , , , ,min 1
Volumen de vista canónico en proyección paralela:
Volumen de vista canónico en proyección en perspectiva:
IMPLANTACIÓN
CASO DE PROYECCIÓN PARALELA
Los pasos para efectuar la proyección paralela son:
1. Traslade VRP al origen
2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y.
3. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z.
4. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección paralela.
CONTINUACIÓN
El paso 1 se realiza mediante una matriz de traslación T(-VRP). El paso 2 se realiza mediante una matriz de rotación R dada por:
1000
0
0
0
321
321
321
zzz
yyy
xxx
rrr
rrr
rrr
R
xzyz
zxz RRR
RR
RR ;;
VUPVUP
VPNVPN
Donde:
CONTINUACIÓN
El paso 3 es efectuado con una matriz de corte dada por
1000
0100
010
001
par
par
par
shy
shx
SH
shxdop
dopshy
dop
dopx
z
y
zpar par ;
Donde:
Corte para alinear al volumen de vista.
CONTINUACIÓN
El paso 4 se hace mediante una traslación seguida de un escalamiento. Las transformaciones son:
.1
,2
,2
,,2
,2
minmaxminmaxpar
minmaxminmaxpar
BFvvuuSS
Fvvuu
TT
En suma,las transformaciones para obtener Npar son:
N S T SH R T VRPpar par par par ( ).
Volumen de vista después de los pasos de transformación 1 a 3.
RESULTADOS DE LAS TRANSFORMACIONES
Situación original
Paso 1, trasladar VRP al origen:
Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).
Paso 3, hacer DOP paralelo a eje z.
Paso 4, escalado y traslación a volumen canónico.
Imagen resultante
PROYECCIÓN EN PERSPECTIVA
1. Traslade VRP al origen
2. Rote VRC tal que el eje n (VPN) coincida con el eje z, u sea el eje x, y v el eje y.
3. Traslade para que el centro de proyección (COP), dado por PRP, este en el origen.
4. Corte de tal manera que la dirección de proyección coincida con el eje z.
5. Traslade y escale a un volumen canónico de proyección en perspectiva, la pirámide truncada definida por los 6 planos definida anteriormente.
Los pasos 1 y 2 son los mismos que para el caso paralelo. El paso 3 es solo una traslación T(-PRP). Es fácil ver el paso 4 es la matriz de corte SHpar.
Sección transversal del volumen de vista después de los pasos 1, 2 y 3 de la transformación.
Sección transversal del volumen de vista antes y después del escalamiento.
Situación original:
Paso 1, trasladar VRP al origen:
Paso 2, alinear sistema (u,v,n) con (x,y,z).
Paso 3, traslación del centro de proyección COP al origen.
Paso 4, hacer DOP paralelo a eje z.
Paso 5, escalado y traslación a volumen canónico.
Imagen resultante
TAREA
Genere las vistas de la casa que se muestran en los acetatos.
TAREA
Escriba una archivo de texto con la especificación de un objeto en 3D, el formato es:
Número de puntos
Lista de coordenadas de puntos
Número de aristas
Lista de aristas
80 0 01 0 01 1 00 1 00 0 11 0 11 1 10 1 1
121 22 33 44 11 52 63 74 85 66 77 88 5
Datos para un cubo