1

TKS 4003 Matematika II

Persamaan Diferensial – Faktor Integral –

(Differential: Factor of Integration)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Definisi

PD Non Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu

yang berbentuk :

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (1)

dan memenuhi syarat :

𝝏𝑴 𝒙,𝒚

𝝏𝒚≠

𝝏𝑵 𝒙,𝒚

𝝏𝒙

Penyelesaian PD Non Eksak dapat diperoleh dengan dengan

mengalikan Pers. 1 dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor

Integral (FI), sehingga diperoleh PD Eksak yaitu :

𝒖 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒖 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (2)

2

karena PD (Pers. 2) sudah berbentuk eksak, maka memenuhi :

𝝏 𝒖 𝑴

𝝏𝒚=

𝝏 𝒖 𝑵

𝝏𝒙

𝒖𝝏𝑴

𝝏𝒚+𝑴

𝝏𝒖

𝝏𝒚= 𝒖

𝝏𝑵

𝝏𝒙+ 𝑵

𝝏𝒖

𝝏𝒙

𝒖𝝏𝑴

𝝏𝒚−

𝝏𝑵

𝝏𝒙= − 𝑴

𝝏𝒖

𝝏𝒚− 𝑵

𝝏𝒖

𝝏𝒙

Definisi (lanjutan)

Definisi (lanjutan)

Rumus umum FI :

𝒖 𝒙, 𝒚 =− 𝑴

𝝏𝒖

𝝏𝒚 − 𝑵

𝝏𝒖

𝝏𝒙𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

(3)

Secara umum FI u terdiri dari tiga kondisi yaitu :

1. FI u sebagai fungsi x saja

2. FI u sebagai fungsi y saja

3. FI u sebagai fungsi x dan y

3

FI u fungsi x saja

Karena u sebagai fungsi x saja, maka :

𝝏𝒖

𝝏𝒙=

𝒅𝒖

𝒅𝒙 dan

𝝏𝒖

𝝏𝒚= 𝟎

sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :

𝒖 𝒙 =𝑵𝒅𝒖

𝒅𝒙𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙𝒅𝒙 = 𝑵

𝒅𝒖

𝒖(𝒙)

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑵𝒅𝒙 =

𝒅𝒖

𝒖(𝒙)

FI u fungsi x saja (lanjutan)

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑵𝒅𝒙 =

𝒅𝒖

𝒖(𝒙)

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑵𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖

𝒖(𝒙) =

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑵𝒅𝒙

𝒆

𝒖 𝒙 = 𝒉 𝒙 𝒅𝒙𝒆

dengan 𝒉(𝒙) =

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑵

4

FI u fungsi y saja

Karena u sebagai fungsi y saja, maka :

𝝏𝒖

𝝏𝒙= 𝟎 dan

𝝏𝒖

𝝏𝒚=

𝒅𝒖

𝒅𝒚

sehingga Pers. 3, dapat ditulis menjadi :

𝒖 𝒚 =−𝑴

𝒅𝒖

𝒅𝒚𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙𝒅𝒚 = −𝑴

𝒅𝒖

𝒖(𝒚)

−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝒅𝒚 =

𝒅𝒖

𝒖(𝒚)

FI u fungsi y saja (lanjutan)

−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝒅𝒚 =

𝒅𝒖

𝒖(𝒚)

−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝒅𝒚 = 𝒍𝒏 𝒖

𝒖(𝒚) = −

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝒅𝒚

𝒆

𝒖 𝒚 = 𝒉 𝒚 𝒅𝒙𝒆

dengan 𝒉(𝒚) =

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴

5

FI u fungsi x dan y

𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒙, 𝒚)

Jika bentuk peubah x, y = v, maka 𝑭𝑰 ∶ 𝒖 = 𝒖(𝒗)

𝝏𝒖

𝝏𝒙=

𝝏𝒖

𝝏𝒗

𝝏𝒗

𝝏𝒙 (4)

𝝏𝒖

𝝏𝒚=

𝝏𝒖

𝝏𝒗

𝝏𝒗

𝝏𝒚 (5)

𝝏𝒖

𝝏𝒚=

𝒅𝒖

𝒅𝒗 (6)

Jika Pers. 4, 5, dan 6 disubstitusikan ke Pers. 3, maka :

− 𝑴

𝝏𝒖

𝝏𝒚 − 𝑵

𝝏𝒖

𝝏𝒙𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

= 𝒖(𝒙, 𝒚)

FI u fungsi x dan y (lanjutan)

− 𝑴𝝏𝒖

𝝏𝒗.𝝏𝒗

𝝏𝒚 − 𝑵

𝝏𝒖

𝝏𝒗.𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

= 𝒖 𝒗

𝝏𝒖

𝒅𝒗𝑴

𝝏𝒗

𝝏𝒚− 𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙= −

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙𝒖 𝒗

−𝝏𝑴

𝝏𝒚−𝝏𝑵

𝝏𝒙𝒅𝒗

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚−𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙

=𝒅𝒖

𝒖

6

FI u fungsi x dan y (lanjutan)

−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚 −𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝒅𝒗 = 𝒅𝒖

𝒖

−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚 −𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 𝒖

𝒖(𝒗) = −

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚 −𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝒅𝒗𝒆

𝒖 𝒗 = 𝒉 𝒗 𝒅𝒗𝒆

dengan 𝒉(𝒗) =−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 −

𝝏𝑵

𝝏𝒙

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚 −𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝒅𝒗

Contoh 1

1. 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Penyelesaian :

Misal :

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 → 𝝏𝑴

𝝏𝒚= 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚

𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝒙 + 𝟐𝒚 → 𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚

𝝏𝑴

𝝏𝒚≠

𝝏𝑵

𝝏𝒙 →

𝟏

𝑵

𝝏𝑴

𝝏𝒚−

𝝏𝑵

𝝏𝒙=

𝟐(𝟐𝒙+𝟐𝒚)

𝒙(𝒙+𝟐𝒚)=

𝟐

𝒙

Fungsi dari x saja

Sehingga FI adalah :

𝟐

𝒙𝒅𝒙

𝒆= 𝒍𝒏𝒆 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐

7

Contoh 1 (lanjutan)

Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :

𝒙𝟐 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙𝟑 𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

𝝏𝑭

𝝏𝒚𝒅𝒙 +

𝝏𝑮

𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat

digunakan Penyelesaian PD Eksak.

ambil 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙

= 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝟑

Contoh 1 (lanjutan)

𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝟑 𝒅𝒙𝒙

+ 𝒈 𝒚

= 𝒙𝟒𝒚 + 𝒙𝟑𝒚𝟐 −𝟏

𝟒𝒙𝟒 + 𝒈(𝒚)

𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′(𝒚)

karena 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :

𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟑(𝒙 + 𝟐𝒚)

𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎

→ 𝒈 𝒚 = 𝑪

Solusi PD : 𝒙𝟒𝒚 + 𝒙𝟑𝒚𝟐 −𝟏

𝟒𝒙𝟒 + 𝑪

8

Contoh 2

2. 𝒚(𝒙 + 𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 + 𝒙 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

Penyelesaian :

Misal :

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝒚 → 𝝏𝑴

𝝏𝒚= 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏

𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒙 → 𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐

𝝏𝑴

𝝏𝒚≠

𝝏𝑵

𝝏𝒙 →

𝟏

𝑴

𝝏𝑴

𝝏𝒚−

𝝏𝑵

𝝏𝒙=

−(𝒙+𝒚+𝟏)

𝒚(𝒙+𝒚+𝟏)= −

𝟏

𝒚

Fungsi dari y saja

Sehingga FI adalah :

−𝟏

𝒚𝒅𝒚

𝒆= 𝒍𝒏𝒆 𝒚 = 𝒚

Contoh 2 (lanjutan)

Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :

𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

𝝏𝑭

𝝏𝒚𝒅𝒙 +

𝝏𝑮

𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat

digunakan Penyelesaian PD Eksak.

ambil 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝒚𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝟏

= 𝒙𝒚𝟐+𝒚𝟑 + 𝒚𝟐

9

Contoh 2 (lanjutan)

𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟐 𝒅𝒙𝒙

+ 𝒈 𝒚

=𝟏

𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝒈(𝒚)

𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′(𝒚)

karena 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :

𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝒚(𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐)

𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎

→ 𝒈 𝒚 = 𝑪

Solusi PD : 𝟏

𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝑪

Contoh 3

3. (𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚)𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎

Penyelesaian :

Misal :

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 → 𝝏𝑴

𝝏𝒚= 𝟒𝒙𝟑𝒚 − 𝟏

𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙 → 𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝟒𝒙𝒚𝟑 − 𝟏

𝝏𝑴

𝝏𝒚≠

𝝏𝑵

𝝏𝒙

→ 𝝏𝑴

𝝏𝒚−

𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝟒𝒙𝟑𝒚 − 𝟏 − 𝟒𝒙𝒚𝟑 − 𝟏

= 𝟒𝒙𝒚 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

10

Contoh 3 (lanjutan)

ambil 𝒗 = 𝒙𝒚 ⟹𝝏𝒗

𝝏𝒙= 𝒚 dan

𝝏𝒗

𝝏𝒚= 𝒙

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚= 𝒙 𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚

𝑵𝝏𝒗

𝝏𝒙= 𝒚 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙

maka :

𝑴𝝏𝒗

𝝏𝒚− 𝑵

𝝏𝒗

𝝏𝒙= 𝟐𝒙𝟒𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝒙𝒚

= 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

Contoh 3 (lanjutan)

Sehingga FI adalah :

−𝟐

𝒙𝒚𝒅𝒚

𝒆= −𝟐. 𝒍𝒏𝒆 𝒙𝒚 =

𝟏

𝒙𝟐𝒚𝟐

Selanjutnya diperoleh PD Eksak sebagai berikut :

𝟏

𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 𝒅𝒙 +

𝟏

𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎

𝝏𝑭

𝝏𝒚𝒅𝒙 +

𝝏𝑮

𝝏𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Karena PD tersebut sudah berbentuk PD Eksak, maka dapat

digunakan Penyelesaian PD Eksak.

11

Contoh 3 (lanjutan)

ambil 𝝏𝑭

𝝏𝒚=

𝟏

𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝒚

= 𝟐𝒙 −𝟏

𝒙𝟐𝒚

𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟐 𝒅𝒙𝒙

+ 𝒈 𝒚

=𝟏

𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 + 𝒈(𝒚)

𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′(𝒚)

karena 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :

𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝒚(𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐)

𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒈′ 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟎

→ 𝒈 𝒚 = 𝑪

Contoh 3 (lanjutan)

𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 −𝟏

𝒙𝟐𝒚𝒅𝒙

𝒙+ 𝒈 𝒚

= 𝒙𝟐 +𝟏

𝒙𝒚+ 𝒈(𝒚)

𝝏𝑭

𝝏𝒚= −

𝟏

𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′(𝒚)

karena 𝝏𝑭

𝝏𝒚= 𝑮(𝒙, 𝒚), sehingga :

−𝟏

𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′ 𝒚 =

𝟏

𝒙𝟐𝒚𝟐𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝒙

−𝟏

𝒙𝒚𝟐+ 𝒈′ 𝒚 = 𝟐𝒚 −

𝟏

𝒙𝒚𝟐 → 𝒈′ 𝒚 = 𝟐𝒚

→ 𝒈 𝒚 = 𝒚𝟐

Solusi PD : 𝒙𝟐 +𝟏

𝒙𝒚+ 𝒚𝟐 = 𝟎

12

Latihan

xy’ + y + 4 = 0

(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0

2x sin 3y dx + (3x2 cos 3y + 2y)dy = 0

cos y dx + (2y – x sin y)dy = 0

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!