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Tópico 12 – Propriedades Elétricas I

Prof. Romis Attux – DCA/FEEC/UNICAMP

Primeiro Semestre / 2016

Obs.: O conteúdo dos slides se baseia fortemente no livro texto [Pierret, 1988]. As figuras são do material de apoio de [Callister 2011] exceto onde indicado.

EE410 - Turma A - Prof. Romis Attux

Prelúdio

• A eletrônica moderna é baseada essencialmente em semicondutores. Cumpre, portanto, discutir em mais detalhe as propriedades desses materiais.

• Vimos que semicondutores são materiais que, em termos de condução elétrica, estão entre os metais (excelentes condutores) e os isolantes (maus condutores). Isso explica, inclusive, a razão de ser do nome “semicondutor”.

• A estrutura de bandas de um semicondutor pode ser vista no slide a seguir, que já havia sido estudado por nós. Há uma banda de valência e uma banda de condução, ambas separadas por uma região proibida ou “gap”. Esse “gap” é menor que o de materiais isolantes.


Estrutura de Bandas de um Semicondutor


• Semiconductors: -- narrow band gap (< 2 eV)

Energy

filled band

filled valence band

fille

d s

tate

s

GAP ?

empty

band conduction

Composição

• Existem semicondutores elementares (Si, Ge), formados por um único elemento químico (coluna IV da tabela periódica), semicondutores compostos por combinações de elementos das colunas III e V (e.g. GaAs), semicondutores compostos por combinações de elementos das colunas II e VI (CdTe) e ligas. Trataremos como material paradigmático o silício.

• O silício é tetravalente, e, em sua estrutura cristalina pura, se liga a outros quatro átomos de silício de maneira covalente. Isso é ilustrado, numa representação bidimensional conveniente do ponto de vista didático, na figura a seguir. Numa temperatura maior que 0 K, se há a quebra de uma ligação, tem-se a criação de um par lacuna – elétron livre.


Representação da Estrutura do Silício


valence electron Si atom

Bandas

• Para um cristal de N átomos de silício, forma-se uma banda de valência com 4N estados permitidos e uma banda de condução com 4N estados permitidos. Para T = 0 K, a banda de valência estará totalmente preenchida e a banda de condução totalmente vazia.

• Mostramos, na figura a seguir, uma maneira singela, mas muito útil, de representar essa estrutura. Temos que Ec é a menor energia possível de condução, Ev é a maior energia possível de valência e Eg (ou Ee) é a variação energética associada ao “gap”.


Representação Simples


Portadores

• Portadores são as entidades que, no semicondutor, serão capazes de produzir corrente elétrica.

• Na situação vista nas figuras anteriores, todos os elétrons estão ligados covalentemente. Portanto, não há elétrons livres na banda de condução e a banda de valência está plenamente preenchida.

• No entanto, quando há a quebra de uma ligação, tem-se a excitação de um elétron da banda de valência para a banda de condução. Esse elétron passa a ser um portador, ou seja, elétrons na banda de condução são portadores. A energia para quebrar a ligação e a energia que vence a separação Eg são a mesma coisa.


Portadores

• Além disso, o processo cria uma “ligação faltante” ou um “vazio” na estrutura. Pode-se pensar, em termos do modelo de ligação, que esse vazio se move pelo reticulado cristalino, com elétrons vizinhos tomando um lugar na ligação faltante. Em termos do modelo de bandas, pode-se pensar que a promoção de um elétron à banda de condução cria um vazio na banda de valência.

• Essa ligação faltante, ou vazio na banda de valência, também é um portador – a lacuna.

• Embora isso pareça estranho à primeira vista, as lacunas são sim capazes de portar carga, e, como o tempo, passamos a vê-la como se fosse uma partícula elementar a mais...

• A figura a seguir mostra a criação de um par elétron-lacuna na estrutura do semicondutor.


Portadores


Gaps

• Alguns valores de gaps de semicondutores são (à temperatura ambiente):

• Silício: 1,12 eV

• Arseneto de Gálio: 1,42 eV

• Germânio: 0,66 eV


Portadores - Carga

• Tanto os elétrons quanto as lacunas possuem carga elétrica. Os elétrons possuem carga negativa, as lacunas possuem carga positiva, e a magnitude dessa carga é idêntica e igual a q = 1,6 x 10-19 C.

• Portanto, a carga do elétron é –q e a de uma lacuna é +q.


Portadores – Massa Efetiva

• Massa efetiva é um conceito importante e um tanto abstrato. Para entendê-lo, imaginemos primeiramente um elétron que está sujeito à ação de um campo elétrico E no vácuo. Podemos escrever, usando a segunda lei de Newton:

𝐹 = −𝑞𝐸 = 𝑚0

𝑑𝑣

𝑑𝑡

onde m0 é a massa do elétron e v é sua velocidade.

• Agora imaginemos que um campo elétrico E seja experimentado por um elétron (na banda de condução) num semicondutor. Podemos nos perguntar se poderíamos fazer uso da mesma equação. A resposta, nesse caso, é não.



• No cristal, os elétrons colidirão com átomos do semicondutor e, ademais, estarão sujeitos a campos cristalinos de caráter complexo.

• Isso mostra diferenças fundamentais, e mostra que o estudo deveria adentrar as profundezas da mecânica quântica. No entanto, felizmente, essa formulação pode ser simplificada de modo que se use a lei de Newton com uma adaptação:

𝐹 = −𝑞𝐸 = 𝑚𝑛∗

𝑑𝑣

𝑑𝑡

onde 𝑚𝑛∗ é a massa efetiva do elétron. Pode-se escrever uma equação análoga

para as lacunas, trocando –q por +q e 𝑚𝑛∗ por 𝑚𝑝

∗ .

• O resumo de tudo isso é que em campos cristalinos internos, podem-se tratar elétrons e lacunas como partículas clássicas desde que se utilize a massa efetiva em vez da massa “convencional”.



• A seguinte tabela apresenta as massas efetivas para três semicondutores.


Material 𝒎𝒏∗ /𝒎𝟎 𝒎𝒑

∗ /𝒎𝟎

Silício 1,18 0,81

Germânio 0,55 0,36

Arseneto de Gálio 0,066 0,52

Número de Portadores – Material Intrínseco

• Um semicondutor intrínseco é uma amostra de semicondutor contendo pouquíssimos átomos de impurezas. Em outras palavras, trata-se de um semicondutor com as propriedades nativas do material (não modificadas pela adição de materiais externos).

• O número de portadores num semicondutor intrínseco é uma propriedade do material. Definamos, para portadores internos ao semicondutor:

n – número de elétrons/cm3

p – número de lacunas/cm3

• Teremos, para um semicondutor intrínseco, em condições de equilíbrio, n = p = ni.



• A tabela a seguir traz o valor de ni para três semicondutores à temperatura ambiente.


Material ni

Silício 1 x 1010/cm3

Germânio 2 x 1013/cm3

Arseneto de Gálio 2 x 106/cm3


• Tem-se que n = p, no caso intrínseco, pois a criação de portadores sempre se dá em pares. Quando se quebra uma ligação, geram-se simultaneamente um elétron na banda de condução e uma lacuna na banda de valência.

• Note que a concentração de portadores intrínsecos, embora alta em valores absolutos, não é tão alta assim do ponto de vista relativo. No silício, por exemplo, há 2 x 1023 ligações (ou elétrons de valência) por cm3. Assim, menos de uma ligação em 1013 é quebrada à temperatura ambiente.


Dopagem

• Dopagem é a adição controlada de átomos de impurezas a um semicondutor com o propósito expresso de aumentar a concentração de elétrons ou de lacunas. A adição de dopantes em quantidades controladas é rotina na fabricação de dispositivos semicondutores.

• Dopantes rotineiros do silício para aumentar o número de elétrons (doadores) são o fósforo (o mais usual), o arsênio e o antimônio. Para aumentar o número de lacunas (receptores), utilizam-se o boro (o mais usual), o gálio, o índio e o alumínio. Os primeiros são elementos da coluna V da tabela periódica, ou seja, possuem um elétron de valência a mais que o silício, e os últimos são da coluna III, ou seja, possuem um elétron de valência a menos.


Dopagem

• Quando um dos doadores ocupa o lugar de um átomo de silício no cristal, quatro de seus cinco elétrons de valência se ajustam adequadamente ao arcabouço de 4 ligações covalentes. No entanto, o quinto elétron fica fracamente ligado ao sítio em que se localiza o doador. À temperatura ambiente, a tendência é que esse elétron possa se tornar um portador de carga. Perceba que a criação de um elétron livre dessa forma não gera uma lacuna associada.

• Analogamente, quando um dos receptores ocupa o lugar de um átomo de silício, apenas três elétrons se ajustam a um sítio onde quatro elétrons são esperados. Por tanto, ele tende a aceitar facilmente elétrons, o que implica na geração de uma lacuna livre. Note que isso não cria um elétron de condução.


Dopagem

• Na tabela a seguir, apresentamos a energia de ligação desses elétrons e lacunas adicionais, que é bem menor que o “gap” intrínseco dos semicondutores.


Doador Energia de

Ligação (|EB|)

Receptor Energia de

Ligação (|EB|)

Sb 0,039 eV B 0,045 eV

P 0,045 eV Al 0,067 eV

As 0,054 eV Ga 0,072 eV

In 0,16 eV

Dopagem

• Essas energias de ligação nos fazem inferir que os elétrons advindos de doadores ocupam níveis de energia muito próximos à banda de condução (separação = |EB|), e que as lacunas advindas de receptores ocupam níveis de energia muito próximos à banda de valência (separação = |EB|).

• As figuras a seguir ilustram isso.


Dopagem


Dopagem

• A 0 K, todos os sítios de doadores estão preenchidos, pois não há energia térmica para promover os elétrons para a banda de condução. À medida que a temperatura aumenta, mais e mais elétrons fracamente ligados são doados à banda de condução. À temperatura ambiente, a doação é virtualmente total.

• A mesma idéia se aplica às lacunas no caso de receptores. A 0 K, os sítios dos receptores estão vazios. No entanto, com o aumento da temperatura, mais e mais elétrons da banda de valência passam a esses sítios, criando lacunas na banda de valência. À temperatura ambiente, virtualmente todos os sítios estarão preenchidos.


Terminologia

• Dopantes – átomos específicos de impurezas que são adicionados aos semicondutores em concentrações determinadas, com o propósito de aumentar a concentração de elétrons ou lacunas.

• Semicondutor Intrínseco – semicondutor não dopado; amostra ultrapura de semicondutor, com propriedades nativas do material.

• Semicondutor Extrínseco – semicondutor dopado; semicondutor cujas propriedades são controladas pelas impurezas adicionadas.

• Doador – átomo de impureza que aumenta a concentração de elétrons; dopante tipo n.

• Receptor – átomo de impureza que aumenta a concentração de lacunas; dopante tipo p.


Terminologia

• Material tipo n – material dopado com doadores; semicondutor contendo mais elétrons que lacunas.

• Material tipo p – material dopado com aceitadores; semicondutor contendo mais lacunas que elétrons.

• Portador majoritário – o portador mais abundante num semicondutor – elétrons num material tipo n, lacunas num material tipo p.

• Portador minoritário – o portador menos abundante num semicondutor – lacunas num material tipo n, elétrons num material tipo p.


Densidade de Estados

• Quando o modelo de bandas foi discutido, analisamos a relação entre o número de estados atômicos e o número de estados que compõem as bandas de energia.

• Trataremos agora, no entanto, da distribuição de energia dos estados, ou seja, da densidade de estados. Essa densidade é um componente muito importante para determinar as distribuições e concentrações de portadores.

• A realização dessa análise requer o uso de ferramentas da mecânica quântica que transcendem o escopo de nosso curso. Portanto, apresentaremos os resultados sem maiores preocupações com provas.



• Para energias não muito distantes dos limites das bandas, tem-se que:

𝑔𝑐 𝐸 =𝑚𝑛

∗ 2𝑚𝑛∗ (𝐸 − 𝐸𝑐)

𝜋2ℎ 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 ≥ 𝐸𝑐

sendo ℎ =ℎ

2𝜋. Tem-se também

𝑔𝑣 𝐸 =𝑚𝑝

∗ 2𝑚𝑝∗ (𝐸𝑣 − 𝐸)

𝜋2ℎ 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 ≤ 𝐸𝑣

• A primeira dessas funções é a densidade de estados numa energia E na banda de condução. A segunda, por sua vez, é a densidade na banda de valência.



• Note que as densidades são nulas, respectivamente, para E = Ec e E = Ev. O crescimento com a energia é na forma de uma raiz quadrada. Ambas as densidades não são simétricas porque as massas efetivas dos portadores não são idênticas.

• Note que gc(E)dE representa o número de estados da banda de condução por cm3 entre E e E + dE (se E Ec), e gv(E) representa o número de estados da banda de valência por cm3 entre E e E + dE (se E Ev). A unidade típica é número / cm3 – eV.

• O slide a seguir traz um esboço (rudimentar) das funções.




Função de Fermi

• A função de Fermi, f(E), traz uma informação adicional: qual é a proporção de estados com energia E que estarão ocupados por um elétron a uma temperatura T. Em outras palavras, a função especifica, em condições de equilíbrio, a probabilidade de que um estado disponível com energia E esteja ocupado por um elétron.

• Matematicamente, temos:

𝑓 𝐸 =1

1 + 𝑒𝐸−𝐸𝐹

𝑘𝑇

onde EF é a energia de Fermi ou nível de Fermi, k é a constante de Boltzmann (8,62 x 10-5 eV/K) e T é a temperatura em kelvin.


Função de Fermi (Wikipedia)


Função de Fermi

• Se T 0 K, há duas situações: se E > EF, f(E) = 0; se E < EF, f(E) = 1.

• Se T > 0 K, tem-se que, quando E EF + 3kT, exp[(E – EF)/kT] >> 1, e f(E) exp[-(E – EF)/kT]. Há, portanto, uma situação em que a maioria dos estados estarão vazios.

• Se T > 0 K, tem-se que, quando E EF - 3kT, exp[(E – EF)/kT] << 1, e f(E) 1 - exp[(E – EF)/kT]. Há, portanto, uma situação em que a maioria dos estados estarão ocupados.

• À temperatura ambiente, T = 300 K, kT = 0,026 eV e 3kT = 0,078 eV, energias muito menores que o “gap” do silício.


Função de Fermi (Pierret)


Distribuição de Equilíbrio dos Portadores

• Estando de posse da densidade de estados disponíveis e da probabilidade de ocupação dos mesmos em equilíbrio, podemos deduzir a distribuição dos portadores nas suas respectivas bandas.

• Para tanto, basta multiplicar a densidade de estados adequada à probabilidade apropriada.

• Para a banda de condução, o produto é gc(E)f(E).

• Por outro lado, gv(E)[1 – f(E)] corresponde à distribuição das lacunas na banda de valência.


Distribuição de Equilíbrio dos Portadores

• As distribuições de portadores são nulas nos limites das bandas, atingem um pico perto de Ec ou Ev, e decaem rapidamente para zero à medida que se avança na respectiva banda. Em outras palavras, a maioria dos portadores está agrupada na vizinhança dos limites das bandas.

• A posição do nível de Fermi também é importante. Quando ele está na metade de cima do gap, há uma tendência de que os elétrons tenham mais peso probabilístico que as lacunas. Quando ele está na metade de baixo do gap, por outro lado, há uma predominância de lacunas. Quando ele está no meio do gap, há uma certa equanimidade na distribuição (supondo que gc e gv sejam equilibrados).


Distribuições (Pierret)


Distribuição e Níveis

• Para um material intrínseco, tem-se o nível de Fermi posicionado aproximadamente no meio do “gap”. Daremos a esse nível o nome de Ei. Isso está de acordo com o comentário de que as probabilidades de elétrons e lacunas são praticamente iguais quando se tem o nível de Fermi dessa maneira.

• Quando o nível de Fermi está acima de Ei, pode-se dizer, com imediata intuição, que se trata de um material tipo n. Caso o nível esteja abaixo de Ei, tender-se-á a um material tipo p.

• A figura a seguir ilustra isso.


Distribuição e Níveis – Caso Intrínseco


Distribuição e Níveis – Tipo n


Distribuição e Níveis – Tipo p


Concentrações de Equilíbrio

• Atacaremos agora o problema de uma perspectiva matemática, o que não será fácil.

• O número total de elétrons na banda de condução é dada por:

𝑛 = 𝑔𝑐 𝐸 𝑓 𝐸 𝑑𝐸𝐸

𝑡𝑜𝑝

𝐸𝑐

• O número total de lacunas na banda de valência é dada por:

𝑝 = 𝑔𝑣(𝐸) 1 − 𝑓(𝐸) 𝑑𝐸𝐸

𝑣

𝐸𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚


Concentrações de Equilíbrio

• Tem-se

𝑛 =𝑚𝑛

∗ 2𝑚𝑛∗

𝜋2ℎ 3

𝐸 − 𝐸𝑐 𝑑𝐸

1 + 𝑒𝐸−𝐸𝐹

𝑘𝑇

𝐸𝑡𝑜𝑝

𝐸𝑐

Considerando

=𝐸 − 𝐸𝑐

𝑘𝑇

𝑐 =𝐸𝐹 − 𝐸𝑐

𝑘𝑇

Etop


Concentração de Equilíbrio

• Chega-se a:

𝑛 =𝑚𝑛

∗ 2𝑚𝑛∗ 𝑘𝑇 3/2

𝜋2ℎ 3

1/2 𝑑

1 + 𝑒−𝐶

∞

0

• A integral acima é tabelada, e é definida como integral de Fermi-Dirac de ordem ½:

𝐹12𝑐 =

1/2 𝑑

1 + 𝑒−𝐶

∞

0



• Definindo a densidade “efetiva” de estados da banda de condução e da banda de valência,

𝑁𝐶 = 22𝜋𝑚𝑛

∗ 𝑘𝑇

ℎ2

3/2

𝑁𝑉 = 22𝜋𝑚𝑝

∗ 𝑘𝑇

ℎ2

3/2

• Chega-se a

𝑛 = 𝑁𝐶2

𝜋𝐹1

2(𝑐)

𝑝 = 𝑁𝑉2

𝜋𝐹1

2(𝑣)



• Na expressão anterior, tem-se que:

𝑣 =𝐸𝑣 − 𝐸𝐹

𝑘𝑇

• Para Ev + 3kT EF Ec – 3kT, podem-se utilizar as seguintes aproximações:

𝑛 = 𝑁𝐶𝑒𝐸

𝐹−𝐸𝑐

𝑘𝑇

𝑝 = 𝑁𝑉𝑒𝐸

𝑉−𝐸𝐹𝑘𝑇



• Quando Ev + 3kT EF Ec – 3kT, o semicondutor é dito não-degenerado. Quando isso não ocorre, o semicondutor é dito degenerado.

• No caso não-degenerado, para um semicondutor intrínseco com EF = Ei, n = p = ni, pode-se escrever:

𝑛𝑖 = 𝑁𝐶𝑒𝐸

𝑖−𝐸𝑐𝑘𝑇 = 𝑁𝑉𝑒

𝐸𝑣−𝐸𝑖

𝑘𝑇

• Assim,

𝑛 = 𝑛𝑖𝑒𝐸

𝐹−𝐸𝑖

𝑘𝑇

𝑝 = 𝑛𝑖𝑒𝐸

𝑖−𝐸𝐹𝑘𝑇



• Uma primeira relação é:

np = ni2

• E também

𝑛𝑖 = 𝑁𝐶𝑁𝑉𝑒−𝐸𝐺2𝑘𝑇


Neutralidade de Carga

• A relação de neutralidade de carga permite que se coloquem as concentrações dos dopantes “em cena”.

• Consideremos um semicondutor dopado uniformemente, no qual o número de átomos dopantes por centímetro cúbico seja o mesmo em qualquer lugar. Analisando pequenas seções do material e assumindo condições de equilíbrio, deve-se ter neutralidade de carga.

• A neutralidade requer que qp – qn + qND+ – qNA

- = 0. Isso significa que p – n + ND

+ – NA- = 0. Supondo que, à temperatura ambiente, haja

ionização completa dos dopantes, tem-se que

p – n + ND – NA = 0


Cálculo de Concentrações

• Para um semicondutor intrínseco, tem-se n = p = ni.

• Para um semicondutor dopado com ND – NA ND >> ni ou NA – ND NA >> ni, tem-se as duas situações abaixo (caso não-degenerado e ionização total):

n ND e p = ni2/ND, ND >> NA e ND >> ni

p NA e n = ni2/NA, NA >> ND e NA >> ni


Determinação de Ei

• Num material intrínseco, temos n = p. Considerando EF = Ei,

𝑁𝐶𝑒𝐸

𝑖−𝐸𝑐𝑘𝑇 = 𝑁𝑉𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝑖𝑘𝑇

• Daí vem

𝐸𝑖 =𝐸𝑐 + 𝐸𝑣

2+

3

4𝑘𝑇 𝑙𝑛

𝑚𝑝∗

𝑚𝑛∗


Determinação do Nível de Fermi – Caso Não-Degenerado, Ionização Plena

• Com ND >> NA e ND >> ni,

𝐸𝐹 − 𝐸𝑖 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛𝑁𝐷

𝑛𝑖

• E com NA >> ND e NA >> ni,

𝐸𝑖 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛𝑁𝐴

𝑛𝑖


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