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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - LICENCIATURA
TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE GEOGEBRA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Tamara Gomes Vieira
Santa Maria, RS, Brasil 2015
TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE
GEOGEBRA
Tamara Gomes Vieira
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao Curso de Graduação em Matemática - Licenciatura, da Universidade Federal de Santa Maria
(UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em Matemática.
Orientador: Profª. Drª. Inês Farias Ferreira
Santa Maria, RS, Brasil 2015
Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas
Curso de Graduação em Matemática - Licenciatura
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o trabalho de conclusão de curso
TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE GEOGEBRA
elaborada por Tamara Gomes Vieira
Como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em matemática
COMISSÃO EXAMINADORA:
Profa. Drª. Inês Farias Ferreira (UFSM) (Presidente/Orientador)
Profa. Drª. Carmem Vieira Mathias (UFSM)
Profa. Drª. Sandra Eliza Vielmo (UFSM)
Prof. Dr. Ricardo Fajardo (UFSM)
Santa Maria, 07 Julho de 2015.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus em primeiro lugar, pois sem ele eu não teria forças pra essa
longa jornada.
À minha família, por sua capacidade de acreditar em mim. Mãe seu cuidado e
dedicação foi que deu, em alguns momentos, a esperança para seguir. Aos amigos
e colegas pelo apoio e incentivo constantes.
À professora Inês Farias Ferreira, pela paciência na orientação e incentivo
que tornaram possível a conclusão deste trabalho.
À professora e coordenadora do curso Sandra Eliza Vielmo, pelo apoio e
compreensão.
E a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o
meu muito obrigado.
RESUMO
Trabalho de Conclusão de Curso
GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - LICENCIATURA
Universidade Federal de Santa Maria
TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE GEOGEBRA
AUTOR: TAMARA GOMES VIEIRA ORIENTADOR: PROFª. DRª. INÊS FARIAS FERREIRA
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 07 de julho de 2015. Este trabalho tem como proposta articular representações algébricas e geométricas por meio do software GeoGebra abordando alguns tópicos de Geometria Analítica. O desenvolvimento do trabalho está constituído na elaboração de atividades utilizando o referido recurso computacional a partir de atividades encontradas em livros didáticos do ensino médio. Nesse sentido, foram realizadas adaptações nos problemas selecionados para que as potencialidades do software possam servir como ferramentas mediadoras do processo de ensino e aprendizagem. Inicialmente foi realizada uma pesquisa em alguns livros didáticos para definição dos conteúdos que seriam abordados, ficando definido assim que as atividades a serem elaboradas envolveriam conceitos de coordenadas de um ponto no plano, distância entre dois pontos, posições relativas entre retas e circunferência. Ao realizar o trabalho foi possível experienciar a inclusão de um recurso computacional como uma ferramenta auxiliar para a exploração de alguns conceitos matemáticos, proporcionando com a apropriação de algumas potencialidades do software, a adaptação de diversas atividades que podem auxiliar no ensino dos conteúdos envolvidos.
Palavras-Chave: Geometria analítica; Livros didáticos; GeoGebra.
ABSTRACT
Course Conclusion work
GRADUATE IN MATHEMATICS DEGREE
Universidad Federal de Santa Maria
THE TOPICS OF ANALITICAL GEOMETRY USING GEOGEBRA SOFTWARE
AUTHOR: TAMARA GOMES VIEIRA SUPERVISOR: Prof.ª. DRª. INÊS FARIAS FERREIRA
Date and Place of Presentation: Santa Maria, July,07 th 2015.
This paper aims to articulate and algebraic representations and geometrics through the GeoGebra software by means of some approach topics of analytic geometry. The development work is made in the development of activities by the said computational resource from activities found in teaching high school books. In this sense, activities adaptations will be made on selected so that software capacities can serve as tools of mediators teaching and learning. In the beginning a survey was made in some textbooks for definition of the contents to be addressed, getting set so that the activities to be developed involve coordinate concepts in a plane point, distance between two points, relative positions between straight and circumference. Through this study it was possible to experience the inclusion of a computational resource as an auxiliary tool for the exploration of some mathematical concepts.
Keywords: Analytic Geometry; Textbooks; GeoGebra.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Imagem das capas dos livros didáticos consultados................................15
Figura 2 – Exemplo que calcula a distância entre dois pontos..................................22
Figura 3 – Cálculo da distância entre dois pontos através do GeoGebra..................23
Figura 4 – Atividade 1 explora as coordenadas de um ponto no plano....................24
Figura 5 – Atividade 1 que explora as coordenadas de um ponto no plano após a inserção de valores....................................................................................................25
Figura 6 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x.........................................................................................................................26
Figura 7 – Atividade 2 que explora à distância ente dois pontos e paralelismo com o eixo x após a inserção de valores..............................................................................27
Figura 8 – Exemplo em que um triângulo ABC dado é isósceles..............................28
Figura 9 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles.........29
Figura 10 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles após a inserção de coordenadas incorretas.......................................................................31
Figura 11 – Exemplo que explora retas perpendiculares...........................................32
Figura 12 – Atividade 4 que explora o perpendicularismo entre duas retas.............33
Figura 13 – Atividade 4 que explora a perpendicularidade entre duas retas após a inserção de valores....................................................................................................34
Figura 14 – Exemplo que calcula as posições relativas entre um ponto e uma circunferência.............................................................................................................34
Figura 15 – Atividade 5 que explora posições relativas entre um ponto e uma circunferência.............................................................................................................36
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................9
2. REFERENCIAL TEÓRICO............................. ........................................................12
2.1 A Geometria Analítica no Ensino Médio .............................................................. 12
2.2 A Geometria Analítica e os Livros Didáticos........................................................ 14
2.3 Quanto ao Recurso Computacional .................................................................... 17
2.4 O Software GeoGebra ......................................................................................... 19
3. DESENVOLVIMENTO...........................................................................................21
3.1 Descrições das Atividades .................................................................................. 21
3.1.1 Atividade 1 – Segmentos paralelos...................................................................22
3.1.2 Atividade 2 – Distância entre dois pontos........................................................24
3.1.3 Atividade 3 – Triângulo isósceles......................................................................27
3.1.4 Atividade 4 – Perpendicularismo de retas.........................................................31
3.1.5 Atividade 5 – Posições relativas entre um ponto e uma circunferência............34
4.CONCLUSÕES.......................................................................................................38
5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................... ................................................39
9
1. INTRODUÇÃO
Minha vida acadêmica iniciou em 2009, no Curso de Física Licenciatura,
totalizando dois semestres cursados. Durante este tempo, me identificava melhor
com as disciplinas da área de Matemática, e então, resolvi mudar de curso através
de edital de ingresso/reingresso. Assim, no segundo semestre de 2010 ingressei no
Curso de Licenciatura em Matemática – noturno, onde aproveitei algumas
disciplinas. Neste mesmo período comecei a trabalhar em Caçapava do Sul, cidade
onde resido e, por este motivo, viajo diariamente para Santa Maria para estudar.
Durante o período de realização do curso houve uma reformulação curricular,
na qual tive que me adaptar. Nesta reformulação, algumas disciplinas relacionadas
na linha de recursos computacionais no ensino de matemática foram incluídas, bem
como, a realização do trabalho de conclusão de curso – TCC. Mesmo, sentindo
dificuldades na apropriação dessas ferramentas tecnológicas para futuramente
utilizá-las em minha prática docente, decidi realizar o TCC nessa linha de pesquisa.
Quanto à escolha do assunto, esta foi motivada pelo fato de que, os conceitos
de Geometria Analítica foram abordados no início do curso, considerando seu
estudo no espaço tridimensional. Foram pesquisados em livros didáticos do ensino
médio que abordavam o assunto no plano, e retomados alguns conceitos envolvidos
fazendo uso de uma ferramenta computacional. Em relação ao estudo da Geometria
Analítica percebe-se que, muitas vezes a dificuldade encontrada está na interligação
da mesma com conceitos e resultados da geometria euclidiana, fazendo com que
seu estudo se restrinja a memorização de fórmulas. Essa metodologia amplamente
utilizada faz com que o aluno saiba resolver um problema proposto, somente se for
idêntico ao trabalhado em sala de aula. Assim, aliando o uso do software GeoGebra
na elaboração de algumas atividades, pretende-se que estas possam contribuir para
uma melhor compreensão de aspectos geométricos envolvidos em conceitos da
Geometria Analítica interligando-os com aspectos algébricos.
Com o desenvolvimento do trabalho, os obstáculos começaram a surgir, tanto
em termos do conteúdo específico de Geometria Analítica, como do uso do software
GeoGebra. Tendo a necessidade de estudar novamente diversos conceitos, bem
como explorar diferentes potencialidades do aplicativo que eram desconhecidas. As
10
dificuldades continuaram na fase de desenvolvimento das atividades que foram
adaptadas a partir da seleção feita nos livros didáticos.
Consta no projeto pedagógico do curso de Matemática em Licenciatura -
Noturno (2013) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) que o Trabalho de
Conclusão de Curso (TCC) tem como objetivos promover maior consolidação de
conhecimentos adquiridos durante o curso, contribuir para o desenvolvimento da
autonomia necessária à aquisição de conhecimento, desenvolver a capacidade de
criação e inovação, estimularem a pesquisa, a produção e a veiculação do
conhecimento.
Nesse sentido, a proposta desse trabalho tem como problema de pesquisa
elaborar atividades didáticas com o uso do software GeoGebra abordando conceitos
de Geometria Analítica desenvolvidos no Ensino Médio, a partir de atividades
apresentadas em livros didáticos.
Segundo as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais PCN+ (BRASIL, 2002), aulas e livros em nenhuma hipótese
resumem a enorme diversidade de recursos didáticos, e sua utilização é de
fundamental importância para a aprendizagem. Entretanto, alguns professores
baseiam suas aulas somente em livros didáticos para transmitirem os conteúdos aos
alunos. É importante ressaltar que, além dos livros didáticos que são de suma
importância para a aprendizagem, os recursos tecnológicos podem ser ferramentas
na construção do conhecimento, fornecendo possibilidades de abordagens
diferenciadas para resolver inúmeras atividades. Em contraponto, os professores
necessitam constituir uma formação adequada para a inserção de tecnologias em
sua prática docente.
No desenvolvimento do trabalho foram retomados alguns conceitos de
Geometria Analítica vistos no ensino médio. Bem como, explorados alguns recursos
mais avançados disponíveis no software GeoGebra. Em seguida, foi apresentada
uma breve descrição das atividades encontradas nos livros didáticos e
posteriormente a atividade elaborada no recurso computacional.
Cabe ressaltar que, através do desenvolvimento deste trabalho de conclusão
de curso (TCC) foi possível realizar uma melhor apropriação das potencialidades do
software, retomar conceitos básicos de Geometria Analítica, contribuindo na
11
formação inicial da autora para que futuramente esta possa realizar atividades
didáticas em sua prática que incluam o uso de recursos tecnológicos no ensino de
matemática.
12
2. REFERENCIAL TEÓRICO
O ensino de Matemática, muitas vezes, é desenvolvido pautando-se na
memorização de fórmulas e por procedimentos que são introduzidos de maneira
contínua, fazendo com que através da reprodução exaustiva ocorra uma
aprendizagem mecânica. Segundo os PCN+ (BRASIL, 2002), a maneira como se
organizam as atividades em sala de aula, a escolha de material didático apropriado
e a metodologia de ensino é que permitem o trabalho simultâneo dos conteúdos. Se
o professor insistir em cumprir programas extensos, com conteúdos sem significado
e fragmentados, transmitindo-os de uma única maneira, os alunos só ouvem e
repetem. Quando se propõe exercícios de aplicação dos conceitos matemáticos, o
que está em ação é uma simples transposição em que o aluno busca na memória
um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, mas
essa forma não garante que o aluno seja capaz de utilizar seus conhecimentos em
situações diferentes ou mais complexas.
O uso de recursos tecnológicos em práticas pedagógicas é outra forma de
abordagem no ensino, onde esta ferramenta pode contribuir de maneira satisfatória
na aprendizagem. Uma escolha adequada dentre as diferentes possibilidades de
ferramentas tecnológicas pode despertar um maior interesse por parte dos alunos,
pois em muitos casos estes, se tornam agentes ativos na aquisição do
conhecimento em questão.
Aliando o uso do software GeoGebra no desenvolvimento de atividades que
envolvem alguns conceitos da Geometria Analítica, pretende-se contribuir para que
estas atividades possam permitir ao aluno refletir, explorar e criar conjecturas a
respeito do tema.
2.1 A Geometria Analítica no Ensino Médio
Baseada em Smole e Diniz (2010) foi realizada uma breve descrição histórica
a respeito da constituição da Geometria Analítica.
13
Estes autores indicam que há muitas discordâncias sobre quem desenvolveu
inicialmente a Geometria Analítica e sobre a época em que isso ocorreu. Alguns
pesquisadores a localiza na antiguidade, salientando que o conceito de fixar a
posição de um ponto por meio de coordenadas convenientes teria sido empregado
por egípcios e romanos na medição de terras e, pelos gregos, na confecção de
mapas. Outros atribuem a Nicole D’Oresme, que nasceu na Normandia em torno de
1323. Este, em um de seus tratados de Matemática, antecipou outro aspecto da
Geometria Analítica, ao representar certas leis graficamente. No entanto, a
Geometria Analítica pode ser atribuída também a Pierre de Fermat, contemporâneo
de Descartes. Em uma carta, para um amigo, ele afirma que suas ideias sobre o
assunto já tinham sete anos. Todavia, para que a Geometria Analítica pudesse
assumir sua apresentação atual, teve-se que aguardar o desenvolvimento do
simbolismo algébrico. Portanto, talvez seja mais correto concordar com os
pesquisadores, que consideram decisivas contribuições dos matemáticos franceses
Descartes e Fermat, no século XVII, como a origem essencial do assunto, pelo
menos em seu espírito moderno.
Uma das contribuições de Fermat à Geometria Analítica encontra-se num
pequeno texto intitulado Introdução aos lugares planos e sólidos e data no máximo,
de 1636, mas que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra
completa. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais
lembrado como criador da Geometria Analítica, constituída por Descartes, apareceu
em 1637 no pequeno texto denominado A Geometria como um dos três apêndices
do discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna.
Em relação à Geometria Analítica, os PCN+ (BRASIL, 2002) identificam
alguns aspectos importantes deste assunto. Segundo estes existem algumas
habilidades que podem ser exploradas quando se faz uso da representação no
plano cartesiano, de equações, bem como, se realiza um estudo da interseção e
posições relativas de figuras. As habilidades indicadas por este documento oficial
seriam:
14
[...] - Representações no plano cartesiano e equações; interseção e posições relativas de figuras; - Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas geométricos; - Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais matemáticos, de acordo com suas características; - Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes formas algébricos e representações gráficas e vice-versa; - Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre eles. (BRASIL, 2002, p.122)
Em termos gerais, a importância do estudo da Geometria é reforçada nos
Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2002) afirmando que:
[...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1999, p.89).
Nesse sentido, consideram que o aluno do ensino médio deve perceber que
um mesmo problema pode ser abordado com diferentes exemplos matemáticos de
acordo com suas características e que pode ser aplicado em outros contextos.
2.2 A Geometria Analítica e os Livros Didáticos
Na maioria das escolas, o livro didático é uma ferramenta muito importante na
tarefa do professor, trazendo diferentes formas de conhecimentos que facilitam o
desenvolvimento em sala de aula de diferentes conteúdos matemáticos. Neste
trabalho, os livros didáticos selecionados são dos autores Smole e Diniz (2010) e
Dante (2010), que correspondem ao terceiro ano do ensino médio, conforme
imagens ilustrativas das obras mostradas na figura 1.
15
Figura 1 – Imagens das capas dos livros didáticos consultados.
A seguir será feita uma breve descrição a respeito de cada um desses
materiais, no que diz respeito à unidade de Geometria Analítica.
Para Smole e Diniz (2010), a Geometria Analítica traduz pontos, retas e
construções geométricas em igualdades algébricas, as quais, quando analisadas,
permitem concluir sobre propriedades geométricas das figuras descritas por
equações variáveis, as quais são representadas no plano cartesiano. Trata-se de um
sistema de eixos ordenados e perpendiculares, de tal forma que cada ponto do
plano é identificado por um par ordenado de números reais e, vice-versa,
correspondendo cada par ordenado de números reais a um único ponto desse
plano.
Nesse livro os conteúdos de Geometria Analítica estão divididos em quatro
unidades. A primeira unidade trata do estudo analítico do ponto que está subdividida
em sete subitens: a história da Geometria Analítica; o referencial cartesiano; ponto
médio; baricentro de um triângulo; distância entre dois pontos; área de um triângulo
e condição de alinhamento de três pontos. A segunda unidade estuda a reta,
dividida em onze subitens: a Geometria Analítica com a álgebra; equação geral de
uma reta; posições relativas entre duas retas; equação reduzida da reta; posição
16
relativa entre duas retas a partir de suas equações reduzidas; perpendicularismo de
retas; equação segmentária; feixe de retas concorrentes; ângulo entre duas retas;
distância de um ponto a uma reta e inequações de 1º graus com duas variáveis. Na
terceira unidade é realizado o estudo analítico da circunferência com seis subitens: o
estudo analítico da circunferência; equação da circunferência; posições relativas
entre um ponto e uma circunferência; posições relativas entre reta e circunferência e
reconhecimento da equação de uma circunferência. Na quarta e ultima são
estudadas as cônicas dividida em quatro subitens: cônicas; elipse; hipérbole e
parábola. Ao final de cada subitem são apresentados alguns exercícios resolvidos
como exemplos e, em seguida, são propostos exercícios e problemas para
resolução por parte do aluno.
O segundo livro selecionado, Dante (2010), traz que a Geometria Analítica
está calçada na ideia de representar os pontos da reta por números reais e os
pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as curvas no plano
(reta, circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é
possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também
interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas, ou seja, a álgebra e a
geometria se complementam.
Dante (2010) aborda os conteúdos de Geometria Analítica através de três
unidades. A primeira unidade estuda o ponto e reta e está dividida em quinze
subitens: introdução; o sistema cartesiano; distância entre dois pontos; coordenadas
do ponto médio de um segmento de reta; condição de alinhamento de três pontos;
inclinação de uma reta; coeficiente angular de uma reta; equação da reta quando
são conhecidos um ponto e a declividade da reta; formas da equação da reta;
posições relativas de duas retas no plano; perpendicularidade de duas retas;
distância de um ponto a uma reta; ângulo formado por duas retas; área de uma
região triangular e por último, menciona algumas aplicações à Geometria Plana. A
segunda unidade trata sobre o estudo da circunferência, que é dividida em seis
subitens: introdução; definição e equação; posições relativas entre reta e
circunferência; problemas de tangência; posições relativas de duas circunferências e
também aplicações à Geometria Plana. A terceira unidade apresenta as secções
cônicas, é composta por seis subitens: introdução; parábola; elipse; hipérbole e
aplicações. Ao final de cada tópico são apresentados alguns exemplos e, em
17
seguida, são apresentados exercícios propostos. Ao final de cada unidade são
apresentadas atividades adicionais, relacionadas a questões de vestibular.
A escolha dos livros didáticos foi pautada nas obras que se obteve acesso.
Sendo que, foram consultadas duas coleções para que pudesse observar como
cada autor aborda os conteúdos selecionados. Notou-se que, basicamente, estes
autores apresentaram os conteúdos de maneiras análogas, apresentando ao final de
cada tópico alguns exemplos. No entanto, na coleção de Dante (2010), ao final de
cada unidade, são apresentadas atividades correspondentes a questões de
vestibulares de diversas instituições de ensino.
2.3 Quanto ao Recurso Computacional
De acordo com Borba e Penteado (2010), um dos perigos que se temia ao
integrar a utilização da informática na educação era de que o aluno iria só apertar as
teclas e obedecer à orientação dada pela máquina. Em geral para aqueles que
concebem a matemática como a matriz do pensamento, se o raciocínio matemático
for realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de
desenvolver sua inteligência. Por outro lado, há argumentos que apontam em
sentido contrário, que o “computador” pode ser uma ferramenta importante para a
solução de problemas educacionais relacionados com a aprendizagem.
Moran (2001) explica que todos podem mudar com as tecnologias, mesmo
que os alunos não tenham acesso a tecnologias mais avançadas, podem mudar
para processos participativos e investigativos. Dessa forma, o aluno pode sair da
posição mais passiva em que se encontra no processo de aprendizagem, pois ele
poderá pesquisar e mudar de atitude, deixando de ser um mero consumidor da
informação, não esperando que o professor lhe passe o conhecimento como algo
pronto, acabado. É um processo de envolvimento constante na busca de soluções,
havendo a necessidade de compartilhar e trocar ideias. O mesmo pesquisador ainda
faz uma breve avaliação do processo de ensino/aprendizagem com a utilização da
internet, onde os alunos mostram mais interesse, curiosidade e, estando mais
motivados, eles apresentam trabalhos mais criativos e produtivos.
18
Nesse sentido, os PCN+ (BRASIL, 2002) afirmam que a matemática deve
acompanhar criticamente o desenvolvimento tecnológico, tendo contato com os
avanços das novas tecnologias nas diferentes áreas do conhecimento para se
posicionar frente às questões de nossa atualidade. O simples fato de a tecnologia
estar ao lado da “matemática”, não promove um novo costume para o ensino de
conteúdos e nem gera novos conteúdos.
Em termos da utilização dos recursos tecnológicos no processo educativo
Valente (2005) explicita que estes possibilitam a exploração de diferentes aplicações
do conhecimento e que contribuem para sua construção.
Entre inúmeros recursos tecnológicos à disposição, encontram-se os
softwares matemáticos de domínio público disponíveis na internet. A escolha de qual
ser usado deve ser pautada nas necessidades que o conteúdo demanda, bem
como, a forma como se pretende explorar o mesmo. Segundo Rego (2010),
dependendo da natureza do software, sua exploração possibilitará estimular a
criatividade de investigação e ampliar a autonomia do aluno, além de aproximá-lo
para situações de aplicabilidade de conceitos matemáticos envolvendo dados reais.
No entanto, para que ocorram contribuições na aprendizagem com o uso dos
softwares é necessário que o professor esteja preparado para usar estes aplicativos,
assim como deve existir material didático para dar apoio a essas aulas.
É importante ressaltar que o recurso tecnológico por si só não irá promover
contribuições para o ensino e aprendizagem. Nesse sentido, acredita-se que é
necessária a criação de novos espaços de aprendizagem e, principalmente, oferecer
ao professor uma formação adequada neste novo ambiente escolar que se
configura. Os professores precisam estar preparados para dominar o potencial
educativo que a tecnologia oferece podendo, dessa forma, utilizaremos recursos
tecnológicos em suas aulas.
Nesse sentido, Saint (1995) afirma que:
Assim como um bom livro-texto não é, por si só, garantia de um bom curso, também um software precisa ser bem explorado por mestres e alunos para dar bons resultados. Ao contrário do que esperam muitos administradores educacionais, o computador não faz milagres. (SAINT, 1995, p 36).
19
Ainda, em termos das contribuições que o uso de recursos computacionais
pode trazer para o ensino de matemática, Franchi (2006) afirma que:
A informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico e acrescenta que a comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas (FRANCHI, 2006, p 184).
Nesse sentido, os jovens estão conectados à internet na maioria do seu
tempo, adaptam-se às mudanças tecnológicas e aprendem formas diferentes para
melhorar seu desempenho em jogos e acesso às redes sociais. Assim, existe um
usuário em potencial que pode direcionar seus conhecimentos tecnológicos para fins
de aprendizagem escolar. Os recursos computacionais estão presentes diariamente
na vida dos alunos, mas ainda, raramente são utilizados como recurso didático na
aprendizagem em sala de aula.
2.4 O Software GeoGebra
O GeoGebra é um software desenvolvido na concepção da geometria
dinâmica. Assim sendo, para o ensino de diferentes conteúdos de matemática se
destaca um aspecto contido na geometria dinâmica, que é a possibilidade de
experimentação, ajudando o aluno a encontrar diferentes maneiras para a resolução
de problemas, promovendo uma melhor percepção por parte do mesmo. O software
GeoGebra1 foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, em seu trabalho de doutorado
na Áustria para ser utilizado na educação básica. No entanto, sendo amplamente
utilizado em diferentes níveis de ensino, é um recurso multiplataforma, de código
aberto disponível para download na internet, apresenta uma interface amigável e
permite a elaboração de arquivos em HTML, entre outras características. Como
mencionado anteriormente, sendo o GeoGebra um aplicativo desenvolvido dentro da
concepção da geometria dinâmica este permite, explorar a “estabilidade sob ação de
movimento”. Ou seja, feita uma construção, mediante movimento aplicado aos
1 Disponível para download em www.geogebra.org
20
pontos que dão início a construção, a figura que está na tela do computador se
transforma quanto ao tamanho e a posição que ela ocupa, no entanto, preserva as
propriedades geométricas que foram impostas no processo de construção, bem
como as propriedades delas decorrentes. Em particular, para o ensino de
matemática, destacam-se pela possibilidade de experimentação, manipulação e
formulação de conjecturas. O GeoGebra se destaca entre outros softwares, pois
possibilita experimentação, manipulação e formulação de conjecturas reunindo
recursos que envolvem a geometria (plana e espacial); álgebra; criação de tabelas
(planilha); representações gráficas (sistema cartesiano) e cálculos simbólicos em um
único ambiente. Graças a tais características este software pode ser utilizado como
recurso didático em diferentes níveis, permitindo a investigação de inúmeros
conteúdos matemáticos.
21
3. DESENVOLVIMENTO
Este trabalho se constituiu inicialmente a partir de pesquisa bibliográfica para
compor um referencial que pudesse fornecer um suporte para o desenvolvimento da
proposta. Nesse sentido foi necessário, realizar estudos a partir de referências
bibliográficas, no que diz respeito, ao uso de recursos tecnológicos no ensino de
matemática, bem como da utilização de softwares em atividades didáticas. Além
disso, a partir de Dantas (2015) foi feito um estudo e desenvolvimento de atividades
exploratórias de diferentes recursos disponíveis no GeoGebra. Em relação aos
conteúdos que envolvem a Geometria Analítica, houve a necessidade de serem
retomados diversos conceitos e resultados para auxiliar no desenvolvimento das
atividades. Posteriormente, foi realizada uma pesquisa nos dois livros didáticos
escolhidos: Smole e Diniz (2005) e Dante (2010). Nesta consulta observou-se a
abordagem dada em cada um deles para o assunto e depois foi realizada a seleção
de possíveis atividades que poderiam ser adaptadas para serem exploradas com o
auxílio do recurso computacional.
Assim foram constituídas cinco atividades que abordam: conceitos de
coordenadas de um ponto no plano; distância entre dois pontos; posições relativas
entre retas e circunferência.
3.1 Descrições das Atividades
Neste subitem serão descritas as atividades elaboradas no software
GeoGebra apresentando-se, inicialmente, como a mesma estava constituída
originalmente no livro didático e, depois, como foi adaptada. Cabe salientar que, a
necessidade de adaptação das referidas atividades constantes nos livros deveu-se
ao fato de que, se propõem neste trabalho, usar o software não somente como um
recurso semelhante a uma “calculadora” onde os dados do problema são incluídos e
o aplicativo retorna com a resposta correspondente. Pretende-se sim, através das
atividades elaboradas explorarem algumas potencialidades do software que o
22
diferenciam do uso apenas do papel e lápis. Além disso, as atividades elaboradas
têm o intuito de reforçar os conteúdos trabalhados em sala de aula.
3.1.1 Atividade 1 – Segmentos paralelos
Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo
apresentado no livro de Dante (2010). Este exemplo apresentados itens, conforme
ilustrado na figura 2 e, em cada um deles, é representado pontos A e B no sistema
cartesiano onde é solicitado o cálculo da distância entre estes pontos. Na figura 2,
que ilustra este exemplo, é dada uma representação geométrica dos segmentos
definidos por estes dois pontos e, solicita-se o cálculo da distância entre estes que,
poderá ser feito através da compreensão do significado de par ordenado de um
ponto no sistema cartesiano ou através da aplicação da fórmula da distância entre
dois pontos. Essa atividade foi escolhida por ter a possibilidade de explorá-la com o
recurso tanto o conteúdo de distância entre dois pontos quanto ao significado de
segmentos paralelos aos eixos cartesianos ou a um segmento qualquer. A partir das
coordenadas dos referidos pontos, obtém-se diretamente o valor da distância entre
eles, pois os segmentos definidos são paralelos aos eixos x e y, respectivamente.
Neste caso, em particular não é necessário utilizar para resolvê-lo a representação
algébrica da distância entre dois pontos quaisquer.
Figura 2 – Exemplo que calcula a distância entre dois pontos.
Fonte: Dante, 2010, p. 51.
23
A seguir se faz uso da representação algébrica, com base em Dante (2010),
para obter a distância entre dois pontos quaisquer A= (x1, y1) e B= (x2, y2). Na figura
3 é ilustrada esta representação e dado um exemplo numérico onde A=(2,2) e
B=(6,5) realizando o cálculo da distância entre estes pontos. De forma geral,
aplicando o teorema de Pitágoras a partir da representação geométrica de um
triângulo retângulo que se forma entre os pontos A e B e a relação com os eixos
resulta que:
����, ��� � ∆ � ∆�.
Logo, ���, �� � �∆ � ∆� � �� � �� � �� � ���.
Dessa forma, a distância entre dois pontos Ae B quaisquer do plano, tal que
� � � �,��) e � � � , �� é dada por
���, �� � �� � �� � �� � ���.
Figura 3–Cálculo da distância entre dois pontos através do GeoGebra.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
A partir do referido exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade
no GeoGebra, ilustrada na figura 4, que requer a determinação de um segmento
paralelo a um dos eixos cartesianos ou a outro segmento dado. Neste caso, não se
deseja explorar o conhecimento de distância entre dois pontos e, sim, como são
24
constituídas as coordenadas de um ponto no plano cartesiano, a partir da relação
das coordenadas de um ponto com os eixos cartesianos.
Figura 4 – Atividade1 que explora as coordenadas de um ponto no plano.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Na atividade, adaptada no GeoGebra, o aluno deve entrar com os valores das
coordenadas do ponto D, conforme o item que ele está respondendo. Será
necessário que o aluno tenha claro o significado de cada uma das coordenadas de
um ponto e sua representação no sistema cartesiano para responder corretamente
os itens. A elaboração desta atividade foi motivada a partir da atividade apresentada
no livro, pois os segmentos definidos são paralelos aos eixos x e y, respectivamente.
Além de explorar o significado de paralelismo entre entes geométricos (segmentos,
retas). No momento que o aluno digita os valores corretos para as coordenadas do
ponto D, o recurso exibe uma mensagem indicando que está certo, conforme mostra
a figura 4. A atividade possui três itens em que o primeiro pede que o segmento
formado seja paralelo ao segmento dado, o segundo pede que o segmento formado
seja paralelo ao eixo x e o terceiro que o segmento formado seja paralelo ao eixo y.
Foi elaborada uma programação no GeoGebra que permite que o aluno entre com
diferentes valores para a coordenada do ponto D fazendo com que não exista uma
única resposta.
25
Figura 5 – Atividade1 que explora as coordenadas de um ponto no plano após a inserção de valores.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
3.1.2 Atividade 2 – Distância entre dois pontos
Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir da constituição da atividade
1, sendo que procurou-se explorar o conceito de distância entre dois pontos
abordado no exemplo apresentado no livro de Dante (2010). No entanto, nesta
atividade, conforme ilustra a figura 6, o recurso apresenta um botão que ao ser
selecionado gera um ponto A, aleatório, no sistema cartesiano xy. Dessa forma, é
possível obter uma variedade de itens para o mesmo enunciado, diferentemente do
que é apresentado no material impresso. Nessa atividade é solicitado a
determinação das coordenadas de um ponto B, assim como na atividade 1. No
entanto, é fixado o comprimento do segmento que deve ser gerado. Dessa maneira,
explora-se o conceito de distância entre dois pontos e o paralelismo com o eixo das
abscissas. Além disso, deve-se salientar que, para resolver a atividade o aluno
poderá utilizar lápis e papel para realizar alguns cálculos que envolvam a distância
entre dois pontos. Sendo que, o recurso proposto, neste caso, servirá para este
validar a sua resposta.
26
Figura 6 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
No momento em que se entra com valores corretos para as coordenadas do
ponto B, o recurso exibirá uma mensagem indicando esta informação, conforme
ilustrado na figura 7. Se o aluno digitar os valores para as coordenadas do ponto B e
estiver incorreto, embora mostre no sistema cartesiano xy a posição do ponto B o
recurso não formará segmento. Além disso, indicará uma mensagem solicitando que
seja revisto os valores das coordenadas de B.
27
Figura 7 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x após a inserção de valores.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
3.1.3 Atividade 3 – Triângulo isósceles
Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo do livro de
Dante (2010) que explorava, inicialmente, a distância entre dois pontos e, em
seguida, verificava que o triângulo ABC dado era isósceles. Assim a atividade
apresentada originalmente, conforme mostra a figura 8, era constituída por dois
itens, em que no primeiro era apresentado as coordenadas de um ponto P, com
incógnita na abscissa e,afirma-se que este ponto deveria ser equidistante dos
pontos A e B, cujas coordenadas eram dadas. Sendo que na atividade era solicitado
determinar a incógnita do ponto P. No segundo item pedia-se para verificar que o
triângulo ABC dado era isósceles, sendo que, as coordenadas dos vértices que
compõem o referido triângulo estavam representadas geometricamente no sistema
cartesiano xy. Para o problema ser resolvido era necessário identificar as
coordenadas de cada um dos vértices. Como na atividade anterior já foi abordado o
conteúdo de distância entre dois pontos foi escolhida essa atividade, pois, para que
o aluno verifique que o triângulo construído era isósceles precisaria ter claro o
28
conceito de distância entre dois pontos. Para a elaboração da atividade adaptada foi
considerado o segundo item do exemplo.
Figura 8 – Exemplo em que um triângulo ABC dado é isósceles.
Fonte: Dante, 2010, p.53.
Para desenvolver a atividade como originalmente foi apresentado no livro
didático o aluno deve além de saber identificar as coordenadas dos pontos A B e C,
calcular a medida do comprimento dos segmentos AB , BC e AC que corresponde a
medida dos lados do triângulo ABC. Além disso, será necessário que este saiba a
definição de triângulo isósceles. Assim, calcula-se:
d(A, B) = 2 2( 5 2) (1 4) 9 9 18 3 2− + + − = + = = u.c.
d(A, C) = 2 2( 6 2) (5 4) 16 1 17− + + − = + = u.c.
d(B, C) = 2 2( 6 5) (5 1) 1 16 17− + + − = + = u.c.
Visto que d(A, C) = d(B, C), o triângulo ABC é isósceles e os lados BC e AC
são congruentes.
A partir deste exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade no
GeoGebra ilustrada na figura 9. Nesta atividade é dado um segmento AB
representado no sistema cartesiano xy. Nesta é solicitado à determinação das
coordenadas do ponto C, para que seja definido um triângulo isósceles ABC. Neste
caso, da mesma forma que no livro didático, o aluno terá que saber a definição de
um triângulo isósceles. Ele poderá realizar separadamente (com papel e lápis) ou no
29
recurso criado, alguns cálculos que fazem uso da representação da distância entre
dois pontos quaisquer.
Figura 9 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Nessa atividade é necessário entrar com o terceiro vértice, ponto C,
determinando um triângulo isósceles ABC. Sendo que a mesma não apresenta uma
única resposta certa, pois nota-se que se o ponto C pertencer à reta mediatriz do
segmento AB , existirá infinitas soluções para o problema. Dessa forma, poderá ser
resolvido determinando-se, inicialmente, a medida do segmento AB dado. Além
disso, posteriormente obtém-se expressões que relacionem a distância entre os
pontos A e C e, também, entre os pontos B e C. Assim, considera-se o ponto C, da
forma C=(x1, y1), exigindo que d(A,B) = d(A,C) para que o triângulo tenha lados AB
e AC congruentes. Ou ainda, poderá ser exigido que, d(A,B) = d(B,C) para que o
triângulo tenha lados AB e BC congruentes. Após, deverá ser resolvida a equação
obtida. Então, obtém-se,
���, �� � ��4.774 � 2� � �7.16 � 3�
���, �� � ��2.774� � �4.16�
30
���, �� = �7,7 + 17,3
���, �� = √25
���, �� = 5�. �. .
Logo, para que o triângulo ABC seja isósceles a distância entre os pontos A e
B é dada por���, �� = 5u.c. e deve ser igual a ���, �� ou igual a ���, ��.
Calculando-se primeiro, ���, �� = ���, ��resulta em
���, �� = ���, ��
5 = �� � − 2� + �� − 3�
�5� = ��� � − 2� + ��� − 3��
25 = � � − 2� + ��� − 3�.
Ou, ainda, considerando d(A,B) = d(B,C), resulta em
���, �� = ���, ��
5 = �� � − 7� + �� − 3�
�5� = ��� � − 7� + ��� − 3��
25 = � � − 7� + ��� − 3�.
A partir das duas equações obtidas, cada uma com duas incógnitas, pode ser
discutido com os alunos que as mesmas representam a equação de uma
circunferência de raio 5 u.c.. Na primeira expressão, representa uma circunferência
com centro em A=(2,3) e, na segunda, com centro em B=(7,3). Assim, para resolver
o problema pode ser considerado o aspecto geométrico, fazendo-se a construção da
mesma através do software. Em seguida, considerar qualquer ponto pertencente a
ela; ou algebricamente, a partir da expressão escolhida, determinar coordenadas
para o ponto C que satisfaçam a expressão.
Novamente, será obtida uma expressão que deve ser satisfeita pelas
coordenadas do ponto C para que este determine um triângulo isósceles no sistema
31
cartesiano xy. Sendo que no momento em que se entra com os valores corretos
para as coordenadas do ponto C, o recurso exibirá uma mensagem indicando que
está correto, conforme mostra a figura 9. Caso contrário, surgirá à seguinte
mensagem: “O triângulo ABC não é um triângulo isósceles, verifique. Entre com
outras coordenadas para o ponto C que satisfaça o que se pede.”, conforme consta
na figura 10.
Figura 10 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles após a inserção de coordenadas incorretas.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
.
3.1.4 Atividade 4 – Perpendicularismo entre retas
Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo que
explorava a perpendicularidade entre retas, do livro de Smole e Diniz (2010),na
sessão de exercícios resolvidos. A atividade apresentada originalmente, conforme
mostra a figura 11, está constituída por três itens. No entanto, a partir do enunciado
é explorada apenas a representação algébrica de uma reta. Já, na atividade
adaptada, foi feita uma abordagem dos aspectos geométricos envolvidos. Cabe
32
evidenciar que, para a elaboração da atividade considerou-se apenas o primeiro
item.
Figura 11– Exemplo que explora retas perpendiculares.
Fonte: Smole e Diniz, 2010, p.67.
Para resolver esta atividade como originalmente foi proposta no livro didático
o aluno deve ter em mente que, para duas retas, r e s, serem perpendiculares o
produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a menos um. Assim,
�⍊! �" #$∙#& ��1onde#$ é o coeficiente angular da reta s e,#& é o
coeficiente angular da reta r. Quando se isola a incógnita y em uma equação
reduzida da reta do tipo' � (� � � � 0, tem-se que � � � *+ � ,
+.
Então, disso decorre que,
#& � �*+�" #& � �
�.
Logo, o coeficiente angular da reta s é dado por#$ � �2.Desse modo tem-
seque,' � �2 e( � 1, pois #$ � �*+. Assim, como anteriormente, para que as retas
r e s sejam perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1.
Logo, a equação reduzida da reta s é dada por
�: �2� � 3� � 1�� � 1� � 0
�: �2 � 6 � � � 1 � 0
�: � 2 � 7 � ��
�: � � 2 � 7.
33
A partir do exemplo do livro foi elaborada uma atividade, ilustrada na figura
12, que requer a determinação de uma reta perpendicular a uma reta r dada.
Figura 12 – Atividade 4 que explora o perpendicularismo entre duas retas.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Nessa atividade é necessário digitar os valores dos coeficientes a e b que irão
determinar uma reta s que deverá ser perpendicular a uma reta r dada. No momento
em que são inseridos os valores corretos para a e b, o recurso irá exibir uma
mensagem indicando que está correto e, se for o caso, irá calcular o ângulo formado
entre as retas r e s, para validar a resposta conforme ilustrado na figura 13.
34
Figura 13 – Atividade 4 que explora a perpendicularidade entre duas retas após a inserção dos valores.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Se os valores para a e b e estes estão incorretos, o recurso não irá exibir a
reta s e exibirá uma mensagem solicitando para entrar com outros valores para a e
b.
3.1.5 Atividade 5 – Posições relativas entre um pon to e uma circunferência
Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exercício
apresentado no livro Smole e Diniz (2005). A atividade apresentada originalmente é
ilustrada na figura 14, sendo constituída de dois itens que solicitam realizar a análise
das posições relativas dos pontos A, B e C em relação à circunferência.
Figura 14– Exemplo que calcula as posições relativas entre um ponto e uma circunferência. Fonte: Smole e Diniz, 2005, p.104.
35
Para desenvolver está atividade o aluno deve ter em mente o que representa
as posições relativas entre um ponto e uma circunferência. A atividade como
inicialmente proposta no livro didático deve ser resolvida algebricamente da seguinte
maneira: considerar que a equação da circunferência é da forma .: + � + 4 −
8� − 16 = 0 e o ponto A tenha coordenadas � = �3,3�.
Reescrevendo a equação e substituindo as coordenadas do ponto A tem-se
que:
.: + � + 4 − 8� = 16 (1)
�3� + �3� + 4�3� − 8�3� = 9 + 9 + 12 − 24 = 6 < 16.
Logo a distância do ponto A até o centro C da circunferência,�23·, é menor
que o raio r(ou seja, �23 < !�. Assim, conclui-se que, � � �3,3� pertence à região
interior a circunferência (1).
Agora é apresentada a circunferência da forma .: � � � 4 − 8� − 16 = 0
e o ponto B de coordenadas � = �3, −2�. Reescrevendo a equação e substituindo as
coordenadas do ponto B resulta que
.: + � + 4 − 8� = 16
�3� + �−2� + 4�3� − 8�−2� = 9 + 4 + 12 + 16 = 70 > 16.
Logo, a distância do ponto B até o centro C da circunferência,�43·, é maior
que o raio r, (ou seja,�43 > !). Com isso obtém-se que o ponto � = �3, −2� pertence
a região exterior a circunferência �1�.
Por último, se tem a circunferência da forma .: + � + 4 − 8� − 16 = 0 e o
ponto C de coordenadas � = �−2,10�.Reescrevendo a equação e substituindo as
coordenadas do ponto D tem-se que:
.: � � � 4 − 8� = 16
�−2� + �10� + 4�−2� − 8�10� = �4� + �100� − 8 − 80 = 16.
36
Assim, a distância do ponto D até o centro C da circunferência, �53, é igual ao
raio r, (�53 � !�. Portanto, o ponto 6��2,10� pertence à circunferência de equação
(1).
A partir do exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade ilustrada
na figura 15. Essa atividade requer a determinação de uma circunferência em que o
ponto A, determinado aleatoriamente ao selecionar o botão apresentado pelo
recurso, satisfaça um dos casos: pertença à circunferência, pertença à região interior
ou à região exterior da circunferência. O aluno deve entrar algebricamente com a
equação reduzida da circunferência de modo que no primeiro item da atividade o
ponto A pertença região interior a circunferência, no segundo item, o ponto A
pertença à circunferência e, no terceiro item, o ponto A pertença à região exterior da
circunferência.
Figura 15 – Atividade 5 que explora posições relativas entre um ponto e uma circunferência.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
O botão “Ponto A” permite obter diferentes pontos no sistema cartesiano xy.
Dessa forma, é possível uma utilização mais ampla do recurso para explorar a
posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência. Esta atividade é
composta por três subitens que abordam os três casos de posições relativas entre
37
ponto e circunferência. Após digitar a equação da circunferência o aluno terá que
calcular a distância do ponto até o centro para conferir se a distância entre o ponto e
o centro é menor, igual ou maior que o raio. Em cada item, quando se digita os
valores para a equação da circunferência e, estes estão incorretos, o recurso exibirá
uma mensagem solicitando que seja inserida nova equação.
38
4 – CONCLUSÕES
Abordando alguns conteúdos de Geometria Analítica e aliando-se o uso do
software GeoGebra notou-se no decorrer deste trabalho diversas contribuições que
este proporcionou. Tanto em termos de apropriação de diversos comandos e
potencialidades do software utilizado que eram até então desconhecidas, bem como,
em termos de compreensão do conteúdo envolvido.
No início do trabalho as dificuldades em manipular o software eram muitas.
Assim foi feito um estudo detalhado do recurso. Embora tenham sido desenvolvidas
apenas cinco atividades no GeoGebra estas demandaram bastante tempo e
pesquisa para a sua elaboração.
Para que ouso de recursos tecnológicos no ensino de conteúdos
matemáticos, basicamente de softwares, representem possíveis contribuições na
aprendizagem devem-se conhecer as potencialidades do recurso para que se possa
elaborar atividades que se constituam mais do que uma transposição do livro
didático. Nesse sentido, o GeoGebra pode servir de auxílio no ensino de
matemática, pois através do mesmo o aluno pode visualizar construções feitas no
computador e, ainda, usar o aspecto dinâmico que o aplicativo oferece, ou seja,
manipular as figuras construídas podendo observar as mudanças que ocorrem
quando se muda de posição uma figura já construída. Além disso, acredita-se que,
os recursos tecnológicos quando aliados ao ensino de matemática possam
dependendo da forma como são constituídas as atividades, permitir ao aluno refletir,
explorar e criar conjecturas contribuindo-se dessa forma para sua aprendizagem.
Por último, o desenvolvimento deste trabalho trouxe contribuições
significativas na formação inicial auxiliando para que futuramente se possam realizar
atividades didáticas que incluam o uso dos recursos tecnológicos, pois foi no
processo de elaboração das atividades utilizando o software que se pode perceber
que, ao inseri-lo em uma atividade, a forma de explorar o conteúdo se modifica.
39
5. REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS
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FRANCHI, R. H. O. L. Caracterização de ambientes de aprendizagem da Matemática através da Informática. In: 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática, São Paulo. Resumos do 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática, 2006.
GEOGEBRA. Link para download. Disponível em:<https://www.geogebra.org/>.Acesso em: 30 maio. 2015.
GRAVINA, M. A. Matemática, Mídias Digitais e Didáticas: tripé para formação de professores de matemática. Porto Alegre: Evangraf, 2012. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/livros/livro2-matematica_midiasdigitais_didatica.pdf>. Acesso em:20 mai. 2015.
MORAN, J. Educação e Tecnologias: Mudar pra valer , 2001. Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/moran/site/textos/tecnologias_eduacacao/educatec.pdf>.Acesso em: 10 maio. 2015.
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SAINT, J. O. Cabri Geomètre , Revista do Professor de Matemática. Rio de janeiro: SBM, n. 29, 1995, p.36-40.
40
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V. Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Saraiva 2010.p. 32-131.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA. Centro de Ciências Naturais e exatas. Projeto Pedagógico do Curso de Matemática – Licen ciatura (Noturno). Santa Maria, 2013. Disponível em:<http://w3.ufsm.br/coordmat/Lic_not.html>. Acesso em: 15 abr. 2015.
VALENTE, J. A. Pesquisa e Comunicação e aprendizagem com o computa dor . O papel do computador no processo de ensino e apren dizagem. In: BRASIL, ministério da Educação. Integração das Tecnologias em na Educação, SEED, 2005. p.22-31.