TOPO 1

ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

3ra Edición

Huancayo - Perú

Mayo - 2005

CONTENIDO.

UNCP-FACULTAD DE MINAS ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

AGRADECIMIENTO

INTRODUCCION

GLOSARIO

CAP.I.

1.-TEORIA DE ERRORES.

- EXACTITUD

- PRECISION.

1.1. ORIGEN DE LOS ERRORES.

1.2. CLASES DE ERRORES.

1.3. VALOR PROBABLE SIMPLE.

1.4. VALOR PROBABLE PONDERADO.

1.5. MAGNITUD DE ERRORES.

1.6. ERROR PROBABLE.

1.7. ERROR PROBABLE PONDERADO.

2. ORIENTACIÓN DE PLANOS.

2.1. RUMBOS.

2.2. AZIMUTS.

2.3. CONVERSIÓN DE RUMBOS-AZIMUTS Y VICEVERSA.

2.4. NORTE MAGNETICO.

2.5. DECLINACIÓN MAGNETICA.

3. ESCALAS.

3.1. ESCALA NUMÉRICA

3.2. ESCALA GRAFICA.

4. MEDICION DE DISTANCIAS.

4.1. MEDICION DIRECTA.

4.2. MEDICION INDIRECTA.

5. MEDICION DE ANGULOS.

5.1. ANGULOS POR REPETICIÓN.

5.2. ANGULOS POR REITERACIÓN.

2


CAP.II

1. POLIGONACIÓN.

1.1. POLIGONACIÓN CERRADA.

1.1.1. MEDICION DE LADOS.

1.1.2. MEDICION DE ANGULOS.

1.2. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS.

1.2.1. POLÍGONOS POR DESVIACIÓN O DEFLEXIONES.

1.2.2. POLIGONOS POR AZIMUTES.

1.2.3. POLÍGONOS POR ANGULOS INTERNOS.

2. ERROR DE CIERRE ANGULAR Y LINEAL.

2.1. ERROR DE CIERRE ANGULAR.

2.2. ERROR DE CIERRE LINEAL.

2.2.1. ERROR RELATIVO.

2.3. CLASIFICACION DE UNA POLIGONAL POR SU ERROR RELATIVO Y

ANGULAR.

2.3.1. COMENTARIO.

3. COMPENSACIÓN ANGULAR Y LINEAL.

3.1. COMPENSACIÓN ANGULAR.

3.1.1. POLIGONAL CERRADA.

3.1.2. POLIGONAL ABIERTA.

3.2. COMPENSACIÓN LINEAL.

4. CALCULO DE AZIMUTS Y COORDENADAS.

4.1. AZIMUTS.

4.2. COORDENADAS.

5. CALCULO DE COTAS.

5.1. METODO GEOMÉTRICO.

5.2. METODO TRIGONOMETRICO.

CAP III

3


1.- ALTIMETRIA.

1.1. NIVELACION TOPOGRÁFICA.

1.2. PRINCIPIO DE NIVELACION.

1.3. TIPOS DE NIVELACION.

1.4. NIVELACION GEOMÉTRICA.

1.4.1. NIVELACION SIMPLE.

1.4.2. NIVELACION COMPUESTA.

1.4.3. NIVELACION RECIPROCA.

1.4.4. COMPENSACIÓN.

1.4.5. ERROR MÁXIMO PERMISIBLE.

1.5. NIVELACION TRIGONOMETRICA.

1.6. NIVELACION BAROMÉTRICA.

1.7. LIBRETA DE CAMPO.

1.8. CURVAS DE NIVEL.

1.8.1. EQUIDISTANCIAS.

1.8.2. CARACTERISTICAS DE LAS CURVAS.

1.8.3. METODO PARA GRAFICAR CURVAS DE NIVEL.

1.9. PERFILES LONGITUDINALES Y TRANSVESALES.

4


AGRADECIMIENTO

El avance tecnológico con el apoyo de la informática esta creciendo a pasos

agigantados, y como una herramienta de apoyo estamos contribuyendo en la formación de

los estudiantes de ingeniería, técnicos y profesionales, en calidad de docente de la Facultad

de Ingeniería de Minas de la Universidad Nacional del Centro del Perú agradezco a todos

los que aportaron en la elaboración del presente manual con el planteamiento de los

problemas, ejercicios en la diagramación, edición, así mismo a los que adquirieron e

hicieron las recomendaciones del caso.

Con la aparición de la primera edición con un tiraje mínimo exclusivamente para

los estudiantes de la Facultad de Minas que fue un aporte de gran envergadura, visto la

acogida nos vimos en la necesidad de editar la segunda edición con ciertas modificaciones

y con problemas tipo, desde la fecha de edición transcurrió tres años, iniciado el año

académico 2005 por requerimiento de los estudiantes de la Facultades donde llevan el

curso de topografía no empeñamos en elaborar la 3ra edición, Para fundamentar mejor el

curso se hizo las modificaciones en el planteamiento de los problemas de comunicaciones

incidiendo en el aspecto tridimensional, los mismos que son utilizados en desarrollo de

labores horizontales, verticales e inclinadas, también se incremento las técnicas de

peritaje de campo, los procedimientos de cálculos en comunicación de linderos en las

propiedades en profundidad, como determinar o cubicar los internamientos de una

propiedad a otra.

Para la edición del presente tiraje, contamos con la colaboración de los profesionales que

laboran en la Universidad Nacional del Centro del Perú.

GRACIAS.

5


INTRODUCCION

Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez más a la era de la

informática, para el cual debemos estar preparados de acuerdo al avance de la tecnología

para desarrollar nuevos modelos matemáticos, esto nos permitirá realizar algoritmos, para

el caso específico del curso se desarrollará paso a paso como llegar al resultado final del

problema. En el presente texto nos ocuparemos exclusivamente al desarrollo práctico del

curso, iniciando por una POLIGONACIÓN y luego realizar la NIVELACION, sabiendo

que para hacer un levantamiento topográfico es de vital importancia conocer las principales

redes de apoyo para tener el éxito esperado, como es de esperar el estudiante debe estar en

la capacidad de desarrollar algoritmos para una Nivelación y Poligonación el cual será un

gran aporte dando consistencia al levantamiento topográfico.

Dentro de una poligonación veremos desde el reconocimiento del terreno,

monumentación de hitos en los vértices, cálculos de ángulos, distancias y llegar al objetivo

final de obtener las coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que

será mediante un programa CAD y realizar la impresión respectiva.

El Autor

6


GLOSARIO.

El curso de topografía general por su naturaleza y por ser una ciencia aplicada que se

encarga de determinar las posiciones relativas ó absolutas de los puntos sobre la tierra, el

mismo que estudia los métodos y procedimientos para realizar las mediciones sobre el

terreno y su representación gráfica, para ello es necesario conocer algunas definiciones

para entender el contenido del curso:

1.- ASTRONOMIA.- Ciencia a fin a la topografía que nos permite relacionar la posición

de la tierra con otros astros y por lo tanto ubicar los puntos sobre la corteza terrestre.

2.- AZIMUT.- Es el ángulo horizontal que se mide entre dos puntos, para trabajos

topográficos normalmente se mide a partir del Norte en sentido de las agujas del reloj

dentro de los 360°, el azimut puede ser a partir del Norte magnético, verdadero ó

U.T.M.

3.- BRUJULA.- Instrumento topográfico de gran importancia que sirve para determinar la

orientación de un alineamiento, esta constituido por una caja en el cual se encuentra

una aguja imantada apoyado sobre un pivote en el centro de gravedad, el mismo que

gira libremente, la aguja siempre esta orientada en sentido de las líneas magnéticas por

lo que uno de los extremos indica el norte y el otro al Sur.

4.- CARTOGRAFIA.- La cartografía tiene bastante relación con la Topografía y

Geodesia, Por que la cartografía nos da la técnica como representar los planos sobre

una carta ó mapa, en vista que la tierra es una superficie curva y rugosa, para ello

utiliza métodos apropiados de proyecciones para graficar un plano.

5.- CENIT.- Esta ubicado en el plano vertical, en el cual para medir ángulos verticales el

origen ó 0° esta ubicado en la parte superior del observador.

6.- CONVERGENCIA DE MERIDIANO.- Para iniciar procedimiento de cálculos, se

conoce el Norte Magnético, verdadero y U.T.M. entonces, convergencia de meridianos

viene a ser el ángulo formado por la línea que indica el Norte verdadero y el Norte

cuadrícula ó U.T.M.

7


7.- COORDENADAS.- Las coordenadas vienen a ser los ejes X e Y, que se ideo para

representar ó graficar los planos en función a sus cuadrantes.

8.- CURVAS DE NIVEL.- Denominado también como curvas horizontales, son líneas

que unen los puntos que se encuentran a una misma altura ó elevación, es de

importancia para determinar la característica física del terreno el mismo que servirá

para realizar los proyectos de ingeniería.

9.- DECLINACION MAGNETICA. Se dice que las agujas de la brújula siempre indican

la dirección de las líneas magnéticas terrestre, los mismos que no coinciden con el

Norte verdadero ó físico de la tierra, por lo que el polo magnético tiende a variar en el

transcurso del tiempo, entonces la declinación magnética viene a ser el ángulo

formado por el Norte Magnético y el Norte Verdadero.

10.- DIAMETRO ECUATORIAL.- Distancia aproximada es 12’756,776 metros.

11.- DIAMETRO POLAR.- Distancia de polo a polo, 12’714,047 m. aproximad.

12.- DIBUJO.- Proceso que consiste en representar gráficamente en el papel los datos

tomados en campo a una escala determinada.

13.- DISTANCIOMETRO.- Instrumento que sirve para medir distancia mediante rayos

laser con el apoyo de primas.

14.- ECLIMETRO.- Instrumento topográfico muy sencillo que se deriva del nivel, en el

que ha sido incorporado un semi círculo graduado, en el cual se puede leer los

ángulos sexagesimales de acuerdo a la inclinación, la graduación se inicia en el

centro del semi círculo con 0° hacia ambos lados hasta 90°.

15.- ESCALA.- Es una comparación fija que existe entre las dimensiones del terreno y el

papel, es un incremento ó disminución en forma proporcional del tamaño verdadero

de un terreno, las escalas pueden representarse numéricamente ó gráficamente.

8


16.- ESTACION TOTAL.- Es un teodolito electrónico que viene incorporado un

distanciómetro, instrumento más completo hasta el momento, que puede medir

ángulos horizontales, verticales y distancias electrónicamente con el apoyo de

prismas.

17.- ESTADIA.- La estádia viene a ser una regla graduada que sirve para medir la

distancia taquimétricamente con el teodolito, la estádia llamada también mira,

instrumento que tiene una longitud de 2 a 4 mts. Pintadas generalmente entre rojo y

negro con fondo blanco.

18.- GEODESIA.- Ciencia a fin a la topografía, que tiene por objeto tomar medidas sobre

la superficie de la tierra considerando la curvatura de la corteza terrestre, su

aplicación es para grandes extensiones de terreno.

19.- GEOIDE.- Es una línea imaginaria de la tierra considerada al nivel medio del mar,

formando una superficie imaginaria esferoidal, cuyos elementos son normales a la

dirección de la gravedad.

20.- G.P.S.- (SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL) Es un instrumento de

última generación, que determina las coordenadas geográficas, U.T.M. y altitud de

un punto topográfico, mediante triangulaciones esféricas con el apoyo de los satélites

que giran alrededor de la tierra.

21.- JALON.- Es una varilla de madera, acero, aluminio u otro material adecuado, cuya

dimensión debe ser entre 2 a 3 mts, uno de los extremos termina en punta, están

pintadas alternadamente entre rojo y blanco cada 50 cm. sirve para ubicar ó indicar

los puntos topográficos temporales mientras dure las lecturas ó medidas.

22.- LIBRETA DE CAMPO.- Es la libreta donde se anotan los datos tomados en el

levantamiento de campo, el mismo que tiene que ser de gran cuidado por que de ello

depende el resultado del trabajo.

9


23.- NADIR.- Es opuesto al Cenit, ó sea el origen ó 0° está ubicado en la parte inferior del

operador.

24.- NIVELES.- Instrumento que sirve para mantener las líneas de proyección a una

misma altura, determinar la diferencia vertical entre dos puntos con el apoyo de las

miras estadimétricas, dentro de los Niveles se distingue niveles de burbuja, de

cámara, de anteojo de ingeniero, entre otros.

25.- PLANIMETRO.- Instrumento topográfico que sirve para determinar el área de un

terreno, que consiste en un brazo flexible en el extremo tiene una aguja con el cual se

recorre el perímetro irregular del terreno a calcular y al extremo opuesto tiene un

tambor graduado en el cual se observa el número de vueltas que da, y a una escala

determinada se calcula el área mediante fórmulas.

26.- PLOMADA.- Es un instrumento topográfico más sencillo ó tal vez el más antiguo, su

peso generalmente oscila entre 200 a 300 gr. Es utilizado para trabajos especiales

(topografía Subterránea) se emplean plomadas desde 5 a 8 Kg de peso.

27.- PUNTOS TOPOGRAFICOS.- Son puntos físicos que se materializan sobre el

terreno desde los cuales se inicia las mediciones de distancia, ángulos horizontales,

verticales, diferencias de alturas, pueden ser temporales y permanentes.

28.- REPLANTEOS TOPOGRAFICOS.- Operación que consiste en llevar los datos

obtenidos en el laboratorio a partir de los proyectos al campo para ubicar los puntos

para ejecutar la obra.

29.- RUMBO.- Es el ángulo formado a partir del eje Norte-Sur los mismos que se

representarán en sus respectivos cuadrantes, con la siguiente nomenclatura:

En el I cuadrante Nor-Este (NE).

En el II cuadrante Sur-Este (SE).

En el III cuadrante Sur-Oeste (SW).

En el IV cuadrante Nor-Oeste (NW).

10


30.- SEÑALES TOPOGRAFICOS.- Para trabajos de campo es necesario tener un código

de señales para poder comunicarse entre los operadores, los mismos que podría ser

hechas por medio de las manos, objetos de colores (banderolas), silbatos, para

distancia mayores se pueden utilizar radios comunicadores portátiles.

31.- TEODOLITO.- Instrumento topográfico más completo que existe en el mercado,

sirve par medir ángulos horizontales, verticales y distancia taquimétricas con el

apoyo de la estádia, Estación Total tienen gran alcance y precisión para los

levantamientos topográficos.

32.- TOPOGRAFIA.- Es una ciencia aplicada que nos enseña a efectuar mediciones sobre

la superficie terrestre y representarlos gráficamente en el papel, La topografía

considera a la superficie de la tierra como plana en una extensión aproximada de 625

Km2 ó un cuadrado de 25 Km de lado

33.- U.T.M.- Sistema de proyección cartográfica que ayuda a la topografía a representar

los planos para una buena interpretación.

34.- WINCHA.- Es una cinta graduada en centímetros ó pulgadas, sirven para medir las

distancias entre dos puntos, están fabricadas de lona, acero, fibra de vidrio, para

trabajos topográficos están graduados por temperatura, tensión y longitud verdadera,

vienen cintas de 10, 20, 30, 40, 50 mts de longitud.

11


CAPITULO I

1. TEORIA DE ERRORES.

Dentro de las mediciones que realiza el topógrafo, esta obligado a conocer los

diferentes errores posibles que se pueda cometer en una mensura, siendo la

responsabilidad del topógrafo mantener una medición dentro de los límites permisibles

de precisión, para ello es necesario que conozca las causas de los errores, es

importante tener presente la diferencia entre precisión y exactitud.

- EXACTITUD.- Es la aproximación absoluta a la verdad (Sociedad Americana de

Ingenieros civiles); También se define como el grado de conformidad con un patrón

ó modelo (Servicios Geodésico y de costa de los EE.UU.).

- PRECISIÓN.- Es el grado de perfección con que se realiza una operación; De

ambas definiciones podemos concluir que una medición puede ser de gran precisión

con toda las unidades necesarias y no ser exacta ó viceversa.

1.1. ORIGEN DE LOS ERRORES.

- ERRORES HUMANOS.- Dentro de ello tenemos las limitaciones de los

sentidos (vista, tacto, oído) y la operación incorrecta.

- ERRORERS INSTRUMENTALES.- Causados por los ajustes defectuosos y

calibraciones erróneas de los equipos topográficos.

- ERRORES POR FENOMENOS NATURALES.- Son causados por acción

metereológica, como la temperatura, vientos, refracción terrestre, humedad y

declinación magnética.

12


1.2. CLASES DE ERRORES.

- ERROR REAL.- Es una expresión matemática ó diferencia que resulta entre la

comparación de dos cantidades, el valor más probable y el patrón, dentro de

ello puede ser positivo (exceso) ó negativo (defecto).

- ERROR SISTEMATICO Ó CONSTANTE.- es cuando se repite en una

medición la misma magnitud y el signo puede ser positivo ó negativo,

detectado el error debe cambiarse el método, el equipo ó instrumento.

- ERROR FORTUITO ó ACCIDENTAL.- Es producido por diferentes causas

ajenas a la pericia del operador, los errores fortuitos en conjunto obedecen a las

leyes de la probabilidad, puesto que un error accidental puede ser positivo ó

negativo, estos errores son llamados también errores irregulares ó ambulantes.

1.3. VALOR PROBABLE SIMPLE.

El valor más probable de una cantidad es una expresión matemática que es el

resultado de una operación de varias mediciones.

El valor más probable en la medición de una misma cantidad realizada en las

mismas condiciones, es la media de todas las mediciones.

Ejemplo.1-

Una distancia AB se mide con los siguientes resultados:

1ra lectura 123.43 mts

2da lectura 123.48 mts.

3ra lectura 123.39 mts.

4ta lectura 123.41 mts.

El valor más probable será la media de las cuatro lecturas realizadas:

13


Ejemplo 2.- En una medición de ángulos tenemos 6 lecturas en las mismas

condiciones.

a)48°20’16” b)48°20’37” c)48°20’26” d)48°20’35”

e)48°20’36” f)48°20’30”

SOLUCION.

Valor más probable es:

SUMATORIA = a)48°20’16”

b)48°20’37”

c)48°20’26”

d)48°20’35”

e)48°20’36”

f)48°20’30”

290°03’00”

Entonces V.M.P = 290°03’÷ 6 = 48°20’30”

Ejemplo 3

De un mismo punto se realiza 4 lecturas de los que se obtiene:

a) NPA 38°40’10” B

b) APB 39°50’50” A

c) BPC 76°42’40” N

d) NPC 155°13’00” P C

En esta clase de lecturas suele ocurrir que la última lectura debe ser igual a las

tres anteriores por estar afectado de los mismos errores, por que las mediciones

se hizo en las mismas condiciones, por lo tanto la discrepancia se dividirá por

el número de lecturas.

NPA 38°40’10”

APB 39°50’50”

BPC 76°42’40”

155°13’40” 155°13’00”

14


Discrepancia = 155°13’40” – 155°13’00” = 40”, comparando la suma de las

tres primeras lecturas con la última existe una discrepancia de 40”. Para

encontrar el valor más probable se divide entre 4 y el resultado restamos a los

tres primeros ángulos (a, b y c) y sumamos al último (d), como muestra el

cuadro. 40” ÷ 4 = 10”.

NPA 38°40’10” – 10” = 38°40’00”

APB 39°50’50” – 10” = 39°50’40” 155°13’00”

BPC 76°42’40” – 10” = 76°42’30” + 10”

155°13’40” – 30” = 155°13’10” = 155°13’10”

el valor más probable de los ángulos será:

NPA = 38°40’00”

APB = 39°50’40”

BPC = 76°42’30”

NPC = 155°13’10”

1.4. VALOR PROBABLE PONDERADO.

Para determinar el valor más probable ponderado de una medición se toma en

consideración el número de observaciones que se realiza para cada una de ellas, el

cual se le denomina peso, para llegar al valor más probable de diferentes

precisiones que viene a ser la media ponderada, que resulta de dividir el producto

de la medición por su peso entre la suma de pesos.

15


Ejemplo 4.

Se desea determinar el valor más probable de una medición, con varias

observaciones para cada precisión, los datos de campo es como sigue:

a) 182.459 2 veces.

b) 182.433 4 veces.

c) 182.462 5 veces.

d) 182.448 8 veces.

SOLUCION.

El número de observaciones es el peso que se le asigna

a cada lectura.

MEDICION P MED x P

a 182.459 2 364.918

b 182.433 4 729.732

c 182.462 5 912.310

d 182.448 8 1459.584

SUMA 19 3466.544

Ejemplo 5.

Los ángulos de una serie de mediciones son:

a)82°15’18” (2) b)82°15’32” (4) c)82°15’25” (5)

d)82°15’31” (6) e)82°15’22” (7).

Encontrar la media ponderada.

MEDICION P MED X P

a 82°15’18” 2 36”

b 82°15’32” 4 128”

c 82°15’25” 5 125”

d 82°15”31” 6 186”

e 82°15’22” 7 154”

SUMA. 24 629”

NOTA. En la última columna se considera solamente los segundos.

16


El valor más probable es 82°15’26.21”

1.5. MAGNITUD DE ERRORES. Teoría de errores es un tema amplio, por lo que

enfocaremos solamente lo necesario para aplicar en el curso de Topografía,

entendiendo la magnitud de errores como el tamaño del error que se comete en

una medición.

1.6. ERROR PROBABLE.- Viene a ser una cantidad positiva ó negativa, dentro de

estos límites puede encontrarse el error más probable, para ello daremos

directamente las fórmulas de aplicación, obviando su demostración.

Si: E = Error probable

= desviación Típica

v2= Sumatoria del cuadrado de las desviaciones.

v= Sumatoria de los valores absolutos de la desviación

= Media de la desviación.

v = Desviación.

n = Número de observaciones.

Ejemplo 6.

Se hizo 10 observaciones de distancia con mira estadimétrica en las mismas

condiciones ambientales y operacionales a una distancia de 150 mts.

aproximadamente verificando la nivelación después de cada lectura. Calcular el

error más probable de las lecturas.

17


LECTURAS LECTURAS

1. 150.045 6. 150.047

2. 150.048 7. 150.040

3. 150.039 8. 150.041

4. 150.038 9. 150.042

5. 150.046 10. 150.044

SOLUCION.

1) Hacemos cálculos previos para obtener la desviación, promedio de lecturas.

LECTURAS V V 2 .

1. 150.045 0.002 0.000004

2. 150.048 0.005 0.000025

3. 150.039 0.004 0.000016

4. 150.038 0.005 0.000025

5. 150.046 0.003 0.000009

6. 150.047 0.004 0.000016

7. 150.040 0.003 0.000009

8. 150.041 0.002 0.000004

9. 150.042 0.001 0.000001

10.150.044 0.001 0.000001

n=1500.43 v=0.03 v2=0.00011

Med = 150.043 = 0.003

El error más probable de las lecturas resultara de la aplicación de las fórmulas.

18


De la aplicación de estas fórmulas concluimos que la segunda y tercera son las

más recomendables.

1.7. ERROR PROBABLE PONDERADO. El valor más probable esta afecto de un

error más probable, el mismo que se calcula con la siguiente formula

Si: (WV2)= Sumatoria del producto de pesos por el cuadrado de la desviación.

w = Sumatoria de pesos.

n = Número de observaciones.

Ejemplo.7

En una lectura de campo se desea saber cual es el error más probable que se puede

haber cometido en la medición.

a) 182.459 (2), b)182.433 (4) c)182.462 (5), d)182.448 (8)

SOLUCION.

LECTURAS V V 2 W W*V 2

182.459 0.0085 0.00007225 2 0.0001445

182.433 0.0175 0.00030625 4 0.001225

182.462 0.0115 0.00013225 5 0.00066125

182.448 0.0025 0.00000625 8 0.00005

19 0.00208075

Aplicando la formula tenemos que:

19


En las lecturas de campo el error más probable que se puede estar cometiendo es

4.075 mm.

Ejemplo 8

Calcular el error más probable de las siguientes mediciones:

a) 82°15’18”(2), b) 82°15’32”(4), c) 82°15’25”(5), d) 82°15’31”(6), e)

82°15’22”(7).

SOLUCION.

LECTURAS V V 2 W W * V 2 .

a) 82°15’18” 7.6” 57.76 2 115.52

b) 82°15’32” 6.4” 40.96 4 163.84

c) 82°15’25” 0.6” 0.36 5 1.8

d) 82°15’31” 5.4 29.16 6 174.96

e) 82°15’22” 3.6 12.96 7 90.72

24 546.84

Los cálculos se realizan con los segundos porque los grados y minutos se

mantienen constante.

El error más probable es 1.61”, que se puede estar cometiendo al calcular el

valor más probable en la media ponderada.

2. ORIENTACION DE PLANOS

La orientación es la dirección de un alineamiento con respecto a un meridiano dado, las

orientaciones que se representa en un plano puede ser mediante Rumbos ó Azimuts.

20


2.1. RUMBOS.- Es la orientación de un alineamiento que tiene su origen en el

meridiano N-S formando un ángulo agudo, dentro del cuadrante se puede medir

los ángulos hasta 90°.

N.M.

IV CUADRANTE I CUADRANTE

D A 48° 65°

W O E

III CUADRANTE 30° 53° B

C II CUADRANTE

S

En la siguiente figura se tiene el meridiano N-S y un paralelo E-W en el que se

representa los cuadrantes, I, II, III y IV, La nomenclatura en el primer cuadrante

(OA) N65°E, en el segundo cuadrante (OB) S53°E, en el tercer cuadrante (OC)

S30°W y en el cuarto cuadrante (OD) N48°W.

2.2. AZIMUT.- El azimut de un alineamiento es el ángulo formado en sentido de las

agujas del reloj ó hacia la derecha a partir de un meridiano de referencia, se puede

medir de 0 a 360° el meridiano de referencia puede ser Magnético, verdadero ó

supuesto. En el siguiente cuadro muestra los ángulos azimutales en sus

respectivos cuadrantes.

21


El acimut en el 1er cuadrante es 55°, en el 2do cuadrante 146°, en el 3er cuadrante

225° y en el 4to cuadrante 312°

2.3. CONVERSION DE RUMBOS-AZIMUTES Y VICEVERSA.

Para convertir Rumbos a Azimuts se aplica la siguiente relación:

En el I cuadrante el Z = R

En el II cuadrante: Z = 180° - R

En el III cuadrante: Z= R + 180°

En el IV cuadrante: Z = 360° - R.

Z = Azimut.

Para calcular Rumbos a partir de Azimut despejamos “R” de la relación anterior.

Ejemplo 9

En un levantamiento con brújula desde un punto (O) se tienen las siguientes

visuales, B) 148°38’, C) 256°35’ A) 88°46’ y D)349°20’, determinar su rumbo de

cada alineamiento y ubicar su cuadrante.

22


SOLUCION:

ROP = 180°-148°38’= S 31°22’ E II Cdte.

ROQ = 256°35’-180°= S 76°35’ W III Cdte.

ROR = 88°46’ = N 88°46’ E I Cdte.

ROS = 360°-349°20’ = N 10°40’ W IV Cdte.

2.4.- NORTE MAGENTICO.- La aguja de la brújula indica la orientación de las líneas

magnéticas de la tierra, éste punto tiende a variar en el transcurso del tiempo por

lo que los levantamientos preliminares se realizan orientando al Norte Magnético.

Mientras el NORTE VERDADERO se mantiene fijo, es el polo físico de la tierra.

2.5. DECLINACION MAGNETICA.

La declinación magnética viene a ser el ángulo formado por el Norte Magnético y

el Norte Verdadero, en los levantamientos topográficos antiguos para un replanteo

actual es necesario corregirse por declinación magnética para llegar a ubicar la

orientación verdadera.

23


Ejemplo 10.

En un levantamiento con brújula en 1975 se visa un eje “OP” con rumbo de

S19°25’E, sabiendo que en aquel entonces su declinación magnética fue de 5°48’E,

se desea saber el Azimut verdadero de dicho alineamiento.

SOLUCION:

Si S19°25’E = ZOP=160°35’.

D.M.= 5°48’E

El ZV = ZOP + D.M.

ZV = 160°35’+ 5°48’= 166°23’

Ejemplo 11.

El Rumbo de un lindero “OP” en 1970 era N 83°12’25”E, y su declinación

magnética fue 6°18’E, se sabe que la variación anual es de 6’18”W; Cual es el

rumbo y Declinación magnética actual. 2001 y 1970

24


SOLUCION:

R70 = N 83°12’25” E (magnético)

Z70 = 83°12’25” (magnético)

DM1970. = 6°18’E (declinación magnética)

Entonces, Acimut verdadero (ZV) será:

ZV = Z70 + DM70

ZV = 83°12’25” + 6°18’= 89°30’25”

Tiempo que transcurrió el levantamiento desde 1970.

T = 2001 – 1970 = 31 Años.

Variación Magnética en 31 años.

V.M.A.= 6’18”W (Variación Magnética Anual)

V.M =6’18” x 31 = 195’18” = 3°15’18”W

La Declinación Magnética Actual (2001) será:

DM2001.= 6°18’ – 3°15’18” = 3°02’42”E

El Rumbo magnético actual (2001) será:

R2001 = Zv – D.M2001

R2000 = 89°30’25” – 3°02’42” = N 86°27’43” E.

Respuesta:

Declinación Magnética Actual es 3°02’42”E

Rumbo magnético Actual es N 86°27’43”E

25


Ejemplo 12.

Si el Rumbo Magnético actual “OP” Es S36°20’W, calcular el Azimut geográfico,

sabiendo que la declinación magnética en 1985 fue de 3°05’E, y su variación

magnética anual es 45”W.

SOLUCION:

ZV = ?

R2001 = S36°20’W.

Z2001 = 180° + 36°20’ = 216°20’

DM1985 = 3°05’E

VMA.= 45”W

Tiempo del levantamiento.

2001 – 1985 = 16 años.

VM.= 16 x 45” = 720” = 12’W

DM2001 = 3°05’ – 12’ = 2°53’E.

ZV = 216°20’ + 2°53’ = 219°13’

Respuesta: Azimut verdadero de “OP” es 219°13’

DM2001 = 2°53’E.

26


Ejemplo 13.

Se desea replantear una línea “PQ” sabiendo que el Rumbo Magnético en 1955

era de S32°40’E y su declinación magnética 7°35’E, determinar cual es el Rumbo

verdadero y el Rumbo magnético actual, si la Declinación actual es 2°20’W.

SOLUCION:

R = S 32°40’E (Rumbo magnético)

DM1955. = 7°35’E

Z magnético para 1955 es:

Z = 180 – 32°40’ = 147°20’

El ZV = ZM + DM55.

ZV = 147°20’ + 7°35’ = 154°55’

Rumbo verdadero:

RV = 180° - 154°55’ = S 25°05’ E.

El Azimut magnético actual es, el azimut verdadero más DMACTUAL, por estar

declinando hacia el W.

DMACTUAL. = 2°20W (Declinación magnética)

ZACTUAL = 154°55’ + 2°20’ = 157°15’ (Azimut actual)

Por lo tanto el Rumbo Magnético actual es la diferencia de 180° por estar en el

2do cuadrante.

RMAG-ACT.= 180° - 157°15’ = S 22°45’ E.

27


Respuesta:

El Rumbo verdadero es S 25°05’E.

El Rumbo magnético actual es S 22°45’E

Ejemplo 14

En un replanteo actual de un canal de irrigación se mide 800 mts de longitud con

un Rumbo de S18°25’W y una declinación magnética de 2°40’E: Revisando los

archivos se encuentra que fue levantada en 1960 y su declinación magnética era

8°35’W; Determinar el Rumbo magnético en 1960, Variación Magnética Anual.

SOLUCION.

R2001 = S 18°25’ W

DM2001 = 2°40’E.

Calculando el Z actual.

Z2001 = 180° + 18°25’ = 198°25’.

Para el ZV se suma la DM2001 al ZM

ZV = 198°25’ + 2°40’ = 201°05’

Para el Z60 se suma DM60 por declinar al W

DM60 = 8°35’W

Z60 = 201°05’ + 8°35’ = 209°40’

Para obtener el R60 restamos 180° por estar en el 3er cuadrante.

R60 = 209°40’ – 180° = S 29°40’ W.

La variación magnética viene a ser desde 1960 hasta 2001.

2°40’ + 8°35’ = 11°15’ y la variación magnética anual es entre 41 años

transcurridos, 11°05’/41 = 16’13.17”E.

PROBLEMAS PROPUESTOS.

a) Deseamos replantear el eje de una carretera, si en el plano de 1980 encontramos

un Rumbo de S54°39’50”E y su Declinación Magnética de 48’30”W,

conociendo su variación magnética a la fecha de 2°5’10”W, determinar su

28


Rumbo verdadero; Azimut, Rumbo magnético y Declinación magnética

actual(2001) y su Variación Magnética Anual.

Rspta: RV = S55°28’20”E; Z2001=127°25’20”; R2001=S52°34’40”E;

DM2001=2°53’40”W; V.M.A.=6’35.26”W.

b)La orientación actual (2001) de un cable de alta tensión tiene un Rumbo de

N32°18’W, con una declinación magnética de 1°20’W, sabiendo que el trabajo

fue realizado en 1976 cuando la declinación magnética era de 2°5’E,

determinar: Rumbo verdadero, Rumbo magnético de 1976 y variación

magnética anual.

Rpsta: RV=N33°38’W; R76 = N35°43’W; VMA=8’12”W

3. ESCALA La escala es una relación de comparación entre el terreno y las dimensiones

en el papel, teniendo en cuenta que una escala se elige en función al tamaño del terreno

y del papel a dibujarse, las escalas más conocidas son las numéricas y gráficas.

3.1. ESCALA NUMERICA.- Las representación numéricas de las escalas más

conocidas son: 1/100, 1/200, 1/500, 1/750, etc. Si 100 metros de terreno se

representa en 1 metro de papel, la escala será 1/100, ó equivale a decir que en 1

cm. de papel se representa 100 cm de terreno, la escala será 1/100, ambas

expresiones (numerador y denominador) deben estar en la misma unidad.

Si la expresión 1/100 = 1/E, donde 1 representa el papel (P),y E representa el

terreno (T).

Con esta relación podemos calcular el tamaño del terreno, tamaño

de papel y la escala a dibujarse.

Ejemplo 15.

Determinar el tamaño del papel para dibujar un terreno de 2 Km, a una escala de

1/2500.

29


SOLUCION.

De la relación 1/E = P/T, Se tiene que:

1/E = 1/2500;

P = ? Papel

T = 2 Km.(Terreno)

Respuesta: Se necesita 80 centímetros de papel.

Ejemplo 16.

Una falla mineralizada en el papel esta representada por 12.5 cm. a una escala de

1/15000, cual será la longitud de la falla en el terreno.

SOLUCION.

Partiendo de la relación se tiene:

P = 12. Cm.

T = ?

, donde:

T = 187500 cm. = 1.875 Km.

Respuesta: La falla mide 1.875 Km.

Ejemplo 17.

En un levantamiento de una carretera en línea recta se mide 7.5 Km. se quiere

dibujar en un papel A3, determinar a que escala se dibujará.

SOLUCION.

;

1/E = ?

T = 7.5 Km.

30


P = Tamaño del papel A3 es 420 x 297 mm. El largo del papel es 42 cm. Para

dibujar descontamos los márgenes 1.5 a cada lado, total 3 cm. Entonces el papel

tendrá un tamaño de 42 – 3 = 39 cm.

Luego, 0

Para realizar la operación ambas cantidades deben estar en la misma unidad.

Entonces la escala a dibujarse debe ser 1/20000.

NOTA: Cuando “E” es una cantidad diferente a la escala

conocida, se redondea a una cantidad inmediata superior, tal como 20000;

3.2. ESCALA GRAFICA Es una recta dividida en partes iguales que representa una

porción de longitud de terreno en un mapa, Así por ejemplo en el gráfico, 1 cm

representa a 100 m. Desde el punto 0 m. se subdivide hacia la izquierda en diez

partes iguales para tomar detalles en el plano y hacia la derecha se divide cada

centímetro. Las divisiones pueden tomar otras cantidades como 2, 3, 4 cm. etc. Y

representar cantidades como 200, 500, 1000 m. ó 2, 3, 5 Km. etc. De acuerdo al

plano que se quiera dibujar.

1 cm 0 cm 1 cm 2 cm.

100 m 50 0 100 m 200 m

4. MEDICION DE DISTANCIAS.

En los levantamientos Topográficos las distancias medidas pueden ser horizontales ó

inclinadas, si se miden en un mismo nivel las distancias serán horizontales, si la

distancia entre dos puntos esta afecto de un ángulo vertical la distancia será inclinada,

estas distancias generalmente para su representación en un plano se reduce al horizonte

ó su proyección en el plano horizontal,.las distancias se pueden medir directa ó

indirectamente.

4.1. MEDICION DIRECTA.- Es cuando el operador actúa directamente sobre el

objeto a medir, normalmente tomando una wincha sobre el terreno, para el cual

31


debe tener en cuenta y evitar los errores que se puedan cometer al momento de

medir, pueden ser errores metereológicos, humanos, instrumentales etc. Después de

la medición debe realizar las correcciones respectivas como, corrección por

temperatura, catenaria, horizontalidad longitud verdadera, y tensión.

4.2. MEDICION INDIRECTA.- Ocurre cuando el terreno es accidentado y no puede

utilizarse con facilidad la wincha, sobre todo cuando las distancias son grandes,

para la medición indirecta de distancias se utiliza instrumentos mecánicos ó

electrónicos, los teodolitos son los indicados, dentro de ellos existen los teodolitos

convencionales, para tomar distancias se hace uso de miras graduadas, las lecturas

se realizan dentro del rango de los hilos estadimétricos, hilo superior (s) e hilo

inferior (i), en la ubicación de estos se lee su respectiva altura y se resta (s-i) y

multiplicado por 100 (constante estadimétrica de fabricación), será la distancia del

punto visado, estas son inclinadas y es necesario reducir al horizonte para

representar en el plano, por lo que se tiene que aplicar las fórmulas taquimétricas

aproximadas:

DH = D Cos2 y

Donde:DH = Distancia horizontal.

D = Distancia inclinada.

= Angulo vertical.

DV = Diferencia Vertical.

Dentro de los instrumentos electrónicos tenemos los distanciómetros, Estación

total, la distancia es medida por medio de rayos láser, para el cual cuenta con

prismas de acuerdo a la distancia.

Ejemplo 18.

Se tiene los datos taquimétricos de un levantamiento topográfico, se desea calcular

las distancias horizontales y verticales de cada punto.

Ptos. Ang. Hrzt. Ang. Cenit. Dist.incl.

32


A-B 23°40’ 92°10’ 123.48

A-C 39°18’ 93°45’ 215.10

A-D 122°22’ 88°18’ 281.40

A-E 132°35’ 86°20’ 208.30

SOLUCION.

De acuerdo a la fórmula se tiene distancia inclinada, y ángulo cenital.

Calculamos el ángulo vertical para cada visual a partir del ángulo cenital.

Para: A-B = 90° - 92°10’ = -2°10’

A-C = 90° - 93°45’ = -3°45’

A-D = 90° - 88°18’ = +1°42’

A-E = 90° - 86°20’ = +3°40’

Aplicando la fórmula.

DH = D COS2 y DV = ½ D Sen 2.

Tenemos: Remplazando los valores en la fórmula

PTOS D.H D.V

A-B 123.304 -4.665

A-C 214.179 -14.038

A-D 281.152 8.344

A-E 207.448 13.294

5. MEDICION DE ANGULOS.

Para realizar la medición de ángulos para poligonales ó triangulaciones se puede elegir

cualquiera de los dos métodos más conocidos, medición por repetición o por

Reiteración.

33


5.1. ANGULOS POR REPETICIÓN.- La precisión que se puede alcanzar con este

método es proporcional al numero de veces que se multiplica o repite un ángulo, el

procedimiento a seguir por este sistema depende del grado de precisión que se

busca, si la medición es de poca precisión, se hará dos lecturas sin invertir el

anteojo, si queremos alcanzar una precisión mayor realizar por lo menos de 5 a 6

series con el

anteojo en posición normal y con el anteojo vasculado (invertido), el procedimiento

es como sigue:

A

O w

B

Estacionar el teodolito en el punto “0” visar al punto A con el limbo horizontal

graduado en 0º0’0’’, girar al punto B, anotando el ángulo “w”, en ésta posición

bloquear el limbo horizontal y trasladar hasta la posición original A, soltar en esta

posición el bloqueador de ángulo y volver a visar el punto B, siendo esta la segunda

lectura w’, continuar con el procedimiento las veces que sea necesario de acuerdo a

la precisión deseada. El ángulo promedio se calculará con la siguiente relación.

PRIMER CASO.

Ejemplo 19.

Punto Lect. inic. Nº Lect. final Ang. Promed.

A 0º 0’0”

B 26º 16’ 8 210º 09’ 26º16’07.5”

34


SEGUNDO CASO

Cuando la ultima lectura supera los 360º se suma 360º a la ultima lectura y se

divide entre las veces repetidas.

Ejemplo 20.

1ra lectura 76º30’; numero de repeticiones 5, última lectura 22º31’.

SOLUCIÓN.

5 repeticiones es más de 360º.

360° < (76° 30' x 5 )

El error más probable que se comete seria el resultado de la lectura final menos la

lectura inicial dividido entre el número de repeticiones.

En el Ejm. 1, E=(26º16’07,5’’–26º16’)/8= 0º0’0,94”

En el Ejm. 2, E=(76º30’12’’-76º30’)/5= 0º0’02,4”

En conclusión, a mayor lectura el error es menor.

Ejemplo.21

Calcular el valor y error más probable en la lectura por repetición:

R

P O

Punto Lectura

inicial

Nº Lectura final Angulo Promedio

R 0º 0’0” 6

P 135° 18' 91°49’35" 135°18'15.8"

35


SOLUCIÓN:

a) No de repeticiones 6; 135°18' x 6 = 811°48'

811°48'/360 = 2.25 vueltas ó sea que al realizar 6 repeticiones el limbo girará 2

veces, más de 720°.

(91°49'35" + 720°) / 6 = 135°18'15.8"

El error más probable será (135°18’15.8”-135°18’)/6=0°00’2.6”

EJEMPLOS PROPUESTOS.

A) Calcular El promedio de 5 lecturas por repetición si la primera es 85°20'15" y la

ultima lectura es 66°41'20".

R= 85°20'16".

B) Determinar el error probable para una lectura por repetición de 6 series, si la

lectura inicial es 38°10'10" y la lectura final es 229°01'48".

R = 1.33"

C) Se mide un ángulo obtuso por repetición, obteniendo la 1ra lectura de

136°20'20", realizando 7 lecturas, siendo la final 234°22'56", calcular el valor y

error más probable del ángulo.

R = 136°20'25.14"; 0.73".

D) La primera lectura del ángulo a la derecha es 98°14'20",haciendo 3 lecturas la

última es 294°42'36", determinar el valor y error probable del ángulo.

R = 98°14'12"; 2.66".

5.2. ANGULO POR REITERACIÓN - El objetivo con este método es alcanzar

mayor precisión, el procedimiento para operar es el siguiente:

A

Bα

O W

C

36


Estacionar el teodolito en “O”, visar al punto "A" con el limbo horizontal en 0º0’0”

ó próximo a 0°,girar al punto "B" con un α, seguir al punto C con un w

llegando a la posición original “A”, en esta posición invertir el anteojo, saliendo

con 180º ó segundos de diferencia en sentido antihorario a los puntos C, B,

llegando nuevamente al punto A, se cumple que una serie es con anteojo directo e

invertido, la operación se puede repetir “n” veces. El número de series a tomar para

medir el ángulo depende de la precisión del levantamiento. En la siguiente relación

se puede observar el número se series y el ángulo a ubicar para salir en cada visual.

Con una serie: lectura directa 0°0'0" invertida 180°0'0".

Con dos series:

180°/2 = 90° ó sea cada 90°

1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0".

2da serie: lectura directa 90°0'0", invertida 270°0'0"

Con tres series:

180°/3 = 60° ó sea cada 60°.

1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0"

2da serie: lectura directa 60°0'0", invertida 240°0'0".


Con cuatro series:

180°/4 = 45° ó sea cada 45°.




4ta serie: lectura directa 135°0'0", invertida 315°0'0".

Con seis series:

180°/6 = 20° ó sea cada 20°.



37






Con el mismo procedimiento se puede encontrar para 10, 12, 16 series, Al iniciar

cada lectura puede tener una diferencia de segundos tanto en la directa e invertida,

el resultado final no variará

Ejemplo.22.- Se realiza lecturas de tres series, como indica el cuadro, obtener el

promedio de los ángulos.

Datos de campo: 3 series 180º/3=60º.

Pun

to 1ra Serie 2da Serie 3ra Serie

D I D I D I

A 0º0’15” 180º 0'10” 60º 0'05” 240º00’08” 120º00'08” 300º00'08”

B 48º20' 228º20'05” 108º20'10” 288º20'12” 168º19'55” 348º20'02”

C 124º16' 304º15'55” 184º16'02” *4º 16'00” 244º16'10” *64º16'15”

A 0º0'12” 180º 0'05” 60º 0'04” 240º 0'05” 120º 0'10” 300º 0'05”

1ra Serie directa = 00º00’15”, invertida 180°00’05”

2da Serie directa = 60º00’05” invertida 240°00’05”

3ra Serie directa = 120º00’08” invertida 300°00’05”

SOLUCION.-

1) Obtenemos el promedio general de cada lectura.

VISUAL A VISUAL A’

0°00’15” 0°00’12”

180°00’10” 180°00’05”

60°00’05” 60°00’04”

240°00’08” 240°00’05”

120°00’08” 120°00’10”

300°00’08” 300°00’05”

900°00’54” 900°00’41”

38


VISUAL B VISUAL C

48°20’00” 124°16’00”

228°20’05” 304°15’55”

108°20’10” 184°16’02”

288°20’12” 4°16’00”+360°

168°19’55” 244°16’10”

348°20’02” 64°16’15”+360°

1190º00’24” 1645º36’22”

Promedio General:

A= 150º00’07.92"

B= 198º20’04"

C= 274º16’03.67"

Calculo de Promedio Reducido

A= 150º00’07.92" – 150º00’07.92" = 00º00’00"

B= 198º20’04" – 150º00’07.92" = 48º19’56.1"

C= 274º16’03.67"- 150º00’07.92" = 124º15’55.75"

Promedio de Angulos

AOB = 48º19’56.1"

BOC = 124º15’55.75" – 48º19’56.1"= 75º55’59.65"

EJEMPLO PROPUESTO.

Determinar el valor más probable de los ángulos con 6 series, con los siguientes

datos de campo.

39


PTO PRIMERA SERIE SEGUNDA SERIE TERCERA SERIE

D I D I D I

A 00°00'10" 180°00'05" 30°00'15" 210°00'10" 60°00'08" 240°00'15"

B 43°20' 223°18' 73°17' 253°21' 103°19' 283°18'

C 108°15' 288°16' 138°15' 318°18' 168°17' 348°16'

A 00°00'15" 180°00'20" 30°00'20" 210°00'12" 60°00'10" 240°00'18"

PTO CUARTA SERIE QUINTA SERIE SEXTA SERIE

D I D I D I

A 90°00'15" 270°00'10" 120°00'10" 300°00'15" 150°00'12" 330°00'20"

B 133°19' 313°2'1” 143°19' 343°21' 193°14' 13°14' *

C 198°17' 18°18' * 228°16' 48°13' * 258°13' 78°16' *

A 90°00'18" 270°00'15" 120°00'15" 300°00'10" 150°00'10" 330°00'15"

(*) se suma 360° y 720 respectivamente, por que el limbo giró más de 360° en

la 5ta y 720 en 6ta serie inversa.

Rpta: AOB = 41°38'11.54"; BOC = 66°37'25"

CAPITULO II

1.-POLIGONACION

Una poligonal es una sucesión de rectas quebradas unidas bajo un ángulo horizontal

cualquiera, las uniones de las rectas son los vértices, se distinguen dos clases de

polígonos, cerradas y abiertas, dentro de las poligonales abiertas debemos tener en

consideración si los extremos están ligados a un punto de triangulación o están libres, en

función a estos criterios podemos decir que una poligonal abierta es suelta o enlazada, si

40


está enlazada a un punto de triangulación nos permitirá realizar los cálculos con mayor

facilidad, en caso de poligonales sueltos la información y los resultados serán

independientes y no guardarán relación alguna con los planos oficiales de una zona.

1.1. POLIGONAL CERRADA Se dice que una poligonal es una sucesión de rectas

quebradas unidas por un vértice en este caso la sucesión de rectas regresa al punto

original, para iniciar una red de polígonos se procede como se indica más adelante.

1.1.1. MEDICION DE LADOS Los lados de una poligonal se puede medir de

diferentes maneras, por métodos directos e indirectos, una de las formas más

comunes es con wincha, medición por tramos, después de un alineamiento

se procede a medir las veces que sea necesario para alcanzar mayor

precisión y encontrar el valor mas probable, otra de las formas es medir con

taquímetro mediante un teodolito y stadia, también las veces que sea

necesaria para obtener el valor más probable de la distancia, con equipos

electrónicos (Estación total o Distanciómetro) teniendo un resultado

altamente preciso.

1.1.2. MEDICION DE ANGULOS La medición de ángulos de dos rectas con un

mismo origen se puede realizar por los métodos ya conocidos por repetición

ó reiteración, se detallan en el capitulo anterior.

1.2. CONSTRUCCION DE POLIGONOS Los polígonos pueden construirse de

diferentes formas midiendo sus ángulos por desviación o deflexión, por azimutes,

por ángulos interiores ó exteriores según sea el caso.

1.2.1. POR DESVIACIONES O DEFLEXIONES Este método se emplea

generalmente en poligonales abiertas que consiste en ubicar los vértices con

cierto ángulo, el procedimiento a seguir es:

Ubicar el Teodolito en el punto B y orientar la vista atrás en el punto A con

el anteojo invertido (180º) luego

N B’ D’

41


B +26º30’ D +14º31’ Z

A C -32º16’ E

C’

Se bascula el anteojo hasta la proyección B’ quedando en posición normal (0º 0’

0”) girar luego hasta la vista adelante C en esta posición se hace la lectura + 26º

30’, seguidamente trasladar el equipo al punto C con el mismo procedimiento

anterior se hace la lectura -32º 16’ es importante hacer notar que después de hacer

bascular el anteojo los giros hacia la derecha son positivos y a la izquierda son

negativos.

En la construcción de polígonos cerrados por desviación se puede comprobar

sumando sus ángulos algebraicamente, deben ser 360º.

Ejemplo 1

Defl=360º

1+2+3+4+5=360º

92º+130º-50º+135º+53º=360º

Al realizar el trabajo de campo es muy posible que se llegue con un error de cierre

por defecto ó exceso el mismo que será dividido por el número de lados y el

resultado es el factor de corrección y si es por defecto se sumará y si es por exceso

se restará a cada ángulo, de esta manera queda compensado el polígono para

después continuar con el cálculo de azimut de sus lados.

42


Para calcular el azimut de los lados se sale con una orientación magnética que viene

a ser el azimut del primer lado, para el siguiente lado se suma algebraicamente el

ángulo de deflexión consecutivamente como se ilustra en el ejemplo:

Ejemplo 2

Calcular el azimut de los lados del polígono según los ángulos de deflexión del

croquis.

2’NM

2 90°

Z=85°

1’ 113° 5’ 1

--70°

5 3

90°

4 135°

4’ 3’

SOLUCION

1. La sumatoria de los ángulos debe ser 360°

2. comprobación

A B c d

VERT. ANG. Fc ANG. COMP.

1 113º +24’ 113º24’

2 90º +24’ 90º24’

3 90º +24’ 90º24’

4 135º +24’ 135º24’

5 -70º +24’ -69º36’

SUMA 358º 360º

- La columna “a” indica los vértices.

- La columna “b” indica los ángulos cuya sumatoria es 358°.

- Si la suma de los ángulos por deflexión de una poligonal debe ser 360°,

entonces se tiene que:

43


Ec = 358-360=-2º (defecto), compensación (+)

=► Fc = 2º/5 = +24’(sumamos a cada ángulo según columna “c”.

- En la columna “d” se muestra los nuevos ángulos compensados.

El polígono queda compensado, luego se procede a calcular el azimut de los

lados, sabiendo que el lado 1-2 tiene un azimut de partida 85º.

- Acimut 1-2 85°

- Acimut 2-3 85°+90°24’=175°24’

- Acimut 3-4 175°24’+90°24’=265°48’

- Acimut 4-5 265°48’+135°24’=401°12’-360°=41°12’

(se resta 360° por que la suma de los dos primeros excede a 360°).

- Acimut 5-1 41°12’-69°36’=-28°24’+360°=331°36’

- Acimut 1-2 331°36’+113°24=445°-360°=85°(queda comprobado)

RESUMEN.

LADO

S

ANGULO

DEFLEXION

ACIMUT FINAL.

1-2 113º24’ 85º

2-3 90º24’ 175º24’

3-4 90º24’ 265º48’

4-5 135º24’ 41º12’

5-1 -69º36’ 331º36’

1-2 113º24’ 85º

1.2.2. POLIGONOS POR AZIMUTES

La construcción de Polígonos por azimut tiene cierta ventaja sobre los

otros métodos por que una simple lectura desde un vértice nos da la

orientación de dos lados, la secuencia es, determinado los vértices del

polígono se ubica el Teodolito en el vértice original orientando al Norte

Magnético con 0°0’0” luego se visa a los vértices adyacentes el cual sería

los azimuts de los lados, luego se traslada al siguiente vértice, con el

mismo procedimiento se hace la lectura de los lados adyacentes, al cerrar

el circuito vemos que los lados tienen dos lecturas una directa y otra

44


inversa, la orientación de esa recta será el promedio de las dos lecturas, si

en la recta AB, se tiene la primera lectura de 128º30’ lectura directa y de

BA 308º40’ lectura inversa, el promedio de la recta será:

A Z directo 128°30’

Z invertido308°40’

BA-B= 128º30’

A-B= 308º40’-180° = 128º40

1.2.3. POLIGONOS POR ANGULOS INTERNOS

Es la forma más conocida para los levantamientos topográficos. Los

ángulos internos de un polígono puede medirse mediante varios métodos

entre ellos los mas conocidos son lecturas por repetición y reiteración

estos métodos se explican en el capitulo anterior.

Teniendo como condición de que la suma de los ángulos internos debe

ser 180(n-2) ó la suma de los ángulos externos 180(n+2).

2. ERROR DE CIERRE ANGULAR Y LINEAL.

2.1. ERROR DE CIERRE ANGULAR.- Se conoce por principio de geometría plana

que, para todo polígono cerrado debe cumplir que la suma de sus ángulos internos

es 180(n-2) y la suma de sus ángulos externos es 180(n+2) siendo “n”, número de

lados.

Ejemplo 3

En el polígono siguiente. 2

115°

Σi= 180(n-2) 1 Σi= 180(6-2)=720º 155°

45


En el desarrollo del trabajo de campo, 86° 3se encuentra que la suma de sus ángulos es 717° encontrando una diferencia de -3° 215°

que viene a ser el error de cierre angular. 6 101° 4

45°

5 Ec = 717°-720°=-3°

Entonces se puede decir que el error de cierre angular viene a ser la diferencia que

existe en el trabajo de campo y la teoría, puede ser por exceso o defecto. Para

compensar el error se divide entre el número de vértices y el resultado se suma ó

resta a cada ángulo y queda compensado el polígono:

Fc = Ec/n, n = número de vértices.

Para el caso de una poligonal abierta solo es posible determinar el error de cierre

cuando los puntos extremos están enlazados a puntos trigonométricos o poligonales

principales.

2.2. ERROR LINEAL (Er.L)

En una poligonación cerrada el error lineal viene a ser la discrepancia que existe

entre A-A’, dentro de un sistema de coordenadas. En el polígono ABCD.

En el Δ AA’E AA’= Hipotenusa (Er.L) Y A

Y’ B E A’

AE = Y-Y’(error en Y)A’E= X’-X (error en X)

C

(Er.L)²=(Y-Y’)²+(X’-X)²Er.L=[(Y-Y’)²+(X’-X)²]1/2

D

X X'

2.2.1. ERROR RELATIVO (E.r.).- Está expresado por una relación, Error Lineal

entre el perímetro.

ésta expresión nos indica el error que se está cometiendo al realizar un

levantamiento de una poligonal.

46


EJEMPLO 04.- Calcular el error relativo si Er.L. es 0.15m, y el perímetro es

420m.

Entonces: Er= 0,15/420 = 0,000357143 = 1/2800

2.3. CLASIFICACION DE UNA POLIGONAL POR SU ERROR RELATIVO Y

ANGULAR

Ord. Er.Relat E. M. P. Teod. Met.Recomendado

1er Ord. 1/10000 ±15"√n 5" Reiteración.

2do Ord 1/5000 ±30"√n 20" Reiteración.

3er Ord. 1/2500 ±01'"√n 30" Repetición.

4to Ord. 1/1000 ±1'30"√n 1" Repetición.

2.3.1.-COMENTARIO:

La primera columna nos indica el orden de una poligonal o la importancia

que tiene un trabajo, La segunda columna indica el error relativo, significa

el error máximo que debe cometerse en el cierre perimetral; Ejemplo: en

una poligonal de primer orden el error relativo significa que, en 10000 mts

debe tener un error máximo de 1 mt. Con el mismo criterio para el 2do, 3ro y

4to orden. La tercera columna nos indica el error máximo permisible

angular; Ejemplo: Para un polígono de 1er orden de 5 lados el error máximo

permisible será = ± 15"(5)1/2 = 33.54", significa que en un pentágono el error

angular máximo debe ser 33.54” para poder compensar, caso contrario, si es

mayor se vuelve a realizar el trabajo de campo, con el mismo criterio para el

2do, 3er y 4to orden. La cuarta columna nos dice la precisión del teodolito que

debemos emplear para nuestros levantamientos, y la última columna

recomienda qué método de medición debe usarse.

PRIMER ORDEN.- Levantamiento de gran exactitud como para catastro

urbano u otro de igual importancia, los ángulos deben leerse por reiteración

de tres a cuatro series con teodolitos de aproximación a los 5” para medir

47


los lados se desprecia las pendientes < 1%, para pendientes mayores

utilizamos otros métodos como por resaltos horizontales ó

trigonométricamente.

SEGUNDO ORDEN.- De exactitud media para levantamientos de líneas

divisorias; saneamiento urbano; sus ángulos deben ser leídos por reiteración

2 a 3 series con teodolito de aproximación a los 20” para medir sus lados se

desprecia las pendientes < 2%, para pendientes mayores se mide sobre la

superficie del terreno para después hacer las correcciones trigonométricas.

TERCER ORDEN.- Orden donde esta ubicada la mayor cantidad de planos

topográficos, trazado de canales, carreteras, centrales etc. sus ángulos deben

ser leídos por repetición 1 a 2 series con teodolitos de aproximación a los

30”, sus lados deben ser medidos dentro de los 2% de pendiente mayores a

estos deben ir pegados a la superficie para su posterior corrección.

CUARTO ORDEN.- Para trabajos preliminares estos deben ser medidos

por repetición 1 serie con aproximación al 1' sus lados deben de ser

medidos dentro del 3% de pendiente.

3. COMPENSACION ANGULAR Y LINEAL

3.1. COMPENSACION ANGULAR

3.1.1. POLIGONAL CERRADA.- La compensación angular es como

consecuencia de los errores angulares el cual se compensa mediante las

conocidas propiedades geométricas, el error angular hallado en una

poligonal cerrada se distribuye entre todos los ángulos internos antes de

calcular sus azimuts y coordenadas, se supone que la medición de ángulos

se hizo en las mismas condiciones, pudiendo existir errores accidentales ó

sistemáticos.

48


El error de cierre es por defecto ó exceso, este resultado se divide entre el

número de vértices, obteniendo un factor de corrección que se suma o resta

a cada ángulo.

n= Numero de vértices

Ejemplo 05

En un levantamiento de campo se tiene un polígono de 6 lados con los

siguientes ángulos:1)101°, 2)118°, 3)86°, 4)145°, 5)135°, 6)132°,

compensar los ángulos internos.

Ang. Original Ang. compensado.1 = 101° + 30' = 101° 30'.2 = 118° + 30' = 118° 30'.3 = 86° + 30' = 86° 30' .4 = 145° + 30' = 145° 30'.5 = 135° + 30' = 135° 30'.6 = 132° + 30' = 132° 30' 717° 720°

6

1 5 5

42

3

.Fc.C.= Er.C./n

Si: Fc.C.= Factor de corrección.

Er.C.= Error de ciere.

n.= Número de vértices.

ΣAng.i = 180°(6-2) = 720°

ΣAng.i = 101°+118°+86°+145°+135°+132°= 717°

Er.C. = 717° - 720°= -3°

Fc.C. = 3°/6 = 0.5°= 30'

49


El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación será

positivo, sumando a cada ángulo 30'. como muestra en el cuadro

anterior.

Ejemplo 06

El resultado de los ángulos internos es el promedio después de las lecturas

por repetición, se desea Compensar los mismos.

FSi A= 38º25’ B= 243º30’ A C= 89º10’ E D= 82º35’ E= 162º40’ F= 103º37’ B

D

C

SOLUCIÓN:

a) Por principio geométrico se sabe que Σi = 180(n-2)

=► Σi = 180(6-2)=720º

Si Σi = A + B + C + D + E + F = 719º57’

=► Er.c= 719º57’-720=-3’(Error por defecto, entonces se suma a cada

ángulo ó se dice que la compensación es aditiva.)

Fc.C = Er.c/n = +3’/6 = 30”

b) Compensación final

A= 38º25’+30”= 38º25’30”

B= 243º30’+30”= 243º30’30”

C= 89º10’+30”= 89º10’30”

D= 82º35’+30”= 82º35’30”

E= 162º40’+30”= 162º40’30”

F= 103º37’+30”= 103º37’30”

719º57’+ 3’= 720º

50


3.1.2. POLIGONAL ABIERTA.- Dentro del grupo de poligonal abierta podemos

distinguir varios casos, pero antes debemos estar seguros que la medición se

realice en un solo sentido y ángulos a la derecha.

POLÍGONO ABIERTO, CUANDO SUS EXTREMOS NO SON

VISIBLES.

En este caso se aplica el método de Polígono abierto con azimut de salida y

azimut de cierre.

NM

Z4B

ZA1 4 A 2

1 3 B

El error de cierre viene a ser:

Er.c.= (ZA1+1+2+3+4-180n)-Z4B. donde “n” es número de vértices, (el ángulo

del vértice A es el azimut), ZA1 es azimut de arranque y Z4B es azimut de

cierre, para compensar se calcula el factor de corrección.

Fc.C = Er.c / n; Este factor se suma o resta a cada uno de los vértices, según

sea el caso, comprobando que:

ZA1+1+2+3+4-180n=Z4B

Ejemplo 07

Compensar el polígono abierto con cierre azimutal con la siguiente

información:

N.M N.M

Z4B = 167°20’

4ZA1=129º15’ 2 A

51


3 1

B1)= 122º50’; 2)= 262º40’; 3)= 106º10’; 4)= 265º55’

SOLUCION.

1. De acuerdo a la condición geométrica se tiene que:

ZA1+1+2+3+4-180n = Z4B,

ZA1= Azimut de arranque

Z4B= Azimut de cierre

Er.c = (ZA1+1+2+3+4-180°n) - Z4B.

donde: 180°n = 180 x 4 = 720°

Er.c = 166º50’ – 167º20’

= -30’

2) El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación será aditiva,

siendo el factor de corrección:

Fc.C = +30’/4=7’30”

éste resultado (7’30”) se suma a cada uno de los vértices a excepción del ZA1

=► ZA1= 129º15’

1) 122º50’ +7’30” =► 122º57’30”

2) 262º40’ +7’30” =► 262º47’30”

3) 106º10’ +7’30” =► 106º17’30”

4) 265º55’ +7’30” =► 266º02’30”

886º50’ 887º20’

dando como resultado la suma de los ángulos 887°20’, si de acuerdo a la fórmula,

comparamos, es igual al Azimut de cierre del lado final.

ZA1 +1+2+3+4-180n = Z4B

887°20’-720° = 167°20’

167°20’ = 167°20’

CUANDO EN UNA POLIGONAL ABIERTA, SUS EXTREMOS SON

VISIBLES, SE PRESENTAN TRES CASOS:

A) PRIMER CASO: (RECORRIDO ANTIHORARIO)

52


Nótese que el lado AB se comporta como un lado del polígono, analizando sus

ángulos todos viene a ser internos, si el recorrido es en sentido antihorario su

compensación puede proceder como un polígono cerrado inter= 180°(n-2) ó de

la siguiente manera.

B

A 3

1 4

2

A+1+2+3+4+B+360°=180n, n es número de vértices.

pEr.C = (A+1+2+3+4+B+360°)-180n,

Fc.C = Er.C/n.

Este resultado se suma ó resta de acuerdo al signo.

Ejemplo 08

En el levantamiento de un canal se tiene los siguientes ángulos a la derecha,

teniendo visibilidad los extremos del polígono.

A)24°, 1)118°, 2)256°, 3)106°, B)34°

2

A B

13

SOLUCION:

Por condición geométrica se tiene que:

Derecha +360°= 180n; se adiciona 360° por que los extremos (A y B) del polígono

son ángulos internos, “n” número de vértices.

24°+118°+256°+106°+34°+360° = 180 x 5

898°= 900°

Er.C.= 898°-900°= -2°

El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación es aditiva.

53


Fc.C. = 2°/5 = 24’

compensando tenemos:

A) = 24° + 24’ = 24°24’

1) = 118°+ 24’ = 118°24’

2) = 256°+ 24’ = 256°24’

3) = 106°+ 24; = 106°24’

B) = 34° + 24’ = 34°24’

540°

Si al resultado se le suma 360°, cumple la condición Geométrica:

Derecha + 360° = 180°n.

540°+ 360° = 180° x 5

900° = 900°

SEGUNDO CASO. (RECORRIDO HORARIO.)

Como en el primer caso el lado AB hace las veces de un lado, con un recorrido horario los ángulos serán externos, al observar los ángulos extremos (A y B) son externos.

3

4 1 B

2

A

Se puede compensar como un polígono cerrado aplicando el principio geométrico

ext = 180°(n+2) ó de la siguiente manera:

A + 1 +2 + 3 +4 + B – 360°=180°n;

siendo “n” números de vértices.

Er.C. = A + 1 + 2 + 3 + 4 + B – 360° - 180°n

Fc.C. = Er.C./n

éste valor se suma ó resta según sea el caso.

Ejemplo 09

Se desea compensar los ángulos en una poligonal abierta, sabiendo que ambos extremos son visibles, la lectura de los ángulos a la derecha se indican en la parte inferior del croquis.

54


1 3 B

A 2

A)341°, 1)250°, 2)85°, 3)235°, B)350°

SOLUCION:

Por condición geométrica se tiene que, Σext – 360º = 180n

=► A = 341º

1 = 250º si 180n= 180x5

2 = 85º = 900

3 = 235º

B = 350º Er.C = (Σext-360º)-180n.

1261°

Er.C= (1261°- 360°)-180°n = 901° - 900°

Er.C = +1º

Si el Er.C = +1 es por exceso, entonces la compensación será sustractíva.

Fc.C = -1º/5= -12’

Los ángulos compensados serán:

A= 341º-12’ = 340º48’

1= 250º-12’ = 249º48’

2= 85º -12’ = 84º48’

3= 235º-12’ = 234º48’

B= 350º-12’ = 349º48’ 1260º

La suma de los ángulos a la derecha es 1260º restando 360 tenemos 900 que cumple

la condición de

Σext– 360° =180n

1260°-360° = 180° x 5

900° = 900°

55


TERCER CASO. En un recorrido positivo o negativo, si los ángulos a la derecha

en unos de los extremos es interno y el otro es externo

3 1

B`

A

2 4

El lado AB cierra el polígono, notando que el A es externo y el B es interno,

para éste caso cumple que:

A + 1 + 2 + 3 + 4 + B = 180°n

siendo “n” el número de vértices.

Er.C. = (A + 1 + 2 + 3 + 4 + B) – 180n.

Fc.C. = Er.C/n.

Ejemplo 10

En una poligonal para el trazo de carretera los extremos del polígono abierto son

visibles y sus ángulos a la derecha se muestran en el cuadro siguiente.

A= 11º1= 118º 2 2= 256ºB= 333º

A B

1

SOLUCION:

Por condición geométrica se tiene que.

Σ = 180n A+1+2+B = 180n

718° = 180° x 4

718° = 720°

ER.c = 718-720= -2º

56


El error de cierre es por defecto, indica que la compensación será aditiva a cada

ángulo.

Fc.C = 2º/4= 30’

Compensando tenemos:

A= 11º +30’= 11º30’

1= 118º+30’= 118º30’

2= 256º+30’= 256º30’

B= 333º+30’= 333º30’

720º

Los ángulos quedan compensados de acuerdo a la condición geométrica.

Σ = 180n

720° = 180°*4

720° = 720°

3.2 COMPENSACION LINEAL

En los casos anteriores tratamos sobre compensación angular en polígonos abiertos

y cerrados, en este caso enfocaremos solamente para los polígonos cerrados, en

vista que los polígonos abiertos al inicio y al final no pueden precisarse sus

coordenadas de comprobación, salvo que estén enlazados a puntos de triangulación,

mientras que en las poligonales cerradas las coordenadas de arranque deben ser

iguales a las coordenadas de cierre, sí el error de cierre lineal es:

;

El Er.L. debe ser cero, entonces para compensar la longitud (ΔX) y latitud (ΔY) se

tiene que :

Fc.Cx = ΔX/p y Fc.Cy = ΔY/p

Donde:

Fc.Cx = Factor de corrección en el eje X

Fc.Cy = Factor de corrección en el eje Y

57


ΔX = Diferencia de distancia en el eje X (longitud)

ΔY = Diferencia de distancia en el eje Y (latitud)

P = Perímetro

Luego la compensación sera :

Cx = Fc.Cx x d Cy = Fc.Cy x d

Donde:

Cx = Valor a compensar en el eje X

Cy = Valor a compensar en el eje Y

d = distancia del lado.

Este valor debe ser sumado algebraicamente a cada lado en su longitud y latitud, de

tal manera que la suma total de las coordenadas parciales debe ser cero y por ende

el error lineal será cero.

4.- CALCULO DE AZIMUT Y COORDENADAS

4.1 AZIMUT. Para calcular el azimut de los lados aplicamos la regla de la nemónica o

procedimiento mecánico en sentido anti horario.

Consiste en sumar el ángulo a la derecha al azimut inicial o anterior, si el resultado

es < 180º se suma 180° y si el resultado es > 180º se resta 180°.

Zf = Zi + D ± 180°

Donde: Zf = Azimut final

Zi = Azimut inicial

D = ángulo a la derecha

Ejemplo 11

Calcular el azimut de los lados del polígono de acuerdo a croquis.

NM

ZAB = 115° A = 54° A E B = 133° C = 226° D = 55° E = 72° B C

D

58


SOLUCION:

De acuerdo a la formula nemónica hacemos el recorrido en sentido antihorario.

Zf = Zi+D ± 180, ZAB = Zi = 115ºZBC = 115+133-180 = 68ºZCD = 68+226-180 =114ºZDE = 114+ 55+180 =349ºZEA = 349+ 72-180 =241ºZAB = 241+ 54-180 =115º

Haciendo el recorrido en sentido antihorario se calculó el azimut de todos los lados

del polígono a la vez queda comprobado que el azimut de arranque (ZAB) es igual al

azimut final (ZAB) lo que indica que la compensación angular es correcta.

4.2.COORDENADAS Para calcular las coordenadas del punto P debemos conocer el

azimut Z y la distancia Horizontal D, conociendo estos valores tenemos que:

X= D senZY= D cosZ

El signo de la coordenada parcial está en función al cuadrante donde esta ubicado.

N.M.Sen +

IV Cos - I Sen + D A Cos +

ZOD ZOA

WO E

ZOC

C ZOB

BSen - Sen -Cos - III II Cos +

Ejemplo 12

Si el Azimut de una recta QA es 134º20’ y una distancia horizontal de 89.50 mts,

calcular sus coordenadas parciales y totales si el punto Q tiene como coordenada:

Q(5000N, 3000E)

NM

SOLUCION:

DH = 89.50m 134°20’ A

59


ZQA = 134º20’ Q 89.50 mts

=►EP = DH SenZ = 89.50 Sen 134º20’= 64.018m

NP = DH CosZ = 89.50 Cos 134º20’=-62.545m

Las coordenadas totales se obtienen sumando algebraicamente las coordenadas

parciales de “A” a las coordenadas totales de “Q”

Pto Dist ZQA

COORD. PARCIALES. COORD.TOTALES.. Pto

N E N E

Q 5000 3000 Q

Q-A 89,5 134º20’ -62,545 64,018 4937,455 3064,018 A

Las coordenadas totales de “A” están en la última fila del cuadro.

5. CALCULO DE COTA

Para trasladar la cota de un punto a otro se puede emplear el método geométrico

(Nivelación) o trigonométrico (Con ángulo vertical)

5.1. METODO GEOMETRICO.- Este método es empleado en terrenos no muy

accidentados que consiste en una nivelación diferencial, restando vista atrás (VT)

menos vista adelante (VD), si en el gráfico, A tiene una cota de 3250 msnm. Para

calcular la cota de B primero buscamos la diferencia vertical entre AB.

AB = VT – VD

VT VD

1.45

2.85

B

A

=►Cot B = CotA + (VT - VD), si VTA = 2.85m ,

60


VDB = 1.45 m.

=►Cot B= 3250 + (2.85-1.45)= 3251.4 msnm.

En caso de distancias considerables se aplica el principio de nivelación

trigonométrica.

5.2. METODO TRIGONOMETRICO.- Este método es empleado para terrenos

muy accidentados, generalmente se utiliza el teodolito para medir el ángulo

cenital y la distancia taquimetría, para trasladar cota taquimétricamente es

necesario tomar los datos de campo, como (DI) distancia inclinada, (AC)

ángulo Cenital, (AI) altura del instrumento y altura de señal (AS);

Cota B = Cot A ± DV + AI - AS.

La DV a partir de distancia taquimétrica es:

AS=1.50m

DI = 102.50m.

Ang.Cenital B N

α= Ang. Vert.

AI=1.50m

A

Calculando cota tenemos:

Cot B= Cot A + DV + AI - AS

Cot B = 3250+12.398+1.50-1.50 = 3262.398 msnm.

Para el cálculo de cotas en una poligonal se procede de la misma manera en cada

lado del polígono.

Ejemplos 13

61


En un levantamiento topográfico de una poligonal se mide el azimut de arranque de

ZAB = 210°20’, conociendo sus coordenadas oficiales

A(485N,725E) y 3200 m.s.n.m, en el cuadro siguiente se

tiene los datos de campo, calcular las coordenadas y

cotas de los vértices.

Pto D.Inclin Hrzt Cenit A.I A.S

A

AB 43.266 133º20’ 94º30’ 1.50 1.50

BC 92.654 92º15’ 87º40’ 1.50 1.50

CD 50.690 85º35’ 86º30’ 1.50 1.50

DE 61.617 148º50’ 92º30’ 1.50 1.50

EA 78.956 80º35’ 90º34’21” 1.50 1.50

SOLUCION

1.- Representamos mediante un croquis para mejor orientación.

E

NM D

A

C

B

2.- Compensamos los ángulos internos.

PTO

(a)

ANGULO

(b)

Fc

(c)

ANG.COMP.

(d)

A 133º20’ -7’ 133º13’

B 92º15’ -7’ 92º08’

C 85º35’ -7’ 85º28’

D 148º50’ -7’ 148º43’

E 80º35’ -7’ 80º28’

TOTA

L

540º35’ 540º00’

Por principio geométrico tenemos que:

Σinter=180(n-2)=540°

62


=►Er.C = 540°35’-540° = 35’, el error de cierre es por exceso luego la

corrección será sustractiva

FC=-35’/5 =-7’

Restando 7’ en la columna “c” del cuadro anterior tenemos compensado los

ángulos en la columna “d”.

3.- Calculamos el azimut de cada lado.

LADO Hrzt Azimut

AB 210º20’

BC 92º08’ 122º28’

CD 85º28’ 27º56’

DF 148º43’ 356º39’

EA 80º28’ 257º07’

AB 133º13’ 210º20’

Para calcular el ZBC tenemos que:

ZBC= 210º20’+92º08’-180º = 122°28’

ZBC= 122º28’, En la tercera columna del cuadro anterior tenemos los azimuts

de cada lado quedando comprobado que el azimut de arranque y cierre son

iguales.

4.-Calculamos las distancias Horizontales y verticales a partir de los datos

taquimétricos.

Lados

(a)

Dist.

(b)

Cenit (c) Vert.

(d)

Dist.Hzt (e) Dif.Vert (f)

AB 43.266 94º30’ -4º30’ 42.99966 -3.38415

BC 92.654 87º40’ +2º20’ 92.50042 +3.76910

CD 50.690 86º30’ +3º30’ 50.50108 +3.08878

DE 61.617 92º30’ -2º30’ 61.49976 -2.68514

EA 78.956 90º34’21” -0º34’21” 78.94812 -0.78888

63


En el cuadro anterior se calcula el ángulo vertical en la columna (d) restando de

90º, Vert AB.= 90-94º30’= –4º30’.

Con el mismo procedimiento completamos la columna (d).

En la columna (e) calculamos la Distancia Horizontal con la formula DH = DI x

cos²Vert.

DHAB. = 43.266 x cos2(-4º30’)= 42.999, igual sucede con los lados subsiguientes de

la misma columna. En la última columna tenemos la diferencia vertical que se

obtiene con la formula DV = (1/2) D x sen 2,

Entonces para el lado AB será:

DVAB = ½ 43.266 x sen2(-4º30’)= -3.384m.

Con el mismo procedimiento se completa el resto de la columna.

5.- Calculamos las coordenadas parciales, para calcular, aplicar la formula

siguiente:

YN= DH cosZ

XE= DH senZ

A b c d e F

Lado Dist H. Azimut N E PTO

A A

AB 42.99966 210º20’ -37.11309 -21.71611 B

BC 92.50042 122º28’ -49.65504 78.04296 C

CD 50.50108 27º56’ 44.61737 23.65692 D

DE 61.49976 356º35’ 61.39045 -3.66519 E

EA 78.94812 257º07’ -17.60279 -76.96068 A

326.44905m +1.63689 -0.64209

Para el lado AB tenemos que:

NB = 42.99966*cos210º20’=-37.113m.

EB = 42.99966*sen210º20’=-21.716m.

Con el mismo precedimiento completamos las columnas d y e del cuadro anterior.

6.-Calculamos el Error Lineal y Relativo.

64


ΔX= Error de cierre en X

ΔY= Error de cierre en Y

El polígono tiene un error de cierre de 1.758 m. y un error relativo de:

Er.R = (Er.L.)/p

= 1.758323/326.449 = 0.00538621

= 1/185.66 1/200

Sabemos que el Er.R. nos indica el Orden de precisión de una poligonal, en este

caso es 1/200, es un trabajo preliminar.

7.- Compensación del Error Lineal.- Para compensar nos remitimos al Error de

Cierre en cada eje (X,Y).

Ec(N)=+1.63689 Ec(E)=-0.64209

Notamos que en el aje N el error es por exceso y en el eje E el error es por

defecto por lo tanto en el primero la corrección es sustractiva y en el segundo

es aditiva.

Estos valores se multiplica por sus respectivas distancias y se suma

algebraicamente a cada coordenada parcial, Para el lado AB será:

BN = 42.99966(-0.0050142)=-0.215610

BE = 42.99966(+0.0019669)=+0.084576

CUADRO DE CORRECCIONES

a b c d e f g H

Lado Distancia

.

N E Correc.N Correc.E Coorden. NP Coorden.EP

AB 42.99966 -37.11309 -21.71611 -0.21562 +0.08459 -37.328725 -21.63151

BC 92.50042 -49.65504 78.04296 -0.46385 +0.18197 -50.118849 78.224870

CD 50.50108 44.61737 23.65692 -0.25324 +0.09935 44.364159 23.756247

65


DE 61.49976 61.39045 - 3.665219 -0.30839 +0.12098 61.082105 - 3.544216

EA 78.94812 -17.60279 -76.96068 -0.39589 +0.15531 -17.998690 -76.805391

326.44905 1.63700 -0.6422 0.00000 0.00000

En la columna e y f se asignan sus correcciones respectivas para cada lado del

polígono y en las columnas (g y h) resulta de sumar g= c + e, y h= d + f, Norte y

Este respectivamente, la comprobación resulta sumando las coordenadas parciales

N los mismo que deben dar cero, de igual manera las coordenadas E.

8.- Coordenadas totales.- Para el cálculo de coordenadas totales se suma a la

coordenada de origen del punto A en forma sucesiva N y E respectivamente.

Si: NA= 485 EA=725

NB= 485 - 37.3286 = 447.671 y

EB= 725 - 21.6315 = 703.3685

LA

DO

PARCIAL

N

PARCIAL

E

TOTAL

N

TOTAL

E

Pto

A 485.000 725.0000 A

AB -37.328725 -21.63151 447.671 703.3685 B

BC -50.118849 78.22487 397.553 781.5934 C

CD 44.364159 23.756247 441.916 805.3497 D

DE 61.082105 -3.544216 502.999 801.8056 E

EA -17.998690 -76.80539 485.000 725.0000 A

9.- Cálculo de cotas.- La proyección de cotas de un punto a otro está en función a

la diferencia vertical, altura del instrumento y altura de señal.

Si Cot B= Cot A ± DV + AI - AS,

A b c d E Pto

Lado DV. A.I. A.S. Cota

66


A 3200 A

AB -3.384 1.50 1.50 3196.616 B

BC +3.769 1.50 1.50 3200.385 C

CD +3.089 1.50 1.50 3203.474 D

DE -2.685 1.50 1.50 3200.789 E

EA -0.789 1.50 1.50 3200.000 A

En el cuadro anterior la columna a indica los lados del polígono, b diferencia

vertical, c altura de instrumento, d altura de señal y e cota del punto.

10.- Dibujo de plano.- Para dibujar en un sistema de coordenadas se busca el

rango en el eje Norte y Este para fijar los limites. Para encontrar los rangos se

resta los valores extremos, en cada eje. Seguidamente se hace el reticulado a la

escala apropiada para ubicar las coordenadas de los puntos del polígono.

500N

E

450N

A

400N

B D

700E

750

E

C

ESC: 1:1000

67


CAPITULO III

1. ALTIMETRIA.

Es parte de la topografía que ayuda a determinar las alturas relativas y absolutas de los

puntos topográficos sobre el plano vertical, mediante el procedimiento conocido como

nivelación, el origen para ubicar una altura se adoptó el nivel medio del mar, llamando

altitud, altura absoluta o cota, para mediciones topográficas horizontales se puede

prescindir la curvatura terrestre en distancias menores de 25 km. y dentro de ellas se

puede considerar paralela las direcciones de la plomada.

Para marcar los puntos altimétricos en el terreno dependerá principalmente del tipo de

levantamiento, se puede señalar puntos permanentes y provisionales.

LOS PUNTOS FIJOS O PERMANENTES son hitos que tienen que permanecer buen

tiempo como en carreteras, canales, ferrocarriles, etc. la materialización de los puntos

fijos son generalmente con placas de bronce, tubos, hierros sobre hitos de concreto

donde se indica su ubicación y características.

68


LOS PUNTOS PROVISIONALES son puntos temporales que duran el tiempo de

ejecución de la obra, pueden ser estacas, rocas, piedras, etc.

1.1.-NIVELACION TOPOGRAFICA.

En una nivelación topográfica hay que tener en cuenta los efectos de la curvatura

terrestre para distancias considerables, los efectos de la refracción atmosférica, la

curvatura terrestre sobre las visuales afecta muy poco o casi nada en distancias

menores de 25 Km. en caso de realizar una nivelación para distancias mayores se

hace los cálculos de corrección por efectos de curvatura.

Q P ES

R R

OEn la figura, la visual PQ es una proyección horizontal perpendicular al radio en P,

la proyección PS es la visual, por efectos de la curvatura terrestre, donde QS=E,

error que sería a causa de la refracción, dependiendo de la distancia y el grado de

precisión.

en el rectángulo OPQ Tenemos:

(OQ)2 = (PQ)2 + (PO)2 ; Si OQ = E + R

(E+R)2 = (PQ)2 + R2 OP = R

El error por refracción terrestre queda reducido a:

La expresión E2/2R se desprecia por ser una cantidad infinitamente pequeña.

1.2.-PRINCIPIO DE NIVELACION.

69


V.T. C.I. V.D. h2

h1 B h

A

El objetivo principal de una nivelación es determinar la diferencia de altura entre

dos puntos, para ello es importante el uso del nivel de Ingeniero y la mira.

Para obtener la diferencia vertical del terreno (h), se fija los puntos A y B, ha una

distancia determinada. El equipo se estaciona aproximadamente al centro entre los

dos puntos, (no necesariamente en el eje del alineamiento), estacionado el nivel, la

primera visual se realiza sobre el estadal en el punto A (VT), en ésta proyección del

eje de colimación se anota la altura de la mira (h1), luego se gira el anteojo hacia B,

(VD), con el mismo procedimiento se anota (h2); Para obtener h será:

h = V.T. – V.D. = h1 – h2 el resultado puede ser positivo o negativo, si es (+)

indica que el segundo punto (B) está más elevado, si es (-) está ubicado por debajo

de (A).

EJEMPLO 1. Si: VT.= 2.46 mts, y VD.= 1.32 mts, ¿cual es la diferencia de altura?

SOLUCION.

h = h1 – h2 = 2.46 – 1.32 = 1.14 mts.

La respuesta es (+) entonces el punto B está a 1.14 mts por encima de A.

EJEMPLO 2.

En un alineamiento PQ, se desea determinar la diferencia de altura entre ambos

puntos, para el cual la vista atrás a P es 0.963 mts, y la vista adelante a Q es 2.647

mts.

SOLUCION.

Si h = h1 – h2 ; h1 = VT = 0.963 mts.

h2 = VD = 2.647 mts.

h = 0.963 – 2.647 = - 1.684 mts.

70


Respuesta (-) indica que el punto Q está por debajo de P en 1.684 mts.

Para determinar la cota de los puntos es importante salir de una elevación conocida,

referida al nivel medio del mar, en caso de no tener información se asume cotas

provisionales o arbitrarias.

En el gráfico se tiene un alineamiento AB, en los cuales se quiere calcular la cota

del punto B conociendo la cota de A, con el principio anterior. h = h1 – h2

calculamos:

V.T C.I. V.D.h2

h1 B

h..

A

Conociendo cota de A.

Entonces Cot B = Cot A + h.

También podemos calcular de la siguiente manera:

La visual hacia el punto A (VT) se suma a la cota de A llegando a obtener

cota de instrumento (C.I.).

C.I. = Cot A + h1, giramos el anteojo al punto B, lectura (V.D) restamos a la

C.I. obteniendo cota de B.

Cot B = C.I. – h2

1.3.-TIPOS DE NIVELACION.

Las diferencias verticales se pueden medir de los modos siguientes:

- Nivelación Geométrica.

- Nivelación Trigonométrica.

- Nivelación Barométrica.

1.4.-NIVELACION GEOMETRICA.

Es la nivelación más usual que consiste en medir distancias verticales (alturas)

mediante visuales horizontales aplicando el principio de nivelación. Dentro de la

71


nivelación geométrica se tiene los métodos más conocidos de nivelación, simple,

compuesta y recíproca.

1.4.1.-NIVELACION SIMPLE.

Es un método geométrico que consiste en ubicar el instrumento entre los dos

puntos aproximadamente al centro, con el procedimiento conocido VT y VD,

en cada una de las estaciones calculamos las diferencias de alturas de los

puntos, y luego las alturas absolutas.

Si en un alineamiento tenemos 4 puntos, para conocer su diferencia de altura y

cotas, llevamos el siguiente control:

V.T V.D

V.T V.D. h4

V.T V.D. h3

3 4 h1 h2

1 2

a b C d e f g

PTO

S

DIST. V.T. V.D. D.V. COTA.

1 1.98 3201.98 3200.00

2 55.64 2.32 3202.54 1.76 +0.22 3200.22

72


3 45.60 2.16 3202.68 2.02 +0.30 3200.52

4 35.25 1.40 +0.76 3201.28

En el cuadro se explica los datos tomados de campo.

En la columna (a) se anota todo los puntos del alineamiento, 1, 2, 3 y 4.

En la columna (b) se anota las distancias de punto a punto.

La columna (c) (V.T) se anota la visual del punto 1, la altura de la mira h 1= 1.98

mts. girando el anteojo hacia el punto 2 anotamos la lectura en la mira h2= 1.76 m.

en la columna (e) (V.D.). En cada estación se realiza la misma operación.

Las columnas d, f y g se obtienen en gabinete.

La columna (d), donde se anota la cota de instrumento (C.I) se suma cota del punto

1 más h1 (V.T). 3200+1.98=3201.98

En la columna (f) se anota la diferencia vertical entre los dos punto adyacentes.

V.T – V.D; = (h1-h2) = 1.98-1.76 = +0.22, igual procedimiento para los demás

puntos.

En la columna (g) anotamos la cota del punto 2, restando de la C.I. menos V.D.(h2).

3201.98-1.76=3200.22 con el mismo procedimiento para los siguientes puntos.

Otra forma de obtener las cotas finales es sumando algebraicamente las diferencias

verticales sucesivamente a la cota inicial

1) 3200

2) 3200.00 + 0.22 = 3200.22

3) 3200.22 + 0.30 = 3200.52

4) 3200.52 + 0.76 = 3201.28.

1.4.2.-NIVELACION COMPUESTA.

Cuando un alineamiento no es posible continuar por razones de visibilidad,

obstáculos o cuando los detalles de una recta son muy cortas, el método de

nivelación compuesta es el ideal, y el procedimiento es el siguiente:

En un alineamiento tal como AF estacado de acuerdo a la variación del

terreno, el nivel se estaciona en un lugar apropiado de tal manera que sea

visible los puntos a nivelar.

73


VDV.T V.D V.D V.D V.D

FE

A B C D

Para las lecturas, el nivel no necesariamente debe estar en el eje de la recta.

A B c D e f g

PTO DIST. V.T. V.D. D.V. COTA

A 1.96 3451.96 3450.00

B 4.00 2.08

C 3.80 2.03

D 5.60 1.93

E 45.00 2.10

F 62.00 2.42

La toma de datos de campo tiene el mismo principio, vista atrás menos vista

adelante, con la diferencia que para todo el tramo se toma una sola vista atrás y los

siguientes puntos son vista adelante.

En la columna a (datos de campo) se anota todos los puntos del alineamiento.

En la columna b (campo) anotamos las distancias de cada tramo, como

AB=4mts, BC=3.8mts, etc.

74


En la columna c (campo) anotamos la vista atrás 1.96 que es el único dato en

toda la operación.

En la columna d (gabinete) calculamos la cota de instrumento sumando cotA +

VT = 3450+1.96 = 3451.96

En la columna e (campo) se anota todas las vistas adelante como (2.08,

2.03.....2.42)

En f (gabinete) DV datos que se obtiene después de calcular en gabinete VT-

VD, la vista atrás de la columna c se relaciona con cada una de las vistas

adelante.

La última columna g de alturas absolutas son cálculos en gabinete restando la

cota de instrumento menos vista adelante (3451.96-2.08=3449.88), en este caso

existe una sola cota de instrumento para todas las vistas adelante.

Dentro de una nivelación se puede presentar casos como accidentes topográficos,

detalles mínimos y otros, para dar solución es posible aplicar ambos métodos en

toda la red de nivelación, según el gráfico las dos primeras estaciones es por

nivelación simple y el último es compuesta (es un método mixto), para ello

procedemos similar al descrito anteriormente para cada método

VD VD.

VDVT VD F

VT VD VT E

B D A

C

a B c d e f g

PT

O

DIST. V.T. C.I.* V.D. D.V. COTA

A 1.96 3251.96 3250.00

B 38 0.75 3252.09 0.62 1.34 3251.34

75


C 55 2.70 3251.81 2.98 -2.23 3249.11

D 12 1.48 1.22 3250.33

E 16 1.62 1.08 3250.19

F 22 1.75 0.95 3250.06

Las columnas a,b,c y e. son los datos de campo

La información que se obtiene en las columnas d,f y g son cálculos de gabinete

siguiendo el procedimiento que se realiza para cada método.

1.4.3.-NIVELACION RECIPROCA.

Se presentan casos especiales como determinación de diferencias de nivel

entre los puntos de mucha precisión que pueden servir para realizar proyectos

de comunicación, canales, puentes, para este tipo de trabajo se realiza una

nivelación recíproca de ambos extremos, para iniciar el trabajo mediante una

nivelación precisa llevamos la cota a los puntos A y B de ambos extremos del

obstáculo por los métodos conocidos, desde la estación P, visamos al punto A

con vista atrás y al punto B como vista adelante, recíprocamente del punto Q

visamos al punto B y A, V.T Y V.D respectivamente.

En el gráfico:

VT VT

VD VD

P A B Q

Si desde el punto P.

V.TA = 1.82, V.DB = 2.45

h1 = 1.82 – 2.45 = -0.63

Desde Q.

V.TB = 2.22, V.DA = 1.63

h2 = 2.22 – 1.63 = 0.59

La diferencia vertical entre A y B será el promedio de las dos lecturas de sus

valores absolutos.

76


1.4.4.-COMPENSACION EN NIVELACIONES.

De acuerdo a la teoría de errores una nivelación puede conllevar a muchas

fallas por diferentes causas como instrumentales, humanos, ambientales etc.

Los mismos que pueden ser corregidos mediante una compensación si se

encuentra dentro del rango permitido.

Para compensar se debe tener en cuenta que el recorrido debe iniciar en un

punto conocido con la información requerida, en éste caso su altitud, el punto

final también debe tener un punto conocido, caso contrario se realizará una

nivelación ida y vuelta del eje o alineamiento.

Si la nivelación es de un polígono, automáticamente el punto inicial al cerrar

el circuito será el punto final, otro caso puede ser la nivelación entre dos

puntos de cota conocida.

Para compensar un circuito es importante tomar las distancias respectivas de

punto a punto, sabiendo que el error de cierre es la discrepancia que existe

entre las altitudes de un mismo punto

A IDA

d1 d2 d3 B

A’ 1 VUELTA 2

Ec = error

Ec = cota A’ – cota A

77


D = Distancia, se considera todo el recorrido ida y vuelta, 2(d1 + d2

+ d3)

fc= Ec/D factor de corrección

C = corrección, (fc x d), puede ser + ó – (por exceso ó defecto)

d = distancia acumulada para cada punto.

La corrección se realiza en la nivelación de ida.

EJEMPLO 3.

Se desea compensar las cotas de los puntos para la nivelación de una calle con los

siguientes datos de campo, conociendo el punto de salida A 3225 m.s.n.m.

NIVELACION DE IDA VUELTA

Pto Dist. V.T V.D Pto Dst. V.T. V.D

A 2.42 B 1.34

1 19.50 2.20 10 1.58

2 22.40 2.52 9 1.245

3 26.30 2.10 8 1.08

4 30.55 0.55 1.85 7 1.14

5 51.35 1.35 1.66 6 1.78 1.28

6 61.80 1.88 1.20 5 1.95

7 25.20 1.76 4 0.805

8 29.10 1.52 3 2.065 1.065

9 19.90 1.85 2 2.47

10 15.30 2.20 1 2.17

B 18.60 1.95 A 1.44

SOLUCION. Se tiene una nivelación mixta, (simple y compuesta), calculamos sus

cotas en el siguiente cuadro en la nivelación de ida y vuelta.

78


VT VD VD VD VD VD

VT VD

VD VD VD VD

VT VT VD 8 9 10 7 B

4 1 2 3 5 6 A

CALCULOS DE COTAS Y COMPENSACION. IDA

PtoDist. D.Ac. V.T V.D D.V COTA

COTA .CO

RREG.

A 2.42 3227.42 3225.00 3225.000

1 19.50 19.50 2.20 0.22 3225.22 3225.191

2 22.40 41.90 2.52 -0.10 3224.90 3224.838

3 26.30 68.20 2.10 0.32 3225.32 3225.220

4 30.55 98.75 0.55 3226.12 1.85 0.57 3225.57 3225.425

5 51.35 150.10 1.35 3225.81 1.66 -1.11 3224.46 3224.240

6 61.80 211.90 1.88 3226.49 1.20 0.15 3224.61 3224.299

7 25.20 237.10 1.76 0.12 3224.73 3224.382

8 29.10 266.20 1.52 0.36 3224.97 3224.579

9 19.90 286.10 1.85 0.03 3224.64 3224.220

10 15.30 301.40 2.20 -0.32 3224.29 3223.847

B 18.60 320.00 1.95 -0.07 3224.54 3224.070

CALCULO DE COTAS VUELTA

PTO V.T V.D D.V. COTA.

B 1.34 3225.88 3224.54

10 1.58 -0.24 3224.30

9 1.245 0.095 3224.64

8 1.08 0.26 3224.80

7 1.14 0.20 3224.74

6 1.78 3226.38 1.28 0.06 3224.60

5 1.95 -0.17 3224.43

4 0.805 0.975 3225.575

3 2.065 3227.38 1.065 0.715 3225.315

2 2.47 -0.405 3224.91

1 2.17 -0.105 3225.21

79


A 1.44 -0.625 3225.94

En la nivelación de vuelta el cálculo de la cota de A es 3225.94 m.sn.m.

Ec = A’-A = 3225.94-3225=0.94 mts (por exceso)

D = ida + vuelta = 2(320) = 640 mts.

fc= Ec/D = 0.94/640m. = 0.00146875

El error es por exceso, la compensación será negativa.

C = -fc x d

La compensación se realiza en la nivelación de ida.

C1 = fc X d1 = -0.00146875 x 19.50 = -0.0286

C2 = fc X d2 = -0.00146875 x 41.90 = -0.0286

C3 = fc X d3 = -0.00146875 x 68.20 = -0.0286

C4 = . . . . . . .

C10 = . . . . . . .

CB = . . . . . . .

Los resultados se suman algebraicamente a las cotas calculadas en la nivelación de

ida, como muestra el primer cuadro, la última columna es la cota corregida.

1.4.5.-ERROR MAXIMO PERMISIBLE.

Como en toda nivelación se comete errores por mínimo que sea, y en algunos

casos se sobrepasan los límites, para ello se ha establecido ciertos parámetros

de control para cada orden de nivelación.

1er ORDEN.- Llamada también precisa, para nivelaciones de canales,

ferrocarriles, trabajos de gran precisión, las lecturas se realizan al

milímetro, siendo su error máximo permisible: , siendo K

la distancia de nivelación del circuito.

2do ORDEN.- Llamada ordinaria, nivelación para carreteras, calles, las

lecturas se realizan con apreciación al medio centímetro, el error máximo

permisible es

3er ORDEN.- o rápida con lecturas al centímetro, para trabajos preliminares,

el error máximo debe ser:

80


De acuerdo al orden establecido, cada caso tiene su error máximo permisible,

si el resultado fuese mayor indica que se tiene que regresar al campo para

tomar nuevos datos, si el error está por debajo del permisible se procede a

compensar las cotas.

1.5.-NIVELACION TRIGONOMETRICA.

En la nivelación geométrica los desniveles se obtienen a partir de visuales

horizontales (VT y VD), En la nivelación trigonométrica la diferencia de alturas se

obtiene por medio de visuales inclinadas y su respectivo ángulo vertical, de

elevación o depresión. Para obtener el ángulo vertical de un punto se puede emplear

teodolitos, los mismos que pueden tener el origen ó 0° en la parte superior del

limbo vertical, las lecturas serán ángulos CENITALES, el ángulo vertical se

obtendrá restando de 90°. Si el origen ó 0° está en la parte inferior del limbo

vertical las lecturas serán ángulos NADIRALES, y para obtener el ángulo vertical

restamos 90°.

D.INCLINADA AS DV. cenital

vertical BD.HORIZONTAL

AI H

APara calcular la diferencia vertical taquimétricamente de los puntos A y B, en el

gráfico; se estaciona el teodolito en el punto A, visamos al punto B (mira),

anotamos la siguiente información: Cenital, distancia inclinada, altura de

instrumento y altura de señal.

V = 90° - Cenital.

DV = x D.I. x Sen2V

H = AI+DV-AS

= DV +AI-AS.

Si: V = Angulo vertical.

C = Angulo cenital

D.I.= Distancia inclinada.

81


DV. = Diferencia vertical

H = Diferencia vertical entre A y B.

EJEMPLO 4.

Determinar la diferencia vertical entre los puntos A y B, si las lecturas de campo es:

C = 112°20’15”, Distancia inclinada 325.50 mts. AI=1.48, AS=2.22m.

SOLUCION.1) Calculamos el Ángulo vertical.

V= 90°-112°20’15” AI

= -22°20’15” (depresión) A

2) De la fórmula DV.= ½*DI*sen(2V) AS

DV =1/2*325.50*Sen 2(-22°20’15”) DV = -114.427 m. B

3) H=DV+AI-AS = -114.427 +1.48-2.22 = -115.167 m.

OBSERVACION: Para determinar la diferencia vertical entre dos puntos, si la

distancia tomada es estadimétrica se aplica la fórmula DV= ½ DI*Sen2V; Si la

distancia es tomada con distanciómetro ó medición directa la fórmula es trigonométrica.

DV = DI*SenV.

1.6.-NIVELACION BAROMETRICA.

Método que consiste en hallar la diferencia vertical en función a la presión

atmosférica, para ello se cuenta con los instrumentos llamados ALTIMETROS.

El fundamento radica que la presión atmosférica varia en razón inversa a la altura, a

> altura < es la presión; y a < altura > es la presión, el método no es apropiado para

trabajos de precisión, puede emplearse para exploraciones, ubicación de altitudes

aproximadas de bancos.

1.7.-LIBRETA DE CAMPO.

Para obtener resultados de acuerdo a las exigencias es importante llevar un control

estricto de la libreta de campo, actualmente existen libretas digitales que vienen

incorporados a los equipos electrónicos, el mismo que garantiza un almacenamiento

seguro de los datos de campo, en este punto trataremos de las libretas

82


convencionales la forma de llevar y alimentar los datos, la libreta del topógrafo

tiene que ser especial para un trato duro por la naturaleza del trabajo.

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10

D A

C B

Las libretas vienen divididas en dos partes, a la izquierda donde se anota los datos

de campo de acuerdo a las normas establecidas, a la derecha se lleva el croquis

según el avance, daremos un ejemplo de la forma como llevar la libreta de campo.

Según el croquis:

- En 1 y 2 se anotan las características del trabajo como marca del equipo,

nombre de los operadores, condiciones ambientales y otras que crea necesaria.

- En 3 se anotan los puntos estacados.

- En 4 anótese las distancias de cada tramo.

- En 5 columna donde se anota la Vista Atrás.

- En 6 Anótese los datos de la Vista Adelante.

- En 7, 8 y 9 las observaciones que crea conveniente el operador.

- En 10 se lleva el croquis del terreno de acuerdo a una secuencia establecida.

1.8.-CURVAS DE NIVEL.

Son líneas imaginarias horizontales que unen los puntos que se encuentran a una

misma altura o cota, ó es cuando un plano horizontal intercepta la superficie del

terreno originando las curvas de nivel, el mismo que nos indica las características

de la superficie del terreno en donde puede determinarse las entrantes y salientes,

para graficar o interpretar un plano se debe tener una serie de curvas de nivel que

83


tienen una separación de curva a curva a esta diferencia de altura se llama

equidistancia.

La separación de las curvas es importante para la construcción de maquetas a

escala.

Si E = equidistancia natural.

e = equidistancia gráfica, en función a una escala.

1/E = escala dada.

e = E (1/n).

EJEMPLO 5

Calcular la equidistancia gráfica para preparar una maqueta a curvas de nivel de un

levantamiento topográfico cuya equidistancia natural es 20 mts a una escala 1/5000.

SOLUCION.

e = E(1/n). E = 20 mts.

1/E = 1/5000

e = 20(1/5000) = 0.004 m. = 4 mm.

La equidistancia de 20 mts estará representado por 4 mm. de altura de curva a curva

en la maqueta.

1.8.1-EQUIDISTANCIAS.- La equidistancia de las curvas se fija de acuerdo al

levantamiento, puede ser cada 5, 10, 20, 25, 50. en función a la escala, cuando

los detalles no pueden diferenciarse para realizar un proyecto ó una buena

interpretación, podemos dibujar equidistancias menores, como: 2, 1, 0.5,

0.25 mts.

En el plano la numeración se realiza en la misma proyección de la curva al

extremo del plano ó en una interrupción, dentro de las curvas existen

84


principales ó matrices y secundarias, las cotas se ubican en las curvas

principales con números enteros nunca con decimales.

3200

3220

3240 3260 3260 3280

3300

1.8.2.-CARACTERISTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel por su configuración presentan las siguientes

características.

1- Si la numeración es ascendente representan elevaciones o cerros.

2- Si las separaciones son muy distantes indican pendientes suaves, si son

juntas pendientes fuertes.

3- Si las separaciones son uniformes, la pendiente es constante.

4- Las curvas y separaciones irregulares representan terrenos accidentados.

5- Las curvas que se superponen representan terrenos verticales.

6- Las curvas en U representan valles abiertos, y en V con la punta hacia

arriba indican quebradas o ríos, si la V es normal indican peñas

pronunciadas.

1.8.3.-METODO PARA GRAFICAR LAS CURVAS DE NIVEL.

Para dibujar las curvas de nivel después de realizado los cálculos y ubicado

las cotas se puede representar por medio de dos métodos, gráfico y analítico.

C 3220

85


A 3225

3215

E 3212

B 3210

D 3208

METODO GRAFICO.

Para trazar las curvas a la misma altura gráficamente aplicamos el principio de la

división de una recta en partes iguales.

En el croquis los puntos A y B unimos con una línea débil, a partir del punto A

trazamos una línea auxiliar tal como AB’, en ésta trazamos las equidistancias de

acuerdo al requerimiento tal como 5 mts de curva a curva, empezamos en la cota

3225m.s.n.m. en forma descendente, 3220, 3215,y 3210, del último punto graficado

en la recta auxiliar unimos al punto B, y trazamos paralelas a sus respectivas

altitudes y en la intersección es la altura que le corresponde.

METODO ANALITICO.

Los puntos CD unimos con una recta débil, y en ella realizamos lo siguiente:

- Medimos la distancia horizontal entre CD(x unidades.).

- La diferencia vertical entre CD (3220-3208)= 12 mts.

- Entonces decimos para X unidades.(en el papel) hay una diferencia vertical de

12 m.

- Luego para la cota 3215 hay una diferencia de 5 m. y estará a una distancia X’

del punto C. con la siguiente relación:

- X .......12 mts.

X’ .......5 mts.

X’ = X*5/12 Unidades.

- Se mide a partir del punto C una distancia de X’ unidades donde estará ubicado

la cota 3215.

- Con el mismo procedimiento se calcula para las cotas inferiores.

- Para la interpolación de los puntos CE se puede realizar con cualquiera de los

dos métodos.

- Calculado las respectivas ubicaciones de las cotas se une a mano alzada los

puntos que se encuentran a la misma altura hasta llenar todo el plano.

- Para interpolar las curvas de nivel deben hacerse con los puntos adyacentes y no

deben cruzarse entre ellos.

86


1.9.-PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL.

Los perfiles longitudinales a partir de curvas de nivel se obtienen de la siguiente

manera:

- Las curvas de nivel están ubicadas en el plano horizontal.

- Los perfiles se dibujan en el plano vertical.

- Primero graficamos un sistema de coordenadas X e Y donde

X = distancia horizontal y el eje Y = cota o altitud.

- En el gráfico X viene a ser la distancia horizontal del eje del perfil AB.

- En el eje Y representamos desde la cota más baja 3850 hasta la curva 3890 a

una escala determinada.

- La sección AB en el plano horizontal corta a las curvas de nivel en diferentes

puntos.

- De las intersecciones respectivas se levantan perpendiculares hacia el plano

vertical hasta cortas su respectiva altura.

- Levantado toda las intersecciones de las curvas, a mano alzada se une los

puntos, donde queda representado el perfil longitudinal del eje AB.

- Con el mismo principio se puede obtener el perfil longitudinal de cualquier

5sección del plano horizontal.

- Las secciones transversales se levantan perpendicular al eje a distancias

uniformes o de acuerdo a la característica del levantamiento y con el mismo

principio anterior se determina su sección para el cálculo de áreas.

SECCION LONGITUDINALAB

n.s.n.m.

3900

3890

3880

3870

3860

3850

3840

A S 46°50’40” E B

87


3850 3850

3860 3860 3870 3870 3880 A 3880 B 3890 3890

S 46°50’40”E

VISTA EN PLANTA

88

Documents

TOPO 1