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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Ruiz Pérez NorbertoInstituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad ZacatencoDepartamento de ingeniería eléctrica
Distrito Federal, Mé[email protected]
I. INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para
resolver muchos problemas de la ciencia y la ingeniería.
La solución numérica de dichos sistemas la forman una
gran variedad de algoritmos, como eliminación de Gauss,
Gauss-Jordan, Gauss-Seidel, Montante, Jacobi, Lu y
Cholesky entre otros, que de una manera u otra resuelven
el sistema de ecuaciones lineales (si tiene solución). Sin
embargo, cuando se trata de problemas muy complejos en
donde intervienen muchas ecuaciones, se requiere de
muchas operaciones aritméticas que pueden provocar caer
en el tedio y el aburrimiento por tanto cálculo, entonces,
debe emplearse una alternativa para el aprendizaje.
Actualmente, los Métodos Numéricos tienen auge con la
llegada de las computadoras y en especial para resolver
sistemas de ecuaciones lineales que requieren cálculos
matemáticos extremadamente complejos.
1. Sistemas de ecuaciones lineales
Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de
ecuaciones que deben resolverse simultáneamente y que
presentan la siguiente estructura:
Este sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con N
incógnitas puede escribirse en forma matricial como:
AM x N X B
Dónde:
La matriz de coeficientes A se llama matriz del sistema. La
matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de
términos independientes B como última columna, se le llama
la matriz ampliada o matriz aumentada del sistema de
ecuaciones, que se representa por [A | B] y X es el vector de
incógnitas.
2. Método de gauss-jordan
Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a
Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del
algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de
ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema
de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y
obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema
dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las
ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La
matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se
conoce como forma escalonada.
Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones
simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es
que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas
las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación
principal así como de las que la siguen a continuación. De esta
manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en
vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar
la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método
Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes
de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la
notación matricial, por ejemplo:
También se le llama matriz aumentada.
Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar
dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz
equivalente a la inicial, de la forma
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las
matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones.
Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se
aplicarán en todos los elementos de la fila.
En dicha matriz identidad no vemos los términos
independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original
alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del
sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se
corresponderán de la forma siguiente:
• d1 = x
• d2 = y
• d3 = z
Ahora teniendo clara esta base, analicemos
detalladamente este método con un ejemplo concreto.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo
anotaremos en forma matricial:
Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas
columnas y filas de la matriz para así convertirla en la
matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:
Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la
matriz original en el 1 de la primera fila de matriz
identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la
fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos cómo nos
queda:
A continuación debemos obtener los dos ceros de la
primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo
buscaremos el opuesto de los números que se encuentren
por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3
será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los
opuestos de estos números por cada uno de los elementos
de la fila primera y estos se adicionarán a los números de
sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la
segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3,
por cada uno de los elementos de la primera fila y se
añadirá el resultado con el número correspondiente de la
columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo:
A medida que realicemos este procedimiento operando
con las distintas filas y columnas de la matriz,
observaremos como esta se transforma en el modelo de la
matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos
finalmente en la cuarta columna los valores de las
variables. Veamos entonces como nos quedaría:
3. Método de gauss-seidel
Este método se basa en la aproximación iterativa
propuesta por Seidel en 1874 (Academia de Ciencias de
Munich). Para la aplicación al problema del flujo de
potencia, las ecuaciones de nodo y condiciones de
contorno se combinan, para el nodo k:
De donde se puede expresar la tensión Vk como:
La ecuación anterior es el corazón del algoritmo iterativo. La iteración comienza con una estimación de las magnitudes y ángulos de todas las barras del sistema, y se van recalculando las tensiones utilizando los mejores valores disponibles. Esto es, para calcular la tensión Vk se utilizan los V1...k-1 ya actualizados, y los Vk...n del paso anterior. El método tiene una convergencia extremadamente lenta pero segura (excepto para problemas mal condicionados, o sin convergencia posible.El método de Gauss-Seidel es un refinamiento del método de Jacobi que generalmente (pero no siempre) converge más rápido. El último valor de cada variable es sustituido en cada paso en el proceso iterativo. El método de Gauss-Seidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser un método bastante eficiente. A continuación se presenta un sistema de ecuaciones:
De la ecuación 1 se despeja 1x , de la ecuación 2 despeja
2x , …, de la ecuación n se despeja nx. Resolviendo lo
anterior se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le se le asigna el valor de cero a las variables
nxx ,,2 ; esto dará un primer valor para 1x . Más
precisamente, se tiene que:
A continuación, se sustituye este valor de x2 en la
ecuación 2, y las variables x3 , .. . , xn siguen teniendo el
valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para x2 :
Estos últimos valores de 1x y x2 , se sustituyen en la
ecuación 3, mientras que x4 ,. . ., xn siguen teniendo el
valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última
ecuación. Todo este paso, darán una lista de primeros
valores para las incógnitas, la cual conforma el primer
paso en el proceso iterativo. Digamos que se tiene:
Se repite el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio, se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas. Por lo tanto ahora se tiene:
En este momento, se puede calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. Así, se tiene la lista de errores como sigue:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde
∈s
es una cota suficiente prefijada.
Criterio de Convergencia para el método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste.El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar para obtener una cierta precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi.
Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:
El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia.
Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:
El método de Gauss-Seidel está basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales.Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad siguiente, si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede divergir.
|a12
a11
|<1|a21
a22
|<1
|a11|>|a12||a22|>|a21|
|aii|>∑j=1j≠i
n
|ai , j|
¿ j≠i ¿¿¿n¿¿