Trabajo Estadística Probababilidades 02

TRABAJO DE ESTADSTICA

EJERCICIO 1

El departamento de Publicidad del Palacio de Bronce efecta una encuesta a un grupo seleccionado de 1000 clientes, de entre todos los que abrieron su cuenta de crdito en el pasado mes de diciembre. Se les pregunta si su crdito fue utilizado para comprar artculos para el hogar, artculos de vestir o juguetes. Los resultados de la encuesta se han tabulado as:

Artculos para el hogar 275 n (H) = 275Artculos de vestir 400 n (V) = 400Juguetes 550 n ( J ) = 550Artculos para el hogar y de vestir 150 n (H V) = 150Artculos para el hogar y juguetes 110 n (H J) = 110Artculos de vestir y juguetes 250 n (V J) = 250Artculos de vestir, del hogar y juguetes 100 n (V H J) = 100

Se pregunta:

a) Cuntas personas no usaron su crdito en ninguna de esas 3 mercancas? Cuntas personas no usaron su crdito en ninguna de esas 3 mercancas?b) Cuntas personas utilizaron su crdito solo para comprar artculos de vestir?, slo para artculos del hogar?, slo para juguetes?

Desarrollo

a) Cuntas personas no usaron su crdito en ninguna de esas 3 mercancas?

( = Conjunto Universo) n () =1000

Nmero de personas que si usaron su crdito

n (V U H U J) = n(H) + n(V) + n(J ) - n(H V) - n(H J) - n(V J) + n(V H J) n (V U H U J) = 275 + 400 + 550 - 150 - 110 - 250 + 100 n (V U H U J) = 815

Las personas que no usaron su crdito seran:

n (V U H U J )c = n() - n(V U H U J ) = 1000 815 = 185

b) Cuntas personas utilizaron su crdito solo para comprar artculos de vestir?, slo para artculos del hogar?, slo para juguetes?

Slo para artculos de vestir:

n (V H J ) = n(V) - n(V H) - n(V J) + n(V H J) n (V H J ) = 400 150 250 + 100 = 100

Solo para artculos del hogar:

n (H V J ) = n(H) - n(H V) - n(H J) + n(V H J) n (H V J ) = 275 150 110 +100 = 115

Slo para juguetes:

n (J H V ) = n(J) - n(J H) - n(J V) + n(V H J) n (J H V ) = 550 110 250 + 100 = 290

Diagrama de Venn que resume los resultados de la encuesta

EJERCICIO 2

Un investigador de mercado efecta una encuesta sobre los hbitos de lectura de peridicos de la ciudad de Crdoba, con los siguientes resultados:

9.8% leen el Clarn n (C) = 9.8%22.9% leen el Mercurio n (M) = 22.9%12.1% leen la Sensacin n (S) = 12.1%5.1 % leen el Clarn y el Mercurio n (C M) = 5.1%3.7% leen el Clarn y la Sensacin n (C S) = 3.7%6.0% leen el Mercurio y la Sensacin n (M S) = 6.0%32.4% leen al menos uno de los 3 peridicos mencionados. n (C U M U S) = 32.4%

Calcular el porcentaje de personas que:

a) No leen ninguno de los tres peridicos mencionados.b) Leen exactamente dos de los peridicos.

Desarrollo

a) No leen ninguno de los tres peridicos mencionados.

( = Conjunto Universo) n() =100%

n (C U M U S)c = n() - n(C U M U S) n (C U M U S)c = 100% - 32.4%n (C U M U S)c= 67.6%

b) Leen exactamente dos de los peridicos.

Personas que leen tres peridicos (x):

x = n (leen 3 peridicos) = n(C M S)

n (C U M U S) = n(C) + n(M) + n(S) n(C M) n(C S) n(M S) + n(C M S)32.4% = 9.8% + 22.9% + 12.1% 5.1% 3.7% 6.0% + x x = 2.4%

Las personas que leen exactamente dos peridicos serian:

n (leen 2 peridicos) = (5.1% x) + (6.0% x) + (3.7% x)n (leen 2 peridicos) = 14.8% 3xn (leen 2 peridicos) = 14.8% 3(2.4%)n (leen 2 peridicos) = 14.8% 7,2%n (leen 2 peridicos) = 7,6%

Diagrama de Venn que resume los resultados de la investigacin

EJERCICIO 3

En una Asamblea General de una Sociedad Annima, en la que participaron 950 accionistas, sediscuti la iniciativa de incrementar el capital social.

470 accionistas posean acciones preferentes.104 accionistas con acciones preferentes votaron por la proposicin.350 accionistas del grupo mayoritario con acciones comunes, votaron a favor de la proposicin.113 accionistas del grupo mayoritario votaron contra la proposicin.

Entre los accionistas que tomaron parte de la votacin, los del grupo mayoritario superaban en 50 a losdel grupo minoritario.

278 accionistas del grupo minoritario, con acciones preferentes, votaron en contra de la misma.La iniciativa fue aprobada por 54 votos de margen.

Elabore un anlisis detallado de los resultados de la votacin, obteniendo la mxima informacinposible de los datos disponibles, a fin de lograr un mejor conocimiento de las caractersticas de esecuerpo decisor.

Desarrollo

Para este anlisis disponemos de tres clases de informacin:a.) Referente al grupo al que pertenecen,b.) Referente al tipo de acciones al que poseen,c.) Referente a la forma en que emitieron su voto.

Simbolizaremos por:

M = al conjunto que representa al grupo mayoritario ( y por M' = al conjunto que representa al grupo minoritario);F = al conjunto que representa a los accionistas que votaron a favor( y F' = al conjunto de los accionistas que votaron en contra);C = al conjunto que representa a los accionistas que poseen acciones comunes(y por C' = al conjunto de accionistas que poseen acciones referentes).Los daros disponibles, se resumen as: n () = 950 n (M = 113 n (C') = 470 n (M) n(M') = 50 n (FC') = 104 n (M' = 278 n (M = 350 n (F) n(F') = 54

Diagrama de Venn

M C

M C

M C

M C'

M C'

Aplicaciones:

1. El nmero de accionistas del grupo minoritario, n(M), se obtiene de la siguiente manera: n (M) + n(M') = 950 n (M)- n (M') = 50 2n (M') =950 50 = 900 n (M') =

2. El nmero de accionistas del grupo mayoritario, n (M), se obtiene despejndolo en (1): n (M) = n () n (M') = 950 450 = 500

3. El nmero de accionistas que votaron en contra, n (F'), se obtiene as:n (F) + n (F') = 950n (F) - n (F') = 542n (F') = 950 54 = 896n (F') =

4. El nmero de accionistas que votaron a favor, n (F), se obtiene despejando en (2). n (F) = n () n (F') = 950 448 = 502

5. El nmero de accionistas que poseen acciones comunes, n (C): Dato: n (C') = 470 n (C) + n (C') = 950 n (C) = 950 n (C') = 950 -470 =480

Resumiremos la informacin que hemos obtenido en los puntos 1 al 5:n () = 950* n (M) = 500 n (M') = 450n (F) = 502 n (F') = 448n (C) = 480 n (C') = 470*

Dato del problema.

Para los desarrollos siguientes consideraremos las siguientes figuras:

F

F

= 104n (F

M

M

n (M

M F

6. Los accionistas del grupo mayoritario que votaron a favor, n (M , se obtienen de la frmula : n (M, Despejando n (M y utilizando el dato n (M Esto es: n (M

7. Los accionistas del grupo minoritario que votaron a favor, n (M, se obtiene de la frmula: n (F) = n ( Despejando n ( y utilizando el dato n ( Esto es: n (

8. Los accionistas del grupo minoritario que votaron en contra n (, se obtiene as:

n ( = [ ] = 950 - [113 + 387 + 115] = 950 615 = 335

9. Los accionistas que poseen acciones comunes y votaron a favor, n (, Se obtiene de la frmula: n (F) = n ( F

Despejando n ( F y utilizando el dato Esto es:

10. Los accionistas que votaron en contra u poseen acciones comunes, Se obtiene de la frmula n (C) = n + n , Utilizando el dato n Esto es: n = n (C) n

11. Los accionistas que votaron en contra y poseen acciones preferentes , se obtiene as:

Para los desarrollos siguientes consideraremos las siguientes figuras

CMFMCFMMMMMM

12. El nmero de accionistas que votaron a favor, del grupo minoritario que poseen acciones preferentes, n (M' se obtiene de la frmula: n (F) = n (M' Despejando n (M' y utilizando el dato n (M y las cifras ya calculadas:

n (M' n (M' 502 -387 398 + 350 = 67

13. Los accionistas del grupo minoritario que poseen acciones preferentes n (M' Se obtiene de la formula siguiente: n (M' n (M'

14. Los accionistas del grupo mayoritario que poseen acciones preferentes, n (M Puede calcularse utilizando la frmula: n ( Despejando n (M se tiene: n (M

15. Los accionistas del grupo mayoritario que poseen acciones comunes, n (M Se deducen utilizando la frmula: n (M) = n (M Despejando n (M' como sigue: n (M'

16. Los accionistas del grupo minoritario que poseen acciones comunes, se obtienen de la frmula: n (C)= Despejando como sigue:

Los datos que hemos obtenido en los puntos 6 al 16, se resumen as:

n (M n (M' n (M

17. Los accionistas del grupo mayoritario que votaron a favor y poseen acciones referentes, son: n (M

18. Los accionistas del grupo mayoritario que votaron en contra y poseen acciones comunes, n (M son: n (M

19. Los accionistas del grupo minoritario que votaron a favor y poseen acciones comunes: n (M(n (M

20. El nmero de accionistas del grupo minoritario, que votaron en contra y poseen acciones comunes, n (M se obtiene as:

n (Mn (M (n (M n (M 480 375 398 + 350 = 57

21. El nmero de accionistas del grupo mayoritario, que votaron en contra y poseen acciones referentes, n (Mse obtiene as:

Los datos que hemos obtenido en los puntos 12 y 17 a 21, se resumen as:

En consecuencia, se tiene todas esas informaciones:

Se han obtenido 27 informaciones bsicas y derivadas. Hemos agotado todas las posibilidades de obtencin de informacin para este problema

Diagrama de Venn de los resultados de las votaciones del cuerpo decisorio 4857

n(C) =48067372535088n(F)=502n(M)=500

EJERCICIO 4Supngase que el conjunto universal consta de los enteros positivos de 1 a 10. SeanA = {2,3,4,}, B = {3,4,5} y C = {5,6,7}. Anote los elementos de los siguientes conjuntos.

a) A B b) A B c) (A B) d) (A (B C)) e) (A (B C)

Desarrolloa) A B A= {1,5,6,7,8,9,10}B = {3,4,5}A B ={5}

b) A B A= {1,5,6,7,8,9,10}B = {3,4,5}A B= {1,3,4,5,6,7,8,9,10}

c) (A B) A= {1,5,6,7,8,9,10}B= {1,2,6,7,8,9,10}A B= {1,6,7,8,9,10}(A B)= {2,3,4,5}

d) (A (B C)) A = {2,3,4,}B = {3,4,5}C= {5,6,7}B C = {5}(B C)= {1,2,3,4,6,7,8,9,10}A (B C)= {2,3,4}(A (B C))= {1,5,6,7,8,9,10}

e) (A (B C) A = {2,3,4,}B = {3,4,5}C= {5,6,7}BC = {3,4,5,6,7}A (BC) = {3,4}(A (B C)= {1,2,5,6,7,8,9,10}

EJERCICIO 5

Cules de las siguientes relaciones son verdaderas?

a) (AB) (AC) = A (BC)b) (AB) = (AB) B c) A B = AB d) (A B) C = ABC e) (A B) (BC) =

Desarrollo

a) (A B) (AC) = A (BC) (A B) (AC) = (A B) (A C)

Verdadera

b) (A B) = (A B) B (A B) = B (A B)(A B) = ( B U A)(A B) = A U B

Verdadera

c) A B = A B Falsa

d) (A B) C = A B C Falsa

e) (A B) (B C) = (A C) (B B) = (A C) = =

Verdadera

EJERCICIO 6Los artculos provenientes de una lnea de produccin se clasifican en defectuosos (D) y no defectuosos (N). Se observan los artculos y se anota su condicin. Este proceso se contina hasta que se produzcan dos artculos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artculos, lo que ocurra primero. Describir el espaciomuestral para este experimento.Desarrollo

EJERCICIO 7

En una habitacin se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21, 4 hombres menores de 21, 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeres menores de 21. Se elige una persona al azar. Se definen los sucesos siguientes: A = { la persona es mayor de 21 }; B = { la persona es menor de 21 }; C = { la persona es hombre }; D = { la persona es mujer }. Evaluar las siguientes:

a) P(B U D)b) P(A U C)

A= {la persona es mayor a 21}B= {la persona es menor a 21}C= {la persona es hombre}D= {la persona es mujer}

DesarrolloDATOSEDAD > 21EDAD < 21TOTAL

HOMBRES549

MUJERES639

11718

a)

b)

EJERCICIO 8

En una habitacin 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres al azar y se pide que dejen la habitacin inmediatamente y se anotan los nmeros de las insignias. a) Cul es la probabilidad de que el nmero menor de las insignias sea 5? b) Cul es la probabilidad de que el nmero mayor de las insignias sea 5? DesarrolloEspacio muestral

a) Cul es la probabilidad de que el nmero menor de las insignias sea 5?Evento: A = {el nmero menor de esas insignias sea 5} La probabilidad ser:

La probabilidad ser:

b) Cul es la probabilidad de que el nmero mayor de las insignias sea 5?Los elementos de b son conjuntos de 3 nmeros, uno de los cuales es 5 y los restantes nmeros pertenecen al conjunto {1, 2, 3, 4}.

La probabilidad ser:

EJERCICIO 9Un cargamento de 1500 lavadoras contiene 400 defectuosas y 1100 no defectuosas. Se elige al azar doscientas lavadoras (sin sustitucin) y se clasifica.a) Cul es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 artculos defectuosos?b) Cul es la probabilidad de que se encuentren al menos 2 artculos defectuosos?

Desarrollo

a) Cul es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 artculos defectuosos? N=1500 S=400 n= 200 x= 90

b) Cul es la probabilidad de que se encuentren al menos 2 artculos defectuosos?

N= 1500 S= 400 n= 200 x2

EJERCICIO 10

Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X, Y) una y otra vez sin sustitucin. Cul es la probabilidad de que X + Y = 10?

DesarrolloA = {pares de fichas cuyos nmeros suman 10} = {(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)}

En total hay = 45 pares posibles.

Entonces P(A) = 4/45

EJERCICIO 12 Un producto se arma en tres etapas. En la primera atapa hay 5 lneas de armado, en la segunda 4 lneas de armado y en la tercera 6 lneas de armado. De cuantas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado?Desarrollo

EJERCICIO 13Hay 12 maneras en las cuales un artculo manufacturado puede tener un pequeo defecto y 10 maneras en las cuales puede tener un defecto mayor. De cuntas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? 2 defectos menores y 2 defectos mayores?Desarrollo

EJERCICIO 14Un mecanismo puede ponerse en 4 posiciones, digamos A, B, C, D. Hay 8 de tales mecanismos en un sistema. a) De cuantas maneras puede instalarse este sistema? b) supngase que dichos mecanismos estn instalados en algn orden (lineal) pre asignado, de cuantas maneras posibles se instalan los mecanismos si dos mecanismos adyacentes no estn en la misma posicin?. c) Cuantas maneras son posibles si solo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece ms a menudo que la otra?

Desarrolloa) De cuntas maneras puede instalarse este sistema?

b) Supngase que dichos mecanismos estn instalados en algn orden (lineal) pre asignado, de cuantas maneras posibles se instalan los mecanismos si dos mecanismos adyacentes no estn en la misma posicin

c) Cuntas maneras son posibles si solo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece ms a menudo que la otra?

d)

EJERCICIO 15

Dos tubos defectuosos se confunden con 2 buenos, los tubos se prueban de uno por uno, hasta encontrar los defectuosos,a) Cul es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la segunda prueba?b) Cul es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la tercera prueba?c) Cul es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la cuarta prueba?d) Agregue los nmeros obtenidos anteriormente en (a), (b) y (c) es sorprendente el resultado.

Total de tubos = 4D = defectuoso, B = bueno

Desarrollo

a) Cul es la probabilidad de encontrar el ultimo tubo defectuoso en la segunda prueba?X = { (D,D)

P(X) = P(D,D) P(X) = (2/4)(1/3) = 2/12 P(X) = 1/6

b) Cul es la probabilidad de encontrar el ltimo tubo defectuoso en la tercera prueba?Y = { (D,B,D), (B,D,D) }

P(Y) = P(D,B,D) + P(B,D,D)P(Y) = (2/4)(2/3)(1/2) + (2/4)(2/3)(1/2) P(Y) = 1/6+1/6 = 2/6P(Y) = 1/3

c) Cual es la probabilidad de encontrar el ltimo tubo defectuoso en la cuarta prueba?

Z = {(B,B,D,D), (B,D,B,D), (D,B,B,D)}P(Z) = P(B,B,D,D) + P(B,D,B,D) + P(D,B,B,D)P(Z) = (2/4)(1/3)(2/2) (1/1)+ (2/4)(2/3)(1/2)(1/1) + (2/4)(2/3)(1/2) (1/1) P(Z) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6P(Z) = 1/2

d) Agregue los nmeros obtenidos anteriormente en (a), (b) y (c) es sorprendente el resultado. a + b + c 1/6 + 2/6 + 3/6 = 1

EJERCICIO 16

Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno. Cul es la probabilidad de que el otro tambin sea bueno?DesarrolloA = {el primer tubo elegido es bueno}B = {el segundo tubo elegido es bueno}P(A) = P(AB) = =

EJERCICIO 17

En la fabricacin de cierto artculo se encuentra que se presenta un tipo de defectos con una probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo de 0.05 (Se supone la independencia entre los tipos de defecto). Cul es la probabilidad de que:

Desarrollo

P = 0,1 = P = 0,05 =

a) Un artculo no tenga defectos?

b) Un artculo sea defectuosa?

c) Suponiendo que un artculo sea defectuoso tenga solo un tipo de defecto?

EJERCICIO 18

El porcentaje de alcohol (100x) en cierto compuesto se puede considerar como una variable aleatoria, en donde x, 0 < x < 1, tiene la siguiente fdp

f(x) = 20x3( 1 x), 0 < x < 1

(a) Obtener una expresin para fda F y dibujar su grfico.(b) Calcular P( X 2/3 )(c) Supngase que el precio de venta del compuesto anterior depende del contenido de alcohol. Especficamente, si 1/3 < x < 2/3, el compuesto se vende por C1 dlares/galn; de otro modo se vende por C2 dlares/galn. Si el costo es C3 dlares/galn, encontrar la distribucin de probabilidades de la utilidad neta por galn.

Desarrollo

a) Encuentre una expresin para la funcin de distribucin acumulada de x y grafquela.20x3-20x

[5(0,8)4-4(0,8)5]-[5(0,2)4-4(0,2)5] = [2,048-1,31072]-[0,008-0,00128] = 0,73728-0,00672 = 0,730

Funcin de probabilidad

b) Calcular P[x ]

[5()4-4()5]-[5(0)4-4(0)5] = [-]-0 = P[x] =

c) Supngase que el precio de ventas del compuesto anterior depende del contenido alcohol, especficamente, si 1/3 b)d) Calcular P(X 1/2 | 1/3 < x < 2/3 )

Desarrollo

a) Verificar que la anterior es un fdp y dibujarla.

Para verificar esto debemos usar la condicin: = 1

= = = 1

b) Obtener una expresin para la fda y dibujarla.

La expresin para fda es:

F(x) = P(X x) = = = =

c) Determinar un nmero b tal que P(X < b) = 2P(X > b)

Segn la relacin P(X < b) = 2P(X > b) tenemos:

F(b) = 2(1 F(b)) F(b) = 2 2F(b) 3F(b) = 2 F(b) = 2/3 = 2/3

d) Calcular P(X 1/2 | 1/3 < x < 2/3 )

Usamos la probabilidad condicional:

P(X 1/2 | 1/3 < x < 2/3 ) = = = = 1/2

EJERCICIO 20

Suponiendo que la duracin ( en horas ) de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con fdp f(x) = 100/x2, x > 100 y 0 para cualquier otro valor.

a) Cul es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todava funciona despus de 150 horas de servicio? b) Cul es la probabilidad de que si se instalan 3 de tales tubos en un conjunto, exactamente uno tenga que ser sustituido despus de 150 horas de servicio?c) Cul es el nmero mximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya una probabilidad 0.5 de que despus de 150 horas de servicio todos ellos todava funcionen?

Desarrollo

a) Cul es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todava funciona despus de 150 horas de servicio?

150 < x < 200

= = - = = 0,0008198302469

La probabilidad de que el tubo dure ms de 200 horas es de 0,0008198302469

(b) Cul es la probabilidad de que si se instalan 3 de tales tubos en un conjunto, exactamente uno tenga que ser sustituido despus de 150 horas de servicio? n=3 x=1p= b(n; x; p) = ( )q=b(3; 1; ) = ( )()1 ()3-1 = 3 * * (0,986711111) = 0,019734222

(c) Cul es el nmero mximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya una probabilidad 0.5 de que despus de 150 horas de servicio todos ellos todava funcionen?

p = 0,5 P (A/B)= = = 300

El nmero mximo de tubos es de 300

EJERCICIO 21

Cul es la probabilidad de contestar correctamente por lo menos tres de las cinco preguntas de un test de falso y verdadero?

Desarrollo

n=5x>=3p=0,6q=0,4 b(n; x; p) = ( )b(x>=3; 5; 0,6) = 1 (P0 +P1+P3)= 1 [( ) (0,6)0 (0,4)5 + ( ) (0,6)1 (0,4)4 ++ ( ) (0,6)2 (0,4)3] = 1 ( 0,01024 + 0,0768 + 0,2304 ) = 0,999938125

EJERCICIO 22

Si el 20% de los estudiantes de una universidad pierde el primer ao y se toma al azar un grupo de seis estudiantes. cul es la probabilidad de que:

a) Mximo dos aprueben? b) Todos aprueben?c) Ninguno apruebe?

Desarrollo

a) Mximo dos aprueben?

p = 0.80 (aprueban)q = 1 p = 1 0.80 = 0.20n = 6 x2

P(x2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) P(x2) = + + P(x2) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536P(x2) = 0.01696

La probabilidad es de 0.01689x 100 % = 1.69%

b) Todos aprueben?

p = 0.80 (aprueban)q = 1 p = 1 0.80 = 0.20n = 6 x = 6

P(x = r) =

P(x = 6) = P(x = 6) = 0.2621

La probabilidad es de 0.2621x100 % = 26.21%

c) Ninguno apruebe?

p = 0.80 (aprueban)q = 1 p = 1 0.80 = 0.20n = 6 x = 6

P(x = r) =

P(x = 0) = P(x = 0) = 0.2621

La probabilidad es de 0.2621

EJERCICIO 23

Se sabe que en una universidad de 2.000 estudiantes, ochocientos usan gafas. Si se realiza una encuesta a cinco estudiantes, cul es la probabilidad de que:

a) Por lo menos dos usen gafasb) Por lo menos dos no usen gafasc) De 2.000 estudiantes, cuntos no usan gafas

Desarrollo

a) Por lo menos dos usen gafas?

p = 800/2000 = 0.4 (usan gafas)q = 1 p = 1 0.4 = 0.6n = 5 x2

P(x2) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) ] P(x2) = 1 [ + ]P(x2) = 1 ( 0.07776 + 0.2592)P(x2) = 1 0.33696P(x2) = 0.6630


b) Por lo menos dos no usen gafas?

p = 0.6 (no usan gafas)q = 0.4 n = 5 x = 2, 3, 4 y 5

P(x2) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) ] P(x2) = 1 [ + ]P(x2) = 1 ( 0.01024 + 0.0768)P(x2) = 1 0.08704P(x2) = 0.9129


c) De 2.000 estudiantes, cuntos no usan gafas?

No usan gafas = (0.6)(2000) = 1200 Estudiantes

EJERCICIO 24

Una compaa de seguros considera que alrededor del 25% de los carros de servicio pblico se accidentan cada ao. Cul es la probabilidad de que por lo menos tres de una muestra de siete vehculos afiliados, hayan tenido accidentes en el ao?

p = 0.25 (se accidentan)q = 1 p = 1 0.25 = 0.75n = 7 x 3

Desarrollo

Cul es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de asegurados, se haya accidentado?

P(x3) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) ] P(x3) = 1 [ + + ]P(x3) = 1 ( 0.133483 + 0.311462 + 0.311462 )P(x3) = 1 0.756407P(x3) = 0.2435


EJERCICIO 25

En la produccin de un determinado artculo encontramos que por cada veinte que se producen, tres de ellos resultan defectuosos. Si se toma una muestra de ocho artculos. Cul es la probabilidad de que:

a) Por lo menos dos sean defectuososb) Por lo menos dos no sean defectuososc) En una produccin de 2000 artculos, en cuntos de ellos esperamos que sean defectuosos

Desarrollo

a) Por lo menos dos sean defectuosos?

p = 3/20 = 0.15 (defectuosos)q = 1 p = 1 0.15 = 0.85n = 8 x2

P(x2) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) ] P(x2) = 1 [ + ]P(x2) = 1 ( 0.27249 + 0.38469)P(x2) = 1 0.65718P(x2) = 0.3428


b) Por lo menos dos no sean defectuosos?

p = 17/20 = 0.85 (no defectuosos)q = 1 p = 1 0.85 = 0.15n = 8 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8

P(x2) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) ] P(x2) = 1 [ + ]P(x2) = 1 ( 0.000000256 + 0.00001161)P(x2) = 1 0.000011866P(x2) = 0.9999

La probabilidad es de 0.9999x 100 % = 99.99% 100%

c) En una produccin de 2000 artculos, en cuntos de ellos esperamos que sean defectuosos?

Nmero de defectuosos = (0.15)(2000) = 300

EJERCICIO 26

El 15% de los artculos producidos mediante cierto proceso son defectuosos. Se toma al azar una muestra de diez artculos, cul es la probabilidad de que:a) Ninguno sea defectuoso?b) Por lo menos dos no sean defectuosos?c) Como mximo dos sean defectuosos?

Desarrollo

a) Ninguno sea defectuoso.

p = 0.15 (defectuosos)q = 1 p = 1 0.15 = 0.85n = 10 x = 0

P(x = r) =

P(x = 0) = P(x = 0) = P(x = 0) = 0.1969

La probabilidad es de 0.1969x100% = 19.69%

b) Por lo menos dos no sean defectuosos.

p = 0.85 (no defectuosos)q = 1 p = 1 0.85 = 0.15n = 10 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

P(x2) = 1 [ P(x = 0) + P(x = 1) ] P(x2) = 1 [ + ]P(x2) = 1 ( 0.0000000057 + 0.000000326)P(x2) = 1 0.00000033P(x2) = 0.9999

La probabilidad es de 0.9999x 100 % = 99.99% 100%

c) Como mximo dos sean defectuosos.

p = 0.15 (defectuosos)q = 1 p = 1 0.15 = 0.85n = 10 x = 0, 1 y 2

P(x2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) P(x2) = + + P(x2) = 0.19687 + 0.34742 + 0.27589P(x2) = 0.8202


EJERCICIO 27

Existe un 80% de probabilidad de que un tipo determinado de componentes se comporte adecuadamente bajo la condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestin tiene cuatro de tales componentes, determine la probabilidad en cada uno de los siguientes eventos, por medio de la frmula para probabilidades binomiales:

a) todos los componentes se comportan adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional;b) el dispositivo no es operacional porque falta uno de los cuatro componentes;c) el dispositivo no es operacional porque falta uno o ms de los componentes.

Desarrollo

a) Todos los componentes se comportan adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional;

p = 0.80 (se comportan adecuadamente)q = 1 p = 1 0.80 = 0.20n = 4 x = 4

P(x = r) =

P(x = 4) = P(x = 4) = P(x = 4) = 0.4096


b) El dispositivo no es operacional porque falta uno de los cuatro componentes;

p = 0.20 (no se comportan adecuadamente)q = 1 p = 1 0.20 = 0.80n = 4 x = 1

P(x = r) =

P(x = 1) = P(x = 1) = P(x = 1) = 0.4096


c) El dispositivo no es operacional porque falta uno o ms de los componentes.

p = 0.20 (no se comportan adecuadamente)q = 1 p = 1 0.20 = 0.80n = 4 x1

P(x1) = 1 P(x = 0) P(x1) = 1 P(x1) = 1 P(x1) = 1 0.4096P(x1) = 0.5904


EJERCICIO 29

Un nuevo sabor de helado fue probado por un grupo de 15 alumnos de un colegio en el que se vende y 10 encontraron agradable el nuevo sabor. Si quisiramos repetir la prueba, se hara seleccionando 5 alumnos de los 15, cul es la probabilidad de que, a) a dos les guste el nuevo sabor?, b) a dos no les guste el nuevo sabor?

Desarrollo

a) A dos les guste el nuevo sabor?

N = 15 H(x) = s=10 n= 5x = 2 H(X)= 45 * 10 3003 H(x) = 0.1499

b) A dos no les guste el nuevo sabor?

N = 15 H(x) = s=5 n= 5x = 2 H(X)= 10 * 120 3003 H(x) = 0.3996

EJERCICIO 30

Un jefe de almacn sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tena conocimiento de lo anterior vendi en el da 4 bicicletas, cul es la probabilidad de que vendiera dos que requeran ser ajustadas?

N = 25 H(x) = s=6 n= 4x = 2 H(X)= 15 * 171 12650 H(x) = 0.202

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Trabajo Estadística Probababilidades 02