Trabajo Final de Optimizacin IntroduccinLa optimizacin puede considerarse como la bsqueda de la mejor solucin entre las posibles a un problema determinado. Este es un proceso que incluso puede llevarse a cabo mentalmente en el diario vivir, al tomar decisiones. Sin embargo, a medida que un problema se complica y se generan en este, restricciones y muchas variables, es preferible plantearlo en trminos matemticos, siempre que su naturaleza lo permita. Casi todos los problemas de diseo, operacin, anlisis de plantas, procesos industriales, planificacin, costos y muchas otras funciones de la ingeniera industrial, pueden ser resueltos mediante optimizacin, ya que esta es la funcin principal de un ingeniero en este rubro: Maximizar utilidades, maximizar calidad, minimizar costos, minimizar riesgos y en general optimizar recursos y tiempo. Es decir que el corazn de la rama es la optimizacin. En el presente trabajo, se aplicarn los conocimientos adquiridos a lo largo del semestre en una empresa real para lograr un mximo de utilidades para la misma, utilizando los distintos mtodos de optimizacin aprendidos a lo largo del curso.

AntecedentesLa empresa en la que se decidi realizar el trabajo es la fbrica de alimentos Alexander Cookie que se caracteriza por sus sabrosas galletas que son un producto de alta calidad. Esta empresa tambin produce queques, rollos de canela y diversos productos para la hora del t (masitas). La lnea donde se realizar la aplicacin del modelo de optimizacin, ser la de produccin de galletas, que ofrece al consumidor 5 tipos distintos de galletas, con los siguientes sabores: Chispas de Chocolate, Chocolate con Almendras, Avena con Pasas, Mantequilla de Man y Naranja con Coco. A pesar de que el precio ofrecido al consumidor es el mismo en cada uno de los tipos de galletas, la utilidad obtenida por cada una es diferente, ya que los costos varan dependiendo de los insumos que se utilizan para cada variedad. Algunos de los datos disponibles sobre cada galleta para el consumidor son las siguientes: a) Choco Chip: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) Por Galleta 237.60 7.85 24.99 11.80 0.003 0.009 0.005 0.02 0.12 2.65 2.02 1.34 En 100 g de producto 475.21 15.7 49.98 23.61 0.006 0.02 0.01 0.04 0.23 5.29 4.03 2.67

Ingredientes: Harina, chocolate, azcar, aceite vegetal hidrogenado, mantequilla, huevo, sal, vainilla.

b) Coco Naranja: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 167.05 6.75 20.7 6.36 0.002 0.01 0.002 0.02 0.15 2.52 1.92 1.15 En 100 g de producto 334.1 13.5 41.38 12.73 0.004 0.0 0.003 0.04 0.3 5.03 3.83 2.3

Ingredientes: Harina, coco rallado, naranja, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, huevo, sal, vainilla. c) Avena y Pasas: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 265.85 8.15 29.83 12.17 0.004 0.009 0.002 0.025 0.18 2.78 2.23 1.15 En 100 g de producto 531.66 18.3 59.85 24.34 0.027 0.018 0.05 0.05 0.35 5.55 4.45 2.3

Ingredientes:

Harina,

pasas,

avena,

azcar,

mantequilla,

aceite

vegetal

hidrogenado, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

d) Mantequilla de Man: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 164.30 9.6 25.57 2.62 0.004 0.008 0.002 0.02 0.17 2.86 2.15 1.27 En 100 g de producto 328.61 19.2 51.14 5.25 0.008 0.02 0.003 0.05 0.33 5.27 4.29 2.53

Ingredientes: Harina, mantequilla de man, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

e) Choco Almendra: Peso (Aproximado) = 55 gramosInformacin Nutricional Por Galleta Energa (Kcal) Protenas (g) Carbohidratos(g) Lpidos (g) Calcio (mg) Magnesio (mg) Sodio (mg) Potasio (mg) Fsforo (g) Hierro (mg) Magnesio (mg) Zinc (mg) 184.60 8.25 22.30 6.84 0.004 0.01 0.002 0.02 0.15 2.82 2.16 1.38 En 100 g de producto 369.19 16.5 44.59 13.87 0.009 0.02 0.004 0.048 0.3 5.83 4.32 2.75

Ingredientes: Harina, almendras, azcar, mantequilla, aceite vegetal hidrogenado, chocolate, lecitina de soya, huevo, sal, vainilla.

El total de dinero asignado a la planta, para produccin, es de 100 000 Bs, de los cuales 60% van destinados a la produccin de galletas, dado que la demanda exige una mayor cantidad de las mismas por que son su producto estrella, 30% va destinado a la produccin de queques de diferentes tipos y 10% a la produccin de rollos de canela. El presente estudio esta basado en la produccin de galletas, en sus distintas variedades. El precio de venta de las galletas en la fbrica es de 2.30 Bs, precio invariable sin importar el tipo de galleta. Sin embargo el costo de produccin de cada variedad es distinto, debido a que los insumos son diferentes segn el sabor de galleta, a continuacin se presenta una tabla con los costos: Tipo de Galleta Choco Chip Choco Almendra Mantequilla de Man Coco Naranja Avena y Pasas Costo de produccin (Bs) 1.90 1.80 1.70 1.60 2.00

Pero es de conocimiento del departamento de produccin que las cantidades de produccin no se rigen a los costos solamente, ya que la demanda, es diferente para cada tipo galleta, el orden de las ventas y el porcentaje en el que se producen actualmente se presentan en la tabla a continuacin: Tipo de Galleta Preferencia del Pblico Porcentaje de Produccin

(Actual) Choco Chip 1er Lugar 50% Mantequilla de Man 2do Lugar 30% Choco Almendra 3er Lugar 10% Coco Naranja 4to Lugar 8% Avena con Pasas 5to Lugar 2% El dinero total PROMEDIO asignado a la produccin de galletas es de 60 000 Bs. por mes, que significa un total de 33 333 galletas basndonos en el costo de produccin promedio de las galletas. Esta asignacin depende de las

fluctuaciones de la demanda, esto significara que en promedio, se producen 1667 galletas al da. Sin embargo, dado que los tiempos de coccin y preparacin de cada tipo de masa varan en gran medida, en un turno de 8 horas da, solo se puede producir una cantidad de cada tipo de galleta. Segn estos tiempos la empresa dispone de la informacin de la capacidad que se tendra de producir solo un tipo de galleta al da (Es decir, cuantas galletas al da se produciran si se fabricaran solo de un tipo). Este tipo de produccin es muy comn en pequeas empresas, que solo disponen de la maquinaria suficiente para realizar la produccin diaria, es decir que deberan cortar la produccin, realizar la limpieza de las maquinarias y herramientas y empezar con la produccin del otro producto, si se pretendiera elaborar todos los tipos de galleta cada da. La limpieza y cambio de producto, significara no solo la prdida de la mitad de el tiempo hbil diario de produccin (que a dems es remunerado al obrero), si no tambin de materiales que se pierden en cada lavado.

La empresa dispone de una tabla con la cantidad de galletas que tienen la capacidad de producir diariamente segn el tipo, la tabla se presenta a continuacin:

Tipo de Galleta Choco Chip Avena con Pasas Choco Almendra Coco Naranja Man

Capacidad diaria (galletas) 1680 1580 1690 1750 1635

El costo fijo unitario por galleta es de 0.20 ctvs.

ObjetivosObjetivo GeneralAplicar los conocimientos adquiridos en la materia de optimizacin en una empresa, para maximizar sus utilidades

Objetivos Especficos Definir el objetivo Elegir el sistema de estudio Construir un modelo Examinar las restricciones internas Simular el problema Determinar la solucin ptima

Marco Terico4.1. Optimizacin (matemtica)La optimizacin (tambin denominada programacin matemtica) intenta dar respuesta a un tipo general de problemas de la forma:

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisin, f(x) es llamada funcin objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente nmeros enteros o reales) y es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema. Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solucin de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimizacin trata entonces de tomar una decisin ptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar (costos, tiempo, riesgo, error, etc.) un criterio determinado. Las restricciones significan que no cualquier decisin es posible.

4.1.1. Tipos de optimizacionesSegn el nivel de generalidad que tome el problema, ser la resolucin que se plantee.

4.1.2. Optimizacin clsicaSi la restriccin no existe, o es una restriccin de igualdad, con menor o igual nmero de variables que la funcin objetivo entonces, el clculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una funcin.

4.1.3. Optimizacin con restricciones de desigualdad optimizacin no clsicaSi la restriccin contiene mayor cantidad de variables que la funcin objetivo, o la restriccin contiene restricciones de desigualdad, existen mtodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores mximos o mnimos. Si tanto restricciones como funcin objetivo son lineales (Programacin lineal o PL), la existencia de mximo (mnimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicacin de unos simples algoritmos de lgebra lineal elemental los llamados mtodo simplex; y mtodo dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos crticos, maxmos o mnimos. Sin embargo, esta es un area an muy poco desarrollada de la matemtica, frecuentemente, las condiciones de Khun y Tucker fallan, o no son suficientes, para la existencia de extremos.

4.2. Programacin no LinealEn matemticas, Programacin no lineal (PNL) es el proceso de resolucin de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un funcin objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la funcin objetivo no son lineales.

4.2.1. Fomulacin matemtica del problemaEl problema de programacin no lineal puede enunciarse de una forma muy simple:

maximizar una funcin objetivo o

minimizar una funcin objetivo (de coste) donde

4.2.2. Mtodos de resolucin del problemaSi la funcion objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programacin lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programacin lineal. Si la funcin objetivo es concava (problema de maximizacin), or convexa (problema de minimizacin) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el mtodo general de Optimizacin convexa Existe una variedad de mtodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programacin lineal. Otro mtodo implica el uso de tcnicas de Ramificacin y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un lmite inferior del coste total en cada subdivisin. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendr una solucin cuyo coste es igual o inferior

que el mejor limite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solucin es ptima, aunque posiblemente no sea nica. El algoritmo puede ser parado antes, con la garanta de que la mejor solucin ser mejor que la solucin encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solucin sea ptima.

4.3. Funcin de ProduccinLa funcin de produccin es la relacin que existe entre el producto obtenido y la combinacin de factores que se utilizan en su obtencin. Dado el estado de la tecnologa en un momento dado del tiempo, la funcin de produccin nos indica que la cantidad de producto Q que una empresa puede obtener es funcin de las cantidades de capital (K), trabajo (L), tierra (T) e iniciativa empresarial (H), de modo que:

Cada tipo de actividad empresarial, industrial, o simplemente cualquier actividad productiva (entindase, por actividad productiva aquella que combina los factores de la produccin con el objetivo de obtener un resultado materializado en un bien, o en la prestacin de un servicio) tendr una funcin de produccin diferente. De esta forma podemos pensar diferentes ejemplos de funciones de produccin. Supongamos un agricultor que se dedica al cultivo del trigo. Este empresario utilizar la tierra de que dispone, las semillas, trabajo, maquinarias fertilizantes, tecnologa de riego, etc. La funcin de produccin le indicar a nuestro agricultor cules son los niveles de produccin, cantidad de trigo, que alcanzar mediante la

combinacin de todos los factores de la produccin que tiene a su disponibilidad en ese momento. Esto ltimo es importante, la dimensin temporal. Con esto queremos decir que la funcin de produccin hace referencia a un momento del tiempo en que la tecnologa est dada, si ocurre una innovacin o retroceso tecnolgico, es decir, si ocurre un cambio en la tecnologa, la funcin de produccin cambiar.

4.3.1. La funcin de produccin en el corto plazoEntendemos por corto plazo, ese momento del tiempo en el cul no es posible modificar la cantidad disponible de algunos factores, a esos factores los denominamos factores fijos; mientras que s es posible modificar la disponibilidad de otros factores, a los que llamamos, factores variables. Es importante entender que el corto y el largo plazo no hacen referencia lineal a una cantidad tiempo cronolgico, sino que el concepto de corto y largo plazo se encuentra relacionado a la capacidad de la empresa (unidad de produccin) para modificar la disponibilidad de factores. Veamos esto con un ejemplo. Supongamos que nuestro empresario es un panadero de un barrio y atiende slo a ese barrio, es decir es un productor de pequea escala (tanto en tamao de mercado como de acceso a capitales). Supongamos tambin, que de un momento a otro, aumentada la demanda por pan. El panadero de nuestro ejemplo, puede dedicar ms horas de su propio trabajo a fabricar pan, por lo que comprar ms insumos y eventualmente puede contratar un ayudante. En el corto plazo los factores variables de la funcin de produccin de nuestro panadero, son las horas de trabajo, y los insumos variables que utiliza en la produccin del pan (harina, sal, levadura, agua, etc.). Se nos hace difcil pensar que este empresario pueda duplicar la planta, su panadera, en el corto plazo. Vemos as, que los factores de capital se mantienen fijos en este momento del tiempo.

Por otra parte, podemos pensar que en la ciudad que contiene al barrio de nuestro panadero, existe una planta industrial dedicada a la elaboracin de todo tipo de productos de panadera. El tiempo que necesita esta planta para responder al incremento de la demanda por pan, es muy diferente al de nuestro panadero artesanal. Es decir, esta planta rpidamente puede extender los turnos del personal empleado actualmente; puede incorporar con facilidad ms personal; adquirir con rapidez la mayor cantidad de insumos necesarios para la produccin. Adems, si todo eso no fuera suficiente, tiene la posibilidad de ampliar la planta, porque suponemos que su disponibilidad de capital es mayor que la del panadero artesanal. Este ejemplo muestra como los conceptos de corto y largo plazo, dependen de la capacidad de cada productor para modificar todos sus factores. En general, para simplificar el anlisis, se suele suponer, que en el corto plazo, todos los factores de la funcin de produccin son fijos, menos el trabajo, que es el nico factor variable. De esta manera, aumentar la produccin, solamente es posible mediante la adicin de unidades de trabajo.

4.4. Cobb DouglasEs una representacin de la funcin de produccin que relaciona los inputs y outputs en economa, su forma general es la siguiente:

4.5. Algoritmos GenticosUn algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solucin a un problema especfico.

En los aos 1970, de la mano de John Holland, surgi una de las lneas ms prometedoras de la inteligencia artificial, la de los algoritmos genticos. Son llamados as porque se inspiran en la evolucin biolgica y su base genticomolecular. Estos algoritmos hacen evolucionar una poblacin de individuos sometindola a acciones aleatorias semejantes a las que actan en la evolucin biolgica (mutaciones y recombinaciones genticas), as como tambin a una

seleccin de acuerdo con algn criterio, en funcin del cual se decide cules son los individuos ms adaptados, que sobreviven, y cules los menos aptos, que son descartados. Los algoritmos genticos forman parte de una familia denominada algoritmos evolutivos, que incluye las estrategias de evolucin, la programacin evolutiva y la programacin gentica. Dentro de esta ltima se han logrado avances curiosos: En 1999, por primera vez en la historia, se concedi una patente a un invento no realizado directamente por un ser humano: se trata de una antena de forma extraa, pero que funciona perfectamente en las condiciones a las que estaba destinada. No hay, sin embargo, nada injusto en el hecho de que el autor del algoritmo gentico del que sali la forma de la antena se haya atribuido la autora de la patente, pues l escribi el programa e ide el criterio de seleccin que condujo al diseo patentado. Un algoritmo gentico es un mtodo de bsqueda dirigida basada en probabilidad. Bajo una condicin muy dbil (que el algoritmo mantenga elitismo, es decir, guarde siempre al mejor elemento de la poblacin sin hacerle ningn cambio) se puede demostrar que el algoritmo converge en probabilidad al ptimo. En otras palabras, al aumentar el nmero de iteraciones, la probabilidad de tener el ptimo en la poblacin tiende a 1 (uno).

4.5.1. FuncionamientoLos algoritmos genticos establecen una analoga entre el conjunto de soluciones de un problema, llamado fenotipo, y el conjunto de individuos de una poblacin natural, codificando la informacin de cada solucin en una cadena, generalmente binaria, llamada cromosoma. Los smbolos que forman la cadena son llamados los genes. Cuando la representacin de los cromosomas se hace con cadenas de dgitos binarios se le conoce como genotipo. Los cromosomas evolucionan a travs de iteraciones, llamadas generaciones. En cada generacin, los cromosomas son evaluados usando alguna medida de aptitud. Las siguientes

generaciones (nuevos cromosomas), llamada descendencia, se forman utilizando dos operadores, de cruzamiento y de mutacin. 4.5.2. Cundo usar estos algoritmos Los algoritmos genticos son de probada eficacia en caso de querer calcular funciones no derivables (o de derivacin muy compleja) aunque su uso es posible con cualquier funcin. Deben tenerse en cuenta tambin las siguientes consideraciones:

Si la funcin a optimizar tiene muchos mximos/mnimos locales se requerirn ms iteraciones del algoritmo para "asegurar" el mximo/mnimo global.

Si la funcin a optimizar contiene varios puntos muy cercanos en valor al ptimo, solamente podemos "asegurar" que encontraremos uno de ellos (no necesariamente el ptimo).

4.5.3. Funcionamiento de un algoritmo gentico bsico 1. Se genera aleatoriamente la poblacin inicial, que est constituida por un conjunto de cromosomas, que representan las posibles soluciones del problema. En caso de no hacerlo aleatoriamente, es importante garantizar que dentro de la poblacin inicial, se tenga la diversidad estructural de estas soluciones para tener una representacin de la mayor parte de la poblacin posible o al menos evitar la convergencia prematura. 2. A cada uno de los cromosomas de esta poblacin se aplicar la funcin de aptitud para saber qu tan "buena" es la solucin que se est codificando. 3. Despus de saber la aptitud de cada cromosoma se procede a elegir los cromosomas que sern cruzados en la siguiente generacin. 4. Los cromosomas con mejor aptitud tienen mayor probabilidad de ser seleccionados. 5. El cruzamiento es el principal operador gentico, representa la reproduccin sexual, opera sobre dos cromosomas a la vez para generar dos

descendientes

donde

se

combinan

las

caractersticas

de

ambos

cromosomas padres. 6. El AG se deber detener cuando se alcance la solucin ptima, pero sta generalmente se desconoce, por lo que se deben utilizar otros criterios de detencin. Normalmente se usan dos criterios: correr el AG un nmero mximo de iteraciones (generaciones) o detenerlo cuando no haya cambios en la poblacin. 7. El problema de seleccin de variables se puede ver como un problema de optimizacin, ya que si se quiere encontrar, bajo alguna heurstica, el subconjunto de variables que potencialicen la diferenciacin y las semejanzas de objetos de clases diferentes y de la misma clase respectivamente. 4.5.4. Esquema general del algoritmo 1. Inicializar aleatoriamente una poblacin de soluciones a un problema, representadas por una estructura de datos adecuada. 2. Evaluar cada una de las soluciones, y asignarle una puntuacin o fitness segn lo bien que lo hayan hecho. 3. Escoger de la poblacin la parte que tenga una puntuacin mayor 4. Mutar (cambiar) y entrecruzar (combinar) las diferentes soluciones de esa parte escogida, para reconstruir la poblacin. 5. Repetir un nmero determinado de veces, o hasta que se haya encontrado la solucin deseada.

DesarrolloPlanteamiento del ProblemaEl problema que se pretende resolver es una maximizacin de la utilidad de la empresa. Si se toma como base del planteamiento que:U = I C

Donde I esta en funcin a:I = p Q

Y sabiendo que Q, es la funcin de produccin que depende de:Q = f ( x1,...., xn )

Se podra decir, segn los datos de la empresa que Q, est en funcin del capital (K), el trabajo (L) y la preferencia del pblico por un determinado tipo de galleta (G). Si se define que esta funcin, sigue una proporcin de Cobb Douglas, donde cada uno de los parmetros tiene una ponderacin:F(K, L, G) = K a Lb G c si a +b + c