Introducción

Todo cuerpo o sistema tiene una, o varias, frecuencias características, depende mucho de la elasticidad del objeto o sistema en si o de la forma que este tiene. Cuando un sistema es excitado a una de sus frecuencias características, su vibración es la máxima posible.  El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, con un aumento de la amplitud.

Un ejemplo muy sencillo de esto es: En 1850 un batallón de soldados franceses atravesaba un puente en formación y marcando el paso y el puente se hundió. Esto fue debido a que el paso rítmico de la marcha militar coincidió con la frecuencia de oscilación del puente de modo que el aumento de la amplitud provocó que se rompiera. Desde entonces los soldados rompen la formación al cruzar un puente.

En el laboratorio lo vamos a comprobar con un diapasón y una caja de resonancia: Un diapasón es una pieza en forma de U de metal (generalmente acero). Fue inventado en 1711 por John Shore.Este tiene que ser golpeado en un corcho de goma para hacer que vibre (a 883 Hz por segundo), como cualquier instrumento musical el elemento generador casi no emite sonido y es necesario un elemento de amplificación, para esto se ocupa una caja de resonancia.

EFECTO DE RESONANCIA

1. CONCEPCION DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

Se considera un pórtico plano, para la generación de un modelo matemático, se realiza la siguiente simplificación:

Las vigas, losa y cargas cumplen el rol de masa “m” y las columnas cumplen el rol de rigideces “k”.

El amortiguamiento “c” se considera implícito en el cuerpo de la estructura. Dado que se trata de pórticos rígidos y desplazamientos pequeños, el amortiguamiento del aire y similares se desprecia.

Este tipo de sistemas se pueden asimilar a un sistema de resortes en serie:

A partir del cuerpo libre del caso más simple (sistema de 1 grado de libertad) se deduce la ecuación diferencial que gobierna el régimen de movimiento.

Fi + Fd + Fs = P(t)

Fi es la fuerza de inercia, Fd es la fuerza de amortiguamiento, Fs es la fuerza de rigidez y P es una carga variable en e tiempo. Se escribe la ecuación en términos diferenciales:

Donde U es el desplazamiento. La resolución de la ecuación diferencial da como resultado una expresión matemática de U en función del tiempo U(t)

2. CONCEPTO DE CARGA ARMONICA

La carga, en sistemas dinámicos, es una función del tiempo. Pueden darse tres tipos de carga:

• Carga no periódica: la carga varia en el tiempo sin ningún patrón identificable o que se pueda expresar en una función matemática regular; por tanto no tiene frecuencia ni periodo de vibración. El ejemplo típico es el sismo.

• Carga periódica: la carga varia en el tiempo con algún patrón claramente identificable, aunque no siempre es posible expresar en una función matemática continua. Sin embargo, por su patrón cíclico, puede identificarse un periodo y una frecuencia, aunque no siempre es un valor constante. Su aparición es de rara ocurrencia, se puede dar en maquinarias accionadas por motores asincrónicos.

2.1 CONCEPTO DE CARGA ARMONICA Y FRECUENCIAS

• Carga armónica: la carga varía en el tiempo con un patrón claramente identificable y que se pueda expresar en una función matemática armónica, es decir, que adquiera una forma sinusoidal.

Estas características permiten identificar el periodo de vibración, que es el tiempo en que la carga tarda en cumplir un ciclo de variación.

Se conoce como frecuencia de carga al valor matemático inverso del periodo, que físicamente representa el número de ciclos por unidad de tiempo y se denota:

W = frecuencia de carga armónica

De acuerdo al cuerpo libre del sistema, la ecuación base para carga armónica es:

En la realidad es muy difícil estimar valores de amortiguamiento. Uno de los capítulos próximos trata exclusivamente ese tema. Por ahora se empelara el mas sencillo de todos que es el amortiguamiento viscoso, su introducción modifica la ecuación base de la siguiente manera:

Reaparece un término conocido que es la frecuencia natural de la estructura

w = frecuencia natural de la estructura

Tal como la frecuencia de carga, este valor representa la inversa del periodo, pero no de variación de la carga sino el periodo natural del sistema.

Ocurre que una estructura, de acuerdo a su configuración geométrica, asignación de secciones, distribución de masas, rigideces y sistema de amortiguamiento, tiene al menos una forma característica de oscilar y esta es armónica, es decir, cumple un patrón sinusoidal matemáticamente determinable

Por lo anterior, la estructura oscilara según su modo natural de vibrado y cumplirá un ciclo cada periodo T, por lo mismo tendrá una frecuencia natural w.

En la figura se ve el modo de vibrado natural. Debe recalcarse que no se trata de una deformación ocasionada por un estímulo externo (carga), sino un modo natural que tiene la estructura para oscilar y que es ante todo un parámetro fisicomatemático teórico.

La solución de la ecuación base se disgrega en una Sol. Particular y una complementaria (siguiendo las reglas de la matemática diferencial) que sumadas dan la solución total:

Donde C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera. Graficando la respuesta en función del tiempo se tendrá:

Dentro de esta ecuación aparece la relación entre la frecuencia de la carga y la frecuencia natural de la estructura, fundamental para el análisis de resonancia, que se denotara:

3. CONCEPTO MODOS DE VIBRADO

Se parte del problema de autovalor-autovector, que es un problema vectorial que se expande para obtener polinomios de grado “n”, donde “n” es el número de nudos de la estructura. Para hallar cada autovalor debe resolverse un sistema de homogéneo basado en el llamado autovector (que se determina en función de las propiedades de cada nudo). Como una estructura tiene gran cantidad de nudos, el problema se trata matricialmente, donde la masa “m” es reemplazado por la matriz de masas [M], la rigidez “k” es reemplazada por la matriz de rigidez [K]:

Donde l son los autovalores y {q} son los autovectores. El problema tiene solución no trivial si y solo si:

El análisis matemático es demasiado largo para desarrollar en una presentación, pero halla en el texto base de la asignatura.

Sin embargo, la interpretación física será: una estructura, de acuerdo a su configuración geométrica, asignación de secciones, distribución de masas, rigideces y sistema de amortiguamiento, tiene al menos una forma característica de oscilar y esta es armónica, es decir, cumple un patrón sinusoidal matemáticamente determinable.

Como puede observarse, el pórtico se ha simplificado según lo explicado anteriormente y se obtiene una estructura con UN nudo. En azul puede verse su posibilidad física de oscilación y un análisis intuitivo del problema (que se ratifica con el empleo de las herramientas matemáticas mostradas en la anterior diapositiva), permite inferir que esta es la UNICA posibilidad física de oscilación y por tanto el UNICO modo de vibrado.

Se presenta otra estructura, esta vez con dos nudos:

Puede verse en azul una posibilidad de oscilación y en rojo otra y resulta evidente que físicamente no existe ninguna posibilidad más de oscilación. Se entiende entonces que una estructura de “n” nudos tiene “n” autovalores-autovectores y cada uno de ellos representa un modo de vibrado. Por lo tanto, una estructura tiene tantos modos de vibrados como nudos contenga.

Otro aspecto que resulta destacable es que el tiempo en que el primero modo de vibrado (en azul) cumpla un ciclo será distinto del tiempo que le tome al segundo (en rojo). Este hecho también es verificable matemáticamente y a partir de ello podemos afirmar que a cada modo de vibrado le esta asociado intrínsecamente un valor determinado y distinto de periodo y su correspondiente “frecuencia natural”. De ello se deduce que una estructura de “n” tendrá “n” modos de vibrado con “n” frecuencias naturales asociadas a los mismos. Esta idea también es importante al momento de analizar resonancia.

4. DEFORMACIONES

Nuevamente reiteramos que los modos de vibrado NO son deformaciones reales, sino “posibilidades” de oscilación inherentes al sistema. Nótese que existe una diferencia conceptual primordial: los desplazamientos son una función U(t) dependiente del tiempo y aunque hay infinidad de valores de U para infinidad de valores de t la solución es “única” y es la función U(t), es decir, se tiene una respuesta continua, mientras que los modos de vibrado no dependen del tiempo y de modo fijo existirán tantos como tenga la estructura, entonces siempre su

numero será finito y su forma invariante en el tiempo, es decir, se trata de un parámetro discreto.

De hecho, en consecuencia con lo anterior, los desplazamientos U(t) están en función de los modos de vibrado. Si a la ecuación base se le introduce el concepto de autovalor-autovector, esta se vectorializa y queda:

Cuya solución se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial vector-matricial:

La resolución matemática de la anterior expresión es larga y compleja (está dada en el texto base), pero su consecuencia física es que la función deformación U(t) es una combinación lineal de todos los modos de vibrado:

Donde aii son constantes dependientes de las condiciones de frontera del problema y en los hechos representan porcentajes de participación de cada modo de vibrado li. Como consecuencia de lo anterior, la suma de todos estos coeficientes debería ser igual a 1.

La variabilidad de estos porcentajes suele aproximarse a una curva exponencial, entonces, no es necesario considerar todos los modos de vibrado. Para una estructura sostenida por pórticos (un edificio que puede tener miles de nudos), suelen ser suficientes los primeros 12 a 15 modos de vibrado, que están

asociados a sus propias frecuencias naturales de vibración y también a determinados porcentajes de masa. Se considera que sumados los porcentajes de masa de los modos de vibrado considerados representen el 90% de la masa total del edificio. A continuación se proporciona una tabla guia:

N° modo vibrado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

% masa

50 a 60

23 a 35

12 a 18

6 a 10 3 a 5 1,5 a

30,7 a 2

0,3 a 1

0,1 a 0,5

0,04 a 0,2

0,02 a 0,1

0,01 a 0,05

0,005 a 0,02

0,002 a0,01

0,001 a0,006

4.1 RESONANCIA

El concepto físico de resonancia es bastante simple. Se presenta cuando la frecuencia de la carga es igual a la frecuencia natural del sistema, es decir:

El efecto físico de esta situación es que se magnifica la respuesta, es decir, las deformaciones, tal como se observó en el video.

La representación matemática de lo anterior se realizara para el caso más simple (un grado de libertad) y es como sigue: se tiene la solución:

Se considera únicamente la respuesta estable y se extrae el siguiente factor:

Sabiendo que Po/K es la respuesta estática, es decir, sin cargas dinámicas, se tendrá el factor de magnificación dinámica:

Graficando esta expresión se tiene:

Como puede verse, el factor de magnificación D, y por ende las deformaciones, crece más mientras más el valor de b se acerca a 1, es decir, mientras la frecuencia de carga W se acerca más al valor de la frecuencia natural del sistema w.

Sin embargo, como se vio anteriormente, no existe una sola frecuencia natural de vibrado, sino tantas como modos de vibrado existan y aunque se recomendó que no se empleen todos los modos de vibrado, no queda claro qué modo de vibrado y que frecuencia natural asociada debe usarse.

N° modo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

vibrado

% masa

50 a 60

23 a 35

12 a 18

6 a 10 3 a 5 1,5 a

30,7 a 2

0,3 a 1

0,1 a 0,5

0,04 a 0,2

0,02 a 0,1

0,01 a 0,05

0,005 a 0,02

0,002 a0,01

0,001 a0,006

Como se vio en la tabla adjunta, los primeros modos de vibrado son los que mayor porcentaje de masa asociada tienen, normalmente son los 3 o 4 primeros, entonces, inicialmente bastara considerar solo las frecuencias naturales asociadas a estos 3 o 4 MDV. Pero aun se pueden hacer mayores simplificaciones teóricas.

El problema consiste en evitar que , entonces, como la frecuencia

de la carga W es un dato invariante (condición del problema), solo se puede modificar la frecuencia natural del sistema w haciéndola más grande o más pequeña, sin embargo, normalmente las frecuencias de carga W suelen ser bastante altas, entonces conviene hacer la frecuencia natural w lo más baja posible y es el primer modo de vibrado el que ofrece los valores más bajos además de tener asociada la mayor cantidad de masa, por tanto, se trabajara únicamente con este modo de vibrado y su frecuencia natural w asociada.

Como se observó en el video, cuando ocurre la resonancia, inevitablemente viene el colapso de la estructura, por lo cual debe ser evitada a todo trance.

Esto se logra, como ya se dijo, bajando la frecuencia natural del sistema y esto se puede hacer de dos maneras:

• Rigidizando la estructura: lo que aumentara la rigidez [K] dentro de la ecuación base y por tanto los desplazamientos U(t) se reducen. Esto se logra incrementando las secciones de los elementos de sustento o rigidizadores, como ser columnas. Como método constructivo es relativamente fácil, aunque incrementa los costos y va en desmedro de la optimización de materiales

• Flexibilizando la estructura, lo que generara un incremento del amortiguamiento [C] lo que no reduce los desplazamientos, pero hace el movimiento oscilatorio tan lento que el valor de la frecuencia natural w se aleja enormemente de la frecuencia de la carga W. Esto se logra a través de la implementación constructiva de juntas, amortiguadores, articulaciones y similares. El comportamiento estructural es mucho mejor y se puede optimizar materiales pero la tecnología requerida para la construcción de estos dispositivos es muy cara y normalmente no está disponible en el país.

• Por facilidad de cálculo se suelen tomar los periodos, que son los inversos de las frecuencias. A continuación se muestran periodos recomendados por la Norma de Diseño Sísmico Boliviano para distintas estructuras:

4.2 MODELOS MATEMATICOS

Todo el desarrollo matemático involucrado se circunscribe en la creación de modelos matemáticos, hasta ahora simplificados.

A continuación se realizara la resolución fisicomatemática del siguiente problema:

Se verá que se parte de la simplificación siguiente:

PROBLEMA 1SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN MODAL

La estructura ha sido solicitada por una carga sismica describir el movimiento para los tres primerossegundos. El sismo ocurrio cuando el piso 3 estaba con su maxima carga y el tanque de agua llenousando el método numérico. La estructura parte del reposo. determinar:Maximos esfuerzos en las columnasHallar la respuesta 1 y 2 segundos despuesAnalizar el intervalo de 1 a 3 seg.

En el modo de vibracion 1 1 0.03

En el modo de vibracion 3 3 0.05

Para la resolución, la ecuación base debe matricializarse de la siguiente manera:

con:

El resultado será la obtención de las deformaciones U(t) pero para los 4 nudos del modelo (derecha) y no para los 7 nudos reales y tendrá que realizarse una desagregación matemática adicional.

Sin embargo, existen problemas mucho más complejos como la resolución de pórticos en 3 dimensiones

Se tiene un edificio real en 3 dimensiones. En este caso realizar desagregaciones de U(t) resulta complicado y MUY moroso, por lo que seria preferible un análisis del modelo SIN simplificaciones.

Ello implicaría, por ejemplo, para la matriz de rigidez [k] hacer consideraciones físicas basadas en la ley de Hooke, que como consecuencia arrojarían una matricializacion más complicada:

Lo anterior debe hacerse para cada barra del edificio, ya que las cuatro matrices de rigidez mostradas anteriormente, que almacenan parámetros se área, material, geometría e inercia, inevitablemente consideran los dos nudos de una sola barra y su cuerpo mismo en coordenadas locales.

El mismo tratamiento tendría que hacerse con las masas y los amortiguamientos; a ello súmele la forma vectorializada de la ecuación base (autovalor-autovector) y si además, existen barras (vigas o columnas) de sección variable, el símbolo de diferencial debería entrar dentro de cada matriz para resolver estos gradientes continuos de sección.

Como se ve, el modelo matemático se complica tanto que su resolución resulta inviable en términos prácticos. Por ello antiguamente no se realizaban cálculos dinámicos, sino simplemente estáticos y se afectaban por factores de seguridad.

ASIGNATURA : Ingeniería sísmica

DOCENTE : Ing. Orlando Mego Chavez

ESCUELA PROFESIONAL : Ing. Civil

ESTUDIANTES : Richard Alva Meléndez

Tarapoto - San MartinPERÚ

2015

Facultad de Ingeniería Civil