NOLAN JARA J.

1

PROBLEMA 1:

Sea el sólido definido en R³ por:||;1;4/),,( 222223 yzyxzyxRzyxS

Calcular el volumen del solidó S

Solución:

2 2

( ) .................(*)

( , , ) / | | 4 ;( , )

E

V E dV

E x y z R y z x y x y D

NOLAN JARA J.

2

2 2 2 22 2

2 2

2

2 2 2

3 2 2 2 2

4 ( ) 4 ( )1 1 1 1

1 | | 11 1

4 (

( , ) / 1 1 ; 1 1

( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1

(*) :

( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )

4 ( ( ) )

x y x yx x

x z y x z yy x y x

x

z y

D x y R x y x x

E x y z R y z x y x y x x

en

V E dz dy dx dz dy dx

dz dy dx

22 2

2

)1 1 1 12 2

0 0 0 0

12 2 2 2 2 1

0

0

4 ( ( 4 ( )) )

4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2] |

yx x

x y x y

xy

x

x y y dydx

y x y x arcsen y x y

Como la integración es muy complicada utilizaremos otro métodoOtra forma: en coordenadas cilíndricas

2

3 2

2 1 4

( ) 0 0 | |

2 1 22 2 3/2 2 1

0

0 0 0

( ) ( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2

( ) | ( , , ) | ( ( ) )

( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )] |

(1/ 2) [2 3 |

r

T E r z r sen

r

r

T E r z R r sen z x r

V E J r z dv rdz dr d

r r r sen dr d r sen r d

se

2 /2

0 0

/20

| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )

2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ] | 2(((8 3 3 ) / 3) 1)

n d sen d

PROBLEMA 2Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2

.Calcular el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo delplano UV cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el planoXY del triangulo T . Mediante el cambio de variables dado:Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .

Calcular la integral doble de R yx

dA

12

SOLUCIÓNx = u + v ; y = v – u2

uu

v

y

u

yv

x

u

x

vuJ 2112

11.

Grafica en UV

NOLAN JARA J.

3

Las líneas que que encierran la superficie T enel plano UV al ser proyectados sobre en elplano XY también encierran otra superficieentonces:u+v=2: u=0: v=0

Grafica en XY

XYXXRyxR

xyyxx

sonsproyectadacurvaslasEntonces

yxvcomo

uvvuvvuyx

yxucomo

uvvuyx

xvux

uu

23

2

2

2222

22

:20/,

::0:2

:

00

2

00

:

22

22

0

22

0 3

142 udxxxdx

xdydxdyS

x

R

R

))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2

|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|)1)3/)1(2(

1)3/4(.1

)1)3/)1(2(3

41

)1)1(3/4(4/31

14/3)1(

11

11

11

1

11

20

20

2

0 2

2

0

2

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0

2

0 222

2

xxdxx

x

dxx

dxx

dxx

dxxx

dxx

yxdx

xy yx

dy

YX

dAx

xR

x

x

PROBLEMA 3Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: Rxy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x

Dibujarla y calcular la integral: dAyR

22

xSOLUCIÓN:Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x

NOLAN JARA J.

4

R = R1 R2 R3

*En R1 *En R2 *En R3

2

2

2

1 X 1

2

2 X 21 x

XYX

41

X

YX

21

xyx

2

dAy22

x=

dAy22

x+

dAy22

x+

dAy22

x

dxdyyxx

x

22

21

4

1

22

dxdyyxx

x

1

2

2

2

1

22

dxdyyxx

x

2

1

2

22

x

x

x

x

x

x

yxyxyx2

2

1

322

1

1

2

2

324

1

22

21

32

333

dxx

dxxx

dxx

xx

2

1

51

22

22

21

5

338

31

38

31

3

64

2

1

61

22

2

2

21

6

183ln8

3ln7

3ln

9

32

xx xxx

32ln7

181

94

32ln8

32ln7

32ln7

32ln

94

181

uydAxR

22

32ln7

PROBLEMA 4

Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones

322

222 1,0,1,1

yxzzyxyx

SOLUCIÓN

R3R2R1R

NOLAN JARA J.

5

32 2

3 2

2

1

, / 0 1;1 1

:

cos ;

1, / 1;0

cos 2

D

V s dAx y

D x y R x x y x

usando transformacion de cordenadas de

cartesianas a polares donde

x r y rsen

T D r R rsen

PROBLEMA 5

Calcular R

dAyx 33 , siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por

las curvas 2,1,4,2 22222222 yxyxyxyx

SOLUCIÓN

GRAFICO DE R

12

13 30cos

1

2 2

0 01

cos

2 20 0

3

1 1,

1(1 cos )

cos 1 12 2

22

senT

sen

V s J r dA rdr dr r

d sen dr

sen

V s u

422

:

8

1

8

1

,

21,42/,

8

1,

822

22,

1,,

:

21,

42,

var

21,42/,

222222

2233

3333

2

22

22

22222

vuyx

vuy

vux

pero

dudvyxdudvxy

yx

dudvvuJyxdAyx

vuRvuT

xyvuJ

xyyx

yx

y

v

x

vy

u

x

u

yxJ

vuJyxJ

queSabemos

vyxv

uyxu

iablecambiodeHagamos

yxyxRyxRregionLa

RTRT

R T

R

R

NOLAN JARA J.

6

GRFICA DE T(R)

2

1

4

2

24

2

32

1

4

2

2222

4128

1

48

1

48

1vv u

RT

uvu

dvduvu

dudvyu

PROBLEMA 6:

Calcular2 2 2

................(*)x y z

S

e dv donde S es el conjunto de los puntos 3),,( Rzyx

tales que 0,1222 zzyx

Solución:Graficamos 0,1222 zzyx

10;11;11/),,( 22223 yxzxyxxRzyxS Proyeccion de la region S

R

v

dAyx

vvdv

v

16

7

16

7

612

56

8

1

212

56

8

1

22

2

1

32

1

2

1

2

NOLAN JARA J.

7

Transformando a coordenadas esféricasx=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφDonde la variación de ρ,θ,φ es:

10

2/0

20

En la integral (*)2

2

2 /2 12

0 0 0

2 /2 1 2 /22

0 0 0 0 0 0

. | ( , , ) | . . . . .

( . . ) ( 2) ( 2)

. | ( , , ) | . 2 ( 2)

S

S

e J dv e sen d d d

sen e d d d sen e d d e

e J dv e

PROBLEMA 7

Calcular la integral triple 2

s

y dvDonde S es el sólido

41

);/(10/),,/(),,(41,0/),,(22

22332223

yx

yxzRzyxRzyxzyxzRzyxS

Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas2 2 2

1 2S D D

y dv y dv y dv ...........................(*)

22;)4()1(

)1()4(,)1()4(/),,(

22

2222223

xxyx

xyxyxzyxRzyxS

2

1D

y dv : en coordenadas esféricas

NOLAN JARA J.

8

2/,20,21/),,()1(

21,0cos/),,()1(

41,0cos/),,()1(

3

3

23

RDT

RDT

RDT

x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ

2 22 2 4 2 3

1 /2 0 1

2 22 3 5 2 2 2

1

/2 0 0 /2

( ) . . . . . .

. . / 5 | . . (31/ 5) (1 cos ) cos .

(62 /15)

D

sen sen sen d d d sen sen d d d

sen sen d d sen d d

2

2D

y dv : en coordenadas cilíndricas

20,21,/10/),,()2(

41,/10/),,()2(23

223

rrzRzrDT

rrzRzrDT

x=rcosθy=rsenθz=zJ(r,θ,z)=r

2 2 22 2 1/ 2 2

0 1 0 0 1

22 2 2

1

0

( ) . . . . .

. / 2 | . (3 / 2)

r

rsen r dz dr d rsen dr d

sen r d

En (*) : )2/315/62(2 vy

s

NOLAN JARA J.

9

2

3 2 2 2 2

P ro b le m a n ro 8

C a lc u la r la in te g ra l d v . S ie n d o S e l r e c in to s o l id o

d e f in id o p o r :

( , , ) / 1, 0 4

:

:

s

z

S x y z x y y z x y

s o lu c io n

G r a f ic a m o s e l v o lu m e n S

Hallando la region D sobreel plano xy

NOLAN JARA J.

10

2 22

3 2 2 2

41 12 2

1 0

( , , ) /0 4 , 1 1,0 1

( ( ) )

Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodelaintegralse

complica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada

x yx

s x y z y

S x y z y z x y x y x

z dv z dz dy dx

3 2

scilindricastenemos

T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r

2

2

( )

2

1 42 2

0 0

( , , ) ( , ,

: ( , , ; ( , , ) ( , , )

( ( ) )

s T s

r

s r z r s e n

z d v F r z J r z d v

s i J r z r f x y z F r z z

z d v z d z r d r d

241 32

0 0

1 32 2 3 32

0 0

1 132 2 2 3 32

0 0

1 15 42 2 32

0 00

( ) )3

1( ( 4 ) )

3

1 1( 4 ) ( 4 ) )

3 2

1 1( 4 )

3 2 4

r

s r r s e n

s r

s r o r

s

zz d v r d r d

z d v r r s e n r d r d

z d v r d r s e n r d r d

rz d v r s e n d

2 5 5 3

0 0

32 5 5

0

1 1( 3 4 )

6 1 2

1 1( 3 4 ) ( c o s )

6 1 2 3

s

s

z d v d s e n d

c o sz d v

0

2 5 5 31 1( 3 4 )

6 9s

z dv u

NOLAN JARA J.

11

PROBLEMA 9:Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 223 yxz y el

interior de un elipsoide 94 222 zyx , calcular zdv

Resolución:Grafica del paraboloide:

Corte en los ejes coordenados

2/30:

30:

30:

yzxy

xzyx

zyxz

corte en los planos coordenadosPara el plano xy

elipseyx

z

.....34

022

Para el plano xz

parabolaxz

xz

y

....3

3

0

2

2

Para el plano YZ

parabolayz

yz

x

...34

43

0

2

2

Para : z=k(//planoXY)

elipsesdeconjuntokyx ......34 22 Grafica de una elipsoide

94 222 zyx

Corte en los ejes coordenados

2/30:

30:

30:

yzxy

xzyx

zyxz

Corte en los ejes coordenadosPara el plano XY

elipseyx

z

...94

022

Para el plano XZ

elipsezx

y

...9

022

22 43 yxz

NOLAN JARA J.

12

Para el plano YZ

elipsezy

x

...94

022

Para : z=k(//planoXY)

elipsesdeconjuntokyx

yxk

.....94

94222

222

GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE

Otra vista:

NOLAN JARA J.

13

Grafica de la ecuación (3)34 22 yx

2 22

2 22

2 2 2

3 2 2 2 2 2 2

9 4( 3 )/23

3 4 3( 3 )/2

( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3

( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3

( )x yx

x z x yy x

D x y R x y x x

x y z R x y z x y x y x x

V zdv zdzdydx

Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadascilíndricas.

),(;)49(34/),,( 22223 DyxyxzyxRzyxz

En coordenadas cilíndricas:x=rcosθ2y=rsenθz=z

)9(3

))4(9(34

22

2222

rzr

yxzyx

De (3):

20;50

0;5

542

22

r

rr

yx

)3.......(..............................54

0)4(6)4(2

:)2.().1.(

)2.......(..........).........4(9

)1.....(..........34:21

22

22222

222

22

yx

yxyx

endoreemplazan

yxz

yxzSS

NOLAN JARA J.

14

Además: J(r,θ,z) = r/22

2

2 5 9

( ) 0 0 3

2 5 5 3

( ) 0 0

26 4 5

0

0

2

0

20

( ) ( , , ) ( / 2)

( 5 )( ) ( , , ) (1/ 4)

( ) (1/ 4) ( / 6 (5 / 4) | )

( ) (1/ 4) (125 /12)

( ) (1/ 4)(125 /12) |

r

T r z r

T r

r

V J r z zdv r zdzdrd

r r drdV J r z zdv

V r r d

V d

V

( ) (125 / 24)V PROBLEMA 10

Consideremos el recinto del primer octante de R3 baconyxzbxyabxyaRzyx 0,,,;,, 22223

Calcular el volumen de Ω y hallar

dvyxxy 33

SOLUCIÓNHallaremos el volumen:

D

zdADV

Definiremos la región D

b

au

b

av

b

au

b

av

DT

abdudvdudvyx

yxV

emplazando

dudvvuJyxV

IIbabvabuaRvuDT

yxvuJxy

yx

xy

y

v

x

vy

u

x

u

yxJ

donde

vuJyxJxyvxyu

iabledecambiounalizando

IbabxyabxyaRyxD

2

2222

22

2

2222

22

222

2

1

2

1

2

1

Re

,

0,,/,

2

1,22

22,

1,,,

varRe

0,,/,

NOLAN JARA J.

15

b

au

b

av

DTDT

DD

abuvdudv

dudvyx

uvyxdudvvuJuvyx

IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo

dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy

Hallando

222

222222

22223333

8

1

2

1

2

1,

)()()(

PROBLEMA 11:Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 24a ,z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas.SOLUCIÓN:

En coordenadas esfericas:

T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 2,2 24a , aa,cos >0

T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 sec,22 aa

T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 3/0,2sec aa x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ|J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφSe tiene :

2 /3 2 2

0 0 sec. . .

a

asen d d d

NOLAN JARA J.

16

/32 /3 23 3 3 3

sec0 00

/33 /3 3 30 0

/33 3 2

0

/33 3

0

. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]

2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]

2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]

2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]

2 [(4 / 3)]

|a

asen d d sen a a d

a a sen d

a a d

a a d

3 3 2 /30

3

( / 3) tan (1/ 2) |

(5 / 3)

a a

a

En coordenadas cilíndricas:

T(s)=(r,θ,z) є R³/ )4(,30,20 22 razaar x=rcosθy=rsenθz=zJ(r,θ,z)=r

3

30

230

2/322

3

0

3

0

22222223

0

2

0

223

0

2

0

)4(3

0

2

0

)3/5(

]||)4(3/2[

])4([))4(()2/1(

))4((...

22

a

arra

rarrarara

rararrzr

aa

a aa

ara

a

a

PROBLEMA 12:Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222 44 zyx Y superiormente por la esfera zzyx 2222

Calcular la integral (1 )s

x dvSOLUCIÓN:Graficamos:

NOLAN JARA J.

17

2 2 21

2 2 22

3 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

sea:

4x +4y =z .......

x +y +z =2z.....S

: , , / 2 1 ( ) 1, ( , )

: S

Entonces interceptamos estas dos superficies:

2 1 ( ) 1

2 1 1 ( )

4 1 4 1 ( )

5 4

S

S x y z x y z x y x y D

D S

x y x y

x y x y

x y x y x y

x y x

2 2

2 2 16 4....

25 5

y

x y circunferencia de radio R

Graficando la región D:

NOLAN JARA J.

18

21

2

3

3 2

Transformando a coordenadas cilindricas:

cos

2 1 ........

De la region Dsededuce:

0 2 ..........

40 ............

5De

α,β,δ,tenemos:

4( ) : ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 2

5( , , )

x r

y rsen

z z

r z r

r

T S r z r z r r

J r z r

2

2

s

42 15

s 0 0 2

42 5

1

20 0

42 5

2

0 0

42 5

2 2 2 2 3

0 0

(1+x)dv ( , ) ( , , )

(1+x)dv. (1 cos )

( (1 cos ) ) )

( (1 cos ) ( 1 2 ) )

( ( 1 2 cos 1 cos 2

s

r

r z r

r

rr

r

r

f x y J r z dv

r rdzdrd

r r z dr d

r r r r dr d

r r r r r r

3

2 2 32 3 42 2 32 5

0 0

2

0

s

) )

2(1 ) 1 4 coscos (1 ) 2

8 8 3 3

cos arctan(1/ 3) 47 2cos

4 16 250 25

4(1+x)dv.

25

r

dr d

r r r rarcsenr r r

d

PROBLEMA 13:Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033 yxzxxz en elpunto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados.Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son elorigen y los puntos A,B y C.

NOLAN JARA J.

19

Hallando el plano tangente P(t):Sea : 03),,( 3 yxzxxzzyxF

Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx

Ecuación del plano tangente

063:)(

)1().4.().3(),2.(

)4..(..............................).........,,(

)3.....(..............................).........,,(

)2........(..........).........6,1,3()1,3,1(

)33,1,13(),,(

),,(...

)1........(0),,()(:)(

0000

23000

000

0000

zyxtP

enydoreemplazan

zyxP

zyxP

F

xxzzzzyxF

zyxFgradienteelhallando

zyxFpptP

Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados:En x:Hacemos y=z=0A: x=2En y:x=z=0B:y=-6en Z:x=y=0C:z=6

3

( )

( , , ) / 0 3 6;( , )

S

V s dv

S x y z R z y x x y D

NOLAN JARA J.

20

Graficando la ecuación D

2

06

230

6

2

0

6

3/)6(0

20

6

3/)6(

0

0

6

3/)6(

0

63

0

2

12)(

|)3663/)(6/1()3612()6/1()(

|)6)2/3(()63()(

06;3/)6(0/),(

uvsV

yyyyyysV

yxxyxyxxyyxzvsV

yyxRyxD

S

y

y

y

yx

y

y

xS y

y

x

xy

z

PROBLEMA 14:

Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2( / ( ))S

xyz x y z dv siendo S el recinto

limitado en el primer octante por la esfera 4222 zyxSolución:

40;40;20/),,( 2223 yxzxyxRzyxS

NOLAN JARA J.

21

Convirtiendo a coordenadas esféricas:x=ρcosθsenφy=ρsenθsenφz=ρcosφ

intervalos de variación:

2/0

20

2/0

Operando2

2 /2 /2 2 /2 /24 2 2 4

0 0 0 0 0 0

2

(( cos )( )( cos )( ) / )

1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )

(( cos )( )( cos )( ) / )

1/

s

s

sen sen sen sen dv

sen sen sen d d d sen sen sen

sen sen sen sen dv

2 /2 2 /2 2

2 4 4 2 4

0 0 0 0 0

24

0

4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)

1/ 8( ) 32 / 40

sen sen d d sen sen d d

d

NOLAN JARA J.

22

PROBLEMA 15:

Calcular el volumen del sólido.

yxyxyxR zzyxS2222223

1;4

10/,,

Usando coordenadas esféricas y cilíndricas:SOLUCIÓN:

S

dV

Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas:X=rcos ; Y=rsen ; Z=Z

Donde el jacobiano J(r, )=r2 2 2 2 22 2 21 1

0 ( ( 0 : 14 2

) cos ) cosr zrsen r sen senr r r

3 21( , , ) / 0 2 : 0 : 1

2S r z r r zR r

21 1

31 32 2 22 22 32

0 0 0 0 0

1 21 0 . 7 53 3

1r

rd z r d r d r r d r d dr ur r

Por coordenadas esféricas:X=rcosΘsenф ; Y=rsenΘsenф ; Z=rcosфDonde el jacobiano J(r,Θ, ф)=r2senф:

senrsensenrsenrsensenrsenrsensenr r 222222

coscoscos 1cos:4

10

4

0.20:2

10/),,(

3 rrS R

NOLAN JARA J.

23

ur dddsen

dddrsendVS

32

0

2

0

4

0

2

0

4

0

2

1

0

276.0

2

21

122

21

6

1

2444

PROBLEMA 16:

Siendo 363694/,, 2223 zyxRzyxSCalcular usando un cambio de variable adecuado, la integral

S

dvzyx 2632

SOLUCIÓNUsando coordenadas esféricas

2

0 0

1

0

22

222

22

3

2

2

2

2

2

2

2222

coscos216

6coscos6632

coscos6632

0,20,10/,,

.2.3,,

cos2

cos3

123363694

dddrsenrsensensenr

ddrdsenrsensensenrdvzyx

sensensenrzyx

rRrST

donde

senrrJ

rz

senrseny

senrx

zyxzyx

r

S ST

45

216cos2

3

2

5

216

cos225

216

2

0

2

0 0

3

dsensen

ddsensensensensensen

S

zyx 5

864632 2

PROBLEMA 17:

Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2+y2 que lo limitael semiplano 0z y en el interior del cilindrox2+y2 =2xSOLUCIÓN

NOLAN JARA J.

24

El volumen del sólido encerrado es:

32

0

2

0

4

2

0

cos2

0

32

2

22

222

2

3322

4

4

4

cos222

22,cos20/,

22

cos;cos2

cos2cos

,:cos

11/,

usensen

dddrrdrdrrV

rRrDT

tenemos

positivoserdebecomor

rrsenr

rrJrsenyrx

polaresscoordenadapasandoa

yxRyxD

dondezdAV

rDT

D