Trabajo Lineal Owen

8/16/2019 Trabajo Lineal Owen

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UNIVERSIDAD NACIONALMAYOR DE SAN MARCOS

PROF: LUIS JAVIER VÁSQUEZ SERPA

ALUMNO: OWEN PAULO ENCO CASTAÑEDA

CÓDIGO: 1519019

CURSO: ÁLGE!RA LINEAL

CICLO: "015#"

"0151



ÍndicePARTE 1

Capítulo 1

• Matrices y determinantes 3

• Matrices especiales 14

• Rango de una matriz 28

• Sistema de ecuaciones lineales 32

• Conclusiones 34

Capítulo 2

• Espacios ectoriales 3!

• Su"#espacios ectoriales 3$

• %ases y &imensi'n de un Espacio (ectorial

38•

Suma &irecta de Espacios (ectoriales41

• Conclusiones

42

Capítulo 3

• Trans)ormaciones *ineales

43• +,cleo e -magen

4!•

Conclusiones4.

Capítulo 4

• Autoalor

!/• Autoector

!1• Conclusiones

!3

Capítulo 5• Proceso de ortogonalizaci'n de 0ram Scmidt

!4• Conclusiones

!

2



PARTE 2

• Casos de diagonalizacion

!$

3



MATRICES Y DETERMINANTES

Sea un cuerpo 5 a 67 R C9 : de;nimos el siguiente con<unto =

n>m ? 6 @ai< B ai< 5 ⩝ i 5 6123Dn9 ⩝ < 5 6123Dn9 9

+otaci'n=

@ai<n>m ? [a 11 ⋯ a 1 m

⋮ ⋱ ⋮

an1 ⋯ anm ]

Suma (adición):

• n>m > n>m F n>m

@ai< @"i<: F @ai< G @"i< ? @ai< G "i<

E<emplo=

A? [1 2

3 5] %? [7 9

3 4] AG% ? [8 11

6 9 ]

Propiedades=

Conmutativa

@ai< G @"i< ? @"i< G @ai< Asociativa

@ai< G @"i< G @ci<: ? @ai< G @"i< :G @ci<

Eistencia del elemento neut!o

@ai< G H ? @ai< H?@ H i< H i< ?/

• &ado @ai< 5 n>m e>iste = %? @#ai< Tal Iue @ai< G % ? H

4



"!oducto:

n>p > p>m F n>m

@ai< @"i<: F @ai< @"i< ? @ci<

&'nde=

@ci<? ∑l=1

p

a il blj ? ai1GDDG aip: "1<GDDG "p<:? ai1 "1< G ai2 "2< GDDG aip

"p<

"!opiedades:

• A%C: ?A%:C A 5 n>p % 5 p>I C 5 I>m

Obs= no se cumple la conmutatiidad

J"s= n?m F n>n es llamado con<unto de matrices cuadradas

F e>iste neutro multiplicatio

En el con<unto n>n e>iste elemento neutro multiplicatio=

Es decir= - ? [1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1] - ? @K K i< ? 6 1 i?< / iL<

Obs=

!

A - ? - A ?A

F ⩝ A 5 n>n



Sea A 5 R22 A L H NE>iste A#1O

A ? [1 0

0 0 ] L H A% ? - entonces % ? A#1

[1 0

0 1 ] F [1 0

0 0 ] [ x y

w z ] ? [ x y

0 0 ] entonces no tiene A#1

"!oducto de mat!ices:



#ete!minante:

El determinante es una )unci'n Iue le asigna a una matriz de orden n un ,nicon,mero real llamado el determinante de la matriz Si A es una matriz deorden n el determinante de la matriz A lo denotaremos por Det(A) o tam"inpor QAQ las "arras no signi;can alor a"soluto:

Cálculo de la determinante en matrices de orden inferior

El caso de matrices de orden in)erior orden 1 2 o 3: es tan sencillo Iue su

determinante se calcula con sencillas reglas conocidas &icas reglas son

tam"in deduci"les del teorema de *aplace

na matriz de orden uno es un caso triial pero lo trataremos para completar

todos los casos na matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar

pero aIu la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno=

El alor del determinante es igual al ,nico trmino de la matriz=

El determinante de una matriz de orden 2=

Se calculan con la siguiente )'rmula=

&ada una matriz de orden 3=

$





1 El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante desu traspuesta es decir=

2 Si intercam"iamos dos ;las o dos columnas de una matriz cuadrada sudeterminante cam"ia de signo aunIue son iguales en alor a"soluto

.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml



3 Si multiplicamos todos los elementos de una ;la o columna de unamatriz cuadrada por un n,mero U su determinante Iueda multiplicadopor dico n,mero

1/



Como generalizaci'n de esta propiedad si multiplicamos todos los elementosde una matriz cuadrada de orden n por un n,mero U su determinante Iuedamultiplicado por Un es decir= &et U A: ? Un &et A:

4 El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismoorden es igual al producto de los determinantes de dicas matrices= &etA %: ? &et A:V &et %:

11

http://www.monografias.com/trabajos28/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos28/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml



! Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una ;la o columnanulos su determinante es cero

Si una matriz cuadrada tiene dos ;las o dos columnas iguales sudeterminante es cero

$ Si una matriz cuadrada tiene dos ;las o columnas proporcionales sudeterminante es cero

12



8 Si todos los elementos de una ;la o columna de una matriz cuadrada sedescomponen en dos sumandos entonces su determinante es igual a la sumade dos determinantes Iue tienen en dica ;la o columna el primero y elsegundo sumando respectiamente siendo los restantes elementos iguales alos del determinante inicial

13





11 Si a una ;la o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela aella multiplicada por un n,mero su determinante no ara

12 En una matriz A no singular &et L /: se cumple=

&etA: ?1

det ( A)

1!



MATRICES ESPECIALES

- Matriz Cuadrada

Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es iual al

número columnas, es decir, n ! m " se dice, entonces #ue la matriz es de orden n$

Propiedades:

# Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz

simtrica y una matriz antisimtrica

# Si A y % son matrices del mismo orden entonces se pueden sumar entre

s *os productos de matrices son lidos en am"os sentidos A% y %A

Adems surgen los conceptos de determinante y traza solo aplica"les a

matrices cuadradas

# na matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es

nulo En tal caso se dice Iue dica matriz no tiene inersa

1

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica


https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_antisim%C3%A9trica

https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_matrices

https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_matrices

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Traza

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)




https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_matrices



https://es.wikipedia.org/wiki/Traza

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible



- Matriz nula

En matemticas en particular en lge"ra lineal una matriz cero o matriz

nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero Algunos

e<emplos de matrices nulas son=

Por lo tanto una matriz nula de orden m>n de;nida so"re un anillo

asume la )orma=

na matriz cero es al mismo tiempo matriz simtrica matriz

antisimtrica matriz nilpotente y matriz singular

- Matriz Singular

Es aIuella cuya determinante es / y por lo tanto no tiene inersa

# Matriz no singular

1$

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/0_(n%C3%BAmero)

https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)




https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_nilpotente

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_singular



https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/0_(n%C3%BAmero)

https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)




https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_nilpotente

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_singular



Es aIuella cuya determinante es di)erente de cero tam"in es llamadamatriz inerti"le

- Matriz identidad

*lamamos mat!iz identidad a la matriz cuadrada mismo n,mero de ;las Iuede columnas: )ormada por unos en la diagonal y ceros en las dems entradasposiciones: *a representamos por In donde n es la dimensi'n de la matriz

"!opiedades:

• Es el neutro del producto de matrices Es decir para toda matriz A dedimensi'n m x n

• Es idempotente es decir sus potencias son ella misma

• Es regular y su inersa es ella misma

• Es una matriz permutaci'n

• S'lo tiene un autoalor alor propio: Iue es 1 con multiplicidadalge"raica la misma Iue la dimensi'n de la matriz

+otaciones a"ituales=

18

http://matesfacil.com/matrices/matrices1.html#producto

http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#idempotente

http://matesfacil.com/matrices/matriz-inversa.html


http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#permutacion

http://matesfacil.com/matrices/matrices1.html#producto

http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#idempotente



http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#permutacion



- Matriz

Diagonal

Todos los elementos son nulos e>cepto los de la diagonal esto es loselementos Iue tienen el mismo n,mero de ;la Iue de columna

na matriz A diagonal de dimensi'n m x n Iue tiene por elementos de ladiagonal a los elementos del ector v se le denota por

"!opiedades:

• Son un caso particular de las matrices triangulares

• *a matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensi'n m x n es lamatriz diagonal de dimensi'n n x m con la misma diagonal

• En las matrices cuadradas el determinante es el producto de loselementos de la diagonal=

con lo Iue son regulares si y s'lo si todos los elementos de la diagonalson distintos de / En tal caso =

1.

http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#triangular

http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#traspuesta

http://matesfacil.com/matrices/determinante-rango.html


http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#triangular






• Potencias para las cuadradas:

• Producto de matrices diagonales= Sean las matrices A y B diagonales dedimensiones respectias m x n y n x t su producto es una matrizdiagonal de dimensi'n m x t

• *os autoalores alores propios: de las matrices diagonales cuadradasson los elementos de la diagonal

- Matrices Triangulares

&istinguimos dos tipos=

• $!iangula! supe!io!: todos los elementos por de"a<o de la diagonal dela matriz son / es decir

• $!iangula! in%e!io!: todos los elementos por arri"a de la diagonal de lamatriz son / es decir

2/



E

"!opiedades :

• *a matriz traspuesta de una triangular superior es triangular in)erior yiceersa

• Si la matriz es cuadrada su determinante es el producto de loselementos de la diagonal

Por tanto es regular si y s'lo si los elementos de la diagonal sondistintos de / En tal caso

• *a inersa de una matriz triangular superior in)erior: es una matriztriangular superior in)erior:

• El producto de matrices triangulares superiores in)eriores: es una matriztriangular superior in)erior:

• *os autoalores alores propios: de una matriz cuadrada triangular sonlos elementos de la diagonal

- Matriz Transpuesta

21











*a matriz traspuesta de una matriz A de dimensi'n m x n es una matriz dedimensi'n n x m Iue tiene por columnas a las ;las de A Se denotacomo AT o A' si la matriz es real:

E

"!opiedades:

• Traspuesta de la traspuesta

• Traspuesta de la suma

• Traspuesta del producto

• na matriz es igual Iue su traspuesta si y s'lo si es simtrica

• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta

22

http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#simetrica


http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#simetrica




- Matriz Adjunta

Sea A una matriz de cuadrada de dimensi'n n

Se de;ne su matriz ad<unta como

&onde Ai ! es la matriz Iue resulta al Iuitar la ;la i y columna ! a A

Al elemento ad i ! se le denomina ( i ! )# co)actor o ad<unto: de la matriz A

Propiedades=

• Ad<unta de la identidad

• Ad<unta de la traspuesta

• Ad<unta del producto

• Si A es de dimensi'n n y " un escalar

23





• Si A es regular su inersa es

E

- Matriz Simétrica (Sn )

na matriz A cuadrada es sim&t!ica si es igual a su traspuesta Es decir

E

"!opiedades:

• *a inersa de una matriz simtrica regular es simtrica

• *a ad<unta de una simtrica es simtrica

• *a suma de simtricas es simtrica El producto lo es si y s'lo sitam"in es conmutatio

• *os autoalores alores propios: de una matriz cuadrada real ysimtrica son reales

• Autoectores ectores propios: de autoalores distintos de una matrizcuadrada y real son ortogonales

24



http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#adjunta



http://matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html#adjunta



• na matriz cuadrada y real A es simtrica si y s'lo sies diagonaliza"le mediante una matriz de paso ortogonal # Es decir

- Matriz Antisimétrica (ASn )

Una matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su adjunta, es decir

$eo!ema: na matriz cuadrada se puede descomponer en su parte

simtrica y antisimtrica

Sea A 5 Rn>n F e>iste % 5 Sn C 5 ASn

Tal Iue F A?%GC

- Matriz nilpotente: (!"!n)

AU ? / A L / AU#1L /

# Matriz idempotente:

A2 ? A

# Matriz in#oluti#a:

A2 ? i

# Matriz $ermitiana:

A

t

? A A 5 C

n>n

# Matriz anti$ermitiana

2!

http://www.matesfacil.com/diagonalizacion.htm

http://www.matesfacil.com/diagonalizacion.htm



At ? A A 5 Cn>n

- Matriz ortogonal

At ? A#1

- Matriz in#ersa

En matemticas en particular en lge"ra lineal una matriz cuadrada A de

orden n se dice Iue es inerti"le no singular no degenerada o regular si e>iste

otra matriz cuadrada de orden n llamada matriz inersa de A y representada

como AW1 tal Iue=

&onde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto

de matrices usual

na matriz no inerti"le se dice Iue es singular o degenerada na matriz es

singular si y solo si su determinante es nulo

&ada una matriz de 2>2 con determinante no nulo=

Est de;nida siempre y cuando As por e<emplo la inersa de la

matriz

Xa Iue

&ada una matriz de 3>3 con determinante no nulo=

2



https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad



https://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_si




https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada




https://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_si




"!opiedades de la mat!iz inve!sa:

• *a inersa de una matriz si e>iste es ,nica

• *a inersa del producto de dos matrices es el producto de las inersas

cam"iando el orden=

• Si la matriz es inerti"le tam"in lo es su transpuesta y el inerso de su

transpuesta es la transpuesta de su inersa es decir=

• X eidentemente=

2$







X por ,ltimo cam"iamos de signo la tercera ;la y usamos el piotecorrespondiente

El proceso a ;nalizado porIue en la parte izIuierda tenemos la )orma

escalonada reducida de A y puesto Iue sta es la matriz identidad

entonces A tiene inersa y su inersa es la matriz Iue aparece a la dereca en

el lugar Iue al principio ocupa"a la identidad Cuando la )orma escalonada

reducida Iue aparece no es la identidad es Iue la matriz de partida no tiene

inersa

%ango de una matriz:

El rango de una matriz es el n,mero m>imo de columnas ;lasrespectiamente: Iue son linealmente independientes El rango ;la y el rangocolumna siempre son iguales= este n,mero es llamado simplemente rangode A prue"a ms a"a<o: Com,nmente se e>presa como rg A:

El n,mero de columnas independientes de una matriz A de m ;lasy n columnas es igual a la dimensi'n del espacio columna de A Tam"in la

3/


https://es.wikipedia.org/wiki/Vectores_independientes

https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)#Prueba_de_que_rango_columna_.3D_rango_fila

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_columna&action=edit&redlink=1


https://es.wikipedia.org/wiki/Vectores_independientes

https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)#Prueba_de_que_rango_columna_.3D_rango_fila

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_columna&action=edit&redlink=1



dimensi'n del espacio ;la determina el rango El rango de A ser por tanto unn,mero no negatio menor o igual Iue el mnimo entre m y n=

Calculo del rango

Consideremos la matriz A ? ai<:=

1' El rango de la matriz A coincide con el de la matriz AZ Iue se o"tienesuprimiendo en la matriz A todas la lneas ;las o columnas: cuyasentradas estn s'lo )ormadas por ceros es decir Iue sean nulas

2' Consideremos la matriz=

A1 ? a11 a12 a1+:

X supongamos Iue

Entonces=

Rango A: [ Rango A 1: ? 1

3' A\adimos ;las de la matriz A a la matriz A1 asta encontrar una matriz

Iue cumpla=

Tal Iue posea un menor no nulo de la )orma=

31

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_fila&action=edit&redlink=1

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_fila&action=edit&redlink=1



Por consiguiente Rango A: [ rango A 2: ? 2

Si esto no u"iese sido posi"le entonces= Rango A: ? 1 Supongamos Iue rango A: [ rango A2: y Iue i ? 2 y ! ? 2 4' A\adimos ;las a la matriz A2 asta encontrar una matriz Iue cumpla=

&e )orma Iue posea un menor de orden tres de la )orma=

Entonces=

Rango A: [ rango A2: ? 3 En caso de no a"er sido posi"le encontrar dico menor entonces=Rango A: ? rango A2: ? 2 Suponiendo Iue rango A: [ rango A3: y Iue i ? 3 y ! ? 3 se procederacomo en los casos anteriores y as sucesiamente asta agotar todas las;las de la matriz A

E<emplos= a) Sea la matriz A una matriz de orden tres ]allar el rango A:

32



Como A es una matriz cuadrada de orden tres como m>imo el rango A:puede aler tres Calcularemos primero el determinante o determinantesde las su"matrices de orden dos de A As pues

Xa Iue el resultado es cero pro"aremos con todas las su"matricesde A asta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si noencontramos ninguna el rango A: ? 1

Puesto Iue el resultado de calcular el determinante de esta su"matriz

de A no es nulo podemos a;rmar de momento Iue el rango A: ? 2 A\adimos aora una columna y una ;la ms para er si el rango puedeser tres=

&ado Iue el determinante de A no es nulo y a su ez es de orden tres elrango A: ? 3 +o necesariamente para poder calcular el rango de una matriz statiene Iue ser cuadrada As en el siguiente e<emplo=

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 ^ 4

33



Como ay una determinante de orden dos no nulo el rango de lamatriz B es mayor o igual Iue 2 Calculamos a continuaci'n losdeterminantes de orden superior=

Pro"amos con un segundo determinante de orden tres=

As pues como ay un determinante de orden tres Iue no es nulo elrango B: ? 3 n rango mayor Iue 3 no se puede allar ya Iue no se puede )ormar undeterminante de orden

Recurdese Iue para poder calcular el determinante de una matriz o de unasu"matriz stas tienen Iue ser cuadradas

Sistema de ecuaciones lineales:

*a matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n inc'gnitas esla siguiente=

34



Cada ;la de M corresponde a una ecuaci'n del sistema y cada columna alos coe;cientes de una inc'gnita e>cepto la ,ltima Iue corresponde alas constantes del sistema n sistema de ecuaciones lineales puede resolerse tra"a<ando con sumatriz ampliada espec;camente reducindola a )orma escalonadamediante el proceso de 0auss

&todo de auss

Para resoler sistemas de ecuaciones lineales se aplica el mtodo de0auss Este proceso se ilustra en el siguiente e<emplo E!em+%= Sea el sistema

Su matriz ampliada asociada es

Aora resolemos por el mtodo de 0auss sa"iendo Iue la primeracolumna corresponde a los coe;cientes de la x la segunda a los de la la tercera a los de la z y la cuarta a los trminos independientes=

3!



&e este modo el sistema tiene la soluci'n ,nica

x ? 2 ? #1 z ? 3

Conclusiones=

• En la operaciones de los determinantes pudimos llegar a la conclusi'nIue podemos tra"a<ar so"re la matriz a o"tener el determinante paraIue nuestra resoluci'n sea muco ms rpida y aciendo Iue elresultado de la misma no sea alterado de ninguna manera

• *as di)erentes )ormas de resoluci'n nos lle' a un en)oIue muco msamplio de la resoluci'n del determinante de una matriz ya Iue cada unade ellas poda ser utilizadas en las otras ya Iue en el mtodo deco)actores se usa muco la resoluci'n del determinante de las matricesde 2 > 2 las permutaciones cuando Iueremos trans)ormar una matriz auna triangular superior o in)erior para la resoluci'n del determinante pormedio del producto de la diagonal

• En el punto de las aplicaciones se pudo er )ormas muco ms simplesIue podemos usar para la resoluci'n de la inersa la ad<unta y sistemasde ecuaciones lineales

3



ESPAC-JS (ECTJR-A*ES

#e*nición:

Sea V un con<unto no aco sea K un cuerpo en el cual estn de;nidas

las operaciones de Suma y Producto Se dir Iue V es un Espacio (ectorial

so"re K si est proisto de las 2 operaciones siguientes

Suma:

+:V ×V →V

(u , v )↦u+v

X se cumplen las propiedades=

A1: Conmutatia= u+v=v+u ;∀

u , v∈

V

A2: Asociatia= (u+v )+w=u+(v+w );∀u , v , w∈V

A3: Elemento +eutro= ∃θ∈V /u+θ=u ;∀u∈V

3$



A4: &ado u∈V ;∃v∈V /u+v=θ +otaci'n= v=−u

"!oducto po! escala!:

∙: K × V → V (α , u )↦αu

"1) Elemento +eutro= 1.u=u

"2) &istri"utiidad= (α + β ) u=αu+ βu

"3) Asociatiidad= α ( βu )=(αβ )

Si en el con<unto V ≠∅

se cumplen las propiedades mencionadas

anteriormente se dir Iue V es un Espacio +ecto!ial

,otación'-

(V ,+ , ∙ ) Espacio (ectorial

E<emplo=

Sea V = R3

Sean u=( x1 , y 1, z1 ) , v=( x2 , y2 , z2 )∈ R3

+: R3

× R3

→ R3

(u , v )↦u+v=( x1+ x2 , y1+ y2 , z1+ z2 )

∙: R × R3

→ R (α , u )↦αu=( α x1 , α y1 , α z1 )

A.rma*i/n= ( R3,+, ∙) es un Espacio (ectorial

Su&-'spacios ectoriales

#e*nición:

38



Sea _ un Espacio (ectorial y sea ∅≠ W ⊂V Se dice Iue W es un Su"#

Espacio (ectorial de V si W es un Espacio (ectorial

$eo!ema:

Sea _ un Espacio (ectorial y sea ∅≠ W ⊂V ` ser un Su"#Espacio (ectorial

si y s'lo si cumple con las siguientes propiedades=

1 θ∈W

2 Siu , v∈W

⇒

αu+ βv∈W

E<emplo=

• Sea R2

el Espacio (ectorial Sea ` Su"#Espacio (ectorial de R2

⇒

W = que pasa por el origen

˅W = R2

˅W ={θ }

• Sea R3

el Espacio (ectorial Sea ` Su"#Espacio (ectorial de R3

⇒

W =Recta que pasa por el origen

˅W =Plano ! que pasa por el origen

˅W = R3

˅W ={θ }

J"seraci'n=

={ ! / !=αu;α ∈ R }(Recta que pasa por el origen de coordenadas

!={ ! / !=αu+ βv ; α , β∈ R }(Plano que pasa por el origen de coordenadas

+ota= A {θ } se le conoce como Su"#Espacio Triial de _ A todos los Su"#

Espacios de _ Iue no sean {θ } ni _ se les llama Su"#Espacios Propios

3.



Conjunto enerador de un 'spacio ectorial

#e*nición:

Sea _ un Espacio (ectorial se dice Iue el con<unto de ectores

{u1 ,u 2 , " , u# }⊂

V genera _ si para todo !∈

V ;∃

α 1 , α 2 , " , α # ∈

R tal

que !=∑i=1

#

α i ui . !n este caso" {u1 ,u2, " , u# } ser# el con$unto generador de _

E<emplos=

1: {i , j } es un con<unto generador de R2

; i= (1 ;0 ) , j=(0 ;1)

2: {i , j , # } es un con<unto generador de

R3

;i=(1;0 ;0 ) , j=(0 ;1;0 ) , # =(0 ;0 ;1 )

'spacio enerado por un conjunto de #ectores

#e*nición:

Sean u1 ,u2, " , un ectores de un Espacio (ectorial _ se de;ne=

{u1 , u2 , " , un }={u∈V /u=∑i=1

n

α i ui , α i∈ R}Se dir Iue el Espacio generado por {u1 ,u 2 , " , un } es el con<unto de

com"inaciones lineales de u1 ,u2, " , un

$eo!ema:

Sean u1 ,u2 , " , un ectores de un Espacio (ectorial _=

⇒

{u1 , u2 , " , un } es un Su"#Espacio (ectorial de _

4/



E<emplo=

]allar el espacio generado por los ectores u1=(1 ;1;0 ) y u2=(1;0 ;1)

Soluci'n=

%uscamos allar ` el cual es el espacio generado por {u1 ,u 2 }$

W = {(1; 1 ;0) ,(1;0 ;1)}={u∈ R3/u=α 1 (1; 1 ;0 )+α 2 (1 ;0 ;1 )}

u= ( x , y , z )=α 1 (1 ;1 ;0 )+α 2 (1 ;0 ;1 ) u= ( x , y , z )=(α 1+α 2 , α 1 , α 2)

⇒{ x=α 1+α 2" (1 )

y=α 1 " (2 ) z=α 2 " (3 )

Sustituyendo 2: y 3: en 1:=

x= y+ z⇒ x− y− z=0

El espacio generado por u1 y u2 es= W = {( x , y , z )∈ R3/ x− y− z=0} Iue

iene a ser un plano en R3

Iue pasa por el origen

Por teorema ` es un Su"#Espacio (ectorial de R3

Su"#Espacio Propio:

*ases + Dimensi,n de un 'spacio ectorial

.ases (#e*nición):

Sea _ un Espacio (ectorial se dice Iue el con<unto de ectores

{u1 ,u 2 , " , u# }⊂V es "ase del Espacio (ectorial _ si=

1 {u1 , u2 , " , u# }=V

2 {u1 ,u 2 , " , u# } es linealmente independiente

#imensión (#e*nición):

41



Sea _ un Espacio (ectorial cuya "ase {u1 ,u 2, " , u# }⊂V tiene # ectores

se dice Iue _ es un Espacio (ectorial de dimensi'n #

,otación'-

dim RV =#

E<emplo=

]allar una "ase y la dimensi'n del siguiente Su"#Espacio (ectorial=

% ={( x , y , z )∈ R3/2 x+3 z− y=0 }

Soluci'n=

Sea !=( x , y , z )∈ %

⇒

2 x+3 z− y=0 y=2 x+3 z

!=( x , y , z )=( x ,2 x+3 z , z ) !=( x , y , z )=( x ,2 x , 0 )+( 0"3 z , z )

!=( x , y , z )= x (1 ;2 ;0 )+ z(0 ;3 ;1)∈ {(1 ;2; 0) ,(0 ;3 ;1)

⇒

% ⊂ { (1 ;2; 0 ) , (0 ;3 ;1 ) }

⇒

dim R % =2

(1;2 ;0 ) , (0 ;3 ;1 )∈ %

Como % es un Su"#Espacio (ectorial=

⇒

α (1; 2 ; 0 )+ β (0 ; 3 ; 1)∈ %

⇒

{ (1 ;2; 0 ) , (0 ;3 ;1 ) }⊂ %

"!opiedades:

Sean % , & ⊆V donde _ es un Espacio (ectorial

42



1: Si % ⊆&

⇒

{ % }⊆ {& }

2: { % } es un Su"#Espacio (ectorial

3: Si ` es un Su"#Espacio deV ⇒

{W }=W

4: SiW ≼V ˄ % ⊆W

⇒

{ % }⊆W

+ota= { % } es el menor Su"#Espacio (ectorial Iue contiene a %

E<emplo=

Sean % ={u } ,& ={u , v }⊆V % dondeV = R2

es un Espacio (ectorial

•

% ⊆& ⇒

{ % }={αu /α ∈ R }⊆ {& }={αu+ βv /α , β∈ R }

• { % }={αu /α ∈ R } es un Su"#Espacio (ectorial

E<emplo=

Sea V = Rn

un Espacio (ectorial

(ectores Can'nicos=

e1=(1; 0; "; 0 ) ,e2=(0 ;1 ;0 ; ";0 ) , " , en=(0 ;0 ; " ;1)∈ Rn

i¿ {e1, e2 , " , en }= Rn ii¿ {e1, e2, " , en } Son *inealmente -ndependientes

Soluci'n=

i¿ {e1, e2 , " , en }= Rn

⇔

{e1 , e2, " , en }⊂ Rn˄ {e1 , e2 , " , en }⊃ R

n

[⊂] {e1 , e2 , " , en }⊂ Rn

⇒

{ e1 , e2 , " , en }⊂ { Rn }= Rn

[⊃] Sea x=( x1 , x2 , " , xn)∈ Rn

x=( x1 ,0" " , 0 )+(0" x2 , " ,0 )+"+(0"0" " , xn ) x= x1 $ e1+ x2 $ e2+"+ xn $ en

⇒

x∈ {e1 , e2 , " , en } ∴ Rn⊂ {e1, e2 , " , en }

43



⇒

{ e1 , e2 , " , en }= Rn

ii¿ ' =

[

e1

e2

⋮

en

]; det ( ' )=1≠ 0

⇒{e1 ,e 2 , " , en } son $ ' $

Suma de 'spacios ectoriales

Sean % , & Su"#Espacios (ectoriales de un Espacio (ectorial _

*a suma de los Su"#Espacios % & & se de;ne del siguiente modo=

% +& ={u+v /u∈ % , w∈& }

J"seraciones=

1: En general % +& ≠ % ∪& pues % ∪& no siempre es un Su"#Espacio

2: % ∪& ⊂ % +&

3: { % ⊂ % +&

& ⊂ % +&

4: Si ` es un Su"#Espacio de _ tal Iue % ∪& ⊂W entonces % +& ⊂W

!: % +& es el menor Su"#Espacio Iue contiene a % ∪&

: % (& es un Su"#Espacio (ectorial

Suma #i!ecta de Espacios +ecto!iales

Sean % , & Su"#Espacios (ectoriales de un Espacio (ectorial _

Si % ( & ={θ } se dice Iue % ⊕& es la suma directa de % & &

% ⊕& ={u+v /u∈ % , w∈& }

$eo!ema:

44



Si % & & son dos Su"#Espacios de _ y la dimensi'n de _ es ;nita entonces=

• dim( % +& )=dim % +dim& −dim( % ( & )

• dim( % ⊕& )=dim % +dim&

J"seraci'n=

SiW ≼V ˄dimW =dimV

⇒

W =V

E<emplo=

Sea un Su"#Espacio del Espacio (ectorial R3

% ={ ( x , y , z)∈ R3 / x+2 y+3 z=0 }

Muestre un Su"#Espacio (ectorial b y tal Iue % +& = R3˄ % ⊕) = R

3

dim& =2˄dim) =1

Soluci'n=

• & ={ ( x , y , z )∈ R

3/2 x+2 y− z=0 }

Sea !=( x , y , z )∈&

⇒

2 x+2 y− z=0 z=2 x+2 y

!=( x , y , z )=( x , y , 2 x+2 y ) !=( x , y , z )=( x ,0"2 x )+ (0" y , 2 y )

!=( x , y , z )= x (1 ;0 ;2 )+ y (0 ;1 ;2 )∈ {(1 ;0 ;2) ,(0 ;1 ;2) }

& = {(1 ; 0 ;2),(0 ;1; 2)}

⇒

dim& =2

% +& = R3

dim % (& =1

dim( % +& )=dim % +dim& −dim ( % ( & )=2+2−1=3

• ) ={t (1 ;2; 3 ) /t ∈ R }= {(1; 2 ; 3)}

4!



⇒

dim) =1

% ⊕) = R3

dim % () =0

dim( % ⊕ ) )=dim % +dim ) =2+1=3

Conclusiones:

n espacio ectorial es una estructura alge"raica Mucos con<untos poseenesta misma estructura con las operaciones usuales Por e<emplo los paresordenados de n,meros reales las ternas los polinomios las matrices etcCuando se estudian los espacios ectoriales se o"tienen conclusionescomunes a todos estos con<untos

4



TRA+SJRMAC-J+ES *-+EA*ES

Sean ( y dos espacios ectoriales so"re el cuerpo na trans)ormaci'nlineal T= ( es una correspondencia Iue a cada ector f ( le asigna un

ector T: e tal Iue para cualIuier u f ( y a f se cumple la relaci'n* (au+v)=a* (u)+* (v )

• *a particularidad de una trans)ormaci'n lineal es Iue presera las operaciones

de suma de ectores y producto de un escalar por un ector

a ¿* (αv)=α* (v) decimos Iue T sacah el escalar :

" ¿* (v+u)=* (v )+* (u) T presera las operaciones suma

de los espacios ectoriales:

E<emplo 1=

Sea T = una )unci'n de;nida por=

* ( x , y)=( x+ y , x− y , y )

Compro"ar Iue T 5 * -R -R :

Solución:

T saca el escalar=* (α ( x , y))=* (αx,αy)

¿(αx+αy,αx−αy,αy)

¿α ( x+ y , x− y , y)

¿α* ( x , y )

T presera la suma=

* (( x 1 , y 1)+( x 2 , y 2))

¿* ( x 1+ x 2 , y 1+ y 2)

¿( x 1+ x 2+( y 1+ y 2) , x 1+ x 2−( y 1+ y 2) , y 1+ y 2)

¿( x 1+ y 1 , x 1− y 1 , y 1)+( x 2+ y 2 , x 2− y 2 , y 2)

4$



¿* x 1 , y 1 +* x2 , y 2

Por lo tanto :* (( x 1 , y 1)+( x 2 , y 2))=* ( x 1, y 1)+* ( x 2 , y 2)

%elaci,n entre transformaciones + matrices:

Cada matriz en + (m , n , ' R) determina una ,nica trans)ormaci'n en

( Rn, R

m) e inersamente cada trans)ormaci'n lineal en R

n, R

m

¿ :

se puede asociar a una matriz A∈ + (m , n , ' R) ,nica si ;<amos una

"ase para cada espacioSea A una matriz de tama\o m Y n A la matriz A le asociamos latrans)ormaci'n lineal=

TA= Rn❑

→

Rm

tal Iue *A( x )= Ax ∀ x∈ Rn

Claramente TA es lineal En e)ecto=

*A (αx+ y)= A (αx+ y )=αAx+ Ay=α*A( x )+*A ( y )

&e lo anterior podemos concluir Iue toda matriz de tama\o m Y n puede

erse como una trans)ormaci'n lineal de Rn

en Rm

E<emplo 2=

]allar la matriz asociada a la trans)ormaci'n lineal T= R2❑

→

R2

de;nida por

* ( x , y)=(5 x+4 y , 3 x−2 y)

* ([ x y ])=[5 x+4 y

3 x−2 y ]

¿[5 4

3 −2] [ x y ]

48



As o"tenemos Iue A=[5 4

3 −2] es la matriz R2 x 2

asociada a T

/0se!vaciones:

i: na consecuencia directa de la propiedad ": de la de;nici'n de t les Iue T ace corresponder el cero de ( con el cero de

En e)ecto * (0 v )=* (0 v+0 v)=* (0 v)+* ¿ :

*uego * (0 v )=0 w +'tese Iue usamos el sm"olo 0 v para

re)erirnos al cero de ( y 0 w para el de

ii: *as propiedades a: y ": de;nitorias de una t l se puedenresumir en una sola como se puso al principio=

* ∈ (V , W ) jk * (αv+u)=α* (v )+* (u)

∀ v ,u∈V y ∀α ∈ 'R $

.cleo e /magen

Sea T 5 * ( : =

a: El con<unto u-(* )={v∈V /* (v)=0 w }

se l lama n,cleo de T

": El con<unto 'm.(* )={* ( x)/ x∈V }

se llama imagen de ( "a<o T o

simplemente imagen de T

$eo!ema 1

Sea T 5 * ( :

El +uc T: y la -mg T: son su"#espacios de ( y respectiamente

E<emplo 3=

Sea la tl T= R3❑

→

R3

de;nido por la regla

* ( x , y , z )=( x+3 y+4 z , 3 x+4 y+7 z ,−2 x+2 y )

4.



a: ]allar la -MA0E+ de T

": ]allar el +C*EJ de T

Soluci,n:

a: *a -magen de T est )ormado por ectores de la )orma r s t: tal Iue

(/ , 0 , t )=( x+3 y+4 z , 3 x+4 y+7 z ,−2 x+2 y )

x+3 y+4 z=/

3 x+4 y+7 z=0

−2 x+2 y=t

]aciendo ms sencilla la matriz aumentada=

[ 1 3 4

3 4 7

−2 2 0

][/

0

t

]❑→

[1 0 1

0 1 1

0 0 0

][ 3 0−4 /

5

−0+3/

58 0−14 /+5 t

5 ]*a -magen de T es * (V )={(/ , 0 , t )∈ R3/8 0−14 /+5 t =0} Iue

geomtricamente es un plano Iue pasa por el origen

": El n,cleo de T se o"tiene=

( x+3 y+4 z ,3 x+4 y+7 z ,−2 x+2 y )=(0"0"0)

x+3 y+4 z=0

3 x+4 y+7 z=0

−2 x+2 y=0

]aciendo ms sencilla la matriz aumentada=

[

1 3 4

3 4 7

−2 2 0

][

0

0

0

]❑→

[

1 0 1

0 1 1

0 0 0

] [

0

0

0

]]aciendo z=t =

x+ t =0❑⇒

x=−t

!/



y+t =0❑⇒

y=−t

Entonces el ector soluci'n es

( x , y , z)=(−t ,−t , t )

¿ t (−1"−1"1)

El n,cleo de T es u-(* )={v=( x , y , z )∈ R3/ x=−t , y=−t , z=t }

Representa la ecuaci'n paramtrica de una recta Iue pasa por el origen decoordenadas

$eo!ema 2

Sea T 5 * ( : y ( de dimensi'n ;nita entonces

dimV =dim( u-(* ))+dim( 'm.(* ))

#e*nición 1' (at!iz de una t!ans%o!mación lineal)

*a matriz de T o representaci'n matricial: en el par de "ases %1 y %2 sede;ne por=

@ [* ]11

12

=([* (v 1)]1 2・・・

[* (vn)]1 2)=

[ a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn]

$eo!ema 3

2ea* ∈ (V ,W ) , 1 1={v 1"・・・, vn } una "ase de ( y

1 2={u 1"・・・, um} una "ase de

Si A= (aij ) m× n=[ * ]1 1

1 2

es la matriz de T en las "ases %1 y %2 entonces

[* ( x)]12 ? [* ]11

12[ x ]11∀ x∈V

E<emplo 4=

Considere la tl * : R3

→ R2

tal Iue

!1



* [ x

y

z ]=[ x+ y

3 x− z ]

X sean 3 1={e 1" e 2" e3 } 3 2={4 1" 4 2 } las "ases can'nicas de R3

y R2

respectiamente Adems

1 1={ (1"1"2 ) t , (−3"0"1 )t , (2"4"3) t } una "ase de R3

y

1 2={(4"1) ,(3"1)} "ase de R2

Encuentre las matrices= [* ]3 13 2

y [* ]1112

Solución:

Resulta )cil er Iue=*

[¿¿(e 1)]-2=(13)

* ( e1 )=(1

3)=4 1+3 4 2❑⇒

¿

*

[¿¿ (e 2 )]- 2=(1

0)* ( e2 )=(1

0)=4 1+0 4 2❑⇒

¿

*

[¿¿(e 3)]- 2=( 0

−1)* ( e1 )=( 0

−1)=0 4 1−4 2❑⇒

¿

*uego

[* ( e1 ) ]3 2 [* (e 2) ]3 2 [* (e 3) ]3 2=[1 1 03 0 −1]

[ * ]3 1

3 2=¿

!2



* [1

1

2]=[21]=a11[41]+a21[31]

*

[

−3

0

1

]=

[ −3

−10

]=a12

[4

1

]+a22

[3

1

]* [

2

4

3]=[63 ]=a13[41]+a23[31]

[4 3

1 1][a11

a21]=[21]

[4 3

1 1][a12

a22]=[ −3

−10]

[4 3

1 1][a13

a23]=[63 ]

*uego=

[* ]1 11 2=([* [

1

1

2]]1 2[* [

−3

0

1 ]]12[* [

2

4

3]]1 2

)

¿[−1 27 −3

2 −37 6 ]

#e*nición 2' (nectividad So0!eectividad)

Sea ) = A WF % una )unci'n del con<unto A al con<unto %

!3



a: Se dice Iue ) es inyectia si todo elemento z∈1 tiene a lo ms una pre

imagen

x

x∈ A , z=4 ¿ : o eIuialentemente si=

4 ( x)=4 ( y )=⇒ x= y

": ) es so"reyectia si todo elemento z 5 % es imagen de alg,n x∈ A o sea 'm.( 4 )=1

EIuialentemente ) es so"reyectia si la ecuaci'n en la aria"le >=

4 ( x)= z tiene soluci'n ∀ z∈1

c: Cuando ) es inyectia y so"reyectia se dice Iue ) es "iyectia

E<emplo !=

Sea T 5 * R3

, R3

: de;nida por

* ( x , y , z )=¿

( x− y ,− x+ y+ z ,− y+ z ) Es T so"reyectiaO

S%+*i/n=

T es so"reyectia si * ( x , y , z)=(a , b , -) tiene soluci'n

∀ (a , b , - )∈ R3

* ( x , y , z )=(a , b , -)

⇐⇒( x− y ,− x+ y+ z ,− y+ z)=(a , b , - )

x− y=a

− x+ y+ z=b

− y+ z=-

Resoliendo el sistema se tiene Iue ( x , y , z)=(2 a+b−- , a+b−- ,a+b) *uego

para cada a " c: 5 R3

el sistema tiene soluci'n por lo tanto es

so"reyectia

!4



(eri;car la inyectiidad de una trans)ormaci'n lineal a partir de la de;nici'naunIue no es en e>tremo di)cil es ms di)cil si se emplea el teoremasiguiente

$eo!ema 4

Sea T 5 * (: Se tiene Iue=

T es inyectia⇐⇒

u-(* )={0}

$eo!ema 5

Sea T 5 * ( :

a: Si V =3l {v 1"・・・ , vm } entonces

'm.(* )=3l {* (v 1) ,・・・ ,* (vm)}

": Si T es inyectia y v 1"・・・ , vm son li entonces

* (v 1) ,・・・, * (vm) son li

En particular= dimV =dim( 'm.(* )) $

C/,CS/,ES:

Se an isto ms detallado y con ms e>actitud los teoremas y propiedadesIue ilan todos los temas propuestos por este tra"a<o y se a se a llegado a laconclusi'n de todos los temas estn relacionados en cierta )orma ya Iue enarios de estos se necesita recurrir a las propiedades Iue se an isto entemas anteriores

Autoalores y Autoectores

• Autovalo! (valo! p!opio):

Sea 5 5 R talIue

det [ A− 5' ]=0=det [ 5' − A ]

!!



! A( 5)=det [ A− 5' ]=0

&onde= PA = es llamado polinomio caracteristico

*as raices del polinomio caracterisitico son llamados autoalores de A E<emplo=

A ? [4 8

7 6] ]alle los autoalores de A

det [ A− 5' ]=0

A # 5 - ?

[4 8

6 6

] #

[ 5 0

0 5

] ?

[4− 5 8

7 6− 5

]

PA : ? (4− 5 ) (6− 5 )−48=0

52−10 5−24=0 51=−12 52=2

TEJREMA=

Sea A 5 Rn>n diagonal A=dia. [a11 , " $ , ann]

F *os autoalores de A son {a11 ,a22 , " , ann }

TEJREMA=Sea A 5 Rn>n triangular superior

A= [ aij ] aij=0 ⩝ i <

F *os autoalores de A son {a11 ,a22, " , ann }

• Autovecto! (vecto! p!opio):

Sea A 5 Rn>n y 5 5 R autoalores de A n ector 5 Rn 6H9 es llamado

autoector si=

!



Av= 5v

= Autoalor det [ A− 5' ]=0

# A− 5' no inerti"le

# Rang A− 5' ¿ n

# +u(* A− 5' )

L 6H9

J%S=Sea 5 Rn autoector de A asociado al autoalor

Av= 5v

Sea 5 R <

A: ? A ?q

? ? : F Aq ? q

W A ( 5)=¿ 6 5 Rn B es un autoector de A con respecto al autoalor 9

W A ( 5)=¿ 6 5 Rn B A ? 9 Autoespacio asociado al autoalor :

# Rn>n TA Rn Rn

u TAu:? Au A ? ?/ autoector de cualIuier espacio:

E<emplo=

A1=

[ 3 −1 0

−1 2 −10 −1 3 ]

!$



| A1− 5' |=[3− 5 −1 0

−1 2− 5 −1

0 −1 3− 5]=0⇒( 5−3)( 5−1)( 5−4)=0

Auto#alores= ? 3 ? 1 ? 4 ∈ R

Si ? 3

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔ [ 0 −1 0

−1 −1 −1

0 −1 0 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

− y=0 x=−t

− x− y− z=0⇒ y=0

− y=0 z=t

∴ ´ x1=[−1

0

1 ]

Si ? 1

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔ [ 2 −1 0

−1 1 −1

0 −1 2 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

2 x− y=0 x=t

− x+ y− z=0⇒ y=2 t

− y+2 z=0 z=t

∴ ´ x2=[1

2

1]

Si ? 4

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔

[−1 −1 0

−1 −2 −1

0 −1 −1] [ x

y

z ]=

[0

0

0]

!8



− x− y=0 x=−t

− x−2 y− z=0⇒ y=t

− y− z=0 z=−t

∴ ´ x3=

[−1

1−1]

Conclusión

# na ez concluido el captulo tenemos una idea clara de temas antesdesconocidos como son los alores propios y ectores propios y susdistintas aplicaciones

# Estos conocimientos lo logramos mediante la realizaci'n de ariose<ercicios donde se e>plica de manera clara adems los mismos realizanuna sntesis de los temas tratados en el presente tra"a<o

# &e igual manera pudimos entender lo Iue es la &iagonalizaci'n dematrices

!.

http://www.monografias.com/trabajos/fintrabajo/fintrabajo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/sipro/sipro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/dertrat/dertrat.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/el-trabajo/el-trabajo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/fintrabajo/fintrabajo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/sipro/sipro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/dertrat/dertrat.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/el-trabajo/el-trabajo.shtml



"6/CES/ #E/6$//,A7AC/, #E

6A SC8#$

$eo!ema:

Sea 0 un espacio con producto interno y sean v 1Dv n ectores independientescualesIuiera de 01 Entonces se pueden construir ectores ortogonales * en 0 tales Iue para cada " ?12D n el con<unto S? 6 21D 2U9 sea una "ase del su"#espacio generado por v 1Dv U

#emost!ación:

*a construcci'n de los ectores ortogonales 21D 2U es por un algoritmoconocido con el nom"re de proceso de ortonormalizacion de 0ram Scmidt0- Asumimos Iue 21? v 12'- Supongamos Iue por inducci'n los ectores 21D 2m 1mn: ayan sidoelegidos de modo Iue para cada " 6 21D 2U9 1Um es una "ase ortogonalpara el su"#espacio de 0 Iue es generado por v 1Dv UEl siguiente ector despus de 2m es=

6m+1=vm+1−∑# =1

m ⟨ vm+1, 6# ⟩

‖ 6# ‖2

6#

DDD1:

∑# =1

m ⟨ vm+1, 6# ⟩‖ 6# ‖

2 6#

En 1: 2mG1L/ &e ser 2mG1?/ se tendra Iue v mG1 es com"inaci'n lineal de 21D 2m

Adems se cumple Iue= ⟨ 6m+1 , 6 j ⟩ ?/ si 1<m

"!o0emos:

/

0 mG1

2mG1

2"



⟨vm+1−∑# =1

m ⟨ 6m+1 , 6# ⟩‖ 6# ‖

2 6# , 6 j⟩=⟨ vm+1, 6 j ⟩−⟨∑# =1

m ⟨ 6m+1, 6# ⟩‖ 6# ‖

2 6# , 6 j⟩

¿ ⟨ vm+1, 6 j ⟩−∑# =1

m ⟨ 6m+1, 6# ⟩‖ 6# ‖

2 ⟨ 6# , 6 j ⟩ DD2:

En 1: multiplicar escalarmente por el ector 2 <

⟨ 6m+1 , 6 j ⟩= ⟨ vm+1 , 6 j ⟩−∑# =1

m ⟨ vm+1, 6# ⟩

‖ 6# ‖2 ⟨ 6# , 6 j ⟩

∑# =1

m ⟨ vm+1, 6# ⟩‖ 6# ‖

2 ⟨ 6# , 6 j ⟩= ⟨ vm+1 , 6 j ⟩ DDDDDDD3:

Sustituir 3: en 2:= ⟨ 6m+1 , 6 j ⟩=¿ ⟨ vm+1, 6 j ⟩−⟨ vm+1 , 6 j ⟩

Por tanto 6 21D 2mG19 es un con<unto ortogonal Iue consta de mG1ectores no nulos en el su"#espacio generado por v 1Dv mG1 Por el teoremaIue demuestra Iue los con<untos ortonormales son linealmenteindependientes 6 21D 2mG19 es una "ase para el su"#espacio generado por v 1Dv mG1&e esta manera los ectores 21D 2n pueden construirse unos despus de otrosde acuerdo al algoritmo dado en 1:En particular si se tiene 4 ectores 6v 1v 2v 3v 49 los ectores ortogonales6 21 22 23 249 se o"tienen del siguiente modo=

61=v1

62=v2−⟨ v2, 61 ⟩‖ 61‖

2 61

1

2mG1

/

/



63=v3−⟨ v3 , 61 ⟩‖ 61‖

2 61−

⟨ v3 , 62 ⟩‖ 62‖

2 62

64=v4−⟨ v4 , 61 ⟩‖ 61‖

2 61−

⟨ v4 , 62 ⟩‖ 62‖

2 62−

⟨ v4 , 63 ⟩‖ 63‖

2 63

E<emplos=

sar el proceso de 0ram Scmidt para trans)ormar la "ase % del espacioeuclidiano R3 en una "ase ortogonal

1.−1={ (1"0"1 ) , (0"0"1 ) , (−1"1"0 ) }

v1=(1"0"1)

v2=(0"0"1)

v3=(−1"1"0)

S/C/,:

61=(1"0"1)

62=(0"0"1 )−(0"0"1 ) $ (1"0"1 )

‖(1"0"1 )‖2 (1"0"1)=(

−1

2 , 0"1

2 )

63=(−1"1"0 )−(−1"1"0 ) $ (1"0"1 )

‖(1"0"1 )‖2

(1"0"1 )−(−1"1"0 ) $ (0"0"1 )

(0"0"1 ) (0"0"1 )=(

−1

2 ,1"

1

2)

*uego {(1"0"1 ) ,(−1

2 , 0"

1

2 ) ,(−1

2 ,1"

1

2 )} es una "ase ortogonal de R3

2.−1= { (1"0"1 ), (0"1"−1 ) , (1"0"0 ) }

v1=(1"0"1)

2



v2=(0"1"−1)

v3=(1"0"0)

S/C/,:

61=(1"0"1)

62=(0"1"−1 )−(0"1"−1 ) $ (1"0"1 )

‖(1"0"1 )‖2 (1"0"1)=(

−1

2 , 0"−

1

2)

63=(1"0"0 )−(1"0"0 ) $ (1"0"1 )

‖(1"0"1 )‖2

(1"0"1 )−(1"0"0 ) $ (0"1"−1 )

(0"1"−1 ) ( 0"1"−1 )=(

1

2 , 0"−

1

2)

*uego {(1"0"1 ) ,

(−1

2

, 0"−1

2

),

(1

2

, 0"−1

2

)} es una "ase ortogonal de R3

C/,CS/,ES:

# Este logaritmo nos ayuda inicialmente a poder allar una "ase ortogonalpero al allar tam"in esta "ase nos "astara solo el eco de diidircada ector entre su norma para allar una "ase ortonormal en lo Iue se"asa principalmente y as acer de una manera ms )cil la resoluci'n

de este captulo de Alge"ra *ineal

# Parte 2=

CAS1S D' D/A1A2/3AC/43



na matriz cuadrada A de orden n se dice Iue es diagonaliza"le si e>iste una

matriz inerti"le P de orden n y una matriz diagonal tal Iue !−1

A!= 7

Jtra manera de decirlo es= na matriz cuadrada A es diagonaliza"le si esseme<ante a una matriz diagonal

• Caso 1

Cuando todos los autovalo!es son distintos pe!tenecen a los!eales:

Si una matriz cuadrada A de orden n tiene n autoalores reales distintos

di)erentes de cero entonces el con<unto 6 ´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 es linealmente

independiente *uego la matriz A es diagonaliza"le

Puede o"serarse Iue si 6 ´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 son *i k la matriz P?6

´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 es inersi"le *uego puede escri"ise Iue !7 !−1= A

E<emplos=

1 &iagonalizaci'n de A1=[ 3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3 ]

| A1− 5' |=[3− 5 −1 0

−1 2− 5 −1

0 −1 3− 5]=0⇒( 5−3)( 5−1)( 5−4)=0

Auto#alores= ? 3 ? 1 ? 4 ∈ R

*os tres autoalores son simples k la matriz es diagonaliza"le

Si ? 3

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔ [ 0 −1 0

−1 −1 −1

0 −1 0 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

4



− y=0 x=−t

− x− y− z=0⇒ y=0

− y=0 z=t

∴ ´ x1=

[

−1

0

1

]

Si ? 1

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔ [ 2 −1 0

−1 1 −1

0 −1 2 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

2 x− y=0 x=t

− x+ y− z=0⇒ y=2 t

− y+2 z=0 z=t

∴ ´ x2=[1

2

1]

Si ? 4

( A1− 5' ) ´ x=0́⇔ [−1 −1 0

−1 −2 −1

0 −1 −1] [ x

y

z ]=[0

0

0]

− x− y=0 x=−t

− x−2 y− z=0⇒ y=t

− y− z=0 z=−t

∴ ´ x3=

[

−1

1

−1

]

!



*a matriz !=[−1 1 1

0 2 1

1 1 −1]⇒ !−1=

1

6 [−3 0 3

1 2 1

−2 2 −2]

∴ !−1

A1 != 7=

[

3 0 0

0 1 0

0 0 4

]2 &iagonalizaci'n de A2=[

−3 0 2

1 −2 −3

2 −5 −1]

| A2− 5' |=

[

−3− 5 0 2

1 −2− 5 −3

2 −5 −1− 5

]=0⇒( 5+6.341)( 5+2.251)( 5−2.592)=0

Auto#alores= ? −6.341 ? −2.251 ? 2.592 ∈ R

*os tres autoalores son simples k la matriz es diagonaliza"le

Si ? −6.341

( A2− 5' ) ´ x=´0⇔

[3.341 0 2

1 4.341 −32 −5 5.341

][ x

y z

]=

[0

00

]

3.341 x+2 z=0 x=−0.598 t

x+4.341 y−3 z=0⇒ y=0.828 t

2 x−5 y+5.341 z=0 z=t

∴ ´ x1=

[

−0.598

0.828

1

]

Si ? −2.251



( A2− 5' ) ´ x=0́⇔ [−0.749 0 2

1 0.251 −3

2 −5 1.251][ x

y

z ]=[0

0

0]

−0.749 x+2 z=0 x=2.669 t

x+0.251 y−3 z=0⇒ y=1.317 t

2 x−5 y+1.251 z=0 z=t

∴ ´ x2=[2.669

1.317

1 ]

Si ? 2.592

( A2− 5' ) ´ x=0́⇔ [−5.592 0 2

1 −4.592 −3

2 −5 −3.592][ x

y

z ]=[0

0

0]

−5.592 x+2 z=0 x=0.357 t

x−4.592−3 z=0⇒ y=−0.575 t

2 x−5 y−3.592 z=0 z=t

∴ ´ x3=[ 0.357

−0.575

1 ]

*a matriz !=[−0.598 2.669 0.357

0.828 1.317 −0.575

1 1 1 ]

⇒ !−1=[

−3.374 0.457 0.396

0.277 0.189 0.009

0.096 −0.646 0.593]

$



∴ !−1

A2 != 7=[¿−6.341 0 0

0 −2.251 0

0 0 2.592]

• Caso 2

Cuando 9a autovalo!es !epetidos (multiplicidad) pe!tenecen alos !eales:

Si una matriz cuadrada A de orden n es diagonaliza"le si y s'lo si todos sus

autoalores son reales y di)erentes de cero adems la multiplicidad geometricade cada uno coincide con su multiplicidad alge"raica

*a multiplicidad alge"raica es la del autoalor=

Soluci'n do"le tripleD de la ecuaci'n ! ( 5 )=| A− 5' |=0

*a multiplicidad geometrica es la de los autoectores respectios= la dimension

del espacio ectorial solucion del autosistema ( A− 5' ) ´ x=0́

E<emplos=

3 &iagonalizaci'n de A3=[4 1 −1

2 5 −2

1 1 2 ]

| A3− 5' |=[4− 5 1 −1

2 5− 5 −2

1 1 2− 5]=0⇒ ( 5−3 )2 ( 5−5 )=0

Auto#alores: ? 3 multiplicidad?2 ∈ R

? ! multiplicidad?1 ∈ R

8



Si ? 3

( A3− 5' ) ´ x=0́⇔ [1 1 −1

2 2 −2

1 1 −1] [ x

y

z ]=[0

0

0]

x+ y− z=0 x=t x=0

2 x+2 y−2 z=0⇒ y=0 8 y=t

x+ y− z=0 z=t z=t

∴ ´ x1=

[

1

0

1

]8 ´ x2=

[

0

1

1

]

7im ( 5=3 )=multipli-idad=2⇒2i e0 dia.9nalizable

Si ?!

( A3− 5' ) ´ x=0́⇔ [−1 1 −1

2 0 −2

1 1 −3 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

− x+ y− z=0 x=t

2 x−2 z=0⇒ y=2 t

x+ y−3 z=0 z=t

∴ ´ x3=[1

2

1]

.



*a matriz !=[1 0 1

0 1 2

1 1 1]⇒ !−1=

1

2 [ 1 −1 1

−2 0 2

1 1 −1]

∴ !−1

A3 != 7=

[

3 0 0

0 3 0

0 0 5

]4 &iagonalizaci'n de A4=[

−3 1 −1

−7 5 −1

−6 6 −2]

| A 4− 5' |=[4− 5 1 −1

2 5− 5 −2

1 1 2− 5]=0⇒( 5+2)2( 5−4)=0

Auto#alores: ? #2 multiplicidad?2 ∈ R ? 4

multiplicidad?1 ∈ R

Si ? #2

( A4− 5' ) ´ x=0́⇔ [−1 1 −1

−7 7 −1

−6 6 0 ][ x

y

z ]=[0

0

0 ]

− x+ y− z=0 x=t

−7 x+7 y− z=0⇒ y=t

−6 x+6 y=0 z=0

∴ ´ x1=[11

0]

7im ( 5=−2 )≠ multipli-idad⇒ 9 e0 dia.9nalizabe

$/



Si ?4

( A4− 5' ) ´ x=0́⇔ [−7 1 −1

−7 1 −1

−6 6 −6 ][ x

y

z ]=[0

0

0]

−7 x+ y− z=0 x=0−7 x+ y− z=0⇒ y=t

−6 x+6 y−6 z=0 z=t

∴ ´ x2=[0

1

1]

39m9 lamat/iz A4 tieneunmaxim9de 2 ve-t9/e0 p/9pi90linealmente independiente ,

n9e0 0imila/ a una mat/iz dia.9nal, 9 0ea , A4 n9 e0 dia.9nalizable $

• Caso 3

Cuando $a+ auto#alores 5ue pertenecen a los complejos:

Si una matriz cuadrada A de orden n tiene n autoalores comple<os distintos

di)erentes de cero entonces el con<unto 6 ´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 es linealmente

independiente *uego la matriz A es diagonaliza"le

Puede o"serarse Iue si 6 ´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 son *i k la matriz P?6

´ x1, ´ x2" , " " $ , ´ xn 9 es inersi"le *uego puede escri"ise Iue !7 !−1= A

E<emplos=

$1



! &iagonalizaci'n de A5=[1 5 4

1 1 3

3 4 1 ]

| A5− 5' |=

[1− 5 5 4

1 1− 5 33 4 1− 5]

=0

⇒( 5−7.228)( 5+2.114−0.308 i)( 5+2.114+0.308 i)=0

Auto#alores: ? 7.228 ? −2.114−0.308 i ? −2.114+0.308 i

∈3

*os autoalores son simples k la matriz es diagonaliza"le

Si ? 7.228

( A5− 5' ) ´ x=0́⇔ [−6.228 5 4

1 −6.228 3

3 4 −6.228][ x

y

z ]=[0

0

0]

−6.228 x+5 y+4 z=0 x=1.181t

x−6.228 y +3 z=0⇒ y=0.671t

3 x+4 y−6.228 z=0 z=t

∴ ´ x1=[1.181

0.671

1 ]

Si ? −2.114−0.308 i

( A5− 5' ) ´ x=0́⇔ [3.114+0.308 i 5 4

1 3.114+0.308 i 3

3 4 3.114+0.308 i] [ x

y

z ]=[0

0

0]

$2



(3.114+0.308 i) x+5 y+4 z=0 x=(0.374−0.424 i) t

x+ (3.114+0.308i ) y+3 z=0⇒ y=(−1.059+0.241i)t

3 x+4 y+(3.114+0.308 i) z=0 z=t

∴ ´ x2=

[ 0.374−0.424 i

−1.059+0.241 i1 ]

Si ? −2.114+0.308 i

( A5− 5' ) ´ x=0́⇔ [3.114−0.308 i 5 4

1 3.114−0.308i 3

3 4 3.114−0.308 i ][ x

y

z ]=[0

0

0]

(3.114−0.308 i ) x+5 y+4 z=0 x=(0.374+0.424 i) t

x+ (3.114−0.308 i ) y+3 z=0⇒ y=(−1.059−0.241 i) t

3 x+4 y+(3.114−0.308 i) z=0 z=t

∴ ´ x3=

[

0.374+0.424 i

−1.059−0.241i

1

]

*a matriz !=[ 1.181 0.374−0.424 i 0.374+0.424 i

00.671 −1.059+0.241i −1.059−0.241i

1 1 1 ]

⇒ !−1=[0.259+3.927 x 10

−17i 0.456+2.775 x 10

−17i 0.386−2.775 x 10

−17i

−0.129+0.931 i −0.228−0.433 i 0.306−0.808 i

−0.129−0.931 i −0.228+0.433 i 0.306+0.808i ]

∴ !−1

A5 != 7=[7.228 0 0

0 −2.114−0.308 i 0

0 0 −2.114+0.308 i]$3



&iagonalizaci'n de A6=[−1 1 −1

−1 −2 1

1 −1 −3 ]

| A6− 5' |=[−1− 5 1 −1

−1 −2− 5 1

1 −1 −3− 5]=0

⇒( 5+2)( 5+i (−2 i+√ 2 ))( 5−i ( 2i+√ 2 ))=0

Auto#alores: ? −2 ? −i (−2i+√ 2) ? i (2 i+√ 2 )∈3

*os autoalores son simples k la matriz es diagonaliza"le

Si ? −2

( A6− 5' ) ´ x=0́⇔[ 1 1 −1

−1 0 1

1 −1 −1][ x

y

z ]=[0

0

0]

x+ y− z=0 x=t

− x∓ z=0⇒ y=0

x− y− z=0 z=t

∴ ´ x1=[1

0

1]

Si ? −i (−2i+√ 2 )

$4



( A6− 5' ) ´ x= 0́⇔[i (−2 i+√ 2 ) 1 −1

−1 i (−2i+√ 2) 1

1 −1 i (−2i+√ 2)][ x

y

z ]=[0

0

0]

i (−2 i+√ 2) x+ y− z=0 x=1

3

(1−2 i√ 2) t

− x+i (−2 i+√ 2 ) y+ z=0⇒ y=1

3(2 i+√ 2) t

x− y+i (−2 i+√ 2 ) z=0 z=t

∴ ´ x2=

[

1

3(1−2i √ 2)

1

3(2 i+√ 2)

1

]

Si ? i (2 i+√ 2 )

( A6− 5' ) ´ x= 0́⇔[−i (2 i+√ 2 ) 1 −1

−1 −i (2i+√ 2) 1

1 −1 −i ( 2i+√ 2)][ x

y

z ]=[0

0

0]

−i (2i+√ 2 ) x+ y− z=0 x=1

3(1+2i √ 2) t

− x−i (2 i+√ 2 ) y+ z=0⇒ y=−1

3 (−2 i+√ 2) t

x− y−i (2i+√ 2) z=0 z=t

$!



∴ ´ x3=[ 1

3(1+2i√ 2)

−1

3 (−2 i+√ 2)

1]

*a matriz

¿1

1

3(1−2 i √ 2) 1

3(1+2 i √ 2)

0 1

3(2 i+√ 2) −1

3 (−2i+√ 2)

1

¿1

!=[¿1¿ ]

⇒ !−1=

[ 1

2 1

1

21

4i(i+√ 2) −1

4 i (−2i+√ 2) 1

4(1−i √ 2)

−1

4 i(−i+√ 2) 1

4 i(2i+√ 2) 1

4(1+i √ 2) ]

∴ !−1

A6 != 7=[−2 0 0

0 −i (−2i+√ 2 ) 0

0 0 i (2i+√ 2 )]• Caso 4

Cuando 9a autovalo!es ue son iguales a ce!o:

$ &iagonalizaci'n de A7=[2 3 5

0 3 0

6 9 15]

| A7− 5' |=[2− 5 3 5

0 3− 5 0

6 9 15− 5]=0⇒ 5( 5−3)( 5−17)=0

$



Auto#alores= ? / ? 3 ? 1$ ∈ R *os tres autoalores son

simples k la matriz es diagonaliza"le

Si ? /

( A7− 5' ) ´ x=0́⇔

[2 3 5

0 3 06 9 15][

x

y z ]

=

[0

00]

2 x+3 y+5 z=0 x=−5 t

3 y=0⇒ y=0

6 x+9 y+15 z=0 z=2t

∴ ´ x1=

[

−5

0

2

]

Si ? 3

( A7− 5' ) ´ x=0́⇔[−1 3 5

0 0 0

6 9 12][ x

y

z ]=[0

0

0]

− x+3 y+5 z=0 x=3 t

0=0⇒ y=−14 t

6 x+9 y+12 z=0 z=9t

∴ ´ x2=[ 3

−14

9 ]

Si ? 1$

( A7− 5' ) ´ x=0́⇔[−15 3 5

0 −12 0

6 9 −2][ x y

z ]=[00

0]

−15 x+3 y+5 z=0 x=t

$$



−12 y=0⇒ y=0

6 x+9 y−2 z=0 z=3 t

∴ ´ x3=[1

0

3]

*a matriz !=[−5 3 1

0 −14 0

2 9 −3]⇒ !−1=[

−3

17 0

1

17

0 −1

14 0

2

17

3

14

5

17]

∴ !−1

A7 != 7=

[0 0 00 3 0

0 0 17]

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Trabajo Lineal Owen