TRABAJO Y ENERGÌA

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TRABAJO Y ENERGÍA-BEDFOR PARES (4.42-4.80) DINÁMICA

4.42 Supongas que lanza piedras desde la parte superior de un acantilado de 200 metros de altura a una velocidad de 10 m/s en las tres direcciones mostradas. Ignorando la resistencia aerodinámica, use el principio de trabajo y energía para determinar la magnitud de la velocidad de la piedra justo antes de llegar al suelo en cada caso.

SOLUCIÓN:

Aplicando el principio de trabajo y energía tenemos:

U=m( 9.81ms2 ) (200m )=12mv f

2−12m(10m /s )2

1964m2/s2=v f2−100

Resolviendo obtenemos:

v=45.43m / s

Nótese que la respuesta no depende del ángulo en el que es lanzado la piedra.

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4.44 Una canica de masa m se desliza desde su posición de reposo en 1 a lo largo de la superficie del cilindro mostrado. ¿Cuál es el valor del ángulo α en que la canica abandona la superficie del cilindro?

SOLUCIÓN:

En la posición 2 tenemos:

∑ FY :N−mgcosθ=−mv22

R

→N=m(gcosθ− v22

R ) Cuando la pelota deja la superficie

N=0→v22

R=gcosθ

Ahora aplicando Trabajo y Energía

T 1=0 ,V 1=mgRcos (0 )

T 2=12mv2

2=12m (Rgcos (0 ) ) ,V 2=mgRcosθ

Entonces:

T 1+V 1=T2+V 2

→0+mgR=32mgRcosθ

cos−123=θ

→θ=48.2

4.46 El collarín de 20 lb mostrado parte del reposo en la posición 1 con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k=40 lb/pies. Ignore la fricción ¿Qué distancia cae el collarín?

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SOLUCIÓN:

Tenemos que:

v f=v0=0

Si la posición 23 es el lugar donde el collarín descansa, entonces:

V 12=−k S2

2+mgS

Además

V 12=12mv f

2−12mv0

2=0

Así

0=S (2mg−kS )

Resolviendo

S=1 pie

4.48 El collarín de 20 lb mostrado parte del reposo en la posición 1 con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k=40 lb/pies. Ignore la fricción, ¿Qué velocidad máxima alcanza el collarín?

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SOLUCIÓN:

Tenemos:

T=kx

4 lb=40 lb (x )

0.1 pie=x→estiramiento inicial

En este caso hacemos:

U 12=−k S2

2 |S+0.10.1+mgS|S+0.1

0.1

Además

v f=v0=0

∴U 12=0

Resolviendo

0=−k (S+0.1)2

2+−k (0.1)2

2+mg (S+0.1 )−m g(0.1)

S=0.8 pies

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4.50 El collarín de 4 kg parte del reposo en la posición 1. Si la constante del resorte es k=4 kN/m y la tensión en el resorte en la posición 2 es de 500 N. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando cae a la posición 2?

SOLUCIÓN:

Siendo d=2000 mm, h=250 mm, el estiramiento a la posición 2 del resorte es:

S2=Tk= 5004000

=0.125m

Si la longitud del resorte sin estirar es :

L=d−S2=0.2−0.125=0.075m

El estiramiento del resorte en la posición 1 es:

S1=√h2+d2−L=0.245m

El trabajo efectuado por el resorte es:

U resorte=∫S1

S2

(−kS )ds=12k (S12−S2

2)=88.95Nm

El trabajo hecho por la gravedad es:

U gravedad=mgh=9.81Nm

Del principio del Trabajo y Energía:

U resorte+U gravedad=12mv2 , dedonde

v=√ 2 (U resorte+U gravedad )m

→v=7.03m / s

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4.52 El collarín de 10 kg parte del reposo en la posición 1 y resbala a lo largo de la barra lisa. El eje y apunta hacia arriba. La constante del resorte es k= 100 N/m y la longitud del resorte sin estirar es de 2 m. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando este alcanza la posición 2?

SOLUCIÓN:

La longitud del resorte en la posición 1 es:

S1=√(6−1)2+(2−1)2+(1−0)2−2=3.2m

La longitud del resorte en la posición 2 es:

S2=√(6−4)2+(2−4 )2+(1−2)2−2=1m

El trabajo hecho por el resorte es:

U resorte=∫S1

S2

(−kS )ds=12k (S12−S2

2)=460.8Nm


U gravedad=∫0

h

(−mg )ds=−mgh=−294.3Nm

Por el Principio de Trabajo Energía tenemos:

U resorte+U gravedad=12mv2

Finalmente despejando y resolviendo obtenemos:

v=√ 2 (U resorte+U gravedad )m

→v=5.77m /s

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4.54 El collarín de 2 kg mostrado esta inicialmente en reposo en la posición 1. Una fuerza constante de 100 N es aplicada a la cuerda, ocasionando que el collarín se deslice hacia arriba sobre la barra lisa vertical. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando este alcanza la posición 2?

SOLUCIÓN:

La Fuerza constante al final de la cadena actúa a través de la distancia

S=√0.52+0.22−0.2=0.3385m

El trabajo hecho por la fuerza constante es:

U F=F .S=33.85Nm


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U gravedad=∫0

h

(−mg )ds=−mgh=−9.81Nm

Del Principio de Trabajo y Energía

U F+U gravedad=12mv2

De donde obtenemos:

v=√ 2 (U F+U gravedad )m

→v=4.90m /s

4.56 Un mortero accionado por un resorte se usa para lanzar al aire paquetes de fuegos artificiales de 10 lb de peso. El paquete parte del reposo con el resorte comprimido a una longitud de 6 pulgadas; la longitud no estirada del resorte es de 30 pulgadas. Si la constante de resorte es k= 1300 lb/pie. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del paquete cuando sale del mortero?

SOLUCIÓN:

La ecuación del trabajo y Energía cinética es:

−∫S1

S2

(−kS )ds−∫y1

y2

(−mg )ds=12mv2

2−12mv1

2

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Resolviendo tenemos:

−12

k (S12−S22 )−mg ( y2− y1 )=1

2mv2

2−12mv1

2

Reemplazando:

−121300 (0−4 )−10 (2 sen60 )=1

2 ( 1032.2 )v22−0→v2=129.96 pie / s

4.58 El sistema de la figura se libera del reposo en la posición mostrada. Los pesos son

W A=40lb yW B=30lb. Ignore la fricción, ¿Cuál es la

velocidad de A cuando se ha elevado 4 pies?

SOLUCIÓN:

La fuerza constante al final de la cadena actúa a través de la distancia:

S=√102+62−√62+62=3.18 pies

El Trabajo hecho por B es:

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U B=300 (3.18 )=954 lb−pie

El Trabajo hecho por la gravedad sobre A es:

U gravedad=∫0

4

(−mg )ds=−mg (4 )=−160 lb−pie

Del Principio de Trabajo y Energía tenemos:

U B+U gravedad=12mv2

Resolviendo:

v=√ 2 (U B+U gravedad )m

→v=35.75m / s

4.60 Una nave espacial a 200 mi de la superficie de la tierra tiene una velocidad de escape de

vesc=√2 g RE2 /r, donde r es su distancia desde el centro de la Tierra y RE=3690mi es el

radio de la Tierra. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la nave cuando alcanza la órbita de la Luna, a 238 000 millas del centro de la Tierra?

SOLUCIÓN:

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Calculamos el trabajo efectuado por la nave:

U 12=mg RE2 ( 1r2− 1r 1 )=12mv2

2−12mv1

2

Despejando la velocidad 2 y simplificando la masa:

√2g RE2 ( 1r2− 1

r1 )+v12=v2

Reemplazando la velocidad de escape en la velocidad 1:

√2g RE2 ( 1r2− 1

r1 )+2 g RE

2

r=v2

Resolviendo obtenemos:

√2g RE2 ( 1r2− 1

r1+ 1r1 )=v2

√ 2 g RE2

r2=v2

→v2=1.43Km /s

4.62 Un satélite en una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra tiene una velocidad

v=√2g RE2 /r, donde REes el radio de la Tierra. Suponga que se usa un cohete para transferir

un satélite de 900 kg desde una órbita de espera de 6700 km de radio a una órbita geosincrónica de 42 222 km de radio. ¿Cuánto trabajo debe efectuar el cohete sobre el satélite?

SOLUCIÓN:

Denotando el trabajo hecho por el cohete como: U c ,la órbita de espera como Re, la

órbita geosincrónica como Rg, y el trabajo hecho por el peso del satélite es:

U transferencia=∫Re

R g

F .ds=∫Re

R g (−mgRe2

S2 )ds

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U transferencia=mgRe2

S |Rg

Re

=mg Re2( 1Rg

− 1Re

)→U transferencia=4.5×10

9N .m

Del Principio de Trabajo y Energía tenemos:

U transferencia+U c=( 12mv2)g

−(12mv2)e

De donde

U c=( 12mv2)g

−(12 mv2)e

−U transferencia

Notamos que:

( 12mv2)g

=m2 ( g Re

2

Rg )=4.24×109N .m

( 12mv2)e

=m2 ( g Re

2

ℜ )=2.67×109N .m

De donde obtenemos que:

U c=2.25×1016N .m

4.64 La fuerza ejercida sobre un automóvil por una contrachoques al golpear el automóvil sobre esta es F=−(1000+10000 s) lb, donde s es la distancia en pies medida desde el punto de contacto inicial. Si se quiere diseñar la barrera para detener un auto de 500 lb que viaja a una velocidad de 80 mi/h, ¿Cuál es la longitud necesaria efectiva de la barrera?

SOLUCIÓN:

Del principio del Trabajo y Energía tenemos:

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U 12=∫0

S

−(1000+10000 s)ds=¿ 12mv2

2−12mv1

2 ¿

Resolviendo tenemos:

−(1000 S+5000 S2 )=−12

mv12

Despejando

10000S2+2000S−mv12=0

Entonces

S=14.5213 pies

4.66 La bola de demolición de 200 kg mostrada cuelga de un cable de 6 m. Si está en reposo en la posición 1 y si vuelve a alcanzar el reposo 0.1 s después de golpear la pared, ¿Qué potencia media transfiere a la pared?

SOLUCIÓN:

Tenemos que:

T 1+V 1=T2+V 2

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→12mv1

2+V 1=12mv2

2+V 2

De donde obtenemos

12mv1

2=V 2−V 1=V

Por lo tanto la razón de la potencia será:

P=

12mv2

2

∆ t

Del trabajo se obtiene lo siguiente:

U=−200 (9.81 ) (−6 sen 95°+6 sen65 ° )

U=12(200)(v2

2−0)

Entonces la velocidad 2 es:

v2=3.25m /s

Reemplazando los valores obtenidos, tenemos que la potencia es:

P=1056.5N .m /s

4.68 En Winter Park en Colorado hay una caída vertical de 2200 pies, cuatro esquiadores llegan a la cumbre en telesillas cada 8 s, estás se mueven a 4 pies/s y el viaje hasta la cumbre dura 18 minutos. Si el esquiador medio con equipo pesa alrededor de 160 lb. ¿Qué potencia aproximada se necesita para operar los telesillas?

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SOLUCIÓN:

Tenemos que:

d=18×60×4

d=4320

Entonces la distancia horizontal recorrida sería

S=√43202−22002

S=3717.84

La potencia será

P=136 (4 ) (160 ) (2200 )+(0)(3717.84 )

18×60

→P=177.3KJ

4.70 El modulo lunar podría efectuar un aterrizaje seguro si su velocidad vertical durante el impacto es 5 m/s o menor. Suponga que se requiere determinar la máxima altura h a la que el piloto podría apagar el motor si al velocidad del tren de aterrizaje respecto a la superficie fuese a) cero; b) 2 m/s hacia abajo, c) 2 m/s hacia arriba. Use el principio de la conservación de

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la Energía para determinar h. La aceleración debida a la gravedad en la superficie lunar es de 1.62 m/s2.

SOLUCIÓN:

Usando la conservación de la energía tenemos:

T 1+V 1=T2+V 2

→12mv1

2+mgh=12mv2

2+0

Despejando h tenemos:

h= 12 g

(v22−v1

2)

a) Reemplazando datos para v1=0

h=7.716m

b y c) Reemplazando datos para v1=±2m /s

h=6.48m

4.72 Si la bola mostrada se libera del reposo en la posición 1. Use el principio de la conservación de la energía para determinar el ángulo inicial α necesario para que oscile hasta la posición 2.

SOLUCIÓN:

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Por la conservación de la Energía tenemos:

T 1+V 1=T2+V 2

Pero sabemos que

T 1=V 1=T 2=0

Entonces

0=12L−Lcosα

→α=60 °

4.74 La barra de la figura es lisa. Use el principio de la conservación de la energía para determinar la Fuerza normal ejercida sobre el deslizador de 10 kg en B, si se usa una velocidad mínima para a) alcanzar C, b) para alcanzar D.

SOLUCIÓN:

a) De la conservación de la Energía

Tenemos:

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T 1+V 1=T2+V 2

Entonces 12mv1

2+mg (1 )=mg (3 )

→v1=√2×2g=6.26m / s Hallando la velocidad en B

12mv A

2 +0=12mvB

2−mgh

→vB=7.66m /s Entonces:

∑ F y :N−mg=mv B2

ρ→N=689.86N

b) De la conservación de la Energía Tenemos:

T 1+V 1=T2+V 2

Entonces 12mv1

2+mg (1 )=mg (4 )

→v1=√6 g=7.68m/ s Hallando la velocidad en B

12mv A

2 +0=12mvB

2−mgh

→vB=8.87m / s Entonces:

∑ F y :N−mg=mv B2

ρ→N=884.87N

4.76 Un alpinista de peso W esta unido, por seguridad, a una cuerda amarrada a una distancia h debajo de él. Suponga que el alpinista se cae y la cuerda se comporta como un resorte lineal con longitud sin estirar h y constante de resorte k=C/h, donde C es una constante. Use la conservación de la energía para determinar la fuerza máxima ejercida por la cuerda sobre él.

SOLUCIÓN:

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La energía antes de caer es cero, a medi8da que el escalador cae, su energía es la misma, entonces:

0=12mv2−W Y

A medida que la cuerda se estira la energía potencial es:

V c=12k ( y−2h )2

A la máxima extensión con fuerza del escalador es:

F=∂V∂ y

=−k ( y−2h)

Cuando la caída del escalador es cero:

0=−Wy+ 12k ( y−2h )2

De donde la solución es:

y=(2h+Wk )±(Wk )(√ 4 khW

+1) Sustituyendo

F=−W (1±√1+ 4cW ) Aplicando el signo positivo, la fuerza es:

F=W (1±√1+ 4cW )

4.78 La fuerza ejercida sobre un cuerpo por un resorte no lineal es:

F=−[ k ( r−r0 )+q (r−r0 ) ] er

Donde k y q son constantes y r0es la longitud

del resorte sin estirar. Determine la energía potencial del resorte en términos de alargamiento S=r−r0

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SOLUCIÓN:

Tenemos que:

ds=dr

Entonces el trabajo hecho por el resorte es;

V=−∫Fdr+c=−∫ F(dr er+rdθ eθ)+c

V=∫ [k (r−r0 )+q (r−r0)3 ]dr+c

V=∫ [kS+qS3 ] dr+c

Integrando

V= k2S2+ q

4S4

Donde c=0 , desde F=0a S=0

4.80 Suponga que el resorte de la figura es no lineal con energía

potencial V=12k S2+ 1

4q S4, donde K= 3000 N/m y q= 4000

N/m ¿Cuál es la velocidad del cilindro cuando el resorte se ha comprimido 0.5 m?

SOLUCIÓN:

Eligiendo la base del cilindro como plano de referencia. La Energía potencial a 1,5 m del pistón en reposo es

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V 1=mg (3,5 )=686.7N .m. la conservación de la energía después del resorte comprimido hasta el punto que la velocidad del pistón es cero es

mgh+ 12k (h−1.5 )2=mg(3,5) donde h es la altura por encima del plano de

referencia. Desde que h2+2bh+c=0, donde

b=−( 32−mgk )

Y c=2.25−7mgk

La solución es h=−b±√b2−c=1.95m.n=0.919m el valor h = 1,95 m no tiene

significado físico, ya que está por encima del resorte. La compresión hacia abajo del resorte es:

S=1.5−0.919=0.581m

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