a física atómica y nuclear. fenómenos en los campos del electromagnetismo y lar a una amplia variedad de Los conceptos de trabajo y energía se pueden aplic

vo. lo tanto, no requieren ningún principio físico nuean en las leyes de Newton y, por que los conceptos de trabajo y energía se fundament

. Sin embargo, es importante notar sistema mecánico sin recurrir a las leyes de Newtonpueden aplicar a la dinámica de un Se verá que los conceptos de trabajo y energía se

entre los conceptos de fuerza y energía mecánica. l cual proporciona un eslabón Comenzaremos describiendo el concepto de trabajo, e

y la energía. desarrollo importante, llamado Teorema del trabajo este tipo con la ayuda de un Describiremos las técnicas para tratar sistemas de

requiere como varia la fuerza durante el movimientoplifica los problemas ya que no se conceptos de trabajo y energía cuya aplicación sim

herramientas consisten en los requiere de nuevas herramientas de análisis. Estas que intervienen fuerzas variables La aplicación de las leyes de Newton a problemas en

INTRODUCCIÓN

TRABAJO Y ENERGÍA

r∆Fw •=�

// ∆xFw =

x∆

el desplazamiento. fuerza paralela al desplazamiento por la magnitud dproducto de la componente de la Entonces se puede decir que el trabajo es igual al

podemos expresar el trabajo como:

amiento es Como la componente de la fuerza paralela al desplaz

En Newton. metro = joule ( N.m = J )

fuerza por el desplazamiento fine como el producto escalar de la El trabajo realizado por una fuerza constante se de

desplazamiento, tal como se indica en la figura con el F, que forma un ángulo línea recta por la acción de una fuerza constante

iento, a lo largo de una Consideremos un objeto que experimenta un desplazam

Trabajo realizado por una fuerza constante:

θ

θ

// FcosθF =

La fuerza F realiza un trabajo positivo

trabajo es positivo ección del desplazamiento, el Si la fuerza tiene una componente en la misma dir

importante pues: con el desplazamiento es muy Téngase en cuenta que el ángulo que forma la fuerza

realizado por la fuerza. la curva nos da el trabajo desplazamiento) versus desplazamiento, el área bajo

(solo su componente paralela al paralela al desplazamiento. En toda gráfica, fuerzaor la componente de la fuerza El área encerrada representa el trabajo realizado p

versus X //Sí graficamos F

•

bajo es cero perpendicular al desplazamiento por lo tanto el trata es siempre El DCL de la masa nos indica que la fuerza centrípeSolución:

movimiento

siempre perpendicular al

la fuerza centrípeta es

En el movimiento circular

centrípeta m/s. Determine el trabajo realizado por la fuerza iforme con una rapidez v=80 una masa m= 5 Kg realiza un movimiento circular un Si

Ejemplo 1:

trabajo negativo realiza un La fuerza

es negativo esta al desplazamiento, el trabajo si la fuerza tiene una componente en dirección opu

desplazamiento efectúa trabajo cero da fuerza perpendicular al cero. De esta última expresión podemos decir que to

ento por lo que su trabajo es no tiene componente en la dirección del Desplazami

cero ento, el trabajo realizado por ella es Si la fuerza es siempre perpendicular al desplazami

F

•

F

) (xconsiderar constante e igual a e puede x es tan pequeño que la fuerza en dicho intervalo sx], +, xEn el intervalo [x

se indica en la figura. fuerza variable actúa sobre ella tal como largo del eje x, mientras una Consideremos un objeto que se esta desplazando a lo

Trabajo realizado por una fuerza variable:

con la horizontal El bloque se desliza sobre un plano inclinado 37

=53º) bloque de 80 Kg (fuerzas que actúa sobre el realizado por cada una de las figura, determínese el trabajo En el sistema mostrado en la

Ejemplo 2:

)(xF

θº

i i ∆ ∆F i

W ∆w F(x )∆xi i= =

muy pequeñosimaginar que el objeto experimenta desplazamientos

fuerza constante, pero podemos podemos calcular el trabajo, como en el caso de unaEn este caso no 2, hasta x=xx=xEl objeto se desplaza a lo largo del eje x, desde

∑ ∑

1

∆x

luego sumarlas , esto nos daría; en pequeñas áreas como la indicada en la figura yy x debemos dividir toda el área entre x2 y xSi pretendemos calcular el área total entre x

x) es aproximadamente: i y x(entre x de la figura El área sombreada

como se indica en la figura Supongamos que la fuerza varía con la posición tal

Gráfica de F(x) versus x

la dependencia de la fuerza con la posición más sencilla si se conoce cual es embargo es posible obtener el trabajo de una manera

el objeto es bastante grande, sin tediosa, sobre todo, si el desplazamiento que sufreuna fuerza variable es bastante esta manera de obtener el trabajo para el caso de

pequeños desplazamientos jos realizados en cada uno de estos el trabajo total será entonces la suma de los traba

desplazamiento el trabajo será: , y para este pequeño , es aproximadamente constante sobre este intervaloF(x)fuerza,

, entonces la

i +∆

1 1

2

x)iF(xi∆w ∆=

∆x)iF(x

∑= ∆x)iF(xA

xkF�

�

−=

FR

iempre hacia la posición de equilibrio el signo negativo nos indica que la fuerza apunta s

ición de equilibrio, es decir: deformación x que a sufrido el resorte desde su pos fuerza es proporcional a la comprobar experimentalmente que la magnitud de esta

entido opuesto, se puede ejerce el resorte es de la misma magnitud pero en s podemos afirmar que la fuerza que equilibrio entonces por la ley de acción y reacción

, si en esa posición el resorte se encuentra en aplidistancia x por una fuerza aplicada Fn de equilibrio, es estirado una Supóngase que el resorte inicialmente en su posició

TRABAJO REALIZADO POR UN RESORTE

al resorte es un ejemplo de fuerza variable proporcionEl por la fuerza variable. el área bajo la curva es igual al trabajo realizadoes decir

ara el trabajo de una fuerza variable esta ultima expresión es idéntica a la encontrada p

Wx)iF(xA =∑ ∆=

apli 0FF =+

apli xkF�

�

kx mg

de equilibrio: equilibrio una distancia x, en esta nueva posición La masa m estira el resorte desde su posición de

n resorte Medición experimental de la constante elástica de u

=

=

constante elástica: obtenemos el valor de la de aquí inmediatamente

apli

entonces el trabajo neto realizado es cero:

entonces:

te aplicada es igual a la fuerza ejercida por el resoro momento la fuerza en todo momento , de esta manera en tod, apli

por acción de la fuerza aplicada hasta xEl resorte se estira muy lentamente desde x

figura lentamente el resorte tal como se indica en la Supongamos que la fuerza aplicada estira muy

posición final x hasta la mover el resorte desde la posición inicial x

es el trabajo efectuado por esta fuerza variable enConocida la fuerza podemos ahora determinar cual

mgx

k =

i

f

1 2

F

0WW F =+

y el trabajo realizado por el resorte será:

hasta realizado por ella desde x

sombreada nos da el trabajo versus la posición, el área apli

Gráfica de la fuerza aplicada

hasta xposición xdo en estirar el resorte desde la área sombreada entonces nos dará el trabajo efectua

da con la deformación del resorte. El En la figura se indica como varia la fuerza aplica

es el trabajo realizado por el resorte. fuerza aplicada conoceremos cuál Si determinamos cuál es el trabajo realizado por la

kx kx

2

2f

2

2iW −=

i f

F

i

xf

apli

kx kx

2

2i

2

2fW −=

apli área del trapeciokx kx

)(x )ixf2fi(W −

+==

w F ∆xx

=

2 2v vm f iF ( )x d 2 2

ma

cinética de la partícula. pidez se le define como la energía Al semiproducto de la masa por el cuadrado de su ra

l y final de la partícula. solo es necesario saber cual es la velocidad iniciaario conocer la fuerza resultante F, Vemos pues que para calcular el trabajo no es neces

rabajo obtendremos: Sí reemplazamos esta expresión en la ecuación del t

remplazando la aceleración obtenemos:

tica: además como la aceleración es constante, por cinemá

e: Por la segunda ley de newton se puede establecer qu

trabajo será: dirección del desplazamiento el Como la fuerza resultante es constante y esta en la

rza resultante? ¿Cuál será entonces el trabajo realizado por la fue

a en la figura realizando la partícula un MRUV, tal como se indicante por sencillez supondremos que esta fuerza es const ,de la fuerza resultante

moviéndose en la dirección del eje x por acción Consideremos una partícula de masa

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

= −

mFx

da22iv2

fv +=

xF =

mv mv

2

2i

2

2fW −=

(E (E

mv2

2

kE =

k∆Ei)kf)kW =−=

actúan varias fuerzas, siendo

En general si sobre una partícula

fuera variable valido aun si la fuerza en magnitud y dirección, es ha sido demostrado suponiendo una fuerza constante

del trabajo y la energía cinética” Aún cuando este importante teorema llamado “teorema

del trabajo y la energía cinética n se le conoce como el teorema cinética de la partícula, a esta importante relació

ual al cambio en la energía El trabajo realizado por la fuerza resultante es ig

como: esar el trabajo de la fuerza resultante La definición de energía cinética nos permite expr

trabajo (Joules) cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el la energía cinética es una es la energía asociada a todo cuerpo en movimiento,

se define como: v de una partícula de masa m y velocidad ELa energía cinética k

F

F�

cinética de la partícula final es igual al cambio en la energía posición inicial a hasta la posición realizado por la fuerza desde la en la figura, entonces el trabajo fuerza resultante, tal como se indica

la

mg

Fv

N fk

v2

3)C(W2)C(W1)C(W ==

CF�

igual a menos el cambio de su energía potencial rvativa es tal que el trabajo realizado por esta fuerza conseenergía potencial E

una función, llamada Toda fuerza conservativa tiene asociada a ella

de una trayectoria cerrada es 0.

través El trabajo efectuado por una fuerza conservativa a

y final El trabajo solo depende de las posiciones inicial

independiente de la trayectoria: la entre dos puntos, es Si el trabajo efectuado por ella sobre una partícu

Características:

que sólo depende de las coordenadas entre los valores iniciales y final de una función ha fuerza es igual a la diferencia Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dic

FUERZA CONSERVATIVA

ción o las elásticas. conservativas sobre un sistema, como las de gravita”. Si solo actúan fuerzas especial de fuerzas llamadas “fuerzas conservativas

esta tratando con una clase energía potencial solo se puede aplicar cuando se energía cinética. El concepto de energía almacenada en él y que puede convertirse enma se puede pensar como una Se descubrirá que la energía potencial de un siste

ición o la configuración de un objeto. energía potencial, la cual esta asociada con la pos de energía mecánica, llamada trabajo sobre él, Ahora introduciremos otra forma

e cambiar únicamente si se realiza encontró que la energía cinética de un objeto puedel movimiento de un objeto. Se El concepto de energía cinética, esta asociado con

ENERGÍA POTENCIAL

•

•

•

•P

mgypE =

( )= − − = − +12

�

mgf i f iW mg h h mgh mgh

12 1 2= −

�

mgW mgy mgy

será: d experimentar un desplazamiento al El trabajo realizado por la fuerza externa

constante la fuerza constante en todo el recorrido y será también constante, el peso del cuerpo permanecerá que podamos considerar al campo gravitatorio Si consideramos un incremento de altura tal

de referencia en la tierra. tercera ley de Newton. Fijamos nuestro sistema tierra. Estas fuerzas son opuestas, por la

sobre la –F sobre el cuerpo, y otra fuerza debemos aplicar una fuerza externa al sistema Observamos que para mover el cuerpo,

negativa su energía potencial será debajo del nivel de referencia

Si la masa se encuentra por

energía potencial es cero mismo nivel de referencia su

Si la masa se encuentra en el

positiva su energía potencial será encima del nivel de referencia

Si la masa se encuentra por

Así tenemos que:

vertical medido desde un nivel de referencia. de la gravedad, y: la coordenada donde : m: es la masa del cuerpo, g: la aceleración

Se define la energía potencial gravitacional como:

rencia dado. gravitatorio terrestre respecto de un nivel de refeuerpo inmerso en el campo La energía potencial es la energía que tiene todo c

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

•

•

•

F

F

F

P

F

cinética al cuerpo (realiza da energía F fuerza

Durante el ascenso la

trabajo positivo)

trabajo negativo) que se cinética al cuerpo (realiza

quita energía peso Durante el ascenso el

P

transforma en Ep.

ha acumulado como Epot. la energía dada por F se En el punto superior (v=0)

1

2

P

potencial acumulada en transformando la energía

realiza trabajo positivo Durante el descenso el peso P

cinética.

se ha transformado en toda la energía potencial En el punto más bajo

cinética.

tiene Ep.

En el punto superior el cuerpo 2

- 0

3

positivo. nergía cinética realizando trabajo gravedad transforma ahora la energía potencial en e

nética. La fuerza de ) podemos recuperar toda la energía como energía ci a de rza de gravedad actúe, (trayectoria potencial gravitatoria. Si ahora dejamos que la fue

rma en energía restando energía cinética al cuerpo que se transfo hacia mueve de vo sobre m cuando la partícula se La fuerza de gravedad o peso realiza trabajo negati

el suelo hasta una altura h. Supongamos que levantamos un objeto de masa m desde

Trabajo realizado por el peso:

1 2

2 1

rte dependía de la elongación inicial y final del reso

te se encontró que éste sólo Cuando se calculó el trabajo realizado por un resor

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Solución: o. c) 5 m del suelo. a) En el suelo. b) 2 m del suel

siguientes puntos: o de energía y su valor en los actúa verticalmente y hacia arriba. Calcular el tip

a una fuerza constante de 15 N que A un cuerpo de 500 g, situado en el suelo, se aplicEjemplo

2 2kx kxi fW

2 2= −

= 50 J.

. 5 m = 25 J = m g h = 0,5 kg . 10 m/spot

= 15 N . 5 m = 75 J = F . h F c) Energía dada por la fuerza F: W

Ek = 20 J

. 2 m = 10 J = m g h = 0,5 kg . 10 m/spot

= 15 N . 2 m = 30 J = F . h F b) Energía dada por la fuerza F: W

= 0. pot = 0 ; Ecina) E

1

E 2

2

E 2

Ek

5 m

2 m

2

P e

k xE

2

W (E ) (E )

=

∆EPe i Pe f Pe

= − = −

Principio de conservación de la energía mecánica con el nombre de tante. Este fenómeno se conoce de las energías cinética y potencial permanece cons

de ningún trabajo externo, la suma que, en ausencia de rozamientos y sin intervención ergía mecánica se puede concluir después de cada transformación. En el caso de la en

rgía total es la misma antes y energía total permanece constante; es decir, la ene, la de unas formas en otras. En estas transformacionessólo se transforma; destruye

la energía no se crea ni se indica que Principio de conservación de la energíaEl

LA ENERGÍA MECÁNICA

energía potencial elástica al a menos el cambio de la el trabajo realizado por la fuerza elástica es igues decir

de expresar: entonces el trabajo realizado por el resorte se pue

como la energía potencial elástica Se define

k∆EW =

NC CwWW +=

varias fuerzas Supóngase que sobre una partícula de masa m actúan

Principio de su conservación

para otro. transformando una en otra según se mueve de un ladoinética y la potencial se van patinador de la ilustración siguiente, la energía c

ica al descender. En el caso del cuando estaba arriba se convertirá en energía cinétla energía potencial que tenía Si, por ejemplo, un niño desciende por un tobogán,

NCW

321 ,, FFF���

conservativas y una fuerza conservativa

no

CF�

odemos decir; Por el teorema del trabajo - energía cinética , p

puede expresar: entonces el trabajo de la fuerza resultante se

todas las fuerzas no conservativas si llamamos al trabajo realizado por

cada una de las fuerzas individuales: igual a la suma de los trabajos efectuados por El trabajo realizado por la fuerza resultante es

,

•

C2F2F1FwwwwW +++=

NC 2F2F1FwwwW ++=

PC ∆Ew −=

pECEE +=

NCW∆E =

NC pC ∆EW∆E −= (E (E NCipCFpC W)E)E =+−+

NC 0W =

ctePECEE =+=

ctePECEE =+=

pECEE +=

(E NC

movimiento, conservándose la energía mecánica. cinética durante todo el energía potencial y de energía potencial en energía

hay una transformación de energía cinética en En la figura podemos apreciar que

mantiene constante en todo momento, de la energía cinética y potencial se El principio de conservación establece que la suma

de la energía mecánica del sistema principio de conservación e de: del sistema se mantiene constante y recibe el nombr

ento la energía cinética y potencial esta importante relación nos indica que en todo mom

y

En este caso

¿Que sucede si solo actúan fuerzas conservativas?

energía mecánica del sistema

as es igual al cambio de la El trabajo realizado por las fuerzas no conservativ

entonces:

como: energía mecánica del sistemasi definimos la

reemplazando obtenemos:

a ecuación : es conservativa el trabajo realizado será, según l como F• c

pC W)E∆ =+

fuerza por la velocidad instantánea F es igual al producto de la La potencia instantánea desarrollada por una fuerza

es decir:

amente la velocidad instantánea el segundo termino de esta ultima expresión es just

Ordenando adecuadamente:

e la siguiente manera: esto nos permite expresar la potencia instantánea d

será: realizadotrabajo elr, ∆∆e logra desplazar Como en ese pequeño intervalo de tiempo el bloque s

instantánea obtendremos entonces la potencia si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero

t: pequeño mpo muy W realizado por una fuerza F en un intervalo de tieDeterminemos el trabajo

Potencia instantánea:

empleado Es el trabajo total efectuado entre el tiempo total

: Potencia media

efectúa el trabajo tiempo o la rapidez con la cual se Se define como el trabajo efectuado en la unidad de

POTENCIA

trabajo totaltiempo

P =

∆∆

∆∆

joulesegundo

watt W]sJ

[, ==

∆t∆w

P =

∆tlim

∆WP 0∆t→=

r∆F∆W�

�

•=

lim lim∆t

r∆F0∆t∆t

∆W0∆tP

�

�

•→=→=

lim∆t

r∆FP 0∆t

�

�

→•=

vFP�

�

•=