trabajos de ecua

7/25/2019 trabajos de ecua

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El presente trabajo es la solucin de algunos problemas de los primeros

captulos del libro de Ecuaciones Diferenciales del autor Ddenis Zill.

La cual se ha resuelto con mucho esmero y anticipacin.

Este trabajo se hizo con la nalidad de practicar y as aprender ms acercade estos temas ya ue solo con la prctica se consigue un mejor aprendizaje

y es mejor un trabajo en euipo ya ue se puede compartir nuestros

conocimientos.

Esperando ue este a su agrado del lector ya ue se encuentra detallado y

claro para su comprensin.

Zulma !guilar "illaca

#ebert $ojas !rando %&'''&(%&)#ildebrando Zambrano Espinoza %&'''&*(+,

-roer $ainer /ao !rando %&'&%&01+#

Ecuaciones Diferenciales


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! Dios por otorgarnos la sabidura y la salud para cumplir esta tarea.

! nuestros padres por su apoyo incondicional.

! usted Lic. !lfredo Escalante por su paciencia y desempe2o al brindarnos

las clases de Ecuaciones Diferenciales y por su constante motiacin a ser

ingenieros competentes.

-racias



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EJERCIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

4.1) Obtener la solucin general de la ecuacin diferencial dada.

y,,3y ,+2y=0

3olucin4Ec. 5aracterstica4

r23 r+2=0 6 donde r nos sale4

r1=1 , r2=2

yg=c

1

ex+c

2

e2x

6 solucin general de la ED.

4.3) Hallar la solucin general de la ecuacin de segundo grado

3y +2y +y=0

parahallar susraicesusaremos laecuacioncaracteristica

3r

2

+2

r+1

=0

De donde tenemos la races usando r=b b24 ac

2a

r1=13+

2

3i r

2=13

2

3i

De donde tenemos la ecuacin 7c

Y=C1 ex

3 cos2

3 x+C2 e

x3 sin

2

3 x

E8E$5)5)93 0.:Problema 40 Resuelva el problema con valores en la frontera dada.

y,,2y ,+2y=0,y ( 0)=1,y ( )=1

3olucin4

Ec. 5aracterstica4



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r22r+2=0 6 donde r nos sale4

r1=24

2 , r2=

2+42 ;


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c

1+xc2+c

3x

2+c4x

3

y=

Donde mi 7 particular seria

yp=A+Bx+C x2 yp=A+B+Cx y p=A+Bx+C x

2 y

(4)p=A+B+C

$emplazando en la ED inicial4

= A+B+C+2 (A+B+2 C)+(A+Bx+C x2 )=x22x+1

C x

2

+Bx+3 C+3 B+4A=x2

2x+1 A=1 B=2 C=1

$emplazando

c

1+xc2+c3x2+c4x

3

y=

E8E$5)5)93 0.0Problema 16 Resuelva la ecuacin diferencial dada usando

coecientes indeterminados.

y,,5y ,=2x34x2x+6 =)>


(D25D)y=0

r25 r=0 6 donde r nos sale4

r1=0 , r2=5

yc=c1+c2 e5x

6 solucin complementaria de la ED.

#allamos la solucin particular.

yp=A x3+B x2+Cx+D Deriamos

yp, =3A x2+2 Bx+C

yp,,=6Ax+2 B

$eemplazamos en =)>



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y,,5y ,=2x34x2x+6

6Ax+2B5(3A x2+2Bx+C)=2x34x2x+6

6Ax+2 B15A x210 Bx5 C=2x34x2x+6

15A=4

6A10 B=1 =>> A= 4

15,B=

39

150,C=

411

375

2B5C=6

yg=yc+yp=c1+c2 e5x+

4

15x

3+ 39

150x

2+411

375x

4.5) compruebe que el operador anulador es el anulador de la

ecuacin diferencial indicada

D2+64 ANUA y=2cos8x5sin8x

3abemos ue4 L =D> y ; & entonces de donde

: (D2+64 ) (2cos8x5sin 8x )=0

8x8x

5sin +128cos8x320sin8x=0

2cosD2D

2

8x

8x40cos+128cos8x320sin 8x=0

16sin DD

128cos 8x+320 sin 8x+128cos 8x320sin 8x=0=0

cumplecomo papel deanulador D2+64 y=2cos8x5sin8x

4.5) Resuelve por el mtodo de coecientes indeterminados

y +3y 10y=x ( ex+1)



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determinelaecuacioncaracteristica

r2+3 r10=0dedonde tenemoslas raices r1=2 r2=5

yc=c1 e2x+c2 e5x

!hora determinamos una solucin particular4

(D1 )2 (D2+3D10)y=0

(r1 )2 (r2+3 r10 )=0 de dondetenemoslas raices r1=2 r2=5 r3=r 4=1

y=c1 e2x

+c2e5x

+A ex

+Bx ex

de dondemi yp=A ex+Bx ex y p=A e

x+B ex y p=A ex+B ex

$emplazando en la ecuacin inicial4 10xB exex (6A4 B )=x ex+x

B= 1

10y A=

1

40

$emplazando en la Ecuacin inicial4 y=c1 e2x+c2e

5x+ 1

40e

x+ 1

10x e

x

E8E$5)5)93 0.*

Problema 5scriba la !. n la forma "#$)% g #&)' donde " es un operadordiferencial lineal de coecientes constantes. (i es posible' factorice

".

y,, ,+10y , ,+25y ,=ex


(D3+10D2+25D)y=0

r3+10 r2+25 r=0 6 donde r nos sale4

r (r2+10 r+25)=0

r1=0 , r2=5 ,r3=5



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yc=c1+c2 e5x+c3xe

5x


L=y>; g =?>

(D)yp=ex

yp= e

x

(D) ;


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Ec. 5aracterstica4

(D2+1)y=0

r2+1=0 6 donde r nos sale4

r

2

=1r1=i , r2= i

yc=c1 senx+c2 cosx 6 solucin complementaria de la ED.

Hallamosyp por variacin de parmetros.

yp=u1 sen!+u2 cos !

@ronsAiano

#=|sen! cos !cos ! sen!|=sen2 !cos2!=1

$1=

|

0 cos !

1 sen!|=cos!

$2=|sen! 0cos! 1|=sen!

#allamosu1

u1=

$1

$(% (! ))d ! u1=

cos!1

(sec! tan!)d!

u1= tan!d!=ln|sec!|

#allamosu2

u2=$2

$(%(! ))d !



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u2=sen!

1 (sec!tan!)d !

;


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u2=exsin ex dxcosex

,inalmente tendiCramos la solucin general

yp=( ex

cos e

x

sin ex

) e2x

(cosex

)ex

4.) resolver la ecuacin diferencial dada por le mtodo de uler

3x2y +6xy +y=0

3ea por teora de Euler se hace una sustitucin4

y=xm y =m xm1 y =m(m1)xm2

3ustituyendo en la ecuacin diferencial inicial tendramos4

3x2 (m (m1 )xm2 )+6xm xm1+xm=0

xm (3 m23 m+m+1)=0

xm (3 m22 m+1 )=0

De donde saco mis races m1=1

3+ 2

3 im2=

1

32

3 i

Y=C1 ex

3 cos2

3 x+C2 e

x

3 sin2

3 x

E8E$5)5)93 0.1Problema 6 Resuelva la !. !ada.

x2y

, ,+5x y,+3y=0

3olucin4

"or cauchy Euler

3ea y=xm

6 deriamos respecto a ?



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y,=m xm1 6 y

,,=m (m1 )ym2

$eemplazamos en la ecuacin dada.

x

2

m (m1

)ym2

+5

x m x

m1

+3

x

m

=0

m (m1)xm+5 m xm+3xm=0

m ( m1)+5m+3=0

m2+4 m+3=0 donde,m1=3 ,m2=1

Ecuacin general

yg=c1x3+c2x

1

E8E$5)5)93 0.1Problema 42,u2les son las interseciones con el ee & de la curva solucin que semuestra en la ura 4..67 ,u2ntas intersecciones con el ee & 8a$ en

0


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E8E$5)5)93 0.+Problema 4 Resuelva la ecuacin diferencial usando la sustitucin

u=y ,

y

,,

=1+(y,

)

2

"or regla de cadena tendamos

y,,=

du

dx,

du

dx

dy

dy=u

du

dy

$eemplazamos en la ecuacin deferencial.

udu

dy=1+(u)2

u1+u2

du=dyinteramos , u1+u2du=dy

$esoliendo cambiando ariable a 1+u2=&

1

2ln (1+u2 )=y+c1 Despejamos u

eln (1+u2)=ey+ec1 , 1+u2=c2 e

2y, u

2=c3 e2y

u=c3 e2y

,u=c4e

y

ambiCn por dato inicial tenemos ue

u=y , 'ueesdy

dx=u ,despe(ando y rempla)andotendriamos *

1

c4 eydy=dx ,

1

eydy=c4 dxinteramos , 1

eydy=c4dx

ln (ey )=c4x+c5 , ey=e

c4x+e

c5 , e

y=c6 ec

4x

ey=c6 e

c4x

3olucin.

R*(O !" ,*+09"O 4

roblema 6:



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Resuelva la ecuacin diferencial usando "os procedimientosdesarrollados en el cap;tulo avan

Ec. 5aracterstica4

(D3+D2)y=0

r3+r2=0 6 donde r nos sale4

r2(r+1)=0

r1=0 , r

2=0 ,r

3=1

yc=c1+c2x+c3 ex


#allamos por operadores anuladores.

El operador anulador de ( ser D. BL)"L)5!/D9 !F93 L!D93

D(D3+D2)y=D (6 )=0

r3 (r21)=0 , r1=0 , r2=0 , r3=0 ,r 4=1

y=c1+c2x+c3x2

+c4 ex

yc=c1+c2x+c3 ex

yp=A x2

Deriamos.

yp, =2Ax, yp

,,=2A , yp,,,=0

$emplazamos en =)>

02A=6+esultando A=3

yp=3x2

yg=c1+c2x+c3 ex3x2

5.6) una masa de un 6=g se a un resorte cu$a constante de

=%61->m $ luego el sistema completo se sumerge en un l;quido que

imparte una fuer


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a> al inicio la masa se libera desde un punto situado 'm debajo de la

posicin de euilibrio

Datos4

A;'(/Gm

H;dyGdt,o;'&

m;'Ag

La

ecuacin

del moimiento general es4

d2

yd t

2+10 dydt+16y=0

#allamos la ecuacin caracterstica

r2+10r+16=0

De donde tendramos las races

r1=8y r2=2

endramos la ecuacin complementaria

yc=c1 e8 t+c1e

2 t

&=dy

dt=8 c1 e

8 t2 c2e2 t

!plicamos las condiciones iniciales ue nos dan

y (o )=1 m=yo y (o)=0=&o



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$emplazando tendramos los alores4

c1+c2=1

8 c12 c2=0

De donde tendramosc1=13

c2=

4

3

$emplazando la ecuacin del moimiento seria

H;8

3e8 t

8

3e2 t

5.@) una viga esta empotrada en su lado i


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(-d4y

d x4 )dx

dxdx dx

La solucin general de la ecuacin seria entonces

y=yc+yp

y (x )=c1+c2x+c3x2+c4x

3+ #o

24-x

4

!plicamos las condiciones iniciales '> y;& 6 yK;&

Dondec1=0 , c2=0

!plicamos las condiciones iniciales %> y ='>;& 6 yK='>;&

y=?>; c3x

2+c4x3+

#o

24-x

4

enemos4c3

2+c43+

#o

24-

4

2 c31+3 c4

2+#o

6-

3

$esoliendo el sistema tendramos4C

3=

#o

24-

2

C

4=#o12-

$emplazando en la deIe?in4

y=?>; ( #o

24-

2)x2

+(#o12-

)x3+ #o

24-x

4

@o;%0E) 6 L;'


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