ASIGNATURA DE LÓGICO MATEMÁTICA

SESIÓN 11

ECUACIONES E INECUACIONES DE 2º GRADO

SEMESTRE 2010-II

ECUACIÓN CUADRÁTICA

FORMA GENERAL

Es aquella ecuación polinomial de la forma:

ax2+bx+c=0

Las soluciones de la ecuación cuadrática reciben el nombre de raíces de la ecuación y se denotan por “x1” y “x2”.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

En una ecuación cuadrática, si   b  y c  son  distintos  de   cero,  la ecuación se llama  completa o afectada; en caso contrario recibe el nombre de incompleta.  Así tenemos:

Ecuaciones cuadráticas completas

3 x2−5 x−20=0 a=3; b=-5; c=-20

a=1; b=-1; c=-12

Ecuaciones cuadráticas incompletas

a=1; b=0; c=-9

a=9; b=5; c=0

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:   

Método 1. Solución por factorización

Como  toda ecuación  cuadrática es  equivalente a  una ecuación  en la cual uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado es factible a factorizarse se puede utilizar los diversos casos de factorización. 

Ejemplo 1.

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

Solución:

Realizando el producto indicado: 6 x2−7 x−3=−8x−1

Ordenando la ecuación (forma general): 6 x2+x−2=0

Factorizando por aspa simple: 6 x2+x−2=(2 x−1)(3 x+2)=0

Por propiedad de los reales: 2 x−1=0 V 3 x+2=0

Resolviendo cada ecuación linealx=12 V

x=−23

Por lo tanto, el conjunto solución es: C.S. = {−23;12 }

Ejemplo 2.

Resuelve la siguiente ecuación reducible a cuadrática:

Solución:

Siendo: …(1)

Nota que al hacer:  … (2),

la ecuación (1) se transforma en: (ecuación cuadrática en la variable u)

Factorizando por aspa simple:

u −5u 4

(u −5)(u + 4 )=0

cuya solución es: u = 5 y u = -4.

Al sustituir u = 5 en (2) resulta:  , con lo cual  (sí satisface la ecuación)

Igualmente, al sustituir u = -4 en (2):  , y de aquí  (no satisface la ecuación)

En consecuencia, las soluciones de la ecuación (1) son  .

Método 2. Solución por complementación de cuadrados

Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Se supone que la ecuación , con a  0 ,

es equivalente a la ecuación cuadrática   … (1)

Sumando  en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene: 

⇒ (x+p2 )2

=( 4 q+ p24 ) Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido sólo

si  ), se obtiene:

⇒ (2)

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1),

que es equivalente a la ecuación :  , con a  0

Ejemplo.

Resuelve la ecuación: 2 x2−3 x+1=0

Solución:

El coeficiente del término cuadrático debe

ser 1, por ello dividimos ¿2 a todo y obtenemos

x2−32x+ 12=0

Pasamos el término independiente al segundo miembro: x2−3

2x=−1

2Sumamos a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal

x2−32x+(−34 )

2

=−12+(−34 )

2

Factorizamos y operamos (x−34 )2

=116

x−34=±1

4Tenemos dos soluciones

x−34=14

∨ x−34=−

14

x=1 ∨ x=12

C .S .={1;12 }Método 3. Solución por la fórmula general

La solución de la ecuación cuadrática :  , con a  0 viene dada por la fórmula general : 

(1)

Nota: recibe el nombre de discriminante

Ejemplo.

Resuelve: 2 x2−3 x+1=0

Solución:

Dada la ecuación 2 x2−3 x+1=0

Identificamos los coeficientes: a = 2 ; b = – 3 ; c = 1

Reemplazamos estos valores en la fórmula general:

Entonces: C. S. = {12;1}

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

a. Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática

En  la  ecuación  cuadrática:  ,  la cantidad:    es  llamada discriminante (D) de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como se afirma en el siguiente teorema. 

Considere la ecuación cuadrática: ; donde a 0 y además D= 

Si D> 0, entonces las raíces son reales y diferentes. 

Si D=0, entonces las raíces son reales e iguales. 

Si D< 0, entonces las raíces son complejas conjugadas. 

Ejemplo.

Sea la ecuación cuadrática 2 x2−3 x+1=0 . Determina la naturaleza de sus raíces.

Solución:

Identificamos los coeficientes:

Hallamos el discriminante:

Dado que D=1 es decir D>o, por lo tanto las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

b. Operaciones básicas con raíces

Sea la ecuación cuadrática de raíces x1 y x2 , se puede calcular la suma y el producto de las raíces sin necesidad de resolver la ecuación.

Teorema de Cardano

P=x1 x2

P=ca

S= x1+ x2

S=−ba

⇒ ¿ { x1= 3 + √ 14

=1 ¿¿¿x=−(−3 ) ± √(− 3 )2− 4 (2)( 1 )

2 ( 2 )= 3 ± √ 1

4

Ejemplo.

Sea la ecuación cuadrática 2 x2−3 x+1=0 . Halla la suma y el producto de sus raíces.

Solución:

Identificamos los coeficientes:

Por lo tanto la suma de las raíces es:

y el producto de las raíces es:

c.Formación de una ecuación cuadrática conociendo las raíces

Se puede obtener la ecuación cuadrática de origen si se conoce las raíces de la ecuación. Así tenemos que,

Ejemplo 1. Halla la ecuación cuadrática de raíces 5; 6.

Solución: x2 – ( 5 + 6 )x + ( 5 )( 6 ) = 0

x2 – 11x + 30 = 0

Ejemplo 2.

Halla la ecuación cuadrática de raíces 5 +√ 3 ; 5 – √ 3 .

Solución:

x2 – (5+√ 3+ 5 –√ 3 )x + (5 +√ 3 )(5 –√ 3 ) = 0x2 – 10x + 22 = 0

d.Relación entre las raíces

Dos ecuaciones son equivalentes si poseen el mismo conjunto solución.

Ejemplo.

x2−Sx+P=0

La ecuación cuadrática ; de raíces x1 y x2 presentará raíces simétricas, si x1= ; x2= ; es decir:

Ejemplo.

x2 – 4 = 0 presenta raíces simétricas ya que: x1 = 2 ; x2 = – 2

La ecuación cuadrática ; de raíces x1 y x2 presentará raíces inversas,

si x1= ; x2=

1α es decir:

Ejemplo.

5 x2 – 26 x + 5 = 05 x – 1

x – 5

( 5x – 1 ) ( x – 5 ) = 0

x1 = 5 ; x2 =

15

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

I. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. ( x−4 )2+8 x=3( x+2)( x−2 )

2. ( x−2 )2−(2x+3 )2=−80

3. (2 x−3)2−(x+5 )2=23

4. 25( x+2 )2=( x+7 )2−81

5. ( x+1 )3−( x−1 )3=6 x

6. ( x+4 )3−( x−3 )3=343

7. ( x+2)3−( x−1 )3=x (3 x+4 )+8

8.

1x=2x− xx−1

+2 x−8

9.

5

2x2= 712+ 1

6 x2

10.

x+2x+x=74

x

11.

x−2x−1

=2 x−3x−3

12.

6

x2−9x=−4

3

13.2 x−3=−7+ x

2+1x−2

14.3− 3

4 x2−1=2

15. −16=( x−3 )2−(2 x+5 )2

16.

x2

3=32+ x−96

17.

x2

5− x2= 310

18.x+ 2x−3=0

19.

x6+ x

2

2=2 x3

20.

1x+4 x−4=0

21.

4 x2

x−1−1−3x

4=20 x3

22.

3x−1x− 2x2 x−1

−76=0

23.

x+1x−1

=1+ x+4x−2

24.

1x−2

− 1x−1

=16

25.

8 x3x+5

+ 5x−1x+1

=3

26.

18 x

x2−9− 3x−3

=3

27.

xx+2

− x−2x=52

28.

−4x−1

= 72−x

+ 3x+1

29.

x−13x=5−

10 (5x+3 )x2

30.

4 x2−15

+ x2−53=14 x

2−115

31.

x+ 12

x−14

=x−12

x+14

+1

32.

x−92+3

2x=1+ 7−2 x

28 x

33.

xx+1

−34

x+14−1=0

34.

2 x+ 1

1−1

1+1x

=10

35. √2x+5=4

36. √14−√x+15=3

37. √21+√12+√14+√ x=538. √4 x2+ x+√9 x2+5 x+√ x2+7=1+2x

39.

3+2x5−(2−3−x3 )=x

40. (2 x−1)(2 x+2)+5=( x+4 )( x−1)

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Edades.La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

2. Caminata.Un deportista caminó 24 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 2km más por hora habría tardado 1 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

3. Dimensiones de un terreno rectangular.Un terreno rectangular tiene cuatro cuadras de largo más que de ancho. Si el área de la superficie del terreno es de 125 cuadras cuadradas ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

4. Dimensiones de un terreno rectangular.La longitud de un terreno rectangular excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión se aumenta en 4m el área será el doble. Halla las dimensiones del terreno rectangular.

5. El comerciante.Un comerciante compró cierto número de sacos de arroz por S/. 1 000. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado S/.5 menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada saco?

6. Compra de vídeos.Compré cierto número de videos por S/.24. Si cada video me hubiera costado S/.1 menos, podría haber comprado 4 videos más con el mismo dinero. ¿Cuántos videos compré y a qué precio?

7. Movimiento de una pelota.Una persona parada en el balcón de un edificio arroja una pelota directamente hacia arriba. La altura de la pelota medida desde el suelo después de t segundos está dada por

A( t )=−16 t2+64 t+768¿En qué momento llega la pelota al suelo?

8. Movimiento de un modelo de cohete.Un modelo de cohete se lanza directamente hacia arriba, de modo que su altura (medida en metros) t segundos después del lanzamiento está dado por:

A( t )=−16 t2+384 t+4a) Calcula el (los) momento (s) en que el cohete está a una altura de 1 284m.b) ¿Cuánto tiempo permanece el cohete en vuelo?

9. Contenido de oxígeno en un estanque.Al arrojar desechos orgánicos a un estanque, el proceso de oxidación que ocurre reduce el contenido de oxígeno del estanque. Sin embargo, con el tiempo, la naturaleza restaurará el contenido de oxígeno a su nivel natural. Si el contenido de oxígeno t días después de arrojar el desecho orgánico al estanque está dado por:

P=100 ( t2+10t+100t2+20t+100 )Por ciento de su nivel normal, calcula el tiempo t correspondiente a un contenido de oxígeno de 80% e interpreta los resultados.

10. La razón Áurea.

y

x

Considere un rectángulo de ancho “x” y altura “y” (véase la figura anexa). El cociente r=x

y que satisface la ecuación

xy= x+ y

x

se llama razón áurea. Demuestra que r=12(1+√5)≈1,6

Observación: una estructura o una imagen con un cociente entre el ancho y la altura igual a la razón áurea es particularmente agradable a la vista. De hecho, esta razón áurea fue utilizada por los antiguos griegos para diseñar sus maravillosos templos y edificios públicos, como el Partenón

INECUACIÓN CUADRÁTICA

FORMA GENERAL

Son aquellas expresiones que se reducen a la forma general:

ax 2+bx+c>0 ; ≥ ,< o ≤ ; a , b , c∈R ; a≠0

Teorema

Si a≥0 y b≥0 , entonces a2>b2 ⇔ a>b

Teorema

Si b≥0 , entonces: a2> b ⇔ [ a>√b o a<−√b ]

Si b>0 , entonces: a2<b ⇔ −√b<a<√b

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Una inecuación de segundo grado se puede resolver con los mismos métodos usados para resolver ecuaciones de segundo grado.

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

Ejemplo 1.

Determina el conjunto solución de la inecuación:

x2−7>1−2 xSolución:

PROCEDIMIENTO PROCESO

Se debe llegar a la forma

ax 2+bx+c>0x2−7>1−2 xx2+2 x−7−1>0x2+2 x−8>0

Factorizando el trinomio por el método del aspa x 4x −2

Obtenemos factores ( x+4 ) (x−2 )>0Anulamos los factores para hallar los valores de “x” x+4=0 ∧ x−2=0

x1=−4 x2=2

Los puntos críticos son: -4 y 2

Ubicamos los puntos críticos en la recta numérica obteniendo tres intervalos

De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos (-) en forma alternativa en cada intervalo

Se forma el conjunto solución tomando aquellos intervalos en relación con el signo de la inecuación

Así tenemos que para x2+2 x−8>0 , su conjunto solución es formada por los intervalos abiertos

con signos (+)

Luego C.S=⟨−∞ ,−4⟩∪⟨2 ,+∞⟩

USO DEL DISCRIMINANTE

Dada la inecuación: ax 2+bx+c>0 ; ≥, <, ≤ ; a , b y c∈R∧a≠0

Su Discriminante es: D=b2−4 ac

PRIMER CASO: Cuando el discriminante es cero (D=0 )

Entonces ax2+bx+c es un trinomio cuadrado perfecto, es decir que al factorizar dicha expresión,

esta forma el cuadrado del un binomio (a±b )2

. Su conjunto solución se forma basándose en el

análisis de los valores que puede tomar x para que verifique la desigualdad en la inecuación

planteada.

Ejemplo.

Halla el conjunto solución para: x2−4 x+4>0 (¿ ;<:o ;≤ )

Solución:

DiscriminanteFactorizamos para obtener la forma:

(m−n )2>0Su conjunto solución de acuerdo al

signo de la inecuación puede ser:

D= (−4 )2−4 (1 ) (4 )D=16−16D=0∴ x2−4 x+4>0llegara a la forma :

(m−n )2>0

( x−2 )2>0⇔C .S=R−{2 }

( x−2 )2≥0⇔C . S=R

( x−2 )2<0⇔C .S=Φ

( x−2 )2≤0⇔C . S= {2 }

SEGUNDO CASO: Cuando el discriminante es positivo (D>0)

Si D>0, entonces ax2+bx+c es factorizable en IR y su conjunto solución se forma a través de los

puntos críticos.

Ejemplo.

Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2 x2−3 x+1≤0

Solución:

Discriminante Hallamos los puntos críticos

a=2, b=-3, c=1

D= (−3 )2−4 (2 ) (1 )D=9−8D=1⇒D>0∴2 x2−3x+1≤0es factorizable en R

Obtenemos: C.S.=

TERCER CASO: Cuando el discriminante es negativo (D<0)

Si D<0, entonces ax2+bx+c con a≠0 , se debe cumplir que:

ax 2+bx+c>0 ∀ x∈ R⇔ a>0 ∧ D<0Ejemplo.

Determina el conjunto solución de: x2+2 x+5>0 ; (¿ ;< o ≤ )

Solución:

Discriminante Observaciones De acuerdo al signo

a=1, b=2, c=5

D= (2 )2−4 (1 ) (5 )D=4−20D=−16⇒D<0

Analizando los valores que se dan a “x”,

la inecuación:

x2+2 x+5>0Es siempre positiva

Así tenemos que:

Si a=2⇒a>0

Luego:

Si D=−16⇒D<0

x2+2 x+5>0 ; ⇔C .S=R

x2+2 x+5≥0 ; ⇔C . S=R

x2+2 x+5<0 ; ⇔C .S=Φ

x2+2 x+5≤0 ; ⇔C . S=Φ

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON INECUACIONES CUADRÁTICAS

1) x2 -30x+29>0

2) x2 -6x-40 0

3) 30x2 -x-1 < 0

4) x2 +x+1 0

5) x2 +6x-7 > 0

6) 9x2 < 25

7) 36 > ( x - 1) 2

8) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2

9) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)

10) x2 - 3x > 3x - 9

11) 4 ( x - 1) > x2 + 9

12) 2x2 + 25 x ( x + 10 )

13) 1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1)

14) 3 > x ( 2x + 1)

15) x ( x + 1) 15(1 - x2 )

16) ( x - 2 ) 2 > 0

17) El fabricante de artículos de belleza ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dada por la expresión:

−6 x2+30 x−10donde x es el número de unidades producidas (en unidades de millar). ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14 000?

18) Si un fabricante vende x unidades de un cierto producto, sus ingresos I y sus costos C todo en dólares, son

I=50x

C=1000+38 x+0 .0025x2

Aplica el hecho de que:

Ganancia = Ingreso – Costo,

para determinar cuántas unidades debe venderse para disfrutar de una ganancia de por lo menos

$ 3 400.

19) El costo mínimo de producir ciertos producto de una compañía está dado por

200 x−x2+100 .

¿Cuántas unidades debe producirse para tener un costo mínimo de S/. 10 000?

20) Efecto de un bactericida.A “t” minutos de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por

10000

t2+1+2000

Determina el momento en que el número de bacterias esté por debajo de 4000.

21) Pelota lanzada hacia arriba.Una pelota se lanza hacia arriba de modo que su altura después de “t” segundos es

128 t−16 t2+4

pies. Determina el tiempo durante el cual la pelota estará arriba de una altura de 196 pies.

22) PBI.El producto bruto interno (PBI) de un país está proyectado en

t2+2 t+50

miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir del año en curso. Determina el instante en que el PBI del país sea igual o exceda a $58 mil millones.

23) Compra de acciones.La gerencia de un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles de dólares para adquirir

100000(−1+√1+0 .001 x )acciones de la compañía de comunicaciones Teleclaro. Determinar el dinero que necesita el consorcio para adquirir un mínimo de 100000 acciones de Teleclaro.

INECUACIÓN CUADRÁTICA

FORMA GENERAL

Son aquellas expresiones que se reducen a la forma general:

ax 2+bx+c>0 ; ≥ ,< o ≤ ; a , b , c∈R ; a≠0

Teorema

Si a≥0 y b≥0 , entonces a2>b2 ⇔ a>b

Teorema

Si b≥0 , entonces: a2> b ⇔ [ a>√b o a<−√b ]

Si b>0 , entonces: a2<b ⇔ −√b<a<√b

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Una inecuación de segundo grado se puede resolver con los mismos métodos usados para resolver ecuaciones de segundo grado.

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

Ejemplo 1.

Determina el conjunto solución de la inecuación:

x2−7>1−2 xSolución:

PROCEDIMIENTO PROCESO

Se debe llegar a la forma

ax 2+bx+c>0x2−7>1−2 xx2+2 x−7−1>0x2+2 x−8>0

Factorizando el trinomio por el método del aspa x 4x −2

Obtenemos factores ( x+4 ) (x−2 )>0Anulamos los factores para hallar los valores de “x” x+4=0 ∧ x−2=0

x1=−4 x2=2

Los puntos críticos son: -4 y 2

Ubicamos los puntos críticos en la recta numérica obteniendo tres intervalos

De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos (-) en forma alternativa en cada intervalo

Se forma el conjunto solución tomando aquellos intervalos en relación con el signo de la inecuación

Así tenemos que para x2+2 x−8>0 , su conjunto solución es formada por los intervalos abiertos

con signos (+)

Luego C.S=⟨−∞ ,−4⟩∪⟨2 ,+∞⟩

USO DEL DISCRIMINANTE

Dada la inecuación: ax 2+bx+c>0 ; ≥, <, ≤ ; a , b y c∈R∧a≠0

Su Discriminante es: D=b2−4 ac

PRIMER CASO: Cuando el discriminante es cero (D=0 )

Entonces ax2+bx+c es un trinomio cuadrado perfecto, es decir que al factorizar dicha expresión,

esta forma el cuadrado del un binomio (a±b )2

. Su conjunto solución se forma basándose en el

análisis de los valores que puede tomar x para que verifique la desigualdad en la inecuación

planteada.

Ejemplo.

Halla el conjunto solución para: x2−4 x+4>0 (¿ ;<:o ;≤ )

Solución:

DiscriminanteFactorizamos para obtener la forma:

(m−n )2>0Su conjunto solución de acuerdo al

signo de la inecuación puede ser:

( x−2 )2>0⇔C .S=R−{2 }

( x−2 )2≥0⇔C . S=R

( x−2 )2<0⇔C .S=Φ

D= (−4 )2−4 (1 ) (4 )D=16−16D=0∴ x2−4 x+4>0llegara a la forma :

( x−2 )2≤0⇔C . S= {2 }

SEGUNDO CASO: Cuando el discriminante es positivo (D>0)

Si D>0, entonces ax2+bx+c es factorizable en IR y su conjunto solución se forma a través de los

puntos críticos.

Ejemplo.

Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2 x2−3 x+1≤0

Solución:

Discriminante Hallamos los puntos críticos

a=2, b=-3, c=1

D= (−3 )2−4 (2 ) (1 )D=9−8D=1⇒D>0∴2 x2−3x+1≤0es factorizable en R

Obtenemos: C.S.=

TERCER CASO: Cuando el discriminante es negativo (D<0)

Si D<0, entonces ax2+bx+c con a≠0 , se debe cumplir que:

ax 2+bx+c>0 ∀ x∈ R⇔ a>0 ∧ D<0Ejemplo.

Determina el conjunto solución de: x2+2 x+5>0 ; (¿ ;< o ≤ )

Solución:

Discriminante Observaciones De acuerdo al signo

a=1, b=2, c=5

Analizando los valores que se dan a “x”,

la inecuación:

x2+2 x+5>0

x2+2 x+5>0 ; ⇔C .S=R

x2+2 x+5≥0 ; ⇔C . S=R

D= (2 )2−4 (1 ) (5 )D=4−20D=−16⇒D<0

Es siempre positiva

Así tenemos que:

Si a=2⇒a>0

Luego:

Si D=−16⇒D<0

x2+2 x+5<0 ; ⇔C .S=Φ

x2+2 x+5≤0 ; ⇔C . S=Φ

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON INECUACIONES CUADRÁTICAS

1) x2 -30x+29>0 2) x2 -6x-40 0

3) x2 +6x-7 > 0 4) x2 +x+1 0

5) 30x2 -x-1 < 0 6) 9x2 < 25

7) 36 > ( x - 1) 2 8) (x + 5)2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2

9) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) 10) x2 - 3x > 3x - 9

11) 4 ( x - 1) > x2 + 9 12)2x2 + 25 x ( x + 10 )

13)1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1) 14)3 > x ( 2x + 1)

15)x ( x + 1) 15(1 - x2 ) 16) ( x - 2 ) 2 > 0

17) El fabricante de artículos de belleza ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dada por la expresión:

−6 x2+30 x−10donde x es el número de unidades producidas (en unidades de millar). ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14 000?

18) Si un fabricante vende x unidades de un cierto producto, sus ingresos I y sus costos C todo en dólares, son

I=50x

C=1000+38 x+0 .0025x2

Aplica el hecho de que:

Ganancia = Ingreso – Costo,

para determinar cuántas unidades debe venderse para disfrutar de una ganancia de por lo menos

$ 3 400.

19) El costo mínimo de producir ciertos producto de una compañía está dado por

200 x−x2+100 .

¿Cuántas unidades debe producirse para tener un costo mínimo de S/. 10 000?

20) Efecto de un bactericida.A “t” minutos de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por

10000

t2+1+2000

Determina el momento en que el número de bacterias esté por debajo de 4000.

21) Pelota lanzada hacia arriba.

Una pelota se lanza hacia arriba de modo que su altura después de “t” segundos es

128 t−16 t2+4

pies. Determina el tiempo durante el cual la pelota estará arriba de una altura de 196 pies.

22) PBI.El producto bruto interno (PBI) de un país está proyectado en

t2+2 t+50

miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir del año en curso. Determina el instante en que el PBI del país sea igual o exceda a $58 mil millones.

23) Compra de acciones.La gerencia de un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles de dólares para adquirir

100000(−1+√1+0 .001 x )acciones de la compañía de comunicaciones Teleclaro. Determinar el dinero que necesita el consorcio para adquirir un mínimo de 100000 acciones de Teleclaro.

TOMADO DEL LIBRO: “Lógico Matemática”AUTORES: Roger Soto Quiroz

Denis Morales SaavedraElba Andrade Díaz

Rocío López Peláez