Transfer^encia de Calor - · PDF fileIntrodu˘c~ao I O termo superf cies estendidas e referente a um caso espec co em que h a conduc~ao de calor em um s olido e convec˘c~ao nas fronteiras

Transferencia de CalorConducao em Superfıcies Estendidas

Filipe Fernandes de [email protected]

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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IntroducaoI O termo superfıcies estendidas e referente a um caso especıfico em

que ha conducao de calor em um solido e conveccao nas fronteirasdo mesmo;

I A transferencia de calor em superfıcies estendidas tem apeculiaridade de que a direcao da transferencia por conducao eperpendicular a transferencia por conveccao;

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IntroducaoI Existem tres maneiras de aumentar a transeferencia de calor:

I Aumentar h;I Aumentar Ts − T∞;I Aumentar A atraves de aletas.

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Introducao

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Introducao

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Introducao

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Introducao

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Equacao da Aleta

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Equacao da AletaI Para encontrar a equacao da aleta, e preciso fazer um balanco de

energia em um elemento infinitesimal da secao transversal da aleta;

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Equacao da Aleta

I A forma geral para equacao de distribuicao de temperatura, e dadapor:

d2T

dx2+

(1

Ac

dAc

dx

)dT

dx−(

1

Ac

h

k

dAs

dx

)(T − T∞) = 0 (1)

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Aletas de Secao Transversal Uniforme

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Aletas de Secao Transversal UniformeI A equacao 1, para aletas de secao uniforme, pode ser simplificada

para:d2T

dx2− hP

kAc(T − T∞) = 0 (2)

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I Para simplificar a equacao, pode-se fazer as seguintes substituicoes:

θ(x) = T (x)− T∞ (3)

m2 =hP

kAc(4)

I Entao a equacao 2 pode ser reescrita como:

d2θ

dx2−m2θ = 0 (5)

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I A equacao 5 e uma equacao diferencial ordinaria de segunda ordem,homogenia de coeficientes constantes. Sua solucao geral e dada por:

θ(x) = C1emx + C2e−mx (6)

I As condicoes de contorno sao dadas em θ(0) e θ(L);I A condicao em θ(L) (ponta da aleta) pode variar;I θ(0) e igual para todos os casos, e vale:

θ(0) = Tb − T∞ = θb (7)

I que resulta em:

C1 + C2 = θb (8)

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I Para aletas longas, pode-se considerar L→∞;

I Para mL = 2, 65, 99% da maxima transferencia de calor e atingida.Assim, pode-se considerar uma aleta infinita quando,

L =2, 65

m(9)

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Comprimento Corrigido

I O comprimento corrigido e um artifıcio para se trabalhar com aletasque apresentam conveccao como se fossem de ponta adiabatica;

I O comprimento corrigido e dado por:

Lc = L +Ac

P(10)

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Exemplo

I Exemplo 1 - Uma aleta e adicionada em uma superfıcie comoexperimento. E utilizada uma aleta circular de cobre(k = 396W /m · K ) com 0, 25cm de diametro. A base esta a 95°C eo ar ambiente esta a 25°C com h = 10W /m2 · K . Calcule a perdade calor assumindo,

(a) A aleta e infinitamente longa. Qual o comprimento necessario para aaleta ser considerada infinitamente longa?

(b) A aleta possui 2, 5cm de comprimento e a ponta esta sobre o mesmocoeficiente convectivo que o corpo;

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Desempenho de Aletas

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Efetividade de Aletas

I Aletas sao usadas para aumentar a taxa de transferencia de caloraumentando a area superfıcial. No entanto, aletas inserem umaresistencia de conducao na superfıcie original;

I Por isso, nao existe garantia de aumento de transferencia de calor.

I Uma maneira de avaliar o desempenho de uma aleta e a efetividade,que e definida como a razao entre a taxa de transferencia com aaleta e taxa de transferencia sem a aleta;

εf =qf

hAc,bθb(11)

I onde Ac,b e a area da aleta na base;

I Normalmente, a utilizacao de aletas e justificada para εaleta & 2.

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I Para uma aleta que pode ser considerada infinita, a efetividade podeser dada por:

ε∞ =

(kP

hAc

)1/2

(12)

I Analisando qualitativamente a equacao 15, pode-se chegar asseguintes conclusoes:

I A efetividade aumenta com a escolha de um material de elevado k;I A efetividade aumenta quando P/Ac e elevado, isso significa aletas

finas;I A efetividade diminui quando o h e elevado, por isso o uso de aletas e

indicado quando o fluido e um gas.

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I A efetividade de aletas tambem pode ser interpretada como umarazao entre a resistencia de conveccao da base e resistencia da aleta;

Rt,f =θbqf

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Rt,b =1

hAc,b(14)

εf =Rt,b

Rt,f(15)

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Eficiencia de Aletas

I E outra medida de desempenho de aletas;

I A maxima taxa de transferencia de calor possıvel em uma aleta equando toda aleta esta a temperatura da base (Tb), resultando namaior variacao de temperatura possıvel (θb = Tb − T∞);

ηf =qf

qmax=

qfhAf θb

(16)

I onde Af e a area superfıcial da aleta.

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Exemplo

I Exemplo 2 - Considere uma aleta retangular de alumınio(k = 200W /m · K ) de 3mm de espessura, 75mm de comprimento e1m de largura. A temperatura da base e de 300°C , a temperaturaambiente de 25°C e h = 20W /m2 · K . Calcule:

(a) A taxa de calor e distribuicao da temperatura na aleta, desprezandoas perdas pela ponta;

(b) A eficencia da aleta em cada um dos casos.

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Aletas de Secao Transversal Nao-Uniformes

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Eficiencia Global de Aleta

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I A eficiencia ηo e referente a um conjunto de aletas e a base que elasestao fixadas;

ηo =qt

qmax=

qthAtθb

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I A area At esta associada as aletas e a area superfıcial da base. Edada por:

At = NAf + Ab (18)

I qt e a transferencia total de calor em relacao a area At . Pode sercalculado com a seguinte expressao:

qt = hAbθb + Nqt (19)

qt = hAt

[1− NAf

At(1− ηf )

]θb (20)

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I Substituindo a eq. 20 na eq. 17, tem-se

ηo = 1− NAf

At(1− ηf ) (21)

I Tambem e possıvel escrever a resistencia termica de um conjunto dealeta como:

Rt,o =θbqt

=1

ηohAt(22)

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I No primeiro caso, a aleta e usinada diretamente na superfıcie dabase;

I No segundo caso (mais comum), a aleta e presa a base, o queresulta em uma resistencia de contato. Assim, Rt,o(c) e ηo(c) podemser calculados como se segue,

Rt,o(c) =θbqt

=1

ηo(c)hAt(23)

ηo(c) = 1− NAf

At

(1− ηf

C1

)(24)

C1 = 1 + ηf hAf

(R

′′t,c

Ac,b

)(25)

I Onde Rt,c e a resistencia termica de contato.

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Exemplo

I Exemplo 3 - Uma placa de cobre (k = 396W /mK ) quadrada de2, 25cm de lado, possui um conjunto 4X 4 de aletas cilındrica comD = 0, 25cm, L = 2, 5cm igualmente espacadas a uma temperaturaT = 95°C . Ar, com temperatura T∞ = 25°C , escoa sobre a placacom aletas, proporcionando um h = 10W /m2 · K . Determine:

(a) A taxa de troca de calor;(b) A eficiencia;(c) A efetividade.

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