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Análisis Sistemas y Señales
Grupo 4
Profesora : Elizabeth Fonseca Chávez
Integrantes :
García Jurado Stevenel Luis
Chávez Sandoval Gerardo
Aguilar Olín Joaquín
TRANSFORMACIONES
PARA FUNCIONES BÁSICAS
Transformada de LTransformada de LTransformada de LTransformada de Laplaceaplaceaplaceaplace
Función Impulso ó Delta Dirac
Sea ���� = ����
������ = ������� ������ ��
Como la función ���� está solamente definida 0 ≤ � ≤ 0� y en ese intervalo � �� = 1
������ = ��������� �� = 1
Funcion Pulso Rectangular
La expresamos como :
���� = � 0 ; � < 0� ; 0 ≤ � ≤ ��0 ; � > ��!
La anchura del pulso es " = �� − ��
Para saber la Transformada calculamos el área del Rectángulo con una Integral de la forma :
��� = ������
��� = ���� − ��0��
Función Escalón Unitario
La representamos de esta forma :
���� = $0, � < 01, � ≥ 0! Según los visto en clase la transformada nos da
��1 = 1'
Pero realmente nos interesa que la constante pueda tomar cualquier valor no sólo uno por lo que definimos a la constante a
��� = ��� ����� ��
= lim+→� - . � ��+� ��
= lim+→� - /�01� |�+
= lim+→� - /�03���
= 4� para s>0
La función de escalón unitario se representa :
5��� = $0, � < 01, � ≥ 0! Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua
������ = . ������ ����� �� ec.(2)
las ecuaciones (1) y (2) Tenemos
��5��� = ��1� ∗ �� ����� ��
��5��� = 1'
Función Rampa Unitaria
Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma :
���� $ 0 ; � < 0� ; � > 0! Por definición :
��� = ��� ����� ��
Usando integración por partes :
= −�' � �� |�� + 1' � ������
= −�' � �� |�� − 1' � ��|��
Veamos el primer termino :
lim�→�−� '��� + lim�→� −�'���
Aplicando la regla de L’HÔpital :
lim�→� � �8/01 = 0
Y el segundo limite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia a que se este elevada la variable t ). Por tanto :
�� � ��|�� − �
�8 � ��|�� = −0 + ��8 = �
�8
Entonces la transformada nos queda :
��� = 1'9
Función Exponencial
���� = :�;�
Por definición :
��:�;� = : ��;�� ����� ��
= : . �� �� ;����� ��
= : �� ; � �� ;�� |�� = 0 + �
� ;
Por lo tanto ��:�;� = :� �� ;) , s>a
Función Senoidal
Se representa con la ecuación :
���� = �-<'�=� + φ� Primero probaremos la transformada para la función :
���� = cos �=��
��-<'�=� � = �-<'�=��� ����� ��
= −1' � �� cos�=�� |� � − =' � ���� '�B�=����
= −1' � �� cos�=�� |� � + ='9 � ��'�B�=��|��
− C8�8 . � �� cos�=�� ����
→ D1 + =9'9 E � ���
� cos�=�� �� = − 1'��� cos �=��|��
+ ='9��� '�B�=��|�� = 1'
Por lo tanto
� ���� cos�=�� �� =
1'1 + =9'9
= ''9 + =9
Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua
���-<'�=� + F� = ��-<'�=� + φ�� ����� ��
Al resolver la integral por el método de Integración por partes nos da :
Si s> 0
���-<'�=� + F� = ���GH��I� CJ/K�I��8�C8 �
Función Sinc
La podemos representar con la formula :
���� = �� ;�'�B�=� + F�
Por lo tanto
���� ;�-<'�=� + F� = ��� ;�-<'�=� + φ�� ����� ��
Al resolver la integral nos queda
L�MNOP�Q� =
A�−at Iè!!! !!w2 Cos@ϕD Sign@wD + ω Sin@ϕDM
w2+ ω2
� � � � � � � � � � � � � � � � � �Transformada de FourierTransformada de FourierTransformada de Fourier
Funcion Pulso Rectangular
La expresamos como :
���� = � 0 ; � < 0� ; 0 ≤ � ≤ ��0 ; � > ��!
Funcion Impulso o Delta Dirac
Función Escalon Unitario
La representamos de esta forma :
���� = $0, � < 01, � ≥ 0!
Sabemos que es una función no periódica por lo tanto usamos la definición de Transformada de Fourier
Función Rampa Unitaria
Funcion Exponencial
*Función Sinc
Transformada ZTransformada ZTransformada ZTransformada Z
*Función Pulso Rectangular
Función Impulso o Delta Dirac
Función Escalón Unitario
Función Rampa Unitaria
Al usar a la función u de n como :
R�O� = S TQ
Desarrollamos la serie y simplificamos
Función Senoidal
Entonces podemos aplicar la definición de la transformada Z para funciones Exponenciales
Ahora con la ecuación :
���� = �-<'�=� + φ� Al realizar la serie de exponenciales complejas queda :
Z(w) =
• Nota no estamos tan seguros de este resultado debido a que fue hecho por el programa de MATHEMATICA
Función Sinc
Referencias :Referencias :Referencias :Referencias :
- http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/TZ00.pdf
- Ecuaciones Diferenciales – Carmona Editorial Pearson
� A�−�ϕ zI�2�w− �2�ϕ− ��wz+ ��Hw+2ϕL zM2Hz+ �2�w z−��w H1+ z2LL