a) Use la transformada de Laplace para determinar la carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie cuando q(t)=0. R=50Ω, C=0.01f y E(t) es como se muestra en la figura.

b) Suponga que Eo=100v. use un programa de graficación computarizado para bosquejar q(t) en el intervalo 0≤ t ≤6 use la gráfica para determinar qmax (el valor máximo de la carga).

SOLUCIÓN:

Ecuación: E(t) - Rdqdt

− qC

=0

Función escalón establecida para E(t)= EoU(t-1)-EoU(t-3)

Sustituyendo la función eslalon para E(t) la ecuación obtenida es:

Rq '+ qC

=EoU ( t−1)−EoU ( t−3)

Aplicando Transformada de Laplace y sustituyendo los valores de R y C:

50 L [ q' ]+ 10.01

L [q ]=L [EoU ( t−1 )−EoU (t−3 ) ]

50 s L [q ]−50qo+100 L [q ]=Eo L [U ( t−1 ) ]−EoL [U (t−3 ) ]

qo=0

(50 s+100 ) L [q ]= Eoe−s

s−Eoe

−3 s

s

L [q ]= Eoe−s

(s) (50 s+100 )− Eoe−3 s

(s)(50 s+100 )

L−1 [L [q ] ]¿ L−1[ Eoe−s

(s )(50 s+100 ) ]−L−1[ Eoe−3 s

(s )(50 s+100 ) ]

L−1 [L [q ] ]¿Eo L−1[e−s 1(s) (50 s+100 ) ]−Eo L−1[e−3 s 1

(s)(50 s+100 ) ]Resolviendo la transformada por el segundo teorema de traslación:

e−as L [ f (t)]=L [ f (t−a )U (t−a)]

Primera parte:

¿Eoe−s L−1[ 1(s) (50 s+100 ) ]=L−1 [ f (t−1)U (t−1)]

1(s) (50 s+100 )

= AS

+ B50 s+100

1=A (50 s+100 )+Bs

1=50 As+100 A+Bs

1=s (50 A+B )+100 A

Sistema de ecuaciones:

1=100A A=1/100

50A+B=0 B=-50A

Sustituyendo A en el valor de B: B=-50(1/100) B=-1/2

L−1[ 1(s)(50 s+100 ) ]¿ L−1[ As ]−L−1[ B

(50 s+100 ) ]L−1[ 1

(s)(50 s+100 ) ]¿A L−1[ 1s ]−B50 L−1[ 1

(s+2 ) ]¿ 1100

− 1100

e−2 t

¿ Eo( 1100− 1100

e−2 (t−1))U ( t−1)

Para la segunda parte:

¿Eoe−s L−1[ 1(s) (50 s+100 ) ]=L−1 [ f (t−1)U (t−1)]

De manera análoga:

¿ Eo( 1100− 1100

e−2 (t−3))U ( t−3)

q (t )=Eo( 1100− 1100

e−2( t−1))U ( t−1 )−Eo( 1100− 1100

e−2 (t−3 ))U (t−3)

b) Suponga que Eo=100v. use un programa de graficación computarizado para bosquejar q(t) en el intervalo 0≤ t ≤6 use la gráfica para determinar qmax (el valor máximo de la carga).

q (t )=( Eo100− Eo100

e−2 (t−1 ))U ( t−1 )+( Eo100 e−2 (t−3)− Eo100 )U ( t−3)

q (t )=(1−e−2 (t−1) )U ( t−1 )+(e−2( t−3 )−1 )U (t−3)

Grafica de la carga respecto al tiempo con valores de 0-100 de E0