UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA Seales y Sistemas G 3

TRANSFORMADA WAVELET Y TRANSFORMADA HILBERT1. La transformada Wavelet2. La transformada Hilbert3. Diferencia entre las transformadas4. Desarrollo5. Anlisis de resultados6. Conclusiones y Recomendaciones7. Referencias8. AnexosLa transformada WaveletLa transformada Wavelet es una herramienta matemtica desarrollada en los mediados de los aos 80s la cual nos permite un anlisis de seales ms detallado que la transformada de Fourier, la funcin madre Wavelet debe cumplir ciertos criterios para ser aplicable en el algoritmo los cuales son:a) Poseer energa infinita.

b) Cumplir el criterio de la constante de admisibilidad.

Esto nos quiere decir que si se denota el complejo conjugado de donde (t) L2(R), tambin debe satisfacer con la siguiente propiedad y por ende la siguiente constante:

c) la transformada de Fourier debe ser real y desvanecida para frecuencias negativas en en caso de wavelets compleja.Tabla 1: Tipos de funciones Madres Wavelet.Familia OrtogonalidadSimetra Momentos de DesvanecimientoDatos extras

HaarSiSi1Primera Wavelet en aparecer, usada en transformadas continuas y discretas.

DaubechiesSiNoNumero deseadoUsada en transformadas continuas y discretas, es la misma que la Haar pero con mayor nmero de desvanecimientos

SymmletsSiSi2-45Adicionan simetra a la Daubechie.

Sombrero mexicanoSiSi1Segunda derivada de la funcin de Probabilidad Gaussiana.

CoifletsSiSi2NPuede ser simtrica o asimtrica dependiendo de su orden.

BiortogonalesNoSiNTiene una funcin especfica para la construccin y reconstruccin de la seal.

MeyerNoSi1Solo para transformadas Wavelets continuas.

MorletSiSi1Una de las primeras Wavelets madres

Anexo 1 Tabla (a) tipos de funciones Wavelet madre y su funcin caracterstica.Esta al ser una variacin de la transformada de Fourier dispone de las mismas propiedades, adicional a las propiedades que la transformada wavelet madre ofrece.1.1 Transformada Wavelet Continua. CWT

Esta transformada utiliza una funcin ventana que encuadra la seala dentro de un intervalo y se focaliza solo en este segmento de la seal.La CWT propone expresar ua seal x(t) contina en el tiempo, mediante una expresin de trminos o coeficientes proporcionales al producto interno de la seal y diferentes versiones escaladas y trasladadas de una funcin prototipo (t) conocida como wavelet madre, si asumimos que la seal de es potencia entonces definimos que:

Donde a y b son dos nuevas constantes las cuales a controla en acho o soporte efectico la funcin (t) y la variable b la ubicacin del dominio de (t).Para que el anlisis de una seal en ese dominio as como tambin para que sea reversible esta debe cumplir la condicin de admisibilidad la cual quiere decir que el valor medio de (t) sea ceo es decir que La transformada continua de wavelet (CWT) es una representacin tiempo-frecuencia, siendo para valores pequeos de a la CWT obtiene informacin de x(t) y para valores grandes de a permite un anlisis de x(w).La transformada Wavelet adems de un anlisis tiempo y frecuencia nos devuelve como resultado una imagen filtrada sin ruido atraves de la transformada inversa de Wavelet la cual nos devuelve un anlisis en el tiempo la cual viene definida por:

As tambin como en Fourier esta tiene una transformada inversa la cual viene definida por:

Anexo 2 Pasos para determinar la transformada Wavelet Continua.1.2 La transformada Wavelet Discreta.Para el anlisis de funciones discretas en el tiempo F (n) se utiliza la transformada wavelet discreta que se la explica de la siguiente forma:Si tenemos una funcin definimos:

Para un uso ya prctico consiste en aplicar a la seal discreta varios filtros dados por las seales wavelet madre componiendo as un diagrama semejante a:

Fig.1 Muestreo de una seal discreta para poder sacar los coeficientes A y DPara la transformada inversa simplemente sumamos cada muestreo resultante de los filtros pasa altas y pasa bajas.

Ejemplo de aplicacin Anexo 3.

La transformada HilbertEs expresada como:

Es una operacin que desplaza la fase la fase de por . La seal se puede obtener a travs de:

Donde la respuesta al impulso es . La seal con desplazamiento de fase corresponde a la desviacin:

Propiedades de la transformada de Hilbert

Dado que la convolucin de seales reales tambin es real, la transformada de Hilbert de una seal real tambin debe ser real.

Dado que tiene simetra impar, la transformada Hilbert de una seal par es impar, y viceversa.

Dado que el espectro de magnitud de es unitario, los espectros de magnitud y son idnticos.

Se aplica dos ves la transformada a es resultado ser . Esto sugiere que la transformada inversa de Hilbert de es directamente la transformada de Hilbert pero con signo cambiado.

Anexo 4 Transformadas Hilbert ms usadas.

La transformada de Hilbert de una seal escalada se describe como:

Si aplicamos la propiedad de escalamiento de la convolucin: , se obtiene:

Este resultado sugiere que la transformada de una funcin envuelta es Si es una seal limitada en banda y es una seal cuyo espectro no sufre alias con el de , la transformada del producto es igual a:

La seal analtica y envolvente

La seal analtica de una seal real se define como:

Las partes real e imaginaria de una seal analtica son transformadas de Hilbert. Por ejemplo:

La seal analtica de tambin se conoce como envolvente previa de . La envolvente compleja de se define, en analgica con los vectores giratorios, a una frecuencia dada por:

La envolvente compleja tambin es una seal analtica cuya parte imaginaria e igual a la transformada de Hilbert de su parte real:

Obsrvese que es la transformada de Hilbert de la componente en fase. Las cantidades y se denominan componentes en fase y en cuadratura de a la frecuencia de . En analgica con los vectores giratorios, la seal real tambin puede describirse en trminos de su envolvente compleja a la frecuencia como:

Y en sus componentes de fase y cuadrada como:

Envolventes de una seal real Envolvente previa (seal analtica)

Envolvente compleja

Envolvente natural

Diferencia entre las transformadasFourier HilbertWaveletZ

Anlisis en tiempo discreto.Si dispone de una transformada especial para este caso.Segn investigaciones no pudimos hallar una transformada Hilbert para tiempo discreto.No dispone una sino varias dependiendo de la wavelet madre utilizada.Se puede considerar como la ms conocida para el anlisis de tiempo discreto se la considera como la Laplace de tiempo discreto

Anlisis en tiempo contino.Es una de las principales herramientas para el anlisis en tiempo continuo.Es una transformada con gran peso al momento de anlisis de tiempo continuo.Dispone de varias trasformadas dependiendo de su wavelet madre para tiempo continuo.No dispone de anlisis en tiempo continuo ya que es creada solo para el tiempo discreto.

Anlisis en la frecuencia.Es la herramienta ms utilizada en el dominio de la frecuencia dado a que esta nos permite un anlisis casi completo en la frecuencia.No presenta muchos beneficios ya que solo desplazamos la seal original por lo que es utilizada en un anlisis rpido.Nos permite un anlisis completo ya que aparte de un anlisis de frecuencia nos permite un anlisis de tiempo en la misma transformada.En la frecuencia discreta por as llamarla nos permite un anlisis al nivel de lo que es Laplace para las de tiempo continuo por lo que es una buena herramienta para estos casos.

Modulaciones de seales.Corresponde como la transformada ms utilizada para as modulaciones a lo largo del mundo por lo que corresponde una gran herramienta.

No presenta una gran ayuda al rato de la modulacin ya que el plano de anlisis de frecuencias nos debemos valer de otras transformadas para llegar a analizar Hilbert en el dominio de la frecuencia.Es una modulacin relativamente nueva para el envi de seales por lo que no es muy utilizada aun pero en un futuro lo ser debido a su gran capacidad de eliminar ruido de seales as como la mejor transmisin de esta. Se la utiliza principalmente para modulaciones digitales lo cual representa gran ventaja el envi de datos por que se evita la perdida de informacin as como una mejor transmisin de la misma.

Ventajas.Algo ms conocida que las dems permite un anlisis en la frecuencia muy acertado, su transformada matemticamente hablando no es muy difcil de resolverla as como implementarla por lo que es muy utilizada en seales de transmisin y difusin.Un anlisis rpido y una transformada sencilla para poder obtener datos rpidos de la propiedad de una seal sin cambiar el plano de anlisis.Un anlisis profundo de la seal as como tambin la eliminacin de ruido debido a su gran cantidad de filtros utilizados en la transformacin y difusin de esta as como tambin una gran cantidad de modulaciones correspondientes a sus wavelet madres.Por su naturaleza digital permite una transmisin de datos ms rpidas, su implementacin en la industria est creciendo ya que la seal analgica o continua est desapareciendo, es ms complicada de decodificar por lo que representa seguridad en la transmisin de datos.

Desventajas.No puede filtrar bien el ruido por lo que la seal que deseamos obtener por lo que puede insertar ruido y causar problema en la modulacin.Es muy simple y no puede ser considerada de peso en el anlisis de frecuencia ya que solo desplaza el plano a analizar mas no cambia de plano.Nueva en comparacin a las otras analizadas por lo que an no tiene mucho peso en la industria. No permite un anlisis de frecuencias en un ancho pequeo.No permite un anlisis de tiempo continuo por lo que no es aplicable a seales analgicas.

Aplicaciones.Geometra, matemtica, mecnica cuntica, termodinmica, seales y sistemas, DCPS, Electricidad, Maquinas Elctricas, Ecuaciones diferenciales, Automatismo, Radio difusin, Control, Biomedicina, Demudacin. Geometra, Matemtica, Seales y sistemas, DCPS.Matemtica, geologa, Radio Difusin, Maquinas elctricas, Automatismo, Modulacin, Demodulacin, Fotografa, Animacin, Medicina.Geometra, matemtica, mecnica cuntica, termodinmica, seales y sistemas, Maquinas Elctricas, Ecuaciones diferenciales, electrnica Digital, Automatismo, Radio difusin, Control, Biomedicina, Demudacin.

Desarrollo

Con la ayuda del software Matlab se va realizar la aplicacin wavelet a la siguiente imagen.

Fig. 2 Imagen original antes de aplicarse wavelet

Una vez cargada la imagen en el software se la procesa para observar el resultado.

Fig. 3 Imagen cargada y procesada en el software.

Para apreciar de mejor manera el proceso de filtrado se presenta a continuacin las siguientes figuras.

Fig. 4 Imagen luego de wavelet, aproximacin.

Fig. 5 Detalles Horizontal

Fig. 6 Detalles Vertical

Fig. 7 Detalles Diagonal

Fig. 8a Reconstruccin de Imagen etapa 1

Fig. 8b Reconstruccin de Imagen etapa 2

Fig. 8c Reconstruccin de Imagen etapa 3Anlisis de resultadosComo se pudo observar en las figuras anteriores el proceso de filtrado que realiza wavelet es muy detallado, ya que realiza verticales, horizontales y diagonales, cubriendo as todas las direcciones.

Si nos fijamos en la Figura 2, en la secuencia de imgenes, se aprecia como luego del filtrado la imagen comienza a reconstruirse con menos ruido que cuando estaba en estado original.

Algo que es necesario considerar es que el tiempo que demora el programa en procesar la imagen es directamente proporcional al tamao de la imagen.

Pasando al mbito profesional, si aplicamos este proceso en ciertos campos de la ciencia obtendramos resultados inmediatos y precisos para algn tipo de anlisis que requiera de la transformada de wavelet.Conclusiones y Recomendaciones

Como se puede observar en el informe desarrollado wavelet es una herramienta muy poderosa que sirve para realizar un anlisis detallado a seales o sonidos.

En cuanto a imgenes, la transformada wavelet permite realizar un filtrado de ruido existente en las imgenes, permitiendo as lograr una mejor apreciacin de ciertos detalles.Un campo de aplicacin de esta herramienta puede ser en la medicina, en un examen de electrocardiograma, podemos realizar el anlisis preciso y en tiempo real dando un resultado exacto, ahorrando as, tiempo y dineroReferencias-Procesamiento De Seales Analgicas y Digitales-Ashok Ambardar Segunda Edicin.

-Sistemas de Comunicacin Digitales y Analgicos- Leon Couch Sptima Edicin.-Tutorial Introductorio a la Teora de Wavelet- Samir Kouro R, Rodrigo Muselem M (Paper)

-Implementacin De La Transformada Wavelet Para la Medicin De Los Diferentes Tipos de Perturbaciones En Laboratorio de Maquinas Elctricas.-Tesis de Diego Eduardo Andrade Carrera. Escuela Politcnica Nacional del Ecuador ESPE 2014.Anlisis con Wavelets de alteraciones electrocardiogrficas en pacientes Chagasticos Crnicos.-Fernando Riveros Sanabria-Universidad EAFIT departamento de Ciencias Bsicas Medelln 2012.Aplicacin de la transformada Wavelet y mtodo del level set para el filtrado y segmentacin de imgenes.-Hugo Orlando Gmez Espinoza, Universidad Politcnica Salesiana Sede Cuenca Facultad de Ingenieras, Carrera de Ingeniera Electrnica 2012. AnexosAnexo 1

Tabla a tipos de funciones Wavelet madre y su funcin caractersticaImgenes obtenidas de la tesis:

Implementacin de la transformada wavelet para la medicin de diferentes tipos de perturbaciones en laboratorio de mquinas elctricas de: Diego Eduardo Andrade Carrera.

Universidad politcnica nacional

Familia AbreviaturaFuncin Caracterstica

HaarHaar

DaubechiesdbN

SymmletssymN

Sombrero mexicanomexh

CoifletscoifN

Biortogonalesbior

Meyermeyer

Morletmorl

Anexo 2

Pasos para determinar una Wavelet continua

1)Escoger la Wavelet madre

2) Seleccionar el valor de la escala a la Wavelet madrey situarla al comienzo de la seal t=03) Multiplicar la seal f (t) por a wavelet madre e integrar atraves del espacio de tiempo cubierto por la wavelet madre y multiplicar por la magnitud inversa de la funcin madre para estabilizar la energa.

4) Repetir este pas hasta que la funcin madre cubra toda la funcin a analizar

Anexo 3

Imgenes obtenidas de la tesis:

Implementacin de la transformada wavelet para la medicin de diferentes tipos de perturbaciones en laboratorio de mquinas elctricas de: Diego Eduardo Andrade Carrera.

Universidad politcnica nacional

Graficas de la vibracin de un motor de induccin con vibracin anormal con un tempo de muestreo de 0.125s Atraves de Signal Processing Toolbox de Matlab

Fig. (a) Ejemplo de aplicacin de la transformada Wavelet Discreta.

Fig. (b) Superposicin de la imagen original y la reconstruida a partir de la transformada Wavelet Discreta.

Anexo 4

Transformadas Hilbert ms usadas.

Imagen obtenida del libro de Ashok Ambardar Tabla 10.1

Capitulo 10 Modulacin

Fig. c. Transformada de Hilbert ms usadas.

Autor:

Youssef Abarca, Daniel Calle, Mathews Castillo, Jos Guayllas

Erick Narvez, Ismael Narvez, Jos Toledo.UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

SEALES Y SISTEMAS G 3

Trasformada Wavelet y Hilbert

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