Transformada de WaveletByron Palate, Francisco Padilla,Ingeniera Elctrica y Electrnica, Escuela Politcnica NacionalQuito, Ecuadorbyron963@hotmail.compacop8@hotmail.comResumen. Tradicionalmente las seales (o funciones) se representan en el domino del tiempo (o del espacio), ya sea en forma de funciones continuas (seales analgicas) o como muestreos discretos en el tiempo (seales digitales). La transformacin desde el domino del tiempo al dominio de la frecuencia revela otros aspectos de las seales como la magnitud de cambio de los componentes de la seal en el tiempo o el espacio.Para una mejor compresin de la transformada Wavelete, se la puede comparar con la transformada de Fourier en sus campos, ya sean discretas o continuas, que se analizaran el campo respectivo.I. INTRODUCCIN

La Transformada de Wavelet explicada en este documento sirven para el muestro de seales en gran cantidad de imgenes, mediante el cual nos permite obtener una visualizacin ms real, del comportamiento de las ondas producidas.II. TRANSFORMADA DE WAVELET

La trasformada wavelet se puede utilizar tanto para comprimir seales (o vectores) como imgenes (o matrices), o para cualquier dimensin. Aunque en teora los algoritmos para calcular la DWT (Trasformada wavelet discreta) son rpidos, cuando se aplican a volmenes de datos muy grandes es necesario buscar variantes de paralelizacin.

Los trabajos ms importantes para el clculo paralelo de la DWT estn mayormente enfocados al tratamiento de imgenes y seales y la estrategia que usan est en consonancia con obtener una transformada lo ms rpido posible como operacin nica.

El anlisis Wavelet representa el paso lgico siguiente a la STFT: una tcnica mediante ventanas con regiones de tamao variable, permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos segmentos en los que se requiere mayor precisin en baja frecuencia, y regiones ms pequeas donde se requiere informacin en alta frecuencia.

Fig. 1 Esquema de transformacin de transformada de WaveletA. Transformada Wavelet Continua (CWT)

La transformada wavelet continua intenta expresar una seal x (t) continua en el tiempo, mediante una expansin de trminos o coeficientes proporcionales al producto interno entre la seal y diferentes versiones escaladas y trasladadas de una funcin prototipo (t) ms conocida como wavelet madre. Asumiendo que tanto la seal como la nueva funcin (t) son de energa finita, entonces podemos definir:

Fig. 2 Ecuacin de la Transformada de Wavelet contina I.De esta manera, la variable a controla el ancho o soporte efectivo de la funcin (t), y la variable b nos da la ubicacin en el dominio del tiempo de . Ahora bien, para que este anlisis sea posible y adems para poder lograr una perfecta reconstruccin de la seal a partir de la transformada, la funcin (t) debe cumplir con la condicin de admisibilidad. El cumplimiento de esta condicin significa que el valor medio de (t) es igual a 0, lo que a su vez implica obligatoriamente que (t) tenga valores tanto positivos como negativos, es decir, que sea una onda. Adems, como (t) es una funcin que ventaniza la seal sobre un intervalo de tiempo dado por a alrededor de un punto t = b, se observa intuitivamente que (t) es de soporte compacto, es decir, es una onda definida sobre un intervalo de tiempo finito.La Transformada Continua Wavelet es un transformada reversible siempre y cuando la funcin x (t) cumpla con la condicin de admisibilidad.

Fig. 3 Ecuacin Transformada de Wavelet para reconstruccin.B. Clculo de la Transformada Wavelet Continua

Debe elegirse una funcin Wavelet, la que ser la Wavelet madre y servir como prototipo para todas las ventanas que se emplean en el proceso. Existe una importante cantidad de familias de funciones Wavelets que han probado ser especialmente tiles; entre ellas destacan la Haar, Daubechies, Biortogonal, Coiflets, Symlets, Morlet, Sombrero mexicano, Meyer, entre otras.

1. Para la seal Wavelet, se ubica sta al comienzo de la seal a analizar (en t = 0). Luego, se multiplican entre s ambas seales y el resultado se integra sobre todo el espacio de tiempo. El resultado de dicha integral se multiplica por el inverso de la raz cuadrada de a, con el objeto de normalizar la energa y de este modo obtener una funcin Transformada con la misma energa a cualquier escala. Este resultado es el valor de la Transformacin Wavelet en tiempo cero y a = 1. Es importante mencionar que este resultado indica cun correlacionada est la Wavelet con el segmento de la seal original.

Fig. 4 Transformada de Wavelet en t=0.2. La funcin Wavelet se traslada en tiempo (hacia la derecha) en b, y se vuelve a realizar el procedimiento descrito en el paso 1. Se debe repetir esto hasta llegar al final de la seal a analizar.

Fig. 5 Transformada de Wavelet trasladada en tiempo.3. Se vara el valor de a (escala) y se vuelven a realizar los pasos 1 y 2 hasta haber barrido todo el rango de frecuencias que se desea analizar. Note que dado que se trata de una Transformacin continua, tanto el corrimiento en tiempo como la variacin de escala debiesen realizarse en forma continua. Sin embargo, si es necesario obtener la Transformada Wavelet por medios computacionales.

Fig. 6 Transformada de Wavelet barrido todo el rango.C. Transformada Wavelet Discreta (DWT)

Para aplicar la transformada Wavelet a una serie de datos numricos, se hace necesario implementar una transformada discreta.. Mallat dise un algoritmo basado en un banco de filtros que permite obtener una transformada Wavelet en forma rpida a partir de los datos de inters. Dichos bancos de filtros estn basados en:

Fig. 7 ecuaciones de bancos de filtros.D. Filtros de un nivel

En la mayora de las seales son las componentes de baja frecuencia las que le otorgan a la seal la mayor parte de su informacin, o bien, le dan una especie de identidad a la seal. Mientras que las componentes de alta frecuencia se encargan de incorporar caractersticas ms particulares. Es por ello que se subdividen las componentes de una seal en dos categoras:

Aproximaciones (baja frecuencia)

Detalles (alta frecuencia)

Fig. 8 Descomposicin de seales usando filtros. Fig. 9 Simulacin de la descomposicin de seales usando filtros.E. Filtros multinivel

Se aplicara el mismo procedimiento a las seales de salida de la primera etapa, y as sucesivamente hasta el nivel de precisin que se desee. Da origen a una descomposicin multinivel conocida como ramificacin o rbol de descomposicin wavelet, cuya idea es expuesta en la figura. Note que cD1 resulta ser la componente de ms alta frecuencia de la seal, y cA3 la de menor frecuencia. Al ser descompuesta la seal en mayor cantidad de bandas de frecuencia se posee una informacin ms detallada acerca de S, por lo que esta metodologa es conocida como multi-resolucin. Surge en forma inmediata la inquietud acerca del diseo del algoritmo, relativo al nmero de niveles a utilizar.

Fig. 10 Descomposicin de seales usando filtros multinivel.F. Reconstruccin Wavelet.

La metodologa sigue el razonamiento en direccin contraria, es decir, a partir de los coeficientes cAi y cDi (i depende del nmero de niveles) debe obtenerse S. Lo anterior queda ilustrado en la fig. En este caso se debe realizar una sobre-representacin de la muestra para compensar el sub-muestreo realizado en el proceso de descomposicin, luego pasa por un proceso de filtrado, para finalmente reconstruir S. La etapa crtica en este proceso es el filtrado, pues la eleccin de los filtros es determinante en la calidad de la reconstruccin. Se discute el diseo, introduciendo filtros de descomposicin H y L (para pasa-altos y pasa-bajos respectivamente), y sus filtros de reconstruccin correspondientes H y L, diseados a partir de una teora llamada Quadrature Mirror Filters, la cual no ser analizada en mayor detalle en este trabajo. Fig. 11 Descomposicin de seales usando filtros multinivel.G. Wavelets y aplicaciones

Algunas aplicaciones de la transformada de wavelet y las que se tratara.

Deteccin de discontinuidades y untos de falla

Supresin de seales y ruido

Compresin de seales

Deteccin de auto similitudes

IV. CONCLUSIONES

En este artculo se present una introduccin a la transformada wavelet en su versin continua, y su versin discreta en la cual a partir de una onda se puede descomponer en varias ondas similar a la transformada de Laplace.REFERENCIAS

[1]http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/meie/osorio_s_a/capitulo2.pdf[2]http://www.cnea.gov.ar/cac/glea/trabajos/serrano.pdf[3]http://www.exa.unicen.edu.ar/escuelapav/cursos/wavelets/apunte.pdf[4]http://www.dsic.upv.es/docs/bib-dig/tesis/etd-05152009-123504/phd.pdf