İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Transformasyonlar(İleri Yapı Statiği)

Doç. Dr. Özgür ÖzçelikDokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Sunum Ana Hattı

� Transformasyonlar

� Rijit uç bölgesi transformasyonu

� Global – Lokal eksen transformasyonu

� Temel sistem (basit mesnetli kiriş) ve rijit cisim modlarıtransformasyonu

� 2D kiriş durum (state) determinasyonu

� Rijitlik katsayılarının (matrislerinin) fiziksel yorumu

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarGenel Gözlemler

: 1. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri

: 2. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri

: Bu iki durum arasındaki transformasyon matrisi aşağıdaki gibi verildiyse

Ve bu iki sistemin yaptıkları iş birbirine denkse (work equivalent – work conjugate pairs):

böylece

Böyle bir ilişki mevcutsa, yazılabiliyorsa!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Bu sonuç geneldir ve birbirine işçe denk herhangi iki sistem için geçerlidir. Bir çok durumda dengeden

TransformasyonlarGenel Gözlemler

olduğunu göstermek, uygunluk şartlarından

olduğunu göstermekten daha kolay olmaktadır. Eğer aşağıdaki ilişkiler geçerliyse,

burada k1 ve k2 bu iki sistemin rijitlik matrisi ise, bu durumda aşağıdaki ilişkiyi yazmak mümkündür:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeler - Rasyonelleştirme

Düğüm noktası

Deforme olan eleman

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri (Rigid End Zone - REZ) Dönüşümü

2D rijit uç bölgeli (REZ) kiriş-kolon elemanı

(Deforme olabilen eleman)

Düğüm noktası

Düğüm noktası

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri

Kiriş ve kolonlar için oluşturulmuş rijit uç bölgeleri.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Rijit uç bölgelerinde global serbestlik dereceleri ve karşı gelen eleman uç kuvvetleri

REZ Üstündeki Serbestlik Dereceleri

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Deforme olan elemanda global serbestlik dereceleri vekarşı gelen eleman uç kuvvetleri

Deforme olabilen eleman üzerinde

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışıyoruz.

İş konjuge (work conjugate) çifti (yaptıkları iş birbirine denkse)

Bu çiftler arasındaki ilişkiye kontra-gradiyen transformasyonu denir. Burada

birinci düğümdeki yerdeğiştirmeleri rijit uç bölgelerinden eleman ucuna taşır, benzer şeyiçin de söylenebilir.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Rijit uç bölgesindeki birinci serbestlik derecesine bir birimlik yatay yerdeğiştirme verildi.

birinci kolonu

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Rijit uç bölgesindeki ikinci serbestlik derecesine bir birimlik düşeyyerdeğiştirme verildi.

İkinci kolonu

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Rijit uç bölgesindeki üçüncü serbestlik derecesine bir birimlik dönmeverildi.

Üçüncü kolonu

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

ve arasındaki ilişki rijit uç bölgelerinin dengesinde de bulunabilirdi.

Rijit uç bölgelerinin dengesinden.

1. Düğüm Noktasının Dengesi

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Uç Bölgeleri Dönüşümü

Eğer ve

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü

: İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur:

burada

Lokal Koordinatlar Doğrultusundaki Serbestlik Dereceleri

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü

R’nin birinci kolonu

R’nin ikinci kolonu

R’nin üçüncü kolonu

ϕ

11∆ =

ϕ

ϕ

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

ve arasındaki ilişki düğüm noktası dengesinde de bulunabilirdi:

TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarGlobal ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü

R rotasyonel matrisi ortogonaldir:

Eğer ve

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

Temel sistem: basit mesnetli kiriş

Rijit cisimmodlarının olmadığı deformasyon durumu

Temel deformasyonlar

Temel kuvvetler

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

: İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur:ve

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

: rijit cisim modlarını çıkaran (removes) transformasyon matrisidir.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

Geometriden ve küçük açılar ve yer değiştirmeler kabulünden (lineer/lineerleştirilmiş geometri – 1st order):

Lokal koordinatlar

Lokal koordinatlar

Uygunluk durumu dikkate alındı!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

Bu ilişki matris formda yazılırsa:

Deplasman transformasyon matrisi veya uygunluk matrisi

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

ve : arasındaki ilişki eleman dengesinden de bulunabilirdi:

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

Rijit modların olmadığı 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri

Rijit modların olduğu 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarÖzet

burada

ve iş konjuge çiftleri olduklarından:

veya

ÖNEMLİ!

ÖNEMLİ!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarÖzet

Lokal x’ ve y’ eksenlerinde rijit modların olmadığı eleman rijitlik matrisi

Global x ve y eksenlerinde rijit modların da olduğu eleman rijitlik matrisi

ÖNEMLİ!

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarÖzet

Temel sistemden global referans sistemine kuvvetlerin ve şekil değiştirmelerin transformasyonu.

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarRijit Cisim Modları (Rigid Body Modes)

:

:

:

:

′

′

Δ

Δ

Δ

Δ

Rijit uç bölgeleri – Global Eksenler

Deforme olabilen eleman – Global Eksenler

Deforme olabilen eleman – Lokal Eksenler

Temel sistem serbeslikleri

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

TransformasyonlarÖzet – Örnek Rijitlik Matrisi (Euler-Bernoulli Kirişi)

burada

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Rijit uç bölgeli eleman

Rijit uç bölgesiz eleman

Rijit uç bölgesiz lokal koordinatlardaki sistem

Rijit cisim modsuz eleman

Yer değiştirmeler

(Girdi)

Rijitlik matrisi ve kuvvetler

(Çıktı)

İleri Yapı Statiği – Kiriş Teorisi

Matlab ÖdeviTransformasyon Uygulaması

d1x

d1y

d2x

d2y

1

2 E = 70 GPaA = 4570 mm2

I = 34.5x106 mm4

d1x = 20 cmd1y = 40 cmd2x = 15 cmd2y = 30 cmL = 4 m

Ø = 30o

4EI/L 2EI/L 0

2EI/L 4EI/L 0

0 0 EA/L

E, A, I, L

2 boyutlu Euler-Bernoulli kirişi için rijit uç bölgelerine karşılık gelen (1 ve 2 düğümlerindeki serbestlik dereceleri), global koordinatlardaki k rijitlik matrisini bulunuz.