Simetri

Sejauh ini kita kita kenal sifat dan jenis dari gaya antar atom yang mengikat atom-atom pada sebuah kristal. Apapun jenis gaya adalah responsibel gaya kohesi atom, kristal-kristal selalu menunjukkan kesimetrisannya. Pertimbangan dari berbagai simetris sangat penting untuk menggambarkan dan bahas simetri ini.

Kita katakan bahwa sebuah geometri benda padat seperti kubus. Kubus adalah sebuah padat simetri. Apa maksud pernyataan ini? Kita lihat bahwa ada keteraturan tertentu dalam menyusun muka kubus. Sebuah gambaran dari simetri adalah sebuah cara untuk menggambarkan keteraturan dari susunan muka padat.

Kita mulai dengan kubus yaitu dengan meletakkan satu muka (muka ABCD pada gambar 1.9) pada meja. Kita melihat bahwa 4 bagian muka menjadi vertikal dan persimpangan dari 4 muka adalah 4 garis vertikal DH, AE, CG, dan BF yang sejajar dengan yang lain. Jika kita membuat satu persimpangan sisi vertikal, ini secara otomatis bahwa 4 muka akan menjadi bidang vertikal. Dapat disimpulkan bahwa 4 muka ini dikaitkan pada tiap-tiap yang lain dalam beberapa cara. keEmpat muka ini dikatakan daerah dan arahnya sejajar pada persimpangan sis yang disebut sumbu zona. Sebagai contoh, pada garis DH, AE, CG, dan BF diartikan sebuah sumbu daerah yang sejajar dengan 4 muka.

Jika kita memutar kubus pada garis vertikal ( sejajar dengan titik potong ) dan melalui pusat muka horizontal, itu merupakan satu putaran penuh 360 derajat (atau 2phi ), dan kita dapatkan 4 posisi dari kubus yang serupa dengan posisi aslinya. Sebuah fakta jika kita memutar kubus 90 derajat dari posisi asli, kita tidak akan dapat mengenal posisi awalnya. Tiap putaran phi per 2 ...........atau posisi yang kongruen. Sumbu Putaran ini disebut sumbu simetri dan ketika 4 posisi yang sama dalam satu putaran penuh, ini disebut sumbu simetri kelipatan 4, liat gambar 1.10. kemungkinan hasil nya. Jika sebuah putaran melalui 2phi/n pada sumbu dengan posisi yang sama, sumbu ini disebut sumbu simetri kelipatan-n. Jika n=1, kristal akan diputar 3600 untuk mencapai kongruen. Seperti sumbu yang dapat juga disebut sumbu identitas dan setiap kristal memiliki angka tak terhingga dari sumbu. Jika n=2, kristal akan diputar 1800 untuk mencapai kongruensi dan sumbu disebut sumbu diad. Itu dinotasikan dengan simbol ● (gambar 1.11). jika n=3 sesuai sudut putaran 1200. Sumbu disebut triad dan dinotasikan dengan simbol ▲

(gambar 1.12). jika n=4, dengan sudut putaran 600 disebut tetrad dan dinotasikan dengan ♦. Jika n=6, sudut 900 dari putaran 600 dan sumbu disebut hexad dan dinotasikan dengan simbol ●

Salah satu model padat (dari kaca, tanah, clay, dsb) dimana n nilainya 1,2,3,4,5,6,7,8, dsb. Tetapi, kristal padat dibuat di laboratorium atau dibuat di alam sperti 1,2,3,4 dan simetri keliptan 6. Itu tidak menunjukkan kelipatan lima atau sumbu simetri yang lebih tinggi dat 6. Alasan nya karena ini tidak sulit untuk dicari. Sebuah kristal tidak hanya benda padat tapi salah satu atom internal atau molekul yang tersusun priodik dalam tiga dimensi, dan pengulangan identik dari satuan yang dapat dilakukan ketika berada pada sumbu 1,2,3,4 dan kelipatan 6.

Tidak mungkin membawa seperti kristal ke dalam susunan periodik pada operasi sumbu simetri dari 1,2,3,4 dan sumbu kelipatan (gambar 1.13). sebuah molekul tunggal memiliki derajat putaran simetri tetapi tidak sama untuk kristal. Sebagai contoh, kita dapat membuat kristal dari molekul yang mempunyai sumbu putaran kelipatan lima, tetapi kristal itu sendiri tidak dapat mempunyai sumbu putaran kelipatan lima seperti Gambar 1.13(e). Jika membuat susunan priodik seperti kristal yang mempunyai simetri kelipatan lima, pentagon tidak akan terhubung rapat tanpa adanya celah. Itu berarti Sumbu simetri kelipatan lima tidak ada didalam kristal. Sama sperti kelipatan 7 dan sumbu simetri kelipatan 8(gmbar 1.13(g) dan (h)); itu semua juga tidak ada didalam kristal.

Mari kita mulai belajar mengenai kubus yang memiliki perbedaan sumbu simetri yang dimilikinya. Pada tempat pertama dikatakan bahwa kubus mempunyai 3 sumbu simetri kelipatan 4, satu normal untuk tiap2 3 pasangan muka sejajar. Putaran kedua dari kubus diagonal padat melalui 1200 pada posisi kongruensi. Ini adalah sumbu dari kelipatan 3 yaitu triad (gambar 1.12). pada 4 padat diagonal kubus dan 4 triad. Akhirnya, garis yang menghubungkan titik tengah dari sepasang sisi sejajar berlawanan pada sumbu diad(gambr 1.11). 12 tepi kubus dan dua sisi sejajar pada sumbu 6 diad. Sehingga kubus memiliki sumbu simetri :

Berbagai jenis simetri juga ditunjukkan pada kubus yaitu simetri bilateral. Kristal dibagi menjadi 2 bagian yang sama yaitu setengah refleksi dari setengah sepanjang bidang, jika kita memotong kristal sepanjang bidang dan diletakkan diatas cermin, bayangan akan dihasilkan dari setengah kristal. Bidang

itu disebut bidang simetri dan dihasilkan dengan simbol m (bidang kaca). Didalam kubus terdapat 3 bidang simetri yang sejajar menghadap kubus seperti pada gambar 1.14 dan 1.16.

Selain itu, kubus juga memiliki 6 diagonal bidang simetri. Salah satu nya bidang pada gambar 1.17. bidang ini dibentuk dari sepasang sisi berlawanan yang sejajar. Seperti diad yang memiliki 6 pasang sisi seperti gambar 1.18. sehingga kubus memiliki (3+6) = 9 bidang simetri.

Terdapat bidang simetri yang jelas . bidang simetri tidak hanya membagi kristal diatas 2 bagian yang sama, tapi 2 bagian tsb disesuaikan dengan bayangan cermin pada tiap2 bidang. Jika kita letakkan tangan kiri ke kaca, bayangan yang dihasilkan adalah tangan kanan. Tangan kanan dan kiri adalah gambaar enentiomorphos yang realtif terhadap posisi yang sesuia dari titik yang berbeda. Dengan kata lain, tangan kanan dan kiri tidak kongruen, gambar dan coincidence, ari dua ganbar tidak dapat dicaai,(katakan, bahwa menjaga telapak tangan menghadap pengamat). Perbedaan ini, sumbu rotasi dihasilkan pada tangan kiri di sudut yang berebeda dari putaran dan tidak mengubah pada tangan kanan. Kadang2 dapta dikatakan bahwa ssumbu putaran adalah operasi pertama untyk menghasilkan posisi kongruen, dan bidang simetri adalah operasi kedua untuk mneghasilkan dgambar entiomorphos.

Cicri kubus berikutnya disebut pusat simetri atau pusat inversi (simbol I, dibaca 1 bar). Pusat simetri pafa titik kristal adlaah jika garis ditarik dari titk dan dihasilkan jarak sama pada sisi yg lain dari pusat, dalam hal analisis geometri, jika pusat simetri diambil dari titik x , y, z, maka titik sama pada x,u,z bar. Pusat simetri menggambarkan refleksi melalui titik dari refleksi bidang. Dapat dikatakan bahwa pusat simetri menyebabkan sepasang sejajar menghadap sisi yang berbeda dari kristal. Selanjutnya, pusat simetri juga merupakan operasi kedua yang menghasilkan gambar enentiomorphos. Dengan demikian simetri kristallografi dari kubus adalah

pada tahap ini ingin menanyakan apakah mungkin untuk menggambarkan unsur-unsur simetri semua padatan kristal dalam hal unsur2 simetri pada sumbu simetri , bidang simetri dan hanya pusat simetri. Sebelum menjawab ini, anggap kristal adalah tetrahedron teratur. Jelas bahwa garis yang tegak lurus dari setiap sudut yang berlawanan menghadap triad. Demikian juga pada bidang AGB yang membagi tetrahedron menjadi 2 bagian, dari bidang simetri. Tetapi hubungan antara 6 sisi tidak jelas. Dengan sepasang sisi yang berlawanan AD dan BC, kita

bisa membayangkan sumbu ganda melalui titik tengah E dan F sehingga putaran 180 akan membawa titik a ke d dan titik b berhimpit dengan titik c. Sehingga akan di tuntut bahwa sumbu 3 diat.jika kita memutar ef 90 kemudian menggunakan operasi simetri pusat. Inversi melalui titik pusat tetrahedron ,kita lihat bahwa oprasi gabungan ini membuat titik d berhimpit titik c dan juga titik a dan b.selanjutya putaran 90 dan inversi melalui pusat akan membawa titik c tepat berhimpit dengan a.2 oprasiputaran 90 dan inversi melalui pusat membawa titikd dengan berhimpitdengan a, sebuah oprasi yang di capai oleh putaran sederhana 180. Selanjutnya, jiak kita memulai dengan tangan kiri di B. Itu jelas bahwa sumbu FE sumbu ganda, tetapi itu bukan slah satu sumbu sederhana. Itu merupakan gabungan dari putaran dan inversion dan disebut putaran –inversi sumbu ganda. Dan digambarkan dengan sumbu 4 bar. Digambarkan dengan putaran 90 dan inversi memalui pusat. Pada sebuah kemirpan cara ,2,4 dan sumbu simetri kelipatan 6, yang menggambarkan, berturut-turut putaran 360, 180, 120, 90, dan 60, diikuti oleh inversi melalui pusat. Ini simteri baru yang menrupakan gabungan sumbu simteri, yang juga disebut sumbu putaran inversi. Itu adalah kemungkinan untuk menjelaskan unsur2 simetri dari sebuah kristal padat yang digabungkan dari unsur2 simetri :

(pusat simetri 1 dan kita bahwa 2 = m, dimana 2 tegak lurus dengan bidang kaca).

1.12. konsistensi operasi simetri

Selanjutnya adalah kombinasi alami dari elemen simetri yang ada di kristal padat. Jika tidak terbatas, maka akan menjadi sebuah angka infinite dakombinasi, n diad, triad, tetrad, atau hexad atau kombinasi dimana n yaitu 1,2,3,4,5. Kemudian, sebuah bayangan dari angka bidang simetri. Kita lihat bahwa hanya angka yang dibatasi dari unsur2 simetri didalam sebuah padat seperti kubus. Ini karena ada benda, unsur2 reaksi simetri pad tiap yang lain, dan jenis operasi simetri harus dari konsisten nya sendiri. Dapat diartikan bahwa jelas dari

bu simteri normal pada bidang simetri seperti pada gambar 1.20. kita lihat bahwa ini adlah konsisten sendiri tidak ada sumbu simetri diad, triad, tetrad, atau hexad. Putaran bidang melalui sumbu simetri 2phi/n pada sumbu bidang dan tidak ada bidang bar..,kjhg u. Kemudian, bayangan sumbu hanya perpanjangan dalam panjang dari garis yang sama dan tidak menghasilkan sumbu simmetri baru. Satu-satunya cara yang

mungkin ini bisa terjadi adalah ketika sumbu simetri normal terhadap bidang simetri.

(i) Pertimbangkan sumbu triad tunggal. Hal ini dimungkinkan seperti padat rhombohedron . bayangan baru sumbu triad kedua menjadi gambaran dan cenderung sebelumnya sudat triad . apakah kombinasi dari dua triad itu konsisten? Tidak , alasannya adalah bahwa jika sumbu pertama adalah triad , setiap hal di sekitarnya harus dibawa ke posisi kongruensi melalui putaran 1200 . Oleh karena itu harus ada kelompok tiga triad putaran triad asli, sama-sama cenderung untuk itu dapat dikatakan bahwa ketepatan dengan satu sama lain setelah rotasi 1200. Hal ini dapat disimpulkan bahwa kita membawa satu triad cenderung ke triad asli, kita harus memiliki kelompok tiga triad sama cenderung ke triad asli . Selanjutnya , kelompok ini dari tiga triad harus berinteraksi satu sama lain dan triad asli . Hal ini jelas bahwa kelompok empat triad begitu saling bertautan satu sama lain , bahwa jika kita mempertimbangkan satu sumbu pada suatu waktu , kami mencatat bahwa tiga lainnya sama-sama cenderung untuk itu sehingga menghasilkan kongruensi untuk setiap rotasi 1200 di sekitarnya . Hal ini dapat terjadi ketika mereka semua sama-sama cenderung sama lain . Hal ini dapat ditunjukkan bahwa sudut kemiringan ini adalah 70 032 ' . Ini justru arah empat Diagonal padat kubus , yang sama-sama cenderung satu sama lain di ruang angkasa. Dengan demikian tidak mungkin untuk memiliki kelompok simetri dengan dua triad atau dengan tiga triad . Jika lebih dari satu hadir , harus ada empat triad berorientasi sesuai , dan bentuk ini konsisten.

(ii) Misalkan ada bidang simetri dan satu sumbu cenderung itu di sudut lain selain 900 , lihat gambar 1.21 . apakah kombinasi dari satu bidang dan satu sumbu yang konsisten ? Jelas, bidang simetri ( dalam gambar jejak bidang telah ditunjukkan ) akan mengulangi sumbu yang merupakan bayangan cermin dari yang sebelumnya . Selanjutnya muncul pertanyaan tentang interaksi sumbu pada bidang simetri . Misalkan itu adalah sumbu diad . Dalam rangka untuk memenuhi simetri ganda dari diad itu, harus ada bidang lain m ' sama berorientasi pada sumbu seperti bidang m asli . Demikian pula, sumbu simetri lain ( dibentuk sebagai gambar) juga akan berinteraksi pada bidang simetri untuk menghasilkan itu dengan sesuai . Sekarang bidang baru m ' akan bereaksi pada sumbu simetri yang dihasilkan sebelumnya . Interaksi ini akan berlangsung . Jika kecenderungan sumbu asli dan bidang yang ada disetiap sudut, ini akan menghasilkan jumlah angka diad yang tak terbatas dan bidang , sebuah

keadaan yang jelas tidak mungkin. Sekarang asumsikan bahwa sudut inclunation adalah 450 . Dengan berinteraksi satu sama lain kita melihat bahwa mereka menghasilkan konsisten diri dan satu set terbatas dua bidang dan dua diads saja. Dengan terus beroperasi pada satu sama lain mereka tidak menghasilkan elemen simetri baru. Ini set elemen simetri membentuk kemungkinan kombinasi .

(iii) Dapatkah kita memiliki dua bidang simetri sejajar satu sama lain pada jarak tetap terpisah dalam padatan geometris terbatas? Tidak, karena pengoperasian satu bidang di sisi lain akan menghasilkan third, dan seterusnya hingga tak terbatas. Demikian pula, untuk dua sumbu simetri sejajar satu sama lain, padat yang harus jauh diperpanjang dan karenanya kombinasi ini tidak mungkin.

Dari contoh-contoh sederhana, kami melihat bahwa kombinasi elemen simetri harus menjadi diri yang konsisten sehingga hasil dari penerapan salah satu dari operasi, atau jumlah mereka bersama-sama, akan membawa benda ke dalam diri kebetulan. Jenis Operasi ini membentuk kelompok dalam arti matematika.

Sekarang pada tahap ini wajar untuk bertanya, berapa banyak cara yang berbeda yang mungkin untuk menggabungkan unsur-unsur simetri yang berbeda dalam suatu benda padat secara konsisten? Kami telah melihat bahwa konsistensi diri membatasi jumlah kemungkinan kombinasi . Hal ini juga harus dicatat bahwa dalam figur yang geometris terbatas , semua sumbu simetri dan setiap bidang simetri melewati titik tetap . titik ini dapat disebut pusat kelompok . Pengoperasian kelompok elemen simetri sehingga meninggalkan titik ini tidak berpindah . Karena semua elemen simetri melewati titik tetap , kelompok elemen simetri sering disebut grup titik . Oleh karena itu pertanyaan nya berapa banyak kelompok titik yang mungkin? Jawabannya adalah bahwa jumlah kemungkinan kombinasi dari unsur-unsur simetri ( dalam keterbatasan di atas) adalah 32 . Jumlah ini merupakan juga kemungkinan kelas kristal , termasuk kelas yang sama sekali asimetris . Satu sistematis dapat bekerja di luar 32 kelas kristal bp model bangunan , atau dengan memperlakukan masalah sebagai satu matematika seperti dalam teori grup . Sebuah metode piktorial mudah yang menggambarkan simetri adalah dengan menggunakan metode proyeksi stereographic . Dalam bab berikutnya kita akan mengikuti asal metode ini dan mempelajari 32 kelas kristal.