Contents1 UVOD......................................................................................................................................3

2 ELEMENTI EES.....................................................................................................................4

2.1 TROFAZNI TRANSFORMATORI.................................................................................4

2.1.1 Tablica trofaznih dvonamotajnih transformatora..........................................5

2.1.2 Sprege trofaznih transformatora....................................................................7

2.2 TROFAZNI VODOVI....................................................................................................11

2.2.1 Proračun impedansi vodova........................................................................12

3 KRATKI SPOJEVI................................................................................................................26

3.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE O EES S KVAROVIMA...........................................27

1 UVOD

Kratak spoj podrazumeva međusobno direktno povezivanje tačaka različitih faza sa ili bez njihovog povezivanja sa zemljom (neutralnim provodnikom), odnosno tačkom referentnog potencijala R. Proračun kratkih spojeva predstavlja jednu od najznačajnijih i najšire korišćenih energetskih funkcija u upravljanju distributivnim mrežama. Ona se koristi samostalno, ili kao moduo u okviru drugih energetskih funkcija.

Standarni algoritmi koji se koriste za proračun kratkih spojeva u prenosnim mrežama zasnivaju se na primeni matrice admitansi. U ovim algoritmima se matrica admitansi faktoriše i na osnovu nje izračunavaju se sve potrebne vrednosti za proračun kratkog spoja. Pri primeni ovakvih algoritama u distributivnoj mreži nailazi se na dva problema. Prvi se odnosi na numeričku nestabilnost matrice admitansi pri faktorizaciji. Specifičnost distributivne mreže je u tome što u njoj postoje vrlo kratke (1 m) i veoma dugačke (par desetina kilometara) deonice. Odnos vrednosti dijagonalnih elemenata matrice koji odgovaraju čvorovima gde je vezana kratka, odnosno, dugačka deonica može biti i preko 10000, što pri postupku faktorizacije može dovesti do gubitka malih vrednosti, sto na kraju proračuna daje netačne rezultate. Drugi problem je velika dimenzija matrice s obzirom na realne dimenzije distributivnih mreža, čime se bez obzira na primenu tehnike retkih matrica dobija model koji je nepodesan za obradu, jer svi proračuni dugo traju i vreme obrade ima kvadratnu zavisnost u odnosu na broj čvorova mreže. Navedeni problemi su uslovili razvoj specijalizovanih algoritama za proračune kratkih spojeva u distributivnim mrežama. Osnovna karakteristika ovih algoritama je da su namenski razvijeni za radijalne mreže i da se njihova efikasnost zasniva pre svega na radijalnoj strukturi distributivnih mreža.

Nezavisno od tipa algoritma koji se primenjuje za proračun kratkih spojeva u distributivnim mrežama, vrši se uobičajena dekompozicija režima sa kratkim spojem na režim distributivne mreže pre kratkog spoja i režim fiktivnog (Δ) kola, koji je u opštem slučaju trofazan nesimetričan sa nesimetrijom istog karaktera kao što je i nesimetrija režima distributivne mreže sa kratkim spojem. Fiktivno kolo je pasivno, osim na mestu kratkog spoja. Raspolažući sa režimom distributivne mreže pre kratkog spoja, kao i sa proračunom trofaznog fiktivnog kola , njihovim superponiranjem dobija se režim distributivne mreže sa kratkim spojem.

Postoje četiri (pet) osnovnih vrsta kratkih spojeva: jednofazni kratak spoj, dvofazni kratak spoj bez zemlje, dvofazni kratak spoj sa zemljom, trofazni kratak spoj bez zemlje (trofazni kratak spoj sa zemljom). Navedeni kratki spojevi će biti detaljno objašnjeni u ovom radu.

U drugoj glavi obrađeni su elementi elektroenergetskih sistema (transformatori i vodovi). Detaljno su izvedene formule za računanje impedansi vodova u zavisnosti od prisustva i broja neutralnih provodnika. U trećoj glavi obrađeni su kratki spojevi: formulisanje problema kratkih spojeva, dekompozicija kola sa kratkim spojem na kolo pre ktratkog spoja i fiktivno (Δ) kolo, obrada različitih vrsta kratkih spojeva, izvođenje izraza za računanje struja na mestu kratkog spoja. U četvrtoj glavi urađena je verifikacija numeričkih proračuna.

2 ELEMENTI EES

Elementi elektroenergetskih sistema su generatori, transformatori, vodovi i potrošači. U ovoj glavi opisani su transformatori i vodovi – kablovi i vodovi golih provodnika.

2.1 TROFAZNI TRANSFORMATORI

Energetski transformatori primarno služe za podizanje napona na odgovarajući nivo čime se smanjuje struja potrebna da bi se prenela ista snaga kroz prenosnu mrežu. Cilj je da se smanje gubici aktivne snage u prenosu smanjenjem struje. Postoje i druge primjene kao što su: regulacija napona i reaktivnih snaga, regulacija aktivnih snaga (pomjerači faze) itd. U ovom dijelu je opisana konstrukcija (uticaj konstrukcije transformatora na pogonske parametre), ekvivalentne šeme i matematički model transformatora.

Transformatori su statički uređaji koji rade na principu elektromagnetne indukcije s ciljem da transformišu napon i struju između dva ili više namotaja pri istoj frekvenciji. Pri tome potrebno je da se preneta snaga između namotaja što manje degradira. U cilju smanjenja degradacije snage energetskih transformatora razvile su se nove konstrukcije jezgara, namotaja, kućišta kao i sistema za hlađenje.

Transformator u pogledu konstrukcije sastoji se od: magnetnog kola, namotaja, izolacije, kućišta, dodatne opreme (izolatori, konzervatori, sistem za hlađenje itd.).

Jezgra transformatora obično se prave od hladnovaljanih magnetno orijentisanih limova. Cilj ovakve konstrukcije je smanjenje reluktanse – magnetne otpornosti i gubitaka. Prolaskom magnetnog fluksa kroz jezgro indukuju se vrtložne (Fukove) struje koje stvaraju gubitke u transformatoru. Ti gubici su srazmjerni kvadratu napona dovedenog na namotaj. Pored gubitaka usled vrtložnih struja postoje i gubici koji su posledica histerezisa. Ti gubici su posledica uložene energije da se promjeni gustina polja u jezgru (broj promjena u sekundi jednak je frekvenciji napona namotaja). Postoje i gubici usled rasutog fluksa jezgra koji se smanjuju efikasnim konstrukcijama transformatora.

Namotaji se prave od izolovanih bakarnih ili aluminijumskih provodnika koji formiraju navojke. Namotaji treba da zadovolje određene mehaničke i termičke karakteristike. Postoje razni načini motanja namotaja u konstrukcijama energetskih transformatora, s ciljem da se smanje gubici. U namotajima se javljaju gubici koji su posledica proticanja struje i gubici usled rasutog fluksa. Posmatrajući ukupne gubitke u transformatoru, može se zaključiti da su gubici u jezgru približno konstantni, dok gubici u namotajima zavise od opterećenja.

Postupak za eksperimentalno određivanje parametara pogonskih šema trofaznih dvonamotajnih transformatora zasniva na eksperimentima kratkog spoja i praznog hoda.

U slučaju trofaznih transformatora mogu da se izvrše dva eksperimenta kratkog spoja – po jedan sa svake njegove strane. Oni su međusobno ekvivalentni pošto vode ka istoj impedansi kratkog spoja. Po definiciji, napon kratkog spoja ukx , x=1,2 , predstavlja modul faznih simetričnih napona pozitivnog redosleda, koji su dovedeni na jednu stranu, pri čemu su fazni priključci na drugoj strani trofaznog transformatora međusobno i kratko spojeni s tačkom nultog potencijala/zemljom, koji izazovu nominalne fazne struje na stani

transformatora na koju su dovedeni naponi (i one su simetrične direktnog redosleda).Gubicima (snagom gubitaka) kratkog spoja, ili nominalnim gubicima u bakru transformatora, nazivaju se trofazni gubici aktivne snage u eksperimentu kratkog spoja.

Eksperimenti praznog hoda kod trofaznih transformatora izvode se dovođenjem trofaznih simetričnih napona direktnog redosleda, nominalnih modula na jednu stranu prilikom ogleda naziva se struja praznog hoda. Trofazne gubitke u praznom hodu predstavljaju gubici u gvožđu transformatora. Moguća su dva takva eksperimenta, sa svake strane po jedan. Podaci koji su izračunati u ogledima praznog hoda i kratkoj spoja predstavljaju osnovne nominalne podatke i prikazani su u tablicama trofaznih transformatora.

2.1.1 Tablica trofaznih dvonamotajnih transformatora

Osnovni nomunalni podaci trofaznih dvonamotajnih transformatora, s kojima se u potpunosti mogu rekonstruisati tri pogonske šeme koje se uobičajeno koriste za prikaz transformatora u modelima elektroenergetskih sistema, sadržani su u tablici transformatora.

Ti podaci su:

1. Trofazna nominalna prividna snaga (ista za obe strane transformatora) –

Sn [ kVA, MVA ] ; jednaka je trostrukoj faznoj nominalnoj snazi; potrebna je prilikom

izračunavanja modula pogonske impedance kratkog spoja;2. Linijski nominalni naponi – Vn1 i Vn2 [ kV ]; jednaki su faznim nominalnim naponima

(Un1 i Un2, respektivno) pomnoženim sa √3; potrebni su za izračunavanje modula odnosa transformacije idealnih transformatora, kao i za izračunavanje modula pogonskih impedansi kratkog spoja i praznog hoda;

3. Fazne nominalne struje – In1 i In2 [ A ]; potrebne su radi izračunavanja pogonske impedance magnećenja;

4. Napon kratkog spoja – uk [ % ]; potreban je za izračunavanje modula pogonske impedanse kratkog spoja;

5. Trofazni gubici kratkog spoja – PCu [ kW ]; jednaki su trostrukoj vrednosti faznih gubitaka; potrebni su radi razgraničavanja rezistanse i reaktanse pogonske impedanse kratkog spoja transformatora;

6. Fazna struja praznog hoda – i0 [ % ]; potrebna je za izračunavanje modula pogonske impedanse magnećenja; ako je u pitanju transformator sa trostrukim magnetnim kolom onda su potrebne dve vrednosti – za simetričan režim direktnog (inverznog) i nultog redosleda;

7. Trofazni gubici praznog hoda – P0 [ kW ]; jednaki su trostrukoj vrednosti faznih gubitaka; potrebni su radi razgraničavanja rezistanse i reaktanse pogonske impedanse magnećenja transformatora; ako je u pitanju transformator sa trostubnim magnetnim kolom, onda su potrebne dve vrednosti – za simetričan režim direktnog i nultog redosleda;

8. Sprega i sprežni broj – kd; potrebni su radi izračunavanja faznog pomaka (šiftovanja) odnosa transformacije u pogonskim šemama trofaznog transformatora, za simetrične režime ne samo direktnog već i inverznog i nultog redosleda.

Na osnovu nominalne snage i nominalnih napona VN i NN strane transformatora, mogu se odrediti fazne nominalne struje VN i NN strane transformatora (mada su one već zapisane na tablici transformatora):

I n1=Sn / (√3V n1 ) , I n2=Sn / (√3 V n 2) . (2.1.1.1)

Modul odnosa transformacije idealnog transformatora je:

V n 1/V n 2 . (2.1.1.2)

Sprežni broj u pogonskoj šemi transformatora za simetrične režime direktnog redosleda je kd, a za inverzni je:

k i=12−kd ili ki=−kd . (2.1.1.3)

Sprežni broj u pogonskoj šemi transformatora sa spegom Yy, za simetričan režim nultog redosleda, iznosi:

k i=12−kd ili ki=−kd . (2.1.1.4)

Sprežni broj u pogonskoj šemi transformatora sa spregom Yy, za simetričan režim nultog redosleda, iznosi:

k 0=0 , za sprege Yy0, 4, 8,6, za sprege Yy2, 6, 10, (2.1.1.5)

a za sprege Yd (Dy) i Dd ne mora se ni definisati.

Modul pogonske impedanse kratkog spoja iznosi:

Zk=uk [ % ] V n1

2

100 Sn

, (2.1.1.6)

dok su rezistansa i reaktansa:

Rk=PCuV n1

2

100 Sn , X k=√Zk

2−Rk2 . (2.1.1.7)

Kada se radi o trofaznom transformatoru s (četvoro ili) petostubnim magnetnim kolom, odnosno s nezavisnim magnetnim kolima, na osnovu struje praznog hoda za simetrični režim direktnog redosleda, jednostavno se izračunava modul pogonske impedance magnećenja:

Zm=V n1

i0 [% ] √3 I n1

⋅100 . (2.1.1.8)

Ako se poznaju odgovarajući gubici u gvožđu i ako je pogonska impedansa magnećenja predstavljena kao paralelna veza otpornosti i induktivnosti, tada odgovarajuća rezistansa i reaktansa iznose:

RFe=V n 1

2

P0

,

X μ=V n 1

2

P0 tg ϕ0

. (2.1.1.9)

Kada je pogonska impedansa magnećenja predstavljena u vidu redne veze otpornosti i induktivnosti, tada odgovarajuća rezistansa i reaktansa iznose:

Rm=RFe Xμ

2

RFe2 + Xμ

2,

X m=RFe

2 X μ

RFe2 + Xμ

2. (2.1.1.10)

2.1.2 Sprege trofaznih transformatora

Namotaji trofaznih transformatora međusobno se električno povezuju na više načina: u trougao, zvezdu ili u slomljenu zvedu. Sa svake strane transformatora na njegovo kućište se izvode po tri priključka (odnosno četiri, u slučaju povezivanja u zvezdu s izvedenim zvezdištem). Preko tih priključaka trofazni transformator se priključuje na sistem u koji se ugrađuje. Ako su namotaji transformatora tako povezani i njegovi priključci tako izvedeni,a njegovo priključenje u elektroenergetski sistem u simetričnom režimu ne poremeti simetriju režima tada se za taj transformator kaže da ima određenu spregu. Spregama se sitematski unose fazni pomaci – fazni uglovi između korespodentnih fazora napona i struja na obe strane transformatora.

Svaka sprega se označava kombinacijom slova i brojeva. Prvo slovo u oznaci je veliko i označava način povezivanja VN namotaja, a drugo je malo i označava način povezivanja NN namotaja. Broj u oznaci se naziva sprežni (satni) broj. On se isključivo odnosi na simetrične režime direktnog redosleda. Sprežni broj označava koliko puta po π/6 rad (30o) fazor fazne elektromotorne sile pridružene NN strani kasne za odgovarajućim fazorom VN strane, kada se transformator nalazi u simetričnom režimu direktnog redosleda.

Slovne oznake koje se koriste za iskazivanje nacina povezivanja trojki namotaja na istoj strani transformatora su:

Y ili y – za namotaje povezane u zvezdu,D ili d – za namotaje povezane u trougao,Z ili z – za namotaje povezane u slomljenu zvezdu.

Sprežni broj za sprege koje se dobijaju povezivanjem namotaja u zvezdu ili trougao, pripada skupu od dvanaest elemenata koji su prirodni brojevi – 0 , 1 ,2 ,…,11. Povezivanjem namotaja VN i NN strane na isti način (Yy i Dy), dobijaju se sprege s parnim sprežnim brojevima, a na različite načine (Yd i Dy), sprege s neparnim sprežnim brojevima:

Yy, Dd: 0, 2, 4, 6, 8, 10; Yd, Dy:1, 3, 5, 7, 9, 11. (2.1.2.1)

Pogonske šeme trofaznih transformatora za simetrične režime direktnog i inverznog redosleda su topoloski iste bez obzira na tip sprege koji je u pitanju. Razlika postoji kod šema za nulti redosled. Pogonske šeme trofaznih transformatora sprege tipa Yd (Dy), za simetrične režime direktnog i inverznog redosleda, prikazane su na slikama 2.1.2.1. Pomaci faza koji se tim spregama unose razlikuju se od sprege do sprege, a unutar iste sprege, razlikuju se fazni pomaci za simetrične režime direktnog i inverznog redosleda.

a

xaU ˆ

A

xAU ˆ

R

1xmZ ˆ

1xmI

xAI 1Z ˆ

2Z ˆ xaI

1:)/( 6/xjkn2n1 eVV

(a)

1xmZ ˆ

1xmI

a

xaU ˆ

xaI A

xAU ˆ

R

xAI 1Z ˆ 1

2Z ˆ

1:)/( 6/xjkn2n1 eVV

(b)

axaI

1xmZ ˆ

1xmI

A

xAU ˆ

R

xAI

1kZ ˆ

xaU ˆ

1:)/( 6/xjkn2n1 eVV

(c)

xaI

xaU ˆ

A

xAU ˆ

R

a

1:)/( 6/xjkn2n1 eVV

xAI

1kZ ˆ

(d)

Slika 2.1.2.1 – Pogonske šeme trofaznih transformatora za simetrične režime direktnog (x=d) i inverznog redosleda (x=i), za sve sprege tipa Yy Yd (Dy) i Dd: a – šema s

1omZ ˆ

1omI

A

oAU ˆ

R

oAI

1Z ˆNZ3 ˆ a

oaI

nZ3 ˆ2Z ˆ

oaU ˆ

1:)/( 6/ojkn2n1 eVV

(a)

oaU ˆ

oaI a

1omZ ˆ

1omI

A

oAU ˆ

R

oAI

1Z ˆNZ3 ˆ 1

nZ3 ˆ12Z ˆ

1:)/( 6/ojkn2n1 eVV

A

oAU ˆ

R

oAI o

aI a

oaU ˆ

1kZ ˆ )ˆˆ( 1

nN ZZ3 1:)/( 6/ojk

n2n1 eVV

(b)

(c)

razdvojenim impedansama VN i NN strane; b – šema s parametrima koncentrisanim na VN strani; c – šema s koncentrisanom impedansom kratkog spoja na VN strani i d – šema s

potisnutom (zanemarenom) impedansom magnećenja.Pogonske šeme za simetrične režime nultog redosleda trofaznih dvonamotajnih

transformatora sprege Yy prikazane su na slikama 2.1.2.2. I one se mogu dati u više varijanti, zavisno od veličine impedanse magnećenja, itd.

Slika 2.1.2.2 – Pogonske šeme trofaznih transformatora za simetrične režime nultog redosleda za sve sprege tipa Yy: a – s razdvojenim impedansama VN i NN strane; b – s parametrima koncentrisanim na VN strani; c – s potisnutom impedansom magnećenja i

koncentisanom impedansom kratkog spoja na VN strani.

0ˆ oaI a

oaU ˆ

A

oAU ˆ

R

oAI

1okZ

1:)/( 6/ojkn2n1 eVV

oIˆ

0ˆ oU

0ˆ oaI a

oaU ˆ1o

mZ ˆ1omI

A

oAU ˆ

R

oAI

1Z ˆNZ3 ˆ

oIˆ

2Z ˆ

1omZ ˆ

1omI

A

oAU ˆ

R

oAI

1Z ˆNZ3 ˆ

1:)/( 6/ojkn2n1 eVV

0ˆ oU

0ˆ oaI a

oaU ˆ

1omZ ˆ

1omI

A

oAU ˆ

R

oAI

12Z ˆ

NZ3 ˆ1Z ˆ

0ˆ oaI a

oaU ˆ

(c)

Pogonske šeme transformatora sprege Yd (Dy), za simetrične režime nultog redosleda, prikazane su na slici 2.1.2.3. Sa α i β su označeni krajevi (a, b ili c) namotaja trougla NN strane koji se nalazi na stubu na kojem se na VN strani nalazi namotaj zvezde, na koji je priključena faza A.

2.2

Slika 2.1.2.3 – Pogonske šeme trofaznih transformatora za simetrične režime nultog redosleda za sve sprege tipa Yd (Dy): a – s razdvojenim impedansama VN i NN strane; b – s

(d)

(b)

(a)

Z21

0ˆ oaI a

oaU ˆ

A

oAU ˆ

R

0ˆ oAI

parametrima koncentrisanim na VN strani; c – s potusnutim idealnim transformatorom; d – s koncentrisanom impedansom kratkog spoja.

Sa slike 2.1.2.3 se vidi da se struja simetričnog režima nultog redosleda kroz transformator sa spregom Yd (Dy) može uspostaviti jedino sa trrane zvezde, i to samo pod uslovom da je zvezdište uzemljeno. Simetričan ražim nultog redosleda ne može se preneti na drugu stranu transformatora, niti se na toj strani može uspostaviti. Sa slike 2.45a se može utvrditi da u trouglu namotaja transformatora postoje struje (nultog redosleda), iako ih izvan trougla nema. One se u trouglu zatvaraju u krug. Takav režim u trouglu transformatora se ne iznosi izvan njega.

Kod trofaznog transformatora sa nekom od sprega Dd, pogonske šeme za simetrične režime direktnog i inverznog redosleda identične su sa šemama za transformatore sa spregama Yy i Yd (Dy). Simetričan režim nultog redosleda se u takvom transformatoru se ne može uspostaviti.

Slika 2.1.2.4 – Pogonske šeme trofaznih transformatora za sve sprege tipa Dd, za simetrične režime nultog redosleda.

2.2 TROFAZNI VODOVI

Sekcije vodova mogu biti nadzemne i podzemne, sa izolovanim i neizolovanim provodnicima. U distributivnoj mreži podzemni vodovi su kablovski (sa izolovanim provodnicima), nadzemni su sa neizolovanim provodnicima. Upotreba jednih ili drugih zavisi od više faktora (urbanost sredine, potrebne pouzdanosti napajanja, prirodnih uslova itd.).

Kablovska (podzemna) mreža upotrebljava se u urbanim sredinama gdje postoji problem sa prostorom za izgradnju nadzemne mreže. Postavlja se na mjestima koja zahtijevaju da se ne vidi mreža, na mjestima koja zahtjevaju izolovanost (voda, zapaljivi materijali itd.). Kablovske mreže su pouzdanije od nadzemnih posmatrajući učestanost kvarova. Kablovi se postavljaju u zemlju, cijevi ili beton u zavisnosti od sredine u kojoj se nalaze.

Nadzemne mreže najčešće se grade u ruralnim sredinama. U poređenju sa kablovskom mrežom dugovečnije su i zahtijevaju manje troškove izgradnje i održavanja (jednostavnija je popravka nadzemnih vodova). Vrijeme trajanja dozvoljenih preopterećenja nadzemne mreže je duže u odnosu na kablovsku.

Najčešći materijali od kojih se prave provodnici sekcija su bakar i aluminijum sa malim specifičnim otpornostima.

Rezistanse provodnika zavise od materijala, dužine i površine poprečnog presjeka. Pri proticanju struje kroz provodnik javlja se skin efekat i efekat povećanja rezistanse sa povećanjem temperature. Skin efekat je efekat smanjenja efektivne površine kroz koju protiče struja koja je raspoređena bliže površini provodnika čime se povećava rezistansa provodnika. Neravnomjerna raspodjela struje po površini poprečnog presjeka provodnika može biti i posledica blizine drugih provodnika kroz koje protiče naizmjenična struja koja magnetnim poljem utiče na obližnje provodnike. Rezistansa provodnika linearno raste sa porastom temperature. Kablovski vodovi uglavnom imaju manje rezistanse od nadzemnih.

Reaktansa provodnika, kao proizvod induktivnosti i ugaone učestanosti, dominantno zavisi od rastojanja između susjednih provodnika. Induktivnost provodnika sastoji se od unutrašnje i spoljašnje induktivnosti. Unutrašnja induktivnost zavisi od gustine struje u provodniku dok spoljašnja induktovnost zavisi od prečnika provodnika i rastojanja od drugih okolnih provodnika. Induktivnost kablovskog voda uglavnom je manja od nadzemnog.

Kapacitivnost provodnika zavisi od rastojanja susednih provodnika, prečnika provodnika kao i sredine u kojoj se nalazi. Kapacitivnost kablovskih vodova veća je od kapacitivnosti nadzemnih.

Efekat korone koji se javlja na nadzemnim vodovima prilikom proboja dielektrične čvrstine vazduha skoro je zanemarljiv u distributivnoj mreži. Javlja se na visokim naponskim nivoima.

2.2.1 Proračun impedansi vodova

Određivanje redne impedanse za nadzemne i podzemne mreže je bitan korak u analizi distributivne mreže. Redna impedansa jednofazne, dvofazne ili trofazne mreže sastoji se od rezistanse (aktivnog otpora(omskog)) provodnika i sopstvene i međusobne induktivne reaktanse koja potiče od magnetnih polja koja okružuju provodnike.

2.2.1.1 Redna impedansa nadzemnih (vazdušnih) mreža

Induktivna komponenta impedanse (sopstvene i međusobne) je funkcija ukupnih magnetnih polja koja okruzuju provodnik. Na slici 4.1.1 prikazani su provodnici “1 do n” sa magnetnim silnicama koje stvaraju struje koje protiču kroz svaki od provodnika. Provodnici

su označeni indeksima i∈ 1,2 ,. .. , n . Struje u svim provodnicima po pretpostavci izviru iz stranice i njihova suma je nula :

I 1+ I 2+…I i+… I n=0 (2.2.1.1.1)

Ukupni fluks koji obuhvata provodnike i dat je sa:

λ i=2⋅10−7( I 1 ln1

D i1

+ I 1 ln1

Di2

+… I i ln1

GMR i

+… I n ln1

Din

)W b−t /m , (2.2.1.1.2)

gde:

Din – Rastojanje između provodnika i i provodnika n;GMRi – Geometrijski srednji poluprečnik provodnika i.

Induktivnost provodnika i sastoji se od sopstvene induktivnosti provodnika i i međusobne induktivnosti između provodnika i i svih ostalih n-1 provodnika. Vrednosti sopstvene i međusobne induktivnosti provodnika se definišu na osnovu izraza (2.2.1.1.3) i (2.2.1.1.4) respektivno:

Lii=λii

Ii

=2⋅10−7 ln1

GMR i[ H /m ] , (2.2.1.1.3)

Lin=λii

Ii

=2⋅10−7 ln1

D in[ H /m ] . (2.2.1.1.4)

2.2.1.2 Uravnotežena trofazna mreža

Prenosne mreže visokog napona su po pretpostavci trasponovane ( svaka faza ima istu fizičku poziciju za trećinu dužine voda). Uz pretpostavku transpozicije,pretpostavlja se da su faze jednako opterećene (simetrično opterećene). Sa ove dve pretpostavke moguće je kombinovati pojmove sopstvene i međusobne induktivnosti u faznu induktivnost:

Li=λ ii

I i

=2⋅10−7 lnDeq

GMR i[ H /m ] , (2.2.1.2.1)

gde je:

Deq=3√ Dab Dbc Dca , (2.2.1.2.2)

pri čemu Dab, Dbc, i Dca predstavljaju rastojanja između faza.

Uz pretpostavku da je frekvencija 60Hz, fazna induktivna reaktansa je data sa:

x i=ωLi=0 . 07539718 lnD eq

GMR i[Ω/km ] . (2.2.1.2.3)

Redna impedansa po fazi transponovane trofazne mreže koja se sastoji od jednog provodnika po fazi data je sa:

zi=ri+ j 0 . 07539718 lnD eq

GMR i[Ω/ km ] . (2.2.1.2.4)

dI

0

ddz

j

igV

iiz iIi

jgV

jjz jI

jdzidz

ijz

2.2.1.3 Neuravnotežena distributivna mreža

Pošto se distributivni sistemi sastoje od jednofaznih,dvofaznih i neutavnoteženih trofaznih mreža koje služe za prenos neuravnoteženih (nesimetričnih) opterećenja,potrebno je zadržati pojmove sopstvene i međusobne induktivnosti provodnika i uzeti u obzir povratnu petlju kroz zemlju kod nesimetričnih struja. Aktivni otpor za naizmenične struje se uzima direktno iz tabele podataka (Prilog A). Jednačine 2.2.1.1.3 i 2.2.1.1.4 se koriste za računanje sopstvenih i međusobnih induktivnih reaktansi provodnika. Induktivna reaktansa se pretpostavlja za frekvenciju od 60 Hz i provodnik duzine 1km. Uz ove pretpostavke sopstvene i međusobne impedanse su date kao:

zii=ri+ j 0 . 07539718 lnDeq

GMR i[Ω/km ] , (2.2.1.3.1)

zij=j 0 . 07539718 lnDeq

GMR i[Ω/km ] . (2.2.1.3.2)

Koeficijent 0.3048 je dodat zbog konverzije iz ft u m.

Proračun sopstvenih i međusobnih impedansi mreže, pri čemu je uzeta u obzir povratna petlja struje kroz zemlju, se vrši na osnovu Carson-ovih jednačina. Carson-ov pristup je bio prikazivanje mreže sa provodnicima vezanim na izvor na jednom kraju i uzemljenim na drugom kraju. Slika 2.2.1.3.1 ilustruje mrežu koja se sastoji od dva provodnika (i i j) u kojima teče struja ( Ii i Ij) sa udaljenim krajevima vezanim na zemlju. Fiktivni provodnik strujom Id se koristi da se prikaže povratna petlja struja kroz zemlju. Drugi Kirchhoff-ovom zakon se može napisati za konturu koju čine provodnik i i zemlja:

V ig= zii I i+ zij I j+ zid I d−( zdd I d+ zdi Ii+ zdj I j ).(2.2.1.3.3)

Grupisanjem članova u izrazu 2.2.1.3.3,dobija se:

V ig=( zii− zdi ) I i+( zij− zdj) I j+( zid− zdd ) I d . (2.2.1.3.4)

Slika 2.2.1.3.1 – Dvofazni vod.

jgv

jjz ˆ

i

igv

jgv'

j’

i’

j

iIiiz ˆ

jIigv'ijz

Prema prvom Kirchhoff-ovom zakonu za čvor 0:

I i+ I j+ I d=0 ,

I d=− I i− I j .(2.2.1.3.5)

Zamenom jednačine 2.2.1.3.5 u jednačinu 2.2.1.3.4 i grupisanjem izraza:

V ig=( zii+ zdd− zdi− zid ) I i+( z ij+ zdd− zdj− zid ) I j . (2.2.1.3.6)

Jednačina 2.2.1.3.6 ima opšti oblik:

V ig= zii I i+ z ij I j , (2.2.1.3.7)

gde su:

zii= zii+ zdd− zdi− z id , (2.2.1.3.8)

zij= zij+ zdd− zdj− zid . (2.2.1.3.9)

Slika 2.2.1.3.2 – Dvofazni vod prikazan sopstvenim impedansama i međusobnom impedansom u koje je uključena zemlja.

U jednačinama 2.2.1.3.8 i 2.2.1.3.9 impedanse su date pomoću jednačina 2.2.1.3.1 i 2.2.1.3.2. Primetimo da u ovim dvema jednačinama, efekat povratne petlje zemlje je unesen kao “primitivna“ sopstvena i međusobna impedansa mreže. Primitivno ekvivalentno kolo je prikazano na slici 4.3. Zamenom jednačina 2.2.1.3.1 i 2.2.1.3.2 u jednačine 2.2.1.3.8 i 2.2.1.3.9 primitivna sopstvena impedansa je data kao:

zii=ri+ jxii+rd+ jxdd− jx id− jxdi ,

zii=ri+r d+ j 0 .0754 ( ln0 .3048GMR i

+ ln0 .3048GMRd

−ln0.3048

Did

−ln0 .3048

Ddi

) ,

(2.2.1.3.10)

zii=ri+r d+ j 0 .0754 ( ln0 .3048GMR i

+lnD id Ddi

0 .3048 GMRd

).

Na isti način može da se razvije primitivna međusobna impedansa:

zij= jx ij+rd+ jxdd− jxdj− jxid ,

zij=rd+ j0 .0754 ( ln0 . 3048

D ij

+ ln0. 3048GMRd

−ln0 .3048

Ddj

−ln0 . 3048

Did

) ,

zij=rd+ j0 .0754 ( ln0 .3048

Dij

+lnDdj D id

0 .3048 GMRd

) .

(2.2.1.3.11)

Očigledan problem za koriščenje jednačina 2.2.1.3.10 i 2.2.1.3.11 je u tome što ne znamo vrednost otpora zemlje (rd ¿, srednju vrednost poluprečnika zemlje (GMRd ¿ i udaljenost između provodnika i zemlje (Did , Ddi , D jd , Ddj ¿ . Ovi problemi se rešeni primenom Carson-ovih jednačina.

2.2.1.4 Carson-ove jednačine

Pošto je distributivni feeder (napojni vod) nesimetrično opterećen, ne može se pretpostaviti najtačnija analiza koja se odnosi na prostornu udaljenost između provodnika, preseka provodnika i transponovanja.

Sopstvene i međusobne impedanse mogu odrediti za proizvoljan broj nadzemnih provodnika. Jednačine se, takođe, mogu primeniti na podzemne kablove.

Tehnika koju je ponudio nije prihvaćena zbog zamornih računanja koja su se morala voditi na šiberu (logaritamsko računalo) i ručno. Sa pojavom računara Carsonove jednačine se naširoko koriste. Carson je koristio slike provodnika (kao ogledala) tj.svaki provodnik na zadatoj visini iznad tla ima sliku provodnika na istom rastojanju ispod tla. To je prikazano na slici 4.4. Vezano sa slikom 4.4 orginalne Carson-ove jednačine su date u jednačinama 2.2.1.4.1 i 2.2.1.4.2.

Sopstvena impedansa provodnika i:

zii=ri+4 ωPii G+ j( X i+2 ωG lnS ii

RD i

+4 ωQ ii G) . (2.2.1.4.1)

Međusobna impedansa između provodnika i i j:

zij=4 ωPijG+ j(2 ωG lnSij

Dij

+4 ωQ ijG) . (2.2.1.4.2)

gde su:

ẑ ii– sopstvena impedansa provodnika i,

ẑ ij – međusobna impedansa izmedju provodnika i i j,

ri– rezistansa (omski otpor),

ω= 2πf –ugaona frekvencija sistema u radijanima po sekund,i,

G = 0.1∙ 10−3 Ω/ km,

RDi– poluprečnik provodnika i,

GMRi – srednji geometrijski poluprečnik provodnika i,

f – ucestanost sistema,

ρ– specificna otpornost zemlje,

Dij– rastojanje provodnika i i j,

Sij– rastojanje izmedju provodnika i i slike provodnika j,

θij– ugao između para linija crtanih između provodnika i i njegove slike i provodnika j.

X i=2 ωG lnRD i

GMR i

, (2.2.1.4.3)

Pij=π8− 1

3√2k ijcos (θij)+

k ij2

16cos (2 θij)(0 . 6728 + ln

2k ij

) , (2.2.1.4.4)

Qij=−0. 0386+ 12

ln2

k ij

+ 13√2

k ijcos (θij) , (2.2.1.4.5)

k ij=8 .565 ⋅10 - 4 S ij√ fρ

. (2.2.1.4.6)

2.2.1.5 Modifikovana Carson-ova jednačina

Modifikovane Carson-ove jednačine se dobijaju aproksimacijama jednačina 2.2.1.4.4 i 2.2.1.4.5.Urađene su dve aproksimacije nakon kojih promenljive Pij i dva člana Qij postaju:

Pij=π8

, (2.2.1.5.1)

Qij=−0. 0386+ 12

ln2

k ij

. (2.2.1.5.2)

Zamenom 2.2.1.4.3 u jednačinu 2.2.1.4.1 dobija se izraz:

zii=ri+4ωPii G+ j(2ωG lnRDi

GMR i

+2ωG lnS i

RDi

+4ωQii G ). (2.2.1.5.3)

Kombinovanjem članova u 2.3.5.3 i uprošćavanjem imamo:

zii=ri+4 ωPii G+ j2 ωG( lnS ii

GMR i

+2 Qii ) , (2.2.1.5.4)

odnosno:

zij=4 ωPii G+ j2ωG ( lnS ij

Dij

+2Q ii) . (2.2.1.5.5)

Nakon zamene P 4.27 i ω (2 πf ) jednačine 2.2.1.5.4 i 2.2.1.5.5 postaju:

zii=ri+π2 fG+ j4 π fG( lnS ii

GMRi

+2 Qii ) , (2.2.1.5.6)

zij=π2 fG+ j 4 π fG ( lnS ij

Dij

+2Qii ) . (2.2.1.5.7)

Kombinovanjem 2.2.1.4.6 i 2.2.1.5.2 dobije se:

Qij=−0. 03860 +12

ln( 2

8 .565⋅10−4 S ij√ fρ

) ,(2.2.1.5.8)

odnosno:

Qij=−0. 03860 + 12

ln( 28 .565⋅10−4

)+12

ln1S ij

+ 12

ln √ ρf

. (2.2.1.5.9)

Jednačina 2.2.1.5.9 može se redukovati na:

Qij=3 .8393 −12

lnS ij

0.3048+ 1

4ln

ρf

, (2.2.1.5.10)

ili:

2Qij=7 .6786 −lnS ij

0.3048+ 1

4ln

ρf

. (2.2.1.5.11)

Zamenom jednačine 2.2.1.5.11 u jednačinu 2.2.1.5.6 dobije se:

zii=ri+π2 fG+ j 4 πfG ( lnS ii

GMR i

+7 .6786−lnS ii

0 .3048+ 1

2ln

ρf) ,

(2.2.1.5.12)

zii=ri+π2 fG+ j 4 πfG ( ln0. 3048GMR i

+7 .6786+12

lnρf).

Zamenom jednačine 2.2.1.5.11 u jednačinu 2.2.1.5.7 dobija se:

zij=π2 fG+ j 4 πfG ( lnSij

Dij

+7. 6786−lnS ii

0 .3048+ 1

2ln

ρf) ,

zij=π2 fG+ j 4 πfG ( ln0 . 3048

Dij

+7 . 6786+ 12

lnρf) .

(2.2.1.5.13)

Zamenom π i G:

ẑ ii=r i+0.00098696 f +0.00125664 f ¿)+0.00098696 f + j 0.00125664 f ¿), (2.2.1.5.14)

ẑ ij=0.00098696 f + j 0.00125664 f ¿). (2.2.1.5.15)

Uvođenjem pretpostavke da je:

f = 60 Hz

ρ=100 Ω/m

Koristeci ove dve aproksimacije i pretpostavke, modifikovane Carson-ove jednačine su:

zii=ri+0 . 0592 + j 0 .07539 ( ln1

GMR i

+6 .74592 )Ω/km, (2.2.1.5.16)

zij=0 .0592 + j 0 .07539 ( ln1

D ij

+6 .74592 )Ω/km . (2.2.1.5.17)

Podsetimo se da jednačine 2.2.1.3.10 i 2.2.1.3.11 ne mogu da se koriste pošto su nepoznati otpori tla, GMR tla i različite visine provodnika od tla. Poređenjem jednačina 2.2.1.3.10 i 2.2.1.3.11 sa jednačinama 2.2.1.5.16 i 2.2.1.5.17 se pokazuje da modifikovane Carson-ove jednačine su definisale nedostajuće parametre. Poređenjem ova dva seta jednačina pokazuje se da:

rd=¿¿0.049348 Ω/ km, (2.2.1.5.18)

lnDid D di

GMRd

=lnDdj Did

GMRd

=7.93402. (2.2.1.5.19)

Modifikovane Carson-ove jednačine će se koristiti da se izračunaju primitivne sopstvene i međusobne impedanse nadzemnih i podzemnih mreža.

2.2.1.6 Matrica primitivne impedanse za nadzemne mreže

n’

c’

b’

n

c

a

b abz ag'V

anz

aIaaz

agVbbz

bI

bg'VbgV

cgV

ngV ng'V

cg'VcnzcIccz

nInnz ˆbnz

bczacz

a’

Jednačine 2.2.1.5.16 i 2.2.1.5.17 se koriste da za računanje elemenata nxn primitivne matrice impedanse.Nadzemni četverožični uzemljeni segment distributivne mreže spoja zvezda rezultira u 4x4 matricu. Za kablovski uzemljeni segment mreže spoja zvezda koji se sastoji od tri koncentrična neutralna kabla,rezultujuća matrica će da bude 6x6. Primitivna matrica impedanse za trofaznu mrežu sa n neutralnih provodnika će imati oblik:

zprimitive=[zaa zab zac zan1 zan2 zanm

z ba zbb zbc zbn1 zbn2 zbnm

zca zcb zcc zcn1 zcn2 zcnm

zn1a z n1b zn1c zn1n1 z n1n2 zn1nm

zn2a z n2b zn2c zn2n1 z n2n2 zn2nm

znma znmb znmc z nmn1 znmn2 znmnm

] , (2.2.1.6.1)

u podeljenom obliku, jednačina 2.2.1.6.1 postaje:

zprimitive=[ zij zin

znj znn]. (2.2.1.6.2)

2.2.1.7 Matrica faznih impedansi za nadzemne mreže

Za većinu primena primitivna matrica impedanse treba da se redukuje na 3x3 faznu okvirnu matricu koja se sastoji od sopstvenih i međusobnih ekvivalentnih matrica za tri faze. Slika 4.5 prikazuje četverožičnu uzemljenu mrežu sa neutralnim provodnikom. Standardni metod za redukciju je Kron-ova redukcija. Pretpostavka je napravljena da mreža ima neutralni provodnik uzemljen na vise mesta kao što pokazuje slika 2.2.1.7.1.Kron-ova redukciona metoda primenjena na prvi Kirchhoff-ov zakon:

Slika 2.2.1.7.1 – Trofazni vod sa neutralnim provodnikom.

[V ag

V bg

V cg

V ng]=[V ag

,

V bg,

V cg,

V ng, ]+[ zaa zab zac zan

zba z bb zbc zbn

zca zcb zcc zcn

zna z nb znc znn]⋅[ I a

I b

Ic

I n

] , (2.2.1.7.1)

u podeljenoj formi jednačina 2.3.7.1 postaje:

[V abc

V ng]=[V`abc

V`ng]+[ zij zin

znj znn]⋅[ I abc

I n]. (2.2.1.7.2)

Pošto je neutralni provodnik uzemljen naponi Vng i V’ng su nula. Zamenom ovih vrednosti u jednačinu 2.2.1.7.2 rezultat je:

V abc=V abc+zij⋅I abc+ zin⋅I n , (2.2.1.7.3)

0=0+znj⋅I abc+znn⋅I n . (2.2.1.7.4)

Rešavanjem jednačine 2.2.1.7.4 za [ In]:

I n=− znn−1⋅znj⋅I abc . (2.2.1.7.5)

Zamenom jednačine 2.2.1.7.5 u jednačinu 2.2.1.7.3:

V abc=V abc' +( zij− zin⋅znn

−1⋅znj)⋅I abc ,

V abc=V abc' + zabc⋅I abc ,

(2.2.1.7.6)

gde:

zabc= zij− zin⋅znn−1⋅znj . (2.2.1.7.7)

Jednačina 2.2.1.7.7 je konačni oblik tehnike Kron-ove redukcije. Konačna matrica impedanse

u faznom domenu postaje:

zabc=[ zaa zab zac

zba z bb zbc

zca zcb zcc] . (2.2.1.7.8)

U distributivnoj mreži koja nije transponovana, dijagonalni članovi u jednačini 2.2.1.7.7 nisu jednaki jedni drugim, a članovi izvan dijagonale neće biti jednaki jedni sa drugim. Međutim, matrica će da bude simetrična za dvofazne i jednofazne mreže koje su uzemljene i u spoju zvezde, modifikovane Karsonove jednačine kada se primenjuju daju početne 3x3 2x2 matrice primitivne impedanse. Kronova redukcija će smanjiti matrice na 2x2 i jedan prosti element. Ove matrice mogu da se prošire na 3x3 matrice dodavanjem redova i kolona koji se sastoje od nultih elemenata za nedostajuće faze. Na primer,dvofazna mreža, koja se sastoji od faza a i c imaće matricu impedansi u faznom domenu:

aazaI

agv'agv

bgv

cgv cgv'

bgv'bcz

bIbbz

cIccz ˆacz

abz

a

b

c

a'

b'

c'

zabc=[ zaa 0 zac

0 0 0zca 0 zcc

] . (2.2.1.7.9)

Matrica impedansi u faznom domenu faze b za jednofaznu mrežu će da bude:

zabc=[0 0 00 zbb 0

0 0 0 ] . (2.2.1.7.10)

Fazna impedanta matrica za trofaznu mrežu u spoju trougao se određuje primenom

Carson-ovih jednačina bez Kron-ove redukcije. Fazna impedantna matrica može se koristiti

da se odrede padovi napona na feeder-ima mreže kada se odrede struje. Posto nema

aproksimacija (transpozicije,npr) uzimajuci u obzir rastojanje između provodnika,efekat

međusobne sprege među fazama treba tačno uzeti u obzir. Primena modifikovanih Carson-

ovih jednačina i fazne matrice vodi do najtačnijeg modela na segmentu mreže. Slika 4.6

pokazuje opšti trofazni model segmenta mreže.

Slika 2.2.1.7.2 –

Treba imati u vidu za dvofazne i jednofazne mreže neke od vrednosti impedansi će da

budu nula. Naponska jednačina u matricnoj formi za segment mreže je:

[V ag

V bg

V cg]n

=[V ag

V bg

V cg]m

+[ zaa zab zac

zba zbb zbc

zca zcb zcc]⋅[ I a

I b

I c]. (2.2.1.7.11

)

gde Z ij= zij⋅dužina .

Jednačina 4.57 može da se napiše kao:

[ VLGabc ]n=[ VLGabc ]m+[ Zabc ]⋅[ I abc ] (2.2.1.7.12)

2.2.1.8 Matrica impedanse u domenu simetričnih komponenti

U mnogim slučajevima analize feeder-a koriste se samo pozitivna i nulta komponenta matrice impedansi u domenu simetričnih komponenti,za segmente mreza.Imaju dvije metode za dobivanje ovih impedansi.Prva uključuje primenu modifikovanih Carsonn-ovih jednačina i Kronovu redukciju da se dobijematrica impedansi u faznom domenu.

Definicija faznog napona kao funcija napona u domenu simetričnih komponenti data je kao:

[V ag

V bg

V cg]=[V ag

V bg

V cg]+[1 1 1

1 a2 a1 a a2 ]⋅[ I a

I b

I c] , (2.2.1.8.1)

gde a= 1. 0¿¿

Jednačina 2.2.1.8.1 može da se napiše kao:VLGabc=AsVLG012 , (2.2.1.8.2)

gde:

As=[1 1 11 a2 a1 a a2 ]⋅¿ ¿ (2.2.1.8.3)

Definicija faznog napona kao funcija napona u domenu simetričnih komponenti data je kao:

I abc=A s I 012. (2.2.1.8.4)

VLG012=A s−1VLGabc , (2.2.1.8.5)

gde:

As-1=1

3 [1 1 11 a2 a1 a a2 ]⋅¿ ¿ (2.2.1.8.6)

Jednačina 4.58 može da se transformiše u domen simetričnih komponenti množenjem

obje strane sa A s-1

i zamenom definisanih struja u domenu faznih veličina,datih u jednačini 2.2.1.8.5.

[ VLG012 ]n=[ As ]−1 [ VLGabc ]n ,

[ VLG012 ]n=[ As ]−1 [ VLGabn ]m+[ A s ]−1 [ Zabc ]⋅[ As ]−1 [ I 012 ] , (2.2.1.8.7)

[ VLG012c ]n=[ VLG012 ]m+[ Z012 ]⋅[ I 012 ] ,

gde:Z012=[ As ]−1 [ Zabc ]⋅[ As ] . (2.2.1.8.8)

Jednačina 2.3.8.7 u razvijenom obliku se može napisati kao:

[VLG0

VLG1

VLG2]n

=[VLG0

VLG1

VLG2]m

+[ z00 z01 z02

z10 z11 z12

z20 z21 z22]⋅[ I 0

I1

I 2] . (2.2.1.8.9)

Jednačina 2.2.1.8.8 se koristi za prelazak matrice impedanse iz domena faznih veličina u domen simetričnih komponenti. Dijagonalni članovi matrice su impadanse u

domenu simetričnih komponenti.Gde su z00 , z11 , z22−nulta, direktna i inverzna komponenta

matrice impedanse u domenu simetričnih komponenti respektivno.Članovi izvan dijagonale predstavljaju međusobnu spregu između sekvenci,u idealnom stanju ovi članovi su nula. Da bi se to dogodilo mreža treba da je transponovana. Za visokonaponske mreže ovo je ponekad slučaj. Kada je mreža transponovana međusobna sprega između faza je nula,a time članovi izvan dijagonale koji čine matricu impedasi u domenu simetričnih komponenti su nula. Distributivne mreže su ru rijetko transponovane,međusobna sprega između faza nije jednaka,pa kao rezultat toga članovi izvan dijagonale u matrici impedansi u domenu simetričnih komponenti nisu nula. Ako se pretpostavi da jemreža transponovana,matrica impedanse u domenu faznih veličina se modifikuje tako da su tri člana po dijagonali jednaka i svi članovi izvan dijagonale su jednaki. Uobičajeno je da se pretpostavi da si članovi su tri člana po dijagonali jednaki srednjoj vrednosti dijagonalnih članova iz jednačine 2.3.7.8, a članovi izvan dijagonale da su jednaki srednoj vrednosti članova izvan dijaogonale u jednačini 2.3.7.8. Ako se tako uradi vlastite i međusobne impedanse su definisane kao:

zss=13( zaa+ z bb+ z cc),

(2.2.1.8.10)

zm=13( z ab+ zbc+ zca ) , (2.2.1.8.11

)

Matrica impedansi u domenu faznih veličina se definiše kao:

zabc=[ z s zm zm

zm z s zm

zm zm zs] . (2.2.1.8.12

)

Ako se koristi jednačina 2.3.8.8 sa matricom impedansi u domenu faznih veličina,rezultujuća matrica impedansi u domenu simetričnih komponenti je dijagonalna. Članovi te matrice se mogu odrediti kao:z00= zs+2 zm , (2.2.1.8.12

)

z11= z22= z s− zm . (2.2.1.8.12)

Obično se koristi drugi metod da se odredi direktno sekvencijalne impedance pomoću srednjih geometrijskih rastojanja (GMD). GMD između faza se definiše kao:

Dij=GMDij=3√ Dab⋅Dbc⋅Dca

(2.2.1.8.12)

GMD između faza i nule je definisan kao:

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

GMD-ovi definisani na gornji način i koriščeni u jednačinama 4.4.1 i 4.42 da bi se odredile sopstvene i međusobne impedance mreže rezultuju u :

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Jednačine od 4.75 do 4.78 definišu matricu reda nxn, gde je n borj provodnika (faze +nule) u segmentu mreže. Primena Kron-ove redukcije 4.53 i sekvencijalne impedantne transformacije 4.66 daje sledeći izraz za nultu, direktnu i inverznu sekvencijalne impedance:

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

R

R

a'b'c'

(a)

(b) (c) (d) (e)

a'b'c' a'b'c' a'b'c' a'b'c'

Čvor u kojem se simulira kratak spoj

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Din=GMDin=3√ Dan⋅Dbn⋅Dcn . (2.2.1.8.12

)

Jednačina 4.80 je standardna jednačina za računanje impedase mreže uz pretpostavku da je sistem uravnotežen id a je transpoziran.

3 KRATKI SPOJEVI

Pod metalnim kratkim spojem podrazumeva se međusobno direktno povezivanje tačaka različitih faza sa ili bez njihovog povezivanja sa zemljom (neutralnim provodnikom),odnosno tačkom referentnog potencijala R. Među njima biće obrađena četiri (pet) osnovna kratka spoja. Njihove topologije (TKS – topologija kratkog spoja) prikazane su na slici 3.1. Sa a', b' i c', označene su faze trofaznog čvora u kojem će se simulirati kratak spoj – slika 3.1a.

Slika 3.1 – Trofazni čvor u kojem se simulira kratak spoj (a) i topologije četiri (pet)osnovna metalna kratka spoja – TKS (b,c,d,e).

Ti kratki spojevi glase:

1. Jednofazni (jednopolni) kratak spoj – zemljospoj– direktna veza jedne faze sa zemljom i/ili neutralnim provodnikom – 1FKS (slika 3.1b).

2. Dvofazni (dvopolni) kratak spoj bez zemlje – direktna veza jedne faze s drugom fazom – 2FKS (slika 3.1c).

3. Dvofazni (dvopolni) kratak spoj sa zemljom – dvofazni (dvopolni) zemljospoj– direktna međusobna veza dve faze i njihova direktna veza sa zemljom i/ili neutralnim provodnikom – 2FKSZ (slika 3.1d).

4. Trofazni (tropolni) kratak spoj– direktna međusobna veza tri faze – 3FKS(Z). Ovaj kratak spoj jeste jedini uravnotežen kratak spoj, pa je režim u EES s kratkim spojem simetričan. U oznaci za trofazni kratak spoj, slovo Z je stavljeno u zagradu s obzirom da ovim kratkim spojem može da bude obuhvaćena i zemlja (neutralni provodnik) – trofazni (tropolni) zemljospoj, ali su režimi EES s tim kratkim spojem sa i bez obuhvaćene zemlje isti (slika 3.1e – moguća veza sa zemljom izvučena je isprekidanom linijom).

Za razliku od normalnih režima i režima s prekidima, koji se bez velikih aproksimacija mogu tretirati stacionarnim, režimi s kratkim spojevima se moraju tretirati dinamičkim. Moduli struja i napona u režimu posle uspostavljanja kratkog spoja značajno se menjaju u vremenu, a stacionarno stanje s kratkim spojem se retko kad uspostavlja s obzirom da se delovi EES s kratkim spojem, delovanjem relejne zaštite, vrlo brzo posle nastanka kratkog spoja galvanski izdvajaju iz ostatka EES. Uglavnom vrlo velike struje režima s kratkim spojevima osnovni su razlog tom izdvajanju. Režimi s kratkim spojevima najčešće se dele na vremenske sekvence u kojima se oni aproksimiraju stacionarnim, pa i obrađuju postupcima utvrđenim za obradu stacionarnih režima. Zato se ti režimi ovde nazivaju kvazistacionarnim.

Kada su u pitanju kratki spojevi, tada:

1. Struje kratkih spojeva uzrok su mehaničkim i toplotnim naprezanjima elemenata postrojenja EES, te se saglasno s tim strujama elementi projektuju.

2. Zaštita EES (releji, prekidači...), kojom se sistemštiti od neželjenih režima, pored ostalog, reaguje i na struje i napone kratkih spojeva, radi galvanskog odvajanja elemenata na kojima se događaju kratki spojeviod ostatka EES, pa se zaštita podešava s obzirom na veličine tih struja i napona.

3. Projektovanje prekidačke opreme (one kojom se prekidaju struje kratkih spojeva) zasniva se upravo na vrednostima struja kratkih spojeva ne na mestima samih kratkih spojeva, već na mestima gde je ta oprema locirana (krajevi elemenata EES).

4. Vrlo je čest slučaj paralelnog vodjenja elemenata EES (vazdušnih vodova) i drugih električnih (telekomunikacionih) instalacija, ali iinstalacija koje nisu električne (cevovodi, metalne ograde, ... ). U ovakvim situacijama, u slučajevima kratkih spojeva u EES s vrlo velikim strujama, indukovane elektromotorne sile u okolnim instalacijama, koje su posledica struja kratkih spojeva u EES, često su tako velike da su uzrok tehničkih smetnji, pa čak i opasnosti po živote ljudi koji suu kontaktu s tim instalacijama.

5. Struje zemljospojeva izazivaju napone na tlu, na malim rastojanjima oko mesta kratkog spoja, koji mogu biti vrlo opasni po ljude ("napon koraka" i "napon dodira") itd.

6. Kada su kratki spojevi daleko od izvora (generatora), tada je teško napraviti razliku između vrednosti struja kratkih spojeva i radnih struja, pa je potrebno napraviti vrlo precizne proračune da bi se ta razlika ipak uočila.

3.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE O EES S KVAROVIMA

Problemi s kratkim spojevima biće postavljani i rešavani na matematičkim modelima (ekvivalentnim šemama) EES koji se razmatraju (proizvodno-prenosne ili distributivne mreže). Pri tom, za EES i njihove matematičke modele važiće sledeće pretpostavke:

1. EES je trofazan. 2. EES je i pre i za vreme kratkog spoja linearan. 3. Zemlja, zemljovodna užad i ako postoje neutralni provodnici vodova EES nalaze se

na referentnom (nultom) potencijalu (R≡zemlja), ne samo pre, nego i za vreme kratkog spoja.

4. EES je pre kratkog spoja uravnotežen, i nalazi se u stacionarnom simetričnom režimu direktnog redosleda.

5. Režim EES pre kratkog spoja je poznat. 6. EES s kratkim spojem načelno nije uravnotežen; uravnoteženost narušavaju isključivo

kratki spojevi koji načelno nisu uravnoteženi; dakle, režim s kratkim spojem nije simetričan, osim u slučaju trofaznog kratkog spoja;

7. Režim s kratkim spojem je (kvazi)stacionaran, tj. ponovo sinusoidalan; (zato će EES s kratkim spojem biti tretiran u domenu simetričnih komponenti, dakle, na monofaznim reprezentima kola za simetrične režime direktnog, inverznog i nultog redosleda, u kojima se pojavljuju idealni transformatori realnih i kompleksnih odnosa transformacije; posle prelaska u domen relativnih vrednosti, u monofaznim reprezentima EES neće biti idealnih transformatora niti realnih niti kompleksnih odnosa transformacije; dakle, reč je o kolima bez kontrolisanih izvora, čije se matrice admitansi, a time i matematički modeli generišu trivijalno, pa se modeli trivijalno i rešavaju).

8. Učestanost EES za vreme kratkog spoja ne menja se uodnosu na njenu vrednost pre kratkog spoja, tj. regulacija aktivnih snaga i učestanosti, kao i regulacija napona i reaktivnih snaga, u režimu EES s kratkim spojem, nestupaju u dejstvo za vreme kratkog spoja.

9. Svi naponi u EES pre i za vreme kratkog spoja biće referisani u odnosu na tačku referentnog (nultog) potencijala R.

3.2. Kratki spojevi

Pod problemom EES s kratkim spojem podrazumeva se proračun napona svih čvorova i struja svih grana EES u kojem se na jednom mestu desio kratak spoj (proračunom je obuhvaćen i režim na mestu kratkog spoja). Odnosno,pod tim problemom se podrazumeva proračun stanja celog EES s kratki spojem (pošto je iz stanja, po definiciji, moguće proračunati sve veličine režima koje su od interesa). Načelan zahtev za proračunom stanja celog EES istaknut je s obzirom da na kratke spojeve deluje ne samo relejna zaštita na mestu kratkog spoja (ako je tamo uopšte ima), nego i na elementima koji su prvi, drugi, ili dalji susedi mesta s kratkim spojem. A ona se mora podešavati ne na struju kratkog spoja, nego na struje koje se u režimu s kratkim spojem imaju u strujnim mernim transformatorima uz koje su releji locirani.

Režim EES s kratkim spojem koji se dogodio na određenom mestu jeste zavisan od vrste kratkog spoja, ali vrednosti varijabli tog režima pre svega zavise od rasporeda i veličine naizmeničnih mašina u odnosu na mesto kratkog spoja, kao i od topologije mreže kojom su te mašine povezane s mestom kratkog spoja. Osim što naizmenične mašine dominantno utiču na režime s kratkim spojevima, one praktično isključivo određuju dinamiku tih režima.

EES Čvor k

PVTG

R

a b c

UckUbkUak

3.2.1. Opšta razmatranja o EES s kratkim spojem

Razmatra se EES u stacionarnom režimu (bez kratkog spoja). On je načelno prikazan na slici 3.2.1.1. Sa G, T, V i P naznačeni su osnovni konstitutivni elementi EES – respektivno generatori, transformatori, vodovi i potrošači (tri kose crtice ukazuju na to da su u pitanju trofazni elementi). U potrošače (P) uvrštene su i baterije kondenzatora, statički VAR sistemi, prigušnice itd. Sa tri kružića označena su tri fazna čvora trofaznog čvora.

Elementi EES prikazani su simbolima (G, T, V i P), a ne ekvivalentnim šemama, ne samo zato da bi se pojednostavio prikaz EES, već zato što režim EES s kratkim spojem nije stacionaran, pa se za njegovu prezentaciju ne mogu koristiti standardne ekvivalentne šeme za EES u stacionarnom stanju.

Od čvorova EES ekspliciran je samo čvor k, pošto će u njemu biti simuliran kratak spoj, kao i čvor referentnog – nultog potencijala (zemlja) R. Sa a, b i c označeni su njegovi fazni čvorovi. Grane incidentne čvoru k, preko kojih je on povezan sa ostatkom EES, nisu eksplicirane. Ako se kratak spoj simulira na krajevima elemenata EES, tada je čvor k jedan od već utvrđenih čvorova (npr, to mogu biti jedne od sabirnica nekog postrojenja EES). Ako se kratak spoj simulira unutar nekog od elemenata EES,npr. na izabranom mestu na deonici voda, onda je na tom mestu potrebno generisati poseban čvor, koji ne bi bio ekspliciran u razmatranom EES kada se ne bi u njemu simulirao kratak spoj. Tim čvorom vod je podeljen na dva dela, koji su jedini incidentni tom – novogenerisanom čvoru.

Slika 3.2.1.1 – EES pre kratkog spoja

UakUck UbkUc’k Ub’k Ua’k

EES Čvor k

PVTG

R

a b c

a’b’c’

Čvor k izvučen izvan EES

Ibk=0

Iak=0

Ick=0

fcki

fbki

faki

TKS

EESf Čvor k

PVTG

a b c

Čvor k izvučen izvan EES

Neka u razmatranom EES ima n trofaznih čvorova u koje je uključen i čvor k u kojem će se simulirati kratak spoj. Dakle, razmatrani EES ima 3n faznih i jedan čvor referentnog potencijala R (zemlja).

Sa Uak ,Ubk i U ck označeni su kompleksni predstavnici faznih napona čvora k, referisani u odnosu na zemlju. Za označavanje tih napona korišćena je kompleksna notacija s obzirom da je režim EES pre kratkog spoja prostoperiodičan – EES sa slike 3.2.1.1 transformisan je u ekvivalentan oblik prikazan na slici 3.2.1.2. Na njoj je čvor k bezimpedantnim linijama (linijama s nultim impedansama) razvučen van okvira EES, do

tačaka a', b' i c'. Struje u tim linijama jednake su nuli (I ak=Ibk=I ck=0 ), a naponi u tačkama

a', b' i c' jednaki su naponima u tačkama a, b i c (Uak=Ua'k , U bk=Ub'k ,U ck=U c'k ). To je učinjeno isključivo radi pojednostavljivanja crtanja topologije kratkog spoja i označavanja režimskih veličina čvora k. Drugim rečima, kratak spoj će se simulirati insertovanjem jedne od topoloških struktura kratkih spojeva (TKS) prikazanih na slici 3.1, ne direktno u čvoru k, već u tačkama a', b' i c' – slika 3.2.1.3. Kolo na ovoj slici predstavlja EES s kratkim spojem (EESf), i to onim koji je simuliran izborom topologije kratkog spoja TKS. Zato se u supsktiptu veličina na slici 3.2.1.3 pojavljuje slovo f ("fault" – kvar na engleskom).

Slika 3.2.1.2 – Sistem pre kratkog spoja sa izvučenim mestom kratkog spoja (čvorom k)

Slika 3.2.1.3 – Sistem s kratkim spojem u čvoru kSada, struje u bezimpedantnim linijama kojima je čvor k razvučen, više nisu jednake

nuli, ali naponi u tačkama a', b' i c' i dalje jesu jednaki naponima u tačkama a, b i c (Ua'k

f = Uakf , Ub'k

f = Ubkf , Uc'k

f = Uckf

).

U vezi sa označavanjem veličina režima razmatranih kola, potrebno je dati jednu važnu napomenu. Naime, s obzirom da je režim EES pre kratkog spoja prostoperiodičan, on se može tretirati u domenu kompleksnih brojeva. Zato su naponi i struje na slici 3.2.1.2 označeni velikim slovima (kompleksnim predstavnicima prostoperiodičnih veličina). Pošto režim EES s kratkim spojem nije prostoperiodičan, veličine režima u njemu (slika 3.2.1.3) moraju da se tretiraju u vremenskom domenu, pa su zato oznake malim slovima, koje treba

shvatiti kao funkcije vremena [x=x(t)]. U tom smislu, sa iakf , ibk

f ,ickf

označene su struje na

mestu kratkog spoja, a sa uakf =ua'k

f , ubkf =ub'k

f , uckf =uc'k

fnaponi kratkog spoja(na mestu

kratkog spoja u EES s kratkim spojem). Struje i naponi u ostatku EES nazivaju se strujama i naponima EES s kratkim spojem. Takva će logika biti korišćena i u drugim kolima na koja će biti dekomponovan EES s kratkim spojem.

Dakle, u izlaganjima koja slede razmatra se režim EES s kratkim spojem u čvoru k. Od interesa je proračun režima celog EES. On se sastoji od četiri dekompozicije – slika 3.2.1.4:

1. Dekompozicija režima s kratkim spojem na režim pre kratkog spoja i ∆ režim – I dekompozicija.

2. Dekompozicija ∆ režima na naizmeničnu i jednosmernu komponentu – II dekompozicija.

3. Dekompozicija naizmenične komponente režima ∆ kola na tri vremenske sekvence suptranzitni, tranzitni i ustaljeni period (režim) – III dekompozicija.

4. Transformacija naizmeničnih režima ∆ kola u sve trivremenske sekvence iz domena faznih u domen simetričnih komponenti – IV dekompozicija.

Prva, druga i četvrta dekompozicija moguće su s obzirom na linearnost razmatranog EES (pre i sa kratkim spojem, a treća je rezultat dinamičkog režima EES s kratkim spojem. Na slici 3.2.1.4, s plusevima je označena superpozicija dva režima – obrnuta operacija od dekompozicije. Navodnici su stavljeni ne samo zato što operacija sabiranja važi za brojeve a ne režime, već i zato što se superpozicija u sva četiri slučaja ne vrši sabiranjem vrednosti odgovarajućih veličina.

I dekompozicija

Režim EES s kratkim spojem(f)

”+”Režim EES pre kratkog spoja

(bez oznake)Režim Δ kola

(Δ)

”+”Naizmenična komponenta

(ω)Jednosmerna komponenta

(‒)

II dekompozicija

III dekompozicija

Subtranzitnirežim

(”)

Tranzitnirežim

(’)”+”

”+””+”d i 0

”+”Ustaljeni

režim

(bez oznake)

”+””+” d i 0

”+””+” d i 0

IV dekompozicija

+ + +

+ ++

fcki

fkbu '

fkcu '

fkau '

fkuc

fbki

fbku f

aku

faki

TKS

EES1 Čvor k

PVTG

R

a b c

a’b’c’

Čvor k izvučen izvan EES

UakUbkUck

UakUbkUck

Slika 3.2.1.4 – Četiri dekompozicije režima s kratkim spojem

3.2.1.1. I dekompozicija

Ova dekompozicija se odnosi na prikaz (dekomponovanje) režima EES s kratkim spojem preko dva režima – poznati simetričan režim EES pre kratkog spoja i režim jednog izvedenog trofaznog – ∆ kola, koji (načelno) nije simetričan. Njihovom superpozicijom dobija se režim s kratkim spojem. Smisao ove dekompozicije nalazi se u jednostavnosti ∆ kola, što će biti obrađeno na odgovarajućem mestu. Ova dekompozicija se izvodi na globalnom prikazu EES s kratkim spojem u varijanti sa slike 3.2.1.3. Režim EES s kratkim spojem se neće promeniti ako se u vertikalne delove bezimpedantih linija insertuju nulti idealni naponski izvori.Ako se ovi izvori još i konstituišu od po dva ista idealna naponska

izvora vezana u opoziciju, svaki od njih s fazorom elektromotorne sile Uak – za fazu a, U bk –

za fazu b i U ck – za fazu c (fazni naponi čvora k pre kratkog spoja), sistemu s kratkim spojem može da se da ekvivalentan oblik prikazan na slici 3.2.1.1.1. (Elektromotorne sile idealnih izvora označene su velikim slovima zato što su u pitanju kompleksni predstavnici prostoperiodičnih veličina EES pre kratkog spoja.) Tri grane sa insertovanim parovima idealnih naponskih izvora i topologija kratkog spoja nazivaju se ansamblom kratkog spoja u EES s kratkim spojem.

a’b’c’

Ua'kUb'kUc'k UakUbkUck

Čvor k izvučen izvan EES

+ ++

bki aki

ick

EES Čvor k

PVTG

R

a b

TKS

UakUbkUck

c

Slika 3.2.1.1.1 – Sistem s kratkim spojem u čvoru k i insertovanim parovima idealnih

Şistem (kolo) sa slike 3.2.1.1.1 jeste linearan, i to za svaku od topologija TKS (slika 3.1) koja se insertuje radi simulacije kratkog spoja. Zato se nad tim kolom može primeniti princip dekompozicije/superpozicije. Od mnoštva mogućih varijanti primene tog principa, ovde je izabrana sledeća:

Kolo s kratkim spojem u varijanti sa slike 3.2.1.1.1 dekomponuje se na dva kola;

1. U prvom kolu (slika 3.2.1.1.2) zadržavaju se tri idealna naponska izvora ansambla kratkog spoja, koji su usmereni od zemlje ka sistemu i idealni izvori iz dela kola koji predstavlja EES pre kratkog spoja (to su idealni naponski izvori iz ekvivalentnih šema svih generator koji su na slici 3.2.1.1.2 načelno prikazani sa G i generatora koje se eventualno nalaze u okviru potrošača; dakle, u tom kolu se eliminišu (potiskuju) samo tri idealna naponska izvora ansambla kratkog spoja, koji su usmereni od sistema ka zemlji;

2. U drugom kolu – ∆ kolo (EES∆– slika 3.2.1.1.3) – zadržavaju se samo tri idealna naponska izvora ansambla kratkog spoja, koji su usmereni od sistema ka zemlji; dakle, u tom kolu se eliminišu (potiskuju) svi idealni naponski izvori koji su zapaženi u prvom kolu.

Topološka struktura kratkog spoja (TKS), u oba kola je ista (jedna od topoloških struktura prikazanih na slici 3.1, izabrana zavisno od toga koji se od četiri vrste kratkih spojeva želi razmatrati). (To je zbog toga što, saglasno s principom dekompozicije/superpozicije, kola koja se generišu iz osnovnog kola imaju identičnu topološku strukturu sa strukturom osnovnog kola, osim na lokacijama idealnih izvora koji se potiskuju.)

Osnovne karakteristike tih kola glase:

Prvo kolo: Ansambl kratkog spoja se u ovom kolu sastoji od topologije kratkog spoja i idealnih naponskih izvora usmerenih od zemlje ka sistemu. Režim kola je jednak s režimom EES pre kratkog spoja (zato skraćenica EES na slici 3.2.1.1.2 nema posebnog superskripta). Ovaj režim je poznat. (Zato su veličine u tom kolu označene velikim slovima – kompleksni predstavnici veličina stacionarnog režima.)

b’

TKS

kbu '

kcu '

kau '

kuc

fbku f

akua’c’

Uck Ubk Uak

cki

bki

aki

EESΔ Čvor k

PVTG

R

a b c

Čvor k izvučen izvan EES

+ ++

Slika 3.2.1.1.2 – Kolo s režimom sistema pre kratkog spoja.

Drugo – ∆ kolo: Ansambl kratkog spoja se u ovom kolu sastoji od topologije kratkog spoja i idealnih naponskih izvora usmerenih od sistema ka zemlji. Kolo je pasivno svuda osim na mestu kratkog spoja(na tom mestu se, u svakoj fazi, pojavljuje po jedan od insertovanih parova idealnih naponskih izvora). Ono je trofazno linearno kolo, s topologijom koja je identična sa topologijom EES koji se razmatra, osim ansambla kratkog spoja insertovanog u čvoru k. Njegova uravnoteženost je narušena topologijom kratkog spoja, koja, načelno, nije uravnotežena (osim kod trofaznog kratkog spoja). Režim ovog kola nije stacionaran, pa su zato veličine označene malim slovima, osim oznaka za elektromotorne sile insertovanih idealnih naponskih izvora, koje su prostoperiodične.Ako režim nije stacionaran, nema mesta primeni domena kompleksnih brojeva.

Slika 3.2.1.1.3 – ∆ kolo.

Kada se poznaju (izračunaju) režimi kola sa slike 3.2.1.1.2 (poznati režim EES pre kratkog spoja) i 3.2.1.1.3 (režim ∆ kola), režim EES s kratkim spojem (superskript f) – slika

3.2.1..3, odnosno ekvivalentnog kola sa slike 2.2.1.1.1, dobija se njihovom superpozicijom (zbirom). Dakle, za ma koju veličinu režima EES s kratkim spojem važi:

x f ( t )=x ( t )+x Δ( t ) (3.2.1.1.1)

Superskripti f i ∆ ukazuju na veličine režima EES s kratkim spojem i ∆ kola, respektivno, a veličina bez superskripta se odnosi na režim pre kratkog spoja; samo je ova poslednja veličina prostoperiodična, ali u relaciji sa veličinama koje to nisu, mora se tretirati u istom domenu kao ostale veličine – u vremenskom domenu.

S obzirom na poznat režim EES pre kratkog spoja, proračun režima EES s kratkim spojem, primenom ove dekompozicije, sveden je na proračun režima ∆ kola. Pretežna pasivnost ∆ kola osnova je za njegovu jednostavnu obradu. Upravo te dve činjenice: poznat režim pre kratkog spoja i jednostavnost obrade ∆ kola, motivišu ovu – I dekompoziciju.

Preostaje da se da dokaz da je režim prvog od dva kola na koje je, u okviru prve dekompozicije, dekuplovan EES s kratkim spojem – slika 3.2.1.1.2, jednak s režimom EES pre kratkog spoja – slika 3.2.1.1.1, za svaki od kratkih spojeva prikazanih na slici 3.1: TKS = 1FKS, 2FKS, 2FKSZ, 3FKS ili 3FKSZ. Prvo kolo, sa svih pet varijanti kratkih spojeva, prikazano je na slikama 3.2.1.1.4, 5, 6, 7 i 8. Drugo – ∆ kolo, koje je prikazano na slici 3.2.1.1.3, nije sada od interesa. Ono se obrađuje dekompozicijama koje slede.

Jednofazni kratak spoj

Prvi dokaz se odnosi na jednofazni kratak spoj faze a sa zemljom – neutralnim provodnikom (1FKS). Na slici 3.2.1.1.4 prikazano je prvo od dva kola na koje je, u okviru prve dekompozicije, dekuplovan EES s jednofaznim kratkim spojem. Na njoj je, za razliku od opšteg slučaja prikazanog na slici 3.2.1.1.2, insertovana konkretna topologija razmatranog jednofaznog kratkog spoja (TKS = 1FKS). Potrebno je dokazati da je režim tog kola jednak s režimom EES pre kratkog spoja – slika 3.2.1.1.3. Dokaz sledi.

Neka se u kolu sa slike 3.2.1.1.4 uoči ansambl kratkog spoja kojeg čine tri generatora

sa elektromotornim silama Uak , Ubk i U ck i topologija kratkog spoja 1FKS, koji su bezimpedantnim linijama povezani s čvorom k. Ako se taj ansambl ukloni iz kola, onda tako modifikovano kolo postaje EES pre kratkog spoja (slika 3.2.1.1.1), pa je zbog toga i njegov režim jednak s režimom EES pre kratkog spoja. S druge strane, ansambl koji je uklonjen iz kola sastoji se od tri grane:

1. Grana sa idealnim naponskim izvorom elektromotorne sile Uak i kratkospojnikom iz tačke a' do zemlje – prva grana;

2. Grana sa idealnim naponskim izvorom elektromotorne sile U bk , otvorena od tačke b' do zemlje – druga grana;

3. Grana sa idealnim naponskim izvorom elektromotorne sile U ck , otvorena od tačke c' do zemlje – treća grana.

Kada bi se te tri grane vratile u kolo iz kojeg su uklonjene dobija se kolo za čiji režim se dokazuje da je jednak s režimom EES pre kratkog spoja. Dakle, tvrdi se da nezavisno od toga da li je iz njega ansambl kratkog spoja uklonjen ili ne, kolo koje se razmatra ima isti režim – jednak s režimom EES pre kratkog spoja. Taj dokaz može da se izvede primenom

Uc'k Ub'k UakUbkUck

a’b’c’

UakUbkUck

Čvor k izvučen izvan EES

1FKS

+ ++

bki akiEES Čvor k

PVTG

R

a b ckic

Ua'k

generalizovane Thevenin/Norton-ove teoreme (ekvivalentiranjem celog kola, do čvora k, pa proračun režima u tom čvoru u kojem je razmatrani ansambl priključen na ekvivalent a ne na originalno kolo), ali se on ovde izvodi kombinovanom primenom (jednodimenzione) Thevenin/Norton-ove teoreme i principa dekompozicije/superpozicije. Naime, na osnovu principa dekompozicije/superpozicije, umesto da se razmatrani ansambl vrati u celini, on se u kolo može vratiti (insertovati) grana po grana, u sledeća tri koraka:

1. Vraćanje prve grane. Kada se prva grana priključi između zemlje i faze a čvora k, prema Prvoj posledici Thevenin/Norton-ove teoreme (o priključenju generatora između dve tačke kola), razmatrano kolo (s režimom EES pre kratkogspoja) ne oseća priključenje te grane (napon u tačkama priključenja, pre priključenja, jednak je naponu generatora). Dakle, režim kola (jednak s režimom EES pre kratkog spoja) ne menja se posle priključenja prve grane.

2. Vraćanje druge grane. Kada se druga grana priključi između tačke b' (ova tačka nije povezana sa zemljom) i faze b čvora k, prema Trećoj posledici Thevenin/Norton-ove teoreme (o priključenju generatora samo u jednoj tački kola), razmatrano kolo takođe ne oseća priključenje te grane. Dakle, režim kola (jednak s režimom EES pre kratkog spoja) ne menja se posle priključenja i druge grane.

3. Vraćanje treće grane. Efekat je identičan sa efektom vraćanja druge grane u kolo.

Posle ove tri modifikacije dobilo se kolo sa slike 3.2.1.1.4, čiji je režim jednak s režimom EES pre kratkog spoja, što je trebalo dokazati.

Slika 3.2.1.1.4 – Prvo kolo dobijeno I dekompozicijom u varijanti jednofaznog kratkog spoja (1FKS)

Dvofazni kratak spoj

cki bki aki Čvor k izvučen izvan EES

a’b’c’

UakUbkUckUb'k Ua'kUc'k

UakUbkUck

2FKS

+ ++

EES Čvor k

PVTG

R

a b c

Sada se razmatra dvofazni kratak spoj (bez zemlje) između faza b i c, odnosno, dokazuje se da je režim kola prikazanog na slici 3.2.1.1.5 jednak s režimom EES pre kratkog spoja. Slično kao u prethodnom slučaju, uočava se i uklanja iz kola ansambl kratkog spoja

koji se sada sastoji od dve grane: grana sa idealnim naponskim izvorom Uak koja je priključena u fazi a i otvorena prema zemlji i grana između faza b i c, s parom idealnih

naponskih izvora ukupne elektromotorne sile U bk−U ck . I ovde se obe grane vraćaju u kolo jedna po jedna. Efekat vraćanja prve grane je identičan efektu obrađenom u prethodnom slučaju, gde kolo ne oseća vraćanje druge i treće grane. Kada je u pitanju vraćanje druge grane, tada se između dve tačke kola, između kojih, pre priključenjate grane, vlada napon (U bk−U ck ) - napon EES pre kratkog spoja, priključuje generator s naponom koji je jednak tom naponu. Ponovo saglasno s Prvom posledicom Thevenin/Norton-ove teoreme, kolo ne oseća priključenje generatora. Time je završen i dokaz za slučaj dvofaznog kratkog spoja.

Slika 3.2.1.1.5 – Prvo kolo dobijeno I dekompozicijom u varijanti dvofaznog kratkog spoja (2FKS)

Dvofazni kratak spoj sa zemljom

Situacija sa dvofaznim kratkim spojem između faza b i c sa zemljom, prikazana na slici 3.2.1.1.6 (TKS prikazana s punim linijama, bez uvažavanja isprekidanih linija), svodi se na situaciju kratkog spoja svake od faza b i c sa zemljom (TKS prikazana sa isprekidanim linijama, bez uvažavanja punih linija). Tretman grane faze a jednak je s tretmanom druge i

2FKSZ

Čvor k izvučen izvan EES

akibki

cki

UakUbkUckUc'k Ub'k Ua'k

b’ a’c’

EES Čvor k

PVTG

R

a b

UakUbkUck

+ ++c

cki bki aki Čvor k izvučen izvan EES

UakUbkUck

+ ++

EES Čvor k

a b c

treće grane, a tretman grana faza b i c s tretmanom prve grane u slučaju jednofaznog kratkog spoja.

Trofazni kratak spoj (bez zemlje)

Situacija s trofaznim kratkim spojem (bez zemlje), prikazana je na slici 3.2.1.1.7. Sada se uočava i uklanja iz kola ansambl kratkog spoja koji se sastoji od dve grane: grana

između faza b i c, s parom idealnih naponskih izvora ukupne elektromotorne sile (U bk−U ck ) i grana sa idealnim naponskim izvorom, koja je priključena između tačke (faze) a čvora k i tačke b' (≡c'). Ponovo se obe grane vraćaju u kolo jedna po jedna. Efekat vraćanja prve grane (para izvora) obrađen je prilikom vraćanja druge grane dvofaznog kratkog spoja. Pošto se tom prilikom ne menja režim kola, napon između tačaka a i b', pre vraćanja druge grane,

jednak je Uak (to je napon (Uak−Ubk ) minus napon između faza a i b čvora k, uvećan za

U bk minus napon faze b). Pošto je napon na krajevima druge grane Uak , prema Prvoj posledici Thevenin/Norton-ove teoreme, kolo ne oseća ni njeno vraćanje.

Slika 3.2.1.1.6 – Prvo kolo dobijeno I dekompozicijom u varijanti dvofaznog kratkog spoja sa zemljom (2FKSZ)

3FKSZ

Čvor k izvučen izvan EES

akibki

cki

UakUbkUckUc'k Ub'k Ua'k

b’ a’c’

EES Čvor k

PVTG

R

a b

UakUbkUck

+ ++c

Slika 3.2.1.1.7 – Prvo kolo dobijeno I dekompozicijom u varijanti trofaznog kratkog spoja (3FKS)

Trofazni kratak spoj sa zemljom

Konačno, situacija s trofaznim kratkim spojem sa zemljom – slika 3.2.1.1.8, slično kao u slučaju alterniranja dvofaznog kratkog spoja sa zemljom, može da se tretira s topologijom kratkog spoja iskazanom isprekidanim umesto punim linijama. Tada je efekat vraćanja sve tri grane u kolo obrađen prilikom vraćanja prve grane ansambla kratkog spoja tretiranog u slučaju jednofaznog kratkog spoja. Dakle, s obzirom da je režim EES pre kratkog spoja poznat, samo je proračun režima ∆ kola EES s kratkim spojem predmet daljih obrada – naredne tri dekompozicije.

Slika 3.2.1.1.8 – Prvo kolo dobijeno I dekompozicijom u varijanti trofaznog kratkog spoja sa zemljom (3FKSZ).

3.2.1.2. II dekompozicija

S obzirom da je i ∆ kolo linearno, ono može da se dalje dekomponuje primenom principa dekompozicije/superpozicije. Dekompozicija koja sledi odnosi se na prikaz (dekomponovanje) režima ∆ kola preko dva režima – naizmenični režim(komponenta) – supskript " ω " i jednosmerni režim (komponenta) ∆ kola – supskript "–". Kada se poznaju (izračunaju) ta dva režima (komponente), režim (superskript ∆) – dobija se njihovom superpozicijom. Dakle, za ma koju veličinu ∆ kola važi:

x Δ( t )=xωΔ ( t )+x¿

Δ( t ) (3.2.1.2.1)

Proračun naizmenične komponente predmet je naredne dve dekompozicije. Prilikom obrade te dve dekompozicije, definitivno će biti jasan smisao ove (II) dekompozicije.

3.2.1.3 III dekompozicija

Amplituda ma koje veličine naizmenične komponente režima ∆ kola promenljiva je u vremenu. Tu promenu diktiraju naizmenične mašine u EES. Naime, parametri njihovih ekvivalentnih šema menjaju se prolazeći kroz tri vremenske sekvence – suptranzitna, tranzitna i ustaljena. Zato, naizmenična komponenta ma koje struje ∆ kola opada u prvih stotinak milisekundi saglasno s ponašanjem naizmeničnih mašina EES u suptranzitnom periodu, zatim, u narednih nekoliko sekundi, saglasno s ponašanjem sinhronih mašina u tranzitnom periodu, da bi se na kraju ustaljila na vrednost diktiranu parametrima celog EES za stacionarne režime (kada ne bi delovala relejna zaštita u EES s kratkim spojem).

Kada bi otpornosti namotaja rotora (pobudnih i prigušnih) svih naizmeničnih mašina u razmatranom EES bile jednaki nuli, tada se amplitude veličina naizmenične komponente režima EES s kratkim spojem ne bi menjale u vremenu posle uspostavljanja kratkog spoja. One bi bile jednake početnim vrednostima njihovih suptranzitnih komponenti. Takav bi režim bio trofazan, stacionaran (s konstantnim amplitudama) i nesimetričan (osim u slučaju trofaznog kratkog spoja). Dakle, zanemarivanjem otpornosti namotaja rotora naizmeničnih mašina, dinamička naizmenična komponenta režima s kratkim spojem aproksimirana je statičkom komponentom, i to onom koja se dobija iz početne vrednosti suptranzitne komponente.

Ova aproksimacija može da se demonstrira na primeru sinhrone mašine s tropolnim kratkim spojem. Za tropolni kratak spoj, takve tri naizmenične komponente, za svaku fazu mašine po jedna, bile bi simetrične. Za neki drugi kratak spoj, koji ne bi bio uravnotežen, te tri naizmenične komponente ne bi bile simetrične. Dakle, uvedena aproksimacija za posledicu ima vrlo pesimističke vrednosti struja kratkog spoja. Naime, trenutna vrednost (kao i integralno dejstvo) naizmenične komponente struje kratkog spoja uvek je manja (eventualno jednaka samo u jednom trenutku) sa pesimističkom vrednošću koja je rezultat uvedene aproksimacije (početna vrednost amplitude suptranzitne struje se ne menja). Zato se, u okviru ove – III dekompozicije, uvedena aproksimacija u vezi s naizmeničnom komponentom pomera prema realnoj situaciji. To pomeranje se izvodi na sledeći način – slika 3.2.1.3.1:

1. Naizmenična komponenta struje ma koje grane ∆ kola – ∆iωΔ ( t ) – ima konstantnu

amplitudu jednaku početnoj vrednosti suptranzitne struje samo nekoliko perioda,

koliko traje suptranzitni period (prelazni proces diktiran parametrima prigušnih namotaja rotora naizmeničnih mašina u EES); sa t'' je označeno trajanje suptranzitnog perioda.

2. Posle toga, u trajanju od nekoliko sekundi, koliko praktično traje tranzitni period (prelazni proces diktiran parametrima pobudnih namotaja rotora naizmeničnih mašina u EES), ta struja i dalje imakonstantnu amplitudu, ali sada znatno manju i jednaku početnoj vrednosti koju bi imala tranzitna struja kada na rotorima sinhronih mašina u EES ne bi bilo prigušnih namotaja; sa t' je označeno trajanje tranzitnog perioda).

3. Konačno, kada se završi tranzitni period (reda sekundi), uspostavlja se ustaljena vrednost naizmenične komponente (kada to ne bi bilo sprečeno delovanjem relejne zaštite u EES).

Dakle, ma koja veličina naizmenične komponente ∆ kola – xωΔ ( t ), dekomponovana na

vremenske sekvence, glasi:

xωΔ ( t )=¿¿ (3.2.1.3.1)

Sve tri komponente – suptranzitna, tranzitna i ustaljena, računaju se koristeći se odgovarajućim matematičkim modelima trofaznog ∆ kola. Ti modeli se razlikuju samo po tome što se parametri naizmeničnih mašina (generatori i mašine u okviru potrošača) biraju saglasno s vremenskom sekvencom koja se obrađuje (suptranzitna, tranzitna iustaljena)

S obzirom da su suptranzitni i tranzitni režim naizmenične komponente aproksimirani stacionarnim (prostoperiodičnim), sva tri režima mogu da se obrađuju u domenu kompleksnih brojeva, primenom standardnih postupaka za proračunnaizmeničnih (stacionarnih) režima električnih kola. Ovaj stav definitivno opravdava sprovođenje II dekompozicije. Naime tamo je od jednosmerne odvojena naizmenična komponente i njen proračun, u okviru prethodne dve dekompozicije, značajno pojednostavljen. Ono što se pri tom pojednostavljenju izgubilo, to je dinamika suptranzitnog i tranzitnog režima. Oni su pesimistički tretirani sa svojim početnim vrednostima

3.2.1.4 IV dekompozicija

Ova dekompozicija se odnosi na naizmeničnu komponentu režima EES s kratkim spojem, u svakoj od tri vremenske sekvence (III dekompozicija). Saglasno s pesimističkom pretpostavkom uvedenom u okviru III dekompozicije, svaka trofazna veličina naizmenične

komponente režima ∆ kola – xa ( t ) ,xb( t ) i xc (t ), (napon, struja, ... ), u svakoj od tri vremenske sekvence – prostoperiodična je, pa može da se tretira (transformiše) u 1 – domen

kompleksnih brojeva – X a , X b i X c i 2 – u domenu simetričnih komponenti – Xd , X

i.i

X 0. Ova druga transformacija predstavlja ovde obrađivanu IV dekompoziciju. (Napomena:

Ni ova transformacija ne bi bila moguća da EES, odnosno njegovo ∆ kolo, nije linearan.)

Transformacija jednog kola iz domena faznih u domen simetričnih komponenti podrazumeva: 1 – transformaciju svih trofaznih veličina režima kola iz faznog u domen

simetričnih komponenti i 2 – zamena trofaznog kola s njegova tri monofazna reprezenta – pogonske šeme za simetrične režime sva tri redosleda; te šeme povezuju simetrične komponente režimskih veličina razmatranog trofaznog kola; simetrične komponente trofaznih režimskih veličina, kao i pogonske šeme razmatranog kola, raspregnute su svuda osim na trofaznim elementima koji nisu uravnoteženi. S obzirom na uravnoteženost EES pre kratkog spoja, jedina neuravnoteženost, odnosno jedini element sprezanja pogonskih šema jeste neuravnotežena topologija kratkog spoja (osim u slučaju tropolnog).

Transformacija svih trofaznih veličina aproksimacije naizmenične komponente režima ∆ kola u domen simetričnih komponenti glasi:

X dio=AX abc ,

(3.2.1.4.1a)

pri čemu su korišćene oznake:

X abc=[X a

X b

X c] , X dio=[Xd

X i

X0 ] , A=13 [1 a a2

1 a2 a1 1 1 ]

.

(3.2.1.4.1b)

Relacije između simetričnih komponenti režimskih trofaznih veličina određene su pogonskim šemama trofaznog ∆ kola. One su prikazanena slikama 3.2.1.4.1, 3.2.1.4.2 i 3.2.1.4.3. Šeme su utvrđene zapažajući identičnu topologiju trofaznog kola, zamenom trofaznih čvorova monofaznim i trofaznih elemenata monofaznim reprezentima (zato su ti reprezenti na slikama 3.2.1.4.1, 3.2.1.4.2 i 3.2.1.4.3 označeni sa po jednom kosom crticom).

Pogonske šeme trofaznih elemenata generišu se na sledeći način:

Naizmenične mašine– Njihovi pogonski parametri (impedanse) u svakoj od tri pogonske šeme imaju posebne vrednosti: direktni parametri u prvoj šemi, inverzni parametri u drugoj šemi i nulti parametri u trećoj šemi (ako su namotaji statora povezani u zvezdu i ako je zvezdište mašine uzemljeno, što se praktično nikad ne radi; u suprotnom slučaju, naizmenična mašina predstavlja prekid za nultu komponentu.Važna napomena: Impedansa u pogonskoj šemi direktnog redosleda uzima suptranzitnu, tranzitnu, odnosno ustaljenu vrednost, zavisno od toga koji se režim proračunava; Impedanse u pogonskim šemama inverznog i nultog redosleda jednake su za svaku od tri vremenske sekvence.

Transformatori– Njihove pogonske šeme za simetrične režime direktnog i inverznog redosleda razlikuju se samo kada su im odnosi transformacije kompleksni, i to na vrednosti odnosa transformacije idealnog transformatora, a pogonska šema za simetrični režim nultog redosleda uvek se razlikujeod prethodne dve. Važna napomena: Parametri pogonskih šema transformatora jednaki su za svaku od tri vremenske sekvence.

Vodovi– Njihove pogonske šeme za sva tri simetrična režima jesu topološki iste, a šema za nulti redosled se po vrednostima parametararazlikuje od prve dve (koje su međusobno iste). Parametri pogonskih šema vodova nisu zavisni od vremenske sekvence za koju se proračunava režim.

PVTG

d

Čvor k (d) izvučen izvan EES

dki

dkU

Čvor k (d)EESΔd

R

PVTG

i

Čvor k (i) izvučen izvan EESi

ki

ikU

Čvor k (i)EESΔi

R

0

Čvor k (0) izvučen izvan EES

0ki

Čvor k (0)EESΔ0

Potrošači– Kada se u potrošačkim područjima nalaze i naizmenične mašine, odnosno transformatori, tada se, zbog tih elemenata, parametri s kojima se zamenjuju potrošači načelno međusobno razlikuju za sva tri redosleda. Važna napomena: Ista kao napomena u vezi sa naizmeničnim mašinama.

Tri kola – pogonske šeme ∆ kola, koje su prikazane na slikama 3.2.1.4.1, 3.2.1.4.2 i 3.2.1.4.3, raspregnute su svuda osim na mestu kratkog spoja – u čvoru k. To je rezultat činjenice da razmatrano kolo uravnoteženo svuda, osim na topologiji kratkog spoja, koja je priključena u čvoru k. (Ova će činjenica biti konstatovana i matematički, na matematičkom modelu ovog kola.) Kada se poznaju (izračunaju) sve tri simetrične komponente svake trofazne veličine (naponi, struje, ... ), u izabranoj vremenskoj sekvenci, trofazni naizmenični režim ∆ kola u toj vremenskoj sekvenci, tj. svaka trofazna veličina tog režima može da se izračuna na sledeći način:

X abc=A−1 Xdio , A−1=[ 1 1 1a2 a 1a a2 1 ]

.

(3.2.1.4.2)

Dakle, kod ove dekompozicije, proračun osnovnog režima se vrši superpozicije, ali ona nije zasnovana na prostom sabiranju, već na standardnoj transformaciji simetričnih komponenti u fazne veličine (3.2.1.4.2).

Slika 3.2.1.4.1 – Pogonska šema ∆ kola direktnog redosleda

Slika 3.2.1.4.2 – Pogonska šema ∆ kola inverznog redosleda.

Slika 3.2.1.4.3 – Pogonska šema ∆ kola nultog redosleda

Kada se poznaju (izračunaju) sve tri simetrične komponente naizmeničnog režima ∆ kola, u sve tri vremenske sekvence, tada se režimEES s kratkim spojem, u domenu faznih veličina, izračunava sledećim nizom superpozicija:

1. Tri proračuna simetričnih komponenti naizmenične komponente ∆ kola, po jedan za svaku od tri vremenske sekvence – suptranzitnu, tranzitnu i ustaljenu. Njihova superpozicija radi dobijanja veličina režima u faznom domenu, u sve tri vremenske sekvence. (Superpozicija na osnovu IV dekompozicije).

2. Agregacija u vremenu režima u sve tri vremenske sekvence, radi dobijanja naizmenične komponente režima ∆ kola. (Superpozicija na osnovu III dekompozicije).

3. Superpozicija naizmenične i jednosmerne komponente (sabiranje dve funkcije vremena), radi dobijanja potpunog režima ∆ kola. (Superpozicija na osnovu II dekompozicije).

4. Superpozicija režima ∆ kola i režima EES pre kratkog spoja (sabiranje korespondentnih veličina – napona istih čvorova, struja istih grana, ... ), radi dobijanja potpunog režima EES s kratkim spojem.(Superpozicija na osnovu I dekompozicije).

Dakle, proračun naizmenične i jednosmerne komponente ∆ kola ključni su momenti proračuna režima EES s kratkim spojem. Dva dela koja slede upravo su posvećena tim pitanjima.

3.2.2 Proračun naizmenične komponente ∆ kola

Kako je izloženo u prethodnim delovima, proračun naizmenične komponente ∆ kola (trofazni naponi i struje celog kola) sastoji se od proračuna po tri režima – tri simetrične komponente (direktna, inverzna i nulta), za svaku od tri vremenske sekvence – suptranzitna, tranzitna i ustaljena. Pošto su u pitanju (kvazi)stacionarni režimi, oni se mogu obrađivati u domenu kompleksnih brojeva.

Kada je u pitanju domen simetričnih komponenti, njegova je primena načelno motivisana eliminacijom kontrolisanih izvora tipa elektromagnetskih i kapacitivnih sprega unutar trofaznih uravnoteženih elemenata EES (kakav je EES koji se razmatra). Posle njihove eliminacije, matematički modeli pogonskih šema ∆ kola (njihove matrice admitansi) trivijalno se generišu i trivijalno obrađuju sa aspekta tih kontrolisanih izvora.

Ono što još preostaje u matematičkim modelima pogonskih šema ∆ kola (u njihovim matricama admitansi), to je problem najsloženijih kontrolisanih izvora – idealnih transformatora realnih odnosa transformacije iz pogonskih šema trofaznih transformatora sa nultim sprežnim brojevima, odnosno idealnih transformatora kompleksnih odnosa transformacije iz pogonskih šema trofaznih transformatora s nenultim sprežnim brojevima. Obe vrste idealnih transformatora eliminišu se primenom odgovarajućeg sistema relativnih vrednosti. Na taj način, s obzirom na uravnoteženost EES (osim na mestu kratkog spoja), s transformacijom modela ∆ kola iz domena faznih u domen simetričnih komponenti, kao i iz domena apsolutnih u domen relativnih vrednosti, eliminišu se svi kontrolisani izvori iz pogonskih šema ∆ kola, pa se njihovi matematički modeli (matrice admitansi) maksimalno trivijalizuju,kao što se maksimalno trivijalizuje i njihova obrada.

U razmatranjima koja slede, nezavisno od oznaka koje se budu koristile, smatraće se da su sve naizmenične veličine izražene u domenu kompleksnih brojeva i domenu relativnih vrednosti. Oznake u domenima faznih veličina i simetričnih komponenti biće posebno naglašavane.

Pod proračunom naizmenične komponente ∆ kola podrazumeva se proračun naizmeničnih komponenti faznih napona svih čvorova i faznih struja svih grana ∆ kola, što je bila definicija problema EES s kratkim spojem. Dovoljno je proračunati samo napone svih čvorova – stanje sistema. Stanjem se, po definiciji, garantuje rekonstrukcija svake druge veličine režima. Proračun stanja biće sproveden na matematičkom modelu naizmenične komponente ∆ kola.

3.2.2.1 Matematički model

Neka je sa noznačen broj trofaznih čvorova EES, u koje spada i čvor k u kojem se simulira kratak spoj, ali nije uračunat i čvor referentnog potencijala R – zemlja. Njegovo ∆ kolo, za proračun naizmenične komponente – slika 2.2.1.1.3, takođe se sastoji od n (trofaznih) čvorova, odnosno od 3n monofaznih čvorova, u koje takođe nije uračunata zemlja. Zato se ∆ kolo sastoji od 3n+1 čvorova. Ako se to kolo modeluje primenom metoda nezavisnih potencijala čvorova, onda se njegov matematički model – generalni model ∆ kola, nezavisno od domena u kojem se razmatra (domen faznih veličina ili domen simetričnih komponenti), sastoji od 3n jednačina, tj, njegova dimenzija je 3n:

J 3n,1Δ =Y 3n,3nU 3n,1

Δ , (3.2.2.1.1)

pri čemu su korišćene oznake:

J 3n,1Δ

– vektor-kolona injektiranih struja, po tri u svakom od n trofaznih čvorova;U 3n,1

Δ – vektor-kolona napona, po tri u svakom od n trofaznih čvorova;

Y 3n,3n– matrica admitansi.

U oznakama ove relacije, kao i u relacijama koje slede, radi njihovog pojednostavljenja, ne ističe se posebno da je reč o naizmeničnoj komponenti (tj, izostavljan je supskript ω). Da je reč o naizmeničnoj komponenti govore kompleksne veličine u relacijama.

U superskriptu oznaka veličina iz relacije (3.2.2.1.1) stoji ∆ da bi se ukazalo na to da se te veličine odnose na ∆ kolo, da bi se napravila njihova razlika u odnosu na korespondentne veličine režima EES pre kratkog spoja. Kod oznake za matricu admitansi te odrednice nema s obzirom da se elementi te matrice generišu iz elemenata EES, bio on s kratkim spojem ili ne. (∆ kolo je generisano iz EES potiskivanjem jedino idealnih izvora.)

Matrica admitansi Y 3n,3n (3.2.2.1.1), razlikuje se za svaku od tri vremenske sekvence (suptranzitna, tranzitna i ustaljena), i to na onim njenim elementima za čije se generisanje koriste parametri naizmeničnih mašina. Zavisno od toga za koju je vremensku sekvencu

generisana matrica admitansi Y 3n,3n , za tu vremensku sekvencu se generiše matematički model naizmenične komponente. Dakle, reč je o tri modela i tri odgovarajuća proračuna. Forme tih modela i njihove obrade međusobno su isti, pa se zato, ni u prethodnim niti u narednim izlaganjima neće insistirati na vremenskoj sekvenci o kojoj je reč.

Kompleksnih relacija (3.2.2.1.1) ima 3n. Matrica admitansi Y 3n,3n sastoji se od poznatih elemenata. Ti elementi se u domenu simetričnih komponenti i domenu relativnih vrednosti trivijalno generišu. Ona je simetrična i retka. Da bi se izračunala naizmenična komponenta režima ∆ kola, iz ovog modela potrebno je izračunati vektor-kolonu napona

U3n,1 , tj, stanje ∆ kola. Kada bi se poznavao vektor kolona injektiranih struja I 3n ,1 tada bi se

vektor-kolona napona mogla izračunati rešavanjem sistema linearnih kompleksnih jednačina (3.2.2.1.1).

S obzirom da je ∆ kolo pasivno svuda osim na mestu kratkog spoja (čvor k), to su svi elementi vektora injektiranih struja jednaki nuli, osim injektiranih struja u čvoru k. Te su struje posledica priključenih idealnih naponskih izvora (jedino) u tom čvoru – slika 3.2.1.1.3:

J ajΔ ,Jbj

Δ ,JcjΔ = 0, 0, 0 , j≠k

-IakΔ ,−I bk

Δ ,−I ckΔ ≠ 0, 0, 0 , j=k

, j= 1,2,...,n,

(3.2.2.1.2a)

u domenu faznih veličina, odnosno, u domenu simetričnih komponenti:

J jΔ ,J j

Δ ,J jΔ = 0, 0, 0 , j≠k

-IkΔd ,−I kΔi ,−I k

Δo ≠ 0, 0, 0 , j=k , j= 1,2,...,n.

(3.2.2.1.2b)

(Znak minus je rezultat činjenice da u metodu nezavisnih potencijala čvorova sa znakom plus idu injektirane struje usmerene od zemlje ka čvoru,a u slučaju ovih struja smer je obrnut.)

Injektirane struje u čvoru k predstavljaju struje na mestu kratkog spoja u ∆ kolu. One, sabrane sa odgovarajućim jednosmernim komponentama,definitivno predstavljaju struje na mestu kratkog spoja EES (pošto tih struja pre kratkog spoja nije bilo). Dakle, kada bi se poznavale samo struje na mestu kratkog spoja u ∆ kolu (3.2.2.1.2), sistem jednačina (3.2.2.1.1) bi mogao da se reši po naponima u svim čvorovima ∆ kola, odnosno po stanju tog kola. Zato je proračun te tri struje ključni momenat proračuna naizmenične komponente ∆ kola, pa se zato razmatranja koja slede odnose na proračun upravo te tri struje.

Postoji više postupaka za proračun tih struja. Jedan je od njih eksplicitno zasnovan na Generalizovanoj Thevenin/Norton-ovoj teoremi. Naime, ako se celokupno ∆ kolo, do čvora k, bez ansambla kratkog spoja (slika 3.2.1.1.3), zameni Thevenin/Norton-ovim ekvivalentom, pa se, umesto na originalno kolo, taj ansambl priključi na ekvivalent, onda se tako pojednostavljeno kolo može rešiti po traženim strujama kratkog spoja ∆ kola (3.2.2.1.2b).

Ovde će biti prikazan postupak koji se zasniva na istom ekvivalentu, ali indirektno. Matematički gledano, model (3.2.2.1.1) nije potpun s obzirom da se u njegovih 3n relacija nalazi 3n+3 nepoznate veličine: 3n napona i tri struje injektirane u čvoru k. Fizički gledano, relacije (3.2.2.1.1) važe nezavisno od toga šta se desilo na mestu kratkog spoja (čvor k), tj, koji se kratak spoj dogodio, a struje na mestu kratkog spoja za sve vrste kratkih spojeva nisu iste. Odnosno relacije (3.2.2.1.1) pokrivaju više režima (rešenja, gledano matematički), što je matematički potpuno saglasno sa situacijom sistema s više nepoznatih veličina nego jednačina kojima se te nepoznate opisuju. Dakle, da bi se kompletirao matematički model za proračun naizmenične komponente ∆ kola (3.2.2.1.1), njega jepotrebno dopuniti sa opisom ansambla kratkog spoja (∆ kola) koji je priključen u čvoru k. Taj ansambl sadrži topologiju kratkog spoja i tri idealna naponska izvora.

Ma kakva linearna topologija kratkog spoja da se insertuje između tačaka (čvorova) a', b' i c' (slika 3.2.1.1.3) i zemlje, režim u njoj se može opisati sa tri linearne relacija kojima se povezuju naponi tačaka a', b' i c' i injektirane struje u tim tačkama – terminalni uslovi kratkog spoja, ili, samo uslovi kratkog spoja:

F1 (Ua'kΔ , Ub'k

Δ , Uc'kΔ , Iak

Δ , IbkΔ , Ick

Δ) = 0 ,

(3.2.2.1.3a)

F2 (Ua'kΔ , Ub'k

Δ , Uc'kΔ , Iak

Δ , IbkΔ , Ick

Δ) = 0 ,

(3.2.2.1.3b)

F3 (Ua'kΔ , Ub'k

Δ , Uc'kΔ , Iak

Δ , IbkΔ , Ick

Δ) = 0 .

(3.2.2.1.3c)

Terminalni uslovi za sve razmatrane vrste metalnih kratkih spojeva dati su u tabeli 3.2.2.1.1. Za jednofazni kratak spoj razmatra se slučaj kratkog spoja faze a, a za dvofazni kratak spoj – faze b i c (slika 3.1).

Tabela 3.2.2.1.1– Terminalni uslovi za sve razmatrane vrste metalnih kratkih spojeva.

1FKS(faza a)

2FKS(faze b i c)

2FKSZ(faza a)

3FKS 1FKSZ

F1 Ua'kΔ

= 0 IakΔ

= 0 IakΔ

= 0 IakΔ + I bk

Δ + IckΔ

= 0 Ua'kΔ

= 0

F2 IbkΔ

= 0 IbkΔ + I ck

Δ= 0 U b'k

Δ= 0 U b'k

Δ -Uc'kΔ

= 0 Ub'kΔ

= 0

F3 IckΔ

= 0 Ub'kΔ - Uc'k

Δ=0 Uc'k

Δ= 0 Uc'k

Δ -Ua'kΔ

= 0 Uc'kΔ

= 0

Ako se relacije (3.2.2.1.3), kojima se opisuje topologija bilo kojeg kratkog spoja, pridruže relacijama (3.2.2.1.1), onda opet tih 3n+3 relacija ne bi bile potpun matematički model pošto bi u njima bilo 3n+6 nepoznatih veličina – na 3n+3 prethodne nepoznate

veličine, sa tri relacije (3.2.2.1.3) dodata su još tri nepoznata napona Ua'kΔ , U b'k

Δ

i Uc'k

Δ.

Naravno, fizički gledano, model i dalje nije potpun s obzirom da još uvek nisu opisani idealni naponski izvori insertovani u čvoru k. Koristeći se drugim Kirchhoff-ovim zakonom, tri grane ansambla kratkog spoja mogu da se (nezavisno od topologije kratkog spoja) opišu sledećim relacijama (slika 3.2.1.1.3): Ua'k

Δ −Uak=U akΔ , (3.2.2.1.4a)

U b'kΔ −U bk=Ubk

Δ , (3.2.2.1.4b)

U c'kΔ −U ck=U ck

Δ . (3.2.2.1.4c)

Naizmenična komponenta režima trofaznog ∆ kola, kao i ono što se desilo na mestu kratkog spoja – insertovani idealni naponski izvori i topologija kratkog spoja (ansambl kratkog spoja), potpuno je opisana sa sledećih 3n+6 relacija:

1. 3n relacija (3.2.2.1.1), kojima se opisuje ∆ kolo u faznom domenu – generalni model ∆ kola (nezavisno od toga šta se desilo u čvoru k),

2. 3 relacije (3.2.2.1.3), kojima se opisuje topologija kratkog spoja – uslovi kratkog spoja,

3. 3 relacije (3.2.2.1.4), kojima se opisuju insertovani idealni naponski izvori u granama ansambla kratkog spoja,

sa isto toliko (3n+6) nepoznatih veličina:

1. 3n napona čvorova ∆ kolo – Ua1

Δ , Ub1Δ ,U c1

Δ , Ua2Δ , Ub2

Δ , U c2Δ ,. .. , U ak

Δ ,U bkΔ , U ck

Δ , .. . , UanΔ ,U bn

Δ , U cnΔ ,

2. 3 struje injektirane u k - tom čvoru – , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ (2. 2.2 .1 .3 )

3. 3 napona ansambla kratkog spoja, ali u domenu faznih veličina – Ua'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ

(3.2.2.1.3).

Tri sistema relacija (3.2.2.1.1), (3.2.2.1.2) i (3.2.2.1.3), predstavljaju potpun matematički model za proračun naizmenične komponente ∆ kola u domenu faznih veličina.

Nedostatak izvedenog matematičkog modela za proračun naizmenične komponente režima ∆ kola upravo je u tome što je iskazan u domenu faznih veličina, sa svim problemima koje nameću elektromagnetske i kapacitivne sprege. Zato, taj je model pogodno iskazati u znatno komfornijem domenu simetričnih komponenti – IV dekompozicija. To se može učiniti ili transformacijom relacija (3.2.2.1.1) u domen simetričnih komponenti, ili direktnim utvrđivanjem matematičkih modela pogonskih šema ∆ kola za direktni, inverzni i nulti redosled – slike 3.2.1.4.1,3.2.1.4.2 i 3.2.1.4.3, respektivno. Svaka od tih šema (kola) se sastoji

od n monofaznih čvorova (plus zemlja). Topološke strukture prve dve pogonske šeme (za direktni i inverzni redosled) jednake su međusobno i potpuno prate topološku strukturu trofaznog ∆ kola. Samo se parametri ta dva kola međusobno razlikuju (na rotacionim mašinama). Topološka struktura treće pogonske šeme (za nulti redosled), ne samo da se razlikuje po parametrima od prethodne dve, već i po topologiji (na transformatorima i rotacionim mašinama).

Matematički model svake od tih šema (kola), napisan saglasno s metodom nezavisnih potencijala čvorova, sastoji se od n relacija: Jn,1Δs=Y n,n

Δs U n,1Δs , s=d, i,o ; (3.2.2.1.5)

pri čemu korišćene oznake imaju značenja: • vektor napona čvorova pogonske šeme s-tog redosleda:

[U n,,1Δs ]T=[U 1

Δs ,U2Δs ,. . . ,Uk

Δs , .. . ,UnΔs ] , s=d,i,o; (3.2.2.1.6)

• vektor injektiranih struja čvorova pogonske šeme s-tog redosleda:

[ J n,,1Δs ]T=[0,0,…,−I kΔs ,…,0 ] , s=d,i,o; (3.2.2.1.7)

• matrica admitansi pogonske šeme s-tog redosleda:

Y n,ns =[

Y 11s Y 12

s ⋯ Y 1ks ⋯ Y 1n

s

Y 21s Y 22

s ⋯ Y 2ks ⋯ Y 2n

s

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮Y k1

s Y k2s ⋯ Y kk

s ⋯ Y kns

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮Y n1

s Y n2s ⋯ Y nk

s ⋯ Y nns

] , s=d,i,o, (3.2.2.1.8)

čijom se inverzijom dobija matrica impedansi pogonske šeme s-tog redosleda:

Zn,ns =[

Z11s Z12

s ⋯ Z1ks ⋯ Z1n

s

Z21s Z22

s ⋯ Z2ks ⋯ Z2n

s

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮Z k1

s Zk2s ⋯ Zkk

s ⋯ Zkns

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮Z n1

s Zn2s ⋯ Znk

s ⋯ Znns

] , s=d,i,o . (3.2.2.1.9)

Koristeći se matricama impedansi pogonskih šema, relacijama (3.2.2.1.5) može da se da oblik:

U n,1Δs=Z n,n

s In,1Δs , s=d, i,o (Zn,n

s =[ Y n,ns ]−1).

(3.2.2.1.10)

Matrice admitansi Y n,ns

razlikuju se za svaku od tri vrste simetrije, a kada se radi o matrici za direktni redosled, tada se ona menja za svaku od tri vremenske sekvence

(suptranzitnu, tranzitnu i ustaljenu). Isto važi iza matricu impedansiZn,ns

.

U vezi sa matricama admitansi i impedansi potrebno je da se naglasi sledeće:

1. pošto se elementi matrice admitansi (3.2.2.1.8) generišu trivijalno, a elementi matrice impedansi (3.2.2.1.9) ne, kao i

2. pošto je matrica admitansi retka, a matrica impedansi puna, 3. relacije u formi (3.2.2.1.10), u odnosu na relacije istog kola (6.2.3.1.5), niti se mogu

jednostavno napisati niti jednostavno obrađivati.

Relacije (3.2.2.1.10) predstavljaju generalni model ∆ kola u impedantnoj formi, a relacije (3.2.2.1.5) – generalni model ∆ kola u admitantnoj formi. Oba modela jesu teorijski ravnopravna, ali njihovo korišćenje prilikom proračuna naizmenične komponente ∆ kola nije praktično jednako.

U ovom trenutku se stiglo do sledećeg matematičkog modela ∆ kola s kratkim spojem:

1. 3n relacija (3.2.2.1.5) – modeli pogonskih šema ∆ kola – generalni model ∆ kola u admitantnoj formi (nezavisno od toga šta se desilo u čvoru k),

2. 3 relacije (3.2.2.1.3) – uslovi kratkog spoja, 3. 3 relacije (3.2.2.1.4) – opis insertovanih idealnih naponskih izvora u granama

ansambla kratkog spoja.

Ovaj model ∆ kola nije potpun zbog toga što u njegovih 3n+6 relacija sada ima 3n+12 nepoznatih veličina:

1. 3n napona čvorova tri pogonske šeme – U1

Δs ,U 2Δs ,. . . , U k

Δs , .. . , UnΔs , s=d ,i , o ; (3 .2 .2 . 1. 6 ) ,

2. 3 struje injektirane u k-tom čvoru – struje na mestu kratkog spoja∆ kola – I k

Δd , I kΔi , I k

Δo , (3.2.2.1.7), 3. 6 veličina (tri napona i tri struje) ansambla kratkog spoja ali u domenu faznih veličina

– Ua'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I a'k

Δ , I b'kΔ , I c'k

Δ (3.2.2.1.3),

4. 3 napona iz relacija kojima se opisuju grane ansambla kratkog spoja, u faznom

domenu – UakΔ , Ubk

Δ ,U ckΔ

(3.2.2.1.4), dok su naponi na mestu kratkog spoja Uak , Ubk ,U ck , poznate veličine s obzirom na pretpostavku o poznatom režimu EES pre kratkog spoja.

Ovim relacijama – (3.2.2.1.5), (3.2.2.1.3), (3.2.2.1.4), isto kao i modelom u faznom domenu – (3.2.2.1.1), (3.2.2.1.3) i (3.2.2.1.4), načelno je opisano ∆ kolo i ansambl kratkog spoja (uslovi kratkog spoja i grane ansambla kratkog spoja). Dakle, njegova nepotpunost je

formalne prirode. Naime, tri napona i tri struje čvora k – U kΔ , U k

Δ , U kΔ , I k

Δ , I kΔ , I k

Δ , u relacijama (3.2.2.1.5) iskazani su u domenu simetričnih komponenti, a u relacijama (3.2.2.1.3) i (3.2.2.1.4) – u domenu faznih veličina. Tako, formalno, u razmatranom modelu ima 6 nepoznatih veličina više nego jednačina. Tih 6 veličina, koje su jednom iskazane u domenu faznih veličina, a drugi put u domenu simetričnih komponenti, međusobno su povezane matricom transformacije faznih veličina u domen simetričnih komponenti A:

[U kΔd

U kΔi

U kΔo ]=A [Uak

Δ

UbkΔ

U ckΔ ] , (3.2.2.1.11

)

[ I kΔd

I kΔi

I kΔo ]=A[ I ak

Δ

IbkΔ

I ckΔ ] . (3.2.2.1.12

)

Time je kompletiran matematički model ∆ kola s kratkim spojem u domenu simetričnih komponenti. On se sastoji od 3n+12 algebarskih, linearnih, simultanih, kompleksnih jednačina: – 3n relacija,generalni model u domenu, simetričnih komponenti, Jn,1Δs=Y n,n

s U n,1Δs , s=d, i,o , (3.2.2.1.13a

)

– 3 relacije, uslovi kratkog spoja u domenu faznih veličina, F1(Ua'k

Δ , Ub'kΔ ,U c'k

Δ , I akΔ , I bk

Δ , I ckΔ )=0 ,

F2(Ua'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ )=0 ,

F3(U a'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ )=0 ,

(3.2.2.1.13b)

– 3 relacije, opis grana ansambla kratkog spoja,Ua'k

Δ −Uak=U akΔ ,

U b'kΔ −U bk=Ubk

Δ , (3.2.2.1.13c)

U c'kΔ −U ck=U ck

Δ ,

– 3 relacije,transformacije faznih napona u domenu simetričnih komponenti,

[U kΔd

U kΔi

U kΔo ]=A [Uak

Δ

UbkΔ

U ckΔ ] , (3.2.2.1.13d

)

– 3 relacije, transformacije faznih struja na mestu kratkog spoja ∆ kola u domen simetričnih komponenti.

[ I kΔd

I kΔi

I kΔo ]=A[ I ak

Δ

IbkΔ

I ckΔ ] , (3.2.2.1.13e

)

U modelu (3.2.3.1.13) ima isto toliko nepoznatih kompleksnih veličina – 3n+12:

– 3n nepoznatih simetričnih komponenti napona čvorova ∆ kola:U1

Δs ,U 2Δs ,. . . , U k

Δs , .. . , UnΔs , s=d ,i , o ; (3.2.2.1.14a

)

– 3 nepoznate simetrične komponente struja injektiranih u k-tom čvoru – struje na mestu kratkog spoja ∆ kola:I k

Δd , I kΔi , I k

Δo . (3.2.2.1.14b)

– 3 fazna napona ansambla kratkog spoja i 3 struje ansambla kratkog spoja:Ua'k

Δ , Ub'kΔ ,U c'k

Δ , I a'kΔ , I b'k

Δ , I c'kΔ (3.2.2.1.14c

)

– 3 fazna napona na mestu kratkog spoja ∆ kola:Uak

Δ , UbkΔ ,U ck

Δ (3.2.2.1.14c)

S obzirom na postavku problema EES s kratkim spojem (potrebno je izračunati režim celog EES s kratkim spojem u čvoru k), dovoljno je da se model (3.2.2.1.13) i (3.2.2.1.14) reši po vektoru stanja – 3n faznih napona n trofaznih čvorova ∆ kola (3.2.2.1.14a). Na osnovu tog vektora, po definiciji, može da se izračuna svaka veličina režima ∆ kola. Dakle, proračun 3n nepoznatih simetričnih komponenti napona čvorova ∆kola, iz matematičkog modela (3.2.2.1.13), rešava u tekstu koji sledi.

3.2.2.2 Rešenje matematičkog modela

Osnovni deo modela (3.2.2.1.13a) – generalni model ∆ kola u domenu simetričnih komponenti, sastoji se od 3n algebarskih, linearnih, simultanih, kompleksnih jednačina. One, pored traženog vektora stanja ∆ kola, sadrže još tri vektora injektiranih struja u njegove

čvorove – Jn,1Δs , s=d, i,o . S obzirom na pasivnost ∆ kola svuda osim u čvoru kratkog spoja k,

u svakom od ta tri vektora nalazi se samo po jedna nenulta injektirana struja – ona u čvoru

kratkog spoja k – I kΔs , s=d, i,o . (3.2.2.1.7). Kada bi se te tri struje poznavale, tada bi se 3n

linearnih jednačina modela (3.2.2.1.13a) mogle rešiti po potrebnom vektoru stanja ∆ kola u domenu simetričnih komponenti – 3n simetričnih komponenti napona n trofaznih čvorova ∆ kola. Zato su te tri struje ključne nepoznate veličine razmatranog matematičkog modela. Njihov proračun pitanje je koje se rešava u tekstu koji sledi.

Dakle, u pitanju je proračun režima samo na mestu kratkog spoja, zato što je to put za određivanje režima celog ∆ kola. Sa 6 relacija (3.2.2.1.13b, c), opisano je sve što se desilo na mestu kratkog spoja (topologija kratkog spoja i insertovani idealni naponski izvori). Sa 6 relacija (3.2.2.1.13d, e), naponi i struje na mestu kratkog spoja transformisani su u domen

simetričnih komponenti. U tih 12 relacija ima 15 nepoznatih veličina sažetih u skupu X k :

X k=U akΔ , Ubk

Δ U ckΔ U k

Δd U kΔi U k

Δo

Ua'kΔ U b'k

Δ U c'kΔ I ak

Δ IbkΔ I ck

Δ U kΔd U k

Δi U kΔo , (3.2.2.2.1)

koji sadrži (u ovom trenutku) ključne nepoznate veličine I kΔd , I k

Δi , I kΔo . Zato, ih 12 relacija

nisu dovoljne da se izračunaju ključne nepoznate veličine. Fizički gledano, te struje nisu određene samo onim što se desilo u čvoru k ∆ kola, već i samim ∆ kolom. Dakle, nedostaje

skU

skI

Čvor k(s)

R

skZ

opistog kola – u originalu, ili preko ekvivalenta sa zamenjenim delovima ∆ kola koji nisu od interesa. A pošto su u ovom momentu od interesa samo struje čvora k, onda se celo ∆ kolo može ekvivalentirati. Za to ekvivalentiranje ovde se izlažu dva postupka:

Prvi postupak

Pogonske šeme ∆ kola, prikazane na slikama 3.2.2.4.1, 3.2.2.4.2 i 3.2.2.4.3, predstavljaju pasivna kola svuda osim u čvoru k (∆ kolo je pasivno svuda osim u čvoru k). S

obzirom na tu pasivnost, kola se mogu prikazati ekvivalentnim impedansama ZkΔd , Zk

Δi , ZkΔo

.

Te impedanse predstavljaju potpune reprezente pogonskih šema sa aspekta čvora k(kada režim izvan čvora k nije od interesa). Sada, uticaj ∆ kola na režim čvora k može da se iskaže sledećim relacijama:

U kΔd=−Zk

d I kΔd (3.2.2.2.2a)

U kΔi=−Zk

i I kΔi (3.2.2.2.2b

)

U kΔo=−Zk

o I kΔo (3.2.2.2.2c)

Sa ove tri relacije može da se kompletira sistem od 15 jednačina sa isto toliko nepoznatih veličina, koji treba rešiti, kako je već rečeno, samo po ključnim nepoznatim veličinama –

strujama I kΔd , I k

Δi , I kΔo . Pre nego što se izloži postupak za proračun tih struja, pa zatim

proračun režima celog ∆ kola, razmotriće se refleksije vrlo jednostavnih ekvivalentnih

impedansi ZkΔd , Zk

Δi , ZkΔo

prema Thevenin/Norton-ovom ekvivalentu koji se, kako je već rečeno, često koristi za proračun režima EES s kratkim spojevima, pa zatim prikazati drugi postupak za njihovo izračunavanje.

Slika 3.2.2.2.1 – Ekvivalentne šeme pogonskih šema

Naime, neka se razmatra uravnotežen EES s kratkim spojem u čvoru ki želi proračun režima u tom čvoru. Ekvivalentna šema EES može da se transformiše u domen simetričnih komponenti, odnosno da se EES prikaže sa tri pogonske šeme – za simetrične režime direktnog, inverznog i nultog redosleda. Za razliku od pogonskih šema ∆ kola, prikazanih na slikama 3.2.4.1, 3.2.4.2 i 3.2.4.3, ove šeme nisu pasivne svuda osim u čvoru k, nego se u njima nalaze svi idealni izvori sinhronih mašina razmatranog EES. (Kada bi se u tim šemama idealni izvori pasivizirali, tada bi se dobile pogonske šeme ∆ kola – slike 3.2.4.1, 3.2.4.2 i 3.2.4.3.) Te tri šeme (sa uključenim idealnim izvorima) mogu da se ekvivalentiraju

Thevenin/Norton-ovim ekvivalentima do čvora k, a da se kratak spoj u čvoru k zadrži u originalu. S tim ekvivalentima, modelujući i uslove kratkog spoja, mogu da se izračunaju struje i naponi kratkog spoja, a zatim i režim u celom EES s kratkim spojem. Ova se ideja, kako je već rečeno, često koristi za proračune EES s kratkim spojevima. Ona nije ovde od interesa. Ovde se režimi EES s kratkim spojevima proračunavaju koristeći se idejom ∆ kola. Ali ono što jeste ovde od interesa, to su Thevenin-ove impedanse u pomenutim ekvivalentima. Thevenin-ova impedansa dela kola koje se zamenjuje ekvivalentom izračunava se na sledeći način:

1. Razdvajanje dela kola koji nije od interesa od dela kola koji jeste od interesa; u slučaju koji se razmatra, to razdvajanje se vrši u čvoru ku svakoj od tri pogonske šeme; s jedne strane čvora k se nalazi pogonska šema EES bez kratkog spoja – deo kola koji nije od interesa, a s druge njegove strane samo kratak spoj– deo kola koji jeste od interesa;

2. Pasiviziranje svih idealnih izvora u delu kola kojinije od interesa; 3. Izračunavanje ekvivalentne impedanse tog dela viñene iz čvora k.

Impedansa izračunata u trećem koraku jeste – Thevenin-ova impedansa, a njena recipročna vrednost jeste Norton-ova admitansa. Ako se postupak za izvođenje Thevenin-ove impedanse viñene iz čvora k, uporedi s postupkom za izračunavanje ekvivalentnih impedansi sa slika 3.2.2.2.1, očigledno je da je reč o istim veličinama. Dakle, ekvivalentne impedanse pogonskih šema ∆ kola (slike 3.2.4.1, 3.2.4.2 i 3.2.4.3), viđene iz čvora kratkog spoja k, nisu ništa drugo do Thevenin -ove impedanse EES, viđene iz čvora k, naravno, u domenu simetričnih komponenti. Zato je u okviru tačke 3.2.2.1 rečeno da je postupak koji se ovde koristi za proračun naizmenične komponente ∆ kola samo indirektna primena Thevenin/Norton-ove teoreme.

Drugi postupak

Matrične relacije (3.2.2.1.1) i (3.2.2.1.5) predstavljaju generalne modele ∆ kola u domenu faznih veličina i u domenu simetričnih komponenti, respektivno. Ako se pogledaju impedantne forme tih modela (3.2.2.1.10), onda se mogu uočiti i njihove k-te relacije:

U kΔs=−Zkk

s I kΔs , s=d, i, o (3.2.2.2.3)

pri čemu su naponi i struje u tim relacijama jednaki s korespondentnim veličinama na ekvivalentnim šemama pogonskih šema prikazanim na slikama 6.2.3.2.1. Ta tri ekvivalentna kola su opisana sa drugim Kirchhoff-ovim zakonom nasledeći način (3.2.2.2.2):U k

Δs=−Zks I k

Δs , s=d, i, o (3.2.2.2.4)

S obzirom da relacije (3.2.2.2.3) i (3.2.2.2.4) imaju identičnu formu i povezuju iste režimske

veličine, parametri – impedanse Zkks i Zk

s moraju biti iste: Zkk

s =Zks .

Dakle, pogonska Thevenin-ova impedansa EES viñena iz ma kog čvora k prema sistemu (u čvoru k ne mora ni biti kratkog spoja) i k-ti dijagonalni element matrice impedansi pogonske šeme EES – jednake su, odnosno reč je o istom parametru, koji se može izračunati primenom dva različita postupka. Sada se može uspostaviti najavljeni sistem od 15 jednačina – matematički model režima čvora k ∆ kola:

F1(Ua'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ )=0 ,

F2(Ua'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ )=0 ,

F3(U a'kΔ , Ub'k

Δ ,U c'kΔ , I ak

Δ , I bkΔ , I ck

Δ )=0 ,

(3.2.2.2.5a)

Ua'kΔ −Uak=U ak

Δ

,

U b'kΔ −U bk=Ubk

Δ

,

U c'kΔ −U ck=U ck

Δ

.

(3.2.2.2.5b)

[U kΔd

U kΔi

U kΔo ]=A [Uak

Δ

UbkΔ

U ckΔ ] (3.2.2.2.5c)

[ I kΔd

I kΔi

I kΔo ]=A[ I ak

Δ

IbkΔ

I ckΔ ] (3.2.2.2.5d

)

U kΔs=−Zk

s I kΔs , s=d, i, o (3.2.2.2.5e)

Ukupno relacija: 15.sa isto toliko nepoznatih veličina:

- 3 nepoznate simetrične komponente napona k -tog čvora ∆ kola, U kΔs , s=d, i,o . (3.2.2.2.6a)

- 3 nepoznate simetrične komponente struja injektiranih u k-tom čvoru – struje na mestu

kratkog spoja ∆ kola, I k

Δd , I kΔi , I k

Δo . (3.2.2.2.6b)

- 6 faznih napona i struja ansambla kratkog spoja, Ua'k

Δ , Ub'kΔ ,U c'k

Δ , I akΔ , I bk

Δ , I ckΔ

(3.2.2.2.6c)

- 3 fazna napona na mestu kratkog spoja ∆ kola. UakΔ , Ubk

Δ ,U ckΔ

(3.2.2.2.6d) (Ispred relacija i nepoznatih veličina nalaze se njihovi referentni brojevi iz njihove prve pojave.)

Forma jednačina (3.2.2.2.5)i skup nepoznatih veličina (3.2.2.2.6) isti su za svaki od razmatranih kratkih spojeva. Ono što se menja zavisno od vrste kratkog spoja to su parametri linearnih relacija (3.2.2.2.5a). One su date u Tabeli 6.2.3.1.1.

Od 15 nepoznatih veličina (3.2.2.2.6), koje se mogu izračunati iz sistema od 15 jednačina (3.2.2.2.5), od neposrednog interesa su samo tri ključne nepoznate veličine – struje

∆ kola u čvoru s kratkim spojem –I kΔd , I k

Δi , I kΔo . Formule za njihovo izračunavanje, za sve

četiri vrste metalnih kratkih spojeva, prikazane su u Tabeli (3.2.2.2.1).

Tabela (3.2.2.2.1) – Formule za proračun struja čvora s kratkim spojem u ∆ kolu.1FKS faze a

( I kΔd=I k

Δi=I kΔo)

2FKS faze b i c

( I kΔd=I k

Δi )2FKS faza b i c 3FKS(Z)

I kΔd 1

Zkkd +Zkk

i +Z kk0

U ak1

Zkkd +Zkk

iUak

Zkkd +Z kk

0

Zkkd Zkk

i +Zkkd Zkk

0 +Zkki Zkk

0U ak

1

Zkkd

Uak

I kΔi 1

Zkkd +Zkk

i +Z kk0

U ak − 1

Zkkd +Zkk

iUak −

Z kk0

Zkkd Zkk

i +Zkkd Zkk

0 +Zkki Zkk

0U ak

0

I kΔo 1

Zkkd +Zkk

i +Z kk0

U ak0

−Z kk

i

Zkkd Zkk

i +Zkkd Zkk

0 +Zkki Zkk

0U ak

0

Kada se izračunaju struje čvora s kratkim spojem u ∆ kolu tada se poznaju vektori sa levih strana tri skupa od n relacija (6.2.3.1.13a) – modela pogonskih šema ∆ kola u admitantnoj formi. Tada se ta tri skupa od po n relacija – jednačina mogu rešiti po tri skupa nepoznatih (simetričnih komponeneti) napona svih n trofaznih čvorova ∆ kola (dakle, uključen je i napon samog čvora s kratkim spojem k). Ta tri sistema od po n jednačina, svaki sa po n nepoznatih veličina – simetričnih komponenti jednog redosleda napona svih n čvorova, mogu da se reše svaki za sebe, odnosno – oni su raspregnuti. To je rasprezanje rezultat izračunatih veličina na mestu kratkog spoja.

Za rešenje svakog od tri sistema od n jednačina sa po n nepoznatih veličina, ovde se nude dva postupka:

Prvi postupak

Prvi postupak se sastoji od primene Gauss-ovog metoda sukcesivnih eliminacija. Pri tom, s obzirom na retkost sve tri matrice admitansi za to rešavanje, ako je u pitanju elektroenergetski sistem standardnih dimenzija, nužno je koristiti tehniku retkih matrica.

Drugi postupak

Ovaj postupak zasnovan na impadantnim formama matematičkih modela pogonskih šema ∆ kola (6.2.3.2.10), s matricama impedansi (6.2.3.2.9). U razvijenoj formi ti modeli glase:

Kada se raspolaže sa tri struje iz matričnih relacija sledi da se naponi u svim čvorovima ∆ kola računaju na sledeći način:

Dakle, da bi se realizovao ovaj postupak za proračun napona ∆ kola s kratkim spojem u jednom čvoru (k), potrebno je poznavati kolone (vrste) pogonskih matrica impedansi ∆ kola, korespodentne čvoru k:

Koristeći se jednim od dva navedena postupka, ili nekim drugim postupkom, mogu da se izračunaju simetrične komponente napona u svim čvorovima ∆ kola (pa i u čvoru s

kratkim spojem k). Ove veličine – rešenje modela ∆ kola – predstavljaju stanje naizmenične komponente ∆ kola, domenu simetričnih komponenti. Iz njih prema definiciji stanja, može da se rekonstruiše celokupni režim ∆ kola, pa da se on prevede u domen faznih veličina. Ali, pre toga, ostaje da se razmotre tri vremenske sekvence na koje je podeljen dinamički režim elektroenergetskog sistema s kratkim spojem.

6.2.3.3 Suptranzitni, tranzitni i ustaljeni režim

Naizmenična komponenta režima trofaznog ∆ kola sastoji se od tri vremenske sekvence (režima) – suptranzitni, tranzitni i ustaljeni period. Suptranzitni i tranzitni režim rezultat su dinamike koja se dešava isključivo u komponenti direktnog redosleda. Komponente inverznog i nultog redosleda nisu po svojoj prirodi dinamičke, ali, pošto su spregnute na mestu (neuravnoteženog) kratkog spoja, promene u pogonskoj šemi direktnog redosleda izazivaju promene i u ostale dve pogonske šeme. Dakle, ne bi bilo korektno da se samo komponenta direktnog redosleda računa u tri vremenske sekvence, a ostale dve komponente samo jednom. Odnosno, naizmenična komponenta trofaznog režima ∆ kola nužno je da se modeluje i proračuna tri puta – za svaku od tri vremenske sekvence posebno. To znači: ako se želi proračun naizmenične komponente u izabranoj vremenskoj sekvenci (suptranzitni, tranzitni i ustaljeni period), onda matematički model (6.2.3.2.13), odnosno njegovu matričnu relaciju kojom se opisuje pogonska šema ∆ kola direktnog redosleda (6.2.3.2.8), treba formirati s parametrima naizmeničnih mašina koje odgovaraju izabranoj vremenskoj sekvenci. Za simetričnu komponentu direktnog redosleda, za suptranzitni režim, matrica admitansi formira se sa suptranzitnim parametrima, za tranzitni sa tranzitnim, a za ustaljeni sa parametrima naizmeničnih mašina za ustaljene režime. Matrice admitansi za inverzni i nulti redosled, respektivno – jedinstvene jesu za sve tri vremenske sekvence. Dakle, generalni model ∆ kola (6.2.3.2.13a) formira se sa sledećim trojkama matrica admitansi:

suptranzitna sekvenca – tranzitna sekvenca – ustaljena sekvenca –

S tim parametrima, rezultat rešenja matematičkog modela ∆ kola jeste naizmenična komponenta režima ∆ kola u izabranoj vremenskoj sekvenci. Dakle, kako je vec rečeno, ako se želi proračun režima u sve tri vremenske sekvence, onda se matematički model ∆ kola i njegovo rešenje moraju ponoviti tri puta – za svaku od tri vremenske sekvence posebno. Rezultati ta tri proračuna se sastoje od po tri trojke simetričnih komponenti napona za svaki trofazni čvor ∆ kola (npr. x-ti), za svaku vremensku sekvencu po jedna:

U vezi sa tim rešenjem nužno je da se ponovo naglasi: iako se u proračunima režima u različitim vremenskim sekvencama menja samo pogonska matrica admitansi direktnog redosleda, to ne znači da se u režimu ∆ kola menjaju samo simetrične komponente trofaznih veličina direktnog redosleda. Naprotiv, s obzirom da se pogonske šeme ∆ kola za elektroenergetski system koji je pre kratkog spoja bio uravnotežen, ipak spregnute na mestu kratkog spoja, zbog neuravnoteženosti kratkog spoja, promena režima u jednoj pogonskoj šemi izaziva promene režima u ostale dve pogonske šeme.

6.2.3.4. Rekonstrukcija naizmenične komponente režima celokupnog ∆ kola6.2.3.5.

Ako se raspolaže sa simetričnim komponentama napona u svim čvorovima ∆ kola – u sve tri vremenske sekvence (suptranzitna, tranzitna i ustaljena), onda se mogu izračunati simetrične komponente struja u svim granama ∆ kola, u sve tri vremenske sekvence. Neka se u tu svrhu razmatraju pogonske šeme trofazne redne grane između čvorova x i y (x=1,2,

R

d"xy Z

d"xoZ

yx d"xyI

d"xoI

d"yU d"

xU

(a1)

R

ixy Z

ixoZ

yx i"xyI

i"xoI

i"yU i"

xU

ixy Z

R

oxy Z

oxoZ

yx o"xyI

o"xoI

o"yU o"

xU

(a3)

R

d'xy Z

d'xoZ

yx d'xyI

d'xoI

d'yU d'

xU

(b1)

R

ixoZ

yx i'xyI

i'xoI

i'yU i'

xU

(b2)

R

oxy Z

oxoZ

yx o'xyI

o'xoI

o'yU o'

xU

(b3)

R

dxy Z

dxoZ

yx dxyI

dxoI

dyU d

xU

(c1)

R

ixy Z

ixoZ

yx ixyI

ixoI

iyU i

xU

(c2)

R

oxy Z

oxoZ

yx oxyI

oxoI

oyU o

xU

(c3)

…,n, ) za sve tri vremenske sekvence. Samo parametric pogonske šeme za simetrični režim direktnog redolseda načelno zavise od toga koja je vremenska sekvenca u pitanju, dok su parametric ostale dve šeme isti u sve tri vremenske sekvence.