Transport e

OPERACIONES 2 Transporte

MODELO DE TRANSPORTEPlantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinosFUENTESOfertaCapacidad de produccinProveedoresPlantas de produccinAlmacenes mayoristasDESTINOSDemandaCapacidad de ventaPlantas de produccinAlmacenes mayoristasTiendas minoristas

MODELO DE TRANSPORTESe desea determinar la distribucin ptima de los recursos productivos, lo que implica establecer la combinacin de distribucin de fuentes a destinos, que tenga el mnimo costo asociadoF1F3F2FnD1D2D3Dm

MODELO DE TRANSPORTELo anterior se obtiene mediante el mnimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino

Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del mtodo simplexF.O. :Mn Z= nmi=1j=1Cij Xij Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j Xij : Unidades a trans-portar desde la fuente i hasta el destino jijCij

MODELO DE TRANSPORTEF.O. :Mn Z= nmi=1j=1Cij XijijCijs.a. : i=1j=1nmXijXij==QdemandadaQofrecidaXij>0Ai,j

ALGORITMO DE TRANSPORTEDesdeHaciaF1F2F3F4D1D2D3D4TOTALTOTAL X1jX2jX3jX4jXi1Xi2Xi3Xi4CijXij

ALGORITMO DE TRANSPORTEDesdeHaciaF1F2F3F4D1D2D3D4TOTALTOTAL X1jX2jX3jX4jXi1Xi2Xi3Xi4X23C21C11C31C41C12C22C32C42C43C33C23C13C14C24C34C44X33X43X44X42X41X34X32X31X24X22X21X14X13X12X11

XijCijC23X236175Significa que el costo unitario de transporte desde la fuente 2 al destino 3 es de $6A su vez, el nmero de unidades a transportar desde la fuente 2 al destino 3 es de 175SIGNIFICADO DE CADA CUADRO

ALGORITMO DE TRANSPORTEEs el valor total producido en los orgenes (Qofrecida) y es tambin el valor total demandado por los destinos (Qdemandada) QdemandadaQofrecida==XimXi3Xi2Xi1++++++++..............XnjX3jX2jX1jNecesariamente:Qdemandada Qofrecida=

ALGORITMO DE TRANSPORTESi Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes==Si Qdemandada QofrecidaExceso de OfertaExceso de DemandaQdemandada QofrecidaQdemandada Qofrecida>

VARIABLES DE HOLGURACuando no se cumple la condicin necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a travs de la creacin una columna adicional o una fila adicional en el cuadroSe asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la funcin objetivo de optimizacin

VARIABLES DE HOLGURADependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se aaden, a travs de la creacin una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casosCada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situacin particular

EXCESO DE OFERTAQofrecidaQdemandadaCapacidad Ociosa>SiSe crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producirQofrecidaQdemandadaAcumulacin de Inventario>SiSe crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulacin de inventarioCasos Posibles:

Casos Posibles:EXCESO DE DEMANDASiQofrecidaQdemandada

QofrecidaQdemandadaProduccin en Turno Extra

EJEMPLOUna compaa manufacturera dispone de 3 fbricas con diferentes capacidades y costos de transporte para el destino de sus 4 almacenes. La informacin pertinente se muestra en la tabla:Para resolver se arma un cuadro simplex

Ejercicio 1

Operaciones 2Gua n 1

Ingeniera ComercialICA - 455

Profesor: Pablo Diez BennewitzICA - UCV

Tablas del Ejercicio 26

Costo Unitario de Transporte a cada AlmacnCapacidadN de unidadesProbabilidad de funcionamiento

PlantaAlmacn 1Almacn 2Almacn 3Almacn 4(unidades)paralelasComponente 1Componente 2Componente 3Componente 4

12318212565010,50,60,70,5

22124231860020,60,70,80,7

31821272370030,80,80,90,9

Demanda300450500600

N de unidadesCosto

paralelasComponente 1Componente 2Componente 3Componente 4

Distancia (en millas) a la planta en11212

HuertaPedeguaLlay LlayLimacheOferta22433

La Ligua21704025033544

Quillota353015400

Catemu801025300

Capacidad200525175

Ejercicio 2




EmpleadoTrabajoLa LiguaQuillotaCatemuCaleu

de Servicio12345Millones deEfectos sobre el porcentaje de mercadoNmero de rboles7514714575

1201461022$ Gastadosmf2f3Nmero de Hectreas15234515

216822201000.20.3

3862414121200.40.5

420222862300.50.6

5416226243400.60.7

450

Nmero deTiendas

Cargas123

0000

1564

29119

3141513

4171918

5212220

Gasto enProducto

Publicidad123

1746

21089

3141113

4171415

Ejercicio 6




Tiempos de Llegada en SantiagoTiempos de Llegada en Punta ArenasVuelos de Punta Arenas a SantiagoVuelos de Santiago a Punta Arenas

N VueloHora SalidaHora LlegadaN VueloHora SalidaHora LlegadaN de vuelosN de vuelos de salidaN de vuelosN de vuelos de llegada

105:006:00258:009:00de llegada2545556576de salida2545556576

3010:0011:004513:0014:0010289111610201513116

4012:0013:005515:0016:0030212461130120181611

6018:0019:006517:0018:004019024940322201813

7021:0022:007522:0023:006013182022360942019

Tabla 6.1 Horarios Terminal SantiagoTabla 6.2 Horarios Terminal Punta Arenas70101517190701275322

Tabla 6.3 Tiempos Muertos en Stgo.Tabla 6.4 Tiempos Muertos en Pta.Ar.

InversinRetornoProbabilidad

A00,4

20,6

B10,9

20,1

InversinRetornoProbabilidadInversinRetornoProbabilidad

00,100,2

A10.4C10,3

20.520,3

B10,830,2

20,2

Ejercicio 13




Yrr1r2r3p1p2p3Nmero deProbabilidad de la DemandaProbabilidades de DemandaEmpresaRetornoProbabilidad

1210.50.10.40.5unidadesArtculo 1Artculo 2Artculo 3CajasTienda 1Tienda 2Tienda 3La Cutufa3000,3

210-10.40.40.210.50.30.300,100,100,7

34-1-10.20.40.420.50.40.210,20,20,3Imageo00,4

40.80.40.20.60.20.2300.20.520,30,60,22000,6

400.1030,200,2Merman1000,5

40,10,202000,5

50,100,2

Nmero deProbabilidad de la Demanda

bicicletasArtculo 1Artculo 2Artculo 3

00.10.020

10.20.030.15

20.30.10.25

30.20.250.3

40.10.30.15

50.10.150.1

600.050.025

700.050.025

800.050

Costo de alquiler($) / hora675

Solucin 6




NmeroNmero de VueloNmero de vueloaNmero de vueloBase

de Vuelo25455565751025Punta Arenas

102791163045Punta Arenas


40302496065Santiago


70107530Tabla 6.6: Asignacin ptima de tripulaciones

Tabla 6.5: Mnimos de las dos entradas

correspondientes a las tablas 6.3 y 6.4

Ejercicio 3




8111013

309

24112

35161

75113

19

OfertaOferta

3602153

400100

4507418

300150

7303285

400125

Demanda400400300Demanda4511017040

Oferta

10141816

300

12191312

400

13171511

260

Demanda100150150275

METODOLOGIA DEL SIMPLEX1) Se arma el tableau inicial5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solucin ptima4) Si no es la solucin ptima, se itera hallando una nueva solucin factible, para verificar si la nueva solucin factible es o no es ptima3) Evaluar si la solucin factible es o no es ptima2) El tableau inicial otorga la 1 solucin factible

METODOS PARA LOGRAR LA 1 SOLUCION FACTIBLE Esquina Nor-Oeste VogelAmbos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidadIteraciones: Si la solucin bsica no es ptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimizacin de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro

METODO ESQUINA NOR-OESTEAsigna el mximo nmero de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor-oeste del cuadro tableau

Luego, se asigna el mximo nmero de unidades a transportar en la celda aledaa correspondiente, segn las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes

METODO ESQUINA NOR-OESTESi en principio, la asignacin de la esquina nor-oeste es una restriccin de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado

Mientras que, si la asignacin inicial es una restriccin de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo

As sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito

METODO ESQUINA NOR-OESTEEn general:Si no se puede asignar ms por restriccin de demandaSi no se puede asignar ms por restriccin de ofertaSe completa hacia el ladoSe completa hacia abajo

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300350100500Inven.060060050030045018501950100100QofrecidaQdemandada>ComoAcumulacin de Inventario182127230212423180

DIMENSION ESPACIO VECTORIALEl problema de transporte es una aplicacin de la programacin lineal, para el caso especfico de variables de decisin bidimensionales (Xij, con dos subndices: ij)La programacin lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geomtricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)Los conceptos geomtricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensin

DIMENSION ESPACIO VECTORIALLa dimensin es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida en la base o vector de variables bsicas ( XJ )Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condicin de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.)La condicin de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condicin ineludible para aplicar la metodologa del simplex

DIMENSION ESPACIO VECTORIALProgramacin Lineal con variables de decisin unidimensionales (caso Xi) Programacin Lineal con variables de decisin bidimensionales (caso Xij) Rango = mRango = m + n - 1Donde m es el nmero de restricciones l.i.Donde: m es el nmero de columnas del tableau n es el nmero de filas del tableau

Existe cuando en la solucin bsica hay al menos una variable cuyo valor es igual a cero

Cuando la solucin es ptima y a la vez degenerada, entonces hay mltiples soluciones ptimas: 2, 3, 4 o quizs infinitas solucionesLa solucin degenerada no implica dificultad para el problema de programacin lineal, es simplemente un caso particularSOLUCION DEGENERADA

Nmero de Variables Bsicas m + n - 1=m: Nmero de columnas en el tableau (destinos)n : Nmero de filas en el tableau (fuentes)SiVariablesbsicas

SOLUCION DEGENERADAPara completar una base con solucin degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensin) requerido por el espacio vectorialCuando se ingresa uno o ms valores ceros, no se hace en cualquiera celda vaca al azarEl o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)

EJEMPLO DE TRANSPORTE( m + n - 1 ) = 7Sin embargo, en la asignacin inicial del mtodo de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables bsicas (celdas ocupadas)

Por lo tanto, existe una solucin degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteracinIngresa XP3A2 = 0Pudo ser tambin en otras celdas vacas

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300350100500Inven.0600600500300450195019501001000XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)212423180182127230

BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.)Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificacin de la condicin de optimalidad para cada variable no bsica (celda vaca en el tableau)Aquello acontece cuando se forma un nico lazo alrededor de cada una de las variables no bsicas, determinando para cada una de stas, si realizan o no realizan aporte a la minimizacin de costos del problema

BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMASe realiza un anlisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no bsicas (celdas vacas en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algn ahorro respecto del costo total (valor de la funcin objetivo z) de la reciente iteracin

Variables bsicas ( XJ ): Estn en el tableau y toman un valor, que en general es mayor que cero

Variables no bsicas ( XJ ): No estn en el tableau (celdas vacas) y necesariamente valen cero

VERIFICACION DE OPTIMALIDADPermite comprobar si una solucin bsica factible es o no es ptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envo de una unidad en cada variable no bsica o celda desocupada en el tableauVerificar la condicin de optimalidad se efecta por medio de la formacin de lazos, alrededor de cada variable no bsica

Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no bsicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticalesPor ejemplo:El primer vrtice del lazo es una celda no bsica, la cual tambin es el ltimo vrtice, cerrando el lazo. Los dems vrtices del lazo necesariamente son variables o celdas bsicasVERIFICACION DE OPTIMALIDAD

El costo marginal referido a la verificacin de la optimalidad, se obtiene a travs de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, segn la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo:Si la celda del lazo recibe unidades en la transferenciaSe suma el costo unitario de la celda para la verificacinSi la celda del lazo entrega unidades en la transferenciaSe resta el costo unitario de la celda para la verificacinVERIFICACION DE OPTIMALIDAD

En el ejemplo, para la celda P2A1 (planta 2 y almacn 1) se tiene:300100350Alm.1Alm.2Planta 1Planta 2+21-24-23+18CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8Hay un Ahorro Marginal, es el concepto de precio sombra VERIFICACION DE OPTIMALIDAD

PRECIO - SOMBRAEs cunto vara la funcin objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes

La verificacin de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacas, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos Una base linealmente independiente garantiza un nico lazo alrededor de cada una de las variables no bsicas

CONDICION DE OPTIMALIDADSi ij 0 , ij XJ A> Solucin ptimaLa solucin factible es ptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero

Si ij 0 ,ij XJ

ITERACIONESCuando hay ahorro marginal, lo mximo que se transfiere hacia la celda no bsica, es el mnimo de las celdas que entregan unidades en la transferencia, para as conservar la condicin de factibilidadXij>0Ai,jCada vez que se realiza una iteracin (reasignacin de unidades), a continuacin se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solucin ptima

CONCEPTO DE LA GRAN MEn caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el mtodo de transporte define un costo unitario de transporte igual a M, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera:SiCMg=8M

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda1823182125650600700500Inven.0600600500300450195019501001000Se deben calcular todos los precios sombra-8300350100= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8 P2A12124231800232721

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300Inven.06006005003004501001000-8 = + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4+4350100500P1A3212423180023272118

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300100500Inven.0600500300450100100-8 = + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5+5+43500600P1A4212423180182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda1823231821212725650600700300100500Inven.06005003004501000-8 = + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3+5+43500600100+3P1INV212423180

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300100500Inven.0600500300450100-8 = + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8+5+43500100+3600-8P2A4212423180023272118

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700300100500Inven.0600500300450100-8 = + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3+5+43500100+3600-8-3P2INV212423180182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700500Inven.0600500300450100 = No Existe+5+43500100+3600-8-3Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2-8300100EP3A1018232421230272118

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100 = No Existe+5+4350100+3600-8-3Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2-83005001000EEP3A3018232421230272118

DesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100 350100600-8-83005001000P2A4018232421230272118= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8EJEMPLO DE TRANSPORTERevisin del lazo para la iteracin correspondiente:

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100350100300500Entra XP2A4XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV)Unidades Transferir = 1001000600y Sale XP2A2.100100500018232421021272318

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100350100500300500100Clculo de los Precios Sombra para 2 iteracin:100-4-8-10+8+5+5+3212423018182127230

DesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100350100500300500100Revisin del lazo para la iteracin correspondiente:100-8212423018182127230 P3A1= + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8EJEMPLO DE TRANSPORTE

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda2125650600700Inven.0600500300450100100500500Entra XP3A1XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)100Unidades Transferir = 100y Sale XP3A2.3003501001004502001823212423180182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda182325650600700Inven.0600500300450100450100500200500100Clculo de los Precios Sombra para 3 iteracin:100-12+8-1+8+16-3+5-521242301818212723021

DesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda182325650600700Inven.0600500300450100450100500200500100100-1221242301818212723021Revisin del lazo para la iteracin correspondiente:EJEMPLO DE TRANSPORTE P1A3= + 21 - 23 + 18 23 + 18 - 23 = - 12

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100450100Entra XP1A3XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)Unidades Transferir = 200y Sale XP1A1.200100500100500200300300300300212423180182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda182125650600700Inven.0600500300450100450100300200300300Clculo de los Precios Sombra para 4 iteracin:300+12-4-1+8+4+9+5+721242318018212723023

DesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda182125650600700Inven.0600500300450100450100300200300300300-421242318018212723023Revisin del lazo para la iteracin correspondiente:EJEMPLO DE TRANSPORTE P3A2= + 21 - 18 + 21 23 + 18 - 23 = - 4

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100100300Entra XP3A2XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)Transferir = 300y Salen XP2A3 y XP3A4.3004502003003003006005001500212423180182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTEDesdeHaciaPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda18232125650600700Inven.0600500300450100150100500300300Clculo de los Precios Sombra para 5 iteracin:600+8+4+3+9+30Se hall la solucin ptima, que es degeneradaEEE018232421182127230

EJEMPLO DE TRANSPORTESolucin ptima del Ejercicio:XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)XP1A2XP1A3XP2A3XP2A4XP3A1XP3A2XP3INV= 300= 300= 100= 150= 500= 600= 0Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100)Z = Costo Total = $ 35.700La solucin no es nica, pues es una solucin degenerada ij>0Ai,j XJ

EJEMPLOProblema resuelto el mtodo de esquina nor-oeste:Considere que los costos unitarios de produccin son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente. Por poltica de la empresa, no se permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2. Plantee como problema de programacin lineal y encuentre la asignacin ptima por mtodo Vogel

Ejercicio 1




Tablas del Ejercicio 26

Costo Unitario de Transporte a cada AlmacnCapacidadN de unidadesProbabilidad de funcionamiento

PlantaAlmacn 1Almacn 2Almacn 3Almacn 4(unidades)paralelasComponente 1Componente 2Componente 3Componente 4

12318212565010,50,60,70,5

22124231860020,60,70,80,7

31821272370030,80,80,90,9

Demanda300450500600

N de unidadesCosto

paralelasComponente 1Componente 2Componente 3Componente 4

Distancia (en millas) a la planta en11212

HuertaPedeguaLlay LlayLimacheOferta22433

La Ligua21704025033544

Quillota353015400

Catemu801025300

Capacidad200525175

Ejercicio 2




EmpleadoTrabajoLa LiguaQuillotaCatemuCaleu

de Servicio12345Millones deEfectos sobre el porcentaje de mercadoNmero de rboles7514714575

1201461022$ Gastadosmf2f3Nmero de Hectreas15234515

216822201000.20.3

3862414121200.40.5

420222862300.50.6

5416226243400.60.7

450

Nmero deTiendas

Cargas123

0000

1564

29119

3141513

4171918

5212220

Gasto enProducto

Publicidad123

1746

21089

3141113

4171415

Ejercicio 6




Tiempos de Llegada en SantiagoTiempos de Llegada en Punta ArenasVuelos de Punta Arenas a SantiagoVuelos de Santiago a Punta Arenas

N VueloHora SalidaHora LlegadaN VueloHora SalidaHora LlegadaN de vuelosN de vuelos de salidaN de vuelosN de vuelos de llegada

105:006:00258:009:00de llegada2545556576de salida2545556576

3010:0011:004513:0014:0010289111610201513116

4012:0013:005515:0016:0030212461130120181611

6018:0019:006517:0018:004019024940322201813

7021:0022:007522:0023:006013182022360942019

Tabla 6.1 Horarios Terminal SantiagoTabla 6.2 Horarios Terminal Punta Arenas70101517190701275322

Tabla 6.3 Tiempos Muertos en Stgo.Tabla 6.4 Tiempos Muertos en Pta.Ar.

InversinRetornoProbabilidad

A00,4

20,6

B10,9

20,1

InversinRetornoProbabilidadInversinRetornoProbabilidad

00,100,2

A10.4C10,3

20.520,3

B10,830,2

20,2

Ejercicio 13




Yrr1r2r3p1p2p3Nmero deProbabilidad de la DemandaProbabilidades de DemandaEmpresaRetornoProbabilidad

1210.50.10.40.5unidadesArtculo 1Artculo 2Artculo 3CajasTienda 1Tienda 2Tienda 3La Cutufa3000,3

210-10.40.40.210.50.30.300,100,100,7

34-1-10.20.40.420.50.40.210,20,20,3Imageo00,4

40.80.40.20.60.20.2300.20.520,30,60,22000,6

400.1030,200,2Merman1000,5

40,10,202000,5

50,100,2

Nmero deProbabilidad de la Demanda

bicicletasArtculo 1Artculo 2Artculo 3

00.10.020

10.20.030.15

20.30.10.25

30.20.250.3

40.10.30.15

50.10.150.1

600.050.025

700.050.025

800.050

Costo de alquiler($) / hora675

Solucin 6




NmeroNmero de VueloNmero de vueloaNmero de vueloBase

de Vuelo25455565751025Punta Arenas



40302496065Santiago


70107530Tabla 6.6: Asignacin ptima de tripulaciones

Tabla 6.5: Mnimos de las dos entradas

correspondientes a las tablas 6.3 y 6.4

Ejercicio 3




8111013

309

24112

35161

75113

19

OfertaOferta

3602153

400100

4507418

300150

7303285

400125

Demanda400400300Demanda4511017040

Oferta

10141816

300

12191312

400

13171511

260

Demanda100150150275

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALCada vez que se plantea un problema de programacin lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas:1.- Comprensin del problema (lectura en detalle)2.- Definicin de las variables de decisin3.- Descripcin de la funcin objetivo4.- Identificacin de las restricciones del problema

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALEn un problema de transporte, las variables de decisin contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribucin fsica, a transferir desde las fuentes hacia los destinosResulta imprescindible definir las variables de decisin. Si no se definen las variables de decisin, entonces es imposible determinar qu significan las denominaciones Xij que, a continuacin, se describen en la funcin objetivo y las restricciones

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALLas restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condicin de no negatividadSe define como funcin objetivo la minimizacin de los costos de transporte asociados a la red de distribucin fsica

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALGeneralmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta:Oferta totalDemanda total>Si>

Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda:Oferta totalOferta totalDemanda totalDemanda total

El ejemplo considera dos categoras de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de produccin con los costos unitarios de transporte

La tabla de costos para plantear el problema de programacin lineal queda as:INVA4A3A1A2P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL

Sea Xij: Nmero de unidades a transportar desdePROBLEMA PROGRAMACION LINEALla fuente i-sima hacia el destino j-simodonde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 } j = { almacn 1, almacn 2, almacn 3, almacn 4 } Funcin objetivo: Minimizar ZMn Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 + 46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 + 28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4 (produccin + transporte)

Para el ejemplo planteado: Oferta total = 1950Demanda total = 1850Hay un exceso de ofertaLuego, se plantean: Restricciones OfertaRestricciones Demanda

PROBLEMA PROGRAMACION LINEALs.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650Restricciones de Oferta:XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700Restricciones de Demanda:

METODO DE VOGELSelecciona las diferencias de ahorros ms altas y luego asigna el mximo nmero de recursos productivos en la celda con el mnimo costo unitario, segn las restricciones de oferta y de demanda

Utiliza conceptos matemticos y de clculo avanzado: calcula un gradiente movindose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal

Vogel es ms inteligente y rpido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidadGradiente: g(x)=zxizyj+>>

ETAPAS DEL METODO VOGEL1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios ms bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignacin reciente2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (segn sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignndole el mximo nmero de unidades posible

ETAPAS DEL METODO VOGEL4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios ms bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha mxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el mximo nmero de unidades posibles, segn las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

Al resolver el problema de transporte, slo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de produccin con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos segn:INVA4A3A1A2Como slo interesan los costos diferenciales, podra trabajarseINVA1A2A3A4P1 31 26 29 33 MP2 36 39 38 33 MP3 18 21 27 23 0 P1 41 36 39 43 MP2 46 49 48 43 MP3 28 31 37 33 10EJEMPLO DE TRANSPORTE

EJEMPLO DE TRANSPORTEP.1P.3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OftaP.2Dda650600700Inven6005003004501005131833102M1001 asignacin: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mnimos costos2327211836393833M31262933M0

EJEMPLO DE TRANSPORTEP.1P.3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4Ofta38P.2Dda3926313323183621292733650600700InvenMM60050030045010005333102M100133001 asignacin: XP3A3 = 1002 asignacin: XP3A1 = 300.... y as se completa sucesivamente

EJEMPLO DE TRANSPORTEP.1P.3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OftaP.2Dda33650600700InvenM6005003004501003318135210M100*300*10300*139013450*49200*30030039363126291821273833M023523

EJEMPLO DE TRANSPORTE1 asignacin: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M2 asignacin: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 133 asignacin: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 104 asignacin: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 135 asignacin: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 96 asignacin: XP2A3 = 3007 asignacin: XP2A4 = 300As, Vogel determina la 1 solucin bsica factible, sin embargo falta verificar la condicin de optima-lidad e iterar va simplex si es que es necesarioAsignacin manual

EJEMPLO DE TRANSPORTEPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda2631331836212933650600700InvenMM600500300450100010030030045020038393003002723Entra XP3A2XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)+12+8+4-4-1+9+M+MDe acuerdo al clculo de los precios sombraTransferir = 300y salen XP2A3 y XP3A4.

EJEMPLO DE TRANSPORTEPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda36650600700InvenM6005003004501001003003839300300300300600Hay solucin degenerada, ingresa XP2A2 = 00XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)21182723045020050015033292631M33

EJEMPLO DE TRANSPORTEPlanta 1Planta 3Alm.1Alm.2Alm.3Alm.4OfertaPlanta 2Demanda31183621650600700InvenM6005003004501000100300300150500383960002723+8+3Clculo de los Precios Sombra para 2 iteracin:+8EE Ya queij>0 Ai,jXJLa solucin es ptima33332926+13M+ME

EJEMPLO DE TRANSPORTESolucin ptima del ejemplo:XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)XP1A2XP1A3XP2A2XP2A4XP3A1XP3A2XP3INV= 300= 300= 100= 150= 500= 600= 0Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10)Z = Costo Total = $ 69.400La solucin no es nica, pues es una solucin degenerada ij>0Ai,j XJ(produccin + transporte)

Operaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez Bennewitz*Operaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez Bennewitz*Operaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez Bennewitz*

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