1. Kristályos anyagok Kristálytan fogalmai: Rácsvektor, transzlációs vektorok, pontrács, elemi cella, Wigner-Seitz-cella,. Szimmetriák: transzláció, forgatás, inverzió, inverziós tengely, csúszósík. Tércsoport, pontcsoport, reciprok rács és fogalmai Rácsvektor (Rn): olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára:

Rn=n1a1+ n2a2+n3a3

Az ilyen Rn vektorral való eltolását műveletnek nevezzük. Az ilyen műösszessége a transzlációs csoportot alkot. Pontrács: pontok olyan háló szerű elrendez

amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

Kristályszerkezetet akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételirányítású atomcsoportot helyezünk el.

Ideális kristály: olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (a1,a2,a3)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

Elemi cella: elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. Az elemi cella primitív, ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot.

Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adrácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak vanvalamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

A határ egyenlete: rffRnfffffff= RnfffffffLLLMMM

2ffffffffffff

Reciprok rács: K(h1, h2, h3)=h1b1+h2b2+h3b3, ahol b1fffff= 2πaffff

a 1fffffBbfffffffffff a ifffffbjfffff= 2πδij ; RnfffffffK hfffffff= 2π A n n 2 Z

b c

Szimmetriák: 1. Transzláció: létezik az Rn transzlációs vektor 2. Forgatás: (inverz forgatás is megengedett)

Ha egy kiszemelt tengely körüli 2π/n szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt n-fogású forgástengelynek nevezik: m·a=a+2a·sin(φ-π/2) m=1-2cosφ cosφ=(1-m)/2 φ=arccos((1-m)/2)

m -1 0 1 2 3 φ 0π, 2π π/3 π/2 2π/3 π n 1 6 4 3 2

(kvázi kristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)3. Inverzió: (tükrözés) r = -r 4. Csúszósík: összetett szimmetria művelet � tükrözés, majd a tengely

irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába esismétlődési hossznak).

5. Csavartengely: összetett szimmetria művelet � forgatás, majd a tengely irányába való eltolás.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás műA pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3Dpontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

7 kristályszimmetria: triklin, monoklin, trigonális, ortorombos, hexagonális, köbös, tetragonális

Kristálytan fogalmai: Rácsvektor, transzlációs vektorok, pontrács, elemi cella, cella,. Szimmetriák: transzláció, forgatás, inverzió, inverziós tengely,

vektorral való eltolását transzlációs nevezzük. Az ilyen műveletek

összessége a transzlációs csoportot alkot.

pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos

akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű

en úgy helyezkednek el, s minden pontból

ített paralellepipedon. a1(a2×a3) csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot.

Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott ásikhoz. (Ha a kristálynak vanvalamilyen cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

2fffffB a3fffffffffB a 2fffffc a3ffffffffffffffffffffffffffffffffff

…

lehet 5 forgású)

tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső

forgatás, majd a tengely

veletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek velet (csoport szorzás művelete).

a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10

triklin, monoklin, trigonális, ortorombos, hexagonális, köbös, tetragonális

2. Fontosabb kristályszerkezetek Egyszerű köbös, lapcentrált köbös, tércentrált köbös szerkezetek. Gyémánt rács, NaCl szerkezet és hexagonális szoros rács.

1. Egyszerű köbös (SC): Po A WS cellája is kocka.

2. Lapcentrált köbös (FCC): Cu, Al, Au, Ag, Ni, PtEz a legsűrűbb rács a1=a/2(011) a2=a/2(101) a3=a/2(110) Vc= a1(a2×a3)=a3/4 Az elemi cella:

3. Tércentrált köbös (BCC): Fe, W, Mo

a1=a/2(-1 1 1) a2=a/2(1 -1 1) a3=a/2(1 1 -1) Vc= a1(a2×a3)=a3/2 FCC Bz = BCC WS BCC Bz = FCC WS

4. Gyémánt rács: Cgy, Si, Ge FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom). (tetraéderes szerkezet)

5. NaCl szerkezet: (két egymásba tolt FCC)

6. Hexagonális (szoros illeszkedésű szerkezet)4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés. Kiszámolható:

caffff

=83ffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 1,62

köbös, lapcentrált köbös, tércentrált köbös szerkezetek. Gyémánt rács,

: Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt

: Fe, W, Mo

ymásba tolt FCC)

ű szerkezet): Zn, Nb

3. Kristályhibák és nemkristályos szerkezetek Vakancia, intersticionális atom, szennyezők, diszlokációk, felületi és térfogati hibák, polikristály. Amorf anyagok és folyadékok szerkezete, kvázikristályok és folyadékkristályok

0 Dimenziós: Ponthibák (1 atom és annak környezete) - vakanciák: 1 atom hiányzik (egyensúlyi rácshiba) - interstriciális atom: 1 atom többlet - szennyezők: szubsztitúcionális vagy interstriciális (pl Me + H) (p-típusú: Al, Ga, In ; n-típusú: P,As, Sb)

Vakancia várható értéke: <n> =

Xn = 0

N

n Nn

f ge@

nEVF

kTfffffffffffffffffff

Xn = 0

NNn

f ge@

nEVF

kTfffffffffffffffffff

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=

ddxffffffflnX

n

Nn

f

=d

dxfffffffln 1 + ex

` aN= N

ddxfffffffln 1 + ex

` a= N

ex

1 + ex

fffffffffffffffff= N

e@EV

F

kTfffffffffffff

1 + e@EV

F

kTfffffffffffff

ffffffffffffffffffffffff=

x : =@EV

F

kTfffffffff

és ez jóval kisebb, mint 1. (szobahőn kT = 25 meV <

Ez képlet olvadáspontig jó közelítés. A vakanciák hozzák létre a fémeknél a diffúziót, és ellenállásként lehet mérni (ehhez be kell fagyasztani a vakanciákat…)

1 Dimenziós: Vonalhibák – Diszlokáció Burgers vektor: ami a kezdő és a végpontot összeköti (hibátlan rácsban ez nullvektor) b vektor minden pontban uaz. Burgers kör (ábra)

e ┴ b – éldiszlok. e || b – csavardiszlok.

A diszlok. nem egyensúlyi rácshiba, fémekben a koncentrávió pl: 10hajtogatjuk, akkor 1015 m/m3-re is nőhet. (Pl: üst készítés: kalapálás+hha a huzalt hajtogatjuk, az eltörik…)

Diszlokáció összekötése a deformációval: (b áll.)

εxy = γ =X bi

Ly

fffffffxi

Lx

fffffff= bX xi

Lx Ly

fffffffffffffffff

∆γ =bX xi

Lx Ly

fffffffffffffffffffff= b

NLx Ly

fffffffffffffff<∆x ≥ bNLr

Lx Ly Lz

fffffffffffffffffffffff<∆x> = bρ<∆x> Orován

2 Dimenziós: Felületi hibák – Szemcsehatár (Durvaszemcsés anyagok, finom szemcsés anyagok, mikro/nano szemcsések) Megakasztják a diszlokációt, észemcsehatárokon összegyűlhetnek a szennyeződések, így rideg lesz az anyag.

3 Dimenziós: Térfogati hibák – Kiválások (pl csapadék)

– Üreg (Void, pórus) A fémek ellenállása a hőmérséklettel � 0 (ez NEM a szupravezetés!!)

Amorf anyagok: (kistávú rend) r1-en belül levő atomok száma:

N r 1

` a= Z

0

r1

g r` a

4πr 2 dr (g(r): rediális eloszl. fv.)

pl.: Üveg SiO2 + Na; Fémüveg Fe80B20 Kvázikristályok: nagy ellenállás + rossz hővezetés (vegyiparnak főzőedény) Al6Mn (lehet 5-ös szimmetriájuk) 2D: Penrose rács (nem ismétli önmagát) 3D: Romboéder

Folyadékkristályok:

k, diszlokációk, felületi és térfogati hibák, polikristály. Amorf anyagok és folyadékok szerkezete, kvázikristályok és

Nn

genx =

= N e@

EVF

kTffffffff

n kT = 25 meV < EVF

= 0,8-1 eV )

( EIF = 2-4 eV)

ellenállásként lehet mérni őket

A diszlok. nem egyensúlyi rácshiba, fémekben a koncentrávió pl: 106 m/m3, ha het. (Pl: üst készítés: kalapálás+hőkezelés+... ,

Orován-összefüggés

Szemcsehatár (Durvaszemcsés anyagok, finom szemcsés anyagok, mikro/nano szemcsések) Megakasztják a diszlokációt, és a

dések, így rideg lesz az anyag.

0 (ez NEM a szupravezetés!!)

4. Szerkezetvizsgálat Röntgen, elektron és neutron. Források és detektorok. Szórás kinetikus elmélete, Ewald-gömb. Kristályos és amorf anyag szórása, Rácssíkok és Bragg Röntgen:

(a) Röntgencső karakterisztikus és fékezési sugárzás Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

eU = -ω = -ck =-cλfffffff

(b) Szinkrotronsugárzás: Az e--okat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk”, (csak fékezési sugárzás lesz) Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

Elektron: eU =p 2

2mffffffffff ; p =

hλffff

Elektronmikroszkóp (szóródás helyett): Lencserendszer miatt numerikus apertúra: 10-4-10Ha k=fókusztáv→diffrakció

Leképezés: 1kffff

+1tff=

1fffff

Röntgenhez képest hátrány: bonyolult mintapreparáció;feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás), nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére. Előny: sokmindent látni vele, szűkíthető látótér, korlátozott területű diffrakció

Neutron: reaktorból termikus neutron: E~kt ≈

12ffffkT =

12ffffp 2

m N

ffffffffff p =hλffff

Előnye: csak a magon szóródik (röntgen a felhőn, elektron az elektrosztatikus potenciálon), gyengén szóródik, a kis rendszámú atomokat is látjuk (izotópokat másképp szórja), spinfüggő (látszik, hogy hogyanaz anyagban) Hátránya: vizsgálathoz sok anyag kell

Detektorok: fotolemez, (helyzetérzékeny) számlálócs(emlékező lemez)

Szórás kinetikus elmélete: Fraunhofer interferenciakép

röntgen→Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: λ változatlan, Eki=E(2) Koherens (3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

Fraunhofer interferencia:

A bemenő-kimenő hullámszám = ρ(r): ha nagy, nagy a szszóródás az adott pontban. (Röntgennél e--sűrűség, esűrűség, neutronnál magsűrűség).

A fáziskülönbség:

kfff

0rff= kfff

0

LLLMMMs1 =

2π

λffffffffs1 ; ∆s = s1@ s2

kfffrff= kfffLLL MMMs2 =2π

λffffffffs2 ; ∆ϕ =

2π

λffffffffs1@ s2

` a

∆ϕ = kfff0@ kfffb c

rffQA kfffb ctZ ρ rff` a e i kff0@kffb c

rffd3

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a stranszformáltja.

Intenzitás: I kfffb c= A kfffb cLLLLMMMM

2

Integrál abszolút érték négyzete (komplex!!).

Autokorr. fv:

ρ rff1` aρ rff2` a* +

= ρ rff1 + afffb cρ rff2 + afffb c, -

= ρ`*

I kfffb c, -= VZ k rff` a e i kff

0@kffb c

rffd3r

Ewald-gömb: reciprokrácson berajzoljuk a beesők vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald

Folyadék és amorf anyag esetén:

ZV

ZV.

ρ rff1` aρ rff2` a

e i∆ kffrff1@ i∆ kffrff

2 d3

r 1 d3

r 2

r1=r2+n d3r’=d3n

I = ZV

ρ n` a

e@ i∆kn d3

n

Röntgen, elektron és neutron. Források és detektorok. Szórás kinetikus elmélete, gömb. Kristályos és amorf anyag szórása, Rácssíkok és Bragg-feltétel

okat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk”, (csak

monokróm drága.

, CCD, Imaging Plate

10-5 →hátrány

rány: bonyolult mintapreparáció; sen kölcsönhat az

s rugalmas és rugalmatlan szórás), nem elég

látótér,

≈ 0.25 eV

nye: csak a magon szóródik (röntgen a felhőn, elektron az elektrosztatikus nciálon), gyengén szóródik, a kis rendszámú atomokat is látjuk (izotópokat

an állnak a mágneses momentumok

Detektorok: fotolemez, (helyzetérzékeny) számlálócső, CCD, Imaging Plate

Fraunhofer interferenciakép (anyagszerkezet-meghatározás)

=Ebe

(r): ha nagy, nagy a szóródás, ha kicsi, kicsi a ű űség, e-mikroszkópnál e- pot.

r

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-

Integrál abszolút érték négyzete (komplex!!).

0` a

ρ rff2@ rff1` a+= k rff2@ rff1` a

gömb: reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a pontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald-gömb.

Kristályos anyag esetén: Laue csinálta először.

A kfffb c= Z ρ rff` a e i kff

0@kffb c

rffd3r ; ρ rff` a= ρ rff+ Rffff

n

b c= ρ rff.b c

A kfffb c= Z ρ rff.b ce i kff

0@kffb c

rff. @Rfffn

b c

d3

r = e i kff0@kffb c

RfffnZ ρ rff` a e i kff

0@kffb c

rffd3r

QA kfffb c 1@ e i kff0@kffb c

Rfffn

b c= 0

Azt szeretnénk, ha A(k) nem (mivel azt keressük), a másik tag viszont nullával lenne egyenlő (megköveteljük az egyenlőséget).

kfff0@ kfffb c

Rffffn

= 2π A egész számb c

Rnfffffff@ rácsvektorb c

kfff0@ kfffb c

= Kfffffh

reciprokrács vektorb c

A Kfffffh

b c≠ 0Q elhajlási irány

A Kfffffh

b c= 0Q kioltás

A nem Kfffffh

b c= 0@ nak kell lennie

Laue: nem monokromatikus, hanem fékezési sugárzással mért, így több k, több gömb és a kristályirány is meghatározható.

A Kfffffh

b c= Z

az egész anyagra

ρ rff` a e i Kffffh

rffd3r = N

a cellák számaZ

egy cellára

ρ rff` a e i Kffffh

rffd3r

Egy cellában:ρ rff` a=Xa

ρa

rff@ rffa` aQ a = atom, pl: NaCl@ nél 2

A Kfffffh

b c= N AX

atom

Z ρa

rff@ rffa` ae i Kffff

hrffd3

r = N AXatom

Z ρa

rff` a e i Kffffh

rff+ rff0

b c

d3

r =

= N AXatom

e i Kffffh

rffa f a Kfffff

h

b c= N S Kfffff

h

b c

Ahol a fenti S Kfffffh

b c-t struktúra faktornak nevezzük (egy cellán belül hol vannak

az atomok). Ebből az fa(k):

f a kfffb c=Z ρa

rff` a e i kffrffd3r

az alakfaktor (1 atom szórásának Fourier-transzformáltja).

Pl ha egy atom kisebb (jobban lokalizált), akkor S Kfffffh

b c nagyobb.

Rácssík: ha átmegy 3 rácsponton → átmegy ∞ sok rácsponton (mivel rácsvektorok lin. komb.ja is rácsvektor). h1, h2, h3 (nincs közös osztójuk) által megadott sík

átmegy a1

h 1

fffffff, a2

h 2

fffffff, a3

h 3

fffffff pontokon. Tételek:

1) h1,h2,h3 sík merőleges a Kfffffh1 ,h2 ,h3

= h 1 bfff1

+ h 2 bfff2

+ h 3 bfff3 reciprokrács vektorra.

BIZ: B12 =a 1

h 1

fffffff@

a2

h 2

ffffffff gh 1 bfff

1+ h 2 bfff

2+ h 3 bfff

3

b c=

2πh 1

h 1

fffffffffffffff@

2πh 2

h 2

fffffffffffffff= 0

A többi kombinációra is be kell látni ugyanígy.

2) h1,h2,h3 síkok távolsága: dh1 ,h2 ,h3=

2π

Kfffffh1 ,h2 ,h3

LLLMMM

ffffffffffffffffffffffffff ahol d az origó és a sík távolsága.

BIZ: d =afff1h 1

fffffffKfffffh

Kfffffh

LLLMMM

fffffffffffff=

2πh 1

h 1 Kfffffh

LLLMMM

fffffffffffffffffffff=

2π

Kfffffh

LLLMMM

fffffffffffff Bragg-feltétel:

kfff@kfff0

= KfffffhQ az Ewald@ gömbböl tudjuk

kfffés kfff0

szöge = 2 Aϑ

Kfffffh

LLLMMM= 2 kfff

0

LLLMMMsin ϑ

` a

22π

λffffffffsinϑ =

2π

dffffffffn [ 2dh1 ,h2 ,h3

sinϑ = nλ

Erősítés csak a fenti esetben van (néha h,k,l-et is szoktak használni az indexelés helyett).

k = 2π/λ

k k' λ

θ θ k'-k

d

5. Kondenzált anyagok kötése Kovalens, ionos és fémes kötés. átmeneti fémek kötése. Atomos és molekuláris kötések. Kohézió és adhézió. Atomok közti potenciál Elsőrendű (kémiai) kötések: (legerősebbtől a leggyengébbig)

1. Kovalens-kötés: (ált. nem-fémek közt) A kötő-elektronpár a kötésben részt vevő atomok egy-egy elektronjából alakul ki (ritkábban mindkét kötő-elektron egy atomtól származik, ilyenkor datív kötésről beszélünk. pl:CO). - A kötés lehet 1-szeres (σ), 2-szeres (σ,π) vagy 3-szoros (σ,π,π). - A részt vevő elemek homogenitásától és elektronnegativitásaitól függően beszélünk poláros és apoláros kötésről. - A kötő elektronok spinjei antiparalellek. - Zárt e--héj alakul ki

2. Ionos kötés: (ált. normális fémek és nem-fémek közt.) - A kötés kialakulásához magas elektronnegativitás különbség kell. - Az ionokat elektrosztatikus vonzás és taszítás (Pauli elv) rendezi rácsba. - A Madelung állandó megadja, mennyire vonzzák egymást. - Zárt e--héj alakul ki

3. Fémes kötés: A pozitív atomtörzseket az egész kristályra kiterjedő delokalizált (vegyérték) elektronokból kialakult felhő tartja össze. - Normális fémek: (alkáli-, nemes-, …) � csak s e--ok kötnek - Átmeneti fémek: (Co,Fe,Mg,Mo,Eu…) � d,f e--ok is kötnek � kovalensen tudnak kötni (kemények) (Fémek kovalens kötésben pl: Fe2O3 – rozsda)

Másodrendű kötések: (molekulák ill. nemesgázok közt)

1. H-híd: Egy elektronhiányos H atom és egy nemkötő-elektronpár között alakul ki. A víz mellett a szerves vegyületekben van fontos szerepe (pl DNS) - Csak N,O,F –nak elég nagy az elektronnegativitása ehhez a kötéshez.

2. Dipól-dipól: A dipól momentummal rendelkező molekulák rendeződnek, és vonzzák egymást (pl. SO2) - A kötéshez poláros molekulára van szükség, amihez nem elég a kovalens kötés polárossága. Hiszen ha szimmetrikus a szerkezet, apoláros lesz a molekula (pl.: CO2).

3. Van der Waals: Apoláros molekulák ill. nemesgázok között alakul ki. - Nincs állandó dipól momentumuk, de mozgásból adódó van. (2 fém között is lehet: Casimir-effektus)

Kohézió: azonos anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás.

Adhézió: különböző anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás. pl.: forrasztás, ragasztás

Potenciál 2 atom között:

Pl.: Van der Waals kötés potenciálja, Lennard-Jones:

V r` a

= V0

σ

rfffff g12

@ 2σ

rfffff g6

hlj

imk

6. Rácsrezgések Rácsrezgések kristályos és nemkristályos anyagokban. Lokalizált és delokalizált módus. Periodikus anyag rezgései. Egyatomos, kétatomos lineáris lánc. Módussűrűség. Fononok, mint kvázirészecskék. Rácsrezgések:

i-edik atom rezgése: rffi t` a

, egyensúlyi helyzet: rffi0

elmozdulás vektor: ufffi t` a

= rffi t` a@ rffi0

Egy atom kitérítésére az egész rács rezegni fog.

m i uA A i =@Xj

Deeeeij

ufffj j = 1, … ,3Na atomok száma` aR S

ufffi t` a

= ufffi e iωt

m i ω 2 ufffi =Xj

Deeeeij

ufffjω 2 Meeeeeufff= Deeeeufff

Ahol D 3Nax3Na-s önadjungált, szimmetrikus erőállandó mátrix.

Az M mátrix szimmetrikus, diagonális elemei a tömegpontok. De az átrendezésnél D-t M-1-gyel beszorozva nem lenne szimm. a mátrix, ezért pozitív definit négyzetgyök:

Meeeee=

m 1

m 2

m 3*

m Na

hllllllj

immmmmmk

; See=m 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

m 2pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwm 3pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww*

m Napwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

hllllllllj

immmmmmmmk

See2 = Meeeee

ω 2 See2 ufff= Deeeeufff ASee@1)ω 2 Seeufffb c

= See@1DeeeeSee@1

d eSeeufffb cQω 2 vfff= Ceeevfff

Ceeeij

=Deeee

ij

m i m jqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffff

Ahol S-1DS-1= C önadjungált mátrix. A fentiek általános esetben igazak.

Kristályos anyagokban: N a = N c A s ahol Nc a cellák száma.

Általában az elemi cellát adjuk meg:

rffi = Rffffn

+ rffp , ahol nfff= n 1 ,n 2 ,n 3

` a, i = nfff,pP Q

és p: 1,2, … ,SR S

Ahol n adja meg, hogy melyik cella, p pedig, hogy hanyadik atom a cellában.

Bloch-tétel: vfff= vfffe i kffRfff

n és kfff= kfff+ Kfffffh

ei kff+Kffff

h

b cRfff

n = e i kffRfffn e i Kffff

hRfff

n = e i kffRfffn , mivel Kfffff

hRffff

n= 2π A egész szám

b c

k benne van a Brouillen-zónában!

Nemkristályos anyagokban:

lokalizált módus:

delokalizált módus:

Periodikus anyag rezgései: Born-Kármán (vagy periodikus) határfeltétel: Vagy ugyanaz az elmozdulás, vagy ciklikus határfeltételt veszünk.

vfffn = vfffRffffn

b cvfffRffff

n+ N1 afff1b c

e i kffRfffn = e i kffRfff

n+ N 1aff

1

b c

Q e i kffaff1

N 1 = 1kfffafff1 N1 = 2πm 1

kfffafff2 N2 = 2πm 2

kfffafff3 N3 = 2πm 3

kfff= m 1

N1

fffffffffbfff1

+m 2

N2

fffffffffbfff2

+m 3

N3

fffffffffbfff3

Reciprok rács

A megoldást egy k vektorral tudjuk jellemezni. N kb. Na köbgyöke. Nc=N1N2N3→3 s db koordináta. A problémát redukáltuk. Kapunk egy ω2-et, ami ωλ2(k) fv-e (azaz egy λ: 3 s . 3 s-es mátrix sajátérték fv-ében melyik, λ=1,…,3s). Diszperziós reláció

Egyatomos lineáris lánc:

m uA A n =@ D 2Un@ Un + 1@ Un @1

b c

Un t` a

= Aeiωt

e ikan , ahol an az atom helyét adja meg

@mω 2 Aeiωt

e ikan =@ D 2@ e ika@ e@ ikab c

Aeiωt

e ikan

mω 2 = D 2@ e ika@ e@ ikab c

= 2D 1@ cos ka` ab c

ω 2 =2Dmfffffffff1@ cos ka

` ab c

ω =2Dmfffffffff1@ cos ka

` ab cswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww sin

ka2fffffffff gLLLLLL

MMMMMM

Kétatomos lineáris lánc:

m uA A =@ D 2 un@ v n@ v n @1

b c

M vA A =@ D 2v n@ un + 1@ un

b c

un = Aeiωt

e ikan ; v n = Beiωt

e ikan

mω 2 A = D 2A@ 1 + e@ ikab c

Bd e

Mω 2 B = D 2B@ 1 + e ikab c

Ad e

mω 2@ 2D D 1 + e@ ikab c

D 1 + e ikab c

Mω 2@ 2D

hllj

immk A

B

f g= 0

Nemtriviális megoldás akkor van, ha a mátrix determinánsa nulla.

mMω 4@ 2D m + M` a

ω 2 + 4D2@ D

22 + 2cos ka

` ab c= 0

mMω 4@ 2D m + M` a

ω 2 + 2D2

1 + cos ka` ab c

= 0

ω 2 =

2D m + M` a

F 4D2

m + M` a2

@ 8D2

mM 1@ cos ka` ab crwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2mMffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

ω 2 =2DmMffffffffffff m + M

` aF m 2 + M

2+ 2mMcos ka

` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e

Nem mindig merőlegesen jön be, csak periodikus határfeltételnél. Optikai ág akkor is optikai ág, ha nincs gerjesztése (optikailag nem gerjeszthető). Mindkét ágat fononnak nev. s=1-nél nincs optikai ág, egyébként 3 akusztikus, 3(s-1) optikai ág. Ha m→M, visszakapjuk az egyatomos esetet.

Módussűrűség(=fononspektruóm): D(ω)

Zω1

ω2

D ω` a

dω = ω1 és ω2 közti módusok száma

1atomos láncnál: A módusok független lineáris oszcillátorok: k vektor és λ=1,…,3s.

Annyi lin. oszc. van a Bz-ban, ahány cella van a rácsban.

ω =4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwsin

ka2fffffffff g

; dω =4Dmfffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwcos

ka2fffffffff g

a2ffffdk

D ω` a

dω = 2aN2πffffffffdk =

aNπffffffff 1

a2fffff 4D

mffffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwcos

ka2fffffffffffd efffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdω =

Nπfffff m

Dffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1

a@ mω2

4Dfffffffffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffffffffff

Eλ

k` a

= -ωλ

k` a

nλ

k` a

+12fffff g

nλ

k` a

adja meg a fononok számát a módusbanb c

(pl. ha n=3, akkor ebben a módusban 3 fonon van) Energiája: -ω

λk` a

, impulzusa (kváziimpulzus): - kfff A fonon kvázirészecske. Normál folyamat: megmarad a kávziimpulzus, és az eredő k vektor benne van a

Bz-ban. X - kfffi= 0 .

Unklapp folyamat: Brillouin zónában nincs benne az eredő k vektor. Addig kell

hozzáadni, hogy benne legyen. X - kfffi= -Kfffff

h.

Lineáris diszperzió esetén. (3D-ben D(ω))

D ω` a

dω =V

2π` a3ffffffffffffffffZ d

3k =

V

2π` a3ffffffffffffffff4πk

2dk =

V

2π` a3ffffffffffffffffω

cffffff g2

1cfffdω

felhasználtuk, hogy: ω: = c kfffb c= ck [ dω = c dk

Teljes D(ω):

D ω` a

= V 2π` a2 1

c13

ffffff+

1c2

3

ffffff+

1c3

3

fffffff gω 2 =

V

2π` a2ffffffffffffffff3

c3

ffffffω 2

Az anyag termikus tulajdonságainak nagy részét a fononok adják.

7. Rácsrezgések termikus hatásai Rácsrezgések energiája, Debye-fajhő. Kristályos és amorf anyag hőtágulása, Hővezetés, fonon-fonon kölcsönhatás, direkt és umklapp folyamatok. Diszperziós reláció kimérése, folyadékok dinamikája, Raman szórás Melegítésnél a rezgés veszi fel a hőt (+ hővezetés +….)

Fononok (amik bozonok) Energiája: E =Xi

-ωi n i +12fffff g

; n i

( )=

1eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff

E( )

=Xi

-ωi n i

( )+

12fffff g

=Xi

-ωi

1eβ-ωi

ffffffffffff+

12fffff g

=Xi

-ωi

2fffffffffff2 + eβ-ωi@ 1

eβ-ωi@ 1fffffffffffffffffffffffffffffffffff

=

Xi

-ωi

2fffffffffffeβ-ωi + 1

eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff

=Xi

-ωi

2fffffffffffeβ-ωi + e@β-ωi

eβ-ωi@ e@β-ωi

fffffffffffffffffffffffffffffffffff=X

i

-ωi

2fffffffffffcth

-ωi

2kTffffffffffffff g

Nagy T-re: E( )

=Xi

-ωi

2fffffffffff2kT-ωi

fffffffffffff=X

i

kT = 3Na kT � Ekvipartíció tétel

cv =∂ E( )

∂Tfffffffffffffff

= 3Na k (vagy cp) (folyadékra nem igaz)�

Alacsony T-re: E( )

= 0 - a szabadsági fokok befagynak.

Debye-fajhő: (alacsony hőn nem jó az Einstein modell)

E( )

= E0 +Xi

-ωi

eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffff

= E0 + Z -ωi

eβ-ωi@ 1ffffffffffffffffffffffD ω

` adω ; -ωD = kT D

DD ω` a

=V

2π2fffffffffff3

c3

ffffffω2 ; ω<ωD

` a; ωD = 6π2 Na

Vfffffff3swwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwc ; Z

0

1

x 3

ex@ 1fffffffffffffffffdx =

π4

15fffffffh

lj

imk

Z0

ωD

DD ω` a

dω =V

2π 2fffffffffff3

c3

ffffffZ0

ωD

ω 2 dω =V

2π2fffffffffffωD

3

c3

ffffffff= 3Na - a módusokban a sebesség c

E( )

= E0 + Z0

ωD

-ω

eβ-ω@ 1fffffffffffffffffffffV

2π2fffffffffff3

c3

ffffffω 2 dω = E0 +

V2π2fffffffffff3

c3

ffffff- kT` a4

-4

ffffffffffffffffffffff Z0

β-ωD

x 3

ex@ 1fffffffffffffffffdx =

= E0 +V

2π2fffffffffff3

c3

ffffff- kT` a4

-4

ffffffffffffffffffffffπ 4

15fffffff

= E0 +Vπ 2

10fffffffffff1

c3

ffffffkT` a4

-3

fffffffffffffffff[ cv =

Vπ 2

10fffffffffff1

c3

ffffffk 4

-3fffffff4T

3

Fémeknél γT3-höz jön egy +αT járulék

Hőtágulási együttható: (csak a fononrezgéstől nem tágul) A hőtágulást a nem lineáris tagok hozzák létre (amiket kihagytunk a sorfejtésből).

Pl: Kvarc- erősen lin. anyag – kevésbé hőtágul

Ahogy jobban rezeg, eltolódik a középpont � hőtágulás.

Hővezetés: (pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

Q = κ∂T∂xfffffffff

=13ffffcv uΛ

∂T∂xfffffffff , ahol u az átlagsebesség.

Ideális kristályban: κ → ∞

Anharmonikus rácskcsh.ok és fonon-fonon ütközések � Λ~1Tfffff

k1fffff+ k2fffff= k3fffffk1fffff+ k2fffff= k3fffff+ G[ Unklapp folyamat atomos rácsokban

` a

A hővezetés függ a nagyságtól és a fajhőtől.

Fémeknél: - szennyezőben a fonon vezek

- tiszta fémekben az elektron

(Widemann Frane tv.: w =1

LG12 Tfffffffffffffffffffff

= w0 + w12 = αT2

+β

Tfffff

)

(Hőtágulás → atomokat eltávolítani akaró anharmonikus tagok.)

8. Elektronszerkezet Adiabatikus szétcsatolás, Bloch-tétel, Bloch- és Wannier-függvények Adiabatikus szétcsatolás: Az elektronok úgy látják az atommagokat, mintha állnának, az atommagok meg úgy látják az elektronokat, hogy cikáznak körülöttük kb. felhőszerűen.

Ionok: RI az összes ion helyzetétől függ.

RffffI

PfffI=-

iffff ∂

∂ RffffI

ffffffffffff H =@XI

-2

2MI

ffffffffffff∂2

∂ RffffI

2fffffffffffff

+ VI RffffI

b c

Elektronok:

rffi pfffi=-

iffff ∂

∂ rffi2fffffffffff H =@X

i

-2

2m e

fffffffffffff∂2

∂ rffiffffffffff

+ v e rffi` a+ v eI RffffI, rffib c

Az egészet egyesítve:

H =@X

I

-2

2MI

ffffffffffff∂2

∂ RffffI

2fffffffffffff

+ VI RffffI

b c@X

i

-2

2m e

fffffffffffff∂2

∂ rffi2fffffffffff

+ v e rffi` a+ v eI RffffI, rffib c

ψ RffffI, rffib c

; Hψ = Eψ ; ψ RffffI, rffib c

= φ RffffI

b cϕ Rffff

I, rffib c

A fenti H egyenletet átrendezve:

@XI

-2

2MI

ffffffffffff∂ 2φ

∂ RffffI

2fffffffffffff

+ VI RffffI

b cφ

hlj

imkϕ + @X

I

-2

2MI

ffffffffffff2∂φ

∂ RffffI

ffffffffffff∂ϕ

∂ RffffI

ffffffffffff+ φ

∂ϕ

∂ RffffI

2fffffffffffffh

jik

HLJ

IMK+

@Xi

-2

2m e

fffffffffffff+ v e ϕ + v eI ϕ

HJ

IKφ = Eφϕ

1) elektronprobléma (tetszőleges RI elrendezésben):

@Xi

-2

2m e

fffffffffffff ∂2

ϕ

∂ rffi2 + v e ϕffffffffffffffffffffffffffffffff

+ v eI RffffI, rffib c

ϕ = E RffffI

b cϕ

2) rácsprobléma:

@XI

-2

2MI

ffffffffffff∂ 2φ

∂ RffffI

2fffffffffffff

+ VI RffffI

b c+ E Rffff

I

b cd eφ = Eφ

Ezt klasszikusan oldjuk meg (fononprobléma).

3) elektron-fonon kölcsönhatá

Hkölcsönhatási =@XI

-2

2MI

ffffffffffff2∂φ

∂ RffffI

ffffffffffff∂ϕ

∂ RffffI

ffffffffffff+

∂2

ϕ

∂ RffffI

2fffffffffffffh

lj

imk

Ehelyett majd megoldjuk az elektronproblémát rácsra.

Bloch-tétel:

(a) nem degenerált:

Hϕ = Eϕ

Hs1 elektronra

=@-

2∆

2m e

fffffffffffff+ V rff` a ; Hs

sok elektronra

=@Xi

-2

∆ i

2mfffffffffffffff

+Xi

V rffi` a+Xi<j

14πε0

fffffffffffff e2

rffi@ rffjLL MMffffffffffffffffffffff

H rff+ Rffffn

b c= H rff` aQ invariáns a rácsperiódusú eltolásra, így:

H rff+ Rffffn

b cϕ rff+ Rffff

n

b c= Eϕ rff+ Rffff

n

b c[ H rff` aϕ rff+ Rffff

n

b c= Eϕ rff+ Rffff

n

b c

Megjegyzés:

Hϕ = eϕ ; TQ lineáris eltolás

T HT@1

T ϕ = ET ϕ mivel T HT@1

= H és HT = T H

H T ϕb c

= E T ϕb c

T Rffffn

b cϕ rff` a= ϕ rff+ Rffff

n

b c= cn ϕ rff` a

Periodikus határfeltétel.

ϕ rff+ afff1b c= c1 ϕ rff` a

ϕ rff+ afff2b c= c2 ϕ rff` a

ϕ rff+ afff3b c= c3 ϕ rff` a

LLLLLLLLLLLLL

Y^^]^^[

ϕ rff+ N1 afff1b c= ϕ rff` a

c1N 1 = 1

hlj

imk[

c1 = ei2π

p.N 1

ffffffff

c2 = ei2π

p.N 2

ffffffff

c3 = ei2π

p.N 3

ffffffff

LLLLLLLLLLLLL

Y^^]^^[

a fent iek alapján pedig:

ϕ rff+ Rffffn

b c= e i kffRfff

n ϕ rff` a

A fenti egyenlet a Felix-Bloch tétel (1952-ben Nobel-díj).

Reciprokrács:

(b) degenerált:

A fenti eltolás nem igaz (gond van a skalárszorzással).

Hϕ1

rff` a= Eϕ1

rff` a ; ϕ1

rff+ Rffffn

b c= λ11 ϕ

1rff` a+ λ12 ϕ

2rff` a

Hϕ2

rff` a= Eϕ2

rff` a ; ϕ2

rff+ Rffffn

b c= λ21 ϕ

1rff` a+ λ22 ϕ

2rff` a

Fötengelytranszformálva:

ϕa

rff+ Rffffn

b c= λa ϕ

arff` a ; ϕ

brff+ Rffff

n

b c= λb ϕ

brff` a

ϕ rff+ Rffffn

b c= e i kffRfff

n ϕkff rff` a @ Bloch fv .

Bloch-fv: ϕ rff+ Rffffn

b c= e i kffRfff

n ϕkff rff` a

1) a különböző k-khoz tartozó Bloch-fv-ek merőlegesek:

Z ϕkff

1

C rff` aϕkff

2

rff` ad3

r = Z ϕkff

1

C rff+ Rffffn

b cϕ

kff2

rff+ RffffN

b cd

3r =

= e i kff2@kff

1

b cRfff

nZ ϕkff

1

C rff` aϕkff

2

rff` a d3

r

1@ e i kff2@kff

1

b cRfff

n

b cAZ ϕ

kff1

C rff` aϕkff

2

rff` ad3

r = 0

Az első tag 0, ha k2-k1=Kh, ami soha nem teljesül, tehát k1-nek és k2-nek ortogonálisnak kell lennie. Páros és páratlan fv-ek lineárkombinációjából minden „normális” fv. kikeverhető. (Az ∫-os tag = 0)

f rff` a=Xkff

T

akffT

e i kffT

rff ; kfffT

= Kfffffh

+ kfff2 Bz ; kfffT

=2πp

1

N1

ffffffffffffffb1 +2πp

2

N2

ffffffffffffffb2 +2πp

3

N3

ffffffffffffffb3

f rff` a=XKffff

h

Xkff

aK hfffffff+ kffei Kffff

h+ kffb c

rff=X

kffXKffff

h

aKffffh

+ kffe i Kffffh

rfff ge i kffrff=X

kffuk rff` a e i kffrff

uk rff+ Rffffn

b ce i kff rff+Rfff

n

b c

= e i kffRfffn uk rff` a e i kffrff

f előállíthatő Bloch-fv-ek lineárkombinációjaként.

Wannier-fv:

ϕ rff` a= u rff` a e i kffrff

ϕ rff` a=XRfff

n

w rffn@Rffffm

b ce i kffRfff

m

Ez a Wannier-előállítás.

ϕ rff+ Rffffn

b c=X

Rfffn

w rff@Rffffm

+ Rnfffffffb ce i kffRfff

m =Xrff

m

w rff@Rffffm.

b ce i kffRfff

m. +Rfff

n

b c

=

= e i kffRfffnX

Rfffm.

w rff@Rffffm.

b ce i kffRfff

m. = e i kffRfff

n ϕ rff` a

9. Kristályos anyag elektronszerkezete Kvázi szabad elektronok, kéthullám-közelítés. Szorosan kötött elektron közelítés. Periódusos rendszer. Nemperiódikus szerkezet, lokalizált és delokalizált elektronok Kvázi szabad elektronok:

Az elektronok a fémben abszolút nulla fokon vannak.

e i kffT

rff= e i kffrffe i Kffffh

rffahol: kfffT2 R t teljes reciprokrács tér

b c, k 2 Bz és e i Kffff

hrff= uk rff` a

E kfffb c=-

2kfff

T

2

2mfffffffffffffff

=-

2Kfffff

h+ kfffb c2

2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffff teljes energia: ET = 2X

kff-

2kfff2

2mfffffffffffffff

A 2-es a szumma elé a spin miatt kell és kfffLLL MMM< kfffF

Fermi hullámszám` a

.

Bz-ban Nc (cella-)állapot: VB

Nc

ffffffff=

2π` a3

Vc Nc

ffffffffffffffff=

2π` a3

Vffffffffffffffff � ez tartozik egy álapothoz

ET = 2V

2π` a3ffffffffffffffffZ -2

kfff22mfffffffffffffffd3

k =V

4π3fffffffffffZ -2

kfff22mfffffffffffffff4k

2πdk =

V2π2fffffffffff-2

mfffffffkF

5

5fffffff

N = 2Xkff

1, ahol kfffLLL MMM< kfffF

N = 2V

2π` a3ffffffffffffffffZ d

3k =

V4π3fffffffffffZ 4k

2πdk =

Vπ2fffffffkF

3

3fffffff

A fentieket átrendezve kF-et megkaphatjuk:

kfffF

= 3π2 NVffffff g

Valamint: <E> =ET

Nfffffff

=3

10fffffff-2

kfffF

2

mfffffffffffffff

=35ffff- 2

kfffF

2

2fffffffffffffffm =

35ffffEF

Kéthullám-közelítés:

ϕ0

= e i kffrffA 1

Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffa második tag a normálás miat tb c

ϕ1

=1

Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrffe i Kffff1

rff

H =-

2

2mffffffffff

∆ + U rff` a , ahol U a periodikus potenciál

ϕ = C0

1

Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrff+ C1

1

Vpwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffe i kffrffe i Kffff1

rff

-2

2mffffffffffC0 k

2e i kffrff+ C1 Kfffff

1+ kfffb c2

e i kff+Kffff1

b crff+ U rff` aC0 e i kffrff+ U rff` aC1 e i Kffff

1+ kffrffb cf g

=

= E C0 e i kffrff+ C1 e i Kffff1

+ kffb crffd e

-2

2mffffffffffk 2

C0 +1

Vc

fffffffZV c

U rff` ad3

rC0 +1

Vc

fffffffZV c

U rff` a e i Kffff1

rffd3rC1 = EC0

1VC

ffffffffZ U rff` a d3

r = U0 : = 0 ;1

VC

ffffffffZ U rff` a e i Kffff1

rffd3r = U1

-2

2mffffffffffkfff+ Kfffff

1

b c2

C1 +1

Vc

fffffffZV c

U rff` a e i Kffff1

rffd3rC0 +

1Vc

fffffffZ U rff` ad3

rC1 = EC1

-2

k2

2mfffffffffffffff U1

U1C- kfff+ Kfffff

1

b c2

2mffffffffffffffffffffffffffffffffff

hlllllllj

immmmmmmk

C0

C1

hj

ik= E

C0

C1

hj

ikQ a det legyen 0

-2

k2

2mfffffffffffffff

@ Ef g

A-

2

2mffffffffffkfff+ Kfffff

1

b c2

@ Ef g

@ U1

LLLMMM

2

= 0

E2@ E

-2

2mffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff

1

b c2F G+-

2

2mfffffffffff g2

kfff2 kfff+ Kfffff1

b c2

@ U1

LLLMMM

2

= 0

E =

-2

2mffffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff

1

b c2F GF

-2

2mfffffffffffff g2

@ 4 -2

2mfffffffffffff g2

kfff2 kfff+ Kfffff1

b c2

+ 4 U1

LLLMMM

2

vuuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

=

=-

2

2mffffffffffkfff2 + kfff+ Kfffff

1

b c2

2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

F-

2

2mfffffffffff g2 kfff2@ kfff+ Kfffff

1

b c2

2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

HLJ

IMK

2

+ U1

LLLMMM

2

vuuuuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Messzebb ez a közelítés már nem jó, a többi rendet(?) is figyelembe kell venni.

Szorosan kötött elektron modell:

H =@-

2

2mffffffffff

∆ + U rff` a Hatomi =@-

2

2mffffffffff

∆ + Uatomi rff` a Ha φ = Ea φ

ψ rff` a=Xnff

cnffφ rff@Rffffnff

b cQ az origóban nézve úgy, hogy a többi hat rá

Xnff@-

2

2mffffffffff

∆ + Va rff@Rffffnff

b c+ V rff` a@ Va rff@Rffff

nffb cd eH

JIKCnffφ rff@Rffff

n

b c=

= EXnff

cn φ rff@Rffffnff

b c

Xnff

Ea cn φ rff@Rffffn

b c+ V rff` a@ Va rff@Rffff

nffb cD E

φ rff@Rffffnff

b ccn =

EXnff cn φ rff@Rffff

n

b cφ rff@Rffff

mffffb c Z d

3r(

Nem elhanyagoljuk, hanem egy nagy számmal szorozzuk az integrált.

Ea cm + Z φ r@ Rm

b cV r` a@ Va r@ Rn

b cd eφ r@ Rn

b cd

32cn = Ecm

Ea cm + XhQ elsö szomszédok

V cm + h = Ecm

cm = e i kffRfffn

Ea e i kffRfffm + VX

h

e i kffRfffm

+ hb c

= Eei kffRfff

m

E = E0 + V e i kffaff1 + e@ i kffaff

1 + e i kffaff2 + e@ i kffaff

2 + e i kffaff3 + e@ i kffaff

3

b c

E = E0 + 2V cos kfffafff1b c+ cos kfffafff2b c

+ cos kfffafff3b cd e

E = E0 + 2Vcos ka` aQ 1D@ ben

Periódusos rendszer:

Szigetelő: atomonként vagy primitív cellánként páros elektron. Legfelső elektronokkal telt sávot a többi felette lévő sávtól legalább kT energia választja el. Félvezető: olyan szigetelő, amit a félvezetőtechnológia használ. A fém azért szürke, mert fázishelyesen veri vissza a fényt. A fehér felület össze-vissza.

10. Fémek Állapotsűrűség, Fermi-nívó, Fermi-felületek. Csoportsebesség, elektronok mozgásegyenlete, Bethe-Sommerfeld-sorfejtés, elektronfajhő, Pauli-szuszceptibilitás, Transzporttulajdonságok, vezetés, hővezetés, Seebeck és Peltier-effektus. Hall effektus, ciklotron-rezonancia

E kfffb c=-

2kfff2

2mfffffffffffffff

Q diszperziós reláció; E KfffffF

b c=-

2Kfffff

F

2

2mfffffffffffffffff

= EF

D E` a

dE = 2V

2π` a3ffffffffffffffff Z

E <E kffb c<dE

1 d3

k = 2V

2π` a3ffffffffffffffff4πk

2d

3k =

Vπ2fffffff2mE

-2

ffffffffffffff m

-2 2mE

-2

ffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffdE

D E` a

=vπ2fffffff 2pwwwwwwwwwwwwwwm

3

2fffffff

-3fffffffff Epwwwwwwwwwwwwwwww E =

-2kfff2

2mfffffffffffffff; dE =

-2

kmffffffffffffdk ; dk =

m

-2

k

ffffffffffffdE

hj

ik

ahol D(E) az állapot sűrűség.

Csoportsebesség: vfffcsop =1-ffff∂E kfffb c

∂ kffffffffffffffffffffffff Effiktív tömegtenzor:

1m *ffffffffffff g

α,β

=1

-2fffffff∂

2E` a

∂kα ∂kβ

ffffffffffffffffffffff Mozgásegyenlet: - kfffA = e Efff+ e vfffBBfffb c

@- kfff

τffffffffffF G

,

ahol az utolsó tag a fékezőerő.

D E` a

dE = 2V

2π` a3ffffffffffffffff Z

E <E k` a

<E + dE

d3

k = 2V

2π` a3ffffffffffffffffZ dk

?dS = 2

V

2π` a3ffffffffffffffff Z

E k` a

= E

dS

∂E∂ kffffffffffffffffLLLLL

MMMMM

fffffffffffffdE

D E` a

= 2V

2π` a3ffffffffffffffff Z

E k` a

= E

dS

∂E∂ kffffffffffffffffLLLLL

MMMMM

fffffffffffff= 2

V

2π` a3ffffffffffffffff Z

E k` a

= E

dS- vfffLL MMffffffffffffff; ∂E

∂ kfffffffffffffdk?

= dEf g

(az e- rsz.t ~50000K-re kellene melegíteni, hogy klasszikusan viselkedjen)

Bethe-Sommerfeld-sorfejtés:

I = Z g E` aA f E,Tb c

dE , ahol f E,Tb c

=1

eβ E @EF

b c

+ 1

ffffffffffffffffffffffffffffffffff Fermi-Dirac eloszlás.

S parc . int ; G/

E` a

= g E` a

I = G E` a

f E` a

|@1

1@ Z@1

1

G E` a

f/

E` a

dE =@ Z@1

1

G E` a

f/

E` a

dE

f’(E) EF helyen 0 (Dirac-δ miatt) → G(E)-t csak EF helyen kell nézni.

G(E) sorbafejtése EF körül:

I = @Z G EF

b cf

/E` a

dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~y

I0

@ Z G/

EF

b cE@ EF

b cf

/E` a

dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y

I1

@

@12ffffZ G

//EF

b cE@ EF

b c2

f/

E` a

dE{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y

I2

I0 =@ G EF

b c Z@1

1

f/

E` a

dE = G EF

b c= Z1

E F

g E` a

dE

f/

E` a

=@ 1

eβ E @EF

b c

+ 1b c2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffeβ E @EF

b c 1kTfffffffff

=@1

kTfffffffff 1

eβ E @EF

b c

+ 1b c

e@β E @EF

b c

@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

I1 = G/

EF

b c 1kTfffffffffZ

@1

1

E@ EF

eβ E @EF

b c

+ 1b c

e@β E @EF

b c

@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdE =

= G/

EF

b ckT Z

@1

1

xex + 1` a

e@x + 1` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdx = 0 páratlan fv . int . ja

b c

I2 =12ffffG//

EF

b c 1kTfffffffffZ

@1

1 E@ EF

b c2

eβ E @EF

b c

+ 1b c

e@β E @EF

b c

@ 1b cffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdE =

=12ffffG//

EF

b ckT` a2 Z

@1

1

x 2

ex + 1` a

e@x + 1` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffdx =

π 2

6fffffff1

2ffffG//

EF

b ckT` a2

Tehát I = Z@1

1

g E` a

f E` a

dE = Z@1

EF

g E` a

dE +π 2

6fffffffg/ E

` akT` a2

→ ezt felhasználva:

Energia T` a

= Z@1

1

ε D ε` a

f ε` a

dε = Z@1

EF

ε D ε` a

dε +π2

6fffffff∂ε D ε

` a

∂εffffffffffffffffffffffffff g

EF

kT` a2

Szigetelőre tesszük, és a kémiai potenciál hőmérséklet-függését nézzük:

N T` a

= Z@1

1

D ε` a

f ε` a

dε = Z@1

EF

D ε` a

dε +π2

6fffffff∂D ε

` a

∂εffffffffffffffffffff g

EF

kT` a2

=

= Z@1

EF T` a

D ε` a

dε +π2

6fffffffD /

EF T` ab c

kT` a2

=

=rendig

elsö Z@1

EF 0` a

D ε` a

dε + ZEF 0` a

EF T` a

D ε` a

dε + D/ π2

6fffffffEF 0

` a+ EF T

` a@ EF 0

` ab cD EkT` a2

=

= N + D EF 0` ab c

EF T` a@ EF 0

` aB C+

π

6ffffD /

EF 0` ab c

kT` a2

EF T` a

= EF 0` a@

π 2

6fffffffD /

EF

b c

D EF

b cffffffffffffffffffffffkT` a2

Energia T` a

= Z@1

EF 0` a

ε D ε` a

f ε` a

dε + ZEF 0` a

EF T` a

ε D ε` a

dε +π 2

6fffffff∂ε D ε

` a

∂εffffffffffffffffffffffffff g

EF = EF 0` a

kT` a2

=

= Energia 0` a

+ EF T` a@ EF 0

` aB CEF D EF

b c+

π2

6fffffff∂ε D ε

` a

∂εffffffffffffffffffffffffff g

EF = EF 0` a

kT` a2

=

= Energia 0` a

+π 2

6fffffffD EF

b ckT` a2

, ahol D EF

b caz állapot @ ρ

Elektronfajhő: cv =∂Energia

∂Tfffffffffffffffffff

=π2

3fffffffD EF

b ck

2T

Pauli-szuszceptibilitás:

∆E = gµB

B; g = 2;µB

=e-2mffffffffff; B = µH

M =1Vfffffgµ

B

b cN R@N Sb c

N R = Z@1

1 D ε + gµB

Bb c

2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ε

` adε = Z

@1

1D ε` a

2ffffffffffffffff ε

` adε + Z

@1

1D

/ε` a

2ffffffffffffffffff ε

` adε gµ B B

M =g@µ

B

b c2

VffffffffffffffffffffffffffffZ

0

1

D/

ε` a

f ε` a

dεB

χ =MHffffff

=gµ

B

b c2

Vffffffffffffffffffff

µ0Z@1

1

D/

ε` a

f ε` a

dε =gµ

B

b c2

Vffffffffffffffffffff

µ0

D EF

b c

D ε` a

= α εpwwwwwwwwww; D/

ε` a

=α

2 εpwwwwwwwwwwfffffffffffffff; Nse@ ok száma

= Z0

EF

α εpwwwwwwwwwwdε = α23ffffE 3

2ffff g

0

EF

=23ffff

αEF

32/

D EF

b c=

3N

2εF

32-

fffffffffffffEF

12/

=3N2εF

fffffffff ; χ =NVfffff3

2ffffgµ

B

b c2

µ0

1EF

fffffffeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Transzporttulajdonságok: e--ok mozgása fázistérben → eloszl. fv.: f(k,r)

N = 21

2π` a3ffffffffffffffffZ f kfff, rffb c

d3

k d3

r ; jff= σ Efff; σ =1ρffffQ vezetöképesség

jffelektromos

= 21

2π` a3ffffffffffffffffZ e vffff kfff, rffb c

d3

k ; jffhö

= 21

2π` a3ffffffffffffffffZ ε kfffb c@ EF

d evffff kfff, rffb c

d3

k

Hővezetés: Widemann-Franz – törvény �

jffhö

=@ κgradT jffel

= 0b c

; κ =π2 k

2T

2

3e2

ffffffffffffffffffffffffσ EF

b c Lorentz-szám: L: =

κ

Tσffffffffff

=π2 k

2

3e2

fffffffffffffff

Kereszteffektusok: – Seebech-eff.:

Efff= S gradT jffel

= 0b c

; S =π2 k

2T

3e2

fffffffffffffffffffff∂lnσ

∂εfffffffffffffff g

ε = EF

Termofesz: hőmérséklet gradiensnél lesz térerősség. – Peltier-eff.: jff

hö= π jff

el; T = áll

Hall-effektus: RH → Hall-állandó.

E = RH jBQ

Ulfffff

= RH

IldffffffBQU =

RH

dfffffffffIB

e vfffBBfffb c= e Efff; vB = E ; j = env

E =1enffffffffjB[ RH =

1nefffffff ; e - részecske töltése, n - töltés szám/m3, v - drift sebesség

Ciklotron rezonancia: (mágneses térben a fém hogyan rezonál – MRI,MSR…)

mozgásegyenlet: - kfffA = e vfffBBfffb c; vfff= 1

-ffff∂ Efff

∂ kfffffffffffff; T = E dt = E dk| |

k | |/

ffffffffff; - kA

| | = ev? B

T = E - dk| |

ev?

Bfffffffffffffffff

=-

eBffffffffZ 1

v?

ffffffffdk| | =-

eBffffffffZ dk

?

1-ffffff ∂E

∂ kfffffffffffffffff g

?

ffffffffffffffffffffffffff=

=-

2

eBffffffff1

∆EfffffffffE k? dk| | =

-2

eBffffffff ∂S

∂Efffffffff g

E = E F

; ω =2π

Tffffffff

=2πeB

-2

ffffffffffffffff 1∂S∂Efffffffffffd e

E = E F

fffffffffffffffffffffffffff

11. Mágneses tulajdonságok Atomi paramágnesség, Curie-törvény. Atomi diamágnesség, Pauli szuszceptibilitás, Landau- diamágnesség, Atomi paramágnesség: L - pálya imp.mom.; L2 SÉei: ħ2l(l+1) Lz: -lħ…lħ S - spin imp.mom. ħ2s(s+1) Sz: -sħ…sħ J - össz mom. ħ2j(j+1) Jz: -jħ…jħ

M - mágneses mom. Mfffff= µB

-fffffffLfff+ 2 Sffb c

; Efff= MfffffBfff=@ gµB

m Bfff (ahol g a giromágneses faktor) -j < m < j (n=N/V – atom sűrűség)

Mz = ngµB

Xm =@ j

j

me@gµB mB

Xm =@ j

j

e@gµB mB

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff; S = j

Xm =@ j

j

memx

jfffffffffffffff

Xm =@ j

j

emx

jfffffffffffffff

fffffffffffffffffffffffffffff=

ddxfffffffln z x

` a; z x` a

= Xm =@ j

j

emx

jffffffff

z x` a

= exe

xjfffffff 2j + 1b c

@ 1

exjfffffff@ 1

ffffffffffffffffffffffffffffffff=

ex 1 +

1

jfffffd e

@ ex

exjfffffff@ 1

fffffffffffffffffffffffffffffffff=

ex 1 +

1

2jfffffffffd e

@ e@x 1 +

1

2jfffffffffd e

ex2jfffffffff@ e

@x2jfffffffff

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=

sh x 1 +12jfffffffff gH

JIK

sh x2jffffffffd effffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

S =d

dxfffffffln z x

` a=

z / x` a

z x` afffffffffffffff

=

shx2jffffffffd e

sh x 1 +12jfffffffff gH

JIK

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=

1 +12jfffffffff g

ch x 1 +12jfffffffff gH

JIKsh

x2jffffffffd e

sh2 x

2jffffffffd effffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

@

@

12jffffffffch x

2jffffffffd e

sh x 1 +12jfffffffff gH

JIK

sh2 x

2jffffffffd efffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

= B j x` a

= 1 +12jfffffff g

cth x 1 +12jfffffff g@

12jffffffcth

x2jfffffff g

Ahol Bj(x) a Brillouin-fv.

1) j =12ffff: B1

2fff x` a

= 2cth 2x@ cth x = 2ch

2x` a

+ sh2

x` a

2sh x ch xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

@ch xsh xffffffffffff

= th x

2) jQ1 : B1 x` a

= cth x@1xffff Langevin@ fv .b c

3) xQ1 : limx Q 1

= B j x` a

= 1

4) x << 1 :

cth x =ch xsh xffffffffffff

=1 +

x2

2fffffffff

x +x3

6ffffffff

ffffffffffffffffff=

1xffff1 +

x2

2fffffffff

1 +x2

6fffffffff

ffffffffffffffffff=

1xffff1 + x 2@

x 2

6ffffffff g

=1xffff1 +

x 2

3ffffffff g

=1 +

x2

3fffffffff

xffffffffffffffffff

B j x` a

= 1 +12jfffffff g

1 +13fffff x 1 +

12jfffffffff g2

hlj

imk

1 +12jfffffffff g

x

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff@

12jffffff1 +

13fffffx 1

2jfffffffff g2

12jffffffffx

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=

=

1 +13fffffx 2 1 +

12jfffffffff g2

@ x@ 13fffffx 2 1

2jfffffffff g2

xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

=

x 1 +1jfffff g

3ffffffffffffffffffffffffffff

=j + 1

3jffffffffffffffx

M = ngµB

jj + 1

3jffffffffffffff

=gµ

BjB

kTfffffffffffffffffff

= n gµB

b c2 j j + 1b c

3fffffffffffffffffffffffff1

kTfffffffffB B = µ

0H

b c

χ =dMdHffffffffff

= n gµ B

b c2 j j + 1b c

3fffffffffffffffffffffffff

µ 0

1kTfffffffff

=CTfffff � Curie-törvény (C - Curie együttható)

(A spinek nem hatnak kölcsön!) Paramágnesen (adiabatikus) lemágnesezés: 0K körül � 1K-es gadolinium sót raknak a 4,7K-es He-ba, bekapcsolják a mágneses teret, így forralni fogja a He-ot. Ezután elszívják a He-ot és kikapcsolják a teret, így 1mK-es lesz az anyag.

Atomi diamágnesség:

mρω2 = F (ahol ρ a sugár) F + eρωB = mρ ω + ∆ω` a2

mρω 2 + mρω2∆ω = F + eρωB ; ∆ω =eB2mffffffffff

Mi =@ e∆ω

2πffffffffff

ρi2 π =@ e A

∆ω

2ffffffffff

ρi2

Mz =@ e∆ω

2ffffffffffX

i

ρi2 =@ ze

∆ω

2ffffffffff

ρ 2* +

=@ ze∆ω

2ffffffffff x 2

( )+ y 2* +d e

=@ ze∆ω

3ffffffffffr 2( )

M =@ nze2

6mffffffffffr 2( )

B ; χ =@ nze2

6mffffffffffr 2( )

µ0

Landau-diamágnesség:A pályamomentumból adódik – klasszikusan nem lehet kimutatni. (Szabad e- -ok mágneses térben körpályán mozognak és csökkentik a külsö mágneses teret.)

χp

=NVfffff3

2ffffµ e

µ0

EF

12fffffff

fffffffffffffff ; µe

= gµB

12fffff g

= µB

; H p,r` a

=pfff@ eA rff` ab c2

2mffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Állapotösszeg: z = Z e@

H

kTfffffff

pffrffb c

d3

p d3

r ; pb = pfff@ eA r` a

; rb = rff

Jee=∂ pb∂ pfffffffffffff

∂ pb∂ rfffffffffff

∂ rb∂ pfffffffffffff

∂ rb∂ rfffffffffff

hllllllj

immmmmmk

=Iee@ e

∂A rff` a∂ rfffffffffffffffffffff

0 Iee

hlllj

immmk ; det Jee= 1

Kvantumosan:

H^

=p

x

2+ p

y@ eBx

b c+ p

z

2

2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff; ψ x,y,z

` a= e i ky y + kz z

b c

ϕ x` a

; ω =eBmffffffff; x0 =

-ky

eBffffffffff

px2

2mffffffffff

+-ky@ eBxb c2

2mfffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

+-

2kz

2

2mfffffffffffffff

hlj

imk

= ϕ x` a

= E ϕ x` a

px2

2mffffffffff

+12ffffmω 2 x@ x0

` a2

{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ylin oszc

+-

2kz

2

2mfffffffffffffff

hllj

immk= ϕ x

` a= E ϕ x

` a

Lin oszc. SÉ.:ħω(n+1/2) (absz. 0K-en számolunk)

E ky ,kz ,nb c

= E kz ,nb c

= -ω n +12fffff g

+-

2kz

2

2mfffffffffffffff

E = 2 Xky ,kz ,n

E kz ,nb c

@ EF

d e= 2X

n

Xkz

E kz ,nb c

@ EF

d eXky

1

(

12 Állandó mágneses momentummal rendelkező anyagok: Ferromágnesek, antiferromágnesek, ferrimágnesek, spinüveg. Ferromágneses domének, hiszterézis, Belső tér közelítés. Curie-Weiss-törvény. Spinhullámok. Antiferromágnesség, spinüvegek. Mágneses ellenállás

1) Ferromágnes: �������� (Fe,Ni,Co) 2) Antiferoomágnes: �������� (Cr,Mn) 3) Ferrimágnes: �������� 4) Spinüveg: ������� (szilárd oldat – rendezettlen ötvözet)

Ferromágneses domainek: a két domain határán lesz egy olyan tartomány, ahol a spinek rosszul illeszkednek, és ez a fal energiavesztesé-get okoz.

Hiszterézis görbe: MS – telítettségi mágnesezettség MR – Remanens (maradék) mágnesezettség HC – Koercitív erő (azaz erő, ami 0 mágnesezettséget okoz) (Transzformátor: HC legyen kicsi)

Weiss-elmélet (klasszikus):

M = ngµB

jBj

gµB

jB

kTffffffffffffffffffff g

= f H + λM` a

, ahol λM a belső mágneses tér

Ha λ-t csökkentjök, csak egy metszéspont lesz.

Bifurkáció:

H = 0[ M =1λffffx ; H ≠ 0[M =

1λffffx@H` a

Kis terek esetén sorbafejtés 0 körül:

M = χparam

H + λM` a

[M =χ

p

1@ 2χp

ffffffffffffffffffffffH =C

T @ λCfffffffffffffffffffffH felh:χ

p=

CTfffff; Cλ = T Curie

f g

Innen: M =C

T @ T Curie

ffffffffffffffffffffffffffffH a Curie-Weiss törv. (C a Curie konst.)

Hamilton-op: H =@Xi,j

Jij Sffi Sffj (Jij a kicsrélődési ∫)

Magnon („Sipnhullám” - a spinváltozás továbbterjedése): (Alacsony T miatt lehet ∞-ig integrálni)

n( )

=Xkff

1 kp

B C

eβ-αk2

@ 1fffffffffffffffffffffffff

=V

2π` a3ffffffffffffffffZ

Bz

kp

eβ-αk2

@ 1fffffffffffffffffffffffffd3

k =V

2π` a3ffffffffffffffffZ

0

1

kp + 2

4π

eβ-αk2

@ 1fffffffffffffffffffffffffd3

k =

β =1

kB Tfffffffffffff ; x: = β-αk

2[ k =

1β-αfffffffffffffxswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=V

2π` a3ffffffffffffffff 1

β-αffffffffffffff gp + 3

2ffffffffffffZ0

1

2πxp + 2

2ffffffffffffffffffffffff

ex@ 1fffffffffffffffffffff 1

2 xpwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffdx ∝ Tp + 3

2ffffffffffff[p = 0

n( )

∝ T32fff

pl Winchester mágnes

Ez a Bloch-féle T32fff -es törvény.

Emagnon =Xn

-αk2

eβ-αk2

@ 1fffffffffffffffffffffffff

∝ T52fff

Cmagnon ∝ T32fff

; C = A a T3{ }y

fonon

+ βTw

elektron

+ γT32fffw

magnon

Antiferromágnesség: (Curie-Weiss törvényhez hasonlóan lehet számolni)

Paramágnes: χp

=C

T @ TC

ffffffffffffffffffffff ; Antiferromágnes: χ

a=

CT @ T N

ffffffffffffffffffffff (ahol TN a Neél-hőmérséklet)

Spinüveg: (pl: Cu – 1-2%Mn vagy Fe; Au – 1-2%Mn vagy Fe) Tg-ig paramágnes, ez alatt spinüveg.

Frusztrációs modell: a bekarikázott részen nem „tudja”, merre álljon a spin:

pár nm-es rétegek

Az ellentétes irányún törik. (H ≠ 0 –nál 50%os az effektus)

13. Szupravezetés A szupravezetés története. London-elmélet. Első és másodfajú szupravezetők. Fluxuskvantálás, izotópeffektus, magas hőmérsékletű szupravezetők A szupravezetés története: 1908. Heike Kamerlingh Onnes: He cseppfolyósítása, 4,22 K-en szuperfolyékony. 1986. kerámia, YBa2Cu3O3, Tc=90K 1987. 30K, Nobel-díj: Johannes Georg Bechart, Karl Axl Müller

London-elmélet:

rot Hffff= jff+ ∂D∂tfffffffff, de

∂D∂tfffffffff

= 0, mert csak a stac áramot nézzük

És j = σE nem érvényes, mert gyorsulnak az elektronok. m vAfff= q Efff jff= qn vfff

Meister-effektus:

d2

B x` a

dx 2

fffffffffffffffffffffff=

1

λ2ffffffQBfffx

` a= Bfff

0eF

x

λ

fffλ = q

nµ0

mfffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwQ behatolási mélység

Ha feltesszük, hogy: jff= 1

µ 0 λ2

ffffffffffffffAffff akkor egyszerűbben jutunk a megoldáshoz.

(A – vektorpotenciál)

rotµ0

jff=@ rot rot Bfff@

1

λ2ffffffrot Affff=@ 1

λ2ffffffBfff

Meister-effektus: a szupravezetőbe „nem megy bele” a tér (B belül 0).

Bfff= µ Hffff= µ0µ

rHffff= µ

01 + χb c

Hffff ha χ =@ 1QB = 0

A szupravezető szuszceptilibitása -1 → tökéletes diamágnes.

A másodfajú szupravezetőknél a kritikus tér után a tér már belemegy a szupravezetőkbe (összesűrűsödik→örvényvonal→belül kiterjed→örvények (vortex))

H-T diagram normál fémre és szupravezetőre, meg elsőfajúra és másodfajúra.

A kritikus pont alatt a mágneses tér kikerüli a szupravezetőt. Ha belemegy a mágneses tér a szupravezetőbe a kritikus pont fölött, akkor bennemarad a kritikus pont alatt is, ha 0 térnél hűtjük le, akkor nem lesz középen tér.

Fluxuskvantálás: Mekkora tér fagyhat bele a lyukba?

Félklasszikus kvantálás:

E pfffd rff= nh ; Hffff= pfff@ q Affffb c2

2mffffffffffffffffffffffffffffffff

=m vfff2

2ffffffffffffff

m vfff= pfff@ q Affff[ pfff= m vfff+ q Affff

A fentiek alapján az első integrálba visszahelyettesítve:

nh = E m vfff+ q Affffb cd rff

Mivel a szupravezetőknek csak a felületén folyik áram, ezért mv = 0, így:

qE Affffd rff= qE rot Affffd ffff= qZ Bfffd ffff= qφ

φ =n-qffffffffQ az anyag fluxusa kvantált

φmért =n-2qffffffffQCooper@ párok 2 e@

` a

Pinning → tűzdelve: csak a pinningelt szupravezetők tudnak lebegni (rajta kell maradni egy konstans körön). Magas hőmérsékleten a szupravezető mindig másodfajú.

Izotópeffektus: Ha nehezebb izotópot veszünk, TC eltolódik:

T c ∝1

Mpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffff � csak egyfajta anyagon belül igaz

Mi köze az atomtömegnek a szupravezetéshez (hiszen az elektronok csinálják, nem?)?

1957. BCS-modell: Bardin-Cooper-Schieffer (1972-ben Nobel-díj)

Másodkvantált formalizmus (nem perturbatív számolás).

Az abszolút értékük nulla lesz (szingulett állapot – lehetne triplett is, de nem az).

Párok alakulnak ki (bozonok lesznek, sokkal nagyobb szabadság→az anyagban is mehetnek – az egész anyagon végighalad).

Szupravezetést a fonon-fonon kölcsönhatás és a szabad elektronok hozzák létre→magas hőmérsékleten egyik sincs.

Szupravezetők: kis mágneses tér mérésére, nagy mágneses tér előállítására→csak addig, amíg bírják a saját mágneses terüket, vagy az azt létrehozó áramot, különben felrobban.

Magas hőmérsékletű szupravezetők: kerámiák La2@x Sr x CuO4 ; LaSr

` aQLa

Valószínűleg:

1) Vezet O atom p elektronja (csak a réz síkok vezetnek → irányban)

2) Cu2+ ionok között antiferromágneses csatolás