Trao đổi trực tuyến tại:

http://www.mientayvn.com/chat_box_li.html

BỘ MÔN

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN

Mục đích:

Chƣơng 3

PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ

Cung cấp cho sinh viên các phƣơng

pháp cơ bản phân tích mạch điện bằng số

phức.

Yêu cầu sinh viên phải nắm đƣợc:

1- Khái niệm về số phức, các số phức đặc

biệt, các phép tính về số phức và tính toán

số phức trên máy tính kỹ thuật thành thạo.

Yêu cầu sinh viên phải nắm đƣợc:

2- Các phép biểu diễn các dòng điện, điện

áp cùng tần số, các loại công suất trong

mạch điện bằng số phức.

3- Các luật Kiếchôp dƣới dạng số phức.

4- Các phƣơng pháp cơ bản phân tích mạch

điện bằng số phức: Phƣơng pháp dòng điện

các nhánh, Phƣơng pháp dòng điện mạch

vòng, Phƣơng pháp điện thế các nút.

5- Cách tính công suất bằng số phức.

6- Khái niệm, ý nghĩa và cách vẽ đồ thị

Tôpô của mạch điện.

Chƣơng 3

PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ

3.1 BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC

3.2 BIỂU DIỄN CÁC CẶP TH«NG SỐ CỦA MẠCH

BẰNG SỐ PHỨC.

3.3 BIỂU DIỄN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM

ĐIỀU HOÀ BẰNG SỐ PHỨC

3.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH

MẠCH ĐIỆN

3.5 ĐỒ THỊ t«p« CỦA MẠCH ĐIỆN

3.1 BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC

3.1.1 Định nghĩa

Số phức là một lƣợng gồm hai thành

phần: a+jb. Trong đó:

a;b – là các số thực

j = -1Hai thành phần này khác hẳn nhau về

bản chất: Với mọi giá trị a, b khác số 0, không

làm cho tổ hợp a+jb triệt tiêu. Theo nghĩa ấy

ta bảo a và jb là hai thành phần độc lập tuyến

tính và trực giao nhau của số phức và coi số

phức nhƣ một vectơ phẳng.

số ảo hay j2 = -1

Quy ước:Các số phức biểu diễn những lƣợng

biến thiên theo thời gian bằng những chữ

cái in hoa có dấu chấm (.) ở trên đầu:

U; I;... Ví dụ:

Còn những phức biểu diễn các lƣợng

khác thì không có dấu chấm: Z, Y...

3.1.2 Hai dạng viết của số phức

a, Dạng đại số

Là dạng viết theo tổng đại số phần thực và

ảo:V a jb

Số phức này đƣợc biểu

thị trên mặt phẳng

phức (+1; j) gắn vào tọa

độ cực, bằng một điểm

có:

+1

j

0a

b

- Hoành độ là phần thực a

- Tung độ là phần ảo b

V

+1

j

0a

b

V

Hoặc gắn vào hệ tọa độ

Đề-các bằng vectơ nối

gốc tọa độ đến điểm đó,V

V

V

khoảng cách từ điểm

đến gốc toạ độ gọi là

mô đun V của số

phức ;

V

V

góc hợp giữa trục thực và là - gọi là

argymen của số phức .V

V

Từ đồ thị ta có:

+1

j

0

a

b

V

V2 2V a b

barctg

a

và

a V.cos

b Vsin

b, Dạng số mũ

Theo công thức Ơle:j xcosx jsinx e

V a jb Vcos jVsin jV.e

Viết tắt: jV Ve V đọc là V góc ,

gọi là dạng số mũ.

3.1.3 Số phức cần lƣu ý

je- số phức có mô đun bằng 1, argymen

bằng

j2e

- số phức có mô đun bằng 1, argymen

bằng :2

j2

j2

1 1e j

je

j2e j;

1

jj

3.1.4 Đẳng thức hai phức

Hai số phức gọi là bằng nhau nếu có

phần thực, phần ảo thứ tự bằng nhau.

3.1.5 Hai phức liên hợp

Hai phức gọi là liên hợp nếu chúng có

phần thực bằng nhau, phần ảo trái dấu:

Nếu V a jb V thì phức liên hợp của nó là

V̂ hoặc *

V = a- jb = V -ψ

3.1.6 Các phép tính về số phức

+ Tổng (hoặc hiệu) hai phức:

là một phức có phần thực, phần ảo thứ

tự là tổng (hiệu) các phần thực và hiệu

thành phần:

1 1 1 2 2 2V a jb ; V a jb

1 2V V V

1 2(a a ) 1 2j(b b ) a jb

+ Tích (thƣơng) hai phức:

+ Tích (thƣơng) hai phức là một phức có

mô đun bằng tích (thƣơng) các mô đun,

argymen bằng tổng (hiệu) các argymen:

1 2j j1 1 2 2V = V e ; V = V e

1 2V = V .V =

1

2

VV = =

V

1 2V Vj

Ve 1 2j( + )

e

1 2j( ) j1

2

Ve =Ve

V

+ Luỹ thừa, khai căn số phức?

0j30

25.e =0

2 j2.155 .e =

0j15

5.e = 05 15

Chƣơng 3

PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ

3.2 Biểu diễn các cặp thông số của

mạch bằng số phức.

3.2.1 Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà

3.2.2 Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn

của nhánh với kích thích có dạng điều hoà

3.2.3 Biểu diễn quan hệ dòng điện, điện

áp trong nhánh

3.2 BIỂU DIỄN CÁC CẶP THÔNG SỐ

CỦA MẠCH BẰNG SỐ PHỨC.

3.2.1 Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà

Các biến trạng thái điều hoà của

mạch nhƣ dòng điện, điện áp, sức điện

động có cùng tần số đƣợc đặc trƣng bởi

cặp thông số (trị hiệu dụng – góc pha

đầu). Do đó ta có thể biểu diễn chúng

bằng những số phức có:

- Mô đun bằng trị số hiệu dụng

- Argymen bằng góc pha đầu

Tƣơng tự

u

sinu U 2 t

cos

e

sine E 2 t

cos

ujuU Ue U

ejeE Ee E

Mũi tên hai chiều , kí hiệu phép biểu diễn

dóng đôi. Ta gọi không gian các số phức

đẳng cấu với không gian các điều hoà.

ijiI Ie I

Ví dụ i

sini I 2 t

cos

3.2.2 Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn của

nhánh với kích thích có dạng điều hoà

a, Tổng trở phức

Phản ứng của nhánh đặc trƣng bởi cặp

(tổng trở; góc lệch pha)- (z; ), hoặc cặp

(điện trở; điện kháng)– (r; x), ta biểu diễn

chúng bằng một số phức có:

- Mô đun bằng tổng trở z- Argymen bằng góc lệch pha

Ta ký hiệu bằng chữ in hoa Z: Z = z ej cặp số (z; ).

Z - tổng trở phức của nhánh đối với dòng

hình sin, có đơn vị là Ôm ()

Ta còn có:

Z = zej = zcos + jzsin = r + jx

cặp số (r; x)

Z = zej = r + jx

b, Tổng dẫn phức

Đƣợc định nghĩa là nghịch đảo của

tổng trở phức, ký hiệu Y, có đơn vị là

Simen (S):

-jφ=

jφg - jb

1 1Y = = = ye

Z ez

3.2.3 Biểu diễn quan hệ dòng điện,

điện áp trong nhánh

Ta đã biết quan hệ dòng điện, điện áp

trong nhánh đƣợc mô tả:

U = zI và

u = + i

UI =

zvà

i u

Nếu biểu diễn bằng số phức:

ujψU= U.e ; ijψ

I=I.e ; jφZ= ez

ujψU= U.e = Iz ij(φ+ψ )

e =jφ

ez ijψIe = Z I

U

IZ

YU

3.2.4 Biểu diễn các loại công suất trong nhánh

Với dòng điện hình sin đã có hai loại công suất

khác hẳn nhau về bản chất là công suất tác

dụng P và công suất phản kháng Q, ta có thể

biểu diễn cặp số (P; Q) của một nhánh bằng một

số phức có: phần thực bằng P, phần ảo bằng Q:

P + jQ

Ta có: mô đun của (P + jQ) =2 2

P + Q = S

Arg của (P + jQ) =Q

arctgP

P + jQ cặp số (P; Q) jS=P+ Q= jSe

S - gọi là công suất biểu kiến

phức đơn vị volampe - VA.

k kf t

k k

P = P

k kf tk k

S S

k kf tk k

Q = Q

Vì: Phát biểu: tổng công suất phức biểu

kiến phát bằng tổng công suất phức biểu

kiến thu.

Ta còn có: *jφ

S= Se = U.I =P+ jQ

jφ jφ 2S=Se =UI.e =ZI.I= ZI = P+ jQ

*

jφ jφ jφ 2US =Se = UI.e = U e = U = P + jQYz

jj S=P+ Q=Se

I

2UI U Y 2S= = = Z

Công suất biểu kiến phức trong một nhánh

lấy dương khi cùng chiều với

ngược lại thì lấy dấu âm

I J

k kk kE ;U ;

kk kkE U

I J k k;

I J j

k kF k k F FS = E + U =P + Q

Tổng công suất biểu kiến phát: Là tổng CS nguồn

Tổng công suất biểu kiến thu: Là tổng CS trên Z

jI 2T k k T TS = Z =P + Q

Cân bằng công suất phát và thu (so sánh)

F T F TS =S P =P F TQ =Qvµ

Tính sai số

F T

F

P -PP%= 100%

P

F T

F

Q -QQ%= 100%

Q

3.3 BIỂU DIỄN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM

ĐIỀU HOÀ BẰNG SỐ PHỨC

)tsin(2Xxx

biểu diễn hàm điều hoà này dƣới dạng

số phức:x

jXe.XX x

3.3.1 Các phép biểu diễn

x

dx d= 2Xsin(ωt +ψ ) =

dt dtxω 2Xcos(ωt +ψ ) =

x

π2Xωsin(ωt +ψ + )

2

- Đạo hàm hàm x theo thời gian:

Xω.

Tức làdx

dt

x

π2Xωsin(ωt +ψ + )

2

Đạo hàm hàm điều hoà theo thời gian sẽ

tƣơng ứng biểu diễn bởi phép nhân số

phức biểu diễn hàm điều hoà với tích (j).

Biểu diễn dƣới dạng số phức

π

j(ψ + )x2e =

πj2ωe . jψxXe = jω.X

x

jXe.XX x

jω.X

- Tích phân hàm x theo thời gian:

xx.dt = X 2sin(ωt +ψ ) =

Xx.dt

jω

x

1X 2cos(ωt +ψ ) =

ω x

1 πX 2sin(ωt +ψ - )

ω 2

Tích phân hàm điều hoà theo thời gian sẽ

biễu diễn bằng phép chia số phức biễu

diễn hàm điều hoà cho tích (j).

Biểu diễn dƣới dạng số phức

Qua các phép biểu diễn số phức ở các

mục trên, ta rút các hệ quả sau:

a, Nhờ phép biểu diễn các hàm điều hoà

có cùng tần số bằng số phức, những

quan hệ vi tích phân giữa các lƣợng điều

hoà đƣợc biểu diễn bằng những quan hệ

hàm đơn giản giữa các phức biễu diễn.

Ví dụ: Quan hệ hàm đơn giản giữa dòng

điện và điện áp trên các phần tử điện trở,

điện cảm, điện dung đƣợc biểu diễn

bằng những quan hệ hàm đơn giản giữa

các phức biểu diễn:

R Ru =Ri

rirZr

ur

Đối với phần tử điện trở

RI

RU

RU =

RRI =R RZ I

RZ =R

Đối với phần tử điện cảmLiL

uL

ZLLI

LU

LL

diu =L

dt

LjωLI =LU =

L LZ I

LZ = j L

Đối với phần tử điện dung

C C

1u = i dt

C

iC

uC

CZC

CI

CU

C C C C

1U = I = Z I

jωC

C

1Z =

jωC

1jωC

+ Nhánh gồm r-L-C nối tiếp:

RuC+ uu= L+ u

R L CU = U + U + U =

Ci

u

Lr

uruL uC

CL= R + j x - x I =

1R + j ωL - I =

ωC

(R +jx)I = ZI

ZI

U

U = ZI Luật Ôm dƣới dạng phức

b, Cũng nhờ phép biểu diễn bằng số phức mối

quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên các

phần tử suy ra hệ phƣơng trình vi phân mô tả

mạch có dòng điều hoà sẽ biểu diễn bằng hệ

phƣơng trình đại số với các số phức biểu

diễn. Vì vậy có thể chuyển đƣợc phép giải hệ

phƣơng trình vi phân thành hệ phƣơng trình

đại số đơn giản để tìm nghiệm phức. Từ

nghiệm phức này dễ dàng chuyển về nghiệm

theo thời gian.

Ví dụ: Cho mạch điện hình 3.2.

r1

L1 C2

L3

r3

r2

e1

e2

Hình 3.2

i1 i2

i3

Hệ phƣơng trình

vi phân mô tả

trạng thái của

mạch theo các

luật Kiếchốp 1 và

2 độc lập:

1 2 3 (1)i -i - i = 0

11 1 1

diR i L

dt 3

3 3 3

di+R i + L

dt(2)1= e

2 2

2

2

1R i +

Ci dt

33 3 3

diR i + L

dt-

2= e (3)

1 2 3 (1)i -i - i = 0

Chuyển hệ phƣơng trình sang dạng

phức ta có hệ phƣơng trình đơn giản:

(1) ,1 2 3I I I =0

(2)311 1 1 3 3 3 1

didiR i L + R i + L = e

dt dt

1 1 1R + jωL I

2 2

2

1R - j I

ωC

,

(2)1= E 3 3 3R jωL I

(3)2 2

2

33 3 32 2

di- R i + L = e

dt

1R i +

Ci dt

3 3 3R + jωL I ,

(3)2= E

Chuyển hệ phƣơng trình sang dạng phức

ta có hệ phƣơng trình đơn giản:

(1) ,1 2 3I I I =0

,

(2)1 1 1 3 3 3 1R + jωL I R jωL I = E

,

(3)2 2 3 3 3 2

2

1R - j I R + jωL I = E

ωC

Từ hệ phƣơng trình dƣới dạng phức ta vẽ

đƣợc sơ đồ hình 3.3 gọi là sơ đồ phức.

Hay:(1) ,

1 2 3I I I =0

,

1 (2)1 3 3 1Z I Z I = E

,

(3)2 2 3 3 2Z I Z I = E

Z1 Z2Z3

1E

2E

Hình 3.3

3.3.2 Sơ đồ và các luật Kiếchốp dạng phức

- Sơ đồ phức là sơ đồ biểu diễn các

tổng trở phức (tổng dẫn phức) và các biến

ảnh phức: .J,E,U,I

- Đồng thời dùng sơ đồ phức ta đƣa ra

luật Kiếchốp 1 và 2 dƣới dạng phức:

pm

k lk=1 l=1

I = Jm m

k k kk=1 k=1

Z I = E

Trong đó p- số nguồn dòng bơm vào

nút đang xét

Phát biểu: " Tổng đại số các dòng điện

phức tại một nút bằng tổng đại số các

nguồn dòng phức bơm vào nút đó"

và " Đi theo một vòng khép kín bất kỳ

với chiều tuỳ ý, tổng đại số các điện áp

phức bằng tổng đại số các sức điện động

phức trong vòng đó"

* Chú ý: Quy luật dấu cho các luật Kiếchốp

dạng phức giống nhƣ hệ phƣơng trình

Kiếchốp dƣới dạng tức thời.

3.3.3 Cách thành lập sơ đồ phức: tự đọc

3.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

3.4.1 Phƣơng pháp dòng điện các nhánh

Đây là phƣơng pháp cơ bản nhất để lập

phƣơng trình mô tả và khảo sát mạch điện

tuyến tính ở chế độ xác lập hình sin bởi vì

nó áp dụng trực tiếp các luật Kiếchốp để

tìm ra ẩn số trực tiếp là dòng điện trong các

nhánh của mạch.

Nội dung các bƣớc giải mạch:

Giả sử tổng quát mạch có m nhánh

có dòng cần tìm, n nút:

Bƣớc 1: Chọn ẩn số là m dòng điện phức

các nhánh, với chiều dƣơng tuỳ ý.

K1 = n - 1 K2 = m - n + 1pm

k lk=1 l=1

I = J m m

k k kk=1 k=1

Z I = E

Bƣớc 2: Viết hệ phƣơng trình cho mạch

theo các luật Kiếchôp 1 và 2 độc lập:

Bƣớc 3: Giải hệ phƣơng trình vừa viết, tìm ra

ẩn số là dòng điện phức các nhánh. bài toán.

Từ các dòng điện phức ta đƣa về dòng điện dƣới

dạng tức thời (dạng hình sin). Có thể tiếp tục tìm

điện áp hay công suất tuỳ theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho mạch điện hình 3.4. Các

thông số của mạch cho nhƣ- sau:

Hình 3.4

L1L3

r3

e1e2

i1 i2

i3

L2L

1= L

2= L =

= 31, 848 mH;

r3= 10 ;

3

LL =

2

2e = 220 2sin314t;

1e = 210 2sin314t;

Yêu cầu: Tính dòng trong

các nhánh của mạch?

Giải:Từ sơ đồ mạch điện đã cho ta đƣa về sơ đồ phức

tƣơng đƣơng (đại số hoá sơ đồ) nhƣ hình 3.5.

Z1 = Z2 = Z = jL =

= j314.31,848.10-3 j10

Z1 Z2

Z31E

2E

Hình 3.5

Trong đó:

V0210E 01

V0200E 02

Z1 = r3 + jL3 = 10 + j5

Ta tính toán với sơ đồ phức:

Chọn ẩn số là 3 dòng điện phức với chiều

dƣơng nhƣ hình vẽ

1I

3I

2I

Hệ phƣơng trình viết

cho mạch hình 3-5

dƣới dạng phức theo

các luật Kiếchôp 1 và

2 độc lập:

Z1 Z2

Z31E

2E

Hình 3.5

1I

3I

2I

(1) 1 2 3I I I =0

1 (2) 1 3 3 1Z I Z I = E

(3) 2 2 3 3 2Z I Z I = E

Giải hệ phƣơng trình

0

310210I)10j5(I10j

032 0200I)10j5(I10j

1 2 3I I I =0

Thay số:

0

-j42 341I = 5,652- j5,125 = 7,6096.e A

0

-j47 942I = 4,652- j5,125 = 6,903.e A

0

-j453I = 10,25- j10,25 = 14,496.e A

Giải ra ta tìm đƣợc:

(Làm phép thử:

1 2 3I I I =0 )

2 03i = 14,496 sin(314t - 45 )A

2i =

1i = 2 07,6096 sin(314t - 42 34)A

2 06,903 sin(314t - 47 94)A

* Phƣơng pháp dòng điện các nhánh

có ƣu điểm là tìm đƣợc ẩn trực tiếp là

dòng các nhánh và có thể giải đƣợc bất kỳ

mạch nào.

Nhƣng cũng có hạn chế là nếu mạch

có số nhánh, số nút hoặc cả hai nhiều thì

số phƣơng trình viết cho mạch nhiều, việc

giải mạch sẽ khó khăn hơn.

3.4.2 Phƣơng pháp điện thế các nút

Đây cũng là một phƣơng pháp cơ bản

để giải mạch điện, nhƣng ẩn số của

phƣơng trình là điện thế của các nút.

Ta đã biết mạch điện có tính chất thế, vì

vậy có thể đo (hoặc xác định) trạng thái

của mạch điện bằng điện thế của (n - 1)

nút so với một nút tuỳ ý chọn làm mốc

(chuẩn) coi là có điện thế bằng không. Từ

các điện thế này có thể dễ dàng tìm đƣợc

điện áp, dòng điện, công suất của nhánh.

Xây dựng nội dung phƣơng pháp

a. Luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn:

ZI

U

EA BPhƣơng trình theo

luật Kiếchôp 2 cho

đoạn mạch:

ABZI- U =E

ABE + UI =

Z

A B(E + ).Y

Trong đó:

- mang dấu dƣơng (+) nếu cùng

chiều dòng điện giả thiết

- mang dấu âm (-) nếu ngƣợc chiều

dòng điện giả thiết.

E; U

E; U

Ví dụ:Áp dụng luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn

viết phƣơng trình tìm dòng điện trong các

nhánh của mạch điện sau:

Z1 Z2

Z31E

2E

1I

3I

2Ia

b

1I =

1 ba

1

E + U=

Z( ) 1 b a 1E + - Y

2I =

2 ab

2

E + U=

Z 2 a b 2(E + )Y

3I =

ab

3

U=

Z a b 3( )Y

b. Xây dựng hệ phƣơng trình

Trong n nút chọn một nút làm chuẩn với

thế tuỳ ý (thƣờng chọn bằng số 0), tìm (n-1)

ẩn số là điện thế các nút còn lại, đánh số từ

; b a; ;n-1

Do tính chất thế của mạch nên điện thế các

nút tự chúng đã thoả mãn luật Kiếchôp 2. Vì

vậy chỉ còn dựa vào luật Kiếchôp 1 để lập

các phƣơng trình cho mạch, vậy ta sẽ lập

đƣợc (n - 1) phƣơng trình cho mạch.

Xét nút thứ k:

p

kl kl=1

I = J

kl klkl

kl

E + UI = =

Z

Zk1

1E

ZklklI

klE

Zk2

lk

21

kJ

2E

p

Trên nút thứ k chỉ có một nguồn dòng

bơm vào nút, những dòng điện khác có

chiều đi từ nút k ra ( để tiện ta đặt n-1 = p).

Phƣơng trình theo

luật Kiếchốp 1 cho

nút k: k1I

Theo luật Ôm cho đoạn

mạch có nguồn ta có:

kl kl k l klE Y +( Y

(3.21a)

(3.22)

Thay (3.22) vào (3.21a)

Thay (3.22) vào (3.21a) :P

l 1kl kl k l kl kE Y +( - Y J

Cho l biến thiên:

k1 k1 k k1 1 k1E Y Y - Y k2 k2 k k2 2 k2E Y + Y Y

kp kp k kp p kpE Y Y - Y k= J

1 k1- Y 2 k2- Y k1 k1 kp k(Y Y Y -

p kp- Y k= J

p

kl kll=1

+ E Y

p

k1 1 k2 2 kk k kp p k kl kll=1

-Y -Y - ... - ... + Y - ... -Y = J + E Y

Là phƣơng trình điện thế cơ bản cho nút thứ k

+ Ykk - Là tổng các tổng dẫn nối trực tiếp

vào nút k, là tổng dẫn riêng của nút thứ k,

luôn mang dấu (+).

+ Ykl - Gộp các tổng dẫn nối trực tiếp giữa 2

nút k và l, gọi là tổng dẫn tƣơng hỗ giữa nút

thứ k và nút thứ l, luôn mang dấu (-).

- Là các nguồn dòng, nguồn

dòng tƣơng đƣơng.

;kJ

kl klE Y

Mang dấu dƣơng (+) nếu có chiều đi vào nút;

p

k1 1 k2 2 kk k kp p k kl kll=1

-Y -Y - ... - ... + Y - ... -Y = J + E Y

mang dấu âm (-) nếu có chiều đi ra khỏi nút.

Tổng quát mạch có n nút, ta sẽ viết

đƣợc (n - 1) = p phƣơng trình điện thế

cơ bản cho (n - 1) nút nhƣ sau:

11 1Y .φ 12 2- Y .φ 1p p-Y .φ p p

l k kl=1 k=1

J + E Y nót 1nót 1

21 1-Y .φ 22 2+ Y .φ 1p p-Y .φp p

l k kl=1 k=1

J + E Y nót 2 nót 2

p p

p1 1 p2 2 pp p l k kl=1 l=1

-Y .φ - Y .φ -... + Y .φ = J + E Y nót p nót p

(N)

Bƣớc 1:Qua phân tích trên ta có các bƣớc giải nhƣ sau:

Bƣớc 2:

Bƣớc 3:

chọn một nút tiện nhất làm

chuẩn và coi là có điện thế bằng số 0.

viết hệ phƣơng trình cho mạch

theo dạng (N) cho các nút, ẩn số là điện

thế (n - 1) nút

giải hệ phƣơng trình (N) tìm ra

ẩn số là điện thế của (n - 1) nút.

Từ điện thế tìm đƣợc, áp dụng luật Ôm

cho đoạn mạch có nguồn ta tìm đƣợc dòng

trong các nhánh, rồi tiếp tục tìm điện áp hay

công suất tuỳ theo yêu cầu bài toán

Ví dụ:Viết phƣơng trình

tìm dòng điện

trong các nhánh

của mạch điện sau

Z1

1E

a b

Z2

2E

Z3

5E

Z4

Z5

J

J

c

Chọn nút c làm

mốc:c =0

a1 4 5

1 1 1+ +

Z Z Z

a4 5

1 1+

Z Z

b4 5

1 1+

Z Z

11

1

Z

55

1

Z

b2 3 4 5

1 1 1 1+ + +

Z Z Z Z 5

5

1

Z 2

2

1

ZJ

(1)

(2)

Áp dụng

luật Ôm cho

đoạn mạch

có nguồn, ta

có:

1E

b

Z2

2E

Z3

J

J

c

Z1

a

5E

Z4

Z5

1I

3I

2I

4I

5I

1I = ;

1 a

1

E -

Z

2I = ;

2 b

2

E +

Z

3I = ;

b

3Z

4I = ;

a b

4Z

5I =

5 a b

5

E -

Z

* Chú ý:

- Trong hệ phƣơng trình (N) các tổng dẫn

Ykl = Ylk (theo tính chất tƣơng hỗ của mạch điện).

- Phƣơng pháp này tiện dùng cho mạch có

nhiều nhánh nối song song. Lúc đó mạch đƣợc

miêu tả bởi ít phƣơng trình.

Ví dụ:

tìm dòng

điện trong

các nhánh

của mạch

Z1 Z3

Z21E3E

a

b

Z4

4E

J

Ví dụ:

Giả thiết chọn

nút b làm mốc

tức , mạch

chỉ có một

phƣơng trình:

bφ 0

abU 1 1E Y

a

Z1 Z3

Z21E

3E

a

b

Z4

4E

J

3 3E Y 4 4E Y J

J

1 2 3 4Y Y Y Y

m

k k lk 1 l

m

kk 1

E Y J

Y

Z1 Z3

Z21E

3E

1I

3I2I

a

b

Z4

4E

J

4I

Dòng

điện các

nhánh:

1 a1

1

EI ;

Z

a2

2

IZ

;

3 a3

3

I ;E

Z

4 a4

4

EI .

Z

Những dòng điện vòng này là kết quả sự

phân tích dòng nhánh mà ra.

Đây cũng là một phƣơng pháp cơ bản để phân

tích mạch. Nhƣng ẩn số của hệ phƣơng trình

là dòng điện mạch vòng độc lập coi nhƣ khép

kín qua các nhánh của mạch.

3.4.3 Phƣơng pháp dòng điện mạch vòng

Ví dụZ1

Z2

Z3

1E

1I

2I

A

aI bI

Dòng điện trong nhánh 1

bằng dòng điện vòng :aI

1 aI I

Ví dụ

Z1

Z21E

1I

2I

A

aI

Dòng điện trong nhánh 1

bằng dòng điện vòng :aI

bI

1 aI I

Dòng điện trong nhánh 2

bằng hiệu của và :aI bI

;2 a bI I I …

Cách phân tích này thể hiện đúng tính

chất liên tục của dòng điện các nhánh, do

đó có một ý nghĩa vật lý.

Thật vậy với cách phân tích nhƣ trên

ở mỗi nút, ví dụ nút A dòng vòng và sau

khi đi vào nút đều lại rời khỏi nút, nghĩa là

với dòng vòng ở mọi nút đều có:

aI bI

kvk

I =0

Tức là về mặt toán học cách đặt vấn đề

dòng vòng tự nó đã thoả mãn luật Kiếchốp

1 rồi, các phƣơng trình viết theo luật

Kiếchốp 1 cho dòng vòng sẽ vô nghĩa, do

đó chỉ cần viết các phƣơng trình theo luật

Kiếchốp 2 cho dòng vòng.

- Mọi nhánh Zk thuộc vòng k đều chảy qua bởi

dòng vòng ; gọi tổng các tổng trở thuộc

vòng k là Zkk (còn gọi là tổng trở riêng của

vòng thứ k) thì điện áp tổng do dòng vòng

gây ra trong vòng k là: - tích này

luôn mang dấu (+).

kvI

kvkk IZ k

vI

1

2

lk

Từ hình vẽ ta thấy:

1

2

lk

lvI- Tích này mang dấu (+)

nếu cùng chiều với

trên phần tử Zkl.kvI

- Cũng thấy mỗi dòng vòng khác, ví dụ chỉ

chảy qua một số nhánh nhất định thuộc vòng

k, gọi tổng trở các nhánh chung của vòng k

với vòng l là Zkl (còn gọi là tổng trở tƣơng hỗ

giữa 2 vòng thứ k và l) thì điện áp do dòng

vòng gây ra trong vòng k là:lvkl IZ

lvI

lvI

lvI- Tích này mang dấu (-)

nếu ngƣợc chiều với

trên phần tử Zkl.kvI

Các bƣớc của phƣơng pháp nhƣ sau:Bƣớc 1: Chọn ẩn số là các dòng điện

vòng độc lập, tiện nhất là cho các mắt lƣới

với chiều dƣơng trùng với chiều dƣơng của

vòng. Số dòng điện vòng độc lập bằng

K2 = m - n + 1.

Bƣớc 2: lập hệ phƣơng trình độc lập theo

luật Kiếchốp 2 với các dòng điện vòng cho

mạch :1 2 3 q 1 1

1 2 3 q 2 2

1 2 3 q q q

11 v 12 v 13 v 1q v v j

21 v 22 v 23 v 2q v v j

q1 v q2 v q3 v qq v v j

Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E

Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E

..............................................................

Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E

(V)

Bƣớc 3: Giải hệ phƣơng trình (V), tìm ẩn

số là (m-n+1= q) dòng điện vòng , ,

…, .2

vI1

vI

- Từ các dòng vòng tiếp tục tìm

dòng điện các nhánh: Dòng điện các

nhánh bằng tổng đại số các dòng vòng

qua nhánh đó (kể cả nguồn dòng j nếu

có).

- Tiếp tục tìm điện áp, công suất tuỳ

theo yêu cầu bài toán.

Chọn cho khép mạch qua Z4

Ví dụ

Viết phƣơng trình tìm

dòng điện trong các

nhánh của mạch sau

theo phƣơng pháp

dòng điện mạch vòng

Bƣớc 1: Chọn ẩn số

là 3 dòng điện vòng

độc lập , ,aI bIcI

aI

cI4E

1E

J

J

Z1

Z2 Z3

Z6

Z4 Z5

bI

J

Bƣớc 2: Hệ phƣơng trình cho mạch

aI

cI4E

1E

J

J

1 2 3 aZ Z Z I 2 bZ I 3 cZ I 1E

2 aZ I 2 4 6 bZ Z Z I 6 cZ I 4E

3 aZ I 6 bZ I 3 5 6 cZ Z Z I

4Z J

0

Z1

Z2 Z3

Z6

Z4 Z5

bI

Chọn cho

khép mạch qua Z4

J

Bƣớc 2:

Hệ phƣơng trình

cho mạch

Giải hệ phƣơng trình tìm

đƣợc các dòng vòng:

aI ,bI ,

cI

Từ dòng vòng ta suy

ra dòng nhánh:

1I

3I

2I

4I

aI

cI4E

1E

J

J

Z1

Z2 Z3

Z6

Z4 Z5

bI

5I

6I

1 aI I

2 b aI I I

3 a cI I I

4 bI I J

5 cI I

6 b cI I I

Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp

dòng điện vòng và điện thế các nút so

với phƣơng pháp dòng điện các nhánh:

+ Phƣơng pháp dòng điện các nhánh:

- Giải đƣợc tất cả các mạch

- Nhƣng nếu mạch có số nút, nhánh

nhiều thì việc giải phƣơng trình sẽ gặp

khó khăn trong tính toán.

Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp

dòng điện vòng và điện thế các nút so

với phƣơng pháp dòng điện các nhánh:

+ Phƣơng pháp dòng điện vòng và

điện thế các nút:

- Giảm đƣợc số phƣơng trình viết cho

mạch, nhƣ vậy giảm đƣợc khối lƣợng

tính toán.

- Nhƣng có những trƣờng hợp không

dùng 2 phƣơng pháp này để giải đƣợc.

3.5 ĐỒ THỊ TÔPÔ CỦA MẠCH ĐIỆN

3.5.1 Định nghĩa

Đồ thị tôpô là đồ thị các ảnh phức điện

thế của các đỉnh (điểm nút cũng nhƣ

điểm nối giữa hai phần tử trên sơ đồ

mạch) kèm theo một quy ƣớc mô tả cấu

trúc hình học của mạch điện.

3.5.2 Cách vẽ

- Giả sử đã biết sự phân bố điện thế của các

đỉnh trên sơ đồ mạch, ta đặt chúng lên mặt

phẳng phức vào các điểm có giá trị 0, a; b ...;

n-1 , với thế đỉnh mốc gắn trên gốc toạ độ và

đánh dấu những điểm đó bằng tên các đỉnh

trên sơ đồ mạch a, b, ..., (n-1) - ta đƣợc đồ thị

véctơ các điện thế.

- Tiếp đó nếu trong sơ đồ mạch 2 đỉnh nào nối

với nhau bằng một phần tử thì trên đồ thị cũng

nối 2 điểm tƣơng ứng bằng một đoạn thẳng.

Làm nhƣ vậy đồ thị tôpô đã chép lại kết cấu

của mạch trên mặt phẳng phức.

O

bc

d

eg

1E

r1 L3

L1

r3

r2

c2

2E

a

+1

j

0

c

ge

d

ba

a

b

- Tiếp đó nếu trong sơ đồ mạch 2 đỉnh nào nối

với nhau bằng một phần tử thì trên đồ thị cũng

nối 2 điểm tƣơng ứng bằng một đoạn thẳng.

- Làm nhƣ vậy đồ thị tôpô đã chép lại kết cấu

của mạch trên mặt phẳng phức.

- Ngoài ra đồ thị tôpô cũng biểu diễn rõ sự

phân bố điện áp giữa mọi cặp đỉnh trên sơ

đồ mạch (hoặc điện áp trên một phần tử).

c

O

b

d

eg

1E

r1 L3

L1

r3

r2

c2

2E

a

a

a b- =

abU

+1

j

0

b

a

b

abU

R1

= U

= 0a - 0b ba

- Theo các quy ƣớc trên, để vẽ đồ thị

tôpô cho một sơ đồ mạch điện ta thực

hiện theo các bƣớc sau:

+ Bằng các phƣơng pháp đã học tính ra

dòng điện các nhánh và điện áp trên các

phần tử của mạch

+ Chọn một đỉnh làm mốc coi là có điện

thế bằng không (đặt trùng với gốc tọa độ),

theo kết cấu của mạch tính điện thế các

đỉnh theo các dòng điện, để tiện nên đi từ

đỉnh mốc tính dần thế các đỉnh khác.

Rồi đặt liên tiếp các véctơ điện áp của

các phần tử vừa tính lên mặt phẳng

phức theo thứ tự nhƣ kết cấu của

mạch, ta sẽ đƣợc đồ thị tôpô của mạch

Ví dụ: vẽ đồ thị

Tôpô của mạch

điện sau

c

O

b

d

eg

1E

R1 L3

L1

R3

R2

C2

2E

a

c

O

b

d

eg

1E

R1 L3

L1

R3

R2

C2

2E

a

1I

2I

3I

Đỉnh mốc chọn là O:

; dòng

điện các nhánh có

chiều dƣơng nhƣ

hình vẽ:

0 = 0

* Tính điện thế của các

đỉnh so với đỉnh O

theo nhánh 1:

aOU

a aO 1;= U = E

1b bO a 1ab R= U = + EU U ;= -

.11c O a ac 1 LRc= U = E - U -U = U+

* Tƣơng tự ta

tính điện thế của

các đỉnh so với

đỉnh O theo

nhánh thứ hai,

thứ ba:

33c O Lc R= U = U + U ;

c Oc= U =

c

O

b

d

eg

R1 L3

L1

R3

R2

C2

2E

a

1I

2I

3I

aOU

.222 CR-E + U + U

1E

+1

j

0

c

.1 1Rc O a ac 1 Lc= U = + U = E - U - U

3 3Rc O Lc= U = U + U ;

.2 2Rc O 2 Cc= U = - E + U + U

1E

R1-U

1

-UL

2-E

R2U

2CU

R3U

3I

2I

1I

3LU

c

O

b

d

eg

R1 L3

L1

R3

R2

C2

2E

a

1I

2I

3I

aOU1E

3.5.3 Ý nghĩa đồ thị Tôpô

Đồ thị Tôpô cho biết:

- Điện thế của các điểm trên trên sơ

đồ mạch điện.

- Điện áp trên các phần tử của

mạch.

- Kết cấu hình học (số nhánh, nút,

vòng) của mạch điện.

Vấn đề cần nhớ

2. Các phƣơng pháp cơ bản giải

mạch điện.

3. Tính công suất nguồn, tải bằng số

phức.

4. Khái niệm và cách vẽ đồ thị Tôpô.

1. Cách biểu diễn số phức

CẢM ƠN!