Tratamiento Estadistico de Datos Experimentales

8/17/2019 Tratamiento Estadistico de Datos Experimentales

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TRATAMIENTO ESTADISTICO DE DATOSEXPERIMENTALES

1. Teoría de Errores

1.1. Defnición de Error

Cualquier medición lleva asociado consigo un error, es decir no existemanera de medir el valor real o verdadero de nada, por lo tanto se puededecir que el error experimental es la cuantifcación de la incertidumbrerealizada en una medición.

Entonces un valor verdadero vendría a ser el mejor valor obtenido por unapersona experimentada y que usa un procedimiento bien comprobado.

1.2. Precisión y Exactitud

Debido a la existencia del error experimental en un anlisis químico lo

mejor que se puede !acer es la repetición de un tipo de medida variasveces. "plicando cuidadosamente esta t#cnica que la experiencia nos diceque es confable, se puede conocer la precisión de la medida que vendra ser la cuantifcación de la reproducibilidad de un resultado$ si los valoresconcuerdan muc!o entre sí, se dice que la medida es precisa.

"l medir la misma cantidad por di%erentes m#todos se gana confanza delo cerca que se est del valor verdadero, si los resultados concuerdan entresí, sin embargo no es una prueba defnitiva de que los resultados seanexactos. &a exactitud es entonces una medida de la proximidad del valormedido al valor verdadero o conocido.

'na medida puede ser reproducible pero errónea, en este caso, la precisiónes buena, pero la exactitud es mala. (ambi#n se puede tener medidas pocoreproducibles pero en torno al valor correcto, siendo la exactitud buenapero la precisión mala. &o ideal es que el procedimiento sea preciso yexacto a la vez, por tanto es casi imposible que exista exactitud sinprecisión, pero siempre existe la posibilidad de que !aya precisión sinexactitud.

1.3. Tratamiento de datos en series con pocos valores

1.3.1. Intervalo de Confanza

El intervalo de confanza es una expresión que indica que es probable

que la verdadera media, ), est# a una cierta distancia de la mediamedida .

Ejemplo: *i el intervalo de confanza es del +-, para un nmero infnitode experimentos se esperaría que el +- de los intervalos de confanzaincluyan la media poblacional.

1.3.1.1. !todo de t"#tudent


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El estadístico t de *tudent es usado para expresar intervalos deconfanza y para comparar los resultados de di%erentes experiencias,e%ectuar predicciones estadísticas de series de mediciones quecontengan pocos valores. *e defne/

Intervalo de Confanza:

Donde/ 0 valor medio para la serie fnita

)0 valor medio que se espera cuando se !a llevado la seriea un nmero infnito de medicioness0 desviación estndar de la serie fnitan0 nmero de mediciones de la serie fnita

(abla 1/ 2"&34E* DE ( DE *('DE5(

6ay que tener en cuenta que los 7grados de libertad8 estn re%eridosa 9n:1;. &os valores de t, intentan compensar el !ec!o de que y )

di%ieren y que s solo es una aproximación del valor de < 9desviación

estndar de la población;. &os limites de confanza y la prueba tpresuponen que los datos siguen una distribución gaussiana

Ejemplo: *e determina el contenido en !idratos de carbono de unaglucoproteina/ 1=.>, 11.+, 1?., 1=.@ y 1=.A g de !idratos por 1 gde proteína. 6allar el intervalo de confanza del +-.Solución/De las A medidas se calcula 01=.AB y s 0.B

De la tabla 1 el valor de t para intervalos de confanza de +- con Bgrados de libertad es =.1?=El intervalo de confanza del +- es/


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" medida que aumenta el nivel de confanza, el tamao del intervalodebe aumentar tambi#n y con%orme aumenta el nmero demediciones la magnitud del intervalo disminuye 9 se acerca a );

1.3.1.2. !todo Cn

ara determinar un intervalo de con%ianza para ) tambi#n se puedeemplear el rango 4, cuya expresión es/

Donde/40 4ango, es la di%erencia entre el valor mayor y menor de una serieCn0 ultiplicador del rango

*i los valores de las mediciones no incluyen un valorexageradamente alto o bajo, el intervalo de confanza calculado coneste m#todo estar de acuerdo con el obtenido a partir de la t de*tudent, si se emplea el mismo nivel de confanza.

(abla=/ 2alores de Cn

1.3.2. Prue$as de #i%nifcancia

*e utiliza un test t para comparar un conjunto de medidas con otro, ydecidir si son o no di%erentes. *e fja una probabilidad arbitraria de +A-para concluir si las medias de los = conjuntos son di%erentes, y aunqueno es posible decidir estadísticamente cual media es la ms correcta, esposible saber si la di%erencia es o no signifcativa y buscar así la %uentedel error que !aya originado la di%erencia. Existen ? casos/

Caso 1& Comparación de un resultado medido con un valor 'conocido(*i t calculada F t tabulada a un nivel de confanza del +A- se considera que losdos resultados son di%erentes.

Ejemplo: *e compró un carbón que contenía ?.1+- p de azu%re, sequería ensayar un nuevo m#todo analítico y los nuevos valores medidos%ueron ?.=+, ?.==, ?.?, ?.=?- p de azu%re, arrojando 0 ?.=> y s0

.B1 Gconcuerda este resultado con el valor conocidoH


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De la tabla 1 para ? grados de libertad y un nivel de confanza del +A- ttabulada0 ?.1I=, se puede concluir que el resultado obtenido es di%erentedel valor conocido.

Caso 2& Comparación de medidas replicadasEn este caso tenemos = conjuntos de medidas, cada una con su propia

incertidumbre. *ean 1 y = las = medias consideradas, s1 y s= lasdesviaciones normales asociadas y n1 y n= el nmero respectivo demediciones realizado en cada serie. *e supone que < de cada m#todo esprcticamente el mismo.

donde

&a t tabulada se calcula para 9 ; grados de libertad. *i tcalculada F t tabulada 9+A-;, la di%erencia es signifcativa.Ejemplo: &a masa del gas 5= obtenido a partir del aire es 1 0=.?111 g

con s10 .1B? 9para n10 @ medidas;. &a masa del gas 5= obtenidoquímicamente es =0 =.=++B@ g, con s=0 .1?I 9n=0 I medidas;.

0 .1=

0

=.=ara 1? grados de libertad t tabulada est entre =.==I y =.1?1, la di%erenciaes signifcativa.

*i la < no es la misma para los = conjuntos de medidas


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El m#todo para determinar si la di%erencia entre las desviaciones

estndar poblacionales es o no signifcativa, se denomina prueba J. Elvalor de la relación se determina colocando el mayor valor

de las dos s en el numerador. *e consulta el cuadro de valores de J, sieste valor es menor que el calculado la di%erencia es signifcativa entre s1y s=

(abla ?/ 2alores de J para un nivel de +A- de probabilidad

Caso3& Comparación de pares de medidas*e trata de = m#todos di%erentes, con los que se !ace una sola medidausando di%erentes muestras.Ejemplo: Consideremos el contenido de colesterol de > conjuntos deplasma sanguíneo !umano medido por = t#cnicas distintas.

uestra de plasma #todo 1 #todo = Di%erencia 9di;1 1.B> 1.B= .B= =.== =.?I :.1>? =.IB =.>@ .1@B 1.+@ 1.I .1@A 1.1? 1.+ .B> =.?A =.=A .1


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0 di%erencia media n0 nmero de pares de datos

0 .1==

0 0 1.=

t tabulada 0 =.A@1 para A grados de libertad, las = t#cnicas no sonsignifcativamente distintas.

1.). Clasifcación de Errores

1.).1. Por su *aturaleza

1.).1.1. +$solutos5inguna medición se encuentra libre de error absoluto Ko sea de ladi%erencia entre el valor determinado y el valor real. Cualquiermedición que se realice, sin importar cun cuidadosa sea, estarsujeta a un margen de error absoluto y a una cierta incertidumbre enel valor fnal obtenido, sin tomar en cuenta su relación con el valorreal. "sí el valor medido se expresa con un nmero limitado de ci%ras,y la ci%ra fnal, o signifcativa, reLeja la confabilidad de la medición

Donde/ xi0un solo valor medido (0valor real Ei0error absoluto en el valor de x i

1.).1.2. ,elativos

Es conveniente re%erir el error absoluto al valor verdadero, para podercomparar los resultados de las mediciones e%ectuadas, obteni#ndoseasí el error relativo Er. Ei es, una medida de la exactitud del valor dexi, pero la exactitud puede expresarse como error relativo ms quecomo error absoluto.

1.).2. Por su -ri%en

1.).2.1. Crasos

&os errores crasos, espurios o accidentales poseen característicasbsicas semejantes a los errores sistemticos pero su magnitud esnotablemente superior. *on bastante %ciles de detectar y así eliminar. &a mayoría son personales y se atribuyen a descuidos,inaptitud o mala suerte. 3curren en muy raras ocasiones, y dan lugara que el resultado difera muc!o dentro de una serie.

1.).2.2. Determinados


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(ambi#n llamados sistemticos, son errores que se reproducen si serepite el experimento exactamente de la misma manera, sonoriginados por un %allo del diseo del experimento o por un %allo elequipo y pueden localizarse y corregirse, aunque puede ser que nosea %cil. uede que este tipo de error sea siempre positivo enalgunos tramos, y siempre negativo en otros.

1.).2.2.1. En $alanzas de la$oratorio

*i se usa una balanza mono plato para la determinación de lamasa de una sustancia el menor valor a determinar es .1 gmientras que si uso una balanza digital el menor valor es .1 g9!ay incertidumbre así el instrumento tenga una lectura digitalque no Lucta;. &a ltima ci%ra signifcativa 9la del extremoderec!o; en cualquier magnitud medida siempre tiene algunaincertidumbre. &a mínima incertidumbre es M1 en el ltimo digito.Es decir, para los equipos digitales el error instrumental se tomaen la ltima ci%ra que aparece en la pantalla. "sí por ejemplo, si en

la pantalla aparece 1=.B el error instrumental ser ± .1 y sedebe reportar 1=.B ± .1.

En los instrumentos de medida analógica, el error instrumental seestima de la siguiente %orma/

Donde " es la apreciación del instrumento y puede determinarse apartir de la di%erencia de las lecturas de dos valores marcados enel instrumento y el nmero de divisiones que existen entre ellosde acuerdo a/

1.).2.2.2. En utensilios volum!tricos

&a tolerancia es la incertidumbre proporcionada por el %abricantedel instrumento de medida. &os utensilios y recipientesvolum#tricos por la tolerancia de error en su graduación y a%oro seclasifcan en la %orma siguiente/

TOLERACIA TI!O " CLASE #A$ % #&$ 'medición de precisión(&os utensilios y recipientes de medición de precisión deben

cumplir con las tolerancias indicadas de acuerdo a su clase ycapacidad nominal segn se indica en la (abla B.TOLERACIA TI!O ) 'medición aproximada(

(odos los utensilios y recipientes de medición aproximada nodeben tener una tolerancia mayor de N A- de la capacidad totalnominal.

(abla B/ (3&E4"5CO"* E5 &" C""COD"D DE DO2E4*3* "4(OC'&3*DE &"P34"(34O3 *EQR5 *E"5 C&"*E 7"8 3 C&"*E 7P8


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En los equipos volum#tricos, el error cometido en la lectura oscilan

entre un ,A- del volumen leído, en equipos de precisión y un1- en equipos menos precisos.

1.).2.2.3. En instrumentos %raduados sin especifcaciónde error

Cuando se lee la escala de cualquier aparato, !ay que estimar todas las lecturas con una aproximación de la d#cima de distanciaentre dos divisiones. or ejemplo, en una bureta de A ml, queest graduada a .1 ml, se debe leer el nivel del líquido !asta .1ml. Cuando se lee un valor de un sistema de medición, se

considera prctico asi*nar un valor estimado dentro de un rangode un quinto de la división ms pequea de la escala involucrada9incertidumbre en la lectura;. or ejemplo el volumen leído en unabureta, con la división ms pequea de .1 ml, puede aproximarsea M.= ml ms cercano, entonces se !aría una sola lectura de=B.>BM.= ml lo cual implicaría que una nueva lecturaproporcionaría valores entre =B.>= y =B.>> ml.

1.).2.3. Indeterminados

*e origina por e%ectos incontrolados, variables en cada medida.*iempre est presente y no puede ser corregido. Ejemplo/ cambios de

temperatura, presión y !umedad en el ambiente del laboratorio$Luctuaciones en la corriente$ que !aya una corriente de aire cerca dela balanza donde se va a pesar. Estos errores a%ectan sobre todo a laprecisión.

1.).2.). +leatorios

3bedecen a Luctuaciones típicas de la experimentación. uedentener di%erente magnitud, aunque en general no muy elevada.


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ueden ser aleatoriamente por exceso 9positivas; o por de%ecto9negativas; es decir, mayores o menores que la media. *e describende acuerdo a la distribución normal de Qauss.

2. Redondeo

2.1. Cira si%uiente mayor /ue 0

*i el digito que se va a eliminar en mayor que A, se aumenta en unaunidad la ci%ra que queda, de la siguiente manera/

?,B1=?7 ?,B1=B BA>,?B8 BA>,?A I+,@16 I+,@=

2.2. Cira si%uiente menor /ue 0

*i el digito que se va a eliminar es menor que A, no se !acen cambios enla ci%ra que queda, por ejemplo/

AA,>@2 AA,>@ 1>,@@4 1>,@@ ==,?I1 ==,?I

2.3. Cira si%uiente i%ual a 0

2.3.1. Ciras #u$si%uientes *ulas

*i el digito que se va a eliminar es A, seguido de , se procede amirar el siguiente digito, entonces si es impar se le aumenta unaunidad y si es par no se !acen cambios. or ejemplo/

=?1,15! =?1,= B@,?=52 B@,?= ?1,>51 ?1,@

2.3.2. Ciras #u$si%uientes no *ulas

*i el digito que se va a eliminar es A, seguido de un nmerodistinto de , el digito que se queda aumenta en una unidad. orejemplo/

AB,@=58

AB,@? ++,@>54

++,@@ 1,=?57

1,=B

!. C"#ras s"$n"%&a'"(as

3.1. Concepto


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*e considera que las ci%ras signifcativas de un nmero son aquellas quetienen el signifcado real o aportan alguna in%ormación. &as ci%ras nosignifcativas aparecen como resultado de los clculos y no tienensignifcado alguno. &as ci%ras signifcativas de un nmero vienendeterminadas por su error. *on ci%ras signifcativas aquellas que ocupanuna posición igual o superior al orden o posición del error, adems son el

nmero mínimo de dígitos que nos permiten tener la idea del valor realde una medición con la mayor exactitud posible.

3.2. Ciras #i%nifcativas en una medición

*upóngase que se desea medir la longitud del objeto que se muestra enla fgura 1 utilizando dos reglas " y P. &a lectura en la regla 9"; indicaque el objeto mide B.>A cm donde la ltima ci%ra no es segura, esincierta o dudosa. *in embargo, la lectura segn 9P; sólo permiteexpresar la longitud como B.@ cm y la ltima ci%ra es tambi#n dudosa.5ótese que en el primer caso la longitud se puede reportar con unmximo de tres ci%ras signifcativas mientras que en el segundo caso con

nicamente dos ci%ras signifcativas.

Figura 10. Medidas experimentales

De modo que los resultados obtenidos directamente de una mediciónestn sujetos a incertidum+re 9margen de duda;, debido a que la escalade medición tiene un límite determinado por su sensibilidad.

*e denominan ci%ras signifcativas del resultado de una medición, a lasci%ras exactamente conocidas ms la ci%ra incierta. El resultado de la

medición anterior se debe reportar como B.@A M .1 cm o B.@ M .1 cmdependiendo de la regla utilizada lo cual da a entender que laincertidumbre absoluta est en las cent#simas o en las d#cimas y que suvalor es de M 1 unidad en dic!a ci%ra$ en otras palabras, el valor real dela longitud medida debe estar entre B.>B y B.>> en el primer caso oentre B.> y B.@ en el segundo.

3.3. -peraciones con ciras si%nifcativas


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3.3.1. En sumas y restas

*i los nmeros que se operan tienen igual numero de ci%rassignifcativas, el resultado puede tener mas, igual o menoscantidad de ci%ras signifcativas/

=,?B1 x 1:? N @,AB> x 1:? :?,=1> x 1:? >,I1> x 1:?

A,AA@ x 1:? ,@? x 1:?

*i los nmeros que se operan tienen di%erente numero de ci%rassignifcativas, el que posee menor numero de ci%ras signifcativases el que limita la cantidad de ci%ras signifcativas del resultado, sies necesario se !ace uso del las reglas de redondeo.

B@?,=1I N

@=,B?ABA,>B8 ABA,>A

3.3.2. En multiplicación y división

El nmero de ci%ras signifcativas del resultado queda limitado porel numero que posea la menor cantidad de ci%ras signifcativas.

A,B>@ . 1:B x 1.@1 . 1:A

+,?B . 1:+

3.3.3. En potenciación y radicación

El resultado debe tener igual cantidad de ci%ras signifcativas quela base.

9=.++;= 0 I.+B 9?.B1;.A 0 1.IA

3.3.). En exponenciales y lo%aritmos

El logaritmo en base 1 de n es el numero a, cuyo valor es tal quen 0 1a.

&og n 0 a n0 1a

'n logaritmo consta de la &ara&'erís'"&a y de la )an'"sa. &acaracterística

es la parte entera, y la mantisa es la parte decimal/

&og A@1 0 =,@A>>


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Característica 0 = $ antisa 0 ,@A>>

or lo tanto el numero de dígitos de la )an'"sa del &ogS 0numero de ci%ras signifcativas de S/

&og 9!*451 x 1:I; 0 :@,4621

El numero de dígitos del antilogS 0 numero de ci%ras signifcativasen la )an'"sa de S.

1?,214 0 1*64 x 1?

3.3.0. En ormulas con ciras constantes

&as ci%ras constantes en una operación se toman como si tuvieranla misma cantidad de ci%ras signifcativas del nmero que tenga la

mayor cantidad de ci%ras signifcativas dentro de la operación. orejemplo/

= x =,>B =, x =,>B 0 A,=I T x 1,B@ ?,1B x 1,B@ 0 B,>=

4. Pro+a$a&",n de errores de'er)"nados

).1. En sumas y restas

El error absoluto de la suma o di%erencia de dos o ms magnitudes es lasuma de los errores absolutos de dic!as magnitudes/

Y X q X q δ δ δ +≈⇒+= Y

Y X q X q δ δ δ +≈⇒−= Y

Ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y sequiere !allar la masa total del líquido. *e conocen/10 masa del matraz 1 N contenido 0 AB M1 gm10 masa del matraz 1 0 @= M1 g=0 masa del matraz = N contenido 0 +B M= gm=0 masa del matraz = 0 +@ M 1 g&a masa del líquido ser/ 0 1 K m1 N = K m= 0 1?11 g

*u error/U 0 U1 N Um1 N U= N Um= 0 ?= gEl resultado se expresara/ 0 1?11 M ?= g

).2. En multiplicación y división

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos/


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Y

Y

X

X

q

qY X q

δ δ δ +≈⇒= *

El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos/

Y

Y

X

X

q

q

Y

X q

δ δ δ +≈⇒=

Ejemplo: ara medir la altura de un rbol 7&8, se mide la longitud de susombra &1, la altura de un objeto de re%erencia &= y la longitud de susombra &?. or semejanza/

3

2*1 L

L L L =

4ealizadas las medidas resultan/&1 0 = M = cm&= 0 1. M .B cm&? 0 1.? M .= cmor tanto/

cm L 200010

100

*200 ==

*u error ser/

3.10

2.0

100

4.0

200

2

3

3

2

2

1

1++=++≈

L

L

L

L

L

L

L

L δ δ δ δ

0 91 N .B N =;- 0 ?.B-682000*

100

4.3== Lδ

& 0 = M @ cm

).3. En potenciación y radicación

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 SnEl error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el errorrelativo de la magnitud.

X

X n

q

q δ δ *=

).). En exponenciales y lo%aritmos

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 1S

El error relativo de un exponencial es el producto del logaritmo natural por

el error relativo de la magnitud( )

X

X Ln

q

q δ δ *10=

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 &ogSEl error relativo de un logaritmo el el producto de la inversa del logaritmonatural por el error relativo de la magnitud.


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( ) X X

Lnq

q δ δ *

10

1=

).0. En ormulas con ciras constantes

Dato inicial/ S MUS sea/ q 0 %9x; una %unción cualquiera*i S se mide con un error US y se utiliza para calcular q 0 %9x;, el errorabsoluto de q viene dado por/

X X

x F q δ δ *

)(

∂

∂=

*i en cambio sea/ q 0 "W %9x;El error absoluto del producto de una constante por una %unción es igual alproducto de la constante por el error absoluto de la %unción.

X X

x F Aq δ δ *

)(*

∂

∂=

Pro+a$a&",n de- error Inde'er)"nado/n&",n In&er'"d/)0re /n&",n In&er'"d/)0re

5. Des&ar'e de (a-ores d/dosos +ara &a-&/-o de +ro)ed"o

'na base importante para desarrollar una mejor precisión y exactitud para lasmediciones, es la que nos sirve como criterio para determinar si una serie demediciones contiene o no un valor o una serie de valores que se desvíen losufciente de los dems valores como para justifcar su rec!azo.

Debido a la existencia de varias t#cnicas usadas en el rec!azo de los valores,se debe de tener en consideración la cantidad de estos valores para laaplicación de un criterio de rec!azo que sea proporcional a la cantidad de estos

valores en la serie de datos$ siendo ms estricto con%orme aumente el nmerode mediciones 9valores;.

" continuación se desarrollara el m#todo para el rec!azo de los resultados enuna serie de mediciones comprendidas entre ? y 1 valores. Como primerpaso, en el m#todo a desarrollar, se deben de ordenar los valores en %ormacreciente y se debe determinar el rango 9el rango es la di%erencia entre el valorms alto y el valor ms bajo;. &uego se debe !allar la di%erencia entre el valorms bajo y el valor siguiente, esta di%erencia se divide entre el rango.


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*i el cociente excede el valor estipulado, siendo este valor dependiente delnumero de valores, se rec!azaría el valor ms bajo. Despu#s de ello se calculael nuevo rango y se sigue el mismo procedimiento !asta que el valor ms bajoy el valor ms alto sean aceptados.

2alores del cociente de exclusión X a un nivel de probabilidad de .+

N de de'er)"na&"ones .3? .+BB .@>A .>B> .A>@ .A1I .B@+ .BB

1 .B1Ejemplo ": En el anlisis de un mineral de !ierro que consto de 1determinaciones, se tienen los siguientes valores porcentuales/ =?.B= =?.A1

=?.A= =?.A= =?.A? =?.A? =?.AB =?.A> =?.A> =?.>I*e procede a determinar los valores rec!azados/• *e analiza el valor ms bajo 9=?.B=-;

41.035.042.2368.23

42.2351.23I-;

41.046.042.2368.23

56.2368.23>=

−

−

X.+ para 1or lo tanto se rec!aza el valor ms alto

• *e analiza el valor ms bajo 9=?.B=-; de los valore restantes

44.064.042.2356.23

42.2351.23>=

−

−

X.+ para +or lo tanto se rec!aza el valor ms bajo

Como el valor ms alto es =?.A>- y este valor se repite, este valor seraceptado

• *e analiza el valor ms bajo 9=?.A1-;

47.020.051.2356.23

51.2352.23-

Calculando el promedio/

%53.238

56.23*254.2353.23*252.23*251.23=

++++= P

Ejemplo ): *e analizo el contenido de plata en 1 aleaciones de este metal y seobtuvieron los siguientes resultados/ 1>.1> 1>.=1 1>.=+ 1>.?A 1>.?@ 1>.?@

1>.?+ 1>.?+ 1>.?+ >.AI


16/16

Calculando el promedio sin aplicar el m#todo de rec!azo de una serie demediciones/

%35.1610

58.1639.16*337.16*235.1629.1621.1616.16=

++++++= P

6. "0-"o$ra#ía

A1:IB, Daniel 6arris, "nalisis Xuimico Cuantitativo, Qrupo EditorialOberoamericana, '*", 1++1?>:I1, Yo!n DicZ, Xuimica "nalitica, Editorial El anual oderno, exico, 1+@+!ttp/[[docencia.udea.edu.co[cen[tecnicaslabquimico[1intro[introA.!tm!ttp/[[\\\.fsicanet.com.ar[fsica[mediciones[ap1]errores.p!p!ttp/[[booZs.google.com.pe[booZsHid0m]v="?cS!v'C^pg0"1+^lpg0"1+^dq0erroreNcrasos^source0blôts0nC\jIC5\z=^sig0'"Z:

lDESo&EcXau!Ed]u%&bs^!l0esêi0gv_?*+m ỲQCIgaEg:S%P\^sa0Sôi0booZ]result^ct0result^resnum0A^ved0CP"X>"E\P"v0onepage^q0^%0truemedusa.unimet.edu.ve[quimica[%bqi1[labqui[E4434E*.doc
http://docencia.udea.edu.co/cen/tecnicaslabquimico/01intro/intro05.htmhttp://docencia.udea.edu.co/cen/tecnicaslabquimico/01intro/intro05.htm

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