Trend wykładniczy

Trend wykładniczy

dr Małgorzata Radziukiewicz

Funkcja wykładnicza

• Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci:

• gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

)1(xaY


• Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X:

• Rys.1a. Funkcja wykładnicza

• parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero

• α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%.

Y

X

α0

0<α1<1

α1>1α1=1

)2(0, 110 dlaY X


● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Ynp. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15%

● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Ynp. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek

Model wykładniczy

● Model wykładniczy:

● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej;

● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie;

● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy:

)3(10 eY X

)4(lnlnln 10 XYYYe lnln gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e=2.71828…

Trend wykładniczy

●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t):

● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0)

● α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.

)5(0, 110 dlaeY t

Trend wykładniczy

0e )10(10 10 cY t

)11(logloglog 10 XY

▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie;

▪ otrzymujemy wówczas:

▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie została przekształcona zmienna t) a więc

)6(lnlnln 10 tY

Trend wykładniczy

0e )10(10 10 cY t

)11(logloglog 10 XY

▪ dane niezbędne do obliczeń:

X – macierz wartości zmiennej czasowej;- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu

)8(

1

..

..

1

1

)7(

ln

.

.

ln

ln

~2

1

2

1

nn t

t

t

X

y

y

y

y

y~

Trend wykładniczy

0e )10(10 10 cY t

)11(logloglog 10 XY

▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej)

obliczamy ze wzoru:

)10(~)(~ 1 yXXXa TT

)9(ln

ln~

~~

1

0

1

0

a

a

a

aa

Trend wykładniczy

• Mamy wówczas:

• Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6);

• Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej;

• Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie:

czyli

)11(ln

ln~2

t

tTT

yt

yyXoraz

tt

tnXX

)12(1

0

~

~

1

0

a

a

e

ea

aa

)13(ˆ10taaY

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego

• Sposób obliczenia prognozy punktowej:

• stąd

)14(lnlnln

ln]1[~]1[~

101

0 Taaa

aTaTy PT

)14()~(exp ayy PT

PT


• Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y:

• oznaczenia:• jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po

transformacji prognozowanej zmiennej • Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):

)(~eS

n

t

n

t

n

t

T

tntttoraz

tt

tT

neSVgdzie

1 1

222

1

2

2

)()(:

)15(

)(

)(11)(

~~:

)15()~

(exp aVV TT


• Przykład 3.

Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco:

• a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu;

• b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005;

• c) ocenić dokładność dokonanej predykcji.

lataProdukcja w mld zł

1993199419951996199719981999200020012002

4,53,54,15,07,611,016,115,521,026,4

wartość produkcji w latach 1993-2002 (w mld zł)

4,5 3,5 4,1 57,6

11

16,1 15,5

21

26,4

0

5

10

15

20

25

30

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

mld

zł

Postać modelu trendu wykładniczego

●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci:

gdzie:

t - zmienna czasowa (t=1,2,…10)

▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:

)5(0, 110 dlaeY t

)6(lnlnln 10 tY

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

0e )10(10 10 cY t

)11(logloglog 10 XY

▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru:

lub ze wzorów:

)10(~)(~ 1 yXXXa TT

)10(~ln~~~

lnln~~

~

110

1

22

1

1

22

11

ataytaya

tnt

ytnyt

tnt

ytnyt

a

t

n

t

n

ttt

n

t

n

tt

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

Tablica 1. Obliczenia pomocnicze

lata Nakład (Y)

ln Y t lnY· t t2

1993 4,5 1,504077 1 1,504077 1

1994 3,5 1,252763 2 2,505526 4

1995 4,1 1,410987 3 4,232961 9

1996 5 1,609438 4 6,437752 16

1997 7,6 2,028148 5 10,14074 25

1998 11,0 2,397895 6 14,38737 36

1999 16,1 2,778819 7 19,45173 49

2000 15,5 2,740840 8 21,92672 64

2001 21,0 3,044522 9 27,40070 81

2002 26,4 3,273364 10 32,73364 100

∑ 114,7 22,04085

55 140,7212

385

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu

wykładniczego

taya

tnt

ytnyt

an

t

n

tt

10

1

22

11

~

lnln~

904317,05,5236322,020408,2~

236322,05,82

49653,19

)5,5(10385

20408,25,5107212,140~

0

21

a

a

20408,210

04085,22ln

ln

5,510

55

1

1

n

y

y

n

t

t

n

tt

t

n

t

Weryfikacja modelu trendu wykładniczego

• Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej.

• Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco:

• Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe).

• Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.

%.9,8;937,0

;96,10;76,6

195838,0)(~

236322,0904317,0ˆln

2

lnln

)02156,0()13378,0(

10

VR

tt

eS

tY

aa

t

Postać modelu trendu wykładniczego

● otrzymamy wówczas:

▪ czyli funkcję wykładniczą postaci:

Interpretacja:Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266;czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.

)5(266,1470,2ˆ tY

266,1

470,2

)9(236322,0

904317,0

ln

ln~

~~

236322,0

904317,0

~

~

1

0

1

0

1

0

1

0

e

e

e

ea

aa

a

a

a

aa

a

a


• Sposób obliczenia prognozy punktowej:

• Stąd

• Produkcja w latach 2003 -2005 będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .

976497,3ln

740175,312236322,0904317,0236322,0

904317,0]121[~

)14(503854,311236322,0904317,0236322,0

904317,0]111[~

lnlnln

ln]1[~]1[~

13

12

11

101

0

P

P

P

PT

y

y

y

Taaa

aTaTy

329,53

105,42

)14(243,33

976497,32005

740175,312

503854,311

~

ey

ey

aey

ey

P

P

P

yPT

PT


• Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y:

• oznaczenia:• jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji

prognozowanej zmiennej.

• Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:

)(~eS

.298,1

;282,1

)15(267,1

13

12

237172,011

V

V

aeV

.261414,0~

;248654,0~

)15(237172,0211,1195838,05,82

)5,511(

10

11195838,0

~

)(

)(11)(

~~

13

12

2

11

1

2

2

V

V

V

tt

tT

neSV

n

t

T

Prognozy produkcji

20,7

26,2

33,2

42,1

53,3

0

10

20

30

40

50

60

mld

zł

produkcja prognoza

Documents

Trend wykładniczy