1

TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI

Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak

açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden

başka bir şeye ihtiyacımız var. Açıları ölçmek, uzaklıkları ölçmekten daha kolaydır. Örneğin,

güneş, yeryüzü ve ayın oluşturduğu açıyı, yalnızca bir kolla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek

aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Buradaki anahtar nokta, açılar ve mesafeler

arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir yolu olsaydı, güneşe olan

mesafeyi oraya gitmek zorunda olmadan bulabilirdik. Trigonometrik fonksiyonlar bize

ihtiyacımız olan araçları sağlar.

, dik üçgenin bir açısı ise, o zaman trigonometrik oran sin, 'nin karşı tarafının

uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır. Bu oran, güneş, dünya ve

ayın oluşturduğu büyük üçgen dahil olmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde

aynıdır. (bkz. Bölüm 6.2, Örnek 61.).

Trigonometrik fonksiyonlar iki farklı fakat eşdeğer yolla tanımlanabilir: gerçek sayıların

fonksiyonları (Bölüm 5) veya açıların fonksiyonları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden

bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için

farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyoruz

6.1 AÇI HESAPLAMASI

Bir AOB açısı, ortak bir tepe noktası O olan iki ışın R1 ve R2'den oluşur (bkz. Şekil 1).

Genellikle, bir açı; R1 ışınının R2 üzerine dönüşü olarak yorumlanır. Bu durumda, R1

başlangıç kenar olarak adlandırılır ve R2 açının bitiş kenarı olarak adlandırılır. Eğer dönüş

saat yönünün tersine olursa, açı pozitif olarak kabul edilir. Eğer saat yönünde döndürülürse

açı negatif kabul edilir.

2

Açı Hesaplaması

Bir açının ölçüsü, R1'in R2'ye taşınması için gereken tepe noktasındaki dönme miktarıdır.

Sezgisel olarak, bu açının ne kadar açık olduğunu gösterir. Açılar için ölçü birimi, derecedir.

1 derece açı ölçüsü, başlangıç kenarının tam devirin 1/360'ını döndürerek oluşturulmuştur.

Kalkülüs ve diğer matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan doğal yöntem, radyan

ölçüsüdür. Bir açının açıklık miktarı, merkezi açının tepe noktası olan ve yarıçapı 1 olan bir

çemberin yay uzunluğu ile ölçülür.

RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI:

Yarıçapı 1 olan çember, merkezi açının tepe noktasından çizilirse, bu açının radyan (kısaca

rad) cinsinden ölçümü, açıya karşılık gelen yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 2)

Yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 2'dir, dolayısıyla tam bir dönüm 2 rad ölçüsüne sahiptir.

düz bir açı rad ve dik açı / 2 rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi boyunca 2 uzunluğunda

bir yaya karşılık gelen bir açı, 2 birimlik radyan ölçüsüne sahiptir. (Bkz. Şekil 3).

3

Derece olarak ölçülen tam devir 360 ve radyan cinsinden 2 rad olduğu için, bu iki açı

ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz.

DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ

1. Dereceyi radyana dönüştürmek için

ile çarpılır.

2. Radyanı dereceye dönüştürmek için

ile çarpılır.

Bir radyanın boyutu hakkında fikir edinmek için, şuna dikkat edin:

1 rad 57.296 ve 1 0.01745 rad

açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir.

ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme

(a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6

rad’ı derece cinsinden ifade ediniz.

ÇÖZÜM:

Terminoloji ile ilgili bir not: Ölçüsü 30 olan bir açı demek için genellikle 30 ‘lik açı

cümleciğini kullanırız. Ayrıca, bir açısı için, ‘nın ölçüsü veya rad demek için

veya yazarız. Açının birimi verilmediği zaman, açının radyan cinsinden

ölçüldüğü varsayılır.

4

STANDART POZİSYONDAKİ AÇILAR

Eğer bir açı xy-düzleminde tepe noktası orijin ve başlangıç kenarı ise pozitif x-ekseni

üzerinde çizilirse, bu açı standart konumdadır. Şekil 5 standart pozisyonlardaki açıları

örneklemektedir.

Standart konumdaki iki açı, kenarları aynı ise koterminaldir (Koterminal: Başlangıç ve bitim

kenarları aynı olan açılar). Şekil 5’de (a) ve (c) koterminaldir. .

ÖRNEK 2: Koterminal Açılar

(a) Standart pozisyonda =30 açısı ile koterminal olan açıları bulunuz.

(b) Standart pozisyonda 3

açısı ile koterminal olan açıları bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 360 'ın herhangi bir katını ekleriz.

Böylece:

30 + 360 = 390 ve 30 + 720 = 750

= 30 ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 360'ın herhangi bir

katını çıkarırız.

30 - 360 = - 330 ve 30 - 720 = - 690

= 30 ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 6)

ŞEKİL 6

5

(b) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 2 'nin herhangi bir katını ekleriz.

Böylece:

7

23 3

ve

134

3 3

ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 2 'nin herhangi

bir katını çıkarırız. Böylece:

52

3 3

ve

114

3 3

ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 7).

ŞEKİL 7

ÖRNEK 3: Koterminal Açılar

0 ve 360 derece arasında ve standart pozisyonda, 1290 açı ölçüsü ile koterminal olan açıyı

bulunuz.

ÇÖZÜM: 360'ı, 1290'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 1290 ile

koterminal olacaktır. Sonuçta 1290 - 360 = 930 ve 1290 - 2(360) = 570 gibi.

0 ile 360 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 360'ı 1290'dan gerektiği kadar

çıkarırız. Bunu yapmanın etkili bir yolu, 360'nin 1290'e kaç kez girdiğini, yani 1290'i

360'a bölüp, kalanını da aranan açı olarak belirlemektir. Görüldüğü üzere 1290, 360’e

bölündüğünde kalan kısmı 210'dur (Şekil 8). 210 istenilen açıdır.

ŞEKİL 8

6

ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU

Radyan ölçüsü olan bir açı, bir çemberin çevresinin kadarlık parçasına eşit olan bir

yaya karşılık gelmektedir. Böylece, yarıçapı r olan çemberde, yay uzunluğu s; açısına

karşılık gelmektedir (Şekil 9).

ŞEKİL 9

ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU

r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir:

s = r

için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli formül elde edilir:

Bu formül herhangi bir yarıçapı r olan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü

tanımlamamızı sağlar. açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, r yarıçaplı bir çemberde

‘a karşılık gelen çembersel yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10).

ŞEKİL 10

7

ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü

(a) Yarıçapı 10 m olan ve merkez açısı 30 olan bir çemberin yay uzunluğunu bulun.

(b) 4 m yarıçaplı bir çemberdeki merkezi açı ‘a 6 m uzunluğunda bir yay karşılık

gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) Örnek 1(b) ‘den rad ‘dır. Buna göre yayın uzunluğu:

(b) s r formülünden

6 3

4 2

s

r rad.

Daire Diliminin Alanı

r yarıçaplı dairenin alanı A = r2 dir. Merkezi açısı olan dairenin bir diliminin alanı, tüm

dairenin alanının / 2 kadarlık parçası olan alana sahiptir.

2 2

dairenin alanı2

1 =

2 2

A

r r

ŞEKİL 11

DAİRE DİLİMİNİN ALANI

Yarıçapı r olan dairenin, merkezi açısı radyan olan bir diliminin alanı

21

2A r

ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı

Dairenin yarıçapı 3 m ise, merkez açısı 60 olan bir dairenin diliminin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Daire diliminin alanı formülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını

bulmalıyız: 60 60 180 3rad rad . Böylece, daire diliminin alanı

22 21 1 3

32 2 3 2

A r m

NOT: 21

2A r formülünün geçerli olabilmesi için açısının radyan cinsinden olması

gerekmektedir.

8

Dairesel Hareket

Bir noktanın Şekil 12'de gösterildiği gibi bir daire boyunca hareket ettiğini varsayalım.

Noktanın hareketini tanımlamanın iki yolu vardır: doğrusal hız ve açısal hız. Doğrusal hız,

kat edilen mesafedeki değişim hızıdır. Bu nedenle doğrusal hız, kat edilen mesafenin geçen

zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı ’nın değişim hızıdır. Bu nedenle açısal hız, bu

açısal değişimin geçen zamana bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır.

ŞEKİL 12

DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ

Bir noktanın yarıçapı r olan bir daire boyunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden

noktaya kadar olan ışının t zamanında radyanından geçtiğini varsayalım. t zamanında,

noktanın kat ettiği mesafe s = r olsun. Bu durumda, cismin hızı

Açısal Hız r

Doğrusal Hız s

vt

; Yunaca “omega” harfidir.

ÖRNEK 6: Doğrusal ve Açısal Hızın Bulunması

Bir çocuk, her 10 saniyede 15 devir hızıyla, 3 fit uzunluğunda bir askıda bir taşı

döndürmektedir. Taşın açısal ve doğrusal hızlarını bulunuz.

ÇÖZÜM:

10 saniye içinde, açısı 15 x 2 = 30 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı

9

Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe 15 2 15 2 3 90s r ft. Böylece taşın

doğrusal hızı:

Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı olduğuna dikkat ediniz. Bununla

birlikte, açısal hız ve r yarıçapı biliyorsak, doğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz:

s rv r r

t t t

DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bir nokta yarıçapı r olan dairede açısal hız ile hareket ediyor ise, doğrusal hızı v şu şekilde

verilir:

v r

ÖRNEK 7: Açısal Hızdan Doğrusal Hızın Bulunması

Bir kadın, tekerlekleri 26 inç çapında olan bir bisiklet sürüyor. Tekerlekler dakika başına 125

devirde dönerse, seyahat ettiği hızı mi/h olarak bulun.

ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı 2 125 250 rad min Tekerleklerin yarıçapı 13 inç

olduğu için (çapın yarısı); doğrusal hız:

13 250 10 210 2 v r , . in. min

Ayak başına 12 inç, mil başına 5280 feet ve saat de 60 dakika olduğundan, saatte mil hızı;

10 210 2 60 612 612 9 7

12 5280 63 360

, . in. min min h , in . h. mi h

in. fit ft mi , in . mi

10

6.2 DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ

Trigonometrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trigonometri Uygulamaları

Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının belirli oranları, trigonometrik oranlar olarak

adlandırılan, incelenecek ve bazı uygulamaları verilecektir.

Trigonometrik Oranlar

Dar açılarından biri olan dik üçgeni düşünün. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi

tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1)

TRİGONOMETRİK ORANLAR

karşısin

hipotenüs

komşucos

hipotenüs

karşıtan

komşu

hipotenüscsc

karşı

hipotenüssec

komşu

komşucot

karşı

Bu oranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, kosinüs, tanjant, kosekant,

sekant, kotanjant ‘dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer olduğu için, bu

oranlar üçgenin boyutuna bakılmaksızın aynıdır. Trigonometrik oranlar sadece açısına

bağlıdır (bkz Şekil 2).

Şekil-2

Hipotenüs

Karşı

Komşu

ŞEKİL 1

11

ÖRNEK 1: Trigonometrik Oranların Bulunması

Şekil 3'teki açısının altı trigonometrik oranları bulunuz.

ÇÖZÜM:

2

3sin

5

3cos

2

5tan

3

2csc

5

2cot

ÖRNEK 2: Trigonometrik Oranların Bulunması

3

4cos ise, dar açısına sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trigonometrik oranı

bulunuz.

ÇÖZÜM:

cos, komşu kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlandığından dolayı,

hipotenüsün uzunluğu 4 ve komşu kenarın uzunluğu 3 olan bir dik

üçgen çizebiliriz. Karşı kenara x dersek, Pisagor teoreminden

‘dir. Böylece: ‘dir. Ardından Şekil 4 ‘deki üçgeni

oranları bulmak için kullanırız.

7

4sin

3

4cos

7

3tan

4

7csc

4

3sec

3

7cot

Özel Üçgenler

Bazı dik üçgenler, Pisagor teoreminden kolayca hesaplanabilen oranlara sahiptir. Sıkça

kullanıldığından, bu kısımda bahsedilecektir.

İlk üçgen, 1 birim uzunluğa sahip kare içersine köşegen çizilmesiyle elde edilir. (bkz Şekil 5).

Pisagor teoremine göre köşegen uzunluğu 2 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90

açılarına sahiptir (ya da 4 , 4 ve 2 ). Şekil 6’daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, 2

kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açıortay DB çizebiliriz. Pisagor

12

teoremine göre DB kenarının uzunluğu 3 dür. ABC üçgeninin DB açıortayı olduğu için

30, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6 , 3 ve 2 ).

Şimdi Şekil 5 ve 6 'daki özel üçgenleri 30, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trigonometrik

oranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6 , 4 ve 3 ). Tabloda listelenmiştir.

Bu özel trigonometrik oranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde

edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha kolayca hatırlanabilirler.

Diğer açıların trigonometrik oran değerlerini bulmak için hesap makinesi kullanırız.

Trigonometrik oranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (nümerik yöntemler) doğrudan

bilimsel hesap makinelerine kodlanmıştır. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi

verilen açının sinüs değerini bir yaklaşımla hesaplar. Hesap makineleri sinüs, kosinüs ve

tanjant değerlerini verir; diğer oranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak

bunlardan kolaylıkla hesaplanabilir:

13

Bu ilişkilerin trigonometrik oranların tanımından kolayca ortaya çıktığını kontrol

edebilirsiniz.

sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t olan açının sinüsü demek isteriz. Örneğin, sin1,

radyan ölçüsü 1 olan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için

hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan moduna ayarlanır ve aşağıdaki değer

bulunur:

sin1 0.841471

Ölçüsü 1 olan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece moduna ayarlanır ve

aşağıdaki değer bulunur:

sin1 0.0174524o

Dik Üçgenlerin Trigonometriye Uygulamaları

Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve kenar. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında

bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç kenarın uzunluklarını ve

üç açının ölçülerini belirlemektir.

ÖRNEK 3: Dik Üçgenin Çözümü

Şekil 7 'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a 'yı bulmak için, a 'yı önceden

bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir eşitlik ararız.

ŞEKİL 7

sin 30 12ao olduğu bilindiğine göre:

1

12sin 30 12 62

a

o

Benzer şekilde, cos30 12bo olduğu bilindiğine göre:

3

12cos30 12 6 32

b

o

14

Şekil 8, dik üçgende hipotenüs r ve dar açı bilgisini biliyorsak; a ve b uzunlukları

sina r cosb r

ŞEKİL 8

Trigonometrik oranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, rota bulma,

haritacılık, astronomi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçok problemin temelinde yer

almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak sonraki

üç bölümde görebileceğimiz gibi, trigonometri dik üçgen olmayan üçgenlerin çözümünde de

faydalıdır.

Bir sonraki örneği tartışmak için bazı terminolojiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir

nesneye bakıyorsa, o zaman gözlemcinin gözünden nesneye doğru olan çizgiye “görüş hattı”

denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki

açıya “yükseliş açısı” denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki

açıya, “alçalış açısı” denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçoğunda, zemin

seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı,

eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyorsa, “eğim açısı” terimini

kullanırız.

Bir sonraki örnek, trigonometrinin ölçüm problemine yönelik önemli bir uygulamasıdır: Uzun

bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zorunda kalmadan ölçüyoruz! Örnek basit olmasına

15

rağmen sonuç, trigonometrik oranların bu tür problemlere nasıl uygulandığını anlamada temel

önem taşır.

ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması

Dev bir çınar ağacı, 532 ft uzunluğunda bir gölge oluşturuyor. Güneşin yükseliş açısı 25.7

ise ağacın yüksekliğini bulun.

ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h olsun. Şekil 10'dan şunu görüyoruz:

tan 25.7532

h o Tanjantın tanımından

532 tan 25.7h o 532 ile çarp

532 0.48127 256h Hesap makinesi kullan

Sonuç olarak, ağacın yüksekliği yaklaşık 256 ft'dir.

ŞEKİL 10

ÖRNEK 5: Dik Üçgenleri İçeren Bir Problem

Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir noktadan bir gözlemci, binanın en üstünün

yükseliş açısının 24 olduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş

açısının 27 olduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun.

ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4 'te ağacın

yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur.

ŞEKİL 11

tan 24500

h o Tanjantın tanımından

16

500 tan 24h o 500 ile çarp

500 0.4452 223h Hesap makinesi kullan

Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 223 ft dir.

Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğin tepesine kadar olan yüksekliği

bulalım.

tan 27500

k o

500 tan 27h o

500 0.5095 255h

Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h 'yi k 'dan çıkarıyoruz. Sonuç olarak, bayrak

direğinin uzunluğu yaklaşık olarak 255 – 223 = 32 ft dir.

6.3 AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

Açıların Trigonometrik Fonksiyonları, Herhangi Bir Açıda Trigonometrik

Fonksiyonların Değerlendirilmesi, Trigonometrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları

Önceki bölümde, dar açılar için trigonometrik oranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için

trigonometrik oranları açılardaki trigonometrik fonksiyonları tanımlayarak genişletilecektir.

Bu fonksiyonlarla mutlaka dar açı olması gerekmeden pratik problemler de çözülebilecektir.

Açıların Trigonmetrik Fonksiyonu

POQ, dar açılı dik üçgen olmak üzere Şekil 1(a)’da gösterilmektedir. ’nın standart

pozisyondaki konumu Şekil 1(b)’de gösterilmektedir.

ŞEKİL 1

P = P (x, y); ’nın uç noktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve komşu kenarın

uzunluğu x’dir. Pisagor Teoremimini kullanarak hipotenüsün değerinin r x y 2 2 dir.

Sonuç olarak;

Hipotenüs Karşı

komşu

17

y

sinr

x

cosr

y

tanx

Diğer trigonometrik fonksiyonlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların

trigonometrik fonksiyonlarını aşağıdaki gibi tanımlıyoruz (Bkz. Şekil 2).

ŞEKİL 2

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI

standart pozisyonda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nokta olmak üzere, eğer r x y 2 2

orijinden P(x,y) noktası arasındaki uzaklık ise

ysin

r

xcos

r

ytan , x

x 0

r

csc , yy

0 r

sec , xx

0 x

cot , yy

0

0'a bölme tanımlanmamış bir işlem olduğundan belirli trigonometrik fonksiyonlar

belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan y x90o x = 0 olduğu için tanımsızdır.

Trigonometrik fonksiyonların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nokta tarafındaki bir

noktanın x veya y koordinatının 0 olduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) açılardır;

koordinat eksenleri ile sınırları olan açılardır.

Önemli nokta; trigonometrik fonksiyonların değerlerinin P(x,y) noktasının seçimine

bağlı olmadığıdır. Bunun nedeni eğer P x ,y Şekil ^’deki gibi uç nokta üzerinde başka bir

nokta ise POQ ve P’OQ

’ üçgenleri benzerdir.

Trigonometrik Fonksiyonların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi

Tanım gereği, açısı I. Bölgenin ’in uç tarafında ise bütün trigonometrik fonksiyonların

değerlerinin hepsinin pozitif olduğunu görülmektedir. [ r her zaman pozitiftir çünkü başlangıç

noktasından P(x,y) noktasına olan uzaklıktır.] ’nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya

18

pozitiftir. Sonuç olarak sin ve csc pozitif, diğer trigonometrik fonksiyonlar negatif

değerlere sahiptir. Aşağıdaki tabloda diğer bilgileri kontrol edebilirsiniz.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ

Bölge Pozitif Fonksiyonlar Negatif Fonksiyonlar

I Hepsi Hiçbiri

II sin,csc cos, sec, tan, cot

III tan, cot sin, csc, cos, sec

**********Gerçel Sayıların Trigonometrik Fonksiyonlar ile İlişkisi******

Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trigonometrik fonksiyonlar daha önce incelemişti

(Bölüm 5). Bir açının trigonometrik fonksiyonlarıyla nasıl ilişkili olduklarını görmek için,

koordinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım.

P(x,y) birim çemberde uzunluğu t olan bir yay tarafından belirlenen uç nokta olsun. Sonra t,

çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P noktasından x ekseni üzerinde

Q noktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y

olan bir dik üçgen çizilir.

19

Şimdi, gerçek sayı t'nin trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;

sin

cos

t y

t x

açısının trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;

sin1

cos1

komşu yy

hipotenüs

karşı xx

hipotenüs

Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t olur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trigonometrik

fonksiyonları tanımlamanın iki yolunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı olduğunu görürüz.

Başka bir deyişle, fonksiyonlar olarak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel

sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.)

Neden trigonometriyi iki farklı yoldan inceliyoruz? Çünkü farklı uygulamalar trigonometrik

fonksiyonları farklı şekilde görmemizi gerektirir.

ÖRNEK 1: Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarını Bulma

(a) cos 135 (b) tan 390 değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) Şekil 4’den cos 135 = -x / r dir. Fakat cos 45 = x / r ve cos 45 = ise

20

2

cos1352

o

(b) 390 ve 30 açılar koterminal (eş bitim noktasına sahip açılar) olduklarından Şekil’den

görüldüğü üzere tan390 tan30o o dir ve tan30 3 2oise

3tan 390

3o

Örnek 1'den, dar olmayan açılardaki trigonometrik fonksiyonların dar bir açıya karşılık gelen

trigonometrik fonksiyonlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip olduğunu görüyoruz. Bu dar

açıya referans açısı denir.

REFERANS AÇI

standart konumda bir açı olsun. ile ilişkili referans açısı , 'nin uç tarafı ve x-ekseni

tarafından oluşturulan dar açıdır.

Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi

faydalı olduğunu göstermektedir.

ŞEKİL 6: açısı için referans açı

ÖRNEK 2: REFERANS AÇININ BULUNMASI

21

Verilen açıları için referans açılarını bulunuz.

(a) 5

3

(b) 870 o

ÇÖZÜM:

(a) Referans açısı, 5 3 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından oluşturulan dar açıdır.

(Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede olduğu için, referans açısı

5

23 3

(b) 870 ve 150 koterminaldir ( çünkü 870 – 2(360) = 150). Sonuç olarak bu açının uç

tarafı II. Bölgede olduğu için

180 150 30 o o o

VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ

HESAPLANMASI

Herhangi bir açısı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için aşağıdaki

adımları gerçekleştiririz.

1. açısı ile ilişkili bulunur.

2. 'nin trigonometrik fonksiyonunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.

3. 'nin trigonometrik fonksiyonunun değeri, işaretin haricinde 'nin trigonometrik

fonksiyonunun değeri olarak aynıdır.

ÖRNEK 3: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin

Bulunması

Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.

22

(a) sin 240o ve (b) cot 495o

ÇÖZÜM:

(a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle

240- 180 = 60'dır ve sin 240'un değeri negatiftir. Böylece

(b) 495° , 135° ile koterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10’da gösterildiği gibi II.

bölgededir. Sonuç olarak referans açı 180 - 135 = 45 ve cot 495 nin değeri

23

ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin

Bulunması

Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.

(a) 16

sin3

ve (b) sec

4

ÇÖZÜM:

(a) 16 3 açısı 4 3 açısı ile koterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz.

Şekil 11). Sonuç olarak referans açı 4 3 3 dir. sin fonksiyonu III.bölgede

negatif işarete sahip olduğu için

(b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı 4 dir. (Bkz. Şekil 12). Bu bölgede sekant

fonksiyonu pozitif olduğu için

Açıların trigonometrik fonksiyonları, trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılan

birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden

çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır.

Pisagor özdeşlikleri Pisagor teoreminin bir sonucudur.

24

İSPAT: İlk Pisagor özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 13’deki 2 2 2x y r (Pisagor teoremi)

kullanarak

2 2 2 22 2

2sin cos 1

y x x y

r r r

Sonuç olarak 2 2sin cos 1 dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün

açıları için ispatın geçerli olup olmadığını kontrol etmelisiniz).

ÖRNEK 5: Bir Trigonometrik Fonksiyonların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi

(a) sin ’ı cos ile ifade ediniz.

(b) açısı II.bölgede ise tan ’ı sin ile ifade ediniz.

ÇÖZÜM:

(a) İlk Pisagor özdeşliğini kullanarak

2sin 1 cos

25

Sonucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin ’nın

işareti pozitiftir ve

2sin 1 cos

Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin ’nın işareti negatiftir ve

2sin 1 cos

(b) tan sin cos olduğu için cos ’ı sin ile ifade etmeliyiz.

2cos 1 sin

II.bölgede cos negatif olduğu için,

2cos 1 sin

2

sin sintan

cos 1 sin

ÖRNEK 6: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması

Eğer tan 2 3 ve III.bölgede ise cos bulunuz.

ÇÖZÜM 1: tan ’nın cos ile ifadesine ihtiyacımız var. 2 2tan 1 sec özdeşliğinden

2sec tan 1 . III.bölgede sec negatif olduğu için;

2sec tan 1

Sonuç olarak,

2

2

1 1cos

sec tan 1

1 1 3 =

13 1321 93

ÇÖZÜM 2: Bu sorun, Bölüm 6.2'deki Örnek 2'nin yöntemi kullanılarak daha kolay

çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri dar

açıdan (referans açısı) olanlarla aynı olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla, bir anlığına işareti

görmezden gelelim, dar açı ile tan 2 3 ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil

14). Pisagor teoremi ile bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 13 olacaktır. Şekil 14’deki

üçgenden cos 3 13 olduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif olduğu için

26

3

cos13

ÖRNEK 7: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması

Eğer sec 2 ve IV.bölgede ise diğer beş trigonometrik fonksiyonu hesaplayınız

ÇÖZÜM: sec 2 ile Şekil 15’deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. ’nın IV:bölgede

olduğuna dikkat ederek,

3sin

2

1cos

2 tan 3

2csc

3 sec 2

1cot

3

Bu bölümü, trigonometrik fonksiyonların bir uygulamasıyla sonuçlandırıyoruz. Uygulamada

dar açı olması gerekmemektedir.

Üçgenin alanı A; 1 2A taban yükseklik olarak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve

aradaki bir açısını biliyorsak, trigonometrik fonksiyonları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve

bundan da alanı bulabiliriz.

Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği sinh b dır. Alan

27

1 1

sin2 2

A taban yükseklik ab

ŞEKİL 16

Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği

sin 180 sinh b b o

Bunun nedeni, 'nin referans açısının 180° - açısı olmasıdır. Buna göre üçgenin alanı;

1 1

sin2 2

A taban yükseklik ab

ÜÇGENİN ALANI

Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile

1sin

2A ab

ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak

Şekil 17’deki üçgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve 3 cm olan kenarların arasındaki açı 120dir. Buna göre

28

2

1sin

2

1 10 3 sin120

2

=15sin 60

3 15 13

2

A ab

cm

o

o