Trigo No Me Tria

Trigonometría

Dpto. Pedagógico TRILCE

Derechos de Edición Asociación Educativa TRILCE

Tercera Edición, 2007.

Todos los Derechos Reservados. Esta publicación nopuede ser reproducida, ni en todo ni en parte, niregistrada en, o transmitida por, un sistema derecuperación de información, en ninguna forma y porningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico,magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquierotro, sin el permiso previo de la editorial.

Trigonometría

INTRODUCCIÓN

La Trigonometría es una parte de las Matemáticas que trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo; fueiniciada por Hiparco, aproximadamente el año 150 a. C. Tiempo después, Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en susestudios y de otros personajes de la Astronomía, para crear su sintaxis Matemática llamada Almagesto. Hoy en día, los ingenierosy los físicos ocupan muchas de estas herramientas trigonométricas en su diario actuar, sin quizás conocer quién las crea y cuál es suhistoria, la cual vamos a presentar a continuación.

Este texto de Trigonometría describe, en general, los temas que constituyen un curso de Trigonometría plana de nivel pre-universitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geometría Elemental, Álgebra yAritmética.

Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la enseñanza de lasMatemáticas en las aulas de la academia o colegio de TRILCE. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de lasmatemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad de resolver situacionesmatemáticas, denominadas, ejercicios o problemas.

La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los conceptosteóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo del libro, ustedes deberán tener en cuenta las sugerencias planteadas yanalizarlas.

En cuanto a su estructura, el libro se desdobla en capítulos y en todos ellos, primero se aborda la parte teórica, la cual seda en forma de tabla o cuadro sinóptico, y un resumen de formulas y resultados estrechamente relacionados. Una larga experienciaha convencido a los autores de que para los estudiantes es una gran ayuda el uso de tales resúmenes ya que resulta, a inicios, untanto difícil el manejo sistemático de todas las fórmulas .

Cada capítulo contiene 60 problemas, los cuales están dosificados de menor a mayor grado de dificultad, los primeros 20son ejercicios de aplicación directa, dados con la intención de afianzar el uso de los conceptos teóricos, los siguientes 20 problemasson preguntas de exámenes de admisión planteadas en las diversas universidades del medio (UNI, UNMSM, UNAC y PUCP) y los60 problemas restantes son de mayor grado de dificultad que requieren en algunos casos de algunos conceptos de Álgebra oGeometría. De esta manera el libro se hace didáctico y motivará al alumno los deseos de aprender, yendo de lo más simple a lo máscomplejo.

Comenzamos por tratar el uso de las unidades angulares, y sus equivalencias, para poder aplicarlas al cálculo de unalongitud de arco de circunferencia, como también el área de un sector circular y algunos casos más, como es la determinación de lacantidad de vueltas que gira una rueda o dos poleas o más que están trabajando en un sistema.

Después, nos introducimos a la columna vertebral de la Trigonometría que es el estudio de las razones trigonométricas;primero para un ángulo agudo y luego para un ángulo que posea cualquier medida, determinaremos dentro de ellos los valores decada una de ellas por medio del estudio analítico y su representación mediante segmentos de recta dirigidos en la circunferenciatrigonométrica

Esta parte es fundamental ya que los temas siguientes tratarán sobre las diversas identidades que las relacionan, las cualespor cierto son muy numerosas, y que sólo con la constancia en la práctica se podrán dominar, porque un mal entendimiento de losprimeros temas conducirá, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes más avanzadas.

Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas que son imprescindibles, a las cuales llamaremos, identidadesbásicas, y otras que son menos importantes; pero se dan con el fin que nos permita resolver situaciones matemáticas de un modomucho mas breve.

Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las identidades en el estudio de las funciones trigonométricas ya seaen las funciones directas e inversas: al hacer el cálculo de sus dominios y rangos, al resolver una ecuación e inecuación trigonométricao al resolver problemas de figuras geométricas, tan solo con el uso de las razones trigonométricas que relacionan sus elementos.

Finalmente, culminaremos con los temas de: vectores, la línea recta, cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola),en sus posiciones horizontal y vertical. Para el estudio de éstas, en su posición oblicua, abordaremos el tema de la transformaciónde coordenadas. Y terminamos con la aplicación de los números complejos a la Trigonometría.

Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta ylógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada problema que se esté resolviendo. Solo así, el estudianteencontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil .

TRILCE

9

CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULO AGUDO - I 1DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.En el triángulo adjunto, tenemos:

A B

C

ab

c

a y c : catetos b : hipotenusa

B : recto

A y C : s agudos

222 bca

A + C = 90º

A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;para A tenemos:a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)Luego se definen :

ba

HCOSenA

bc

HCACosA

ca

CACOTanA

ab

COHCscA

cb

CAHSecA

ac

COCACotA

Por ejemplo:

135

12

512Cot ;

1312Cos

125 Tan;

135Sen

* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cualesconociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados dedicho triángulo. Dos de los más usados son :

45º

45º

1

12

30º

60º

12

3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.

37º

53º

35

4

Trigonometría

10

A partir de estos se determinarán otros adicionales como:

22º30'

67º30'

14 + 2 2

2 +115º

75º

6 - 24

6 + 218º30'

71º30'

110

3

26º30'

63º30'

15

28º

82º

1

716º

74º

725

24

5 2

No olvide además:

30º 37º 45º 53º 60º

Sen 21

53

22

54

23

Cos 23 5

4 22 5

3 21

Tan 33 4

3 1 34 3

Cot 3 34 1 4

3 33

Sec 3

32 45

2 35

2

Csc 2 35

2 45

3

32

* PROPIEDADES:

I . Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados deltriángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

A

QM

NP B

C

Iguales

ACBCSen

ANMNSen

AQPQSen

II . R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, queexisten tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estasparejas son las siguientes:

1CotTan1SecCos1CscSen

Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :

Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º

III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudosde un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Estacaracterística la vamos a indicar de la siguiente manera:

TRILCE

11

Si: son agudos; tales que: + = 90ºentonces:

Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc

Por ejemplo: Sen10º = Cos80º Tan20º = Cot70ºSec40º = Cos 50º Cos24º = Sen 66ºTan = Cot (90º ) Sen( + 10º) = Cos (8 )

0º

Si: son agudos; tales que:

entonces:

= 90º

Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc

Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = Cos3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y)

o

2x + y + x y = 90º3x = 90º x = 30º

Trigonometría

12

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si " " es la medida de un ángulo agudo y se cumple

que: 32Tg ; calcular: Cot12Sen13T

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple

que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB42ASen65E 2

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y lacosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.Calcular la longitud del mayor cateto.

a) 20 u b) 30 u c) 40 ud) 50 u e) 60 u

04. Del gráfico mostrado, calcular: "Cot.Cot"

A

B

CE

F

a2a

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3/2

05. Del gráfico mostrado, calcular: "TgwTg" , si: ABCDes un cuadrado.

A

B C

D

E

2a

3a

w

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

06. Del gráfico, calcular: "Cot" , si: 4,2Cot

A

B C

DE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Del gráfico, calcular: "Tg" , si: 125Tgw

w

a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5

08. Calcular: 3Cos3

6Sen6

4Tg4E

a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5d) 8,5 e) 9,5

09. Calcular: º45Secº30Tg2

º45Cotº.60Secº.30CotE22

2

a) 2 b) 2,25 c) 2,5d) 2,75 e) 3

10. Del gráfico, calcular: Cot

A

O B

E

F37º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "Tg"

A

B

C

M 8

N2

a) 53

b) 5

32c)

73

d) 7

32e)

733

TRILCE

13

12. Del gráfico mostrado, calcular: Tan11

A

B C

DE

F45º

37º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Del gráfico mostrado, calcular: "Cotw" .

a

4a

45ºw

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

14. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg" , si: ABCD es uncuadrado.

A

B C

DE F

37º

a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7d) 3/5 e) 3/8

15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.

Calcular: Tgy.Tgx).3

yx(Cot).2

yx(TgE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dichotriángulo mide " ".

Halle el valor de: 1Sen17W 2

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5

22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :

32

SecBSecA

Calcular :

CtgB3CosA13E

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de susángulos agudos es 0,96.Si su hipotenusa mide 50 m.Hallar el perímetro de dicho triángulo.

a) 112 m b) 224 m c) 96 md) 52 m e) 412 m

24. Calcule el área de la región triangular ABC .Donde: AC = 36m; si, además

26CscC 17CscA

a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2

d) 18 m2 e) 360 m2

25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.¿Cuánto mide el cateto menor?

a) 13 m b) 33,8 m c) 50 md) 56,33 m e) 55 m

Trigonometría

14

26. De la figura, hallar 2)2Tan(

m

n

2 mn

a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 0

27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y elproducto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.

a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 7 m

28. Del gráfico, calcule : Tan .Si: BN = 2AN

A N B

C

45º

M

a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75

29. Si en el gráfico : AB = BC.Calcule: Tan

A

B

C 53º

M

a) 92

b) 94

c) 32

d) 31

e) 52

30. Del gráfico, obtener Tan

M37º

A

BO

a) 34

b) 43

c) 45

d) 32

e) 54

31. Si:

1nCos2

n2Tan

n3Cscf )x(

Calcular: )2(f

a) 02 b) 12 c) 22

d) 32 e) 0

32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntosmedios de AB, BC y AC, respectivamente.Además: NQ = 2QPCalcular:

TanTan5Tan7K

PA C

B

M N

Q

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 14

33. Si: 2

x y 1)Tanx( 23Sen

El valor de "q" es: xCtg1

xTan1q2

2

a) 2 b) 32

c) 3

d) 21

e) 31

34. Del gráfico, calcular: CotSi: ABCD: cuadrado.

A

B C

D37º

a) 6 b) 12 c) 9d) 18 e) 14

TRILCE

15

35. Si:Sen 3x . Cscy = 1Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)Determinar "y - x"

a) 12º b) 18º c) 20ºd) 24º e) 32º

36. Si: Tgx . Tgy = 1Determinar:

3yx2Sec

3yxTan

2yx SenE

a) 36

b) 66

c) 1

d) 35

e) 62

37. Calcular:E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)

a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 16

38. Calcule el valor de la expresión:

º80Csc...º30Cscº20Cscº10Cscº80Sec...º30Secº20Secº10SecW

a) 1 b) 2 c) 2d) 3 e) 23

39. Hallar los ángulos agudos y tales que:

)º90(Ctg)º353(Tan

º152

a) 11º y 10º b) 15º y 13ºc) 20º y 17º30' d) 35º y 25ºe) 17º y 16º

40. Siendo:Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -x + y)Calcule:

K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 e) 33

41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormentecon radios R y r.Calcular el cuadrado de la cotangente del ánguloformado por la recta tangente a ambas circunferenciasy la recta que une los centros.

a) 2)rR(Rr4 b) 2)rR(

Rr4

c) 2)rR(Rr2 d) 2)rR(

Rr2

e) 2)rR(Rr

42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.Hallar su área en términos de "m" si:

6Sen2

3tSecta 2

3Cos2

6tCsctb 2

22 m4

Tanmt2t

a) 1m2 b)

22

21m

c)

22

21m

d)

2)1m( 22

e) 1m2

43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple lasiguiente condición:

0)3º30(Ctg)º30(Tan

20m

x

a) m210 b) 10 m c) m35

d) 5 m e) m310

44. Una semicircunferencia de radio )31( cm. se divideen treinta arcos iguales.Calcular la proyección del arco comprendido entre laquinta y décima división sobre el diámetro horizontalen centímetros.

a) 41

b) 21

c) 1

d) 45

e) 2

45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajoun ángulo de 32' y si la distancia del observador a lasuperficie de Sol es 150 millones de kilómetros.Determinar el radio del Sol en millones de kilómetrossabiendo que:

Sen16' = 0,00465

Trigonometría

16

a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395d) 2,629 e) 1,402

46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de susvértices de ángulos iguales se intersecanperpendicularmente.Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:

a) 31

b) 21

c) 23

d) 101

e) 321

47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.

a) 85

b) 167

c) 803

d) 409

e) 2513

48. En el trapecio ABCD : BC // AD.Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida delángulo DADC ; el valor de:

K = CscD + CtgD ; es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

49. En un triángulo rectángulo ABC )º90B( señale elequivalente de:

1

2ACotTanA1

2ATanTanAK

a) ASen2 b) ACos2 c) ATan2

d) ACot2 e) ASec2

50. Si: 3 es un ángulo agudo, tal que:

523Cot

Calcule: 2Cos6Csc5K

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.

Calcule: TanyTanx

Si: 2

EG3

CEAC

A

B

C

D

E

F

M N

x yG

a) 6635

b) 7765

c) 7255

d) 1113

e) 75

52. Del gráfico, hallar: Tannm

A

B C

D

E F p

a) mnpn

b) pnmn

c) nmpm

d) pmnm

e) npnp

53. Si:Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)

2)y4º100(Sen

)º10y4(Cos)yx(Cos

Calcular:

)º10yx(Cosy3Sec)º10x(SecK

22

a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 32

54. Del gráfico, calcular:

Tan5Cot32K

Si: CD se dibuja con centro en "E"

60º

CB

A D

P

Q

E

a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 10

TRILCE

17

55. En el cuadrado ABCD; calcular:

Tan9Tan3K

B C

A D

E

8º

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

56. Sabiendo que:Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89ºCalcule:

222 Csc)º5y(Tan)º5x2(SecW )º5xy(

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

57. En el cuadrado ABCD, calcular:

Cos5Cos22WSi: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD

M

A

B C

D

F

N

E

a) 11 b) 13 c) 64

d) 19 e) 17

58. Sabiendo que:

y2

2x3Cos)º20yx2(Sen

1y34xTany3

2xTan

Calcule:

y3Csc)yx(CscW 22

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 5

59. Del gráfico calcular:)1Csc)(1Csc)(1Csc)(1Csc(W

O1 O2 O3

a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 100

60. Del gráfico calcule:

CosCos)1Sec)(1Sec(WSiendo "A" centro del arco BD.

D T

O

A C

B

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 23

Trigonometría

18

Claves Claves 01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

e

d

e

c

b

e

c

d

b

b

d

c

b

c

c

a

b

c

e

c

c

e

a

a

d

d

c

e

b

e

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

e

b

d

a

a

a

e

d

a

d

b

c

a

d

d

d

e

c

b

a

c

e

d

d

e

c

c

c

TRILCE

19

CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULO AGUDO - II 2* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo

rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.

Criter io :

conocido) .(T.Rconocido Lado

odesconocid Lado

Casos:

1 .

A B

C

L

BCTanL

BC

AC L

AC

I)

II)

2 .

A B

C

L ABCot

LAB

AC L

AC

I)

II)

3 .

A B

C

L BCSenL

BC

L

AB

I)

II)

Trigonometría

20

* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de lasmedidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.

a

b

c

A

B

C

h

2hbSABC

2aSenCbSABC

Sabemos:

pero: h = aSenC

luego:

SenC2

abSABC

SenB2acSABC SenA

2bcSABC

Análogamente

TRILCE

21


01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:

K

a) Cos.SenK 2 b) Cos.Sen)2/K( 2

c) Cos.Sen)3/K( 2 d) Cos.Sen)4/K( 2

e) Cos.Sen)5/K( 2

02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe quelos ángulos congruentes miden " " mientras que ellado desigual mide "L". Hallar uno de los ladoscongruentes.

a) Sec2L

b) Csc2L

c) Tg2L

d) Ctg2L

e) Cos2L

03. Obtener "x", en:

m

a) mSen b) mCos c) mSecd) mCsc e) mTg

04. Obtener "x"

A

B

O

R

Hx

a) )Sen1(R b) )1Sec(R

c) )Cos1(R d) )1Csc(R

e) )Tg1(R

05. En la figura, halla "x".

A

B

C

m n

x

a) nCosmSen b) nCosmCos

c) nSenmCos d) nSecmSec

e) nSecmSen

06. Halla "x" en:

A C

BD

x

m

a) TgmSec b) CscmCos

c) CtgmCos d) CosmSen

e) mTg

07. Halla "x":

m

x

a) Cot.mSen b) Tan.mSen

c) Sen.mSen d) Cot.mCos

e) Tan.mCos

08. Hallar "x":

B

A

D

HCm

x

a) 2mSen b) 2mCos

c) CosmSen d) TgmSen

e) CscmSec

Trigonometría

22

09. Hallar "x", de la figura:

x

m

a) Cos.mSen b) Cos.Sen

c) mSen d) mCos

e) mTg

10. Del gráfico, hallar: AC .

B

C A

m n

x y

a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSenyc) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosye) mSeny+nCosx

11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.

A B

CD

x

m

a) )Sen1(m b) )Cos1(m

c) )Tg1(m d) )Ctg1(m

e) )CtgTg(m

12. Obtener "AB":

A

C

B

R

O

a) )CtgCsc(R b) )Ctg1(R

c) )Csc1(R d) )Sen1(R e) 2R+1

13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.

A B

O

R

x

a) RSen b) RCos

c) )Sen1(R d) )Cos1(R

e) )Cos21(R

14. Hallar "x".

m

x

a) SenmSen b) CosmSen

c) CosmCos d) SenmCos

e) CtgmTg

15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a lacircunferencia:

P2

R

a) RCsc b) )1Csc(R

c) )1Tg(R d) )1Ctg(R

e) )1Csc(R

16. Determine "x" en:

A

C

BD

m

x

a) Cos.mSen b) Sec.mSen

c) Ctg.mSen d) Ctg.mCos

e) Tg.mCos

TRILCE

23

17. Hallar "x".

A

B

C

D

a

b

x

a) aCosSen b) CosbSenc) aCosbSen d) bCosaSen

e) bTgaSec

18. Determine el perímetro del triángulo ABC.

A

B

C

m

a) )CosSen1(m

b) )TgSec1(m

c) )CtgCsc1(m

d) )CscSec1(m

e) )CtgTg1(m

19. Hallar: "x" en:

mx

a) CosmCtg b) Cos.mTg

c) SenmTg d) mTg

e) mSen

20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".

x

a)

SenCosSec2

b)

SenCosSen

c)

SenCosSec

d)

CosSenCsc

e)

SenCosSec

21. Del gráfico, determine "x".

m

x

a) Senm b) Cosm c) Secmd) Cscm e) Tanm

22. Determinar CD .

A

B

C D

m

a) SenmTan b) CosmCtg

c) CosmTan d) CscmTan

e) SenmCtg

23. Del gráfico, hallar "x".

m

45°

x

a) 1Tanm b) 1Ctg

m

c) Ctg1m

d) Tan1m

e) )Tan1(m

24. Determine "x" en :

m x

a) SenSenm b) CosSenmc) SecSenm d) SecCosme) SenCosm

Trigonometría

24

25. Determine "x" en:

m

x

a) 2Secm b) 2Cosm

c) 2Senm d) 2Cscm

e) CscSecm

26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".

A

B

C

D

x

L

a) 2SenL b) 2CosL

c) )CosSen(L d) CosSenL 2

e) 2CosSenL

27. Del gráfico, hallar "x":

m

x

a) )1Sec(m 2 b) )1Csc(m 2

c) )1Tan(m 2 d) )1Ctg(m 2

e) )CtgTan(m 22

28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.

n

A B

CD

x

a) nSen b) nCos c) CscnTan

d) nCsc e) nCtg

29. Del gráfico, hallar: ED.

A B

C

D

E m

a) mCtg b) mSec c) 2mSec

d) 2mCtg e) 2mTan

30. En el gráfico, hallar MP, en términos de " " y " "; " "

y " ".

M

N

R P

b

a

a) Sec)Cosba( b) Csc)Cosba(

c) Ctg)Tanba( d) Tan)bSeca(

e) Csc)bSena(

31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y elcateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx esigual a:

a) 2TanC b) TanB + TanCc) 2TanB d) TanC + CtgCe) 2(TanC + TanB)

32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al áreadel triángulo ABC.El valor de será:

A B

C

D

a)

21 ArcTan b)

21 ArcCtg

c)

21 ArcTan d)

21 ArcCtg

e) 2ArcTan

TRILCE

25

33. En la región limitada por una circunferencia de radio Ry dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otracircunferencia (de radio menor que R). Si las tangentesse intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A quédistancia de la intersección de éstas, debe encontrarseel centro de la circunferencia inscrita?

a)

Sena1Sena1

SenaR b)

Sena1Sena1

SenaR

c) Sena1R

Sena d) Sena1Sena

R

e) Sena1Sena

R

34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y,

O A

B

COA = x

AC = y

a) ySenxCosOB

yCosxSenBC

b) ySenxCosOB

xCosySenBC

c) ySenxCosOB

yCosxSenBC

d) ySenxCosOB

xSenyCosBC

e) ySenxCosOB

yCosxSenBC

35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la

circunferencia de centro O, ARD ; AB//RS , AB=a.Hallar el radio de la circunferencia.

O

A

B C

D

S

R

a) Cos2a b) Cos2a

c) Sen2a

d) aSen

e) Cos21a

36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los

triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Senes:

A B

CD

E

F

a) 6

53 b)

653

c) 6

53 d)

653

e) 6

53

37. En la figura mostrada, son conocidos: , y h.Entonces los valores de x e y son dados por:

y

h

x

a)

TanTan

Tanh y; TanTan

hx22

b)

TanTan

Tanh y; TanTan

hx

c)

22

22

22

2

TanTan

Tanh y; TanTan

hx

d) 2

22

2

2

)TanTan(

Tanh y; )TanTan(

hx

e) TanTanh y; TanhTanx 2

38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:

AB = 3 y 1627AC

x

y

A

B

C

a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29d) 4,19 e) 3,19

Trigonometría

26

39. De la figura hallar:

nzCtgxTanyTaTany3Tanz6F

yz

k

k

x

a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30d) 3,00 e) 3,20

40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que

42CosBCosC .

Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que

esta mide m26 .

a) m2 b) m3 c) 3 m

d) m5 e) m7

41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2m64 y

tal que PC = BP'.Hallar: AMSi: AP = 6 m

MP

P'

A B

C D

O6m

a) m512 b) m35

12c) m3

516

d) m55

12e) m312

42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triánguloABC, AD = BD y 3CosSen3 Hallar la tangente del ángulo DCG.

G

A

B

CD

a) 3 b) 32

c) 31

d) 23

e) 21

43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx CtgySi: AB = AD = 1 ; DC = 2

DA

B

C

x

y

a) 21

b) 31

c) 2

d) 41

e) 1

44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra elglobo respecto del lago?

H

Lago

Imagen

Globo

a) 2HCos b) 2HSenc) 2HSec d) 2HCsc

e) 2HCtg

45. En la figura: DC = 2AB = 2.Calcular el área del triángulo EFG.

G

A

B

E

F C

D

a) Tan181

b) Ctg452

c) Tan452

d) )CtgTan(181

e) )CtgTan(91

46. En un sector circular, cuyo ángulo central es , estáinscrito un cuadrado de lado L.El radio de la circunferencia correspondiente es:

a)21

2 52

Ctg2

Ctg2L

TRILCE

27

b)21

2 52

Ctg22

Ctg2L

c)21

2 52

Ctg42

Ctg2L

d)

2

2Ctg

2L

e)21

22

Ctg2L

47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el ladoAC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectrizde longitud w relativa al vértice B.Hallar el área del triángulo ABC.

a)

3CACos

3wb

b)

2CACos

2wb

c)

2CACos

3wb

d)

3CACos

2wb

e)

4CACos

2wb

48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC

y BCD miden 65

y 43

, respectivamente.

Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangentea los tres segmentos de la poligonal si cumple que :

m83Ctg

125Ctg y BC = n

a) mn2

b) mn

c) m2n

d) mnmn

e) nm

49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KHes el radio de la circunferencia circunscrita a un triánguloequilátero de lado 6.Hallar el radio R.

R

K N H T

S

2

L

a)

4Ctg32 b)

4Tan32

c)

3Tan32 d)

4Tan34

e)

3Ctg32

50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD conuno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyolado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DMdivide al cuadrado en un triángulo y en un trapeciocuyas áreas están en la relación de 1 : 4.Calcule la tangente del ángulo MDC.

M

A B

CD

a) 41

b) 52

c) 31

d) 43

e) 53

51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazandos circunferencias, la primera de radio r que estangente a todos los lados del polígono, y la segundade radio R que pasa por todos sus vértices.

El valor de la razón Rr

es :

a) n

Sen b) n2

Sen c) n2Sen

d) n

Sen21 e)

nCos

52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 22 ,

está inscrito en una circunferencia.

Calcular la distancia del punto Q al punto medio delarco MN.

a) 5,0 b) 1 c) 5,1

d) 2 e) 22

Trigonometría

28

53. En la siguiente figura:

A

B

Cc

r

O

La relación 2

2

cr4

es equivalente a:

a)

2Cos1 2 b) Cos1 2

c) Sen1 2 d)

2Cos1 2

e) )Sen-)(1Cos-1( 2

54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es puntomedio del lado AB.Determine Csc

A B

C D

Q

a) 2 b) 45

c) 3

d) 4 e) 52

55. En la figura, hallar "x":

k

x

a) SenkSec5 b) TankSec6

c) 7SeckCtg d) 6CoskTan

e) CoskSec5

56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP,PDC y CBO son iguales.Luego Csc es:

A B

C D

O

P

a) 536 b) 35

6

c) 536 d) 53

6

e) 536

57. En la figura hallar el valor de "h" en función de , y

. Si : c , A , B

h

A B

C

D

a)

CtgCtg b)

TanTan

c) SenSen

Send)

CtgCtg

e)

SenCos

58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y elcateto BA forman un ángulo agudo . Entonces, Tges:

a) 2 TanA b) 2 CtgAc) 2TanC d) TanA + TgCe) 2(TanC + CtgA)

59. En la semicircunferencia mostrada, halle:

2Sen2SenK

1

3

A B

C

Q

O

P

a) 2 b) 3 c) 4

d) 41

e) 31

TRILCE

29

60. Del gráfico, hallar Tan

Si: nPB

mAP

M

A

O B

P N

a) )nm2(nm

b) )nm2(mn

c) )mn2(mn d) mn2

nm2

e) nm2mn2

Trigonometría

30

Claves Claves

b

a

c

c

b

d

a

a

a

d

c

c

d

b

b

c

c

c

c

a

b

e

b

c

d

c

d

c

d

e

a

a

c

b

d

b

e

b

b

d

c

d

c

a

c

b

b

b

b

b

e

b

e

b

b

d

a

a

c

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

31

ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos deelevación y ángulos de depresión.(ver gráficos).

Línea Horizontal

Línea Visual

h

: Ángulo de Elevación

H

Línea Horizontal

Línea Visual

: Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Noteque deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja.Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales.

ÁNGULOS HORIZONTALES

Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :

Dirección

Direcci

ón

Dirección

AB

C

P

Referencia

Oeste (O) Este (E)

Norte (N)

Sur (S)

42º

40º 30º

Note que dichas direcciones en este caso para A;B y C; forman con los ejes principales ciertosángulos; con quienes se van a denotar dichasdirecciones.Por ejemplo:

"A" se halla el E30ºN de "P""B" se halla al O40ºN de "P""C" se halla al S42ºO de "P"

CapítuloÁNGULOS VERTICALES

ÁNGULOS HORIZONTALES3

Trigonometría

32

Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se vana denotar dichas direcciones.Por ejemplo:

"A" se halla el E30ºN de "P" ."B" se halla al O40ºN de "P" ."C" se halla al S42ºO de "P" .

30º 66º

24º

10º

QN

P

EO

S

S

R

R"" de NE66ºal Está

R"" deE N24ºal EstáP

R"" de al Está

R"" de NO30ºal EstáQ

R"" de al Está

R"" deE S10ºal EstáS

Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejesprincipales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y ustedconcluye los restantes por analogía.

E E

EE

O O

OO

S S

S S

N N

N N

NE41N

NNEN

41NE

NE

E41NE

ENE

NE41E

En cualquiera de los casos : '15º11 ó rad16

TRILCE

33

SITUACIONES COMBINADASCuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si luego nos desplazamos

hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería " ". Ahora, note larepresentación gráfica:

60ºN60ºE

Trigonometría

34


01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificiocon ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,determinar la altura de edificio.

a) 3 m b) 12 c) 15d) 18 e) 24

02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de unposte con un ángulo de elevación de 45º. Si la alturadel poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla lapersona?

a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 32

03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.¿Cuál es la altura de la torre?

a) 24 b) 36 c) 32d) 42 e) 48

04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si la altura delposte es de 30 m. ¿A qué distancia del poste seencuentra el punto de observación?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la partealta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulosde elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la partealta y baja un poste con ángulos de elevación ydepresión 60º y 30º respectivamente. Determine laaltura del poste.

a) 15 m b) 24 c) 30d) 36 e) 48

07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A quédistancia de la torre se halla el punto de observación, sila altura de la torre es 7 m?

a) 14 b) 28 c) 56d) 21 e) N.A.

08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamosuna distancia igual a la altura del poste, el ángulo deelevación es " ". Calcular: "Tg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve suparte más alta con un ángulo de elevación de 53º.Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo deelevación para su parte más alta es " ". Calcular:"Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10. Una hormiga observa la copa de un árbol con unángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m yobserva el mismo punto con un ángulo de elevaciónde 53º. Calcular la altura del árbol.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo altode un poste con ángulos de elevación 53º y

52Tg . Si el poste se encuentra entre los dos

puntos. Determine su altura.

a) 12 m b) 16 c) 18d) 9 e) 11

12. Se observa un poste con ángulo de elevación " " nosacercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si laaltura de poste es "2 L". Determinar: Tg .

a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 1/2 e) 3/2

13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa unautomóvil con ángulo con ángulo de depresión " "

31Tg . Luego se observa una señal más cerca del

edificio con ángulo de depresión 45º. Determine ladistancia entre la señal y el automóvil.

a) 12 m b) 18 c) 24d) 36 e) 10

14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 45º, y desde otro puntoubicado en la mitad de la distancia que hay entre elprimer punto y el poste, el ángulo de elevación es " ".Calcular: "Tg ".

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación " "(Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la

altura de la torre, el ángulo de elevación es " ".

TRILCE

35

Calcular: "Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

16. Desde las partes superiores del primero, segundo ytercer piso de un edificio se observa lo alto de otro

edificio con ángulos de elevación , , , respectiva-

mente. Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisostiene el segundo edificio?

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40

17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un puntoen tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuántomide cada piso del edificio, si el punto observado sehalla a 24 m del mismo?

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4

18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 mde altura, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación de 53º. Señale la distancia de un punto a labase del edificio.

a) 20 b) 21 c) 35d) 32 e) 49

19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 mde altura se observa que el ángulo de depresión de unbote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta elbarco.

a) 48 b) 48 3 c) 12

d) 24 e) 6 3

20. Desde el pie de un poste se observa la parte más altade una torre con un ángulo de elevación de 45º, elmismo punto es observado desde la parte más alta delposte con un ángulo de elevación de 37º. Calcular lalongitud del poste si la distancia entre el poste y la torrees de 120 m.

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40

21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con

un ángulo de elevación " " )61Tan( ; y si nos

acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.

¿Cuál es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 md) 8 m e) 12 m

22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidadde 4 m/min; y en un primer momento, observa su partemás alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torremide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo deelevación tiene como tangente 8?

a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 mind) 1h 18 min e) 58 min

23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulode elevación , y su padre observa sus pies con un

ángulo de depresión )º90( .

Obtener la relación entre sus alturas.

a) 2Tan1 b) 2Tan1c) 2Cot1 d) 2Cot1

e) 1Tan2

24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" ", respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?

a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m

25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo " "respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torrecon un ángulo de elevación " 2 "; verificándose que latorre mide 3 m y la visual 7 m.¿Cuál es el valor de " Tan "?

a) 73

b 76

c) 143

d) 74

e) 72

26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de unatorre de 24 m de altura, se ve su parte más alta conángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?

a) 32 m b) 36 m c) 56 md) 48 m e) 40 m

27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,se divisa su parte más alta con ángulos de elevación" " y " º90 ", respectivamente. Si la distancia entrelos puntos de observación es el doble de la altura delposte, calcular: CotTanP

a) 3 b) 32 c) 6d) 62 e) 23

Trigonometría

36

28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observadora 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre esaproximadamente.

a) 72 m b) m373 c) 71 m

d) 73 m e) m372

29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de laparte más alta de un campanario es 45º. Desde la partesuperior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo deelevación es de 30º.¿Cuál es la altura del campanario?

a) 239

b) 21

27

c) 13

35

d) 13

39

e) 13

39

30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, lamisma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay unhombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m dealtura, el hombre la observa con un ángulo respectoa la horizontal.¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometapara que sea observada por el hombre con un ángulo

2 ?

Considere : 31Tg

a) 23637

b) 171285

c) 131080

d) 191561

e) 13637

31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En undeterminado instante, el faro es observado por el

tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de

12

. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,,

encontrando esta vez un ángulo de 6

.

Encuentre la altura del faro (desprecie la altura deltripulante que hizo la observación)

a) 10 m b) 15 m c) 12 md) 14 m e) 18 m

32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvilcon un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvilse desplaza con velocidad constante. Luego que avanza28 m acercándose al edificio es observado con unángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición

tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular lavelocidad del automovil.a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/sd) 12 m/s e) 4 m/s

33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierracon un ángulo de depresión de 30º. Dos minutosdespués, estando sobre la señal, el piloto observa auna distancia de 1000 metros un aerostato con unángulo de elevación de 60º.¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?

a) km32 b) km35,2 c) km33

d) km35,3 e) km34

34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y enel mismo sentido. En la primera observación desde elbarco se ve al avión adelante con un ángulo deelevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.En la segunda observación se le ve con un ángulo de37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.Calcular la cotangente del ángulo con la que el aviónen la segunda posición observa la boya.

a) 1217

b) 1115

c) 1711

d) 43

e) 75

35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.Desde uno de ellos se observa el extremo superior deun poste con un ángulo de elevación y desde otropunto se observa el punto medio del poste con un

ángulo de elevación . Si la suma de las distancias delposte a cada uno de los puntos es d, calcular la alturadel poste.

a) dTan2dTan b) CtgCtg2d2

c) dCtgdCtg2 d) TanTan2d2

e) )Tan2Tan(d

36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de una hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.

a) 85

b) 167

c) 803

d) 409

e) 2513

TRILCE

37

37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca yobserva los ojos de su padre; de estatura "H", con unángulo de elevación " " y sus pies con un ángulo dedepresión " ". Si el padre divisa los pies de su hijocon un ángulo de depresión " ".

Hallar: hH

a)

TanTanTanTan

b)

TanTanTanTan

c)

TanTanTanTan

d)

TanTanTanTan

e)

TanTanTanTan

38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de9, se ve un momento de menor altura, con un ángulode elevación "x", su parte más alta y un ángulo dedepresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, latangente del ángulo de depresión con la que se ve labase del monumento, es sextuplo de la tangente delángulo con que se ve la parte más alta.Calcular: E = 4Coty · Tanx

a) 2 b) 4 c) 5d) 8 e) 6

39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,a un mismo lado, con ángulos de depresión , 45º y

º90 )º45( . Si el punto intermedio dista delmás alejado, el doble del más cercano, calcular:

2CotTan6N

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

40. Un poste, una persona y una torre están ubicados delmodo que se mencionan y sus alturas están en laproporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa loalto de la persona con un ángulo de depresión " ";mientras que la persona divisa lo alto de la torre con unángulo de elevación , desde lo alto de la torre se vela base del poste con un ángulo de depresión " ". Sise verifica que:

nCotmCotCotCalcular: K = m + 2n

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos enla superficie horizontal A, B y C, perfectamentealineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de

elevación , y respectivamente. Si BP es bisectriz

del ángulo CPA que mide 60º, calcular:

TanTanTanJ

a) 2 b) 32 c) 3

d) 3 e) 33

42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros dealtura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros dealtura con ángulos de depresión y )º90( , si estosestán al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.Calcular: " Tan ", si además desde la parte más alta delárbol más pequeño, se observa la parte más alta delárbol de 4 metros con un ángulo de elevación de

)º90(

a) 4 21

b) 21

c) 4 2

d) 2 e) 22

43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barcopermanece inmóvil; pero el helicóptero avanza ciertadistancia hacia el Este. Desde el barco se observa alhelicóptero en la segunda posición con un ángulo deelevación " ". Si el ángulo de elevación en la primeraposición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular" ", si además el helicóptero se encuentra a una alturade km2 .

a) 21ArcTan b) 3

1ArcTan

c) 43ArcTan d) 30º

e) 45º

44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un

poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de

elevación , y respectivamente.

Si : yCQB xBQA Señale el equivalente de:

22 CotCot

CosyCotCosxCotJ

a) Tan b) Tan2 c) Cot2

d) Cot21

e) Tan21

45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a

m218 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio

en la dirección E37ºS.Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,si Lucio se encuentra al Este de Luciano.

Trigonometría

38

a) 41 m b) 40 m c) 24 md) 18 m e) 42 m

46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a unadistancia de 173 km.¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?

a) 100 km b) 200 km c) 150 kmd) 273 km e) 300 km

47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ánguloformado por las direcciones N20ºE y S80ºO?

a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºOd) N40ºO e) N50ºO

48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO

y S41SO con la bisectriz de SE y S

41SE

a) 50º b) 78º45' c) 77ºd) 67º30' e) 90º

49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?

a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m

50. Una persona camina 25 (aprox.) al norte de su casa,luego 13 m en la dirección ES , si ahora se encuentraen la dirección NE de su casa.Hallar: Csc

a) 513

b) 17

213c) 13

17

d) 13

210e) 17

13

51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte deuna torre, se observa la parte más alta de ésta con

ángulos de elevación y , respectivamente; y desdeel punto medio de AB, el ángulo de elevación es " ".

Calcular: CotTan

a) 23

b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevaciónque tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerdamide "a" metros. El ángulo de elevación del globo quesostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerdamide 2a metros.¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?

a) )21( a metros b) )22( a metros

c) 5a2 a metros d) 5a a metros

e) a)52( metros

53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo deelevación " " y sus pies con un ángulo de depresión" "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"

con un ángulo de depresión " ". Sabiendo que lasestaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"respectivamente, señale el equivalente de:

Hh

hHJ

a)

2Cot

CotCotb)

CotCotCot2

c)

Cot

CotCotd)

CotCot

Cot

e)

TanTanTan

54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos

una distancia " 1d " y el ángulo de elevación es de 40º;

y si nos desplazamos una distancia " 2d " hastaubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevaciónes de 20º.

Calcular: 2

1d

d

(Sug. Cos10º = 0,9848)

a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321d) 0,957 e) 0,352

55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo" " notando que sus visuales son iguales. Se acercauna distancia igual a las dos terceras partes de ladistancia que inicialmente lo separaba del poste y divisaa éste. ahora bajo un ángulo " ".Calcular "n" en la igualdad.

2Sen

2nSen

SenSen

2

2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TRILCE

39

56. Una persona camina, por un camino inclinado queforma un ángulo "x" con la horizontal y observa la partesuperior de una torre con un ángulo de inclinación"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces laaltura de la torre, observa nuevamente su parte superiorcon un ángulo de elevación de "3x".Calcular: E = Cscx - 15

a) 10 b) 20 c) 12d) 15 e) 25

57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados enlados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un puntode la torre con un ángulo de elevación " "; notándoseque la distancia de dicho punto observado a lo alto dela torre es igual a la visual trazada para dichaobservación; mientras que, desde "B", se divisa un puntoubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulode elevación " " . Notándose que la visual trazada esigual a la distancia del nuevo punto observado a lo altode la torre, hallar la altura de la torre.

a)

TanTan)1Tan)(1Tan(

b)

SenSen

)1Sen)(1Sen(

c)

SenSen)Sen1)(Sen1(

d)

CosCos)1Cos)(1Cos(

e)

TanTan)1Tan)(1Tan(

58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, Cy D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)

con ángulos de elevación , , y respectiva-mente.Si: º10DQCCQBBQA y

173648,0º10Sen .

Calcular:

TanTan

TanTan

TanTanTanTanJ

a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124d) 2,5783 e) 2,8794

59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de unatorre, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos alS30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamossu parte más alta con un ángulo de elevación " ".Calcular: Tan

a) 31

b) 32

c) 43

d) 23

e) 41

60.Un reflector situado al ras del suelo i lumina unmonumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos elreflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajoun ángulo de 45º.¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es sudistancia (x) al segundo lugar de iluminación?

a)33

32x ; 33

32y

b)33

32x ; 33

32y

c)33

32x ; 33

32y

d)33

32x ; 33

32y

e) 33x ; 33y

Trigonometría

40

Claves Claves

d

a

c

d

e

b

b

c

a

b

b

b

c

a

d

b

c

e

b

d

b

e

b

b

a

e

c

b

d

c

e

b

b

a

b

c

b

e

d

c

c

c

d

e

e

b

d

b

d

b

c

d

c

a

c

d

b

e

b

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

41

Capítulo

SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR4SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR

Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano encuatro semiplanos denominados cuadrantes.

* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.

Cuadrante II Cuadrante I

Cuadrante III Cuadrante IV

y

xO (0;0)

y1

x1

y2

x2

Q( ;y )x2 2

P( ;y )x1 1

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano

Sean )y;x(P 111 y )y;x(P 222 dos puntos del

plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre

los puntos 1P y 2P está dada por:

212

212 )yy()xx(d

dP ( ;y )x1 11

P ( ;y )x2 22y2

y1

x1

x2 x

y

* Radio Vector

Es la distancia del origen de coordenadas a un punto

cualquiera del plano cartesiano.

Si: )y;x(P 00 es un punto del plano cartesiano el radio

vector se calcula así:

20

20 yxr

y0

x

y

x0

r

P( ;y )x0 0

Trigonometría

42

División de un segmento en una razón dada:

Sea )y;x(P 000 un punto cualquiera sobre un segmento de

extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 tal que:

)razón(ba

PP

PP

20

01

Las coordenadas de 0P son:

ba

byay y

ba

bxaxx 12

012

0

Punto Medio de un Segmento

Las coordenadas del punto medio M del segmento de

extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 se calcula así:

y

2

xxx

0

210

2

yy 21

Coordenadas del baricentro de un triángulo:

En el triángulo cuyos vértices son )y;x(A 11; )y;x(B 22

y

)y;x(C 33, las coordenadas del baricentro están dadas por:

3

yyy ;

3

xxxG 321321

G: baricentro

x

y

a

b

P ( ;y )x0 00

P ( ;y )x1 11

P ( ;y )x2 22

x

y

M( ;y )x0 0

P ( ;y )1 1 1

x

P ( ;y )2 2 2x

x

y

G

A( ;y )x1 1

B( ;y )x2 2

C( ;y )x3 3

Área de una región triangular:

Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido

antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se

indica.

x

y

A( ;y )x1 1

B( ;y )x2 2

C( ;y )x3 3

S

A

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

B

yx

yx

yx

13

32

21

11

33

22

11

31

23

12

Luego :

2BAS

TRILCE

43


01. Determine el radio vector de (2,-3).

a) 5 b) 11 c) 13

d) 17 e) 19

02. Determinar el radio vector de )7,2(

a) 3 b) 10 c) 3d) 4 e) 5

03. Determinar el radio vector del punto medio delsegmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).

a) 5 b) 2 5 c) 5 2

d) 10 e) 15

04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado alunir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

05. Del gráfico, calcular: "d".

d

(3,5)

(5,2)(-11,1)

a) 37 b) 41 c) 53

d) 61 e) 82

06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y(-1,-5), determine su perímetro.

a) 60 b) 40 c) 20

d) 12 3 e) 15 2

07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasapor (2,-5), determinar su diámetro.

a) 13 b) 15 c) 26d) 30 e) 35

08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al

unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: abE

a) 2 b) 3 c) 2d) 3 e) 5

09. Determine el producto de las coordenadas del puntodel segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).

a) 6 b) -6 c) 12d) -12 e) 15

10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se formaun triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana

AM , (M en BC ).

a) 47 b) 51 c) 53

d) 57 e) 61

11. Determine las coordenadas del baricentro de untriángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)y C(7,1).

a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)d) (5,3) e) (-3,5)

12. En el gráfico, hallar "x+y":

A(-2;3)

B(10;6)

K

2K

P

a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)d) (-1,2) e) (-2,4)

13. Según el gráfico, halle "p":

2S 3S

A(1;9)

B(-2;5) C(8;10)

a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)d) (3,7) e) (4,6)

14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).Determine su área.

a) 36 2 b) 18 2 c) 24 2

d) 16 2 e) 9 2

15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) yC(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al

lado AB .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Trigonometría

44

16. Determine en el eje "x" un punto que tenga unadistancia de 5 unidades del punto (2,4).

a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)d) (6,0) e) a y c

17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),C(-2,3). Halle el punto D.

a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)d) (-2,2) e) (-5,1)

18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices deun triángulo:

a) Isósceles. b) Equilátero.c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.e) Oblicuángulo.

19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distanciahasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.

a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)d) (2,8) e) (0,-28)

20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) yB(-6,5). Hallar el valor de "a".

a) 6 b) -6 c) 0d) 1 e) -1

21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)y (1,2); determinar su centro de gravedad.

a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)d) (-1,5) e) (1,3)

22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar

su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:

)722( .

a) 2 2 b) 3 2 c) 44 2

d) 66 2 e) 81 2

23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos mediosde AC y BC respectivamente, determine el radio vectordel punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).

a) 7 b) 10 c) 2 3

d) 3 2 e) 15

24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:

xyE .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distanciaal origen es igual a 13u; sabiendo además que suordenadas tiene 7u más que su abcisa.(Dar la suma de coordenadas).

a) 17 b) 16 c) -17d) a y b e) a y c

26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendoA(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) seprolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar lascoordenadas de C.

a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)d) (14,-11) e) (-14,11)

28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y elbaricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la sumade coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice"A"?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadradoA(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área.

a) 2127 b) 2137 c) 2147

d) 281 e) 2100

30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el ejede abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)

a)

0 ;

37

b

0 ;

38

c)

0 ;

34

d)

0 ;

211

e)

0 ;

411

31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)y C(1 ; 3).Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.

a) 5 b) 7 c) 32

d) 13 e) 15

32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo sonA(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"opuesto a B.

a) 5 b) 6 c) 9d) 10 e) 12

TRILCE

45

33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hastaqué punto "C" será necesario prolongarlo para que

5BC

6AC ?

(Señale la suma de coordenadas de "C")

a) 35 b) 38 c) 42d) 23 e) 27

34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentroes G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del puntomedio de BC.

a) 3 b) 5 c) 7d) 5 e) 7

35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas delpunto M.Si: ABCD es un paralelogramo.

y

x

M

N

BC(4 ; 9)

D(6 ; 1)A( 8 ; 5)

a)

8 ;

211

b) ( 6 ; 5)

c)

5 ;

29

d) ( 6 ; 4)

e) ( 5 ; 7)

36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.

a) 235 b) 228 c) 214

d) 224 e) 240

37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ánguloCAB.

a) 10

3b)

1010

c) 55

d) 52

e) 22

38. Del gráfico, halle : 12 SS .

(10 ; 1)

(5 ; 8)

(6 ; 2)

( 3 ; 1) S2

S1

a) 210 b) 25,10 c) 26

d) 25,11 e) 212

39. Los puntos P(-4;0); )33 ; 5(Q , R(x;0) son los vérticesde un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de losvalores que indican el perímetro y el área del triánguloes:

a) 24318 b) 31818

c) 32418 d) 31212

e) 6612

40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menortiene por coordenadas (3;-2).La distancia o longitud de la base menor es:

a) 8 b) 6 c) 9d) 12 e) 10

41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntoscoordenados :A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)

PROPOSICIÓN 1:Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2entonces este cuadrilátero es semejante al original.

PROPOSICIÓN 2:Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplicanpor un mismo número, entonces este cuadrilátero essemejante al original.

PROPOSICIÓN 3:Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y lasordenadas por 3 entonces el área de este nuevocuadrilátero es 5 veces mayor que el original.

a) FVV b) FFV c) VFFd) FFF e) VVF

Trigonometría

46

42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); ) b; b(B 21,

C(3;4), )d ; d(D 21.

Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los

puntos B, P, D, Q donde ) b; d(P 21 y )d ; b(Q 21 .

a) 58 b) 29 c) 25d) 21 e) 19,5

43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son

8) ; 36( .

Hallar la distancia del baricentro de la región triangularMON al punto R.

y

x

M

30ºO N

R

a) 212 b) 21 c) 214

d) 21 e) 422

44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de untriángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro deltriángulo.

a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)

45. Sean los puntos del plano cartesiano:A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma delas longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lomenor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.

a) 961 b) 828 c) 780d) 1020 e) 605

46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y

C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CPal segmento AB, entonces las coordenadas de P son :

a)

762- 2;

7691

b)

85592 2;

855991

c)

85592- 2;

855991

d)

1362 2;

13691

e)

1362 2;

13691

47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectánguloABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el áreade la región rectangular es 2u80 , determinar la sumade las abscisas de los vértices C y D.

a) 25 b) 5126

c) 26

d) 5127

e) 5128

48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestosde un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:

a) No se puede determinar.b) 50 c) 4d) 16 e) 8

49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )C ; C(C 21 son los vértices

de un triángulo equilátero.Si C está en el segundo cuadrante, entonces

)CC(3 21 vale:

a) - 9 b) - 8 c) - 6

d) - 5 e) 32

50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto

medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:

a) 2 b) 22 c) 4

d) 24 e) 6

51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas deC es:

x

y

A(1;2) B(4;2)

C(x;y)

O

a) 4 b) 10 c) 8d) 6 e) 9

TRILCE

47

52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntosA(0 ; 0) y B(3 ; 0).

Determinar la ordenada del vértice opuesto

y;

21 C

de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al

doble de la medida del ángulo CBA.

a) 15 b) 215

c) 415

d) 615

e) 815

53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices deun rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 6DP ,

7CP y 5BP , entonces el valor de AP es:

a) 5 b) 32 c) 3

d) 4 e) 23

54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.

Calcule:1

32h

hhW

x

y

A(1;1)

C(8;2)

B(5;5)

h3

h1

h2ED

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 32

55. Del gráfico, calcule "x" si " " es máximo..

x

y

(1;1)

(3;3)

P(x;0)

a) 2 b) 22 c) 3

d) 32 e) 6

56. A partir del gráfico, calcule:

2

22

Sen

SenSenW

B(3;9)

C(5;7)

A(1;3)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 32

e) 23

57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto

"P". Si : 5

DC3

BD

S7S

A(2;0)

C(7;5)

B(3;9)

D

P

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 7

58. De todos los puntos del plano cuya suma de distanciaa los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale lasuma de coordenadas de aquel punto de ordenadamáxima.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,si las coordenadas de los vértices del triángulo formadoal unir los puntos medios de sus lados son:

)0 ; 1(AM , )3 ; 2(BM y )7 ; 6(CM

C

A

B

x

y

BM

AM

CM

a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)

Trigonometría

48

60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 21 SS

x

y

S1S2

A(-5;-5)

B(2;-1)

C(x;y)

D(-3;2)

a) 2441 b) 2

241 c) 2

221

d) 2421 e) 241

TRILCE

49

Claves Claves

c

c

c

d

e

b

c

c

d

c

c

b

b

b

d

e

a

d

a

b

c

d

b

c

e

d

a

d

b

b

d

d

b

c

a

c

e

c

c

a

a

d

a

a

a

c

e

d

e

b

b

b

b

c

e

a

b

d

a

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

51

CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL5Definiciones Previas:

I . ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALLlamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origendel sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se diceque éste pertenece a tal cuadrante.

Lado Final

Lado InicialVértice

(+)

x

y

Del gráfico :

* : es un ángulo en posición normal

* 0 ; IIC

Lado Final

Lado InicialVértice

(-)x

y

* : es un ángulo en posición normal

* 0 ; IIIC

Definición de las Razones Trigonométricas:Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )y;x(P 00 perteneciente a sulado final.

x

yP( )x ;yo o

r

xo

yo

'

Se define:

o

o

o

o

x

yTan

r

xCos

r

ySen

o

o

o

o

yrCsc

xrSec

y

xCot

* 2o

2o yxr * ' : se denomina ángulo de referencia

Trigonometría

52

Signo de las R.T. en los cuadrantes

Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto.

Cosecantey

Seno(+)

Cotangentey

Tangente(+)

positivasson

Todas(+)

Secantey

Coseno(+)

Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

radianes (grados) Sen Cos Tan Cot Sec Csc 2 0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.

2 90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1

180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.

23 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1

Nota: N.D. no definido

Ángulos Coterminales:Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.

Ejemplo:

Vértice

Lado inicial

Ladofinal

i) ii)

P( ; )x xo o

x

y

Se tiene que :* y : son coterminales

* y : son coterminales (están en P. N.)

Propiedades:Si y son coterminales se cumple que:

I. II.

- = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )

TRILCE

53


01. Del siguiente gráfico, calcular: Cot12Sen10E

x

y

(1;-3)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02. Por el punto )5;2(P pasa el lado final de un ángulo

en posición normal cuya medida es " ". Calcular:Cos .

a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4d) -4/3 e) -3/2

03. Si: 32Sen y IIIC. Calcular:

)SecTan(5E

a) -1 b) -2 c) -3d) 2 e) 3

04. Indicar el signo de cada expresión:I. Sen200ºTan240ºII. Cos120ºTan100ºIII. Sen150ºCos340º

a) +, +, + b) , , c) , +, +d) +, , e) +, , +

05. ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: 0Tan y

0Cos .

a) IC b) II c) IIICd) IV e) IC y IIC

06. De la figura, calcular: "Tan"

x

y

17

(1-x;2x)

a) 1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

07. Calcular:

270abCsc2180Cos)ba(º360Sec)ba(E

22

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

08. Si: IVCx y 06

Sen4|Cscx|

Calcular: E = Senx + 3 Cosx

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 2/3 e) 3/2

09. Si: 3,0Cos

y IIC

Calcular: SecTanE 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.

Calcular: )2

(f

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

11.Una raíz de la ecuación: 03x2x2 es un valor de

"Tan ", si: IIIC . Calcular: )CosSen(10E

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.

Calcular: )2

(f

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

13. Si: y son medidas de ángulos coterminales y se

cumple que: Tan <0 y |Cos |=-Cos . ¿A qué

cuadrante pertenece " "?

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) IC y IIC

Trigonometría

54

14. Calcular: TanSen25E , a partir de la figuramostrada:

x

y

(24;7)

(-4;-8)

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

15. Por el punto )7;2(P pasa por el final de un ánguloen posición normal cuya medida es " ". Calcular:

Csc7 .

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

16. Calcular: 1CosxSenxE

a) 0 b) 1 c) 2

d) 2 e) 2 2

17. Si: IV , determine el signo de:

CosSen)Cos1(TanE

a) + b) - c) + ó -d) - y + e) Todas son correctas

18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:

)2

(Sen3

)(Sen)6

(Cos3E

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2

19. De la figura, calcule: "Tan "

x

y

37º

a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7d) -6/7 e) -7/4

20. Del gráfico, calcule: "Tan" .

x

y

(2;-3)

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2

21. De acuerdo al gráfico calcular:

CosCos5Ky

x

(-24;7)

(-4;-3)

a) 2 b) 3 c) 4d) 2 e) 4

22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo

canónino " ".Calcular:

CotCscR

a) 0,4 b) 0,4 c) 0,6d) 0,6 e) 0,3

23. Simplificar:

2bCos

23aSen

Cos)ba(2

Sen)ba(L

2

5232

a) 2a b) 2a c) 4ad) 4a e) 4b

24. Señale los signos de:

º260Tanº300Tanº140Cosº140SenM y

º348Senº248Cosº116Tanº217Cosº160TanR

a) () No se puede precisar.b) (+) ; (+)c) (+) ; ()d) () ; ()e) () ; (+)

TRILCE

55

25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen:

I. Si: 0Cos 0Sen , entonces IV .

II. Si: 0Sec 0Tan , entonces IIIC .

III. Si: 0Cot 0Csc , entonces IIC .

a) VVF b) VVV c) VFVd) FFV e) FVV

26. Sabiendo que:

0Sen 0SecTan

¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico ?

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar.

27. Señale el cuadrante al que pertenece " " si:

TanCos

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar

28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:

I. Si: 180º ; º90 , entonces IIC .

II. Si: IIC , entonces 180º ; º90 .

III. Si: IIIC , es positivo y menor que una vuelta,

entonces 270º; º180 .

a) VVF b) VFV c) VFFd) FVV e) VVV

29. Sabiendo que: 32Tan

IICCalcular: CosSenQ

a) 131

b) 1313 c) 13

5

d) 13

135e) 13

3

30. Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa por lospuntos P(m+n; n) y Q(n;mn),

Calcular: 22 TanCotK

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

31. Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor queuna vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:

53Tan

32Cos

2SenQ

a) (+) b) () c) (+) o ()d) (+) y () e) No se puede precisar.

32. Del gráfico, calcular :

1Tan3E y

x

53º

a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2

33. Tomando 236,25 y sabiendo que:

Ctgx = - 0,5 y que IVCx .¿Cuál es el valor de Cscx?

a) 2,236 b) 2,236 c) 0,4472d) 1,118 e) 1,118

34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienenel mismo signo son:

a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3ºd) 2º y 4º e) 1º y 4º

35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayores al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendidaentre 2820º y 3100º.¿Cuál es la medida del mayor?

a) 2540º b) 2760º c) 2820ºd) 2420º e) 3000º

36. Siendo:

1301

701

281

41Sen

54

CosCos

Calcular:

Cos3Sen2K

a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 3

37. El valor numérico de la expresión:Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º

es:

a) 4 b) 12 c) 6d) 16 e) 8

Trigonometría

56

38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en elorden F. G. H.

º338Ctgº215Csc

º210Senº138Tanº285SecF 3

32

2

323

º336Tanº195Csc

º116Cosº115Ctgº260SenG

3

3

º298Secº135Tg

º128Cscº340Ctgº195SenH

a) , + , b) , , + c) , , d) + , , e) + , + , +

39. Si:

2Cos)2(Sen1)3(Cos)(f 2

Calcular:

13

f3

f

a) 2 b) 232 c) 5

d) 323 e) 2332

40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes(I, II, III, IV).

S = Ctgx + Senx - Cscx

I I I II I I Va) + + + +b) + + +c) + + d) + +e) + +

41. Determinar el signo de:

QQCtgQSecSen 453

a) ; si Q pertenece al IC.b) + ; si Q pertenece al IIC.c) + ; si Q pertenece al IIIC.d) + ; si Q pertenece al IVC.e) ; si Q pertenece al IIC.

42. Dado: 22

22

qp

qpCosx

; p > q > 0

Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.

a) 22 pq

pq2

b) 22 pq

pq2

c) 22 pq

pq2

d) 22 pq

pq2

e) 22

22

pq

pq

43. Sabiendo que: 41CosQ

270º < Q < 360ºCalcular el valor de la expresión:

CtgQ1CscQSecQ

a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50d) 4,00 e) 4,50

44. Si es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:

8Ctg1 2

Calcular: 3)Sec8(

a) 6383 b) 6383

c) 63

83

d) 633

83 e)

636386

45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrantey es tal que: 2x0 . Entonces, hallar el signo delas siguientes expresiones trigonométricas.

I.

4xsecCo

2xSen

4xTan

II.

5xCos

4x3Sec

3xCot

III.

4x3Sec

3x2Tan

3xSen

a) (+) (+) (+) b) () () ()c) (+) (+) () d) () () ()e) () () (+)

46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, enel orden dado:

325Cos

352Sen

; 322Cot

532Sen

;

1073Cot

3205Sen

a) (+) (+) () b) () (+) ()c) () (+) (+) d) () () (+)e) (+) () (+)

TRILCE

57

47. Si es un ángulo en el primero cuadrante y25,0Sen .

¿Cuál es el valor de 2CtgCsc ?

a) 15 b) 1921

c) 1519

d) 2119

e) 19

48. Si 5,1Tg , siendo un ángulo en el III cuadrante,el valor de la expresión:

)CscSec(131M es :

a) 61 b) 6

1 c) 61

d) 65 e) 6

1

49. Calcular el Coseno del ángulo del segundo

cuadrante, tal que 53Sen .

a) 54

b) 53

c) 32

d) 54 e) 3

1

50. Si 31Tan y está en el segundo cuadrante.

Hallar :

Ctg2

)Sen5Cos(3K

a) 10 b) 1010 c)

1010

d) 5102 e)

5102

51. En la figura adjunta, hallar:

TanCos15Sen5V

24

- 7 0

x

y

a) 35141

b) 729

c) 3599

d) 739

e) 41

52. Indicar la alternativa correcta para el signo de lassiguientes expresiones:I. Sen(361º) Cos(455º)

II.

43Cos

43Sen

III. )º315(Sec45 Tan

a) + ; ; + b) + ; + ; c) ; ; +d) + ; ; e) + ; + ; +

53. Sea un ángulo del tercer cuadrante.Indicar la alternativa correcta al simplificar:

CosSen11E 2

a) 2Sen2 b) 2Sen

c) 2Cos1 d) 2Sen

e) 2Cos

54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo quex es un ángulo del segundo cuadrante?

a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6c) Cosx = 0,7 d) Cosx = 0,9e) Cosx = 0,8

55. Si " " y " " son ángulos cuadrantales, positivos y

menores que una vuelta, tales que: CosCotCalcule:

Cos2

Sen2

SenCosK

a) 22 b) 12 c) 12

d) 22 e) 1

56. Si y son ángulos positivos, que no son agudos;

0Cos ; 0Tan ; )º360( Sean:

a = )(Sen

b = 2Sen

c = 2SenEntonces, son positivas.

a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.d) a. e) b y c.

Trigonometría

58

57. Si: 32

baTanx

Calcular el valor de:

ICx ; aCosx

bbSenx

aE

a)

3

3131

3131

a

b

b

a

b) ab

ba

c) 21

2

2

2

2

ab

ba

d)

23

3232

3232

a

b

b

a

e) 31

3

3

3

3

ab

ba

58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en elsegundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercercuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; peroinferior a 2

a) 24

b) 23

c) 2125

d) 283

e) Faltan datos

59. Si: IIC y

Cos3 4 2 )Sen(Sen

Calcular: SenTg

a) 1431211 b) 143

1213

c) 1431213 d) 143

129

e) 1431211

60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplode 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a lasuma del ángulo menor más el triple del mayor de losángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.

a) 1280º b) 2160º c) 3200ºd) 3210º e) 3230º

TRILCE

59

Claves Claves

b

b

a

c

d

d

e

a

e

a

d

b

b

e

d

a

a

e

b

b

c

c

e

d

a

b

d

b

b

c

b

c

e

a

b

d

c

a

c

c

c

b

d

e

c

b

e

a

d

b

d

e

d

e

a

e

d

d

c

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

61

Capítulo

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE6OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo

previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.

* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn ; 2

n.T.R

* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º

CASOS

I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :

).(T.RCo22090

R

).(T.R360180

R)(RT

Donde el signo )( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " "

Por ejemplo; calculemos:

*23º30Cos)30º90(Senº120Sen

)(

* 21º60Cos)º60º180(Cosº120Cos

)(

* 3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan)(

* 2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc)(

* ) (Senº170Sen

* ) (Cosº200Cos

* ) (Tanº260Tan

* ) (Senº320Sen

II . Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º q

Residuo

Trigonometría

62

Por ejemplo, calculemos:

*23º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1

2580º 360º2520º 7

60º

3285º 360º3240º 9

45º

* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2

1200º 360º1080º 3

120º

( )

* Sen 3180º =

Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:

*

133 4132 33

1

127 6126 21

1

12

1Sen2

Sen133 21

31Cos

3127Cos

*

Es decir, si fuese: 2ba ; ba.T.R

Se divide: a 2bq

r este residuo reemplaza al numerador "a"

*

1315 851 164

353

13453

1345Sen *4

3Tan4

1315Tan

III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx


*22º45Sen)º45(Sen * 2

1º60Cos)º60(Cos

* 3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan)(

* Cos (- 200º) =

IV. Ángulos relacionados:1.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180ºyx : Si

2.

TRILCE

63

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360ºyx : Si


76Cos

75Cos

74Cos

73Cos

72Cos

7CosC

En esta expresión note que:

76Cos

7Cos

76

7

75Cos

72Cos

75

72

74Cos

73Cos

74

73

Luego:

76Cos

75Cos

74Cos

74Cos

75Cos

76Cos C

Reduciendo, quedaría C = 0

Trigonometría

64


01. Señale el valor de: Sen120º

a) 1/2 b) -1/2 c) 23

d) 23 e)

22

02. Hallar: Cos330º

a) 1/2 b) -1/2 c) 23

d) 23 e)

22

03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º

a) 46

b) 46 c)

66

d) 66 e)

42

04. Hallar el valor de: Sen1680º

a) 1 b) -1 c) 1/2

d) -1/2 e)23

05. Determinar el valor de: Cos1200º

a) 1 b) 0 c) 1/2

d) -1/2 e) 23

06. Hallar: )º45(Tg)º60(CosE

a) 1/2 b) -1/2 c) 0d) 1 e) 2

07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)

a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6d) 0 e) 1

08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x)

a) Cosx b) -Cosx c) Senxd) -Senx e) -Secx

09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x)

a) -Senx b) Senx c) Cosxd) -Cosx e) Cscx

10. Determina el equivalente de: 2

].32]Sen

a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2

11. Hallar el valor de: Cos1741

a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2

12. Hallar: 3.17Tg

a) 1 b) -1 c) 3

d) 3 e) 33

13. Del gráfico, calcule: Tg

A

C

BM

45º

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 3/4

14. Del gráfico, hallar: Tg

A

C

B37ºD

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7d) -3/7 e) -4/7

15. Hallar el equivalente de:

)º90x(Cos)º180x(SenM

a) 1 b) -1 c) Tgxd) Ctgx e) -Tgx

TRILCE

65

16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;x es agudoCalcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)

a) 25

b) 25 c)

613

d) 613 e)

55

17. Reducir:

)xº180(Cot)xº360(Sec)xº180(Cos)xº270(Csc)xº180(Tan)xº90(SenA

a) 1 b) 1 c) xTan2

d) xCot2 e) xTan2

18. Simplificar:

)(Tan2

3Sec)2(Cot)(SenC

a) 2Tan b) 2Tan c) 2Ctg

d) 2Ctg e) 1

19. Simplificar:

x

23Cos)x(Tan

x2

3Tan)x(SenC

a) Cotx b) xCot2 c) xCot2

d) - Cotx e) xCot3

20. Si : 2A0

Evaluar:

A

23 Tan)A(CosA

2 SenF

)A(Csc)A2(CtgA2

Sec

a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscAd) 2CscA e) 2SecA

21. Calcular:

º240Tan31º315Tan41º120Sec2M

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2

22. Calcular:

º300Cosº210Cosº150Tanº240Senº135SenC

a) 36

b) 36 c)

362

d) 3

62 e) 32

23. Calcular:

1º4920Cos2)1º3383Sen2)(1º3000Sec2(U

a) 21

b) 21 c) 4

1

d) 41 e)

43

24. Marque Ud. la afirmación correcta:

a) Sen ( 750º) = 0,5

b) 35,0)º1110(Cos

c)3

3)º1830(Tan

d) 3)º3270(Ctg e) + Sen2534º = Cos14º

25. Hallar el valor numérico de:

º225Ctgº330Tanº780Tan

º780Senº330Tanº225SenF222

222

a) 1231

b) 2033

c) 441

d) 2033 e) 12

31

26. Simplificar las expresiones:

)(Sen)º360(Sen

)º180(Cos)(Cosa

Sen)º90(Cos

)(Cos)º90(Senb

a) a = 0 y b = 2b) a = 1 y b = 2c) a = 2 y b = 2d) a = 0 y b = 0e) a = 1 y b = 2

27. Si: x + y = 180º y + z = 270ºCalcule el valor de:

CtgzTany

SenySenxJ

Trigonometría

66

a) 1 b) 0 c) - 3d) 2 e) - 5

28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yxHallar: Ctgx

a) 12 b) 21 c) 2

12

d) 2

21 e) 12

29. Simplificar la expresión:

)º360(Tan)º450(Sen)º540(Cos)º2160(Tan)º90(Cos)º180(SenE

Sabiendo que : 2Sec2 Entonces E es igual a :

a) 2 b) 1 c) 1d) 2 e) 0

30. El valor de la expresión:

2Csc)(Sec)2(Ctg

6Tan)(Cos

23Sen

E

Cuando : 6 es:

a) 1 b) 1 c) 0d) 2 e) 2

31. Calcular el valor de:Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º

a) 21

b) 0 c) 23

d) 1 e) 43

32. Calcular: términos20

3029Cos...

303Cos

302Cos

30CosT

a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2

33. El valor de la siguiente expresión:

127Cos

12Sen

12Cos

127Sen

Es igual a:

a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2

34. Simplificar:

)9(Ctg)7(Csc)5(Cos2

9Sec2

7Sen2

5TanK

a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2

35. En un triángulo ABC se cumple:Sen (B + C) = CosC

Dicho triángulo es :

a) Escaleno b) Rectánguloc) Isósceles d) Acutánguloe) Equilátero

36. En un triángulo ABC, se cumple que:Cos (A + B) = CosC

Entonces el valor de A + B es :

a) 4

b) 3

c) 32

d) 6

e) 2

37. Calcular:BSenACos 22

Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.

a) 1 b) 21 c) 0

d) 21

e) 1

38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:

)B3A4(Tan)BA2(Cos)B3A2(Tan)B2A(SenE

Se obtiene:

a) 3 b) 2 c) 2

d) 1 e) 1

39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientesproposiciones se cumplen:I. SenA = Sen(B+C)II. CosA = Cos(B+C)III. SenB = -Sen(A+2B+C)

a) VVV b) VFV c) VFFd) FVF e) FFF

40. Si : 2

cba y Sen(a + b) = - Senc

¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero?

a) 04

c42Cos

TRILCE

67

b) 04

c4Cos

c) 02

c4Cos

d) 04

c4Cos

e) 0)c4(Cos

41. Calcule el valor de:

4175Sec

437TanR

a) 21 b) 22 c) 2

d) 2 e) 21

42. El valor que asume la expresión:

6Csc)(Sec

23Ctg

)(Tan)2(Cos2

Sen

Cuando : 3 es:

a) 13

133 b)

13331

c) 3

133 d)

3133

e) 3

331

43. Sabiendo que:

12

77Cos2

55Senm

Calcular:

CtgTanEen términos de m.

a) 2m b) 2m c) 2md) m e) m

44. Si : º1035º360)k1( , ZkEl valor de : )º5,22(Sen será:

a) 232 b)

232

c) 2

22 d) 2

22

e) 2

22

45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que:

04

b2a36Ctg8

b3a2Tan

a) 21

b) 31

c) 41

d) 51

e) 61

46. Si : SenA 2CosA = 0Entonces el valor de:

)Aº180(Cos)Aº180(Csc)Aº360(Sen)Aº270(Ctg)Aº180(Sec)Aº90(TanE

es:

a) 5 b) 5 c) 45

d) 45 e) 4

47. Hallar sabiendo que está en el tercer cuadrante, espositivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltasy:

11SenCos

a) 2275

b) 2273

c) 2271

d) 2269

e) 2267

48. Si es la medida de un ángulo agudo tal que:

Senº1996CosCalcular el valor de:

15Sen15CscE

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

49. Sabiendo que:

Zk ; 2

kTanM

Zn ; (-1)n CscN n

Calcular: MN

NME22

a) SenTan b) SenTanc) CosCtg d) CosCtg

e) 1

Trigonometría

68

50. Del gráfico.

xab

y

Determinar:

CosbCosa6

baCos6

SenbSena3

baSen3K

a) 21 b) 3

1 c) 41

d) 21

e) 31

51. Sabiendo que:

56

2n

n Cotx2)x)1(!n(Tan

Donde: ICxCalcule: W = Secx . Tanx

a) 32 b) 6 c) 23

d) 62 e) 66

52. Si : ABCD: cuadrado

Calcule: TanTanW

26º30'

P

B C

A D

N

M

a) 2 b) 1 c) - 2

d) 1 e) 23

53. Del gráfico calcule:

55Cot3W Si: OA = OB

A

BO

23

4

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

54. Del gráfico, hallar " Cot " en función de " ".Si: AB = BC

B

C

A x

y

a) 1Tan b) 1Tan c) 1Tan d) 1Cot e) 1Cot

55. Del gráfico, calcule: Cos

r

R

a) R2r

b) R2r c) r2

R

d) r2R e) r4

R

56. En un triángulo ABC, se sabe que:

SenC)CB(Cos2)BA(Sen Calcular:

C4SenB4SenA4Sen1A2CosC2CosB2Cos1W

a) 1 b) 2 c) 4

d) 1 e) 21

TRILCE

69

57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo " " que cumple:

Cos72Sen

Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.

a) 1497

b) 14101

c) 14103

d) 1495

e) 1499

58. De acuerdo al gráfico, calcule:

6Tan

43Cos

32Sen

K

y

x

a) 12

6b)

123

c) 12

6

d) 12

3 e) 66

59. Reduzca:

279Cos5)82(Sen4

257Cot3)57(Tan2

G

a) Sec95

b) Sec91

c) Sec5

d) Csc e) Csc92

60. Señale el signo de cada una de las expresiones:

1112Tan1

736Cos

720Sen

R

821Cot

727Csc

825SenH

59Sec

944CscG

a) (+) ; () ; () b) (+) ; () ; (+)c) (+) ; (+) ; (+) d) () ; () ; (+)e) () ; (+) ; (+)

Trigonometría

70

Claves Claves

c

c

c

e

d

b

e

b

a

a

b

d

d

d

b

d

e

d

b

d

d

b

a

c

c

c

d

e

b

d

b

a

a

c

b

e

e

e

b

b

e

a

e

d

c

a

a

b

a

a

b

d

b

e

b

b

d

c

c

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

71

Capítulo

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA7CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

DEFINICIÓN

Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad delsistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos:

A (1; 0) : origen de arcos

B (0; 1) : origen de complementos de arcos

A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos

B' (0; -1) : anónimo

El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signoasociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:

: es un arco positivo (sentido antihorario)

: es un arco negativo

(sentido horario)

Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichosarcos se denominarán arcos en posición nomal.

Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple quenuméricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo centralcorrespondiente, en radianes.

En el sector circular AOM; por longitud de un arco:

AOM = rad , esto es:

AOM (en rad) = AM (numéricamente)

Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor,

pero expresado en radianes.

y

B

xAA'

B'

R=1

C.T.

1

x + y =12 2

O

y

x

MB

A' A

B'

N

1

O

y

x

C.T.

A'O 1

A

M

N

1

rad

rad

B

B'

Trigonometría

72

Así mismo, podemos establecer: R.T. ( rad) = R.T. ( ) ; R

Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo

cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.

Es decir; por ejemplo:

Sen 2 = Sen 2 rad

Tan 3 = Tan 3 rad

Cos (-1) = Cos (-1 rad)

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométricade un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estasR.T., así como su comportamiento.Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos.

a) Para arcos representados por números enteros:

x

y

O

C.T.

1,57=2

3,14=

2 =6,28O

4,71=32

1

y

x

12

3

4 5

6

b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( Zn )

2n

2)1n2(

2)3n4(:'B

2)1n4(:B

n)1n2(:'A

n2:A

I. Línea Seno.-

Representación: Variación :

2

0

2

2

3

2

23

Sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0

Esto es:

1Sen1 ; R

1:mínimo

1:máximoSen

y

x

A; 0; 2 ; 4 ; ...

B':

A'..., 3

32

22

; ; ; ....

B: 2

2

2

; ; ; ....

y

x

M

N

A' A

B

B'

-1

1

C.T.

(+)

(-)(-)

Sen

(+)Sen

TRILCE

73

II. Línea Coseno-


2

0

2

2

3

2

23

Cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1

Esto es:

1Cos1 ; R

1:mínimo

1:máximoCos

Observación:

Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus

propias componentes:

Por ejemplo, para "M" se nota que:

abscisa = Cos

ordenada = Sen

Luego:

M = (Cos ; Sen )

De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen )

III. Línea Tangente.-


2

0

2

2

3

2

23

Tan 0 0 0 0

Esto es:

< Tan <

No hay máximo, ni mínimo

(-)Cos

(+)Cos

x

y

M

N

B'

B

AA'

C.T.

1

-1

(-) (+)

y

x

MN

A' A

B'

B

Cos

Cos

SenSenSen

Cos

C.T.

T

P

A'

C.T.B' N

B

y

x

(+)

(-)

A

Tan

Tan M

O

Consideración:La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para

todo arco de la forma: Zn ; 2

)1n2(

Trigonometría

74


01. Poner el signo en:I. Cos80º ( ) Cos 100ºII. Cos200º ( ) Cos 300ºIII. Cosx ( ) Cos(x+20º)x ; agudo

a) < ; < ; > b) > ; > ; <c) > ; < ; > d) > ; < ; =e) < ; > ; <

02. Poner el signo > ; < o = en:I. Sen20º ( ) Sen80ºII. Cos10º ( ) Cos40ºIII. Sen200º ( ) Sen300º

a) > ; > ; < b) < ; < ; <c) > ; > ; > d) < ; > ; >e) > ; < ; <

03. Indicar con "V" lo verdadero y con "F" lo falso:I. Tg50º > Tg200ºII. Tg100º > Tg300ºIII. Tg135º = Tg315º

a) VVV b) VFV c) FFVd) FVF e) FFF

04. Determine el área de la región sombreada en la C.T.

A’ AO

B

B’

y

x

a) Sen b) -Cos c) Sen /2

d) -Cos e) -Cos /2


A’ AO

B

B’

y

x

a) 2Sen b) 2

Cos c) 2Cos

d) 2Sen

e) 2Cos.Sen


A’ AO

B

B’

y

x

L

a) Tg b) 2Tg

c) -Tg

d) 2Tg

e) -Tg2

07. Determine la variación de: 1Sen4E

a) ]3;3[ b) ]4;4[ c) ]5;3[

d) ]3;5[ e) ]5;2[

08. Determine la variación de: 3Cos2A 2

a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5]d) [-1,3] e) [-3,3]

09. Sabiendo que IIC .¿Cuál es la variación de :

?1Sen3L

a) 2; 0 b) 2; 1 c) 3 ; 0

d) 1 ; 1 e) 2; 4

10. Sabiendo que IIIC ; sabiendo la variación de:

1Cos2L

a) 3 ; 1 b) 3 ; 1 c) 1 ; 1

d) 3 ; 0 e) 2; 2

11. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de:

Sen|Cos|3Sen2) , , (f 2

Siendo , y independientes entre sí.

a) 0 b) 4 c) 8d) 8 e) 12

TRILCE

75

12. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.y

x

C.T.

150º

a) 2

41

43

b)

2 34

1

c) 2

21

6

d)

2 21

2

e) 2

21

3

13. Sabiendo que: 4

; 4

x ; señale la variación de:

1xTan3L 2

a) 1 ; 0 b) 1 ; 0 c) 4 ; 1

d) 4 ; 1 e) 4 ; 2

14. Sabiendo que: 2x¿Cuál es la variación de :

?12xCos3L

a) 2; 4 b) 2; 4 c) 1 ; 4

d) 1 ; 4 e) 1 ; 4

15. Siendo 245 ;

8x

Señale la variación de:

14

x2Sen2

4L

a) 2; 1 b) 4 ; 1 c) 4 ; 2

d) 6 ; 3 e) 8 ; 4

16. Sabiendo que

87 ;

2417x

Señale la variación de:

312

x2Cos4L

a) 3 ; 1 b) 3 ; 1 c) 5 ; 1

d) 3 ; 3 e) 6 ; 3

17. Señale Verdadero (V) o falso (F), según correspondaen:

I. Si:2

xx0 21 21 TanxTanx

II. Si: 21 xx

2 21 TanxTanx

III. Si: 2xx2

321 21 TanxTanx

a) VVV b) VVF c) FFVd) VFV e) VFF

18. Hallar todos los valores que debe tomar "K" para que laigualdad no se verifique:

53K2Sec

a) 4K 1K b) 4K1 c) 4K1 d) 4K1K e) 4K1K

19. En la C.T. calcular un valor de:

CosSenKy

x

L : y-2x+1=01x +y =12 2

a) 53

b) 54

c) 57

d) 51

e) 1

20. Sabiendo que: 1235x

1211

Señale la variación de;

182

xCos4C

a) [ 3 ; 2] b) [ 3 ; 3] c) [ 2 ; 3]d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]

21. Si:2 ;

2 ; 2

Calcular la suma del máximo y mínimo valor de :

Sen4Cos3Sen2E

Trigonometría

76

a) 1 b) 2 c) 0d) 1 e) 2

22. De las cuatro proposiciones, indicar dos que sonimposibles:

I. 2xSen3 2

II. mn2Cosx)nm( 22 , Rnm

III. 2222 nmCscx)nm( ; 0nm

IV. 3Secx

a) I y II b) I y III c) II y IVd) II , III e) III , IV

23. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los siguientesenunciados:I. La función Seno y Coseno son negativos en el ter-

cer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.II. No existe función trigonométrica alguna de un án-

gulo del segundo cuadrante que sea positivo y au-mente a medida que el ángulo crece.

III. Sólo existe una función que puede tomar el valorde 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.

a) FFF b) VFF c) VFVd) VVV e) VVF

24. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) El Seno aumenta.b) El Coseno aumenta.c) El Cosecante aumenta.d) La Secante disminuye.e) La Cotangente aumenta.

25. En un círculo trigonométrico se tiene:

21 xx

2De las siguientes proposiciones:

I. 21 SenxSenx

II.12 CosxCosx

III. 12 CosxCosx

Es o son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) Sólo I y IIe) Las 3 son correctas

26. En la circunferencia trigonométrica, se pide indicar el

valor de DBOC , en función del ángulo " "

O

A

B

C

D

a) TanSec b) TanSec

c)

SenCos1

d)

SenCos1

e) CscSec

27. En el círculo trigonométrico, calcular el área de la regiónsombreada.

O

a) )1CosSen(21

b) )1CosSen(21

c) )CosSen1(21

d) )Cos21(21

e) )Sen21(21

28. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjunto enfunción de " "

O

B

Q

a) Sen1 b) Sen1

c) )Sen1(2 d) )Sen1(2

e) )Cos1(2

TRILCE

77

29. Evaluar:

)k(Tan)k(Cos)k(Sen k: número entero no negativo.

a) 1 b) 2 c) 1

d) k)1( e) 1

30. Si es un arco del segundo cuadrante, positivo menorque una vuelta.Hallar la extensión de:

)(Cos

Si : 46

a) 21)(Cos

21

b) 21)(Cos1

c)21)(Cos

22

d)23)(Cos1

e)22)(Cos

23

31. De las siguientes proposiciones:

I. Si : 0xx2 21 entonces:

21 xSenxSen

II. Si : 0xx2 21 entonces:

12 SenxSenx

III. CtgxCosxTanxSenx

Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativoen el segundo y cuarto cuadrante.Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y IIId) Sólo III e) I , II y III

32. El mínimo valor de la función:

xTgf 2)x( ;

65 ;

3x es :

a) 0 b) 31

c) 3

d) No existe mínimo f e) 1

33. Si:

3 ;

6 para que valores de "x" se cumple

que:

2x3Sen)1x( 2

a)

149 ;

914

b)

139 ;

913

c)

169 ;

916

d)

119 ;

911

e)

109 ;

910

34. En la figura mostrada, halle el área de la regióntriangular OQP.

y

xOQ

P

(0;1)

(1;0)

a) 4CosSen b) 8

CosSen

c) 16CosSen d) 2

CosSen

e) CosSen

35. En la figura siguiente, calcular el área de la regiónsombreada.

y

x

x +y =12 231

3xy

a) 2)(Cos b) 2)(Cos

21

c) 2)(Cos

31 d)

2)(Cos21

e) 2)(Cos

21

36. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área dela región sombreada.

y

xO A

B

C

D

Trigonometría

78

a) 2

Sen2 b) 2

Tan2

c) 2SenTan

d) 2

SenTan2

e) 2SenTan 2

37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirmaciones

es Verdadera para: 2

x0

y

xO A

B

C

Dx

C.T.

a) Tanx2xx2Sen

b) Tanxx2SenxCosx c) CosxxSenx d) SenxxCosx e) TanxxSenxCosx

38. Señale la variación de:

1Sen4

Tan4M 3

a) [5 ; 4] b) [4 ; 5] c) [3 ; 3]d) [6 ; 4] e) [3 ; 5]

39. Señale la variación de:

2SenxxSen1SenxxSenM

2

2

a)

23 ;

73

b)

43 ;

73

c)

74 ;

72

d)

1 ; 73

e)

43 ;

71

40. Señale Verdadero (V) o Falso (F), según correspondaen:

I. 2121 xx/2

; 0x ; x y

)Tanx(Sen)Tanx(Sen 21

II.2121 xx/

2 ; 0x ; x y

)Senx(Tan)Senx(Tan 21

III.2121 xx/

2 ; 0x ; x y

)Tanx(Cos)Tanx(Cos 21

a) VFV b) VVF c) FFVd) FFF e) FVF

41. En la C.T. mostrada: 2

1S

S

y

xS2S1

AA'

B

B'

a)2)1TanSec(Tan

21

b)2)1TanSec(Cos

21

c)2)1TanSec(Tan

21

d)2)1TanSec(Tan

21

e)2)1TanSec(Cos

21

42. En la C.T. mostrada: 1715

S

S

2

1

Calcular: "S"y

x

S1

AA'

B

B'

S O Q

N

S2

T

S

a) 2

715 b)

21712 c)

21714

d) 2

1716 e)

21720

TRILCE

79

43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) en:I. Cos(Sen1) < Cos(Sen2)II. Sen(Cos2) > Sen(Cos3)III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)|

a) VVF b) VFV c) FFVd) FVF e) FVV

44. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen:I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2)II. Sec(Cos1) > Sec(Cos2)

III Si : TanSec2

a) FFF b) FFV c) VFVd) FVF e) VVF

45. Del gráfico mostrado, hallar las coordenadas de P.

y

x

x +y =12 2

P

a)

Tan1Tan ;

Tan1Tan

b)

Tan1Tan ;

Tan11

c)

Tan1Tan ;

Tan11

d)

Tan1Tan ;

Tan11

e)

Tan1Tan ;

Tan11

46. Sabiendo que:

TanCot2CotSeñale la variación de:

1|Sen|3L

a) [0 ; 2] b) [1 ; 2] c) 2; 1

d) 2; 1 e) 3 ; 1

47. Sabiendo que: 22

3

Señale Verdadero (V) o Falso (F), según correspondaen:

I. TanTan

II. SenTanSenTan

III. )Cos2(Tan)Cos2(Tan

a) FVF b) VVF c) FFVd) FFF e) FVV

48. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar el

área de la región sombreada, si AB//MNy

xAA'

B'

B

C.T

N

M

a) CovVers b) CosVers21

c) CovVers21

d) SenCov21

e) CosVers41

49. En la C.T. mostrada, calcular:

Ctg)S2(MS: área de la región sombreada.

Sx

yx +y =12 2

AO

B

a) 41

b) 21

c) 2

d) 1 e) 32

Trigonometría

80

50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo 0) ; (

Además: 23Senx1

Hallar la variación de:

162

x Tan3K

a) 2; 1 b) 2; 2 c) 2; 21

d) 1 ; 21

e) 23 ;

22

51. Dado:

611 ;

6

Calcular la variación de: CosCosT 2

a)

4

323 ; 0 b)

4

323 ; 41

d)

4

33 ; 21

d)

21 ;

433

e)

21 ; 0

52. Si: 2

Además: 415Cos

47

Hallar la extensión de: 2Tan

a) ; 79

b) ; 151

c) ; 51

d) ; 7 e) ; 7

53. Calcular el valor de Tan , para el cual:

TanCscy2x3 , toma su valor máximo,, siendo x e y

las coordenadas del punto P.Además : 2AP = 3TP

y

x

x +y =12 2

A

P

T

a) 6 b) 36 c)

46

d) 26 e)

362

54. Sabiendo que:

245 ;

24x

Señale la variación de :

1x24

3 Csc2L

a) 4 ; 2 b) 4 ; 1 c) 4 ; 1

d) 3 ; 1 e) 3 ; 1

55. En la C.T. mostrada, las áreas de las regiones sombreadasson iguales.

Calcular: 3TanTanL

y

x

A

B'

M

N

QS

PA'

a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) 8

56. En la C.T. mostrada, hallar: TanSi : MP es una vertical de longitud igual al diámetro dela C.T. y además OQ = 0,5

y

xA

B'

A'

C.T.

O

Q

B

M

P

a) 1032

b) 1023

c) 1043

d) 1053

e) 1052

TRILCE

81

57. Si en la C.T. mostrada, el área de la región sombreada

es igual a 22 .

Calcular: 22 CosSecL

y

x

B'

M

A' AOS

B

a) 16 b) 8 c) 6d) 18 e) 24

58. Del gráfico, hallar MN :

y

xO

C.T.

M N

a)

CosCosSenSen

b)

CosSenSenSen

c)

CosCosCosCos

d)

SenSenCosCos

e)

SenSen

)CosCos(Sen

59. De la figura, "G" es el baricentro del triángulo OPQ.Calcular la ecuación de la recta que pasa por G y por elorigen del sistema de coordenadas, en términos de

y .

y

x

x +y =12 2

O

Q

P

a) x2

Tany

b) x2

Tany

c) x)( Tany

d) x2

Coty

e) x)(Ctgy

60. Si "S" representa el área de la región sombreada,reduzca:

232 Sen)CosS(SenEy

xO

C.T.

y=x2

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 21

Trigonometría

82

Claves Claves

361.

362.

363.

364.

365.

366.

367.

368.

369.

370.

371.

372.

373.

374.

375.

376.

377.

378.

379.

380.

381.

382.

383.

384.

385.

386.

387.

388.

389.

390.

c

d

b

a

b

b

d

a

b

c

e

a

d

d

c

c

d

c

c

b

a

b

b

c

e

c

b

c

d

b

391.

392.

393.

394.

395.

396.

397.

398.

399.

400.

401.

402.

403.

404.

405.

406.

407.

408.

409.

410.

411.

412.

413.

414.

415.

416.

417.

418.

419.

420.

a

b

d

e

c

e

e

e

b

d

a

b

d

d

e

d

e

a

d

a

b

b

d

e

a

c

d

e

b

b

TRILCE

83

CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

DE UNA VARIABLE8* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para

todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.

* CLASIFICACIÓN:

I . I. T. RECÍPROCAS:

Z n ; 2

n R x ; Tanx

1Cotx1TanxCotx

Z n ; 2

1)(2nR x ; Cosx

1Secx1CosxSecx

}Z n ; {n R x ; Senx

1Cscx1SenxCscx

II . I. T. POR DIVISIÓN:

Zn ;

2)1n2(Rx ;

CosxSenxTanx }Zn ; n{Rx ;

SenxCosxCotx

III. I. T. PITÁGORAS:

1xCscxCot

1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc

1xSecxTan

1xTanxSecZn ;

21)(2nRx ; 1xTanxSec

xSen1xCos

xCos1xSenRx ; 1xCosxSen

22

2222

22

2222

22

2222

Trigonometría

84

IV. I. T. AUXILIARES:

Zn ; nRx ; m1CotxCscxmCotxCscx

:Si

Zn ; 2

)1n2(Rx ; n1TanxSecxnTanxSecx

:SicbosxC

canxSe

:Entoncesbac cbCosxnxaSe

:SiRx ; Senx)(1 Cosx)2(1)CosxSenx1(

Rx ; xxCosSen31xCosxSen

Rx ; xxCosSen21xCosxSen

Zn ; 2

nR x ; xxCscSecxCscxSec

Zn ; 2

nR x ; SecxCscxCotxTanx

22

2

2266

2244

2222

1.

2.

3.

4.

5.6.

7.

8.

TRILCE

85


01. Reducir:E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx)

a) 1 b) Senx c) Cosxd) Secx e) Cscx

02. Simplificar: CtgxTgx

SecxCosx

CscxSenxE

a) 1 b) xSec2 c) xCsc2

d) Secx e) Cscx

03. Simplificar: Cosx.Senx

1)CosxSenx(E2

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 0

04. Determinar "k" en: k2

Senx1Cosx

Senx1Cosx

a) xCos2 b) SenxCosx c) Senx

d) Cosx e) x2Sen

05. Reducir: Senx)]Tgx1(Ctgx)1Ctgx(Tgx[E

a) 1 b) Ctgx c) Cosxd) Tgx e) Secx

06. Simplificar: Cosx11

Cosx11E

a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx

d) xSec2 2 e) xCsc2 2

07. Simplificar: TgxTgxSecx

1E

a) Secx b) Cosx c) Cscxd) Ctgx e) 2Tgx

08. Simplificar: )ICx(Senx

SenxSenxCosx21E

a) Senx b) Cosx c) 1d) Tgx e) Ctgx

09. Reducir: Senx

CtgxCscx.SecxE


10. Simplificar: 1CosxSen1xCosxSenE

66

44

a) 5/3 b) -1 c) 2/3d) 3/4 e) 1/3

11. Reducir: )xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n

a) 1nm 22 b) 5nm 22

c) 3nm 22 d) 7nm 22 e) N.A.

13. Si: Senx+Cosx = mCalcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)

a) 2m1 2

b) 2m1 2

c) 2

)m1( 2

d) 2

)m1( 2e) 1+m

14. Si: Tgx+Ctgx = 3Calcular: E = Secx+Cscx

a) 3 b) 9 c) 11

d) 15 e) 17

15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx


16. Determinar "x" para que la igualdad:

x1

Cot1

Tan1

Cos1

222

Sea una identidad

a) 2Sen b) 2Cos c) 2Tand) Secx e) Cscx

17. Reducir: TgxSenx1

CosxE

a) Senx b) Cscx c) Secxd) Tgx e) Ctgx

Trigonometría

86

18. Si la igualdad es una identidadCalcular: M+N

xCtg4MCtgxCscxCtgxCscx

CtgxCscxCtgxCscx N

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19. Hallar A en la siguiente identidad:

1CscxA

Senx1Senx1

a) xSen2 b) xCos2 c) xTg2

d) xCtg2 e) xSec2

20. Eliminar "x" a partir de:Tgx + Ctgx = aTgx - Ctgx = b

a) 3ba 22 b) 3ba 22

c) 4ba 22 d) 4ba 22

e) 8ba 22

21. Si:67CosxSenx

Calcular :C = Senx Cosx

a) 71

b) 61

c) 141

d) 121

e) 91

22. Si: 23CotxTanx Calcular:

xCscxSecC 22

a) 9 b) 12 c) 16d) 18 e) 36

23. Simplificar: SenxCosxCotxCosxSenxTanxC

a) 1 b) Tanx c) Cotx

d) xTan2 e) xCot2

24. Reducir:CosxSenx

xCosxSenC44

a) 1 b) Senx c) Cosxd) Senx + Cosx e) Senx - Cosx

25. Simplificar:

xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242

a) 1 b) xxCosSen 22

c) xSen2 d) xCos2

e) 2

26. Simplificar:C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)

a) 1 b) xTan2 c) xCot2

d) SenxCosx e) Secx Cscx

27. Si: 97xCosxSen 44

Calcular: xCosxSenC 66

a) 31

b) 32

c) 91

d) 92

e) 94

28. Eliminar "x" de:Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n

a) 2)1m(n 2 b) 2)1n(m 2

c) 1)1m(n 2 d) 4)1m(n 22

e) 2)1m(n 22

29. Demostrar las siguientes igualdades:1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx

1.2 SenxCosx2xTanxCosxCotxSen 22

1.3 )1xCsc()xSen1)(1xSec( 222

1)xCos1( 2

1.4 11Cotx

CosxSenx1Tanx

CosxSenx 22

1.5 CotxxCosCosxxSenSenx

3

3

30. Reducir: 3SenxCscxCosxSecxW

a) 2Cotx

b) Secx c) Cscx

d) Tanx e) Senx

31. Si: 21aCosaSen 22

Entonces : Tana + Cota es:

a) 310

b) 3

34c) 102

13

TRILCE

87

d) 4

33e)

13102

32. Si:

)Cosx1)(Senx1(A)CosxSenx1( 2 Calcular: "A"

a) 1 b) 2 c) 1d) 2 e) 4

33. Hallar el valor numérico de la expresión:T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1)(Cos35º + Cos55º - 1)

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 e) 2

34. Si: 25CscaSena

Calcular : E = Cota + Cosa

a) 33 b) 32 c) 233

d) 3

32e)

33

35. Si: Cos4

Sen

Entonces el valor de:

CotTan21Tan , es :

a) 1 b) 1 c) 3

d) 3 e) 33

36. Calcular:

BSenACos 22 Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios

a) 1 b) 21 c) 0

d) 21

e) 1

37. Si: xCscxSec)xCotxTan( f 4422 Calcular: f (2) + f (3)

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

38. Si: 7xCscxSec 22 Calcular:

)xCotxCsc)(xTanxSec(C 2222

a) 13 b) 14 c) 22d) 16 e) 15

39. Si: 21

CosSenCos21 2

Entonces el valor de:

CosSenE , es:

a) 41

b) 81

c) 83

d) 43

e) 21

40. Reducir:

)CotxTanx)(1xCosxSen(C 66

a) SenxCosx b) 3SenxCosxc) - 3SenxCosx d) - 3e) 3

41. Si: Tanx + Cotx = 2 yCotxTanx

xnCotxnTan

xnCotxnTannn xCotxTanE

Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de 2E es :

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

42. Si: Senx Cosy = 0,5

Hallar : CosyyCosxCosP 22

a) 45

b) 43

c) 21

d) 23

e) 41

43. Calcular: Tan

Si: ba ; ba

abbSenaCos 44

a) ba

b) ab

c) ba

d) ba e) ab

44. Dado:Secy2Tanx21

Secx2Tany21 Calcular: E = Secx + Secy

a) 22

b) 12 c) 2

23

d) 32

e) 12

Trigonometría

88

45. El valor de "E" en la identidad:

SenECosSen 23

2 ;

2 , es :

a) 2Sen b) 2Cos c) CosSen

d) Cos e) Sen

46. Hallar el valor de "B" sabiendo que:

CosSenCosSenTanA

Cos-SenBSenA

a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 5

47. Si: mnTana

Entonces:n (2Cosa + Seca) - 2mSena

Es igual a:

a) mCosa b) mSeca c) mnd) nSeca e) nCosa

48. Si : 2xSecxCosa 222 Encontrar el valor de:

C = Senx Tanx + 2Cosx

a) 2a2 b) 2a2 c) a

d) a e) a

49. Si: nTanxxSec2

Hallar: 3

33

)CosxSenx(xCosxSenC

a) 2n1n

b) 1n2n

c) 2n1n

d) 1n2n

e) 1n2n

50. Simplificar la expresión:

Senx1Cosx1

Senx1Cosx1K

; 2

3x

a) 2 b) Secx2

c) Secx2 d) Cosx2

e) Cosx2

51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación:

1Cscx1

Senx11xQTanP R

Calcular: P . Q . R

a) 6 b) 2 c) 4d) 8 e) 12

52. Si:

24 y

97CosSen 44

Calcular: CosSenC

a) 3 b) 5 c) 33

d) 32

e) 33

53. Calcular el mínimo valor de:

xCscxSecE 44

a) 6 b) 4 c) 8d) 10 e) 12

54. Hallar: y = Senx CosxSi:Tanx - Senx = 1

a) 21 b) 21 c) 21

d) 12 e) 2

55. Sabiendo que es un ángulo agudo el cual satisfacela ecuación:

5CscCtg Determine el valor de la expresión :

Sen26Tg24

a) 10 b) 20 c) 15

d) 125

e) 135

56. Siendo: 2CotxTanx Calcular:

xxCotCosxTanxSenC 2424

a) 35

b) 37

c) 2

d) 3 e) 34

57. Siendo: Senx + Cosx = nHallar:

1CotxCscx1CotxCscx

1TanxSecx1TanxSecxC

a) 1n2 b) 1n

2 c)

1n2

2

d) 1n

22

e) 1n1

TRILCE

89

58. Siendo: Tanx + Cotx = 3

Calcular:CosxSenx

xCosxSenS77

a) 2713

b) 2719

c) 2729

d) 2725

e) 2731

59. Siendo:

2CotxTanx Calcular:

CscxSecxxCscxSecC

55

a) )65(3 b) )65(6

c) )63(6 d) )63(3

e) )63(5

60. Sabiendo que:

IVCx ; nCosxSenx Reducir:

Cosx1Cosx1

Senx1Senx1C

a) 1n1 b) 1n

1 c) 1n

2

d) 1n2 e)

1n2

2

Trigonometría

90

Claves Claves

b

b

c

d

e

e

a

e

d

c

ba

c

d

e

a

c

d

d

c

d

d

b

d

a

a

b

a

-

d

b

b

b

b

c

e

d

e

c

c

b

b

e

c

e

b

d

e

c

b

c

e

c

d

b

b

b

c

b

d

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

TRILCE

91

CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE

LA SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES9I . Para la Suma:

TanyTanx1TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

II . Para la Diferencia:

TanyTanx1TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

PROPIEDADES:

I .

ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos

ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen22

22

II .

CosyCosx)yx(SenTanyTanx

III.

: donde ; )x(SenbaK

R b, a bCosx aSenx K : Si

22

b

a

a + b2 2

IV.

22mín

22máx

baL

baL

R x , b, a ;bCosx aSenxL

: Si

Donde : a b : constantes

x : variables

Trigonometría

92

V.

)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx

ó

)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS

* Propiedades:

I .

1Ctgz Ctgx · Ctgy Ctgz · ii) Ctgx Ctgy · Tanx · Tany · TanzTanzTanyi) Tanx

Z n ; n ó z yx : Si

II .

ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1

i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz

Z n ; 2

1)(2n ó 2

z yx :

Si

TRILCE

93


01. Reducir:J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x)

a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx

d) Senx e) Senx3

02. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x)

a) Cosx b) Senx c) Cosx2

d) Cosx3 e) 22

03. Halle un valor agudo de "x" que verifique:

21Senx.x4SenCosx.x4Cos

a) 6º b) 12º c) 18ºd) 21º e) 24º

04. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla:Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5

a) 5º b) 10º c) 15ºd) 20º e) 30º

05. Si: Tgx = 2 Tgy = 3Calcular: Tg(x+y)

a) 1 b) -1 c) 2d) -1/2 e) -2

06. Si: 52Tan;

31Tan

Calcular: )(Tan

a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17d) -1/17 e) -1/19

07. Hallar el valor de: Sen7º

a) 10

433 b)

10433

c) 10

334

d) 5

433 e)

2433

08. Calcular: Tg8º

a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7d) 1/9 e) 1/11

09. Si: 2524Senzy

53Senx

Calcular: E =Sen(x+z); x z son agudos.

a) 225127

b) 117125

c) 222117

d) 125117

e) 2539

10. Simplificar:

)xº30(Sen)xº30(Sen)xº30(Cos)xº30(CosM

a) 1 b) 2 c) 3

d) 33

e) 33

11. Sabiendo que:Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)

Cos(2x+y) = 54

Calcular: Ctg3x

a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5d) 5/4 e) 3/5

12. Obtener: Sen23º

a) 10

3 b)

10433

c) 10

433

d) 10

334 e)

10334

13. Del gráfico mostrado, calcular: "x".

x

1

4

37º

a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13d) 13/51 e) 3

14. Si: Cosx3

Senx2

Calcular: Tg(45º-x)

a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3d) 5 e) 3/7

Trigonometría

94

15. Hallar: )xº45(Sen2M

a) Cosx-Senx b) Senx-Cosxc) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)

e) 22

16. Simplificar:L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x

a) Cosx b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos5x

17. Reducir:

º40Cosº10Sen2º50SenC

a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10ºd) Cot45º e) Sen30º

18. Si:

)º45x(Cos2)º37x(Sen5 Hallar : Cotx

a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37ºd) Csc37º e) 1

19. Simplificar:

SenSen)(CosCosSen)(SenC

a) Tan b) Tan c) Cot

d) Cot e) 1

20. Simplificar:

º10Senº30Senº40Cosº30Cosº10Senº40SenJ

a) 3 b) 1 c) 33

e) 2 e) 3

32

21. Siendo:x + y = 30º ; x y = 37º

Calcular:J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)

a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3d) 1,4 e) 1,5

22. Del gráfico, calcular: Tan

37ºBA

C

M

a) 163

b) 176

c) 197

d) 1712

e) 1914

23. Del gráfico, calcular: Tan

37º

A

B C

D

P

a) 4 b) 8 c) 16d) 9 e) 32

24. Siendo: º60Calcular:

22 )SenSen()CosCos(C

a) 32 b) )32(2 c) )32(3

d) 32 e) 3

25. Siendo:

x + y = 60º ; 43Tany

Calcular :

)yx(Tan)TanxTany1(M

a) 28

3b)

2835

c) 28

33

d) 14

33e)

1435

TRILCE

95

26. Señale el valor máximo que toma la expresión:C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x Cos2x) + Senx

a) 1 b) 12 c) 1

d) 14 e) 1

32

27. Sabiendo que:Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny + 3Cosy = 0

Donde: IIC y; IIICx Calcular:

L = Sen(x + y) + Cos(x y)

a) 2133

b) 2136

c) 2136

d) 2133 e) 2

135

28. Si: 53)cba(Tan y Tanb = 3

Calcular:Tan (a b + c)

a) 76 b) 7

21c) 11

27

d) 1729 e) 27

11

29. Si: A + B + C = 180ºEl valor de:E = TanA+ TanB+TanC TanA TanB TanC

a) 1 b) 1 c) 2d) 0 e) 2

30. Si x e y son ángulos complementarios (x > 0º),encontrar el valor de "m" de modo que se verifique laidentidad.

2

xTan1

2yTg1

m

a) 1 b) 2 c) 2xTan

d) 2yTan e) 2

yTan2xTan

31. Hallar TanA en un ABC, cuyos ángulos cumplen:SenA = nSenB SenCCosA = nCosB CosC

a) n b) 2n c) n 1

d) 1n2 e) n + 1

32. Simplificar:

)(CtgTan1

)(Ctg1Tan

P

a) TanTan b) TanTan

c) Ctg d) Tan

e) Ctg

33. Calcular el valor de:Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º

a) 22 b) 21

c) 2

21d)

22

e) 1

34. Simplificar la siguiente expresión:

a2Ctga5Ctg1

a2Tana5Tan1

a) a3Sena7Cos

b) a7Sena3Cos

c) Ctg7a

d) Ctg3a e) a7Sena3Sen

35. A partir de la figura, hallar "x".

x

7

2 3

30º

a) 3 b) 3 c) 4

d) 6 e) 7

36. Calcular: Sen75º + Cos75º

a) 26

b) 3

32c)

226

d) 36

e) 2

26

37. Si: baba)yx(Tan

; Tan(y z) = 1

Entonces: Tan(x z) es igual a:

a) ba

b) ab

c) baba

Trigonometría

96

d) baba

e) aba

38. Los ángulos , y satisfacen la relación:

TanTanTanTanTanTan

Hallar la suma de: (K : Número entero)

a) 0 b) k2 c) k2

d) k4 e) k

39. En la siguiente figura, la medida del lado x es:

x

2

6

4

a) 64 b) 234 c) 134d) 173 e) 63

40. Hallar el valor de:

2xy Cos )SenyCosx(

Sabiendo que:

Rad125 y, Rad

127x

a) 2

)62( b) 4

)33(

c) 0 d) 4

33

e) 2

23

41. El valor de la expresión:(Tan80º Tan10º) Ctg70º es :

a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 0

42. Nos situamos a una distancia de 500 metros de unedificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos.Hallar el valor de la Tangente del ángulo mostrado..

10mo. piso

9no. piso

500

a) 31435

b) 5003143

c) 2741

d) 314325

e) 314336

43. Si:

; 5xSeny ;

54)t2y(Sen

t2y2

Expresar x en términos de Sen 2t y Cos2t solamente:

a) x = 4Cos2t + 3Sen2tb) x = 3Cos2t 4Sen2tc) x = Cos2t Sen2td) x = 2Sen2t 3Cos2te) x = 2Cos2t + 3Sen2t

44. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles enel que la longitud de la base menor es igual a la de sualtura y la longitud de su base mayor es igual a la de sudiagonal.Hallar: Tan

A

B C

D

a) 2 b) 34

c) 71

d) 43

e) 31

45. Hallar el valor aproximado de:

º86Cosº4CosD 22

a) 10

27b)

1029

c) 10

25

d) 10

2e)

1023

TRILCE

97

46. En un triángulo ABC, se cumple:

)BA(Sen2SenC

6233TanB Hallar el valor del ángulo BAC.

a) 3

b) 125

c) 6

d) 103

e) 32

47. Si:

21x

14Tan

Hallar:

x

285Ctg

a) 3 b) 2 c) 1

d) 21

e) 31

48. Determinar el mayor valor de A y el menor valor de Btal que:

BCosx2SenxA

a) 3 y 3 b) 5 y 5

c) 3 y 3 d) 52 y 52

e) 22 y 22

49. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, calcular elvalor de M.

2CTan1

2BTan1

2ATan1M

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

50. En la figura adjunta, la longitud del segmento AB es:

2

4

3

A B

C

a) 32 b) 33 c) 34

d) 35 e) 36

51. En la identidad trigonométrica:

)x(kCosCosx3Senx2

Determinar: Tan

a) 132

b) 32

c) 133

d) 23

e) 313

52. En la siguiente figura:

MDMC y8

AB4

CB3

MC

Calcular: TgxM

A B

CD

x

a) 413

b) 722

c) 38

d) 524

e) 917

53. Si: 3CosCos ySen2Sen

Hallar el valor de: )(Cos

a) 75 b) 7

3 c) 73

d) 75

e) 76

54. En la figura mostrada, calcular: Tan

2

3

1

a) 21

b) 2 c) 23

d) 25

e) 61

55. Si : º60 , el valor de la expresión:22 )SenSen()CosCos(A es

a) 2 b) 43

c) 1

d) 0 e) 21

Trigonometría

98

56. Si:Tan(x + 3y) = 5 y Tan(2y + x) = 4

Entonces el valor de Ctgy es :

a) 20 b) 21 c) 18d) 14 e) 15

57. Si:Tan(2a + b) = 8 y Tan(a + 2b) = 2

Entonces: Tan(a b) es:

a) 1712

b) 174

c) 6

d) 176

e) 10

58. Del gráfico calcular el valor mínimo de: Cot

Si: DC3

ED2

AE

A B

C

D

E

a) 610

b) 5103

c) 3102

d) 9102

e) 10

103

59. Del gráfico, calcular: Tanx

DA B

C

F

1

445º

x

2

a) 24117

b) 24121

c) 24123

d) 19517

e) 19521

60. Siendo:

2mCosCos

mSenSen ¿Cuál es la variación de "m" para que se cumplan las 2relaciones anteriores?

a)

2

15 ; 2

15

b)

2

15 ; 2

15

c)

2

15 ; 2

15

d)

2

15 ; 2

15

e)

2

25 ; 2

5

TRILCE

99

Claves Claves

b

c

b

b

b

d

a

c

d

c

a

e

c

b

a

a

e

c

a

c

c

b

e

e

b

a

d

c

d

b

e

d

e

d

b

a

a

e

a

b

c

d

a

c

a

a

a

b

e

e

b

b

d

a

c

b

d

d

b

d

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

101


DE LA VARIABLE DOBLE10xTan1

Tanx2x2TanxSenxCosCos2x2SenxCosxSen2x

2xde Tangente 2xde Coseno 2xde Seno

222

También :

xSen21x2Cos 2

1xCos2x2Cos 2

* Fórmulas de Degradación :

x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2

x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2

42

42

* Propiedades :

I .

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec 222 x2Csc2TanxCotx

II .

x2Sen1)CosxSenx(

x2Sen1)CosxSenx(2

2

III.

CosxSenxx2Sen1

CosxSenxx2Sen1

IV.

1x2SecTanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

Trigonometría

102

* Triángulo del Ángulo Doble :

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan2 2Tan1

2Tan1

2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD

Cosx1Cosx1

2xTan

2Cosx1

2xCos

2Cosx1

2xSen

2x de Tangente

2x de Coseno

2x de Seno

Donde el signo )( dependerá del cuadrante en el que se ubique 2x

CotxCscx2xCotCotxCscx

2xTan

2x de Cotangente

2x de Tangente

TRILCE

103


01. Si " " es un ángulo agudo y 32Sen .

Calcular: " 2Sen ".

a) 5.94

b) 592

c) 591

d) 549

e) 45

02. Simplificar:

4Cos.2Cos.Cos.Sen8E

a) Sen2 b) Sen8 c) Sen16d) Sen4 e) Sen32

03. Si: 52Sen , calcular: 2Cos

a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5d) -3/5 e) -4/5

04. Si: 3

1Cos , calcular: 2Cos

a) -1/3 b) 1/3 c) 2/3

d) -2/3 e) 33

05. Si: 21Tg , calcular: 2Tg .

a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3d) 5/3 e) 7/3

06. Si: 23Tg , hallar: Sen2

a) 11/13 b) 12/13 c) 14/15d) 13/15 e) 11/15

07. Si: 5

1Tg , determinar: 2Cos

a) 1/3 b) -1/3 c) 2/3d) -2/3 e) 3/4

08. Si: º180º90257Sen

Calcular: 2Sen

a) 625336

b) 625236

c) 625236

d) 625336 e) 625

436

09. Si: º270º180135Cos

Calcule: 2Sen

a) 169120 b) 169

120c) 169

60

d) 16960

e) 169140

10. Si: Tgx+Ctgx = n¿A qué es igual Sen2x?

a) 2/n b) n/2 c) 2nd) 1/2n e) 1/n

11. Si: º180xº9032Cosx

Calcule el valor de: Sen 2x

a) 66

b) 66 c)

126

d) 12

6 e) 3

62

12. Si: º270º180257Sen

Calcule el valor de: 2Sen

a) 10

2b)

1023

c) 10

25

d) 10

27e)

1025

13. Si: º180º9043Cos

Calcule el valor de: 2Cos

a) 22

b) 32

c) 42

d) 32 e)

42

Trigonometría

104

14. Si: 3

12

Cos , calcule: Cos

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4d) -1/3 e) -2/3

15. Si: º180xº9031Cosx

Calcular el valor de: Tg 2x

a) 3 2 b) 2 c) -3 2

d) - 2 e) 5 2

16. Si: º270º1802120Tg

Calcule: 2Tg

a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4d) -3/4 e) 1

17. A qué es igual: 4xCtg

4xCscE

a) 2xTg b) 2

xCtg c) 8xTg

d) 8xCtg e) 8

xCtg

18. ¿A qué es igual: Ctg8º?

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

19. Reducir: E = Sec40º-Tg40º

a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25ºd) -Ctg25º e) 1

20. Si: 43Cos

2

Calcule:

2Cos

2Sen.7E

a) 0 b) 1 c) 2

d) 2 e) 2 2

21. Reducir :H = (Tanx + Cotx) Sen2x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 23

22. Si : 32x2Sen

Calcule :

xCosxSenE 44

a) 97

b) 97 c) 9

2

d) 92 e) 7

2

23. Si :

163

CscSec1CosSen

22

66

,

el valor de 2Sen es :

a) 23

b) 2

13 c) 1

d) 1 e) 1

24. Simplificar la función f definida por :

x2

; xCscxSecf 22)x(

a) 2Sec2x b) 2Sec2xc) 2Csc2x d) Secx + Cscxe) 2Csc2x

25. Indique la expresión simplificada de :

ZK ; 2

K ; 4Cos12Cos1M

a) 2Cos4 b) 2Cos21

c) 2Sen21 d) 2Csc

41

e) 2Sen4

26. Si : 135Cos ;

23

Halle : 2

Cos

a) 132

b) 133 c) 13

2

d) 133

e) 265

TRILCE

105

27. Señale el valor de 8

Cos

a) 2

22 b) 2

22

c) 2

12 d) 2

12

e) 2

24

28. Reducir :

22

º24Cos11H

a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3ºd) Cos3º e) Sen12º

29. Si :

270º180º y54Cos ,

hallar : 2

Tan

a) 3 b) 54

c) 3

d) 45 e) 1

30. Si : n2xTan , donde x ,

entonces cuál de las siguientes alternativas es la correcta.

a)22

2

n12nCosx ;

n1n1Senx

b)22

2

x12xCosx ;

x1x1Senx

c)2

2

2 n1n1Cosx ;

n1n2Senx

d)2

2

2 x1x1Cosx ;

x1x2Senx

e) 22

2

n1

n2Cosx ; n1

n1Senx

31. Sabiendo que :

x2bCosaxCos7xSen3 22 Halle el valor de :

M = 3a 2b

a) 9 b) 15 c) 13d) 11 e) 7

32. Reducir :M = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x

a) Tanx b) Cotx c) 2xTan

d) 2xCot e)

4xotC

33. Reducir :

12xCscxTan

12xCscxCot

R

a) 2xTan2 b)

2xTan2 c)

2xCot2

d) 2xTan e)

2xCot2

34. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B con

A ángulo menor, la relación de catetos es 75

.

Se tiene la relación :E = 7Cos2A + 5Sen2A

Determinar el valor de E.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

35. Encontrar aproximadamente el valor de :

2425Tan

a) 3231 b) 26

51

c) 31

321

d) 32

322

e) 6232

36. Sea : cbaSimplificar la siguiente expresión :Sen(3a + 2b + 2c) Sen(a + 2b + 2c) + Cos(b + c)Cos(b + 2a + c)

a) 1 b) 0 c) 1d) Cos2a e) Cos2b

37. Si A, B y C son los ángulos internos de un triángulo y

Sen(A + B) Cos(A + B) = 21

¿Cuánto vale 1 + TanC?

a) 0 b) 1 c) 2

d) 1 e) 21

Trigonometría

106

38.

SenA

2ASen

2ACos SecAU

2

2ASen

4ASen

4ACos SenAN

2

KASen

K2ASen

2KACos CosAI

2

1K Simplificar la expresión :

CosA1INU

a) SenA CosA

b)KACos

KASen

c)KASen1

d) CosA SenA

e)KACos

KASen

39. Hallar la suma de los valores máximos y mínimos de lasiguiente expresión :

BCosx2xACosE 2

A, B son constantes reales.

a) B b) A c) 2B

d) 2A

e) 0

40. Si :53x2Sen ;

4 ; 0 x ,

calcular : xSenxCos 44

a) 1 b) 54

c) 53

d) 1 e) 53

41. Halle el valor de la expresión :

º40Cosº40Senº20Cos3º20SenW

a) 2 b) 4 c) 1

d) 21

e) 41

42. Halle "m" en la identidad :

m)mx(Senx

4Senx

4xSen2Sen

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 3

43. El valor de :

22 )SenbSena()CosbCosa(

En función de

2baSen es:

a)

2baSen2 b)

2baSen4 2

c)

2baSen d)

2baSen2

e)

2baSen2 2

44. Si : Tanx + Cotx 2 = Sen2y A

22

22

)CosySeny()CosySeny(

)CosySeny()CosySeny(A

,

hallar : xCotxTanS 44

a) 4 b) y2Sen4 c) Sen2yd) 1 e) 2

45. Sabiendo que :

yx ; 43SenxSeny ,

hallar : Cos2(x y)

a) 41

b) 41 c) 2

1

d) 87 e) 8

7

46. Si : 2

Cos2

KSen

Siendo : 0Sen

CscSen

Sen12P2

Será :

a) )KK( 22 b) 1KK

c) 1KK d) 1KK

e) 1KK

TRILCE

107

47. Expresar en función de Tanx, la expresión:

x2Tanx2Secx2Cot

)x2Secx2Tan(2E 22

a) 2

Tanx1Tanx1

b)

Tanx1Tanx1

c) 1 2Tanx d) Tanx + 1e) 1 Tanx

48. Si : 0n ; nmTan ,

entonces el valor de 2mSen2nCos es :

a) m + n b) 2m + n c) 2m nd) m e) n

49. Si :

xCsc3xSec3xxSecTanY 2222

xxCscCot 22 ,entonces :

a) xCsc16y 4 b) x2Csc16y 4

c) 4x16Cscy d) 4Cscx16y

e) x2Cscy 4

50. Sea la ecuación :

0p2xnCos

2xmSen

¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre m, n y p, el

valor de 4xTan es único?

a) 222 pnm b) 222 npm

c) 222 mpn d) p2nm 22

e) pnm 22

51. Si x es un ángulo en el primer cuadrante y

21

baTanx

; encontrar el valor de la siguiente

expresión :

ba1

SenxCscxx2SenE

a) baa2 b) ba

b c) b2a

b2

d) ba2a2 e) ba

ab

52. El valor de X al simplificar la expresión :

2Sen12Sen1

Tan1Tan1X

2

a) 2Sen1 b) 2Sen1c) 1 d) 1e) 2Sen

53. Si : 1a1a)º45A(Tan

,

hallar : Sen2A

a) 2a1a2

b)

1aa2

2 c) 2a1

a

d) 2a1a2

e)

1aa

2

54. Si : Tan(x + 45º) = n ; 0n ,calcular : E = Sec2x Tan2x

a) 1n b) 2n c) 2n

d) 1n2 e) 2n

55. La expresión :

Sen1Cos

es equivalente a:

a)

4Tan b)

4Tan

c)

4Tan2 d)

42Tan

e)

42Tan

56. Hallar el valor de :

45TanB2TanA2Tan

Sabiendo que :TanA TanB = 1

ASen42A2Sen 2

a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2

57. Reducir la expresión :

)º150(Sen)º150(SenSen21S 222

a) )2º30(Cos b) )2º30(Sen

c) 2Sen d) 2Cos

e) )2º60(Sen

Trigonometría

108

58. Calcular :

8

Cos21

163Sen

16SenE 44

83Cos

21

a) 22

b) 22 c) 4

3

d) 21 e) 2

3

59. La siguiente suma :

...... 2xTan

21

2xTan

21F 22

nn 2

xTan21....

Es igual a :

a) Cotx2

xCot2

1nn

b) Cotx2

xCot21

n

c) Cotx

d) Cotx2

xCot21

n

e) Cotx )x2(Cot2 nn

60. Si :

º2Tanº1TanCos

º4Tanº1TanCos

º6Tanº1TanCos

Halle : 2

Tan2

Tan2

TanR

a) º1Senº7Sen

b) º1Cosº7Cos

c) º1Tanº7Tan

d) º2Senº9Sen

e) º3Cosº7Cos

TRILCE

109

Claves Claves

a

a

a

d

a

b

b

a

a

a

a

a

d

b

b

c

b

b

d

a

d

d

a

c

d

c

e

d

c

b

e

c

a

b

c

c

a

b

d

d

a

b

d

c

c

b

e

c

b

e

c

a

a

c

b

a

b

e

b

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

111


DE LA VARIABLE TRIPLE11

xTan31

xTanTanx3x3Tan2

3

Cosx3xCos4x3Cos 3 xSen4Senx3x3Sen 3

Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x

FÓRMULAS ESPECIALES:

1x2Cos21x2Cos2Tanxx3Tan)1x2Cos2(Cosxx3Cos)1x2Cos2(Senxx3Sen

DEGRADACIONES:

x3CosCosx3xCos4 3 x3SenSenx3xSen4 3

PROPIEDADES :

x3Tan)xº60(Tan)xº60(TanTanx

x3Cos41)xº60(Cos)xº60(CosCosx

x3Sen41)xº60(Sen)xº60(SenSenx

Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x

Trigonometría

112


01.Señala el equivalente de la expresión:

xCosxCosxSenx3Sen

33

3

a) Tgx b) Secx c) Cscxd) Ctgx e) N.A.

02. Simplificar:E = (Tg2A+TgA)(Cos3A+CosA)Csc3A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

03. La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es:

a) 3Cosx+4Cos3x b) 4Cosx3Cos3xc) 3Cosx-4cos3x d) 4Cos3x-3Cosxe) 3Cos3x-4Cosx

04. El valor de la expresión:

Cosaa3Cos

Senaa3Sen es:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

05. Si: 111Tgx . Calcular: Tg3x.

a) 3,07 b) 0,27 c) 3,27d) 32 e) 0,21

06. Sen2a = Cos3a, 0<a< 2

Calcular el valor de: Sena

a) 5

51b)

415

c) 3

15

d) 4

15 e) N.A.

07. Si: SenA = 2/3, entonces Sen3A es:

a) 1 b) 19/23 c) 27/22d) 21/29 e) 22/27

08. Calcular el valor de:

)º40Sen21)(º10Sen43(F 22

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 1/3

09. Simplificar:

Sen3SenSen

Cos3CosCos 33

a) Cos b) Sen c) 1d) 3 e) 0

10. Del gráfico mostrado, hallar: "x".

A

E

D

C

B

x

4

3

a) 4 b) 7 c) 17

d) 8 e) 72

11. Simplificar:

º40Cosº20Cosº40Cosº20Cos 33

a) 3 b) 4 c) 4/3d) 3/4 e) 3/2

12. Reducir:2Cos6x . Sen3x + Sen3x

a) Sen6x b) 3Sen6x c) Sen9xd) Cos9x e) 3Cos6x

13. La siguiente igualdad es una identidad:

KCosK2

Cos3Cos

Sen3Sen

Hallar: "K".

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

14. Calcular: º36Cosº18Sen 33

a) 25

b) 85

c) 45

d) 65

e) 45

15. Calcular: Cot18º(4Cos18º-3Sec18º)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

TRILCE

113

16. Calcular:Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º

a) 2 b) 4 c) 6d) 0 e) 8

17. Calcular:Cos85º(1+2Sen80º)

a) 23

b) 21

c) 4

26

d) 4

26 e)

415

18. Simplificar:

Tan3 (2Cos2 -1)-(2Cos2 +1)Tanan

a) Tan b) Cot c) 0

d) Tan3 e) Cot3

19. Calcular:3Cos210º.Sec250º.Sec270º

a) 64 b) 9/64 c) 1/64d) 192 e) 64/9

20. Calcular:

92Cos8

92Sec 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

21. Siendo : 22Cot ; " " agudo..

Calcular : 3Sen

a) 97

b) 97 c) 27

23

d) 2723 e) 27

17

22. Si :31x2Cos ,

hallar : Cos6x

a) 2722

b) 2723

c) 2722

d) 2717

e) 2723

23. Hallar : Sen 111º

a) 1258

b) 125108

c) 125117

d) 125107

e) 1259

24. Sabiendo que :

IIC ; 22Cot ,

calcular :

Sec3SenC

a) 36

217b)

36217 c)

36223

d) 36

223 e) 36

27

25. Siendo : 32Sen

Calcular :

Cos3CosC

a) 31

b) 92

c) 97

d) 31 e) 9

2

26. Sabiendo que : 23

1Cos ,

calcular : Csc3SenP

a) 92

b) 94

c) 97

d) 92 e) 9

4

27. Señale el valor de "Senx", si :Sen2x = Cos3x

a) 4

15 b)

415

c) 1d) a y c son respuestas.e) a, b y c son respuestas.

28. Reducir :

Cosxx3Cos

Senxx3SenA

a) Cosx b) Sen2x c) Sen4xd) 4Cos2x e) 2

Trigonometría

114

29. Siendo : 31Sen ,

calcular :

Cos3CosL

a) 311

b) 27

c) 311

d) 2 e) 95

30. Reducir :C = (Cos3x + 2Cosx) Tanx

a) Sen3x Cosx b) Tan3xc) Sen3x d) Cos3x Senxe) Cot3x

31. Si : Sen3x = 0,25 Senx,

calcule : 1xTan5K 2

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

32. Si : Tan3x = 5Tanx,calcule : |Tan2x|

a) 7 b) 14 c) 52

d) 37

e) 5

33. Al calcular el valor de :

º10Cos3

º10Sen1F ,

obtenemos :

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

34. El valor de :E = Cos80º Cos20º Cos40º es:

a) 2 b) 43

c) 4

d) 21

e) 81

35. Simplificar :

º20Sen31º20SenE

a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40ºd) Tan20º e) Sec20º

36. Simplificar :

x3CosSenx2x3SenC

a) Tanx b) Tanx c) Cotx

d) Cotx e) xTan2

37. Siendo :

31

xCosx3Cos

xSenx3Sen3

3

,

calcular : L = Tan3x Cotx

a) 136

b) 133 c) 13

12

d) 133

e) 136

38. Calcular el máximo valor de :

xCot . x3TanM 3 ; 2

; 0x

a) 21217 b) 21217

c) 21712 d) 21712

e) 25

39. Si : 4

15º18Sen ,

hallar el valor de M,si :

MSec15º Sec9º = Sen15º Sen9º

a) 8581 b) 15

8

c) 4541 d)

815

e) 154

40. Al simplificar la expresión :E = Sen6º Sen54º Sen66º

Obtenemos :

a) Sen12º b) 2Sen6ºc) Sen18º d) 2Sen12º

e) 4

º18Sen

41. Calcular el valor aproximado de la expresión :S = Csc27º Sec27º

a) 53 b) 53

TRILCE

115

c) )53(2 d) 55

e) 2

53

42. El valor de :

3º20Cos41x

Es igual a :

a) Cot10º b) Tan10º c) Cot20ºd) Tan20º e) 2Tan10º

43. Calcular el valor de ,.

2

22

)CosSen(

CosSen3CosSenCos3Sen

a) 1 b) 1 c) 2

d) 2 e) 21

44. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo , paraque a sea doble de b.

x y z

a ab b

a) 23ArcCos b)

32ArcCos

c) 41ArcCos d)

21ArcCos

e) 43ArcCos

45. Calcule:

º13Cosº17Senº13Cosº17SenM

33

a) 21

b) 43

c) 83

d) 23

e) 41

46. Si :Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,

calcular : K + p

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

47. Si : Cos39º = nCos13º,

halle : º13Tan2 en términos de "n"

a) n1n3

b) n1n2

c) n1n3

d) n1n2

e) n3n1

48. Si :1n1n

Tanxx3Tan

,

halle : x3Sen

Senx en términos de "n"

a) n + 1 b) 1)1n( c) n2

d) n 1 e) 1)1n(

49. Sabiendo que : nSenz

z3SenSeny

y3SenSenx

x3Sen ,

hallar : Coszz3Cos

Cosyy3Cos

Cosxx3CosL

a) n + 3 b) n 3 c) n + 6d) n 6 e) 2n 6

50. Del gráfico, hallar la medida del ángulo " "

a

4a

43º17º

13º

a) 39º b) 17º c) 36ºd) 51º e) 48º

51. El valor de :

º70Secº50Secº10Sec2 222 es :

a) 3

128 b) 649 c)

641

d) 192 e) 964

52 El valor de :G = Cot24º Cot57º Cot24º Cot33º

a) 2 b) 3 c) 2d) 1 e) 1

Trigonometría

116

53. Hallar el valor de la expresión :

º80Tanº40Tanº20TanM 222

a) 12 b) 9 c) 21d) 24 e) 33

54. En el gráfico :

8495

S

S

2

1 ,

calcular " "

S1S2

32

A

B

CD

a) 76ArcCos b)

98ArcCos

c) 109ArcCos d)

1110ArcCos

e) 65ArcCos

55. Del gráfico, calcular : 3Sen

A

C

D

E

F

4

2

3

2

2

a) 43

b) 83

c) 31

d) 32

e) 61

56. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de una torre;con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamosuna distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de

elevación es " 2º90 ".Calcular el valor de :

Tan2SecL

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

57. Calcular :L = Tan130º Tan10º + Tan70º Tan130º Tan10º Tan70º

a) 3 b) 3 c) 2d) 2 e) 6

58. Del gráfico, hallar : yx

A

B

C5º 45º 80º 20ºD Ex y

a) º5Csc2 b) º10Csc2

c) º5Csc22 d) º10Csc

22

e) º5Csc42

59. Del gráfico, hallar : x

2

A B

C

D

m

nx

a) mnm

2m

b) mnm

2n

c) mnm

2n

d) nnm

2n

e) nnm

2m

60. Del gráfico, hallar la longitud de CD

24º 36º

16

A

B

C

D

E6º

a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36d) 3,23 e) 2,32

TRILCE

117

Claves Claves

a

b

d

d

b

b

e

c

d

d

d

c

c

c

b

b

d

c

a

e

c

e

c

d

c

c

a

e

e

c

c

d

e

e

b

b

d

a

a

e

c

c

c

e

b

d

e

b

d

a

a

c

e

a

a

a

a

e

c

a

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

119

Capítulo

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS12IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS

CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.

2BA enS

2BA Sen2CosACosB

2BA Cos

2BA Cos2CosBCosA

2BA Cos

2BA Sen2SenBSenA

2BA Cos

2BA Sen2SenBSenA

Demostración :Conocemos :

(4) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos(3) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos(2) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen(1) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen

Si sumamos (1) + (2) obtenemos :Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)

Hacemos un cambio de variable :

Sea:

ByxAyx obtenemos :

2BA y

2BAx

Luego en (*) :

2BACos

2BASen2SenBSenA

Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.CASO IIPara el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia.Siendo : x y

2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)

2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y)

2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)

2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y)

Trigonometría

120

SERIES TRIGONOMÉTRICAS :

Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética.

n

1K

n

1K 2UPCos

2rSen

2nrSen

)r)1K((Cos

2UPSen

2rSen

2nrSen

)r)1K((Sen

Donde :

n : # de términos r : razón de la P.A. P : primer ángulo U : último ángulo

Propiedad Z n

21

1n2n2Cos....

1n26Cos

1n24Cos

1n22Cos

21

1n2)1n2(Cos....

1n25Cos

1n23Cos

1n2Cos

Productorias Z n

2

1n21n2

nSen....1n2

3Sen1n2

2Sen1n2

Senn

1n21n2

nTan....1n2

3Tan1n2

2Tan1n2

Tan

2

11n2

nCos....1n2

3Cos1n2

2Cos1n2

Cosn

TRILCE

121


01. Reducir:

x2CosSenxx5SenE

a) 2Sen3xCos2x b) 2Sen3x+1c) 2Sen3x d) 2e) 2Cos3x

02. Reducir:

xCosx3Senx2Senx4SenE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03. Reducir:

º10Cosº20Senº40SenE

a) 1 b) 1/2 c) 1/4d) 2Sen10º e) Cos10º

04. Reducir:

Cosx.x2CosCosxx3CosE

a) 1 b) 2 c) Sen3xd) Sen2x e) Cosx

05. Reducir:

xCosx6Senx5Senx7SenE

a) 1 b) 2 c) 3d) Senx e) Cosx

06. Reducir:

xCosx4Cos2x3Senx5SenE

a) 1 b) 2 c) Senxd) Tanx e) Cotx

07. Reducir:

º10Senº7Sen2º3Senº17SenE

a) 1 b) 2 c) Tan10ºd) Cot10º e) Tan3º

08. Reducir:

º80Senº50Cosº20SenE

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

09. Reducir: º80Cosº20Cosº20Senº80SenE

a) 1 b) 2 c) Tan50º

d) 3 e) 33

10. Reducir:E = (Sen70º+Cos70º).Sec25º

a) 1 b) 2 c) 22

d) 1/2 e) 2

11. Simplificar:

Cosxx3CosSenxx3SenE

a) Tanx b) Cotx c) Tan2xd) Cot2x e) 2

12. Simplificar:

x7Cosx3Cosx3Senx7SenE

a) Tan2x b) Cot2x c) Tan4xd) Cot4x e) 1

13. Simplificar:

x2Senx3CosCosxE

a) Senx b) -Senx c) 2Senxd) -2Senx e) Cos2x

14. Simplificar:

x5Cosx3CosCosxx5Senx3SenSenxE

a) Tanx b) Tan2x c) Tan3xd) Tan4x e) Tan5x

15. Transformar a producto:E = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x

a) Sen5xCos2xCosx b) 4Sen5xCos2xCosxc) 4Cos5xCos2xCosx d) Cos5xCos2xCosxe) 4Sen2xCos3xCosx

16. Reduzca: º10Cosº70Cosº10Senº70SenG

a) Tan40º b) Cot40º c) 3

d) 33

e) Tan20º

Trigonometría

122

17. Reduzca :

x7CosCosxSenxx7SenH

a) Tan3x b) Cot3x c) Tan4xd) Cot4x e) Cot4x

18. Simplifique :

º50Cosº30Cosº10Cosº60Senº40Senº20SenG

a) º40Sen3 b) º40Sen23

c) º40Sen32 d) 2Sen40º

e) º40Sen43

19. Transforme a producto :R = Sen3x + Sen5x + Sen9x + Sen11x

a) 4 Cosx . Cos3x . Sen7xb) 2 Cosx . Cos3x . Sen7xc) 4 Cos2x . Cos3x . Sen7xd) 2 Cos2x . Cosx . Sen7xe) 2 Cos2x . Cos3x . Sen7x

20. En un triángulo ABC; reducir :

)BA(SenB2SenA2SenL

a) 2CosC b) 2CosC c) 2SenCd) 2SenC e) CosC

21. La expresión : CosyCosxSenySenx

Es igual a :

a)

2yxTan b)

2yxSen

c)

2yxCos d)

2yxCot

e) )yx(Cos)yx(Sen

22. La expresión :

x4Senx2Senx3SenSenx

es igual a :

a) x6Senx4Sen

b) 1

c) x3Senx2Cos

d) x3Senx2Sen

e) Sen2x

23. La expresión :Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x

es igual a :

a) Sen4x + Sen12xb) Sen16xc) 4Senx Sen2x Cos4xd) Sen4xe) 4Cosx Cos2x Sen4x

24. Transformar en producto la siguiente expresión :

xSen42x8Cosx4Cos 2

a) Cos2x Cos3x b) x3xSen2Cos4 2

c) x2xSen2Cos2 2 d) x3xCos2Cos4 2

e) x2xCos4Cos4 2

25. Transformar en producto la expresión :E = SenA + Sen2A + Sen3A

a) CosA2ACos

2A3Sen4

b)2A3SenACos

c)2ASenASen

2A3Cos2

d)2ASenASen

2A3Cos4

e) ACosA2Cos2A3Cos3

26. La expresión :

TanxSenxCosxSenxCosxSenx

x2Senx4Sen2

es igual a :

a) Tanx b) Cos2x Cos3xc) 2Senx Cos3x d) Sen2x Sen3xe) 2Sen3x Cosx

27. Reducir:E = 2Sen3xCos2x - Senx

a) Senx b) Sen3x c) Sen4xd) Sen5x e) Sen6x

TRILCE

123

28. Simplificar:E = 2Sen5xCos3x-Sen8x


29. Reducir:E = 2SenxCos3x+Sen2x

a) 1 b) -1 c) Sen2xd) Sen4x e) Cos2x

30. Reducir:E = 2Sen5xCosx-Sen6x

a) Sen2x b) Sen4x c) 0d) 1 e) Senx

31. Reducir: E = 2Cos40ºCos20º-Sen70º

a) 1 b) 1/2 c) 23

d) 3 e) 0

32. Reducir: E = 2sen4xCos2x-Sen6x


33. Reducir: A = 2Cos5xCosx-Cos6x

a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4xd) Cos5x e) Cos8x

34. Reducir: E = 2Sen5xSen3x+Cos8x

a) Sen2x b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos6x

35. Reducir:E = 2Cos50ºCos10º-Cos40º

a) 1/2 b) 23

c) 1

d) 3 e) 2 3

36. Reducir:E = 2Sen3xSenx+Cos4x

a) Cosx b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos6x

37. Calcular: x6Senx4cosx2Sen2x4SenxCosx3Sen2E

a) 1 b) -1 c) 0d) Sen6x e) Sen4x

38. Calcular:

º80Cos2º70Senº80Cos41E

a) -1 b) 1/2 c) 1d) -1/2 e) 0

39. Simplificar:

2Sen2Cos5Cos3Cos4CosE

a) Sen2 b) Sen c) Cos

d) Cos2 e) Sen4

40. Reducir:

x3SenCosx.x4Sen2Senxx3Cos.x2Sen2E

a) 1 b) -1 c) Sen5x

d) Senxx5Sen

e) Cosx

41. Reduzca :

x9Cosx4xCos5Cos2x4SenxCosx3Sen2H

a) 2Senx b) 2Cosx c) Senx

d) Cosx e) Cosx21

42. Si :P(x) = Sen3x Cos2x + Sen3x Cos4x Senx Cos6x

Calcule :

30

P

a) 1 b) 21

c) 2

d) 3 e) 23


º25Cosº10Cosº35Cos2º20Senº20Cosº40Sen2R

a) 42

b) 43

c) 26

d) 36

e) 62

Trigonometría

124

44. Si se define la función :

x

9Cosx

92Cosf )x( ,

halle : )x(fmáx

a) 1 b) 21

c) 23

d) 43

e) 41

45. Del gráfico, calcule "x"(Cos40º = 0,766)

50º10º

A B

C

D

4

x

a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216d) 3,108 e) 2,748

46. Si el ángulo A mide rad13 ,

hallar el valor de :

A4CosA2CosA10CosACosF

a) 1 b) 21 c) 3

2

d) 21

e) 23

47. Dada la expresión x2Cos2xSen2

,

indicar si es igual a :

a)

2x3Sen

2x5Sen

b)

4x3Sen

4x5Sen

c)

2x3Sen

2x5Sen

d)

4x3Sen

4x5Sen

e)

4x3Cos

4x5Cos

48. Cuál de las siguientes expresiones equivale a : 2Cos6xSenx

a) Cos7x + Sen5xb) Cos7x + Senxc) Sen7x + Sen5xd) Sen7x + Cosxe) Sen7x Sen5x

49. La suma de los senos de tres arcos en progresión

aritmética de razón 32

es :

a) 1 b) 0 c) 1

d) 32

e) No se puede determinar.

50. Si :

aSenSen

bCosCos

)0ba( 22

Calcular : )(Cos

a) 22 ba

ab2

b) 22 ba

ab2

c) 22

22

ba

b3a

d) 22

22

ab

ab

e) ab2

ab 22

51. Si :Senx + Seny = aCosx Cosy = bcalcular :

)yx(aCos)yx(Sena)yx(Cos)yx(aSen1M

a) 1ab b) ab c) ba

d) ab e) b

a

52. Si : Sen2x + Sen2z = 0 y 4

xz ,

los valores de xCoszCos 22 serán :

a)2

22 ,

212

b)221 ,

221

c)221 , 21

TRILCE

125

d)221 , 21

e)221 ,

222

53. Transforme a producto :

)(2Cos 2Cos 2Cos 2CosW

a) )(Cos)(Cos)(Cos2

b) )(Cos)(Cos)(Cos4

c) )(Cos)(Cos)(Sen2

d) )(Cos)(Sen)(Cos4

e) )(Cos)(Cos)(Cos4

54. Si : Cos2x Cos4x Cos8x = 0,5,

calcule : x9Tanx7TanA

a) 0,6 b) 0,8 c) 1,6d) 1,8 e) 2,4

55. Calcular el valor de la siguiente expresión:

º70Sen2º80Sec21

a) Tan10º b) Cot10º c) 1

d) 1 e) º10Cot21

56. La función trigonométrica :

x2CosCosxx2TanTanx)x(f

es equivalente a :

a))x2CosxCos)(x2CosCosx(

x2SenxSen

b))x2CosxCos(

x23Sen

c)

2xxCos2CosxCos

x 23Sen

d)x

23Sen

2xxCosxCos2Cos

e)x2CosCosxx2xCos2Sen

57. Si : Seny = 2Sen(2x + y),entonces : Tan (x + y) es igual a :

a) 2Tanx b) 4Tanx c) 5Tanxd) 3Tanx e) Tanx

58. Si : 2Sen5x = 3Sen3x,hallar :

xCotx4Cot25M 22

a) 2 b) 1 c) 2d) 1 e) 0

59. Simplificar :

º20Sen31º20SenE

a) 2Tan20º b) Tan40ºc) 2Tan40º d) Tan20ºe) Sec20º

60. Calcular el valor aproximado de la expresión :S = Csc27º Sec27º

a) 53 b) 53 2

c) 2

53 d) 53

e) 55

Trigonometría

126

Claves Claves

c

b

a

b

b

d

d

a

d

b

a

b

c

c

b

a

d

c

a

b

a

d

e

d

a

e

d

b

d

b

b

b

c

b

a

b

b

c

b

a

a

b

c

d

a

b

c

e

b

d

d

e

b

a

d

c

d

e

b

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

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50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

127

CapítuloFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES

DE VARIABLE REAL13INTRODUCCIÓNDentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad pararepresentar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar.En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en larepresentación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

F.T. = {(x ;y) / y = R.T. (x) ; x D(F.T.)}

Por ejemplo :

}D(Tan) x ;Tanx y/ )y;x{(Tangente).(T.F

Si queremos algunos pares ordenados :

... , 3 ;

32 , 3 ;

3 , 1 ;

4 , 0) ; (0)Tangente.(T.F

CONSIDERACIÓN I :Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recordar las representaciones, en la circunferenciatrigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicionales.

Sen

Sen Sen

Sen

AA’x

B

B’

y

Cos

CosCos

Cos

AA’x

B

B’

y

AA’x

B

B’

y

Tan

Tan

Cuadro de Variaciones I

0000Tan

10011001Cos

01100110Sen

22

32

322

0

Trigonometría

128

Además, no olvide que en la C.T. mostrada, los arcos con extremo en :

Zn ; 2

3)(4n forma : la de es B'

Zn ; 1)(2n : forma la de es A'

Zn ; 2

1)(4n : forma la de es B

Zn ; n2 : forma la de esA

A’ A

B

B’

x

y

Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en :

A o A' ; es de la forma : n ; Zn

B o B' ; es de la forma : 2

)1n2( ; Zn

A,A' ; B o B' ; es de la forma : 2

n ; Zn

Por ejemplo : si nos pidiesen hallar " " que cumple :

0Sen " " tiene su extremo en A o A' n ; Zn

1Sen " " tiene su extremo en B 2)1n4( ; Zn

0Cos " " tiene su extremo en B o B' 2)1n2( ; Zn

1Cos " " tiene su extremo en A' )1n2( ; Zn

02Sen " 2 " tiene su extremo en A o A' n2 ; 2n ; Zn

ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO

F.T.(Sen) = {(x ;y) / y = Senx ; x D(Sen)}

Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :

2x

1x

2Senx

1Senx

25

23

2

1

02

2 3 x

y

1

Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar :

TRILCE

129

* D(Sen) = R

* 1Senx1]1 ; 1[R(Sen)

mín

máx* Es una función continua en R.* Es una función creciente y decreciente.* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* Es una función impar : Sen(x) = Senx* No es inyectiva.

II . FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO

F.T.(Cos) = {(x ;y) / y = Cosx ; x D(Cos)}

Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :

2x

1x

2Cosx

1Cosx

25

23

2

1

02

2

3x

y

1

Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar :* D (Cos) = R

* 1Cosx1]1 ; 1[R(Cos)

mín

máx* Es una función continua en R.* Es una función creciente y decreciente.* Es una función par : Cos(x) = Cosx* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* No es inyectiva.

III. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE

F.T.(Tan) = {(x ; y) / y = Tanx ; x D(Tan)}

De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se

define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los arcos de la forma Zn , 2

)1n2( no

pertenecen al dominio de la función.

25

23

2 0

2 2 x

y

Tan

Tan

3

Asíntotas

Trigonometría

130

A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar :

*

Zn ;

2)1n2(R)Tan(D

* Tanx R)Tan(R

* No se define en 2

)1n2( ; Zn

* Es una función creciente en cada cuadrante.* Es una función impar : Tan(x) = Tanx

* Es una función periódica : T (período principal)* No es inyectiva.

CONSIDERACIÓN II :

AA’x

B

B’

y

AA’ x

B

B’

y

Sec

Sec

Cot Cot

Csc

Csc

AA’x

B

B’

y

Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangente, secante y cosecante no se definenrespectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con :A y A' n ; Zn

B y B' 2

)1n2( ; Zn

A y A' n ; ZnCuadro de variaciones II :

0

Csc

111Sec

0Cot

22

32

322

0

1

1

0 0

1

1 1

IV. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

}D(Cot)x ;Cotx y/ y); x{()Cot.(T.F

TRILCE

131

De acuerdo a lo visto en la representación y en el cuadro de variaciones, tendremos :

23

2 0

2 x

y

Cot

Cot

2

Asíntotas

Curva que recibe el nombre de cotangentoide; de donde podemos afirmar :

* }Zn ; n{R)Cot(D

* CotxR)Cot(R

* No se define en n ; Zn* Es una función decreciente en cada cuadrante.* Es una función impar : Cot(x) = Cotx

* Es una función periódica : T (periodo principal)* No es inyectiva.

V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE

}D(Sec)x ;Secx y/ y); x{()Sec.(T.F

Según la representación y variación, tendremos :

230

2 x

y

2

Asíntota

2

1

1

25 3

Curva denominada secantoide, de donde afirmamos :

*

Zn ;

2)1n2(R)Sec(D

* 1Secx o 1Secx ; 11 ; )Sec(R

* No se define en Zn ; 2

)1n2(

* Es una función creciente y decreciente* Es una función par : Sec(x) = Secx* Es una función periódica : 2T (período principal)* No es inyectiva.

Trigonometría

132

VI. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE

D(Csc) x ;Cscx y/ y);(x )Csc(T.F

23

02 x

y

2

Asíntota

2

1

1

25

Curva a la que se denomina cosecantoide, de la cual afirmaremos :* }Zn ; n{R)Csc(D * 1Cscx o 1Cscx ; 11 ; )Csc(R * No se define en Zn ; n * Es una función creciente y decreciente* Es una función par : Csc(x) = Cscx* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* No es inyectiva.

TRILCE

133


01. Halle la suma del máximo y mínimo valor de la función:f(x) = 3+Senx

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

02. Indique el mínimo valor que asume la función:g(x) = 4-Cos2x

a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

03. Determine el dominio de la función: 2Senx

4)x(f

a) }Zn/2

n{R b) R

c) R - {0} d) }Zn/n{R

e) }Zn/3

)1n2{(R

04. Determine el dominio de la función: )x1(Cos4)x(H

a) R b) R - {0} c) R - {1}

d) }Zn/n{R e) R - {2}

05. Graficar la función:

y = F(x) = 2Senx; ]2;0[x

a) b)y

x

-1

1

/223 /2

y

x

-1

1

2

c) d)y

x

-2

2

2

y

x

-2

2

2

e)

y

x2

1

0

06. Graficar: y=f(x) = |Senx|; ]2;0[x

a) b)

y

x

-1

1

2

y

x

1

20

c) d)

y

x2

y

x

-1

1

2

0

e) N.A.

07. Dadas las funciones f y g definidas por: f(x)=2Cosx yg(x) = 1+Cosx.Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)

a) <0; 2

> b) <0;> c) <;2>

d) < 2

; 23

> e) <0;2>

08. Determine el rango de la función: H(x)=3+3Cos2x

a) [2,5] b) [2,4] c) [3,6]d) R e) [0,3]

09. Determine el rango de la función: F(x)=4-2Sen2x

a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]d) [-1,1] e) R

10. Determine el rango de: g(x)=8Sen2x-1

a) [-2,5] b) [-1,7] c) [2,4]d) [-3,3] e) R

11. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7

a) 2 b) 32

c) 3

d) 23

e)

Trigonometría

134

12. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por:

1)x(Sen2)x(f ?

a) R b) R-{1} c) [-1;1]d) R-{0} e) [0;+ >

13. ¿Cuál es el dominio de la función g definida por:

2)x

1(Cos3)x(g ?

a) R b) R+{0} c) [-1;1]d) R-{1} e) <0;+>

14. Determine el rango de la función f definida por:

1CosxxCos2)x(f 2 .

a) ]89;2[ b) ]

167;2[ c) ]

87;4[

d) ]47;4[ e) ]

87;

23[

15. Si f es una función definida por:

25Senx2xSen)x(f 2

Determine el valor de: mínmáx f4f2E

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

16. Graficar: y = |Sen4x|Indicar su periodo.

a) 8 b) 4

c) 2

d) e) 2

17. Determine la extensión de la función:

TanxSenxCosxTanx)x(H

a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2]d) [-1;5] e) R

18. Si: 1xSen

1|Senx|)x(F

2

. Determine el rango de F..

a) <- ;-1] b) <-1;1> c) [0;1>d) <1;+ > e) R-{0}

19. Si: |Cosx|2)x(g . Determine el rango de g.

a) ]2;0[ b) ]2;2[ c) ]3;2[

d) [-1;1] e) ]3;1[

20. Hallar el rango de la función f definida por:

]2;0[x;3Senx2Senx)x(f

a) ]2/1,0[ b) ]4/3,2/1[ c) R

d) ]2,0[ e) ]1,1[

21. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Senx, posee un máximo en

; 0

II. La función y = f(x) = Senx, es inyectiva en

2 ;

2

III. La función : y = f(x) = Senx, es impar.

a) VVV b) VVF c) FVVd) VFV e) VFF

22. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Cosx, es inyectiva en

2 ;

II. La función : y = f(x) = Cosx, es creciente en ; 0

III. La función : y = f(x) = Cosx, es par.

a) VVV b) VFV c) VVFd) VFF e) FVV

23. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Tanx, tiene dominio :

Zn ;

2)1n2(R

II. La función : y = f(x) = Tanx, es creciente en

23 ;

2

III. La función : y = f(x) = Tanx, es impar.

a) VVV b) VVF c) FVVd) VFV e) VFF

24. Se define la función :y = f(x) = Tan2x + 1

¿Cuál será su dominio?

a)

Zn ;

2nR

b) Zn ; )1n2(R

c)

Zn ;

4)1n2(R

d) Zn ; nR

TRILCE

135

e) Zn ; n2R

25. Señale el dominio de la función :

Z)(n ; 1Cosx1Senx)x(gy

a) R b)

2)1n2(R

c) nR d) )1n2(R

e)

2nR

26. Señale el rango de la función :

xCos3xSen2)x(hy 22

a) [0 ; 2] b) 13 ; 3

c) 13 ; 0 d) [2 ; 3]

e) 13 ; 2

27. Determine el rango de "F".F(x) = 3 + SenxCosx

a) [2 ; 4] b) [3 ; 4]

c)

27 ;

25

d)

25 ;

23

e) [5 ; 7]

28. Dada la función :

SenxxCosh(x) 2 Determine su rango

a)

27 ;

23 b) 2; 1

c)

27 ; 2 d)

27 ;

45

e)

45 ; 1

29. Se define la función :y=f(x) = 2Csc3x 1

¿Cuál es su dominio?

a) Zn ; n3R

b)

Zn ;

3nR

c)

Zn ;

6nR

d)

Zn ;

3)1n2(R

e)

Zn ;

6)1n2(R

30. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función :f(x) = Sen(x 90º) en el intervalo [0 ; 72º]?

a) Sen ( 20º) b) 1

c) 21 d) 0,55

e) Sen 18º

31. Si consideramos M el valor máximo que asume lafunción :

f(x) = (3 Senx) (3 + Senx)y N el valor mínimo que asume la función:

31Cosx

31Cosx)x(g

Luego : M . N resulta :

a) 8 b) 8 c) 1d) 1 e) 0

32. Para qué valores de x, 2x0 se cumple Senx >Cosx

a) 4

x0 b) 43x0

c) 45x0 d)

47x0

e) 45x

4

33. Si f es la función definida por :

SenxCosx11SenxCosx2)x(f

0 ; 2

x entonces el rango de f es :

a) 34 ; b) 1 ;

35

c) ; 34 d)

34 ; 1

e) 1 ;

34

34. ¿Cuál o cuáles de las funciones dadas son inyectivas?I. f(x) = Senx x0II. g(x) = Cosx x0III. h(x) = Cotx x0

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) II y IIIe) I y II

Trigonometría

136

35. Si f(x) = aSen(kx) ; g(x) = aCos(kx) son funcionescuyas gráficas se muestran en la siguiente figura.Calcular las coordenadas del punto P.

f(x)

g(x)P

2

2

23

a)

2 ;

3b)

2 ;

125

c)

22 ;

3 d)

22 ;

125

e)

2 ;

35

36. Determinar el dominio máximo de la función :

41xSenxSen2)x(f 42

a)

Zn ;

4n

b)

Zn ;

2n

c)

Zn ;

4n

d)

Zn ;

4)1n2(

e)

Zn ;

2)1n2(

37. Dadas las proposiciones :

I. La función Senx es creciente en ; 0

II. La función Cosx es decreciente en ; 0

III. La función Tanx es creciente en 2 ; 0

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y IIe) II y III

38. El valor máximo que toma la función :

xCos4xSen3)x(f 22 , Rx , es :

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

39. El mayor valor que toma la función :f(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 es :

a) 102 b) 6

c) 103 d) 101e) 5

40. Hallar el mínimo valor de :

SenxxCos910M 2

a) 1817

b) 3635

c) 2827

d) 4645

e) 2423

41. Hallar el rango de f(x) = | Cotx| Senx

a) 1 ; 1 b) 1 ; 1

c) 1 ; 1 d) 1 ; 1

e) 1 ; 1R

42. Si m y M son los valores mínimo y máximorespectivamente, de la función :

xCosxSen)x(f 66 Entonces m + M es :

a) 21

b) 1 c) 23

d) 2 e) 45

43. Si P = (x ; 1a) es un punto que pertenece a la gráficade la función Seno,hallar :

A = Senx (1 Senx) (Cscx)

a) 1 a b) 2a

c) a1

d) a e) a 1

44. El mínimo valor de la función :

65 ;

3x ; xTan)x(f 2

a) 0 b) 31

c) 3

d) No existe el mínimo valor de fe) 1

TRILCE

137

45. Dadas las funciones :

y = f(x) = Sen2x |Senx| + Cos2x |Cosx|

y = g(x) = Senx

Se afirma :

I. En 2

; 0 , sus gráficas se intersectan en 1 punto..

II. En2

3 ; , sus gráficas se intersecan en 1 punto..

III. En 2 ; 2

3 , sus gráficas se intersectan en 2 pun-

tos.IV. El periodo principal de "f" es .¿Cuántas son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3d) Todas e) Ninguna


Zn ; CosxSenx)x(h Señale el dominio.

a) 1)(2n ; n2

b)

1)(2n ;

2)1n4(

c)

2 2n;

2)3n4(

d)

21)(4n ; n2

e)

23)(4n ;

21)(4n

47. Señalar cuál es la proposición falsa:

RRSecx )e

1] ; 1[RCosx )d

RnRCotx )c

R2

)1n2(R Tanxb)

1] ;

1[RSenx )a

RANGODOMINIOFUNCIÓN

( Zn )

48. En el intervalo ] 2; 0[ el siguiente gráfico corresponde

a :

3

2

2

3

32

2 x

y

a) Senx + 2Cosxb) 4Cosx + 3Senxc) 2(Senx + Cosx)d) 3Senx + 2Cosxe) 3(Senx + Cosx)

49. La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimode la función :

f(x) = |Senx| + |Cosx|Es aproximadamente igual a :

a) 0,41 b) 0,42 c) 0,44d) 0,46 e) 0,91

50. Hallar el máximo valor de :

CosxSenxCosxSenxE

Para :

4 ;

4x

a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2

51. Si : f(x) = 1 Sen|x|Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para las siguientesproposiciones:

I. f(x) es creciente en 23 ;

2

II. f(x) es decreciente en 2 ;

23

III. f(x) tiene como rango [0 ; 2]

a) VFF b) VFV c) VVFd) VVV e) FVV

52. Si R es el rango de la función f y

Senx2x7Senx2Cosx4Cosx6Cos)x(f

Entonces, podemos afirmar :

a) 1 ; 0R b) 0 ; 1R

c)

21 ; 0R d) R1 ; 1

e) R1 ; 0

Trigonometría

138

53. Hallar el valor de :

mínmáx ffE

Si : f(x) = 2Cosx (Cosx - Senx) - 1

85 ;

2x

a) 22 b) 1 c) 2

d) 22 e) 1

54. Hallar los valores x en el intervalo ; 0 para loscuales existe f, si :

xCos2Senx1

1)x(f2

a)

32 ;

3 b)

65 ;

6

c) 32 ;

3 d)

65 ;

6

e) 6

5 ; 3

55. Señale : RgRf , si :

Cosx3SenxSen)x(f

Cosx3SenxCos)x(g

a) [Sen2 ; 1] b) [1 ; Sen2]c) [Cos2 ; 1] d) [1 ; Cos2]e) [Cos2 ; Sen2]

56. Determine el rango de la función f definida por:f(x)=|Senx|+|Cosx|.

a) ]2;0[ b) ]2;21[ c) ]2;1[

d) ]1;0[ e) ]1;21[

57. Dada la función f definida por: f(x)=Sen2x+|Senx+Cosx|

Hallar: fmáx + fmín

a) 2 b) 2 2 c) 2

23

d) 3 e) )21(2

58. Determinar el periodo de:

4xSen

3xSen

2xSen)x(f

a) 12 b) 18 c) 24d) 48 e) 52

59. Si f es una función definida por:

CotxTanxCosxSenx)x(f ; halle el dominio de

dicha función, Zk .

a) R b) ]1;1[ c) }Zk/{R2

k

d) }Zk/k2{R e) ]1;0[

60. Dada la función :g(x) = Senx (Cosx + |Cosx|)

Señale su gráfico.

a)x

y

b)x

y

c) x

y

d)x

y

e) x

y

TRILCE

139

Claves Claves

b

c

d

b

c

b

d

c

b

b

b

e

e

a

d

b

a

a

c

b

a

b

a

c

d

d

c

e

b

e

d

e

e

d

b

d

e

b

a

b

a

e

d

b

c

d

e

d

a

c

d

b

e

d

c

c

b

c

c

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

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28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

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38.

39.

40.

41.

42.

43.

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45.

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50.

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52.

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54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

141

CapítuloFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS14OBJETIVOEl objetivo del presente capítulo es analizar las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas; así comofamiliarizarnos con las notaciones ArcSenx, ArcCosx, ArcTanx, etc; de modo que las interpretemos y operacionalicemoscorrectamente según las propiedades que se darán convenientemente.

INTRODUCCIÓNSegún el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inversa, es que debe ser inyectiva :

y

x

y

x

y

x

f

f no es inyectiva g no es inyectiva h si es inyectiva

g h

Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas :

y

x

y

x2

20

1

1

32

y=Senx

2

20 3

2

y=Tanx

Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la funcióntrigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia sepueda obtener su inversa.OBTENCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO

De la función : y = Senx

Tomamos el dominio :

2 ;

2

El rango no cambia : 1 ; 1Luego para hallar la inversa; hacemos en :

Senyx

Senxy

Esto es : "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x".Lo cual se denotará : y = ArcSenxFinalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos :

Trigonometría

142

2 ;

2 : *Rang

1 ; 1 : *Dom

ArcSenx)x(*fy

1 ; 1 :Rang

2 ;

2 : Dom

Senx)x(fy*ff

Cumpliéndose : ArcSen( x) = ArcSenx

II . F.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO

De la función : y = Cosx

Tomamos el dominio : ; 0

Sin cambiar el rango : 1 ; 1

Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose :

: *Rang

1 ; 1 : *Dom

ArcCosx)x(*fy

1 ; 1 Rang :

: Dom

Cosx)x(fy*ff

; 0

; 0

Cumpliéndose : ArcCos( x) = ArcCosx

III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE

De la función : y = Tanx,

tomamos el dominio : 2 ;

2

sin cambiar el rango : ;

Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose :

: *Rang

: *Dom

ArcTanx)x(*fy

Rang :

: Dom

Tanx)x(fy*ff

; 2

; 2

;

2

; 2

Cumpliéndose : ArcTan( x) = ArcTanx

IV. F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE

: *Rang

: *Dom

ArcCotx)x(*fy

Rang :

: Dom

Cotx)x(fy*ff

;

;

; 0

; 0

TRILCE

143

Cumpliéndose : ArcCot( x) = ArcCotx

V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE

: *Rang

: *Dom

ArcSecx)x(*fy

Rang :

: Dom

Secx)x(fy*ff

2 ; 0

2 ; 0 ; 11 ;

; 11 ;

Cumpliéndose : ArcSec( x) = ArcSecx

VI. F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE

: *Rang

: *Dom

ArcCscx)x(*fy

Rang :

: Dom

Cscx)x(fy*ff

}0{2

; 2

}0{2

; 2

; 1 1 ;

; 1 1 ;

PROPIEDADES

1 . F.T.)Dom(Arc n ; n(n) F.T.Arc .T.F

Esto es :

; 11 ; n , n))n(ArcCsc(Csc

; 11 ; n , n))n(ArcSec(Sec

R n , n))n(ArcCot(CotR n , n))n(ArcTan(Tan

1 ; 1 n , n))n(ArcCos(Cos1 ; 1 n , n))n(ArcSen(Sen

Por ejemplo :

31

31ArcSenSen

Tan(ArcTan4) = 4

2 . F.T.)Rang(Arc ; )( F.T. .T.F Arc

Esto es :

}0{2

; 2

, )ArcCsc(Csc

2 ; 0 , )Sec(ArcSec

; 0 , )Cot(ArcCot2

; 2

, )Tan(ArcTan

; 0 , )Cos(ArcCos2

; 2

, )Sen(ArcSen

Trigonometría

144

Por ejemplo :

55SenArcSen

; pues :

252

ArcCos(Cos1) = 1 ; pues : 10

2)2Tan(ArcTan ; pues

2 ;

22

En este caso, se le busca un equivalente a "Tan2" en el intervalo correspondiente al rango del ArcTan, asi :MA' = NA = 2; entonces : AN = 2 Note que : Tan2 = Tan(2) luego :ArcTan(Tan2) = ArcTan[Tan(2 )]ArcTan(Tan2) = 2

ya que : 2

22

3 .

; 11 ; ; 2

ArcCscxArcSecx

R ; 2

ArcCotxArcTanx

1 ; 1 ; 2

ArcCosxArcSenx x

x

x

4 .

1n ; 0x , 1xy : Si1n ; 0x , 1xy : Si0n ; 1xy : Si

nxy1yxArcTanArcTanyArcTanx

5 .

1n ; 0x , 1xy : Si1n ; 0x , 1xy : Si0n ; 1xy : Si

nxy1yxArcTanArcTanyArcTanx

TRILCE

145


01. Calcule : 22ArcCos

23ArcSenE

a) 125

b) 127

c) 9

d) 8

e)

02. Calcule:

25ArcSecSenE

a) 21

b) 32

c) 55

d) 5

52e)

105

03. Halle el valor de:

32ArcTan 2Cos

a) 52

b) 53

c) 135

d) 1312

e) 815

04. Halle "x", si : 4ArcSenx = ArcCosx

a) 21

b) 41

c) 23

d) 4

15 e)

415

05. Resolver : 2xArcSec

1x2xArcTan

a) 1 b) 2 c) 0d) 1 e) 2

06. Si :32ArcSenxArcCosy ,

calcule: M = ArcSeny + ArcCosx

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

07. La suma de :

23ArcSen ,

22ArcSen , ArcTan0 y

32ArcSec es :

a) 0 b) 43

c) 23

d) 32

22

23 e) 3

4

08. Reducir: )4ArcCot(Csc)3ArcTan(SecM 22

a) 7 b) 13 c) 15d) 27 e) 12

09. El resultado de :

23ArcSen

21

23ArcCos es :

a) 120º b) 150º c) 60ºd) 30º e) 240º

10. Calcular : Sec(Arc Tanb)

a) 1b b) 2bc) No se puede determinar

d) 2b e) 2b1

11. Determinar el valor de la expresión :

31ArcTan

51ArcSenCosP

a) 105

154 b)

106155

c) 106

155 d)

105166

e) 105

166

12. La expresión trigonométrica ArcCosu=z significaCosz = u.

Suponiendo : ] ; 0[z .

Hallar :

21ArcCosSen2

a) 21

b) 43

c) 3

d) 3

32e)

33

Trigonometría

146

13. Dada la ecuación: ArcTan(x+1)ArcTan(x1)=ArcTan1Indicar la suma de las soluciones

a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2

14. Si: 3ArcTan2

3ArcTan3ArcTan ,

entonces :

a) 239 2

b)31

c) 239 2

d)31 ó

32

e)31 ó

32

15. Si : Tan(ArcTan2x) + Cot(ArcCotx) = 6,

calcule :

1xxArcCosTanK

a) 2 b) 22

c) 42

d) 3

32e)

23


31x2ArcSen

32)x(g ,

halle : gDom

a) 3 ; 2 b)

2; 21

c)

21 ; 1 d) 2; 1

e) 1 ; 2


75x6ArcCos

65)x(h ,

halle : hDom

a)

34 ; 1 b)

2;

31

c)

31 ; 2 d)

2; 65

e)

65 ;

31


2xArcSen2)x(g ,

halle : gRango

a) 3 ; b) ;

c) 0 ; 2 d)

23 ;

2e) 2 ; 0

19. Dada la función : 43x4ArcCos

41)x(h ,

halle : hRango

a)

4 ; 0 b)

;

43

c)

87 ;

85

d)

; 2

e)

23 ;

45

20. Graficar : )1x(ArcSen4y

a)

y

xb)

y

x

c)

y

xd)

y

x

e)

y

x

21. Grafique la función :

4ArcCosx2y

a)

y

xb)

y

x

c)

y

xd)

y

x

TRILCE

147

22. Calcule :

65SenArcSen

6SenArcSen

67SenArcSen

a) 0 b) 6 c) 6

d) 3

e) 2

23. Calcule: )4Cos(ArcCos)2Cos(ArcCos

a) 12 b) 12

c) )1(2 d) )1(2

e) )2(2

24. Calcular el valor de: 2

1ArcTan1212ArcTanx

a) 22º30' b) 45º c) 67º30'd) 30º e) 60º

25. Hallar x, sabiendo que: ArcSenx38ArcCos

a) 30º b) 98

c) 21

d) 31

e) 15º

26. El valor o valores que verifican :

23)ArcCosx(Sen)ArcSenx(Cos

Son :

a) 47 y

45

b) Sólo 47

c) 47 y

47 d)

47

e) 45 y

45

27. Hallar : x

ArcCscx53ArcCos2ArcCot2

a) 0 b) 54

c) 524

d) 257

e) 2425

28. Señale el rango de la función :y = f(x) = ArcSenx+ArcCosx+ArcTanx

a)

23 ;

2 b)

43 ;

4

c) 23 ;

2

d) 43 ;

4

e) ; 0

29. Calcule :

8513ArcSen

53ArcSen

1715ArcSen

a) 4

b) 2

c) 43

d) 65

e)

30. Al resolver la ecuación :

0)2ArcTan(Senx1ArcSenTan 2

,

tenemos :

a) 35x b) x no existe.

c) 55x d) x = 1

e) 6533x

31. Si : 211ArcSen

12ArcSen

,

el valor de " " es :

a) 1 ; 0 b) 32

c) 10 d) 1 ; 2e) 1

32. Evaluar la expresión :

4

1127ArcTan2111ArcTan3Sen

a) 0 b) 1 c) 3

d) 11 e) 27

33. Calcular el valor de la siguiente expresión:

125ArcTan)4(ArcCot2Sen

Trigonometría

148

a) 1009

b) 20019

c) 22121

d) 0 e) 101

34. Si 1x0 , entonces, podemos afirmar que

)1x2(ArcCos 2 es igual a :

a) Arc Cosx b) Arc Senxc) 2Arc Senx d) 2 Arc Cosxe) Arc Cos2x

35. Resolver la ecuación: 3ArcSenxx2ArcSen

a) 73

21x b) 7

321x

c) 1 d) 73

31x

e) 73

31x

36. Si : SecArcTanSecArcCotx y Cosx > 0, elvalor de Senx es :

a) 2

Tan2 b)

2Cot2

c) 2

Tan2 d) 2Tan

e)

2Cot2

37. Calcular el valor de "m", para que se cumpla la siguienteigualdad: Sen(ArcTanm) = Tan(ArcSenm)

a) 1 b) 0 c) 1d) 2 e) 2

38. Resolver: 23

21xArcCosArcCosx

21xArcCos

a) 0 b) 1 ; 0 ; 1

c) 1 ; 0 d)

41 ; 0

e)

41 ; 0 ;

41

39. Si : cba ,halle :

abcArcTan

acbArcTan

bcaArcTan

a) 0 b) 4

c) 6

d) 32

e)

40. Reduzca:

2x1

x2ArcSenArcTanx2

Para : 1 ; x

a) b) 2ArcTanxc) 4ArcTanx d) e) 0

41. Señale el número de raíces de la ecuación:

2

2xArcCos2x62x2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ninguna

42. Acerca de la función:

3 2x1ArcSen)x(f

Podemos afirmar que :

I. 2 2; 0:Domf

II.

2 ; 0:Ranf

III. "f" es decreciente 1 ; 0 x

Luego, es correcto :

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y IIe) II y III

43. Si :

21 ;

23x , determine el rango de la

función:

ArcCosx63)x(g

a) 2; 1 b)

1 ; 21

c)

3 ; 73

d)

23 ;

21

e)

23 ;

53

44. Calcular el valor de :

41ArcSen

21

2Cos

a)

4

35b)

4

35

TRILCE

149

c) 4

35 d)

425

e)

4

25

45. Señale el dominio de la función :

4|x| x3ArcCos

41)x(h

a) 2; 2 b) 1 ; 1

c) 2; 1 d) 1 ; 2

e) 3 ; 0

46. Obtenga el valor de la expresión :

1xArcCsc1x2ArcCot

2xArcTanArcCosx)2x(ArcSenA2

a) 0 b) 32 c) 3

5

d) 31 e) 5

3

47. Reduzca :

12

5152ArcSen32ArcSenJ

a) 61ArcSen b)

52ArcSen

c) 41ArcSen d)

72ArcSen

e) 31ArcSen


32ArcSen

4Cos

31ArcCos

4SenN 33

a) 18

67b)

1865

c) 9

37

d) 9

25e)

427

49. Si: ArcSenx + ArcSeny + ArcSenz = ,

calcule: xy

z1zx

y1yz

x1H222

a) 1 b) 2 c) 2d) 4 e) 4

50. Calcule :

3

122ArcTan31

312ArcTan

21 33

a) 10

b) 18

c) 36

d) 40

e) 72

51. Resolver :

65

xx1ArcTan

x1xArcTan

a) 353

b) 443

c) 4 6

d) 454

e) 3 2

52. Al resolver la ecuación : 01x3x3 ,

se obtiene como raíces : 1x ,

2x , 3x

Calcule el valor de :

3

1kkx

21ArcSen

a) 9 b) 10

c) 18

d) 913

e) 926

53. Del gráfico mostrado, halle :a + 3b c

y

x22

y=a+b.ArcCos(cx)

y=ArcSenx

a) 12

b) 6

c) 4

d) 3

e) 127

54. Se define la función :

3ArcTanx4xArcTan)x(f 2

Halle el dominio de dicha función :

Trigonometría

150

a) Tan1; b) ; 1Tan

c) R d) Tan1; 1Tan

e) Tan1; 0

55. Qué valor de "x" maximiza :

)ArcCosx()ArcSenx()x(fy 5

a) 2

13 b)

213

c) 4

26 d)

426

e) 36

56. Del gráfico, calcular :

TanTanKy

x

y=ArcCosx

y=2ArcSenx

a) 21

b) 41

c) 2

d) 4 e) 43

57. Dada la función "f" definida por :

ArcCotxArcSenx)x(f ,halle :

2fmínfmáx

a) 4 b) 2

c) 0

d) 4

e) 2

58. Calcule :

1º10Csc

3 ArcTanM

a) 10

b) 9

c) 5

d) 18

e) 20

59. Graficar :

2x1

x2 ArcSen)x(fy

a)

y

x11

2

2

b)

y

x

c)

y

x1

1

2

2

60. Si :

)2SecArcCsc(Sen)2CosArcTan2(Tan

pmCscn Calcule : W = m + n p

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TRILCE

151

Claves Claves

b

c

c

d

b

b

b

d

a

e

e

c

c

b

b

d

b

c

b

c

b

c

d

b

d

c

e

b

b

a

a

a

c

d

a

a

b

a

e

d

a

c

b

c

c

d

c

a

b

c

b

c

b

a

d

a

b

b

a

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

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40.

41.

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50.

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59.

60.

TRILCE

153

CapítuloECUACIONES E INECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS15ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operadortrigonométrico como el seno, coseno, etc.

Es de la forma : F.T. (ax + b) = N ............... (*)

Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la función trigonométricainversa.

De (*) : Vp = Arc F.T. (N)

Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con 0a .Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales :

*32

3ArcSenVp23x3Sen

*32

21ArcCosVp

21

4x2Cos

*4

)1(ArcTanVp185

x3Tan

EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓNTRIGONOMÉTRICA

ECUACIÓN SOLUCIÓN

Zk ; Vp1)(K x NSenx : Si K

Obs : Vp = ArcSen(N)

ECUACIÓN SOLUCIÓN

ZK ; Vp2K x NCosx : Si

Obs : Vp = ArcCos(N)

Trigonometría

154

ECUACIÓN SOLUCIÓN

ZK ; VpK x NTanx : Si

Obs : Vp = ArcTan(N)

INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Inecuación Trigonométrica : Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menosuna.

Ejemplos :

* Sen2x > Cosx* Tan2x + Cot2x > Cscx

* 41xSenxCosxCosxSen 33

* 31x2Sen

Inecuación Trigonométrica Elemental : Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma :

incógnita : xa ,)Kx.(T.F

Ejemplos :

* 21Senx

*23x2Cos

* 1x3Tan

Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental :

Se estila seguir dos métodos :

Resolver : 21Senx

TRILCE

155

Método I :

En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que 21

, así :

Zn ; n26

5 ; n26

x

Zn ; n26

5xn26

65x

621Senx

El conjunto solución general será : 21

y

56

6

x +y =12 2

Método II :Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones :

21g(x) Senx)x(f

Los puntos de intersección en un periodo del Senx : osea en 2; 0 , se obtienen con :

21Senx)x(g)x(f

65x

6x

21

y

56

6

1

1

2x

21)x(g

f(x)=Senx

Trigonometría

156


01. Sume las dos primeras soluciones positivas de:

21x2Sen

a) 180º b) 360º c) 90ºd) 270º e) 135º

02. Sume las dos primeras soluciones positivas de :

21x3Cos

a) 120º b) 240º c) 300ºd) 260º e) 270º

03. Sume las dos primeras soluciones positivas de :

3)º30x2(Tan

a) 170º b) 180º c) 200ºd) 210º e) 150º

04. Si : 1x y 2x son los dos primeros valores positivos de

"x" que verifican :

1CosxxSen2 2 ,

calcule : )xx(Sen 12 ,

si : 21 xx

a) 23

b) 21

c) 1

d) 21 e)

23

05. Resolver :(Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5xIndique la suma de los tres primeros valores positivosde "x"

a) 2 b) 3 c)

d) 37

e) 4

06. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuación :

)x3Cosx5Cos(3x3Senx5Sen

a) 135º b) 180º c) 165ºd) 160º e) 210º

07. Señale la suma de las dos menores soluciones positivasde la ecuación :

1xCosxSenxSen 442

a) 90º b) 180º c) 270ºd) 225º e) 135º

08. Resolver :

1xCot

1

xTan

2

xSen

1

xCos

12222

Luego, señale la suma de las dos primeras solucionespositivas.

a) 90º b) 135º c) 180ºd) 225º e) 270º


Cos2x2Senx4Sen

x2Cosx4Cos

Luego, señale la menor solución positiva.

a) 4

b) 6

c) 3

d) 8

e) 12

10. Resolver :

54SenxCosy ........... (1)

51SenyCosx ........... (2)

Para : 90º ; 0 y, x

a) x = 63º30' ; y = 26º30'b) x = 53º ; y = 37ºc) x = 71º30' ; y = 18º30'd) x = 67º30º ; y = 22º30'e) x = 60º ; y = 30º

11. Resolver :

21)ArcCosx2(Cos

a)

21

b)

23

c)

23 ;

21 d)

23 ; 1

e)

22

12. Resolver :

9Cosx2Sen ; Zn

TRILCE

157

a)

185)1(n b)

367)1(

2n n

c)

187)1(n n d)

9)1(n2 n

e)

185)1(

2n n

13. Resolver :

2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; Zn

a) n2 b) n4

c) n d)

2n

e)

4n

14. Resolver : Secx = 6Senx ; Zn

a)

61ArcSen

2)1(nn

b)

61ArcSen

2)1(

2n n

c)

31ArcSen

2)1(nn

d)

31ArcSen

2)1(

2n n

e)

32ArcSen

2)1(

2n n

15. Resolver en el intervalo de 2; 0 la inecuación :

21Senx

a)

65 ;

6 b)

65 ;

6

c)

65 ;

6 d)

32 ;

3

e)

32 ;

3

16. Resolver en el intervalo de 2; 0 la inecuación :

21Cosx

21

a)3

5 ; 3

432 ;

3

b)

611 ;

67

65 ;

6

c)

3

5 ; 3

432 ;

3

d)611 ;

67

65 ;

6

e)

3

5 ; 6

732 ;

6

17. Resolver en el intervalo de ; 0 la inecuación :

0TanxxTan2

a) 2 ;

4

b) 4 ; 0

c)

2 ;

4 d) ; 2

e)

243 ;

4

18. Resolver :

07CosxSenx2

1Cosx2

Para : ; 0x

a) 43 ;

2

b) ;

4

c) ;

43 d)

4

; 0

e) 43 ;

4

19. Resolver :

41

2xCos

2xSen

2xCos

2xSen 33

en el intervalo de 2; 0

a) 65 ;

6

b) 32 ;

3

c)

65 ;

6 d)

32 ;

3

e)

; 6

56

; 0

Trigonometría

158

20. Resolver en 2; 0

Sen2x > Cosx

a) 2 ;

6

b) 23 ;

65

c) 2 ; 6

7 d) ba

e) ca

21. Dada la ecuación :Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,

hallar la suma de todas las soluciones de dichaecuación, si estas soluciones están comprendidas entre0 y 2 (radianes).

a) b) 2 c) 4

d) 3 e) 6

22. Al resolver el sistema :

32TanySenx6

34Tany3Senx2,

se obtiene que la solución en el primer cuadrante es :

a) x = 45º , y = 45ºb) x = 60º , y = 30ºc) x = 30º , y = 60ºd) x = 60º , y = 45ºe) x = 60º , y = 60º


TanxCscxxCosx2Sen 2 ,calcular la diferencia entre dos de dichas soluciones :

a) 32

b) 6

c) 12

d) 152

e) 43

24. Resolver la siguiente ecuación :

01Senxx2Cos2x2SenxCos2

a) 8 ,

12 ,

2

b) 4 ,

6 ,

2

c) 12 ,

6 ,

2

d) 65 ,

6 ,

2

e) 125 ,

12 ,

2

25. Hallar "x" en :Sen40º Senx = Cos40º Cosx - 2Cos20º Cosx

a) 130º b) 150º c) 60ºd) 135º e) 120º

26. Al resolver la ecuación 1Tan3 2 donde

20 , la suma de todas sus soluciones es :

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

27. La suma de las soluciones, en el intervalo [0º ; 360º]de la ecuación :

CosxSenxx2Sen2 es :

a) 450º b) 495º c) 600ºd) 945º e) 1170º

28. La afirmación que cumple con la siguiente inecuación:

3Cosx2Senx3

a)

51Sen Arcx

b) 652Cosx

c)32 Senx

d)

2

51Sen Arcx

e)4

9 x

29. Si 1x y 2x son dos soluciones de la ecuación : 5Cosx

4Senx = 4,entonces el valor de :

2121 SenxSenxSenxSenx es :

a) 0 b) 1 c) 1

d) 21 e) 221

30. Dada la función f cuya regla de correspondencia es :f(x) = Cosx Sen2x

En la que x varía : 2x El número de intersecciones de la función y = f(x) conel eje de abscisas es :

a) 3 b) 4 c)5d) 6 e) 7

31. Resolver la desigualdad :Sen2x > Senx , x0

a)

3 ; 0 b)

3 ; 0

c) 3

; 0 d)

3 ; 0

TRILCE

159

e) ; 0

32. Calcular la suma de las soluciones de la ecuación

trigonométrica, si

2 ;

2x

2x

4Cos

2x

4Sen2Cosx3

a) 2

b) 2 c) 3

d) 3

e)

33. Resolver la ecuación :

xCos8Cotxx2Tan 2NOTA : K es un número entero.

a)3

)1(4

K k

b)6

)1(4

K k

c)12

)1(4

K k

d)24

)1(4

K k

e)48

)1(4

K k

34. Hallar el menor ángulo en el intervalo

311 ;

37

que satisface la ecuación :

0Secx3xTan2 2

a) 310

b) 32

c) 34

d) 0 e) 38

35. Determinar la suma de todas las soluciones de laecuación :

1Senx1

2xSen

1

Que se encuentran en el intervalo ] ; 0[

a) 2

b) 4

c) 3

d) 0 e)

36. Resolver la ecuación :Sen2x + 5Senx + 5Cosx + 1 = 0

a) Zk ; k4

b) Zk ; k24

c) Zk ; k243

d) Zk ; k4

e) Zk ; k43

37. Resolver la ecuación :Sen4x + 3Sen2x = Tanx

a) Zk ; 3k

b) Zk ; k2

c) Zk ; 3

k

d) Zk ; 6k

e) Zk ; 4k

38. Resolver e indicar el número de soluciones en 2; 0

de la ecuación :Cosx = (2 Tanx) (1 + Senx)

a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) No existen soluciones.

39. Si k es un número entero, las soluciones de la ecuación:

xSenxSec4

xSen2 2

son :

a) 4

k b) 4

k

c) 3

)1(k k d) 6

)1(k k

e) 6

k2

40. El ángulo en grados, que satisface la ecuación :

6Cos12

Cos23

Pertenece al intervalo :

a) 240º; º180

Trigonometría

160

b) 135º ; º120

c) 300º ; º300

d) 120º ; º90

e) 270º; º240

41. El número de elementos del conjunto :

01SecxCos2xSecx / ] 2; 0[xF es :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

42. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica :

CotxSenx2xCot

a) )1k2(21 b) )1k2(

31

c) )1k2(41 d) )1k4(

21

e) )3k4(21

43. Indique una solución general para la ecuación :4Cosx Cos2x Cos3x = 1

a)4

k ; Zk

b)2

k ; Zk

c)3

k ; Zk

d)6

k ; Zk

e)8

k ; Zk

44. Sea : 2

x0 ; 4

y0

Entonces el intervalo en el que x satisface la igualdad :Tany = 2Senx es :

a) 6

x0 b) 6

x0

c) 6

x0 d) 6

x0

e) 4

x0

45. En el intervalo 2; 0 , para qué valores de , secumple la siguiente desigualdad:

TanSec

a)

4

7 ; 2

32

; 0

b) 2 ;

23

2 ; 0

c) 2 ; 2

3

d) 23 ;

2

e)

2 ; 2

3 ; 2

46. Para qué valores de ; 0x , se cumple:

03x2Cos

2xCos2

a) ; 0 b) 3

; 0

c) 2

; 0 d) 32 ; 0

e) ; 32

47. Calcule la mayor solución negativa de la ecuación :

6xTan

9xTan

18xTanTanx

a) 9 b) 9

2 c) 94

d) 95 e) 36

17

48. Resuelva :

6 |x2Cotx2Tan|)x2Cotx2Tan( 2

Zk

a)

84k b)

82k

c)

4k d)

16k

e)

88k

TRILCE

161

49. Resolver :

2x3Sen

2x9Sen

2x3Cos

2x9Cos 4444

Zk

a)

2)1k4( b)

6k

c)

2)1k2( d)

12k

e)

12)1k4(

50. Halle el menor valor positivo que resuelve la ecuacióntrigonométrica :

x2Cos43x6Cos 2

a) 15

b) 12

c) 5

d) 4

e) 6

51. Resuelva la ecuación :

|Cosx|928xCos

31 2

e indique la suma de soluciones en el intervalo de

2; 0

a) 5 b) 4 c) 6

d) 29

e) 27

52. Si : 14Senx1

es una raíz de :

nx4x4x8)x(f 23 ,

calcule "n"

a) 1 b) 2 c) 7

d) 1 e) 7

53. Resolver la ecuación :

x3xTan2Tanx2Tan3x3Tan2 2Zn

a)

3n b)

6n

c)

6n2 d) n

e) n2

54. Resolver :Tan5x Tanx = Tan2x Tan3x

Zk

a)

246k

b)

183k

c)

243k2

d)

93k2

e)

122k

55. Si : 21 x x son las dos menores soluciones positivas

de la ecuación :

)xTan35(x5TanxTan53 222

Tal que : 21 xx ,

halle : 1

2x

x

a) 3 b) 6 c) 4d) 8 e) 5

56. Resolver :

2723xCosxSen 32

Zk

a)

31ArcCosk2

b)

32ArcCosk2

c)

32ArcSen)1(k k

d)

31ArcSen)1(k k

e)

31ArcTank2

57. Resolver :

x4CosxSen8 4 ; Zn

a)

43ArcCosn

b)

43ArcCos

21n

c)

43ArcCos

2n

Trigonometría

162

d)

43ArcCos

21

2n

e)

43ArcCos

21

4n

58. Si el determinante de la matriz :

111x6Senx4Senx2Senx5Senx3SenSenx

C

Es : 0,5Sen2x

Hallar "x" ( Zn )

a)

2n

b)

6)1(n n

c)

6)1(n n d) a y b

e) a y c

59. Resolver :13(1 + Senx + Cosx) + Sen2x = 0

Zn

a)

4)1(n n

b)

4)1(n n

c)

2)1(n n

d)

44)1(n n

e)

44)1(n n

60. Resuelva :

04xSen

2xSen2

e indique como respuesta la suma de soluciones en

8 ; 0

a) 12 b) 16 c) 20d) 15 e) 28

TRILCE

163

Claves Claves

c

a

b

d

e

c

b

c

b

a

b

b

d

d

b

c

c

e

c

d

e

e

a

d

e

c

b

d

b

c

c

c

d

e

d

d

a

a

b

c

b

a

c

d

b

c

c

a

b

b

b

a

d

b

c

b

b

c

d

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

TRILCE

165

CapítuloRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS16¿Qué es resolver un triángulo?

Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus treslados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que definan el triángulo.

¿Cómo resolver un triángulo?

Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra definido; para resolverlo, se utilizaránalgunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo como las siguientes:

I . TEOREMA DE LOS SENOS :

"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos"

SenCc

SenBb

SenAa

A

B

Cb

ac De donde : aSenB = bSenA bSenC = cSenB cSenA = aSenC

Corolario :"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo laconstante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo".

SenCc

SenBb

SenAa

R : Circunradio

De donde : a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC

A

B

C

Rca

b

2R

II . TEOREMA DE LOS COSENOS :

Trigonometría

166

"En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudesde los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado porellos".

A

B

C

a

b

ca = b + c 2bc CosA2 2 2

b = a + c 2ac CosB2 2 2

c = a + b 2ab CosC2 2 2

De donde podemos deducir fácilmente :

ab2

cbaCosCac2

bcaCosBbc2

acbCosA222222222

III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES :"En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes conel Coseno del ángulo que forman con el primer lado":

a = bCosC + cCosB

b = aCosC + cCosA

c = aCosB + bCosAA

B

Cb

ac

IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES :"En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a su diferencia; como la Tangente de lasemisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos".

A

B

Cb

ac

2ACTan

2ACTan

acac

2CBTan

2CBTan

cbcb

2BATan

2BATan

baba

ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES

TRILCE

167

abCosC2bam4

acCosB2cam4

bcCosA2cbm4

222c

222b

222a

m : Mediana relativa a “a”a

A

B CMa

ma

V : Bisectriz interior del “A”A

A

B C 2CCos

baab2VC

2BCos

caac2VB

2ACos

cbbc2V

A

D

VA

V’ : Bisectriz exterior del “A”A

A

B C

V’A

2CSen

|ba|ab2'V C

2BSen

|ca|ac2'V B

2ASen

|cb|bc2'V

A

RADIOS NOTABLES

2BCos

2ACos

2CRSen4rc

2CCos

2ACos

2BRSen4rb

2CCos

2BCos

2ARSen4ra

r : Exradio relativo al lado “a”ar : inradio

2CSen

2BSen

2ARsen4r

A

B Cr

ra

A

B

C

Trigonometría

168


01. En un triángulo ABC: º30A ; º135B y a = 2.Calcular : "c"

a) 26

b) 2

26

c) 2

26

d) 4

26

e) 13

02. En un triángulo ABC : a = 3 ; b = 2º60C .

Calcular : "c"

a) 23

b) 62

c) 6

d) 13

e) 7

03. En un triángulo ABC, se tiene que :

4SenC

3SenB

2SenA

Halle el valor de :

22

22

ab

cbJ

a) 1225

b) 725

c) 713

d) 5

e) 512

04. En un triángulo ABC:

7c

5b

3a

¿Cuál es la medida de C ?

a) 60ºb) 30º

c) 120ºd) 150ºe) 127º

05. En un triángulo ABC; simplificar :

222

222

cba

bcaJ

a) TanAb) CotAc) TanB . TanCd) TanC CotB

e) ATan2

06. En un triángulo ABC, se sabe que :

ac21bca 222

Calcular : 2BCos

a) 125,0

b) 625,0

c) 0,25d) 0,125e) 0,625

07. En un triángulo ABC, se cumple :aCotA = bCotB = cCotC

¿Qué tipo de triángulo es?

a) Isósceles.b) Equilátero.c) Acutángulo.d) Obtusángulo.e) Rectángulo.

08. En el prisma rectangular mostrado, calcular: Sec

23

4

a) 3

25

TRILCE

169

b) 15

226

c) 29

226

d) 13

215

e) 11

213

09. En un triángulo ABC, reducir :

SenCbCosAaCosBQ

a) R

b) 2R

c) 2R

d) 4R

e) 4R


222 cba

caCosBbcCosAabCosCQ

a) 1

b) 2

c) 21

d) 4

e) 41

11. En un triángulo ABC, se cumple :(a c) CosB = b (CosC CosA)

¿Qué tipo de triángulo es?

a) Acutángulo.b) Rectángulo.c) Equilátero.d) Obtusángulo.e) Isósceles.

12. En un triángulo ABC, simplificar :(p : Semiperímetro)

SenB

cSenBbSenCSenA

bSenAaSenBQ

SenCaSenCcSenA

a) pb) 2pc) 3pd) 4pe) 8p

13. En un triángulo ABC, reduzca :G = (aCosC + cCosA) CosC + (aCosB + bCosA) CosB

a) ab) bc) cd) 0e) a + b + c

14. En un triángulo ABC, reduzca la expresión

cbac

SenCSenBSenBSenAG

a) 21

b) 1c) ad) b + c

e) 1ca

15. En un triángulo ABC, se tiene que :2a = 7b º60Cm

Halle el valor de :

2BATan

a) 3

35

b) 9

35

c) 5

39

d) 237

e) 7

32

Trigonometría

170

16. En un triángulo ABC, se cumple :

222 cbbc23a

Halle : 2ATan

a) 7

b) 77

c) 25

d) 55

e) 75

17. Si en un triángulo ABC; 3aCosCbbCosCa

Calcular :

2BATan

2CTan

G

a) 1b) 2c) 4

d) 21

e) 41

18. En un triángulo ABC :

ab21cba 222

Calcular : 2CTan

a) 2,0

b) 3,0

c) 4,0

d) 5,0

e) 6,0

19. En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP AN = 2NC.

Calcular : Sec

MP

A

B

C

N

a) 9 b) 912 c) 91

d) 912 e) 712

20. Dado el triángulo ABC, hallar el ángulo "B".

A

B

C

30°30°

2

3

a) 33ArcSen

b) 3ArcTanc) ArcTan3

d) 33ArcSec

e) 33ArcTan

21. En la figura, G es el centro del cuadrado ABCD. Hallarla suma de los cuadrados de las distancias de los vérticesdel cuadrado de la recta XY, si el lado del cuadrado esL.

A B

CD

20°x

yG

a) 2L

b) 2L2

c) 2L3

d) 2L4

e) 2L5

TRILCE

171

22. El producto Sen2B . Sen2C del triángulo ABC es iguala :

A

B

C

10 15

20

a) 256105

b) 1815

c) 12586

d) 256105

e) 12586

23. Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las longitudes delos lados opuestos a los vértices A, B y C,respectivamente.Si se cumple la relación :

CosCc

CosBb

CosAa

Entonces el triángulo ABC es :

a) Acutángulo.b) Obtusángulo.c) Isósceles.d) Equilátero.e) Rectángulo.

24. Las diagonales de un paralelogramo miden "a" y "b",forman un ángulo agudo C. El área del paralelogramoes :

a) abSenCb) abCosC

c) abCscC21

d) abSenC21

e) abCosC21

25. Hallar el área del triángulo OB'C', si AB=4=BC,

4ABOM1 , AC=6.

1M y 2M puntos medios en AC

y BC respectivamente 'OC//AC y 'C'B//BCAO=OC'.

A B

C

O

M1 M2B’

C’

a) 7329

b) 7629

c) 7729

d) 72

29

e) 72429

26. Si en un triángulo, donde a, b, c son los lados opuestosa los ángulos A, B, C se cumple que :

2CB y 2acb

Entonces : 2

AB es igual a :

a) 8

b) 4

c) 2

d) 0

e) 3

27. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 60º y los lados

232a y 232b .Entonces, la medida del ángulo A es :

a)

22 ArcTan

32

b)

22 ArcTan

3

Trigonometría

172

c)

22 ArcTan2

3

d)

22 ArcTan

32

e)

22 ArcTan

4


)BA(Sen2SenC

6233TanB Hallar el valor del ángulo BAC.

a) 3

b) 6

c) 32

d) 125

e) 103

29. En un triángulo ABC, se cumple que :

º90CmBm ; 2acb Hallar la medida del ángulo B.

a) 110ºb) 105ºc) 127ºd) 120ºe) 125º

30. Sea el triángulo ABC de lados AB = AC y 2BC . Sila bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D yBD = 1.Entonces, los ángulos A y B son:

a) 60º ; 60ºb) 90º ; 45ºc) 100º ; 40ºd) 120º ; 30ºe) 150º ; 15º

31. En un triángulo ABC, C = 60º y a = 3b.Determinar el valor de E = Tan(A B)

a) 34

b) 32

c) 23

d) 3e) 1

32. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide "c"unidades y la longitud de la bisectriz de uno de los

ángulos agudos es 33c

unidades.

Hallar el área de la región delimitada por el triángulorectángulo dado.

a) 4

3c2

b) 8

3c2

c) 6

3c2

d) 6c3 2

e) 2c3 2

33. En un triángulo ABC con lados a, b y c, respectiva-

mente; se tiene : 12ATan y 4

32BTan .

Determinar : baba

a) 50b) 16c) 49d) 9e) 25

34. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo formacon las tres aristas concurrentes a un mismo vértice los

ángulos , y . El valor de :

222 SenSenSen es :

a) 23

b) 2

c) 25

d) 3e) 4

TRILCE

173

35. En la figura, se muestra un triángulo en el que se cumple:

2CSen4CosBCosA 2

Luego el valor de a + b es :

A

B

C

a

b

c

a) 3c b) 2c3

c) 2c

d) c35

e) c25

36. En la figura mostrada, el triángulo ABC está inscrito en

una circunferencia de radio R. Si se cumple que :222 R2ac y la medida del ángulo B es 30º, los

valores de los ángulos A y C son respectivamente:

A

B

C

ac

R

a) 45º y 105ºb) 35º y 115ºc) 60º y 90ºd) 30º y 120ºe) 25º y 125º

37. Dos circunferencias de radios 2u y 3u, tienen suscentros separados una distancia igual a 4u. El Cosenodel ángulo agudo que forman las tangentes a ambascircunferencias en un punto de corte, es igual a :

a) 21

b) 23

c) 21

d) 31

e) 41


255223223 abcR2)ba()ca(b)cb(a

Donde :R : Circunradio del triángulo ABC

Calcule :P = SenA Sen2A + SenB Sen2B

a) 1 b) 2 c) 43

d) 21

e) 23

39. Del gráfico, ABC es un triángulo isósceles recto en "B" yDBE es un triángulo equilátero.Si : AC = 6

Calcular : 222 CPBPAP

PA D E C

B

a) 18 b) 19 c) 9d) 81 e) 27

40. En un triángulo ABC :

2CA Cot

2BTan4

caca

Calcular :

TanCTanATanCTanBTanA

a) 43

b) 34

c) 67

d) 76

e) 52

41. En el triángulo equilátero mostrado, calcular :

Sec)3º15(CosJ

A

B

C

2

45º

Trigonometría

174

a) 2

16

b) 13

c) 2

13

d) 2

13

e) 3

12

42. Si en un triángulo ABC :

53

cCosAbbCosAc

Calcular :

2ATan

2CBTan

L

a) 52

b) 73

c) 74

d) 53

e) 41

43. En un triángulo ABC :Cos2A + Cos2B + Cos2C = n

Las distancias del ortocentro a los lados del triánguloson x ; y ; z.

Hallar : xyzJ , si el circunradio mide 2

a) 2n 1b) 2(n 1)c) 2(1 n)d) n 1

e) )1n(24

44. Los lados de un cuadrilátero son a = 7; b = 8; c = 9;d = 11.Si su superficie es S = 33, calcular la tangente delángulo agudo formado por las diagonales.

a) 2 b) 2,3 c) 2,4d) 1,8 e) 1,6

45. Dado un cuadrilátero ABCD, determine el valor de laexpresión.

22

22

)da()cb(

2AadCos

2CbcCos

E

a) 41

b) 121

c) 31

d) 0 e) 61

46. Siendo A, B y C los ángulos internos de un triángulo,para el cual se cumple :

2SenB SenA = Sen(A+B+C)+SenCCalcule el valor de :

12CCot

2ACot

12CCot

2ACot

A

a) 1 b) 21 c) 2

1

d) 1 e) 2

47. En un triángulo acutángulo ABC, la circunferencia

descrita tomando como diámetro la altura relativa al

lado a, intercepta a los lados b y c, en los puntos P y Q

respectivamente.

Exprese el segmento PQ en función de los ángulos del

triángulo y del radio R de la circunferencia circunscrita

al triángulo.

a) 2RSenA SenB SenC

b) R SenA SenB SenC

c) R CosA CosB CosC

d) 3R CosA CosB CosC

e) R TanA TanB TanC


SenBSenA)BA(Senc

SenASenC)AC(Senb

SenCSenB)CB(SenaP

222

a) SenA SenB SenC

b) CosA CosB CosC

c) Sen (A + B + C)

d) Cos (A + B + C)

e) 2Cos (A + B + C)

TRILCE

175

49. En el triángulo ABC, se tiene : AB = 2, 6AC

Calcular : 'b

'b

V

V

Donde : (V'b y Vb son bisectrices exterior e interiorrespectivamente, relativo al lado b)

45ºA

B

CD

a) 32 b) 31

c) 32 d) 13

e) 2

50. Dado un triángulo ABC, si : º30Cm y 25

ba

Calcular : AB21

a) 30º

b)

3ArcTan

c)

23

73ArcTan

d)

32

73ArcTan

e)

32

73ArcTan

51. En el cuadrilátero ABCD de la siguiente figura, calcular:

Cos2SenSi : 2AD = AB = 3AC

A

B C

D

a) 71

b) 43

c) 23

d) 32

e) 31

52. Los ángulos de un cuadrilátero ABCD están enprogresión geométrica de razón 3.Calcular :P = CosA CosB + CosB CosC +

CosC CosD + CosD CosA

a) 1 b) 21

c) 41

d) 45

e) 25


b2caCosA ; c2

baCosB

Calcular :TanA + TanB + TanC

a) 7 b) 32 c) 13

d) 11 e) 52

54. En la figura R, 1R , 2R y

3R son los radios de las

circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, ABP,BCQ y ACS respectivamente.Hallar "R".

1R1 ; 2R2 ; 4R3

P

Q

S

B

A

C

a) 2 b) 1 c) 3d) 2 e) 4

55. Los lados de un triángulo oblicuángulo ABC, miden :b = (SenA + CosA)uc = (SenA CosA)u

Además : u26a

Hallar la medida del mayor valor de A.

a) 60º b) 72º c) 54ºd) 65º e) 45º

Trigonometría

176


C2BSen2ASen2Sen)aCosCb)(cCosBa)(bCosAc(M

a) R b) 3R8 c) 3R4

d) 3R e) 2R6


)BA(Cos3B2SenA2Sen

2BATan3

2BATan

Hallar la medida del ángulo "B"

a) 30º

b) 53ArcTan

c) 23ArcTan

d) a o be) a o c

58. En un triángulo ABC, se cumple que :CotA + CotC = 2CotB

Luego se cumple que :

a) a + c = 2b

b) acb2 2

c) 222 b2ca

d) cab2

e) 222 cab4

59.Siendo ABC un triángulo de lados a, b y c, entoncesrespecto a"K" podemos afirmar que :

bCosCacCosBa

cba

cbaK222

222

a) K = 1 b) K = 2 c) K = 4

d) 2K e) 4K

60. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, de lados AB = a,BC = b, CD = c y AD = d.

Calcular : SenBSenAR

a) bdadcdab

b) bdaccdab

c) bcadcdab

d) cdabbdac

e) abcddcba

TRILCE

177

Claves Claves a

e

d

c

d

b

b

e

b

c

e

d

a

b

b

a

b

e

b

e

a

a

d

d

e

a

b

a

b

d

a

b

c

b

c

d

e

d

e

b

d

e

e

c

a

c

a

c

a

c

d

b

a

d

b

d

d

c

d

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

Í N D I C E

TRIGONOMETRÍA

Primer Bimestre Pág.

Capítulo 01Razones Trigonométricas de un ángulo agudo I ............................................................. 9

Capítulo 02Razones Trigonométricas de un ángulo agudo II ............................................................. 19

Capítulo 03Ángulos Verticales - Ángulos Horizontales ........................................................................ 31

Capítulo 04Sistema Coordenado Rectangular ..................................................................................... 41

Capítulo 05Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal ......................................... 51

Capítulo 06Reducción al primer cuadrante ........................................................................................... 61

Capítulo 07Circunferencia Trigonométrica ......................................................................................... 71

Segundo Bimestre

Capítulo 08Identidades Trigonométricas de una variable .................................................................. 83

Capítulo 09Identidades Trigonométricas de la suma y diferencia de variables ................................. 91

Tercer Bimestre

Capítulo 10Identidades Trigonométricas de la variable doble ............................................................. 101

Capítulo 11Identidades Trigonométricas de la variable triple ............................................................. 111

Capítulo 12Transformaciones Trigonométricas .................................................................................... 119

Capítulo 13Funciones trigonométricas reales de variable real ............................................................ 127

Cuarto Bimestre

Capítulo 14Funciones trigonométricas inversas ..................................................................................... 141

Capítulo 15Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas ...................................................................... 153

Capítulo 16Resolución de Triángulos Oblicuángulos ............................................................................ 165

Documents

Trigo No Me Tria