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Rvision de cours
Dans ce cercle : labscisse est le cosinus de langle
lordonne est le sinus de langle
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2
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Exercice 1
1) Montrer que AB = 4 OB - 4 OM sin. 2) Faire de mme pour
CD.
3) Calculer AB + CD.
Indication
1. AB = (2HB) = 4 HB = 4 (OB-OH) = 4 OB - 4 OH = 4 OB - 4 OM sin
2. CD = 4 OD - 4 OM cos 3. AB + CD = 4OB + 4OD - 4OM
Exercice 2
On considre lquation : cos(2x) = sin (x) et x compris entre 0
et
1) Montrer que cette quation est quivalente a : 2x =
x
2) En dduire l'ensemble des solutions de l'quation : cos(2x) =
sin(x)
Indication
J'cris l'quation sous la forme : cos(2x) = cos(
x) (formule des angles
complmentaires)
On trouve
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4
Exercice 3
1) Rsoudre dans [0 , ] l'quation : sin(x) = 3/4. 2) a) Rsoudre
dans IR l'quation : x = 1.5x+1 b) Rsoudre dans [0 , ] l'quation 2
cos(x) = 3cos(x) + 2 3) a) A l'aide de la calculatrice, dterminer
une valeur approche au centime prs du rel a tel que : cos (a) = 0.8
et a appartient [0 , ] b) Rsoudre dans R l'quation : 5 sin(x) +
8cos (x) = 5 cos(x) +5. Si ncessaire, on exprimera les solutions en
fonction de a. c) Reprsenter les solutions de l'quation prcdente
sur la demi-cercle trigonomtrique.
Rponse
1) sin(x) = 3/4 => sinx =
ou sinx = imp car sinx 0
=> x = ou x = =
2)a) x = 2 et x = 0.5 ( par discriminant = b - 4ac ) b) On pose
t = cosx
On trouve t = 2 = cos x impossible et t = 0.5 = cosx
Do x =
3) a) cos (a) = 0.8 par une calculatrice on trouve a= 36.89
On peut prendre a =
b) b) Remplacer sin(x) par 1 - cos(x) dans l'quation... de cette
faon, il ne reste plus que des cosinus! On trouve : -5cos(x) +
4cos(x) = 0 En factorisant cos(x): cos(x) [-5cos(x) + 4) = 0 2 cas:
cos(x) = 0 et cos(x) = 4/5 = 0.8
Do x =
x = a =
Exercice 4
Sur le demi-cercle trigonomtrique de centre O. 1) a) Placer les
points suivants ( les angles tant donns en radians II = 0 ) :
A tel que IA = , B tel que IB = , C tel que IC =
, D tel que ID = et E tel
que IE =
.
b) Indiquer les coordonnes des points A, B, C et D dans le repre
( O , i, j ). c) Calculer les longueurs des petits arcs dangles IA,
AB et du grands arc de langle
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5
CD en considrant que le rayon du cercle trigonomtrique est de 1
mtre.
2) On donne sin ( ) = .
Calculer cos ( ) ; tan (
) ; tan (
) et cos (
)
Rponse 1) a)
1) b) On rappelle quun point M dangle IM=x radians sur le cercle
trigonomtrique a pour coordonnes M ( cos(x) ; sin(x) )
A( , ) ; B(
,
) ; C(
,
) et D(
, )
1) c) On rappelle que la longueur des arc est obtenue par la
formule L = tels que : est la mesure de larc en radians et r le
rayon du cercle.
L IA = 2 ,36 m.
Rq : Pour chaque angle il ya petit arc et grand arc
2) On a (cos (x)) = 1 - (sin (x)) pour tout x et on donne
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6
sin ( ) =
.
Avec cette formule , calculer le(s) rsultat(s) exact(s)
possible(s) pour
(cos ( ))2 puis pour cos (
) .
donc on a
En plaant sur le cercle trigonomtrique, on trouve que cos
positif donc
Do cos =
Tan
= sin /cos =
cot
= cos /sin =
cos
= sin
(donn)
Tan = - Tan
Exercice 5
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7
Exercice 6
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8
Rponse
Exercice 7
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9
Rponse
Exercice 8 (non corrig)
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10
Exercice 9 (non corrig)
Exercice 10 (non corrig)
Exercice 11
Pour chaque x de [0 , ] on considre : A(x) = cosx - sinx
1) Calculer A ( ) . A (
) . A ( )
2) a) Montrer que pour chaque x de [0 , ] { } on a : A(x) =
!"# !"#
b) Rsoudre dans [0 , $] { $ } lquation A(x) = 0
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11
rp 1)
A ( ) = cos
- sin
= 0
A ( ) = cos
- sin
=
A ( ) = cos - sin = 1
2)a) cosx - sinx = ( cosx - sinx )/( cos+sinx ) = [ ( cosx -
sinx ) / cosx ] / [ ( cos+sinx ) / cosx ] = [ 1 - tanx ] / 1+tanx
]
b) L equation A(x) = 1/2 [ 1 - tanx ] / 1+tanx ] = 1/2 % 1 -
tanx = 2 + 2tanx
%tan x = ou tan x =
Do x = ou
Exercice 12
Rponse
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Exercice 13
x est un rel tel que sin x =
1. Peux-tu en dduire cos x ?
2. On sait de plus que x compris entre et .
Trouver cos x et tan x.
rep 1. On sait que cos x + sin x = 1 pour tout rel x.
Ainsi, cos x = 1 - sin x = 1 - & =
'& donc cos x =
ou cos x =
2. Sachant que x compris entre et , alors x compris entre et
donc cos x = et parsuite tan x =
)*+,)
= =
Exercice 14
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13
Rponse
