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GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA .

OBJETIVO: que el estudiante desarrolle sus habilidades del pensamiento, como son: razonamiento, analisis y reflexin a traves de una relacin de los conocimientos de aritmtica, algebra, geometra y trigonometra para resolver problemas de situaciones cotidianas y tcnicas

CONTENIDO: I. II. III. IV. V. VI. VII. LOGARITMOS ECUACION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA ANGULOS TRIANGULOS. CIRCUNFERENCIA. CUADRILATEROS. TRIGONOMETRIA.

PROLOGO. Con el objetivo de facilitar el proceso enseanza-aprendizaje de la asignatura de geometra y trigonometra en el nivel medio superior y en base a la experiencia adquirida en los cursos impartidos, este material didctico, pretende ayudar y facilitar la comprensin de la asignatura. Cabe mencionar que para su elaboracin nos apoyamos en diferentes textos y trabajos relacionados con l a materia. que en la bibliografa se sealan. Si las crticas de este material son transmitidas por alumnos y profesores que lo utilicen o revisen, esto permitir mejorar el presente trabajo con el objetivo de elevar el aprovechamiento escolar de alumnos y futuras generaciones.

Todo aprender no es ms que vencer un obstculo. Todo aprendizaje no es ms que el resultado del esfuerzo de superarse a s mismo venciendo Obstculos.

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LOGARITMOS Y ECUACIONES. LOGARITMO. Definicin: El logaritmo de un nmero, con una base dada, es el exponente al que se debe elevar la base para obtener el nmero as: Ejemplos Sabemos que 25= 5 Log5 25= 2 Ahora bien 49=72 Log7 49=2 (decimos, el logaritmo de 49 con base 7 es 2) Otro ejemplo: 81=92 , entonces. Log9 81=2 (decimos,el logaritmo de 81 con base 9 es 2) Pero sabemos que: 81=34 Log 381=4 De los ultimos ejemplos nos damos cuenta que un numero puede tener diferentes logaritmos, de acuerdo a la definicin, segn la base que se tome. De acuerdo objetivo de nuestro curso, nicamente utilizaremos logaritmos: a) Decimales, vulgares, ordinarios o de Briggs los cuales tienen base 10. Los logaritmos de base 10 pueden recibir cualquier de esos nombres. b) los logaritmos neperianos o naturales de base e (e=2.718) A las expresiones de la forma N= a Logx x

..Se les llama expresiones exponenciales.

N =2 Se les llama expresiones logartmicas.

Ejemplos: Expresiones logartmicas. 1.-log3 9=2 2.-log6 36=2 Expresiones exponenciales 9=32

4 8=23

Ejercicios-1: Transformar las siguientes expresiones logartmicas a exponenciales: Log3 27=3 ________________ Log4 32= 5/2 _________________ Log1/4 1/8=3/2 __________________ Transformar las siguientes expresiones exponenciales a logartmica 27273=9 __________________ 72=49 ____________________ 53=125 ____________________ LOGARITMOS DECIMALES. Los logaritmos decimales constan de una parte entera llamada caracterstica, la cual puede ser positiva o negativa, y una parte decimal llamada mantisa la cual es siempre positiva Calculo de la caracterstica: 1.- La caracterstica de los nmeros comprendidos entre 1 y 10 es cero. Por Ejemplo: Caractersticas del logaritmo de 9=0 2.32=0 8.98=0 4.88=0 2.-Las caractersticas de un nmero igual o mayor de diez es positivo o igual al nmero de cifras enteras menos uno. Por ejemplo: Caractersticas del logaritmo 25.88=1 4832.3=3 525.9=2 10.0=1. 3.- La caractersticas del logaritmo de un numero menor que uno expresado en forma de fraccin decimal siempre ser negativa y su valor absoluto ser el lugar que ocupe la primera cifra significativa va a la derecha del punto decimal. a) Caracterstica del logaritmo 0.2582 es 1 b) 0.088es 2 c) 0.000035es 5

5 En el inciso a) la caracterstica es, 1, ya que la primera cifra significativa (2) ocupa el primer lugar a la derecha del punto. En el inciso b) la caracterstica es 2, ya que la primera cifra significativa (8) ocupa el segundo lugar a la derecha del punto. En el inciso c) la caracterstica es 5, ya que la primera cifra significativa (3) ocupa el tercero lugar a la derecha del punto decimal. Ejercicio-2: Determinar la caracterstica del (comprueba con la calculadora) 885.2 25.45 0.00842 523 5223 945.2 0.0000025 ________ ________ ________ ________ ________ ________ logaritmo de los siguientes nmeros

Determinacin de la mantisa. Habamos dicho anteriormente que la mantisa es la parte decimal del logaritmo, para determinarla, nos valemos de las tablas de los logaritmos. Procedimiento para obtener la mantisa. (utilizando la calculadora o tablas de logaritmos de Arqumedes Caballero - anexoA) Ejemplo: hallar el logaritmote 82.51 La caracterstica es 1. Para hallar la mantisa prescindimos del punto decimal, por lo tanto, buscamos la mantisa de 8251. En la primera columna de la izquierda encabezada por N, localizamos el nmero 82y, en el cruce en este rengln con la columna 5 se halla la mantisa .9165 por el mismo rengln se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 1, que es la cuarta cifra del numero al cual se le va a extraer logaritmo y en el cruce encontramos el numero 1. Este ltimo nmero la lo sumamos al numero 9165 As .9165 ____1_ _ .9166 De donde: Log 82.51=1. 9165 Ejemplo: Hallar el logaritmo de 8.825 Log 8.825= 0.9457 Hallar el logaritmo de 432.1 Log 432.1= 2.6356

6 Ejercicio-3 hallar el logaritmo de los siguientes nmeros, utiliza las tablas (comprueba con la calculadora tus resultados). 845.2 6.3514 0.0032 0.2584 25.84 499.2 258.4 0.000238 0.0002584 ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________

ANTILOGARITMOS. Si a un nmero se le extrae logaritmo ese nmero ser el antilogaritmo del segundo. Ejemplo: Log 25.82= 1.4159 Antilogaritmo de 1.4119= 25.82 Para extraer el antilogaritmo de un nmero (se utiliza tablas de antilogaritmos.) El antilogaritmo se determina nicamente con la parte decimal del nmero, ya que la parte entera nos servir nicamente para localizar el punto decimal. Ejemplo: Antilogaritmo de 2.4489 Nota: Utilizando las tablas de Arqumedes caballero. En la primera columna de la izquierda encabezada por m localizamos el numero .44 y, en el cruce de este rengln con la columna 8 (tercera cifra de la caracterstica) se halla el numero 2805 por el mismo rengln se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 9 que es la cuarta cifra del nmero al cual se le va a extraer antilogaritmo y en el cruce encontramos el numero 6 este ltimo nmero se lo sumamos a 280, as: 2805 + 6 ______ 2811 Para determinar el nmero de cifras enteras (o sea, la caracterstica del numero al cual se le va a extraer antilogaritmo) le sumamos uno.asi tenemos.

7 Antilogaritmo de 2.4489=281.1 Ejercicio- 4 determine los antilogaritmos. (utiliza la calculadora) Antilogaritmo de 1.2484=_____________ Antilogaritmo de 6.1912=_____________ Antilogaritmo de 3.1700=_____________ Antilogaritmo de 2.513= ______________ Antilogaritmo de 1.1320=______________ Antilogaritmo de 4.9329=______________

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS. 1.- el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores Log A.B =Log de A + Log B Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente operacin (3)(4) Log (3) (4) =Log 3 +Log4 = (0.4771)+ (0.6021)= 1.0792 Antilogaritmo de 1.0792 =12.0000 (para comprobar nuestra operacin) Ejemplo: Utilizamos logaritmo resolver la siguiente operacin (2.845) (-0.002311) (845.2) Nota; Como no hay logaritmos de de nmeros negativos sacamos el logaritmo de 0.002311 como si fuera un numero positivo y al final colocamos el signo aplicando la regla de los signos Log (2.845) (0.002311) (845.2)= Log 2.845 + Log 0.002311 + Log 845.2= _ 0.4541 + 3.3638 + 2.9270 = 0.7449 Antilogaritmo 0. 7449=5.558 Ejercicio-5

8 Efectuar las siguientes operaciones utilizando los siguientes logaritmos. (0.0238) (345) = (2385) (32.25) = (6.285)(0.02382) = (2.32) (0.023) (842) = (4.8520) (0.1211) (238) _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ = ___________________________________________

El logaritmo de un coeficiente es igual al logaritmo del dividendo manos el logaritmo del divisor. Log A/B= Log A Log B Ejemplos: Por medio e logaritmos efectuar la siguiente divisin 35/5 Log 35/5 =Log 35- Log 5 Log 35/5 = (1.5441) (0.6990) Log 35/5 =. (451 Antilogaritmo .8451 =7.0000 Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente divisin 2.68/33.2 Log 2.68/33.2 =Log 2.68- Log 33.2 = 0.4281-1.5211 La diferencia anterior se puede efectuar pero obtenemos un resultado negativo (ya que el minuendo es menor que el sustraendo) Como no es posible obtener antilogaritmo de mantisas negativas , evitando este problema sumando 10 -10 .4281 10.4281- 10 10.4281-10 1.5211 __________ 8.9070-10 =2.9070 Antilog: 2.9070= 0.08072 Ejercicio-6 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos decimales: 0.4200/2.2120 = ________________________________________________

9 34500/88.32 0.032/0.2132 1.223/17.32 25.32/2.940 = ________________________________________________ = ________________________________________________ = _________________________________________________ = _________________________________________________

0.0238/ 0.112 = ________________________________________________ c) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Log Ax= x Log A Ejemplo: Calcular por medio de logaritmo la siguiente operacin Log52=2Log 5 =2(0.6990) Log52=1.3980Antilog 1.3980=25.0000

Ejemplo: utilizando logaritmos resolver. (00015)2 Log (0.0015)2=2Log 0.0015=2 (3.1761) Para efectuar esta multiplicacin se separara la caracterstica de la mantisa. _ _ 2(3. + .1761) =6 + .3522 Juntndolos nuevamente tenemos: 6.3522 _ Antilogaritmo de 6.3522=0.00000225 Ejercicio-7 utilizando logaritmos resolver las siguientes operaciones.(utiliza la calculadora) (2325)2 ____________________________________________ (4.25)5.2 ____________________________________________ (432.8)12 ____________________________________________ (0.0025)3 ____________________________________________

10 (0.02388)2.5 __________________________________________ (0.2532)4.85 ___________________________________________ c)El logaritmo de una raz ensima es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el ndice de la raz. Log nA = Log A /n Ejemplo: Utilizando logaritmos efectuar la siguiente operacin Log3

8 = log 8

38

/3 = 0.9031/3 =0.3010

Antilogaritmo de 0.3010 = 2.0000 Ejemplo: Efectuar la siguiente operacin utilizando logaritmos 5 0.025 Log 50.025 = Log 0.025 / 5 = 2.3979 /5 Para efectuar sta divisin se separa la caracterstica de la mantisa. 2 + .3979 / 5

Ahora tratamos de que la caracterstica de (2) sea exactamente divisible entre el divisor (5). Esto se logra sumando al dividendo -3 +3 _ 2 3 + 3.3979 / 5 _ 5 + 3.3979 / 5 Separando los numeradores tenemos: _ 5 / 5 + 3.3979 / 5 _ _ 1 + 0.6795 = 1.6795 _ Antilogaritmo de 1.6795 = 0.4780 Ejercicico-8 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos.(utiliza la calculadora)3

0.02312 ____________________

6

82240 =________________________

114

2382=

____________________

5

1976=________________________ 7586=________________________

4.220=______________________

12

Obtencin de logaritmos de cualquier base a partir de logaritmos decimales. Sea: N = ax ________________(1)

Transformando la expresin (1) a forma logartmica: Loga N = x _____________(2) Determinando el logaritmo de la expresin (1) con base (b) Obtenemos: Log b N = Log b ax Log b

N = x Log b a ________(3)

Despejando a (x) de la expresin (3) tenemos: x = logb

N / log b a

________(4)

Sustituyendo (4) en (2) Logb

N = log

b

N / log b a

Podemos considerar que : N = A cualquier nmero a = a cualquier base b = base diez As: Log a N = log 10 N / log 10 a Ejemplo: Calcular el logaritmo de 215 con base 3 a partir de logaritmos con base 10 Log 3 215 = log 10

215 / log

10

3

log 3 215 = 2.3324 / 0.4771 log 3 215 = 4.888

12

Calcular el logaritmo de 236 con base siete a partir de logaritmos decimales. Log log log 7

236 = log

10

236 / log

10

7

7

236 = 2.3729 / 0.8451 236 = 2.808

7

Ejercicios-9 Obtener los logaritmos de los siguientes nmeros utilizando logaritmos decimales. log log log log log log 3

84.25 2.150 445.2 7724 365.9 .0079

9

5

8

2

6

Determinacin de los logaritmos naturales (Base e ) a partir de logaritmos decimales Log e

N = log 10 N / log 10 e e = 2.718 N / Log 10 2.718

Pero sabemos que: Log e

N = Log

10

Log. 10 2.718 = 0.4343 Log 10N/0.4343 Log. e

N= 2.30 Log

. 10

N

La formula anterior nos sirve para determinar logaritmos naturales a partir de logaritmos decimales. Ejemplo: calcular el logaritmo natural de 28.45 a partir de logaritmos decimales.

13 Log.e 28.45= 2.30 Log Log10 10

28.45

28.45 =1.4145

Log.e 28.45 = (2.30) (1.451) Log.e 28.45 = 3.3214 Nota: El logaritmo natural o neperiano se puede representar as: (Log .e): (In) o (Log.2.718) Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 825 a partir de logaritmos. Log. e

825= 2.30 Log10825

Log.10 825 = 2.9165 Loge 825 = (2.30) (2.9165) Log.e 825 = 6.7080 Ejemplo: Calcular los logaritmos naturales de los siguientes nmeros a partir de logaritmos decimales. Log.e 23.67 Log.e 4.567 Log.e 0.00345 Log.e 67.45 Log.e 7.865 Log.e 48.62

1.- Resolucin de operaciones combinadas (multiplicaciones, divisiones, raices, y potencias) utilizando logaritmos.Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos. 457/ (3228) (16.5) Sacando logaritmos 457/ (3228) (16.5) = Log457 - Log (3228) (16.5) =Log457- Log (3228)+ (16.5) =Log457- Log (Log 228/3) +(Log16.5/2)

14 =Log457= 2.6599 =Log288=2.3579 =Log16.5=2.2175 Substituyendo os valores tenemos; (2.6599)-(2.3579/3+2.2175/2) (2.6599)-(0.7859+0.6087) = (2.6599)-(1.3946) = 1.2653 Sacando el Antilogaritmo de 1.2653 = 18.42 (comprobacin) 2.-Resolver la siguiente operacin utilizando logaritmos: (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) Determinando logaritmos Log (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) Log (21.71) (28.65)- Log (396.4)(1.401) Log (21.75+28.65)-(Log396.4+Log 1.401) Log21.75= 1.3367 Log 28.65= 1.4576 Log 396.4= 2.5981 Log 1.4010= 0.1464

Substituyendo tenemos los valores (1.3367+1.4576)-(2.5981+0.146) (2.7943)-(2.7445)=0.0498 Antilogaritmo.- 0.0498= 1.121 4.- Efectuar la siguiente operacin utilizando logaritmos:

15 [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 Determinando los logaritmos Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)] Log [(8264) (.311)- (2.351) (28.6)] Log [(8264)+ (.311)- (2.351)+ (28.6)] Log8264=3.9172 Log0-311= 1.4928 Log2.351=0.3713 Log28.6= 1.4564 [(3.9172+1.4928)-(0.3713+1.4564)= [(3.4100)-(1.8277)] 1.5823/2= 0.7911 Antilogaritmo 0.7911= 6.182 6.- Resolver las siguientes operaciones utilizando logaritmos: 1.2.3.4.(325) (225)3/ (445)(0.0048)= (278)4(53.04) = 278/ (3o.2875) (372)5= (842)3 (52.25)= =[1.5823]=

ECUACIONES EXPONENCIALES Se le llaman ecuaciones exponenciales aquellas en que la incgnita aparece como exponente. Son ejemplos: 2x+1 = 8

16 3x = 7 3x+1 = 5x-2 Generalmente las ecuaciones exponenciales se resuelven mediante el uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Resolver la siguiente ecuacin. 16x+1 = 15x+3

Sacamos logaritmos al primero y segundo miembro de la igualdad. Log 16x+1 = 15x+3

(x+1) Log 16 = (x+3) Log 15 Pasamos al primer miembro de la igualdad cada uno de los trminos que contenga la incgnita y al segundo al que no la contenga: x Log16-x Log 15 = 3 Log 15-Log 16 Sacamos a (x) como factor en el primer miembro de la igualdad. X(Log 16 Log 15) = 3 Log 15 Log 16 Despejando a (x) tenemos : x+ 3 Log 15 Log 16 / Log 16 Log 15 determinamos los logaritmos de : Log 15 = 1.1761 Log 16 = 1.2041 Substituyendo tanemos : X=3 ( 1.1761) (1.2041) / ( 1.2041) ( 1.1761) X= 1.1761 1.2041 / 1.2041 1.1761 X = 2.3242 / 0.028 X = 85 2.- Resolver la siguiente ecuacin : 5x2- 3 =5x2

17 Sacamos logaritmo al primero y segundo mimbro de la igualdad: Log 5x2 3 = Log5x2 (x2-3) Log 5 = (2x) Log 5 Pasamos al segundo miembro Log 5: x2-3 = (2x) Log 5 / Log 5 x2 3 = 2x x2-2x-3=0 Llegamos a una ecuacin de la forma ax2+b+ c= 0 La cual se puede resolver por: a) Factorizando b) Utilizando la frmula general: X= -b +- b2 - (4) (a) (c) / 2a c) completando el trinomio cuadrado perfecto. Resolucin de la ecuacin utilizando la frmula general: X= -b+- b2 - (4) (a) (c) / 2 X2-2x -3 = 0 Obtenemos. A=1, B= -2 , C=-3 Sustituyendo tenemos los valores: X=-(-2)+- (-2)2 (4) (1) (-3) / 2 (1) X= 2 +- 4 12 / 2 X= 2+-16 / 2 x= 2 +-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 = 6 / 2 = 3 X1= 3

18 X2= 2- 4 / 2 = -2 /2 =-1 X2 = -1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x-y = 5---------------1 X + 2y = 3------------2

Para la ecuacin (1) tenemos: 2x-y = 5 Log 5= 0.6990 Log 2= 0.3010 x-y = 0.6990/ 0.3010 x-y = 2.322-----3 Resolviendo las ecuaciones (2) (3) X+ 2y 0 3 -------------- (2) x-y= 2.322--------------- (3) Ecuaciones de este tipo ya sabemos que las podemos resolver por: a) suma o resta b) por igualacin d) por sustitucin Resolviendo por suma o resta multiplicamos la ecuacin (3)por (-1) -1 (x-y) = -1 (2.322) -x+y = -2.322 Resolviendo las ecuaciones tenemos: x+2y=3 -x+y = -2.322 ____________ 3y= 0.678 Y=0.678/3

19 Y=0.226 Substituyendo y= 0.226 en la ecuacin (2) tenemos: x+2y= 3 x+2(0.226) = 3 x+0.452= 3 x= 3 0.452 x= 2.548 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 5x-2y = 100 ---------------- (1) 32x-y = 10 ----------------- (2) ________________________ Transformando la ecuacin (1) a la forma lineal tenemos: 5x-2y = 100 Log5x-2y = Log100 (x-2y) Log 5 = Log 100 x-2y = Log 100 ________ Log 5 Si, tenemos que. Log 100 = 2.0000 ______ ________ Log 5 = 0.6990 sustituyendo x-2y = 2.8614------------- (3) Transformando la ecuacin (2) a la forma lineal tenemos : 32x-y = 10 Log32x-y = Log 10 (2x-y) Log3 = Log 10 2x-y = Log 10/ Log 3 Log 10 = 1.0000

20 Log3 = 0.4771 2x-y 1.0000/0.4771 2x y = 2.093----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y(4) x-2y= 2.8614 ----------- (3) 2x y = 2.093------------ (4) Multiplicando por (-2) la ecuacin (3): -2 (x-2y) =-2(2.8614) -2x +4y = -5.7228 Sumando con la Ec-4, tenemos: -2x+4y = -5.728 + 2x -y = 2.0930 _______ 3y= -3.6298 y = -3.6298 / 3 y= -1.2099 Sustituyendo y =1.2099 en la ecuacin (4) 2x y = 2.0930 2x- (.1.2099) = 2. 0930 2x+ 1.2099= 2.0930 2x = 2.0930 1.2099 x = 0-8831 / 2 x=0.4415

21 7.- Resolver las siguientes ecuaciones: 1.2x+2 = 4x-1 .(1) 2x-1 =16 .(2) 2.3.5x2+x = 25 ..(1) 7x = 22x+1(2) 8x-y = 3x..(1) 6x-y = 63..(2) 4.4x+2y= 64 .(1) 2x+5y = 5 .(2)

ECUACIONES LOGARITMICAS Una ecuacin que contiene una o ms funciones logartmicas de una o ms incgnitas, se le llama la ecuacin logartmica. Son ejemplos: Log 6 (x+3) + Log (x -2) Log x+ Log y = 4 Log (x-2) + Log ( x-3)+ Log 2 Para resolver las ecuaciones logartmicas se hace uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin: Log6 (x+3) + Log6(x-2) = 1 Nota.- Sabemos que Log (A) (B) = Log A + Log B Log6(x+3) (x-2)= 1 Transformando la ecuacin logartmicas anterior a exponencial (x+3) (x-2)= 61 Efectuando la multiplicacin indicada tenemos: x+2

22 x-2 ______ x2 + 3x -2x-6 _______ x2+x-6 x2+x-6=6 tenemos. x2+x-12=0 Resolviendo esta ecuacin utilizando la frmula general de segundo grado tenemos: x2+x-12=0 a= 1, b= 1 , c= -12 X= -b+- b2 - (4) (a) (c) / 2a

Sustituyendo valores tenemos: x=-(1)+- (1) 2-4(1) (-12) / 2(1) x= -1+-1+48 / 2 x= -1+-49 / 2 x= -1+-7 /2 x1=-1+7 / 2 = 6/2 =3 x2=-1-7 / 2 = -8 /2 =-4 Resolver la siguiente ecuacin: Log3 (x+2) Log (x-6) = 2 Nota: Sabemos que Log a/b = Log a Log b Log (x+2) / (x-6) =2 (x+2) / (x-6) = 9 (x+2) = 9 (x-6)

23 x +2 =9 x- 54 x-9x =-54-2 -8x =-56 x= -56 /-8 x=7 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: Log Log10

x + Log 2x Log

10

y= 4 -------------- (1) 5y =1 ------------- (2)

10

10

De la ecuacin (1) tenemos: Log Log10

x + Log

10

y= 4

10

(x) (y) = 4

Transformndola a una expresin exponencial tenemos (x) (y) =104 104 = 10 000 --------- (3) De la ecuacin tenemos: Log Log10

2x Log

10

5y = 1

10

2x /5y = 1

Transformndola a una expresin exponencial tenemos: 2x /5y = 101 ---------------- (4) Resolviendo la siguiente ecuaciones (3) y (4) tenemos: (x) (y) =10000 ------------ (3) 2x/5y = 10 ---------------- (4) Despejando a (x) de (4) x= (10) (5y) / 2

24 x= 50y / 2 x=25y Substituyendo tenemos x=25y en la ecuacin (3): (x) (y) =10000 (25y) (y) =10000 25 y2= 10000 y2 = 10000 / 25 y2 = 400 y= 400 y= 20 Sustituyendo y= 20 en la ecuacin (3) (x) (y) = 10000 (x) (20) = 10000 x = 10000 / 20 x= 500 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (se combinan exponenciales con logartmicas) 10x-3y = 3 ------------------- (1) Log 102x Log 10y = 1 ---- (2) ________________________ De la ecuacin tenemos (1) tenemos: 10x-3y = 3 Sacando logartmicos al primero y segundo miembro de la igualdad: Log10

10 x- 3y = Log

3 10 3 10

(x-3y) Log10 10 = Log

Pasamos Log 10 al segundo miembro:

25 x-3y = Log 103 / Log Log 3 = 0.4771 Log 10 = 1 x-3y = 0.4771 / 1 De la ecuacin (2) : Log 102x- Log y = 1 Nota.- sabemos que Log A/ B = Log A Log B Log 10 2x / y = 1 Transformando a una expresin exponencial tenemos: 2x / y = 101 2x / y = 10 ----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) x-3y = 0.4771 ---------- (3) 2x / y = 10 ----------- (4) Despejando x de la ecuacin (4) 2x / y = 10 x= Log / 2 x= 5y Substituyendo x =5 y en la ecuacin (3) tenemos: x-3y = 0.4771 (5y) -3y = 0.4771 2y= 0.4771 y= 0.4771/ 2 y= 0.2385 Sustituyendo y= 0.238 en x= 5y10 10

26 x=5 (0.2385) x= 1.1925

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METODO DEDUCTIVO. El conocimiento del metodo deductivo en el area de fisico-matematicas , es importante para la formacin del estudiante, ya que le proporcina las bases para el analisis y deduccin de los principios en matematicas. Para iniciar las bases de esta tecnica se presentan las definiciones que se emplean en este metodo. DEMOSTRACION. Es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusin, de tal modo que no exista ningun error en el trnascurso de los argumentos. ARGUMENTAR. Pasar de una nocion logicas. a otra, por una serie de consideraciones puramente

PREMISA. Es el principio de un razonamiento.( representa a cada una de las proposiciones de un silogismo) PROPOSICION. Accion y efecto de proponer. PROPONER. Exponer un plan, enunciar un problema. SILOGISMO. Argumento que esta compuesto por tres proposiciones llamadas. MAYOR, MENOR Y CONCLUSION. Las caracteristicas de las tres proposiciones son: MAYOR..- Define a un grupo en su enunciado. MENOR.- Define o indica ( caracteriza) al menos a un elemento del grupo que define la premisa mayor. CONCLUSION.- Es una proposicion que se construye poniendo como sujeto ,a sujeto de la premisa menor y como predicado a la premisa mayor. Ejemplo. En la proposicion que se enuncia identifica las premisa mayor, menor y la conclusin ademas escribe el silogismo en ese orden. -a las abejas tiene tres pares de patas y un par de antenas -b- todos lo insectos artropodos tiene tres pares de patas y un par de antenas.

28 -c- la abeja es un insecto artopodo. Entonces aplicaremos el metodo deductivo.

GEOMETRA . La geometra es el estudio de las propiedades y caracteristicas de ciertos elementos como rectas, angulos, triangulos y circulos, la geometra se desarrolla , estudia loicamente por medio de lo que se conoce como metodo deductivo, todo sistema que se depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema logico. El ESPACIO se define como el conjunto de todo los puntos. Por esta definicin si un objeto esta en el espacio entonces es un punto. En geometra las suposiciones se denominan postulados. GEOMETRIA EUCLIDIANA Se denomina geometra matemtico griego clsico euclidiana la geometra recopilada por el

Euclides, en su libro "Los elementos", escrito alrededor de 300 aos antes de J.C. La geometra euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemticos usan el trmino para englobar geometras de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con euclidiana es sinnimo de geometra plana. Antecedentes historicos La geometra fue creada y desarrollada por los caldeoas ( mesopotamia y sus alrededores) antes de cristo,los conocimientos de los caldeos fueron asentados en tablas conocida como cuneiformes,tales como triangulos, cuadrilateros, y frecuencia, la geometra

29 circunferencia, entre las aplicaciones tenemos, el uso del triangulo en las construcciones y astronomia, ademas dividieron en 360 la circunferencia. Posteriormente estos conocimientos se concentraron en babilonia, despus se transportaron a Egipto extendiendo estos conocimientos a mesopotamia, asia menor y norte de frica, despus de varios siglos el imperio griego domino el mediterraneo. Thales de Mileto. Entre los primeros griegos en asimilar algunas expresiones matematicas escritas por persas, semitas,y egipcios, duchas expresiones fueron el inicio de la geometra euclidiana. Axiomtica La presentacin tradicional de la geometra euclidiana se hace en un formato axiomtico. Un sistema axiomtico es aquel que, a partir de un cierto nmero de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a travs de operaciones lgicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es tambin positivo.

Euclides plante cinco postulados en su sistema: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y slo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ngulos rectos son iguales. 5. Si una recta al cortar a otras dos forma ngulos internos menores a un ngulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos. Este ltimo postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una nica paralela. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos gemetras han intentado en vano deducirlo. Al construirse la geometra hiperblica se demostr que esto no era posible ya que en este tipo de espacios, se demuestra que el quinto postulado es falso mientras el resto se sostiene. Tambin se not que el conjunto de axiomas escogido por Euclides es incompleto.

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Limitaciones Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo. Para que el sistema de euclides fuera completo habra que aadir al menos dos postulados ms:

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construccin) Dos tringulos con dos lados iguales y su ngulo igual son iguales (equivale al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explcitamente)

Pitgoras. Uno de los mejores alumnos, de thales d Mileto fue Pitgoras, fundo su escuela de matematicas en cretona (Italia) una de las aportaciones mas importante que realizo esta escuela fue la interpretacin matematica de la correlacion que tiene los catetos de un triangulo rectangulo con su hipotenusa. Platon: exalumno de Scrates, este griego, fundo su escuela con la finalidad de poder argumentar adecuadamente los conocimientos matematicos existentes , fundamntando los conceptos elementales de ella, llamandoles premisas y en una forma logica o razonada encontrar conclusiones.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA. LA RECTA. Una lnea recta es una sucesin de puntos que llevan una misma direccin pero que van en dos sentidos opuestos; si se desplazan en un solo sentido se tratan de una semi-recta. Segmento de la recta: es aquella que est comprendida entre dos puntos. Lneas paralelas: son dos rectas en los cada uno de sus puntos equidistan uno con otro.

31 Nota: equidistar, significa a igual distancia. Lneas perpendiculares: son dos rectas que en su punto de interseccin forman por lo menos ngulos de 900. Lneas concurrentes: son dos o ms rectas que tienen un punto en comn.

Lnea recta

Semi recta

Segmento de recta.

Lneas paralelas

Lneas perpendiculares

Lneas concurrentes.

ANGULOS. Definicin: Angulo es la abertura comprendida entre dos lneas que tienen un punto en comn llamado vrtice. Formas de denominar un angulo.

32 a) Una mayscula vrtice. en letra b) Una letra griega c) Tres el o un smbolo en la mayscula. abertura. letras

SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS

Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema ciclico. (mediada de angulos en radianes). Un radian es un angulo tal que si su vrtice se coloca en el cento de un circulo,intercepta un arco cuya longitud es igual al radio del circulo.

33 TIPOS DE NGULOS Tipo de ngulo Cncavo gudo Recto Obtuso 0 < < 180 Rango

= 90 = 90 90 < < 180

Convexo Extendido 180 < = 180 = 360 Completo Por ejemplo, el ngulo obtuso est comprendido entre 90 y 180, no incluyendo estos valores. 0tra forma de expresar los tipos de angulos es. Angulo Agudo: es el que mide menos 900 Angulo Recto: es el que mide 900 Angulo Obtuso: es el que mide ms de 900y menos de 1800 Angulo llano: es el que mide 3600 Angulo de una vuelta: es el que mide 3600 Angulo Convexo: es menor que un llano. Angulo cncavo: mide ms de 1800 y menos de 3600 < 360

34 PAREJA DE NGULOS Son ngulos que tienen un lado comn y el mismo vrtice.