RAZONES TRIGONOMTRICASDEUN NGULOAGUDO- I

DEFINICIN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un tringulo rectngulo.En el tringulo adjunto, tenemos:

A B

C

ab

c

a y c : catetosb : hipotenusa

B : recto

A y C : s agudos

222 bca

A + C = 90

A los resultados as obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ngulos agudos del tringulo. As en el grfico;para A tenemos:a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)Luego se definen :

ba

HCOSenA

bc

HCACosA

ca

CACOTanA

ab

COHCscA

cb

CAHSecA

ac

COCACotA

Por ejemplo:

135

12

512Cot;

1312Cos

125Tan;

135Sen

* TRINGULOS RECTNGULOS DE NGULOS NOTABLES: Son aquellos tringulos rectngulos en los cualesconociendo las medidas de sus ngulos agudos se pude establecer la proporcin en la que se encuentran los lados dedicho tringulo. Dos de los ms usados son :

45

45

1

12

30

60

12

3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37 y 53.

37

53

35

4

www

com

.

.

M

atematica1

COREi7#custom

A partir de estos se determinarn otros adicionales como:

2230'

6730'

14 + 2 2

2 +115

75

6 - 24

6 + 21830'

7130'

110

3

2630'

6330'

15

28

82

1

716

74

725

24

5 2

No olvide adems:

30 37 45 53 60

Sen21

53

22

54

23

Cos23

54

22

53

21

Tan33

43

1 34

3

Cot 3 34

1 43

33

Sec3

3245

2 35

2

Csc 2 35

2 45

332

* PROPIEDADES:

I . Las razones trigonomtricas de un ngulo; dependern de la medida de dicho ngulo y no de los lados deltringulo rectngulo en que se ubique. Por ejemplo:

A

QM

NP B

C

Iguales

ACBCSen

ANMNSen

AQPQSen

II . R. T. Recprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonomtricas de un ngulo agudo, queexisten tres parejas que son una la recproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estasparejas son las siguientes:

1CotTan1SecCos1CscSen

Note que los ngulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :Tan(3x - 10) . Cot(x + 30) = 1; para calcular "x" diremos :

Tan(3x - 10) . Cot(x + 30) = 1 3x - 10 = x + 30 x = 20

III. R. T. de ngulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonomtricas de los 2 ngulos agudosde un tringulo rectngulo, se puede notar que existen ciertas parejas de stas que toman el mismo valor. Estacaracterstica la vamos a indicar de la siguiente manera:

www

com

.

.

M

atematica1

COREi7#custom

Si: son agudos; talesque: + = 90entonces:

Sen = CosTan = CotSec = Csc

Por ejemplo:Sen10 = Cos80Tan20 = Cot70Sec40 = Cos 50Cos24 = Sen 66Tan = Cot (90 )Sen( + 10) = Cos (8 )0

Si: son agudos; talesque:

entonces: = 90

Sen = CosTan = CotSec = Csc

Por ejemplo: hallar "x", si:Sen (2x + 10) = Cos3x

2x + 10 + 3x = 905x = 80 x = 16

Otro ejemplo; hallar "x" si:Tan (2x + y) = Cot (x - y)

o

2x + y + x y = 903x = 90 x = 30

www

com

.

.

M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si " " es la medida de un ngulo agudo y se cumple

que:32Tg ; calcular: Cot12Sen13T

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

02. En un tringulo rectngulo ABC recto en "C" se cumple

que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB42ASen65E 2

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

03. El permetro de un tringulo rectngulo es 150u y lacosecante de uno de los ngulos agudos es 2,6.Calcular la longitud del mayor cateto.

a) 20 u b) 30 u c) 40 ud) 50 u e) 60 u

04. Del grfico mostrado, calcular: "Cot.Cot"

A

B

CE

F

a2a

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3/2

05. Del grfico mostrado, calcular: "TgwTg" , si: ABCDes un cuadrado.

A

B C

D

E

2a

3a

w

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

06. Del grfico, calcular: "Cot" , si: 4,2Cot

A

B C

DE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Del grfico, calcular: "Tg" , si:125Tgw

w

a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5

08. Calcular: 3Cos3

6Sen6

4Tg4E

a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5d) 8,5 e) 9,5

09. Calcular:45Sec30Tg2

45Cot.60Sec.30CotE22

2

a) 2 b) 2,25 c) 2,5d) 2,75 e) 3

10. Del grfico, calcular: CotA

O B

E

F37

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Si ABC es un tringulo equiltero, calcular: "Tg"

A

B

C

M 8

N2

a)53

b)5

32c)

73

d)7

32e)

733

www

com

.

.

M

atematica1

12. Del grfico mostrado, calcular: Tan11

A

B C

DE

F45

37

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Del grfico mostrado, calcular: "Cotw" .

a

4a

45w

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

14. Del grfico mostrado, calcular: "Tg" , si: ABCD es uncuadrado.

A

B C

DE F37

a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7d) 3/5 e) 3/8

15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,calcular: E = 4Tg(2x+1)+3Tg(3x-1).

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

16. Si se cumple que: Sen(3x-17)Csc(x+13) = 1Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

17. Calcular: E = (3Tg10+8Cot80)Cot10

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

18. Calcular: E = (5Sen20+3Cos70)(5Csc20-2Sec70)

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

19. Sabiendo que: Tg(3x-10)Tg40 = 1Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.

Calcular: Tgy.Tgx).3

yx(Cot).2

yx(TgE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

21. En un tringulo rectngulo, los lados menores miden3 cm y 5 cm. Si el menor ngulo agudo de dichotringulo mide " ".

Halle el valor de: 1Sen17W 2

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5

22. En un tringulo ABC, recto en C, se sabe :

32

SecBSecA

Calcular :

CtgB3CosA13E

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

23. En un tringulo rectngulo, el Coseno de uno de susngulos agudos es 0,96.Si su hipotenusa mide 50 m.Hallar el permetro de dicho tringulo.

a) 112 m b) 224 m c) 96 md) 52 m e) 412 m

24. Calcule el rea de la regin triangular ABC .Donde: AC = 36m; si, adems

26CscC17CscA

a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2

d) 18 m2 e) 360 m2

25. El permetro de un tringulo rectngulo es de 338 m.Si la tangente de uno de los ngulos agudos es 2,4.Cunto mide el cateto menor?

a) 13 m b) 33,8 m c) 50 md) 56,33 m e) 55 m

www

com

.

.

M

atematica1

26. De la figura, hallar 2)2Tan(

m

n

2 mn

a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 0

27. Determinar la hipotenusa de un tringulo rectngulo,sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y elproducto de los Senos de los ngulos agudos es 0,22.

a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 7 m

28. Del grfico, calcule : Tan .Si: BN = 2AN

A N B

C

45

M

a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75

29. Si en el grfico : AB = BC.Calcule: Tan

A

B

C53

M

a) 92

b) 94

c) 32

d) 31

e) 52

30. Del grfico, obtener Tan

M37

A

BO

a) 34

b) 43

c) 45

d) 32

e) 54

31. Si:

1nCos2

n2Tan

n3Cscf )x(

Calcular: )2(f

a) 02 b) 12 c) 22

d) 32 e) 0

32. Si en el tringulo ABC, equiltero, M, N y P son puntosmedios de AB, BC y AC, respectivamente.Adems: NQ = 2QPCalcular:

TanTan5Tan7K

PA C

B

M N

Q

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 14

33. Si:2

x y 1)Tanx( 23Sen

El valor de "q" es:xCtg1

xTan1q2

2

a) 2 b) 32

c) 3

d) 21

e) 31

34. Del grfico, calcular: CotSi: ABCD: cuadrado.

A

B C

D37

a) 6 b) 12 c) 9d) 18 e) 14

www

com

.

.

M

atematica1

35. Si:Sen 3x . Cscy = 1Tan(2x + 20) = Ctg(y + 10)Determinar "y - x"

a) 12 b) 18 c) 20d) 24 e) 32

36. Si: Tgx . Tgy = 1Determinar:

3yx2Sec

3yxTan

2yxSenE

a)36

b)66

c) 1

d)35

e)62

37. Calcular:E = 4Sen20 (Csc20 + 2Sec70)

a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 16

38. Calcule el valor de la expresin:

80Csc...30Csc20Csc10Csc80Sec...30Sec20Sec10SecW

a) 1 b) 2 c) 2d) 3 e) 23

39. Hallar los ngulos agudos y tales que:

)90(Ctg)353(Tan

152

a) 11 y 10 b) 15 y 13c) 20 y 1730' d) 35 y 25e) 17 y 16

40. Siendo:Sen(2x+y) . Sen(x-y+10) = Cos (x+2y) . Cos (80 -x + y)Calcule:

K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 e) 33

41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormentecon radios R y r.Calcular el cuadrado de la cotangente del nguloformado por la recta tangente a ambas circunferenciasy la recta que une los centros.

a) 2)rR(Rr4

b) 2)rR(Rr4

c) 2)rR(Rr2

d) 2)rR(Rr2

e) 2)rR(Rr

42. Se tiene un tringulo rectngulo con catetos a y b.Hallar su rea en trminos de "m" si:

6Sen2

3tSecta 2

3Cos2

6tCsctb 2

22 m4

Tanmt2t

a) 1m2 b)

22

21m

c)

22

21m

d)2

)1m( 22

e) 1m2

43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple lasiguiente condicin:

0)330(Ctg)30(Tan

20m

x

a) m210 b) 10 m c) m35

d) 5 m e) m310

44. Una semicircunferencia de radio )31( cm. se divideen treinta arcos iguales.Calcular la proyeccin del arco comprendido entre laquinta y dcima divisin sobre el dimetro horizontalen centmetros.

a) 41

b) 21

c) 1

d) 45

e) 2

45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajoun ngulo de 32' y si la distancia del observador a lasuperficie de Sol es 150 millones de kilmetros.Determinar el radio del Sol en millones de kilmetrossabiendo que:

Sen16' = 0,00465

www

com

.

.

M

atematica1

a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395d) 2,629 e) 1,402

46. En un tringulo issceles, las medianas trazadas de susvrtices de ngulos iguales se intersecanperpendicularmente.Entonces, el Coseno de uno de los ngulos iguales es:

a) 31

b) 21

c)23

d) 101

e) 321

47. Dos autos parten simultneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ngulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.

a) 85

b) 167

c) 803

d) 409

e) 2513

48. En el trapecio ABCD : BC // AD.Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida delngulo DADC ; el valor de:

K = CscD + CtgD ; es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

49. En un tringulo rectngulo ABC )90B( seale elequivalente de:

12ACotTanA1

2ATanTanAK

a) ASen2 b) ACos2 c) ATan2

d) ACot2 e) ASec2

50. Si: 3 es un ngulo agudo, tal que:

523Cot

Calcule: 2Cos6Csc5K

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

51. Si los tringulos ABC, CDE y EFG son equilteros.

Calcule:TanyTanx

Si:2

EG3

CEAC

A

B

C

D

E

F

M N

x yG

a) 6635

b) 7765

c) 7255

d) 1113

e) 75

52. Del grfico, hallar: Tannm

A

B C

D

E F p

a) mnpn

b) pnmn

c) nmpm

d) pmnm

e) npnp

53. Si:Tan(x+10)+Tan(y+10)=Cot(x+10)+Cot(y+10)

2)y4100(Sen

)10y4(Cos)yx(Cos

Calcular:

)10yx(Cosy3Sec)10x(SecK

22

a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 32

54. Del grfico, calcular:

Tan5Cot32K

Si: CD se dibuja con centro en "E"

60

CB

A D

P

Q

E

a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 10

www

com

.

.

M

atematica1

55. En el cuadrado ABCD; calcular:

Tan9Tan3K

B C

A D

E

8

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

56. Sabiendo que:Tan(40+x) . Sen(50-x) = Cos(10+x) ..... (1)Tan(2x-5) . Tany = Tan1 . Tan2 . Tan3 ...... Tan 89Calcule:

222 Csc)5y(Tan)5x2(SecW)5xy(

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

57. En el cuadrado ABCD, calcular:

Cos5Cos22WSi: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD

M

A

B C

D

F

N

E

a) 11 b) 13 c) 64

d) 19 e) 17

58. Sabiendo que:

y22x3Cos)20yx2(Sen

1y34xTany3

2xTan

Calcule:

y3Csc)yx(CscW 22

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 5

59. Del grfico calcular:)1Csc)(1Csc)(1Csc)(1Csc(W

O1 O2 O3

a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 100

60. Del grfico calcule:

CosCos)1Sec)(1Sec(WSiendo "A" centro del arco BD.

D T

O

A C

B

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 23

www

com

.

.

M

atematica1

ClavesClaves01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

e

d

e

c

b

e

c

d

b

b

d

c

b

c

c

a

b

c

e

c

c

e

a

a

d

d

c

e

b

e

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

c

d

e

b

d

a

a

a

e

d

a

d

b

c

a

d

d

d

e

c

b

a

c

e

d

d

e

c

c

c

www

com

.

.

M

atematica1

CaptuloRAZONES TRIGONOMTRICAS

DE UN NGULO AGUDO - II2* CLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un tringulo

rectngulo, en trminos de un lado que s se conoce; y de un ngulo agudo que tambin se conoce.

Criter io :

conocido).(T.RconocidoLado

odesconocidLado

Casos:

1 .

A B

C

L

BCTanL

BC

ACL

AC

I)

II)

2 .

A B

C

LABCot

LAB

ACL

AC

I)

II)

3 .

A B

C

L BCSenLBC

LAB

I)

II)

www

com

.

.

M

atematica1

* SUPERFICIE DE UN TRINGULO: La superficie de un tringulo se puede calcular como el semiproducto de lasmedidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ngulo que forman dichos lados.

a

b

c

A

B

C

h

2hbSABC

2aSenCbSABC

Sabemos:

pero: h = aSenC

luego:

SenC2

abSABC

SenB2acSABC SenA2

bcSABC

Anlogamente

www

com

.

.

M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Hallar el rea del tringulo, de la figura mostrada:

K

a) Cos.SenK2 b) Cos.Sen)2/K( 2

c) Cos.Sen)3/K( 2 d) Cos.Sen)4/K( 2

e) Cos.Sen)5/K( 2

02. En un tringulo issceles ABC (AB=BC) se sabe quelos ngulos congruentes miden " " mientras que ellado desigual mide "L". Hallar uno de los ladoscongruentes.

a) Sec2L

b) Csc2L

c) Tg2L

d) Ctg2L

e) Cos2L

03. Obtener "x", en:

m

a) mSen b) mCos c) mSecd) mCsc e) mTg

04. Obtener "x"

A

B

O

R

Hx

a) )Sen1(R b) )1Sec(R

c) )Cos1(R d) )1Csc(R

e) )Tg1(R

05. En la figura, halla "x".

A

B

C

m n

x

a) nCosmSen b) nCosmCos

c) nSenmCos d) nSecmSec

e) nSecmSen

06. Halla "x" en:

A C

BD

x

m

a) TgmSec b) CscmCos

c) CtgmCos d) CosmSen

e) mTg

07. Halla "x":

m

x

a) Cot.mSen b) Tan.mSen

c) Sen.mSen d) Cot.mCos

e) Tan.mCos

08. Hallar "x":

B

A

D

HCm

x

a) 2mSen b) 2mCos

c) CosmSen d) TgmSen

e) CscmSec

www

com

.

.

M

atematica1

09. Hallar "x", de la figura:

x

m

a) Cos.mSen b) Cos.Sen

c) mSen d) mCos

e) mTg

10. Del grfico, hallar: AC .

B

C A

m n

x y

a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSenyc) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosye) mSeny+nCosx

11. Del grfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.

A B

CD

x

m

a) )Sen1(m b) )Cos1(m

c) )Tg1(m d) )Ctg1(m

e) )CtgTg(m

12. Obtener "AB":

A

C

B

R

O

a) )CtgCsc(R b) )Ctg1(R

c) )Csc1(R d) )Sen1(Re) 2R+1

13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.

A B

O

R

x

a) RSen b) RCos

c) )Sen1(R d) )Cos1(R

e) )Cos21(R

14. Hallar "x".

m

x

a) SenmSen b) CosmSen

c) CosmCos d) SenmCos

e) CtgmTg

15. Hallar la distancia mnima del punto "P" a lacircunferencia:

P2

R

a) RCsc b) )1Csc(R

c) )1Tg(R d) )1Ctg(R

e) )1Csc(R

16. Determine "x" en:

A

C

BD

m

x

a) Cos.mSen b) Sec.mSen

c) Ctg.mSen d) Ctg.mCos

e) Tg.mCos

www

com

.

.

M

atematica1

17. Hallar "x".

A

B

C

D

a

b

x

a) aCosSen b) CosbSenc) aCosbSen d) bCosaSen

e) bTgaSec

18. Determine el permetro del tringulo ABC.

A

B

C

m

a) )CosSen1(m

b) )TgSec1(m

c) )CtgCsc1(m

d) )CscSec1(m

e) )CtgTg1(m

19. Hallar: "x" en:

mx

a) CosmCtg b) Cos.mTg

c) SenmTg d) mTg

e) mSen

20. Del grfico, hallar: "Ctgx".

x

a) SenCosSec2

b) SenCosSen

c) SenCosSec

d) CosSenCsc

e) SenCosSec

21. Del grfico, determine "x".

m

x

a) Senm b) Cosm c) Secmd) Cscm e) Tanm

22. Determinar CD .

A

B

C D

m

a) SenmTan b) CosmCtg

c) CosmTan d) CscmTan

e) SenmCtg

23. Del grfico, hallar "x".

m

45

x

a) 1Tanm

b) 1Ctgm

c) Ctg1m

d) Tan1m

e) )Tan1(m

24. Determine "x" en :

m x

a) SenSenm b) CosSenmc) SecSenm d) SecCosme) SenCosm

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com

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M

atematica1

25. Determine "x" en:m

x

a) 2Secm b) 2Cosm

c) 2Senm d) 2Cscm

e) CscSecm

26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".

A

B

C

D

x

L

a) 2SenL b) 2CosL

c) )CosSen(L d) CosSenL 2

e) 2CosSenL

27. Del grfico, hallar "x":

m

x

a) )1Sec(m 2 b) )1Csc(m 2

c) )1Tan(m 2 d) )1Ctg(m2

e) )CtgTan(m 22

28. Del grfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.

n

A B

CD

x

a) nSen b) nCos c) CscnTan

d) nCsc e) nCtg

29. Del grfico, hallar: ED.

A B

C

D

E m

a) mCtg b) mSec c) 2mSec

d) 2mCtg e) 2mTan

30. En el grfico, hallar MP, en trminos de " " y " "; " "

y " ".

M

N

R P

b

a

a) Sec)Cosba( b) Csc)Cosba(

c) Ctg)Tanba( d) Tan)bSeca(

e) Csc)bSena(

31. En un tringulo BAC, recto en A; la mediana BM y elcateto AC forman un ngulo agudo x. Luego Tanx esigual a:

a) 2TanC b) TanB + TanCc) 2TanB d) TanC + CtgCe) 2(TanC + TanB)

32. En la figura el rea del tringulo ACD es igual al readel tringulo ABC.El valor de ser:

A B

C

D

a)21ArcTan b)

21ArcCtg

c)2

1ArcTan d)2

1ArcCtg

e) 2ArcTan

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com

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M

atematica1

33. En la regin limitada por una circunferencia de radio Ry dos tangentes a sta; se quiere inscribir otracircunferencia (de radio menor que R). Si las tangentesse intersectan en un ngulo de 2a radianes, A qudistancia de la interseccin de stas, debe encontrarseel centro de la circunferencia inscrita?

a)Sena1Sena1

SenaR b)

Sena1Sena1

SenaR

c) Sena1R

Sena d) Sena1Sena

R

e) Sena1Sena

R

34. En la figura, expresar OB y BC, en trminos de x, y,

O A

B

COA = x

AC = y

a) ySenxCosOB

yCosxSenBC

b) ySenxCosOB

xCosySenBC

c) ySenxCosOB

yCosxSenBC

d) ySenxCosOB

xSenyCosBC

e) ySenxCosOB

yCosxSenBC

35. En la figura: ABCD es un rectngulo inscrito en la

circunferencia de centro O, ARD ; AB//RS , AB=a.Hallar el radio de la circunferencia.

O

A

B C

D

S

R

a) Cos2a b) Cos2a

c) Sen2a

d) aSen

e) Cos21a

36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las reas de los

tringulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Senes:

A B

CD

E

F

a)6

53b)

653

c)6

53d)

653

e)6

53

37. En la figura mostrada, son conocidos: , y h.Entonces los valores de x e y son dados por:

y

h

x

a)TanTan

Tanhy;TanTan

hx22

b)TanTan

Tanhy;TanTan

hx

c) 2222

22

2

TanTan

Tanhy;TanTan

hx

d) 222

2

2

)TanTan(

Tanhy;)TanTan(

hx

e) TanTanhy;TanhTanx 2

38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:

AB = 3 y1627AC

x

y

A

B

C

a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29d) 4,19 e) 3,19

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com

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M

atematica1

39. De la figura hallar:

nzCtgxTanyTaTany3Tanz6F

yz

k

k

x

a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30d) 3,00 e) 3,20

40. En un tringulo rectngulo BAC, se cumple que

42CosBCosC .

Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que

esta mide m26 .

a) m2 b) m3 c) 3 m

d) m5 e) m7

41. La figura muestra un cuadrado cuya rea es 2m64 y

tal que PC = BP'.Hallar: AMSi: AP = 6 m

MP

P'

A B

C D

O6m

a) m512 b) m3512

c) m3516

d) m5512

e) m312

42. En la siguiente figura, G es el baricentro del tringuloABC, AD = BD y 3CosSen3Hallar la tangente del ngulo DCG.

G

A

B

CD

a) 3 b) 32

c) 31

d) 23

e) 21

43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx CtgySi: AB = AD = 1 ; DC = 2

DA

B

C

x

y

a) 21

b) 31

c) 2

d) 41

e) 1

44. En la figura mostrada, a qu distancia se encuentra elglobo respecto del lago?

H

Lago

Imagen

Globo

a) 2HCos b) 2HSenc) 2HSec d) 2HCsc

e) 2HCtg

45. En la figura: DC = 2AB = 2.Calcular el rea del tringulo EFG.

G

A

B

E

F C

D

a) Tan181

b) Ctg452

c) Tan452

d) )CtgTan(181

e) )CtgTan(91

46. En un sector circular, cuyo ngulo central es , estinscrito un cuadrado de lado L.El radio de la circunferencia correspondiente es:

a)21

2 52

Ctg2

Ctg2L

www

com

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M

atematica1

b)21

2 52

Ctg22

Ctg2L

c)21

2 52

Ctg42

Ctg2L

d) 22Ctg

2L

e)21

22

Ctg2L

47. Se tiene un tringulo ABC en el que se conocen el ladoAC (opuesto al vrtice B, de longitud b), y la bisectrizde longitud w relativa al vrtice B.Hallar el rea del tringulo ABC.

a) 3CACos

3wb

b) 2CACos

2wb

c) 2CACos

3wb

d) 3CACos

2wb

e) 4CACos

2wb

48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ngulos ABC

y BCD miden 65

y 43

, respectivamente.

Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangentea los tres segmentos de la poligonal si cumple que :

m83Ctg

125Ctg y BC = n

a) mn2

b) mn

c) m2n

d) mnmn

e) nm

49. En la figura, el tringulo NST es issceles de base 6, KHes el radio de la circunferencia circunscrita a un tringuloequiltero de lado 6.Hallar el radio R.

R

K N H T

S

2

L

a)4

Ctg32 b)4

Tan32

c)3

Tan32 d)4

Tan34

e)3

Ctg32

50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD conuno de sus vrtices en el origen de coordenadas cuyolado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DMdivide al cuadrado en un tringulo y en un trapeciocuyas reas estn en la relacin de 1 : 4.Calcule la tangente del ngulo MDC.

M

A B

CD

a) 41

b) 52

c) 31

d) 43

e) 53

51. Dado un polgono regular convexo de n lados, se trazandos circunferencias, la primera de radio r que estangente a todos los lados del polgono, y la segundade radio R que pasa por todos sus vrtices.

El valor de la razn Rr

es :

a)n

Sen b)n2

Sen c)n2Sen

d)n

Sen21 e)

nCos

52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 22 ,

est inscrito en una circunferencia.

Calcular la distancia del punto Q al punto medio delarco MN.

a) 5,0 b) 1 c) 5,1

d) 2 e) 22

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com

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M

atematica1

53. En la siguiente figura:

A

B

Cc

rO

La relacin 22

c

r4es equivalente a:

a)2

Cos12 b) Cos12

c) Sen12 d)2

Cos12

e) )Sen-)(1Cos-1(2

54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es puntomedio del lado AB.Determine Csc

A B

C D

Q

a) 2 b) 45

c) 3

d) 4 e) 52

55. En la figura, hallar "x":

k

x

a) SenkSec5 b) TankSec6

c) 7SeckCtg d) 6CoskTan

e) CoskSec5

56. En el cuadrado ABCD, las reas de los tringulos OAP,PDC y CBO son iguales.Luego Csc es:

A B

C D

O

P

a) 536

b) 356

c) 536

d) 536

e) 536

57. En la figura hallar el valor de "h" en funcin de , y

. Si : c , A , B

h

A B

C

D

a) CtgCtg b) TanTan

c) SenSenSen

d) CtgCtg

e) SenCos

58.En un tringulo ABC, recto en B, la mediana CM y elcateto BA forman un ngulo agudo . Entonces, Tges:

a) 2 TanA b) 2 CtgAc) 2TanC d) TanA + TgCe) 2(TanC + CtgA)

59. En la semicircunferencia mostrada, halle:

2Sen2SenK

1

3

A B

C

Q

O P

a) 2 b) 3 c) 4

d) 41

e) 31

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com

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M

atematica1

60. Del grfico, hallar Tan

Si: nPB

mAP

M

A

O B

P N

a) )nm2(nm

b) )nm2(mn

c) )mn2(mn

d) mn2nm2

e) nm2mn2

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M

atematica1

ClavesClaves

b

a

c

c

b

d

a

a

a

d

c

c

d

b

b

c

c

c

c

a

b

e

b

c

d

c

d

c

d

e

a

a

c

b

d

b

e

b

b

d

c

d

c

a

c

b

b

b

b

b

e

b

e

b

b

d

a

a

c

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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M

atematica1

NGULOS VERTICALES

Son aquellos ngulos ubicados en un plano vertical que, en la prctica, son formados por una lnea visual (o lnea de mira)y una lnea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observacin. Estos resultados se clasifican en: ngulos deelevacin y ngulos de depresin.(ver grficos).

Lnea Horizontalh

: ngulo de Elevacin

H

Lnea Horizontal

: ngulo de Depresin

Consideracin: En el grfico adjunto, " " esel ngulo bajo el cual se divisa la torre. Noteque deben trazarse las dos visuales; una haciala parte alta y la otra hacia la parte baja.Luego " " es el ngulo formado por las dosvisuales.

NGULOS HORIZONTALES

Son aquellos ngulos ubicados en un plano horizontal que, en la prctica, los vamos a ubicar en la Rosa Nutica.Rosa Nutica: (comps marino), es un instrumento de orientacin que permitir localizar una ciudad, persona o punto;respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :

AB

C

P

Referencia

Oeste (O) Este (E)

Norte (N)

Sur (S)

42

40 30

Note que dichas direcciones en este caso para A;B y C; forman con los ejes principales ciertosngulos; con quienes se van a denotar dichasdirecciones.Por ejemplo:

"A" se halla el E30N de "P""B" se halla al O40N de "P""C" se halla al S42O de "P"

CaptuloNGULOS VERTICALES

NGULOS HORIZONTALES3

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M

atematica1

Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ngulos; con quienes se vana denotar dichas direcciones.Por ejemplo:

"A" se halla el E30N de "P" ."B" se halla al O40N de "P" ."C" se halla al S42O de "P" .

30 66

24

10

QN

P

EO

S

S

R

R""deNE66alEst

R""deEN24alEstP

R""dealEst

R""deNO30alEstQ

R""dealEst

R""deES10alEstS

Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejesprincipales; por lo que su notacin ser tambin particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y ustedconcluye los restantes por analoga.

E E

EE

O O

OO

S S

S S

N N

N N NE41N

NNEN

41NE

NE

E41NE

ENE

NE41E

En cualquiera de los casos : '1511 rad16

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M

atematica1

SITUACIONES COMBINADASCuando los enunciados de los problemas mencionan ngulos verticales (de elevacin o de depresin) y ngulos horizontales(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa nutica a emplear asume una posicin ms real; es decir,ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situacin:"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ngulo de elevacin " ". Si luego nos desplazamos

hacia el N60E, hasta ubicarnos al Este del poste, el ngulo de elevacin para su parte ms alta sera " ". Ahora, note larepresentacin grfica:

60

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com

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M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificiocon ngulo de elevacin 37, si la visual mide 30 m,determinar la altura de edificio.

a) 3 m b) 12 c) 15d) 18 e) 24

02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de unposte con un ngulo de elevacin de 45. Si la alturadel poste es de 20 m. A qu distancia de el se halla lapersona?

a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 32

03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisasu parte ms alta con un ngulo de elevacin de 53.Cul es la altura de la torre?

a) 24 b) 36 c) 32d) 42 e) 48

04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ngulo de elevacin de 37. Si la altura delposte es de 30 m. A qu distancia del poste seencuentra el punto de observacin?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la partealta de un farol que se encuentra entre ellos con ngulosde elevacin 37 y 45. Determinar la altura del farol.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la partealta y baja un poste con ngulos de elevacin ydepresin 60 y 30 respectivamente. Determine laaltura del poste.

a) 15 m b) 24 c) 30d) 36 e) 48

07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ngulo de elevacin " " (Tg =1/4). A qudistancia de la torre se halla el punto de observacin, sila altura de la torre es 7 m?

a) 14 b) 28 c) 56d) 21 e) N.A.

08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ngulo de elevacin de 37. Si nos acercamosuna distancia igual a la altura del poste, el ngulo deelevacin es " ". Calcular: "Tg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve suparte ms alta con un ngulo de elevacin de 53.Caminamos 3 m en direccin al poste y el ngulo deelevacin para su parte ms alta es " ". Calcular:"Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10. Una hormiga observa la copa de un rbol con unngulo de elevacin de 37, luego se acerca 7 m yobserva el mismo punto con un ngulo de elevacinde 53. Calcular la altura del rbol.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo altode un poste con ngulos de elevacin 53 y

52Tg . Si el poste se encuentra entre los dos

puntos. Determine su altura.

a) 12 m b) 16 c) 18d) 9 e) 11

12. Se observa un poste con ngulo de elevacin " " nosacercamos "L" y el ngulo de elevacin es 45. Si laaltura de poste es "2 L". Determinar: Tg .

a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 1/2 e) 3/2

13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa unautomvil con ngulo con ngulo de depresin " "

31Tg . Luego se observa una seal ms cerca del

edificio con ngulo de depresin 45. Determine ladistancia entre la seal y el automvil.

a) 12 m b) 18 c) 24d) 36 e) 10

14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ngulo de elevacin de 45, y desde otro puntoubicado en la mitad de la distancia que hay entre elprimer punto y el poste, el ngulo de elevacin es " ".Calcular: "Tg ".

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisasu parte ms alta con un ngulo de elevacin " "(Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la

altura de la torre, el ngulo de elevacin es " ".

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M

atematica1

Calcular: "Ctg ".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

16. Desde las partes superiores del primero, segundo ytercer piso de un edificio se observa lo alto de otro

edificio con ngulos de elevacin , , , respectiva-

mente. Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. Cuntos pisostiene el segundo edificio?

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40

17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un puntoen tierra con un ngulo de depresin de 45. Cuntomide cada piso del edificio, si el punto observado sehalla a 24 m del mismo?

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4

18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 mde altura, se divisa su parte ms alta con un ngulo deelevacin de 53. Seale la distancia de un punto a labase del edificio.

a) 20 b) 21 c) 35d) 32 e) 49

19. Desde el puesto del viga de un barco que tiene 48 mde altura se observa que el ngulo de depresin de unbote es de 30. Calcular la distancia a la que esta elbarco.

a) 48 b) 48 3 c) 12

d) 24 e) 6 3

20. Desde el pie de un poste se observa la parte ms altade una torre con un ngulo de elevacin de 45, elmismo punto es observado desde la parte ms alta delposte con un ngulo de elevacin de 37. Calcular lalongitud del poste si la distancia entre el poste y la torrees de 120 m.

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40

21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con

un ngulo de elevacin " " )61Tan( ; y si nos

acercamos 30 m el ngulo de elevacin es de 45.

Cul es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 md) 8 m e) 12 m

22. Un mvil se desplaza hacia una torre con una velocidadde 4 m/min; y en un primer momento, observa su partems alta con un ngulo de elevacin de 37. Si la torremide 192 m, despus de qu tiempo el ngulo deelevacin tiene como tangente 8?

a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 mind) 1h 18 min e) 58 min

23. Un nio observa los ojos de su padre con un ngulode elevacin , y su padre observa sus pies con un

ngulo de depresin )90( .

Obtener la relacin entre sus alturas.

a) 2Tan1 b) 2Tan1c) 2Cot1 d) 2Cot1

e) 1Tan2

24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ngulos de elevacin " " y" ", respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.Cul es la altura de la torre?

a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m

25. Subiendo por un camino inclinado, de ngulo " "respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torrecon un ngulo de elevacin " 2 "; verificndose que latorre mide 3 m y la visual 7 m.Cul es el valor de " Tan "?

a) 73

b 76

c) 143

d) 74

e) 72

26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de unatorre de 24 m de altura, se ve su parte ms alta conngulo de elevacin de 45 y 37 respectivamente.Cul es la distancia entre los puntos de observacin?

a) 32 m b) 36 m c) 56 md) 48 m e) 40 m

27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,se divisa su parte ms alta con ngulos de elevacin" " y " 90 ", respectivamente. Si la distancia entrelos puntos de observacin es el doble de la altura delposte, calcular: CotTanP

a) 3 b) 32 c) 6d) 62 e) 23

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com

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M

atematica1

28. El ngulo de elevacin de la cspide de una torre es de60 a 72 metros de ella. Estando el ojo del observadora 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre esaproximadamente.

a) 72 m b) m373 c) 71 m

d) 73 m e) m372

29. Desde el pie de un poste el ngulo de elevacin de laparte ms alta de un campanario es 45. Desde la partesuperior del poste que tiene 9 m de altura, el ngulo deelevacin es de 30.Cul es la altura del campanario?

a)239

b)21

27c)

1335

d)13

39e)

1339

30. Un nio est volando su cometa soltndole cuerda, lamisma que se mantiene tensa y haciendo un ngulocon la horizontal. A 120 m detrs del nio hay unhombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m dealtura, el hombre la observa con un ngulo respectoa la horizontal.A cuntos metros de altura se encontrar la cometapara que sea observada por el hombre con un ngulo

2 ?

Considere :31Tg

a) 23637

b) 171285

c) 131080

d) 191561

e) 13637

31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En undeterminado instante, el faro es observado por el

tripulante de la balsa con un ngulo de elevacin de

12 . Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,,

encontrando esta vez un ngulo de 6 .

Encuentre la altura del faro (desprecie la altura deltripulante que hizo la observacin)

a) 10 m b) 15 m c) 12 md) 14 m e) 18 m

32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automvilcon un ngulo de depresin de 37. Dicho automvilse desplaza con velocidad constante. Luego que avanza28 m acercndose al edificio es observado con unngulo de depresin de 53. Si desde esta posicin

tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular lavelocidad del automovil.a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/sd) 12 m/s e) 4 m/s

33. Un avin se encuentra volando horizontalmente a 180km/h. En cierto instante, el piloto ve una seal en tierracon un ngulo de depresin de 30. Dos minutosdespus, estando sobre la seal, el piloto observa auna distancia de 1000 metros un aerostato con unngulo de elevacin de 60.A qu altura est volando el aerostato en ese instante?

a) km32 b) km35,2 c) km33

d) km35,3 e) km34

34. Un barco y un avin viajan en la misma direccin y enel mismo sentido. En la primera observacin desde elbarco se ve al avin adelante con un ngulo deelevacin de 53, marcando con una boya dicho lugar.En la segunda observacin se le ve con un ngulo de37, si la velocidad del avin es 8 veces la del barco.Calcular la cotangente del ngulo con la que el avinen la segunda posicin observa la boya.

a) 1217

b) 1115

c) 1711

d) 43

e) 75

35. Dos puntos estn ubicados en un mismo nivel del suelo.Desde uno de ellos se observa el extremo superior deun poste con un ngulo de elevacin y desde otropunto se observa el punto medio del poste con un

ngulo de elevacin . Si la suma de las distancias delposte a cada uno de los puntos es d, calcular la alturadel poste.

a) dTan2dTan b) CtgCtg2d2

c) dCtgdCtg2 d) TanTan2d2

e) )Tan2Tan(d

36. Dos autos parten simultneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ngulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de una hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.

a) 85

b) 167

c) 803

d) 409

e) 2513

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com

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M

atematica1

37. Un nio de estatura "h" est parado sobre la banca yobserva los ojos de su padre; de estatura "H", con unngulo de elevacin " " y sus pies con un ngulo dedepresin " ". Si el padre divisa los pies de su hijocon un ngulo de depresin " ".

Hallar: hH

a) TanTanTanTan

b) TanTanTanTan

c) TanTanTanTan

d) TanTanTanTan

e) TanTanTanTan

38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de9, se ve un momento de menor altura, con un ngulode elevacin "x", su parte ms alta y un ngulo dedepresin "y" su base. Si desde lo alto del edificio, latangente del ngulo de depresin con la que se ve labase del monumento, es sextuplo de la tangente delngulo con que se ve la parte ms alta.Calcular: E= 4Coty Tanx

a) 2 b) 4 c) 5d) 8 e) 6

39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,a un mismo lado, con ngulos de depresin , 45 y

90 )45( . Si el punto intermedio dista delms alejado, el doble del ms cercano, calcular:

2CotTan6N

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

40. Un poste, una persona y una torre estn ubicados delmodo que se mencionan y sus alturas estn en laproporcin 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa loalto de la persona con un ngulo de depresin " ";mientras que la persona divisa lo alto de la torre con unngulo de elevacin , desde lo alto de la torre se vela base del poste con un ngulo de depresin " ". Sise verifica que:

nCotmCotCotCalcular: K = m + 2n

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos enla superficie horizontal A, B y C, perfectamentealineados; desde los cuales se ve "Q" con ngulos de

elevacin , y respectivamente. Si BP es bisectriz

del ngulo CPA que mide 60, calcular:

TanTanTanJ

a) 2 b) 32 c) 3

d) 3 e)33

42. Desde la parte ms alta de un rbol de 5 metros dealtura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros dealtura con ngulos de depresin y )90( , si estosestn al Este y al Sur del rbol ms alto, respectivamente.Calcular: " Tan ", si adems desde la parte ms alta delrbol ms pequeo, se observa la parte ms alta delrbol de 4 metros con un ngulo de elevacin de

)90(

a) 4 21

b) 21

c) 4 2

d) 2 e) 22

43. Un barco se encuentra al Sur de un helicptero, el barcopermanece inmvil; pero el helicptero avanza ciertadistancia hacia el Este. Desde el barco se observa alhelicptero en la segunda posicin con un ngulo deelevacin " ". Si el ngulo de elevacin en la primeraposicin es de 45 y el helicptero avanz 2km, calcular" ", si adems el helicptero se encuentra a una alturade km2 .

a) 21ArcTan b) 3

1ArcTan

c) 43ArcTan d) 30

e) 45

44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un

poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del tringulo ABC),desde los cuales se ve lo alto del poste con ngulos de

elevacin , y respectivamente.

Si : yCQBxBQASeale el equivalente de:

22 CotCot

CosyCotCosxCotJ

a) Tan b) Tan2 c) Cot2

d) Cot21

e) Tan21

45. Luciano observa a Luciana en la direccin NE y a

m218 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio

en la direccin E37S.Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,si Lucio se encuentra al Este de Luciano.

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com

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M

atematica1

a) 41 m b) 40 m c) 24 md) 18 m e) 42 m

46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"en las direcciones O80N y E40N, respectivamente.Adems desde "B" se divisa a "C" al E50S a unadistancia de 173 km.Cul es la distancia entre "A" y "B"?

a) 100 km b) 200 km c) 150 kmd) 273 km e) 300 km

47. Cul es la direccin de la bisectriz del menor nguloformado por las direcciones N20E y S80O?

a) N10O b) N20O c) N30Od) N40O e) N50O

48. Calcular el menor ngulo que forman la bisectriz de SO

y S41SO con la bisectriz de SE y S

41SE

a) 50 b) 7845' c) 77d) 6730' e) 90

49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ngulos de elevacin " " y" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.Cul es la altura de la torre?

a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m

50. Una persona camina 25 (aprox.) al norte de su casa,luego 13 m en la direccin ES , si ahora se encuentraen la direccin NE de su casa.Hallar: Csc

a) 513

b)17

213c) 13

17

d)13

210e) 17

13

51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte deuna torre, se observa la parte ms alta de sta con

ngulos de elevacin y , respectivamente; y desdeel punto medio de AB, el ngulo de elevacin es " ".

Calcular: CotTan

a)23

b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

52. Un nio sostiene dos globos. El ngulo de elevacinque tiene en la mano derecha es de 21 y la cuerdamide "a" metros. El ngulo de elevacin del globo quesostiene en la mano izquierda es de 24 y la cuerdamide 2a metros.Cul es la distancia que hay entre los globos?

a) )21( a metros b) )22( a metros

c) 5a2 a metros d) 5a a metros

e) a)52( metros

53. "Mosh" divisa los ojos de su padre con un ngulo deelevacin " " y sus pies con un ngulo de depresin" "; mientras que su padre divisa los pies de "Mosh"

con un ngulo de depresin " ". Sabiendo que lasestaturas de "Mosh" y su padre son "h" y "H"respectivamente, seale el equivalente de:

Hh

hHJ

a) 2Cot

CotCotb)

CotCotCot2

c)Cot

CotCotd) CotCot

Cot

e) TanTanTan

54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,con un ngulo de elevacin de 10. Nos acercamos

una distancia " 1d " y el ngulo de elevacin es de 40;

y si nos desplazamos una distancia " 2d " hastaubicarnos al otro lado del poste, el ngulo de elevacines de 20.

Calcular:2

1d

d

(Sug. Cos10 = 0,9848)

a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321d) 0,957 e) 0,352

55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ngulo" " notando que sus visuales son iguales. Se acercauna distancia igual a las dos terceras partes de ladistancia que inicialmente lo separaba del poste y divisaa ste. ahora bajo un ngulo " ".Calcular "n" en la igualdad.

2Sen

2nSen

SenSen

2

2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

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com

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M

atematica1

56. Una persona camina, por un camino inclinado queforma un ngulo "x" con la horizontal y observa la partesuperior de una torre con un ngulo de inclinacin"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces laaltura de la torre, observa nuevamente su parte superiorcon un ngulo de elevacin de "3x".Calcular: E = Cscx - 15

a) 10 b) 20 c) 12d) 15 e) 25

57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados enlados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un puntode la torre con un ngulo de elevacin " "; notndoseque la distancia de dicho punto observado a lo alto dela torre es igual a la visual trazada para dichaobservacin; mientras que, desde "B", se divisa un puntoubicado 1 m, ms abajo que al anterior con un ngulode elevacin " " . Notndose que la visual trazada esigual a la distancia del nuevo punto observado a lo altode la torre, hallar la altura de la torre.

a) TanTan)1Tan)(1Tan(

b) SenSen)1Sen)(1Sen(

c) SenSen)Sen1)(Sen1(

d) CosCos)1Cos)(1Cos(

e) TanTan)1Tan)(1Tan(

58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, Cy D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)

con ngulos de elevacin , , y respectiva-mente.Si: 10DQCCQBBQA y

173648,010Sen .

Calcular:

TanTan

TanTan

TanTanTanTanJ

a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124d) 2,5783 e) 2,8794

59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30S de unatorre, se divisa su parte ms alta con un ngulo deelevacin 53. De esta ubicacin nos desplazamos alS30E hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaramossu parte ms alta con un ngulo de elevacin " ".Calcular: Tan

a) 31

b) 32

c) 43

d) 23

e) 41

60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina unmonumento bajo un ngulo de 30. Si trasladamos elreflector 2 m ms cerca del monumento, ste se ve bajoun ngulo de 45.Cul es la altura (y) del monumento y cul es sudistancia (x) al segundo lugar de iluminacin?

a)33

32x;33

32y

b)33

32x;33

32y

c)33

32x;33

32y

d)33

32x;33

32y

e) 33x;33y

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M

atematica1

ClavesClaves

d

a

c

d

e

b

b

c

a

b

b

b

c

a

d

b

c

e

b

d

b

e

b

b

a

e

c

b

d

c

e

b

b

a

b

c

b

e

d

c

c

c

d

e

e

b

d

b

d

b

c

d

c

a

c

d

b

e

b

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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M

atematica1

Captulo

SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR4SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR

Denominado tambin cartesiano, en honor al matemtico Ren Descartes (1596-1650).Se determina trazando dos rectas numricas perpendiculares entre s que se intersectan en un punto "O" y divide al plano encuatro semiplanos denominados cuadrantes.

* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.

Cuadrante II Cuadrante I

Cuadrante III Cuadrante IV

y

xO (0;0)

y1

x1

y2

x2

Q( ;y )x2 2

P( ;y )x1 1

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano

Sean )y;x(P 111 y )y;x(P 222 dos puntos del

plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre

los puntos 1P y 2P est dada por:

212

212 )yy()xx(d

dP ( ;y )x1 11

P ( ;y )x2 22y2

y1

x1

x2 x

y

* Radio Vector

Es la distancia del origen de coordenadas a un punto

cualquiera del plano cartesiano.

Si: )y;x(P 00 es un punto del plano cartesiano el radio

vector se calcula as:

20

20 yxr

y0

x

y

x0

r

P( ;y )x0 0

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com

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M

atematica1

Divisin de un segmento en una razn dada:

Sea )y;x(P 000 un punto cualquiera sobre un segmento de

extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 tal que:

)razn(ba

PP

PP

20

01

Las coordenadas de 0P son:

ba

byayy

ba

bxaxx 120

120

Punto Medio de un Segmento

Las coordenadas del punto medio M del segmento de

extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 se calcula as:

y

2

xxx

0

210

2

yy 21

Coordenadas del baricentro de un tringulo:

En el tringulo cuyos vrtices son )y;x(A 11 ; )y;x(B 22 y

)y;x(C 33 , las coordenadas del baricentro estn dadas por:

3

yyy;

3

xxxG 321321

G: baricentro

x

y

a

b

P ( ;y )x0 00

P ( ;y )x1 11

P ( ;y )x2 22

x

y

M( ;y )x0 0

P ( ;y )1 1 1x

P ( ;y )2 2 2x

x

y

G

A( ;y )x1 1

B( ;y )x2 2

C( ;y )x3 3

rea de una regin triangular:

Para calcular el rea "S" de una regin triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vrtices y seguimos el sentido

antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vrtice escogido, finalmente, se procede como a continuacin se

indica.

x

y

A( ;y )x1 1

B( ;y )x2 2

C( ;y )x3 3

S

A

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

B

yx

yx

yx

13

32

21

11

33

22

11

31

23

12

Luego :

2BAS

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com

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M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Determine el radio vector de (2,-3).

a) 5 b) 11 c) 13

d) 17 e) 19

02. Determinar el radio vector de )7,2(

a) 3 b) 10 c) 3d) 4 e) 5

03. Determinar el radio vector del punto medio delsegmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).

a) 5 b) 2 5 c) 5 2

d) 10 e) 15

04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado alunir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

05. Del grfico, calcular: "d".

d

(3,5)

(5,2)(-11,1)

a) 37 b) 41 c) 53

d) 61 e) 82

06. Dos vrtices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y(-1,-5), determine su permetro.

a) 60 b) 40 c) 20

d) 12 3 e) 15 2

07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasapor (2,-5), determinar su dimetro.

a) 13 b) 15 c) 26d) 30 e) 35

08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al

unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: abE

a) 2 b) 3 c) 2d) 3 e) 5

09. Determine el producto de las coordenadas del puntodel segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).

a) 6 b) -6 c) 12d) -12 e) 15

10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se formaun tringulo ABC. Determine la longitud de la mediana

AM , (M en BC ).

a) 47 b) 51 c) 53

d) 57 e) 61

11. Determine las coordenadas del baricentro de untringulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)y C(7,1).

a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)d) (5,3) e) (-3,5)

12. En el grfico, hallar "x+y":

A(-2;3)

B(10;6)

K

2K

P

a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)d) (-1,2) e) (-2,4)

13. Segn el grfico, halle "p":

2S 3S

A(1;9)

B(-2;5) C(8;10)

a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)d) (3,7) e) (4,6)

14. Los vrtices de un tringulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).Determine su rea.

a) 36 2 b) 18 2 c) 24 2

d) 16 2 e) 9 2

15. Los vrtices de un tringulo son A(1;2), B(3;6) yC(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al

lado AB .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

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M

atematica1

16. Determine en el eje "x" un punto que tenga unadistancia de 5 unidades del punto (2,4).

a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)d) (6,0) e) a y c

17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),C(-2,3). Halle el punto D.

a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)d) (-2,2) e) (-5,1)

18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vrtices deun tringulo:

a) Issceles. b) Equiltero.c) Rectngulo. d) Rectngulo Issceles.e) Oblicungulo.

19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distanciahasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.

a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)d) (2,8) e) (0,-28)

20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) yB(-6,5). Hallar el valor de "a".

a) 6 b) -6 c) 0d) 1 e) -1

21. Se tienen dos vrtices opuestos de un cuadrado (-5,8)y (1,2); determinar su centro de gravedad.

a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)d) (-1,5) e) (1,3)

22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar

su rea si pasa por el origen de coordenadas (usar:

)722( .

a) 2 2 b) 3 2 c) 44 2

d) 66 2 e) 81 2

23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos mediosde AC y BC respectivamente, determine el radio vectordel punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).

a) 7 b) 10 c) 2 3

d) 3 2 e) 15

24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:

xyE .

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distanciaal origen es igual a 13u; sabiendo adems que suordenadas tiene 7u ms que su abcisa.(Dar la suma de coordenadas).

a) 17 b) 16 c) -17d) a y b e) a y c

26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendoA(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) seprolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar lascoordenadas de C.

a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)d) (14,-11) e) (-14,11)

28. Si un vrtice de un tringulo ABC, es A=(1,3) y elbaricentro del tringulo es G=(3,1). Cul es la sumade coordenadas del punto medio "M" opuesto al vrtice"A"?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. Dados dos vrtices consecutivos de un cuadradoA(3 ; 7) y B( 1 ; 4), calcule su rea.

a) 2127 b) 2137 c) 2147

d) 281 e) 2100

30. Seale las coordenadas del punto "P" ubicado en el ejede abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)

a) 0;37

b 0;38

c) 0;34

d) 0;211

e) 0;411

31. En un tringulo ABC, los vrtices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)y C( 1 ; 3).Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.

a) 5 b) 7 c) 32

d) 13 e) 15

32. Si tres vrtices consecutivos de un paralelogramo sonA( 1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).Halle la suma de coordenadas del cuarto vrtice "D"opuesto a B.

a) 5 b) 6 c) 9d) 10 e) 12

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com

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M

atematica1

33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). Hastaqu punto "C" ser necesario prolongarlo para que

5BC

6AC ?

(Seale la suma de coordenadas de "C")

a) 35 b) 38 c) 42d) 23 e) 27

34. En un tringulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentroes G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del puntomedio de BC.

a) 3 b) 5 c) 7d) 5 e) 7

35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas delpunto M.Si: ABCD es un paralelogramo.

y

x

M

N

BC(4 ; 9)

D(6 ; 1)A( 8 ; 5)

a) 8;211

b) ( 6 ; 5)

c) 5;29

d) ( 6 ; 4)

e) ( 5 ; 7)

36. Se tiene el tringulo formado por los vrtices A(1;9),B(6 ; 8) y C( 2 ; 4), calcule la superficie del tringulo.

a) 235 b) 228 c) 214

d) 224 e) 240

37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del nguloCAB.

a)10

3b)

1010

c)55

d)52

e)22

38. Del grfico, halle :12 SS .

(10 ; 1)

(5 ; 8)

(6 ; 2)

( 3 ; 1) S2

S1

a) 210 b) 25,10 c) 26

d) 25,11 e) 212

39. Los puntos P(-4;0); )33;5(Q , R(x;0) son los vrticesde un tringulo rectngulo recto en Q, la suma de losvalores que indican el permetro y el rea del tringuloes:

a) 24318 b) 31818

c) 32418 d) 31212

e) 6612

40. La base mayor de un trapecio issceles une los puntos(-2;8) y (-2;-4). Uno de los trminos de la base menortiene por coordenadas (3;-2).La distancia o longitud de la base menor es:

a) 8 b) 6 c) 9d) 12 e) 10

41. Un cuadriltero tiene sus vrtices en los puntoscoordenados :A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)

PROPOSICIN 1:Si slo los valores de las abscisas se multiplican por 2entonces este cuadriltero es semejante al original.

PROPOSICIN 2:Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplicanpor un mismo nmero, entonces este cuadriltero essemejante al original.

PROPOSICIN 3:Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y lasordenadas por 3 entonces el rea de este nuevocuadriltero es 5 veces mayor que el original.

a) FVV b) FFV c) VFFd) FFF e) VVF

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M

atematica1

42. Los vrtices de un cuadrado son A(0 ; -3); )b;b(B 21 ,

C(3;4), )d;d(D 21 .

Calcular el rea del rectngulo cuyos vrtices son los

puntos B, P, D, Q donde )b;d(P 21 y )d;b(Q 21 .

a) 58 b) 29 c) 25d) 21 e) 19,5

43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son

8);36( .

Hallar la distancia del baricentro de la regin triangularMON al punto R.

y

x

M

30O N

R

a) 212 b) 21 c) 214

d) 21 e) 422

44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vrtices de untringulo. Calcular las coordenadas del circuncentro deltringulo.

a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)

45. Sean los puntos del plano cartesiano:A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma delas longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lomenor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.

a) 961 b) 828 c) 780d) 1020 e) 605

46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y

C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CPal segmento AB, entonces las coordenadas de P son :

a)762-2;

7691

b) 855922;

855991

c)85592-2;

855991

d)13622;

13691

e)13622;

13691

47. Las coordenadas de los vrtices A y B de un rectnguloABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el reade la regin rectangular es 2u80 , determinar la sumade las abscisas de los vrtices C y D.

a) 25 b) 5126

c) 26

d) 5127

e) 5128

48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vrtices opuestosde un cuadrado, entonces el rea del cuadrado es:

a) No se puede determinar.b) 50 c) 4d) 16 e) 8

49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )C;C(C 21 son los vrticesde un tringulo equiltero.Si C est en el segundo cuadrante, entonces

)CC(3 21 vale:

a) - 9 b) - 8 c) - 6

d) - 5 e) 32

50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto

medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:

a) 2 b) 22 c) 4

d) 24 e) 6

51. En la grfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas deC es:

x

y

A(1;2) B(4;2)

C(x;y)

O

a) 4 b) 10 c) 8d) 6 e) 9

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M

atematica1

52. Los extremos de la base de un tringulo son los puntosA(0 ; 0) y B(3 ; 0).

Determinar la ordenada del vrtice opuesto y;21C

de tal manera que la medida del ngulo CAB es igual al

doble de la medida del ngulo CBA.

a) 15 b) 215

c)415

d)615

e)815

53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vrtices deun rectngulo. Si: P(x;y) cumple que 6DP ,

7CP y 5BP , entonces el valor de AP es:

a) 5 b) 32 c) 3

d) 4 e) 23

54. En el grfico: BD = 3AD y EC = 2BE.

Calcule:1

32h

hhW

x

y

A(1;1)

C(8;2)

B(5;5)

h3

h1

h2ED

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 32

55. Del grfico, calcule "x" si " " es mximo..

x

y

(1;1)

(3;3)

P(x;0)

a) 2 b) 22 c) 3

d) 32 e) 6

56. A partir del grfico, calcule:

2

22

Sen

SenSenW

B(3;9)

C(5;7)

A(1;3)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 32

e) 23

57. Del grfico, halle la suma de coordenadas del punto

"P". Si :5

DC3

BD

S7S

A(2;0)

C(7;5)

B(3;9)

D

P

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 7

58. De todos los puntos del plano cuya suma de distanciaa los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Seale lasuma de coordenadas de aquel punto de ordenadamxima.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

59. Seale las coordenadas del vrtice C, del tringulo ABC,si las coordenadas de los vrtices del tringulo formadoal unir los puntos medios de sus lados son:

)0;1(AM , )3;2(BM y )7;6(CM

C

A

B

x

y

BM

AM

CM

a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)

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M

atematica1

60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 21 SS

x

y

S1S2

A(-5;-5)

B(2;-1)

C(x;y)

D(-3;2)

a) 2441 b) 2

241 c) 2

221

d) 2421 e) 241

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M

atematica1

ClavesClaves

c

c

c

d

e

b

c

c

d

c

c

b

b

b

d

e

a

d

a

b

c

d

b

c

e

d

a

d

b

b

d

d

b

c

a

c

e

c

c

a

a

d

a

a

a

c

e

d

e

b

b

b

b

c

e

a

b

d

a

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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atematica1

CaptuloRAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN

NGULOEN POSICIN NORMAL5Definiciones Previas:

I . NGULO EN POSICIN NORMALLlamado tambin en posicin cannica o stndar. Es aqul ngulo trigonomtrico cuyo vrtice coincide con el origendel sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.Cuando un ngulo, est en posicin normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se diceque ste pertenece a tal cuadrante.

Lado Final

Lado InicialVrtice

(+)

x

y

* : es un ngulo en posicin normal

* 0;IIC

Lado Final

Lado InicialVrtice

(-)x

y

* : es un ngulo en posicin normal

* 0;IIIC

Definicin de las Razones Trigonomtricas :Para determinar el valor de las R.T. de un ngulo en posicin normal, tomaremos un punto )y;x(P 00 perteneciente a sulado final.

x

yP( )x ;yo o

r

xo

yo

'

Se define:

o

o

o

o

x

yTan

r

xCos

r

ySen

o

o

o

o

yrCsc

xrSec

y

xCot

* 2o2o yxr * ' : se denomina ngulo de referencia

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M

atematica1

Signo de las R.T. en los cuadrantes

Dependiendo del cuadrante al quepertenezca un ngulo en posicinnormal, sus R.T. pueden ser positivaso negativas. Es as como se obtieneel cuadro adjunto.

Cosecantey

Seno(+)

Cotangentey

Tangente(+)

positivasson

Todas(+)

Secantey

Coseno(+)

Razones Trigonomtricas de ngulos Cuadrantales

radianes (grados) Sen Cos Tan Cot Sec Csc20 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.

290 1 0 N. D. 0 N. D. 1

180 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.

23

270 - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1

Nota: N.D. no definido

ngulos Coterminales:Son aquellos ngulos trigonomtricos que poseen el mismo vrtice, el mismo lado inicial y final.

Ejemplo:

Vrtice

Ladoinicial

Ladofinal

i) ii)

P( ; )x xo o

x

y

Se tiene que :* y : son coterminales

* y : son coterminales (estn en P. N.)

Propiedades:Si y son coterminales se cumple que:

I. II.

- = 360n ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )

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M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Del siguiente grfico, calcular: Cot12Sen10E

x

y

(1;-3)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02. Por el punto )5;2(P pasa el lado final de un ngulo

en posicin normal cuya medida es " ". Calcular:Cos .

a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4d) -4/3 e) -3/2

03. Si: 32Sen y IIIC. Calcular:

)SecTan(5E

a) -1 b) -2 c) -3d) 2 e) 3

04. Indicar el signo de cada expresin:I. Sen200Tan240II. Cos120Tan100III. Sen150Cos340

a) +, +, + b) , , c) , +, +d) +, , e) +, , +

05. A qu cuadrante pertenece " ", si: 0Tan y

0Cos .

a) IC b) II c) IIICd) IV e) IC y IIC

06. De la figura, calcular: "Tan"

x

y

17

(1-x;2x)

a) 1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

07. Calcular:

270abCsc2180Cos)ba(360Sec)ba(E

22

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

08. Si: IVCx y 06Sen4|Cscx|

Calcular: E = Senx + 3 Cosx

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 2/3 e) 3/2

09. Si: 3,0Cos y IIC

Calcular: SecTanE 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.

Calcular: )2(f

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

11.Una raz de la ecuacin: 03x2x2 es un valor de

"Tan ", si: IIIC . Calcular: )CosSen(10E

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.

Calcular: )2(f

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

13. Si: y son medidas de ngulos coterminales y se

cumple que: Tan

14. Calcular: TanSen25E , a partir de la figuramostrada:

x

y

(24;7)

(-4;-8)

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

15. Por el punto )7;2(P pasa por el final de un nguloen posicin normal cuya medida es " ". Calcular:

Csc7 .

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

16. Calcular: 1CosxSenxE

a) 0 b) 1 c) 2

d) 2 e) 2 2

17. Si: IV , determine el signo de:CosSen

)Cos1(TanE

a) + b) - c) + -d) - y + e) Todas son correctas

18. Con ayuda del grfico mostrado, calcular:

)2

(Sen3

)(Sen)6

(Cos3E

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2

19. De la figura, calcule: "Tan "

x

y

37

a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7d) -6/7 e) -7/4

20. Del grfico, calcule: "Tan" .

x

y

(2;-3)

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2

21. De acuerdo al grfico calcular:

CosCos5Ky

x

(-24;7)

(-4;-3)

a) 2 b) 3 c) 4d) 2 e) 4

22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ngulo

cannino " ".Calcular:

CotCscR

a) 0,4 b) 0,4 c) 0,6d) 0,6 e) 0,3

23. Simplificar:

2bCos

23aSen

Cos)ba(2

Sen)ba(L

2

5232

a) 2a b) 2a c) 4ad) 4a e) 4b

24. Seale los signos de:

260Tan300Tan140Cos140SenM y

348Sen248Cos116Tan217Cos160TanR

a) ( ) No se puede precisar.b) (+) ; (+)c) (+) ; ( )d) ( ) ; ( )e) ( ) ; (+)

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atematica1

25. Seale Verdadero (V) o Falso (F) segn correspondaen:

I. Si: 0Cos0Sen , entonces IV .

II. Si: 0Sec0Tan , entonces IIIC .

III. Si: 0Cot0Csc , entonces IIC .

a) VVF b) VVV c) VFVd) FFV e) FVV

26. Sabiendo que:

0Sen

0SecTan

A qu cuadrante pertenece el ngulo cannico ?

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar.

27. Seale el cuadrante al que pertenece " " si:

TanCos

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar

28. Seale Verdadero (V) o Falso, segn corresponda en:

I. Si: 180;90 , entonces IIC .

II. Si: IIC , entonces 180;90 .

III. Si: IIIC , es positivo y menor que una vuelta,

entonces 270;180 .

a) VVF b) VFV c) VFFd) FVV e) VVV

29. Sabiendo que: 32Tan

IICCalcular: CosSenQ

a) 131

b)1313

c) 135

d)13

135e) 13

3

30. Si el lado final de un ngulo cannico " " pasa por lospuntos P(m+n; n) y Q(n;m n),

Calcular: 22 TanCotK

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

31. Sabiendo que " " es un ngulo positivo menor queuna vuelta perteneciente al IIIC seale el signo de:

53Tan

32Cos

2SenQ

a) (+) b) ( ) c) (+) o ( )d) (+) y ( ) e) No se puede precisar.

32. Del grfico, calcular :

1Tan3Ey

x

53

a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2

33. Tomando 236,25 y sabiendo que:

Ctgx = - 0,5 y que IVCx .Cul es el valor de Cscx?

a) 2,236 b) 2,236 c) 0,4472d) 1,118 e) 1,118

34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienenel mismo signo son:

a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3d) 2 y 4 e) 1 y 4

35. Se tienen dos ngulos coterminales tales que el mayores al menor como 23 es a 2. Su suma est comprendidaentre 2820 y 3100.Cul es la medida del mayor?

a) 2540 b) 2760 c) 2820d) 2420 e) 3000

36. Siendo:

1301

701

281

41Sen

54

CosCos

Calcular:

Cos3Sen2K

a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 3

37. El valor numrico de la expresin:Sen180+2Cos180+3Sen270+4Cos270- 5Sec180-6Csc270

es:

a) 4 b) 12 c) 6d) 16 e) 8

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M

atematica1

38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en elorden F. G. H.

338Ctg215Csc

210Sen138Tan285SecF

3

32

2

323

336Tan195Csc

116Cos115Ctg260SenG

3

3

298Sec135Tg

128Csc340Ctg195SenH

a) , + , b) , , + c) , ,d) + , , e) + , + , +

39. Si:

2Cos)2(Sen1)3(Cos)(f 2

Calcular:

13

f3

f

a) 2 b)232 c) 5

d) 323 e)2332

40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes(I, II, III, IV).

S = Ctgx + Senx - Cscx

I I I II I I Va) + + + +b) + + +c) + +d) + +e) + +

41. Determinar el signo de:

QQCtgQSecSen 453

a) ; si Q pertenece al IC.b) + ; si Q pertenece al IIC.c) + ; si Q pertenece al IIIC.d) + ; si Q pertenece al IVC.e) ; si Q pertenece al IIC.

42. Dado:22

22

qp

qpCosx ; p > q > 0

Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.

a) 22 pq

pq2b) 22 pq

pq2

c) 22 pq

pq2d) 22 pq

pq2

e) 22

22

pq

pq

43. Sabiendo que:41CosQ

270 < Q < 360Calcular el valor de la expresin:

CtgQ1CscQSecQ

a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50d) 4,00 e) 4,50

44. Si es un ngulo del tercer cuadrante, tal que:

8Ctg1 2

Calcular: 3)Sec8(

a) 6383 b)6383

c)63

83

d)633

83e)

636386

45. Si el ngulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrantey es tal que: 2x0 . Entonces, hallar el signo delas siguientes expresiones trigonomtricas.

I.

4xsecCo

2xSen

4xTan

II.

5xCos

4x3Sec

3xCot

III.

4x3Sec

3x2Tan

3xSen

a) (+) (+) (+) b) ( ) ( ) ( )c) (+) (+) ( ) d) ( ) ( ) ( )e) ( ) ( ) (+)

46. Hallar el signo de las expresiones trigonomtricas, enel orden dado:

325Cos

352Sen ; 3

22Cot5

32Sen ;

1073Cot

3205Sen

a) (+) (+) ( ) b) ( ) (+) ( )c) ( ) (+) (+) d) ( ) ( ) (+)e) (+) ( ) (+)

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M

atematica1

47. Si es un ngulo en el primero cuadrante y25,0Sen .

Cul es el valor de 2CtgCsc ?

a) 15 b) 1921

c) 1519

d) 2119

e) 19

48. Si 5,1Tg , siendo un ngulo en el III cuadrante,el valor de la expresin:

)CscSec(131M es :

a) 61

b) 61

c) 61

d) 65

e) 61

49. Calcular el Coseno del ngulo del segundo

cuadrante, tal que53Sen .

a) 54

b) 53

c) 32

d) 54

e) 31

50. Si31Tan y est en el segundo cuadrante.

Hallar :Ctg2

)Sen5Cos(3K

a) 10 b)1010 c)

1010

d)5102 e)

5102

51. En la figura adjunta, hallar:

TanCos15Sen5V

24

- 7 0 x

y

a) 35141

b) 729

c) 3599

d) 739

e) 41

52. Indicar la alternativa correcta para el signo de lassiguientes expresiones:I. Sen(361) Cos(455)

II.43Cos

43Sen

III. )315(Sec45Tan

a) + ; ; + b) + ; + ; c) ; ; +d) + ; ; e) + ; + ; +

53. Sea un ngulo del tercer cuadrante.Indicar la alternativa correcta al simplificar:

CosSen11E 2

a) 2Sen2 b) 2Sen

c) 2Cos1 d) 2Sen

e) 2Cos

54. Si: Senx = 0,6, cul es el valor de Cosx, sabiendo quex es un ngulo del segundo cuadrante?

a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6c) Cosx = 0,7 d) Cosx = 0,9e) Cosx = 0,8

55. Si " " y " " son ngulos cuadrantales, positivos y

menores que una vuelta, tales que: CosCotCalcule:

Cos2

Sen2

SenCosK

a) 22 b) 12 c) 12

d) 22 e) 1

56. Si y son ngulos positivos, que no son agudos;

0Cos ; 0Tan ; )360(Sean:

a = )(Sen

b = 2Sen

c = 2SenEntonces, son positivas.

a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.d) a. e) b y c.

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M

atematica1

57. Si: 32

baTanx

Calcular el valor de:

ICx;aCosx

bbSenx

aE

a)

3

3131

3131

a

b

b

ab) a

bba

c)21

2

2

2

2

ab

ba d)

23

3232

3232

a

b

b

a

e)31

3

3

3

3

ab

ba

58. Hallar todos los valores que puede tomar el ngulodel primer cuadrante, cuyo ngulo doble est en elsegundo cuadrante, su ngulo triple est en el tercercuadrante y su cudruple en el cuarto cuadrante; peroinferior a 2

a) 24 b) 23

c) 2125

d) 283

e) Faltan datos

59. Si: IIC y

Cos3 4 2 )Sen(Sen

Calcular: SenTg

a) 1431211

b) 1431213

c) 1431213

d) 143129

e) 1431211

60. Se tiene dos ngulos que se diferencian en un mltiplode 360. Se sabe que el cudruple del menor es a lasuma del ngulo menor ms el triple del mayor de losngulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ngulos,si se sabe que est comprendido entre 1080 y 3240.

a) 1280 b) 2160 c) 3200d) 3210 e) 3230

www

com

.

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M

atematica1

ClavesClaves

b

b

a

c

d

d

e

a

e

a

d

b

b

e

d

a

a

e

b

b

c

c

e

d

a

b

d

b

b

c

b

c

e

a

b

d

c

a

c

c

c

b

d

e

c

b

e

a

d

b

d

e

d

e

a

e

d

d

c

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

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53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

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M

atematica1

Captulo

REDUCCIN AL PRIMERCUADRANTE6OBJETIVO: El objetivo del presente captulo es:* Calcular las razones trigonomtricas de un ngulo que no es agudo, en funcin de otro que s lo sea; reconociendo

previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.

* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn;2

n.T.R

* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ngulos cuya suma de medidas es 180 360

CASOS

I. ngulos cuyas medidas estn en : En este caso, el ngulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ngulo cuadrantal (90 ; 180 ; 270 360) con un ngulo que sea agudo; para luego aplicar :

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

Donde el signo )( que deber anteponerse al resultado depender del cuadrante al que pertenezca el ngulo original " "

Por ejemplo; calculemos:

*2330Cos)3090(Sen120Sen

)(

* 2160Cos)60180(Cos120Cos

)(

* 330Cot)30270(Tan240Tan)(

* 230Csc)30360(Csc330Csc)(

* )(Sen170Sen

* )(Cos200Cos

* )(Tan260Tan

* )(Sen320Sen

II . ngulo cuya medida es mayor que 360: En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360q

Residuo

www

com

.

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M

atematica1

Por ejemplo, calculemos:

*2360Sen2580Sen * Tan 3285 = Tan45 = 1

2580 3602520 7

60

3285 3603240 9

45

* Sec1200 = Sec120 = Sec(90 + 30) = Csc30 = 2

1200 3601080 3

120

( )

* Sen 3180 =

Si el ngulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:

*

133 4132 33

1

127 6126 21

1

12

1Sen2

Sen13321

31Cos

3127Cos*

Es decir, si fuese: 2ba;ba.T.R

Se divide: a 2bq

r este residuo reemplaza al numerador "a"

*

1315 851 164

353

13453

1345Sen*43Tan

41315Tan

III. ngulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -CscxCos(-x) = Cosx Sec(-x) = SecxTan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx

Por ejemplo, calculemos:

*2245Sen)45(Sen * 2

160Cos)60(Cos

* 3)30Cot()3090(Tan120Tan)120(Tan)(* Cos (- 200) =

IV. ngulos relacionados:1.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180yx:Si

2.

www

com

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M

atematica1

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360yx:Si

Por ejemplo, calculemos:

76Cos

75Cos

74Cos

73Cos

72Cos

7CosC

En esta expresin note que:

76Cos

7Cos

76

7

75Cos

72Cos

75

72

74Cos

73Cos

74

73

Luego:

76Cos

75Cos

74Cos

74Cos

75Cos

76CosC

Reduciendo, quedara C = 0 www

com

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M

atematica1

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Seale el valor de: Sen120

a) 1/2 b) -1/2 c)23

d)23

e)22

02. Hallar: Cos330

a) 1/2 b) -1/2 c)23

d)23

e)22

03. Calcule: E = Tg150.Sen315

a)46

b)46

c)66

d)66

e)42

04. Hallar el valor de: Sen1680

a) 1 b) -1 c) 1/2

d) -1/2 e)23

05. Determinar el valor de: Cos1200

a) 1 b) 0 c) 1/2

d) -1/2 e)23

06. Hallar: )45(Tg)60(CosE

a) 1/2 b) -1/2 c) 0d) 1 e) 2

07. Hallar: E = Sen(-30)+Tg(-53)

a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6d) 0 e) 1

08. Seale el equivalente de: Cos(180+x)

a) Cosx b) -Cosx c) Senxd) -Senx e) -Secx

09. Determinar el equivalente de: Sen(360-x)

a) -Senx b) Senx c) Cosxd) -Cosx e) Cscx

10. Determina el equivalente de:2

].32]Sen

a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2

11. Hallar el valor de: Cos1741

a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2

12. Hallar: 3.17Tg

a) 1 b) -1 c) 3

d) 3 e) 33

13. Del grfico, calcule: Tg

A

C

BM

45

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 3/4

14. Del grfico, hallar: Tg

A

C

B37D

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7d) -3/7 e) -4/7

15. Hallar el equivalente de:

)90x(Cos)180x(SenM

a) 1 b) -1 c) Tgxd) Ctgx e) -Tgx

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com

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M

atematica1

16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;x es agudoCalcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)

a)25

b)25

c)613

d)613

e)55

17. Reducir:

)x180(Cot)x360(Sec)x180(Cos)x270(Csc)x180(Tan)x90(SenA

a) 1 b) 1 c) xTan2

d) xCot2 e) xTan2

18. Simplificar:

)(Tan2

3Sec)2(Cot)(SenC

a) 2Tan b) 2Tan c) 2Ctg

d) 2Ctg e) 1

19. Simplificar:

x2

3Cos)x(Tan

x2

3Tan)x(SenC

a) Cotx b) xCot2 c) xCot2

d) - Cotx e) xCot3

20. Si : 2A0

Evaluar:

A23Tan)A(CosA

2SenF

)A(Csc)A2(CtgA2

Sec

a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscAd) 2CscA e) 2SecA

21. Calcular:

240Tan31315Tan41120Sec2M

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2

22. Calcular:

300Cos210Cos150Tan240Sen135SenC

a)36

b)36

c)3

62

d)3

62e)

32

23. Calcular:

14920Cos2)13383Sen2)(13000Sec2(U

a) 21

b) 21

c) 41

d) 41

e)43

24. Marque Ud. la afirmacin correcta:

a) Sen ( 750) = 0,5

b) 35,0)1110(Cos

c)3

3)1830(Tan

d) 3)3270(Ctge) + Sen2534 = Cos14

25. Hallar el valor numrico de:

225Ctg330Tan780Tan

780Sen330Tan225SenF222

222

a) 1231

b) 2033

c) 441

d) 2033

e) 1231

26. Simplificar las expresiones:

)(Sen)360(Sen

)180(Cos)(Cosa

Sen)90(Cos

)(Cos)90(Senb

a) a = 0 y b = 2b) a = 1 y b = 2c) a = 2 y b = 2d) a = 0 y b = 0e) a = 1 y b = 2

27. Si: x + y = 180 y + z = 270Calcule el valor de:

CtgzTany

SenySenxJ

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com

.

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M

atematica1

a) 1 b) 0 c) - 3d) 2 e) - 5

28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yxHallar: Ctgx

a) 12 b) 21 c)2

12

d)2

21 e) 12

29. Simplificar la expresin:

)360(Tan)450(Sen)540(Cos)2160(Tan)90(Cos)180(SenE

Sabiendo que : 2Sec2

Entonces E es igual a :

a) 2 b) 1 c) 1d) 2 e) 0

30. El valor de la expresin:

2Csc)(Sec)2(Ctg

6Tan)(Cos

23Sen

E

Cuando : 6 es:

a) 1 b) 1 c) 0d) 2 e) 2

31. Calcular el valor de:Cos10+Cos30+Cos50+.... +Cos170

a) 21

b) 0 c)23

d) 1 e)43

32. Calcular:trminos20

3029Cos...

303Cos

302Cos

30CosT

a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2

33. El valor de la siguiente expresin:

127Cos

12Sen

12Cos

127Sen

Es igual a:

a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2

34. Simplificar:

)9(Ctg)7(Csc)5(Cos2

9Sec2

7Sen2

5TanK

a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2

35. En un tringulo ABC se cumple:Sen (B + C) = CosC

Dicho tringulo es :

a) Escaleno b) Rectnguloc) Issceles d) Acutnguloe) Equiltero

36. En un tringulo ABC, se cumple que:Cos (A + B) = CosC

Entonces el valor de A + B es :

a) 4 b) 3 c) 32

d) 6 e) 2

37. Calcular:BSenACos 22

Si se sabe que A y B son ngulos suplementarios.

a) 1 b) 21

c) 0

d) 21

e) 1

38. Si A y B son ngulos complementarios, al simplificar:

)B3A4(Tan)BA2(Cos)B3A2(Tan)B2A(SenE

Se obtiene:

a) 3 b) 2 c) 2

d) 1 e) 1

39. En un tringulo ABC, cuales de las siguientesproposiciones se cumplen:I. SenA = Sen(B+C)II. CosA = Cos(B+C)III. SenB = -Sen(A+2B+C)

a) VVV b) VFV c) VFFd) FVF e) FFF

40. Si :2

cba y Sen(a + b) = - Senc

Cul de los siguientes resultados es verdadero?

a) 04

c42Cos

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com

.

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M

atematica1

b) 04

c4Cos

c) 02

c4Cos

d) 04

c4Cos

e) 0)c4(Cos

41. Calcule el valor de:

4175Sec

437TanR

a) 21 b) 22 c) 2

d) 2 e) 21

42. El valor que asume la expresin:

6Csc)(Sec

23Ctg

)(Tan)2(Cos2

Sen

Cuando :3

es:

a)13

133b)

13331

c)3

133d)

3133