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Aula 5 | NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA
Trigonometria 2017
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AGRADECIMENTOS
Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da
Educação – Brasil.
Trigonometria 2017
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DOS AUTORES
Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,
realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não
tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.
O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os
devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.
Uma boa leitura!
Trigonometria 2017
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SUMÁRIO
1. Introdução...................................................................................................... 5
2. Ângulos e unidades de medida..................................................................... 5
3. O comprimento de um arco.......................................................................... 5
4. Conversão Grau Radiano....................................................................... 6
5. Arcos côngruos............................................................................................... 6
6. Classificação dos triângulos.......................................................................... 7
7. Círculo Trigonométrico................................................................................ 9
8. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis............................................. 10
9. Lei dos cossenos e dos senos.......................................................................... 10
10. Representação gráfica das funções trigonométricas.................................. 11
11. Exercícios de fixação..................................................................................... 12
12. Referências..................................................................................................... 14
13. Respostas dos exercícios de fixação.............................................................. 14
Trigonometria 2017
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1. Introdução
Para compreendermos qual objeto de estudo da trigonometria é fundamental que
possamos perceber o significado da palavra, que se dá pela junção de dois termos, onde
trigono significa triângulo e metria representa medidas. Sendo assim a trigonometria é a
parte da matemática responsável por estudar a relação existente entre os lados e os
ângulos de um triângulo.
2. Ângulos e unidades de medida
Denominamos ângulo () a região do plano limitada por duas semirretas,
denominadas de lados do ângulo, de mesma origem e denominado de vértice do ângulo.
A medida de ângulo pode ser dada em graus (°) ou em radianos (rad), onde (SILVA &
BARRETO FILHO, 2005):
Grau (°) é o arco unitário igual a
da circunferência;
Radiano (rad) é um arco unitário, cujo comprimento é igual ao
comprimento do raio da circunferência que contém o arco.
Figura 1: Representação do ângulo () formado por duas semirretas
3. O comprimento de um arco
Dada uma circunferência de centro , raio (r) e dois pontos p e q pertencentes à
circunferência de comprimento (C), temos que a distância entre os pontos (S) é um
arco de circunferência (IEZZI, 2013).
Figura 2: Representação dos pontos numa circunferência de raio r.
Para esse arco temos as seguintes relações importantes:
Comprimento da circunferência (C)
C = 2r (1)
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Comprimento do arco (S)
S = r (2)
É fácil perceber pela relação do arco que este é proporcional à medida do ângulo
central, tal que quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco e quanto menor o
ângulo menor o comprimento do arco.
4. Conversão Grau Radiano
Em muitas situações se faz necessário à representação de um ângulo expresso
em radianos para graus e vice versa, sendo possível realizar essa adequação por meio de
uma relação de regra de três simples. Se pudermos relacionar os ângulos da seguinte
forma (IEZZI, 2013):
0° 90° 180° 270° 360°
0
2
(3)
Então teremos:
(4)
Onde rad é o ângulo medido em rad e graus é o ângulo medido em graus.
5. Arcos côngruos
Dizemos que dois ou mais arcos são côngruos se as suas extremidades (p e q)
são coincidentes, tal que o resto da divisão entre o ângulo analisado e 2 (ou 360°)
indicará a qual o ângulo equivalente do dividendo.
Exemplo 1 - Considere o ângulo medido igual a 840°, determine o seu menor
arco côngruo.
Solução:
Para determinarmos o menor arco basta realizar a divisão por 360°, tal que:
Logo 840° possui o mesmo valor de seno, cosseno, tangente, cotangente,
secante e cossecante do ângulo de 120° e localizado no segundo quadrante.
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6. Classificação dos triângulos
Os triângulos são figuras geométricas fechada compostas por três lados e três
ângulos, sendo classificados de acordo com as medidas de cada um deles. Dessa forma,
temos a seguintes formas (IEZZI, 2013):
Classificação quanto aos lados
Equilátero – Figura composta por três lados iguais.
Figura 3: Representação do triângulo equilátero, onde a = b = c.
Isósceles – Figura com dois lados iguais e um diferente.
Figura 4: Representação do triângulo isósceles, onde a = b c.
Escaleno – Figura com três lados diferentes.
Figura 5: Representação do triângulo escaleno, onde a b c.
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Classificação quanto aos ângulos
Retângulo – Figura que possui um ângulo reto, onde os lados desse
triângulo são chamados de hipotenusa e catetos. Esse tipo de triângulo
fornece algumas identidades importantes para o estudo de diversas áreas.
Figura 6: Representação do triângulo retângulo.
O comprimento da hipotenusa e dos catetos, oposto e adjacente aos ângulos
considerados, se relacionam pelo Teorema de Pitágoras descrito pela expressão:
(5)
Esse tipo de triângulo possui um conjunto de relações, denominadas razões
trigonométricas, onde para cada ângulo podem ser obtidas as razões conhecidas como:
seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. No caso do ângulo alfa ()
elas são escritas da seguinte maneira (SILVA & BARRETO FILHO, 2005):
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
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tal que essas relações podem ser escritas de forma equivalente para o ângulo beta ().
Acutângulo – Figura que possui os três ângulos agudos, isto é, os
ângulos possuem medida é menor que 90°;
Figura 7: Representação do triângulo acutângulo, < 90°, < 90° e < 90°.
Obtusângulo – Figura que possui um ângulo obtuso, isto é, um dos
ângulos é maior que 90°.
Figura 8: Representação do triângulo obtusângulo, onde > 90°.
7. Círculo Trigonométrico
Caracteriza-se por ser uma circunferência construída em um sistema de
coordenadas cartesianas, onde os eixos de x e y acabam dividindo o círculo em quatro
partes iguais (ALEJANDRO ey al, 1997).
Figura 9: Representação do círculo trigonométrico.
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Cada uma dessas partes é chamada de quadrantes e que fornecem as funções,
seno, cosseno e tangentes sinais característicos, para certo ângulo considerado, no caso
da figura 9 o ângulo alfa, que são os seguintes (ALEJANDRO ey al, 1997):
1° Quadrante 2° Quadrante 3° Quadrante 4° Quadrante
Seno + + - -
Cosseno + - - +
Tangente + - + -
8. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
São chamados de ângulos notáveis os ângulos que mais aparecem
frequentemente em diversas operações algébricas, que são 30°, 45° e 60°. Tal que:
30° 45° 60°
sen
cos
tan
1
9. Lei dos cossenos e dos senos
A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras, com a qual se
relaciona os lados do triângulo e um dos seus ângulos, no caso de não exista um ângulo
reto (ALEJANDRO ey al, 1997).
Figura 10: Representação de um triângulo qualquer.
(12)
No caso da lei dos senos, esta estabelece a relação entra a medida de um lado e o
seno do ângulo oposto a ele.
(13)
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10. Representação gráfica das funções trigonométricas
Algumas funções trigonométricas têm representações gráficas bem descritas e
são fundamentais o seu conhecimento para a resolução e compreensão de muitos
fenômenos existentes na natureza. Confira algumas delas (SHIGUEKIYO, 2008):
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
Função Secante
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Função Cossecante
Função Cotangente
11. Exercícios de fixação
1. (Cefet – PR) A rua Tenório Quadros
e a avenida Teófilo Silva, ambas
retilíneas, cruzam-se conforme um
ângulo de 30º. O posto de gasolina
Estrela do Sul encontra-se na
Avenida Teófilo Silva a 4 000 m do
citado cruzamento. Portanto,
determine em quilômetros, a
distância entre o posto de gasolina
Estrela do Sul e a Rua Tenório
Quadros?
2. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo,
um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois
de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?
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3. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o
plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
A) 6√3 m B) 12 m C) 13,6 m D) 9√3 m E) 18 m.
4. (UNEMAT – 2009) A figura
mostra, em planta, o trecho de um
rio onde se deseja construir uma
ponte AB. De um ponto C, a 100
metros de B, mediu-se o ângulo
= 45º e, do ponto A, mediu-se
o ângulo = 30º.
O comprimento da ponte AB é:
A) B) C)
D) 2 E) 200 m
5. (UNESP – 2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3
graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da
rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista
levou para percorrer completamente a rampa é:
A) 2,5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 30
6. (UEMG – 2011) Observe a tirinha abaixo:
Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja retângulo, de altura igual a 2
metros, e que essa rampa forme um ângulo de 60° com o solo, a distância percorrida
pelo carrinho até o ponto mais alto da rampa foi de:
A)
B)
C)
D) 1 m
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12. Referências
ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa – Matemática. São
Paulo: Klick Editora, 1997.
IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: Trigonometria. 9º ed. São Paulo:
Atual, 2013.
SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna,
2008.
SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo:
FTD, 2005.
13. Resposta dos exercícios de fixação
1. 2,3 km
2. 500 m
3.
4.
5.
6.