TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIÂNGULO RETÂNGULOTRIÂNGULO RETÂNGULO

medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen =

medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos =

medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg =

Seno, cosseno e tangente do ângulo Dado o triângulo ABC, retângulo em A, temos que:

Temos também que:

Exemplos

Seno, cosseno e tangente do ângulo

a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo do triângulo retângulo ABC a seguir.

Considerando o ângulo , o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é .

a) Aplicando as definições, obtemos:

medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen = = = 0,63

5

medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos = = = 0,84

5

medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg = = = 0,753

4

Seno, cosseno e tangente do ângulo

b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo .

Em relação ao ângulo , o cateto oposto é AB, o cateto adjacente é AC e a hipotenusa é CB.

Exemplos

Seno, cosseno e tangente do ângulo

b) Aplicando as definições, obtemos:

medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen = = = 0,84

5

medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos = = = 0,63

5

medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg = = 1,334

3

Seno, cosseno e tangente do ângulo

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

sen = ba

cos = ca

tg = cb

sen = ca

cos = ba

tg = bc

No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões trigonométricas que envolvem os ângulos agudos e são:

Os ângulos agudos e são complementares, pois a soma de suas medidas é 90º. Assim, podemos escrever em função de : = 90º – .

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

sen = cos = cos (90º − )

Note também que sen = e cos = , então temos: sen = cos

Substituindo por 90º – na última igualdade, temos:

ba

ba

Substituindo por 90º – nessa igualdade, temos: 

Também vale a relação:

sen2 + cos2 = 1

cos = sen = sen (90º − )

Observe também que cos a = e sen , então temos: cos = sen .

ca

ca

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

(hip)2 = (cat)2 + (cat)2, ou seja a2 = b2 + c2

Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a =

Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm.

Exemplo

1. Na dança folclórica do trança-fitas, geralmente se usa um mastro de 3 m de altura. Para certa passagem da dança, é preciso formar um ângulo de 30º entre a fita esticada(com uma ponta na extremidade superior do mastro e a outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a distância da ponta ao mastro.

JUCA

MAR

TINS

/OLH

AR IM

AGEM

Resolução

No esquema a seguir, c representa o comprimento da fita e d, a distância pedida.

Então:

Pelo teorema de Pitágoras:d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2 

ResoluçãoAplicando a relação sen2 + cos2 = 1, temos:

Como é agudo, pode ser um dos ângulos de um triângulo retângulo, logo, cos e sen são razões entre os lados do triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos =

2. Dado sen = , com o agudo, determinar cos .

Ângulos notáveis

30o 45o 60o

Seno

Cosseno

Tangente 1

3) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a que altura o foguete estava do chão?

Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço:

Aplicações das razões trigonométricasExemplos

a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o seno de 45º:

Considerando = 1,41, obtemos: h = 705O foguete estava a 705 m do chão.

4) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a altura (h) do poste?

12.15

Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o seno de 30º.

O cabo de aço mede 10 m.

Considerando , obtemos: h = 8,65 m

Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º.

5) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio?

Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço:Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º :

Considerando =1,73, obtemos: r = 41,52. Logo, a largura do rio é 41,52 m.

6) Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y.

12.19

ResoluçãoΔ ABC: tg 30º = (I)

Δ ABD: tg 60o = (II)

Substituindo (II) em (I), obtemos:

Daí: y = 1 mComo x = , resulta: m