Trigonometrija i koordinatni sustavi malo staroga, malo …prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/repetitorij.pdf · Brojke i kutoviMalo trigonometrijeKako se sna ci u ravnini i prostoru?Osnove

Brojke i kutovi Malo trigonometrije Kako se snaci u ravnini i prostoru? Osnove sferne trigonometrije

Trigonometrija i koordinatni sustavi — malostaroga, malo novoga

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Veljaca 2018.

Web-stranica kolegija:

http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/kristalografija.html

http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/kristalografija.html


Malo povijesti

Sto znaci znamenka 2 u brojci 127,3?

Dekadski zapis broja je zapis brojau obliku zbroja potencija broja 10, pomnozenih s pripadnim znamenkamakoje su iz skupa {0, 1, 2, . . . , 9}. Primjerice,

127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.

Koliko sati je 5 h 25 min 30 s? To je

5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.

Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je njegov zapis kao zbrojapotencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje susmislene znamenke u seksagezimalnom sustavu? Znate li neki primjergdje, osim u mjerenju vremena, danas koristimo seksagezimalni sustav?


Malo povijesti

Sto znaci znamenka 2 u brojci 127,3? Dekadski zapis broja je zapis brojau obliku zbroja potencija broja 10, pomnozenih s pripadnim znamenkamakoje su iz skupa {0, 1, 2, . . . , 9}. Primjerice,

127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.

Koliko sati je 5 h 25 min 30 s?

To je

5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.



Malo povijesti


127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.


5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.

Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je njegov zapis kao zbrojapotencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje susmislene znamenke u seksagezimalnom sustavu?

Znate li neki primjergdje, osim u mjerenju vremena, danas koristimo seksagezimalni sustav?


Malo povijesti


127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.


5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.



Mjerenje kutova

Sto je kut?

Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati

10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?

Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch?

Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm?

Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom.

Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta?

Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva?

Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦?

Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 inch? Kolika je duljinacetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta u radijanima je duljinaluka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovara tom kutu sukladansredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijedeminutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kut mjere 2π radijana imakoliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od 180◦? Bez koristenjakalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenite kut od 1 radijana!


Sinus, kosinus & co. u pravokutnom trokutu

Sinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu nasuprotne katete i hipotenuze.

Kosinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu prilezece katete i hipotenuze.

sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.

Time smo definirali sinus i kosinus za koje kutove? Koji raspon brojeva jemoguc za sinus i kosinus kuta u pravokutnom trokutu? Argumentirajte!



Sinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu nasuprotne katete i hipotenuze.Kosinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu prilezece katete i hipotenuze.

sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.

Time smo definirali sinus i kosinus za koje kutove?

Koji raspon brojeva jemoguc za sinus i kosinus kuta u pravokutnom trokutu? Argumentirajte!



Sinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu nasuprotne katete i hipotenuze.Kosinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu prilezece katete i hipotenuze.

sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.

Time smo definirali sinus i kosinus za koje kutove? Koji raspon brojeva jemoguc za sinus i kosinus kuta u pravokutnom trokutu? Argumentirajte!


Definicija trigonometrijskih funkcija

Sinus je nula ako je xvisekratnik pravog kuta:

sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.

Koji je predznak od sin 1? cos 1? Za koje x je sin x = cos x?




sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.





sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.

Koji je predznak od sin 1? cos 1?

Za koje x je sin x = cos x?




sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.



Svojstva trigonometrijskih funkcija

Apscise tocaka na jedinicnoj kruznici su brojevi izmedu −1 i 1, a istotako i ordinate. Stoga su za svaki broj x brojevi sin x i cos x izmedu−1 i 1;

Za x = 0 nalazimo se u tocki (cos 0, sin 0) = (1, 0), tj. cos 0 = 1 isin 0 = 0;

Opcenito, sin x je nula kad god broju x odgovara jedna od tocaka(−1, 0) i (1, 0), a to se desava kad god je x visekratnik od π:nultocke funkcije sinus su svi brojevi kπ, k ∈ Z; kosinus je nula kadgod broju x odgovara jedna od tocaka (0, 1) i (0,−1), a to sedesava kad god je x neparni visekratnik pravog kuta: nultockefunkcije kosinus su svi brojevi (2k + 1)π2 , k ∈ Z;

Primjenom Pitagorina poucka na trokut odreden ishodistem, tockom(cos x , 0) i tockom (cos x , sin x) (dakle, pravokutni trokut skatetama duljina cos x i sin x te hipotenuzom duljine 1) dobivamoosnovnu formulu koja povezuje sinus i kosinus:

cos2 x + sin2 x = 1;























O tangensu i kotangensu

tg x =sin x

cos x, ctg x =

1

tg x=

cos x

sin x.

Argumentirajte zasto tangens i kotangens mogu poprimiti proizvoljnovelike ili male (negativne) vrijednosti iako sinus i kosinus imaju vrijednostiizmedu −1 i 1!

U nazivniku tangensa imamo nulu (tj. tangens nijedefiniran) ako je x neparni visekratnik pravog kuta:

tg 90◦, tg 270◦ nisu definirani.

U brojniku tangensa imamo nulu (tj. tangens je nula) ako je x parnivisekratnik pravog kuta:

tg 0◦ = tg 180◦ = 0.

Sinus i kosinus su jednaki kad je tocka koja odgovara kutu x na jedinicnojkruznici i na simetrali prvog i treceg kvadranta, dakle kad jex = 45◦ = π/4 ili x = 225◦ = 5π/4: tg 45◦ = tg 225◦ = 1. Slicno:tg 135◦ = tg 315◦ = −1.


O tangensu i kotangensu

tg x =sin x

cos x, ctg x =

1

tg x=

cos x

sin x.

Argumentirajte zasto tangens i kotangens mogu poprimiti proizvoljnovelike ili male (negativne) vrijednosti iako sinus i kosinus imaju vrijednostiizmedu −1 i 1! U nazivniku tangensa imamo nulu (tj. tangens nijedefiniran) ako je x neparni visekratnik pravog kuta:

tg 90◦, tg 270◦ nisu definirani.

U brojniku tangensa imamo nulu (tj. tangens je nula) ako je x parnivisekratnik pravog kuta:

tg 0◦ = tg 180◦ = 0.

Sinus i kosinus su jednaki kad je tocka koja odgovara kutu x na jedinicnojkruznici i na simetrali prvog i treceg kvadranta, dakle kad jex = 45◦ = π/4 ili x = 225◦ = 5π/4: tg 45◦ = tg 225◦ = 1. Slicno:tg 135◦ = tg 315◦ = −1.


Zadaci

U ovim zadacima podrazumijevamo da su kutovi samo unutar raspona[−π, π].

1 Ako znate da je sinα = −0,250, α =

−14◦29′ ili −165◦31′.

2 Ako znate da je cosβ = −0,250, β = 104◦29′ ili −104◦29′.

3 Ako znate da je tgγ = −0,250, γ = −14◦2′ ili 165◦58′.

4 Ako znate da je ctgδ = −0,250, δ = −75◦58′ ili 104◦2′.


Zadaci


1 Ako znate da je sinα = −0,250, α = −14◦29′ ili −165◦31′.

2 Ako znate da je cosβ = −0,250, β =

104◦29′ ili −104◦29′.




Zadaci




3 Ako znate da je tgγ = −0,250, γ =

−14◦2′ ili 165◦58′.



Zadaci





4 Ako znate da je ctgδ = −0,250, δ =

−75◦58′ ili 104◦2′.


Zadaci







Koordinatni sustavi u ravnini

Koordinate tocke T ravnine se u tom slucaju odreduju tako da kroz njupovucemo paralele s koordinatnim osima i ocitamo u kojim

”brojevima”

te paralele sijeku prvu os (os apscisa, obicno se crta horizontalno) i drugu(os ordinata). Ako su ti brojevi x odnosno y pisemo T = (x , y).

Zadatak

Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav u ravnini, (b) koordinatnisustav u ravnini s medusobno okomitim osima, ali jedinicom duljine nahorizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom od one na vertikalnoj osi(osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini s osima ciji pozitivnidijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osi ordinata je 1,5 putadulja od one na osi apscisa.U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2).

U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?




”brojevima”


Zadatak

Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav u ravnini, (b) koordinatnisustav u ravnini s medusobno okomitim osima, ali jedinicom duljine nahorizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom od one na vertikalnoj osi(osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini s osima ciji pozitivnidijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osi ordinata je 1,5 putadulja od one na osi apscisa.U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela!

Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?




”brojevima”


Zadatak

Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav u ravnini, (b) koordinatnisustav u ravnini s medusobno okomitim osima, ali jedinicom duljine nahorizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom od one na vertikalnoj osi(osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini s osima ciji pozitivnidijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osi ordinata je 1,5 putadulja od one na osi apscisa.U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?




”brojevima”


Zadatak

Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav u ravnini, (b) koordinatnisustav u ravnini s medusobno okomitim osima, ali jedinicom duljine nahorizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom od one na vertikalnoj osi(osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini s osima ciji pozitivnidijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osi ordinata je 1,5 putadulja od one na osi apscisa.U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?


Polarni koordinatni sustav

Tocku T ravnine mozemo opisati i s dvije koordinate (d , ϕ), gdje je0 ≤ d < +∞ udaljenost tocke od ishodista O, 0 ≤ ϕ < 2π je polarni kutkoji opisuje kut spojnice OT prema polarnoj osi.


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)?

Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2?

Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Ako polarnu os smatramo pozitivnim dijelom x-osi, veza izmeduKartezijevih koordinata (x , y) i polarnih (d , ϕ) je dana jednadzbama

x = d cosϕ, y = d sinϕ,

odnosnod =

√x2 + y 2, tgϕ =

y

x.

, Koje su polarne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (−2, 4)? (1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u polarnom koordinatnomsustavu ima koordinate (2, π/4)? (5, π/2)?

, Skicirajte krivulje koje u polarnim koordinatama imaju jednadzbed = 2? ϕ = −π/2?


Ako polarnu os smatramo pozitivnim dijelom x-osi, veza izmeduKartezijevih koordinata (x , y) i polarnih (d , ϕ) je dana jednadzbama

x = d cosϕ, y = d sinϕ,

odnosnod =

√x2 + y 2, tgϕ =

y

x.

, Koje su polarne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (−2, 4)? (1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u polarnom koordinatnomsustavu ima koordinate (2, π/4)? (5, π/2)?

, Skicirajte krivulje koje u polarnim koordinatama imaju jednadzbed = 2? ϕ = −π/2?


Malo zemljopisa

zemljopisna duljina ↔ ϕ odnosno ϕ− 180◦ (ϕ ili φ: azimut);zemljopisna sirina ↔ 90◦ − θ odnosno θ − 90◦ (θ ili ρ: polarna

udaljenost).


Neki prostorni koordinatni sustavi

(a) (b) (c)

Slika: Razliciti koordinatni sustavi u prostoru: Kartezijev, kosokutni, sferni.

Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0?

y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1?

z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3?

Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora?

Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?

φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦?

ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?


Sferni koordinatni sustav

Sferni koordinatni sustav je onaj u kojem se tocka prostora opisuje s trikoordinate (r , φ, ρ), gdje je 0 ≤ r < +∞ udaljenost tocke od ishodista,0 ≤ φ < 2π je polarni kut (azimut), tj. kut otklona od odabrane ravnineΠ, a 0 ≤ ρ ≤ π je kut (polarna udaljenost) koji opisuje otklon radijvektora promatrane tocke od fiksiranog pravca z u Π (koji prolazi krozishodiste).Ako odabranu ravninu Π smatramo (x , z)-ravninom, a pravac z uzmemokao z-os, veza izmedu Kartezijevih koordinata (x , y , z) i sfernih (r , φ, ρ)je dana jednadzbama

x = r cosφ sin ρ, y = r sinφ sin ρ, z = r cos ρ,

odnosno

r =√

x2 + y 2 + z2, tgφ =y

x, cos ρ =

z√x2 + y 2 + z2

.


, Koje su sferne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (1, 0,−

√3)? (−1,−1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u sfernom koordinatnomsustavu ima koordinate (1, 2π/3, π/4)? (1, π, π/2)?

, Kako izgledaju plohe koje u sfernim koordinatama imaju jednadzber = 2? φ = π/3? ρ = 5π/6?


Osnove sferne trigonometrije

Sto je kruznica? Krug?

Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?

O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi?

Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti?

Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!


Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi!

Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta? Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ,sin a

sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.

Kako te formule izgledaju ako je C pravi kut?


Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi! Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta?

Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:


sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.



Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi! Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta? Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:


sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.



London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Zagreb je na 16◦ istocne zemljopisne duzine i 45◦48′ sjevernezemljopisne duljine. Polumjer Zemlje je priblizno 6378 km. Kolika jeudaljenost a Londona do Zagreba?

c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′

b = 90◦ − 45◦48′ = 44◦12′.cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,A =?A = 16◦

cos a ≈ 0,97824a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′?a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886 radijana, tj.udaljenost je a · R ≈ 1332 km.



c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′

b = 90◦ − 45◦48′ = 44◦12′.

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,A =?A = 16◦




c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′

b = 90◦ − 45◦48′ = 44◦12′.cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,A =?

A = 16◦




c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′


cos a ≈ 0,97824a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′?

a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886 radijana, tj.udaljenost je a · R ≈ 1332 km.



c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′




U kom se smjeru nalazi Meka (Saudijska Arabija, 21,26◦N, 39,49◦E) uodnosu na Jakarta-u (Indonezija, 6,08◦S, 106,45◦E)?

Meridijan odreduje smjer sjever-jug.Stoga nas ovdje zanima kut Csfernog trokuta sa slike. Kojepodatke sfernog trokuta lakoocitamo iz zemljopisnih podataka?

b, c , A.sin asin A = sin c

sin C

sin C = sin A · sin csin a

a odredimo kao i u prethodnomzadatku: a = 71,08◦

sin C ≈ 0,9066 pa je C ≈ 65,04◦

Drugim rijecima, ako ste muslimankoji se u Jakarta-i zeli klanjati premaMeki, trebate se u odnosu na pogledprema sjeveru okrenuti u pozitivnomsmjeru (suprotno kazaljki na satu)za 65,04◦.



Meridijan odreduje smjer sjever-jug.Stoga nas ovdje zanima kut Csfernog trokuta sa slike. Kojepodatke sfernog trokuta lakoocitamo iz zemljopisnih podataka?b, c , A.

sin asin A = sin c

sin C



sin C ≈ 0,9066 pa je C ≈ 65,04◦




Meridijan odreduje smjer sjever-jug.Stoga nas ovdje zanima kut Csfernog trokuta sa slike. Kojepodatke sfernog trokuta lakoocitamo iz zemljopisnih podataka?b, c , A.sin asin A = sin c

sin C



sin C ≈ 0,9066 pa je C ≈ 65,04◦




Meridijan odreduje smjer sjever-jug.Stoga nas ovdje zanima kut Csfernog trokuta sa slike. Kojepodatke sfernog trokuta lakoocitamo iz zemljopisnih podataka?b, c , A.sin asin A = sin c

sin C



sin C ≈ 0,9066 pa je C ≈ 65,04◦


Documents

Trigonometrija i koordinatni sustavi malo staroga, malo …prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/repetitorij.pdf · Brojke i kutoviMalo trigonometrijeKako se sna ci u ravnini i prostoru?Osnove