Europska srednjevjekovna matematika Franka Miriam Bruckler ...prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat06b-2020.pdf · trivium (gramatika, retorika, dijalektika), a zatim quadrivium

Rana srednjevjekovna Europa Visoki srednji vijek

Povijest matematikeEuropska srednjevjekovna matematika

Franka Miriam Bruckler

20. veljace 2020.


Rani srednji vijek (6.–10. st.)

U 4. st. u Europu prodiru Huni i Germani. Godine 375. podijeljenoje Rimsko carstvo; Zapadno rimsko carstvo propalo je 476. i obicnose ta godina uzima kao pocetak europskog srednjeg vijeka.Godine 529. bizantski car Justinijan I je boreci se protiv poganazatvorio atensku neoplatonsku Akademiju i time prekinuotisucljetni razvoj grcke matematike.Krajem 5. st. nastala je Franacka; 843. franacko karolinsko carstvopodijeljeno je na tri dijela. Car Karlo Veliki (okrunjen godine 800.)bio je prvi koji je nakon toga potaknuo organizaciju (crkvenih)skola kako bi Europu sacuvao od intelektualnog propadanja.


Rana srednjevjekovna aritmetika

Grk Nikomah iz Geraze (1./2. st.) je napisao uvod u (teorijsku)aritmetiku pitagorejskog stila. Na temelju tog djela kasnoantickiucenjak Anicius Manlius Severinus Boethius (ca. 480–525) jenapisaoDe institutione arithmetica. Ta je knjiga usprkos niskogmatematickog nivoa koristena u europskim crkvenim skolama svedo 17. st., a posebno je popularna bila 10.–12. st.U srednjem se vijeku matematika poducavala u crkvenim isamostanskim skolama kao dio quadrivium-a. To je pojam kojeg jeuveo Boethisu kao zajednicki naziv za

”matematicke predmete”

aritmetiku, geometriju, astronomiju i glazbu.

Srednjevjekovno racunanje bilo je izuzetno naporno. Nije tomeuzrok bio samo u prekidu tradicije znanosti, nego i za racunanjeneprakticni rimski brojevni sustav, koji je sve do 13. st. bio uisklucivoj upotrebi. Stoga je za srednjevjekovne ucenjake racunanjedatuma Uskrsa spadalo u najzahtjevnije matematicke zadatke.


Rana srednjevjekovna aritmetika

Grk Nikomah iz Geraze (1./2. st.) je napisao uvod u (teorijsku)aritmetiku pitagorejskog stila. Na temelju tog djela kasnoantickiucenjak Anicius Manlius Severinus Boethius (ca. 480–525) jenapisaoDe institutione arithmetica. Ta je knjiga usprkos niskogmatematickog nivoa koristena u europskim crkvenim skolama svedo 17. st., a posebno je popularna bila 10.–12. st.U srednjem se vijeku matematika poducavala u crkvenim isamostanskim skolama kao dio quadrivium-a. To je pojam kojeg jeuveo Boethisu kao zajednicki naziv za

”matematicke predmete”

aritmetiku, geometriju, astronomiju i glazbu.Srednjevjekovno racunanje bilo je izuzetno naporno. Nije tomeuzrok bio samo u prekidu tradicije znanosti, nego i za racunanjeneprakticni rimski brojevni sustav, koji je sve do 13. st. bio uisklucivoj upotrebi. Stoga je za srednjevjekovne ucenjake racunanjedatuma Uskrsa spadalo u najzahtjevnije matematicke zadatke.


Alkuin (oko 735.–804.)

Prijatelj, savjetnik i ucitelj sinova Karla Velikog, djelovao na njegovomdvoru. Medu ostalim, razvio je karolinske minuskule, temeljni alfabet zadanasnje latinicno pismo, koji je omogucio lakse citanje knjiga. Osnovaoje niz skola i pisao matematicke udzbenike, a napisao (?) je i zbirku

zadataka Propositiones ad acuendos iuvenes s elementarnim

aritmetickim, logickim i kombinatornim zadacima i rjesenjima (uglavnombez postupka). To je najstarija zbirka matematickih zadataka nalatinskom jeziku.

Primjer

Seljak putuje s vukom, kozom i kosarom zelja. Dolazi do rijeke koju moraprijeci i nalazi slobodan camac, ali u camac stane, uz njega, samo vuk ilisamo koza ili samo kosara sa zeljem. Ako ostavi vuka i kozu same, vuk cepojesti kozu. Ako ostavi kozu samu sa zeljem, koza ce pojesti zelje. Kakoda preveze svo troje bez da itko ista pojede?

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Alcuin_book.html


Gerbert od Aurillaca (oko 946.–1003.)

Kao i u Rimu, racunanje se u srednjem vijeku ucilo u glavi, s prstima ipomocu abakusa. Srednjevjekovni europski abakus bio je varijantagrcko-rimskog abakusa. Kad je u 9. st. doslo do prvih kontakataEuropljana s muslimanskom tradicijom, postepeno su upoznavaliindoarapske brojek te su se razdvojile dvije

”skole”: abacisti, koji su

zagovarali iskljucivo koristenje rimskih brojki s abakusom kao pomagalom,te algoristi, koji su se zalagali za indoarapski decimalni sustav.Jedan od prvih koji je u Europi koristio indoarapske brojke bio je Gerbert.Studirao je u Kataloniji, gdje je naucio koristiti indijske brojke (bez nule)i susreo se s muslimanskom matematikom.Pisao je o aritmetici i geometriji i bavio se relativno jednostavnimzadacima. Iako su iz danasnje perspektive njegovi spisi elementarni, zatadasnje Europljane bili su iznimni te je optuzivan da je sklopio pakt svragom. No, ipak je 999. izabran za papu Silvestra II. ,

Gerbert je opisao novu verziju abakusa , prilagodenu indoarapskimbrojkama, koja je koristila apices (kamencice s oznakama znamenki 1 do9).

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/gerbert-daurillac-and-the-march-of-spain-a-convergence-of-cultures-gerberts-abacus


Visoki srednji vijek (ca. 1000.–1300.)

Iako i dalje dominiraju latinski jezik i rimske brojke te vrlo skromnoobrazovanje, dolazi do jaceg razvoja kulture. Ovo je doba romanike igotike, razdvanja katolicke i pravoslavne crkve, krizarskih ratova, te prvogkontakta s arapskim svijetom, prvenstveno preko Spanjolske.Al-Andalus, popularnije muslimanska Spanjolska, zapocinje osvajanjima711., a zavrsava nestankom emirata Granade 1492. Arapi (Mauri) suIberski poluotok osvojili u 8. stoljecu, a njihova je vladavina bila stabilnado 11. stoljeca. Od 929. do 1031. to je samostalni kalifat Cordobe.Cordoba je postala znanstveni centar s velikom knjiznicom. Podmaurskom vladavinom se poticalo prevodenje znanstvenih djela raznihizvora, sto je doprinijelo ozivljavanju grcke i otkricu arapske i indijskematematike.U 12. stoljecu doslo je do intenzivnijeg kontakta europske s grckom iindijskom matematikom putem direktnog kontakta s Arapima (osobitotalijanski trgovci) i prijevodima s arapskog i hebrejskog. Prije toga uopticaju su bili samo neki dijelovi Euklidovih i Heronovih djela u rimskomprijevodu.


Prevodioci (”preveo i prilagodio”)

Tek 1145. godine u Europi je izdana prva knjiga s potpunimrjesenjem kvadratne jednadzbe (naravno, misli se na pozitivnarealna rjesenja). Bio je to latinski prijevod knjige spanjolskogzidovskog matematicara Abrahama bar-Hiyya-e, 1070.–1136.). Istegodine Robert od Chestera preveo je al-Khwarizmijevu Algebru.

Adelard of Bath (1075.–1160.) je studirao u Francuskoj, boravio ujuznoj Italiji i Turskoj, u Siriji i Palestini. Vjerojatno je boravio i uSpanjolskoj, a po nekima je pohadao predavanja iz matematike uCordobi prerusen u muslimana. Do 1533., kad je pronaden original,sva su europska izdanja Euklidovih Elemenata bila temeljena nanjegovom prijevodu. Preveo je i al-Khwarizmijeve astronomsketablice i Almagest, a pisao je i o abakusu, aritmetici i dr.


Prevodioci (”preveo i prilagodio”)

Tek 1145. godine u Europi je izdana prva knjiga s potpunimrjesenjem kvadratne jednadzbe (naravno, misli se na pozitivnarealna rjesenja). Bio je to latinski prijevod knjige spanjolskogzidovskog matematicara Abrahama bar-Hiyya-e, 1070.–1136.). Istegodine Robert od Chestera preveo je al-Khwarizmijevu Algebru.Adelard of Bath (1075.–1160.) je studirao u Francuskoj, boravio ujuznoj Italiji i Turskoj, u Siriji i Palestini. Vjerojatno je boravio i uSpanjolskoj, a po nekima je pohadao predavanja iz matematike uCordobi prerusen u muslimana. Do 1533., kad je pronaden original,sva su europska izdanja Euklidovih Elemenata bila temeljena nanjegovom prijevodu. Preveo je i al-Khwarizmijeve astronomsketablice i Almagest, a pisao je i o abakusu, aritmetici i dr.


Skolastika

U 11. i 12. st. Crkva pocinje poticati obrazovanje, i to i znanstveno, usvojim redovima. Nastaju prva sveucilista (Bologna, Paris, Oxford,Montpellier, Cambridge, Padova, Napoli, Toulouse, . . . ) koja postaju

”dom” prirodnih znanosti i matematike. Skolastika izvorno znaci

sustavno posredovanje znanja kroz predavanja i rasprave. Cijenilo selogicko zakljucivanje (ponekad i do apsurda).Nakon obrazovanja u latinskom jeziku, uobicajeno je bilo da se student s14 ili 15 godina upise na neko sveuciliste, na kojem bi prvo studiraovtrivium (gramatika, retorika, dijalektika), a zatim quadrivium. Time sepostizao stupanj baccalaureus. Dalje se moglo studirati medicinu, pravoili teologiju do stupnja magistra.Skolastici su razvili teoriju supozicije kao odgovor na pitanje osnovnihlogicki

”jedinica”. Tom teorijom odgovaraju na pitanje vrste termina u

logickim izjavama (individua, univerzalno ili sama rijec). Kasnije su sesrednjevjekovni filozofi (John Duns Scotus u 13. st. i William of Ockhamu 14. st.) bavili i pitanjem modaliteta logickih izjava.


Fibonacci (Leonardo iz Pise)

Moze se reci da je postojao tocno jedan veliki srednjevjekovnieuropski matematicar: Leonardo iz Pise (poznat kao Fibonacci,sto je skraceno od clan obitelji Bonacci, zivio je otprilike1170.–1250.). Vec kao djecak putovao je s ocem koji je bio cariniku Bugia-i (danasnji Alzir, tad je Bugia bila trgovacka kolonija Pise)u sjevernu Afriku i kasnije u Egipat, Bizant, Siriju, Grcku i Siciliju,gdje je imao prilike upoznati matematicke spise Arapa, Indijaca,Pitagorejaca, Euklida i dr. Kako je Leonardo trebao postatitrgovac, puno je paznje posveceno tome da dobro nauci racunati.U razdoblju 1200.–1225. boravio je u Pisi i bavio se matematikom.Sadrzajno on zapravo vise spada u renesansu nego u srednji vijek.


Fibonaccijeva djela

Liber Abbaci (1202., 1228.)

Practica Geometriae, 1220./21.

Flos, 1225.

pismo carskom filozofu Teodoru

Liber Quadratorum, 1225.


Liber Abbaci iliti Knjiga o racunanju

rimske brojke i brojanje prstima

indoarapski pozicijski sustav s nulom!!!

racunanje u dekadskom sustavu (indoarapske brojke)

razlomci i racunanje s njima (uveo je razlomacku crtu)

trgovacka racunica (tu je i problem sto ptica :-))

zadaci zabavne matematike (Fibonaccijevi brojevi1)

neki od tih zadataka vode na jednadzbe i sustave (ukljucivoneodredene)

nepoznanicu naziva res (arapski: ay) ili radix ; druge potencijenepoznanice: quadratus/census, cubus, census de censu, cubuscubi ; konstanta: numerus, denarius, dragma

ocit utjecaj arapske matematike (npr. klasifikacija i rjesavanjekvadratnih jednadzbi)

1Ime im je u 19. stoljecu dao Eduard Lucas. Zanimljivo je da se pojavljuju umnogim neocekivanim, cak i prirodnim, kontekstima, a povezani su i sa zlatnimrezom.


Zadatak o pronadenom novcaniku

Naden je novcanik s nepoznatim iznosom b novca u njemu.Cetvorica nalaznika imajuu po xi , i = 1, 2, 3, 4 novca. Uvjeti vodena sustav

x1 + b = 2(x2 + x3)

x2 + b = 3(x3 + x4)

x3 + b = 4(x4 + x1)

x4 + b = 5(x1 + x2)

Kaze Leonardo:

”Pokazat cu da ovaj problem nije rjesiv ako se ne dozvoli da je prvi

partner u dugu.” — razumije negativne brojeve!!!Kao jedno rjesenje daje −1, 4, 1, 4 i b = 11.


Ostala djela

Godine 1220. Fibonacci je napisao Practica Geometriae,kompilacija geometrijskih rezultata (Euklid, arapska trigonometrija,. . . ). Potrebna algebarske pravila u arapskoj tradiciji izlaze bezpozivanja na geometriju.U Liber quadratorum (1225.) opisao je metode za nalazenjepitagorejskih trojki i dao prvi dokaz identiteta

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (bc + ad)2,

tj. umnozak dva zbroja kvadratnih brojeva je zbroj kvadratnihbrojeva (sto je bila jos Diofantova tvrdnja).U Flosu se bavi raznim algebarskim zadacima.


Car Friedrich II je 1225. s dvorom dosao u Rim te odgodio odlazaku krizarski rat kako bi organizirao natjecanje iz matematike. Natom je natjecanju Friedrichov dvorski filozof Ivan iz Palerma zadaosljedece zadatke:

1 Tri covjeka posjeduju hrpicu novca, a udjeli su im 12 , 1

3 i 16 . S

vremenom, svaki je uzimao ponesto novca, sve dok nista nijepreostalo. Prvi je vratio 1

2 od koliko je uzeo, drugi 13 od onog

sto je uzeo i treci 16 iznosa kojeg je uzeo. Ako se tako skupljen

novac podijeli na tri jednaka dijela i svakom da po jedan,ispada da svaki posjeduje koliko mu po pravu i pripada.Koliko je novca bilo u pocetnoj hrpi i koliko je tko uzeo?

2 naci broj x takav da su x2 ± 5 kvadrati razlomaka;

3 rijesiti jednadzbu x3 + 2x2 + 10x = 20.


1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 (Flos)

Treci je zadatak Ivan iz Palerma preuzeo iz Khayyamove Algebre.Fibonacci je dokazao da ta jednazba nema rjesenja u cijelim niracionalnim brojevima niti medu euklidskim kvadratnimiracionalnostima, a zatim navodi aproksimativno rjesenje tocno nadevet decimala, no nema izvora kako je to aproksimativno rjesenjedobio.

O Fibonaccijevom zivotu iza 1228. se gotovo nista ne zna, osim damu je republika Pisa dodijelila stipendiju kao nagradu zasavjetovanje u matematici vezano za racunovodstvo i slicna pitanja.


1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 (Flos)

Treci je zadatak Ivan iz Palerma preuzeo iz Khayyamove Algebre.Fibonacci je dokazao da ta jednazba nema rjesenja u cijelim niracionalnim brojevima niti medu euklidskim kvadratnimiracionalnostima, a zatim navodi aproksimativno rjesenje tocno nadevet decimala, no nema izvora kako je to aproksimativno rjesenjedobio.O Fibonaccijevom zivotu iza 1228. se gotovo nista ne zna, osim damu je republika Pisa dodijelila stipendiju kao nagradu zasavjetovanje u matematici vezano za racunovodstvo i slicna pitanja.


Prva osoba koja je korektno formulirala zakon kosine bio jeNijemac Jordanus Nemorarius (13. st.). Njegovi Demonstratio dealgorismo i Demonstratio de minutiis su opisi indoarapskogbrojevnog sustava. Napisao je i teorijsko aritmeticko djelo Deelementis arithmeticae artis te geometrijsko Liber phylotegni detriangulis, zatim tekst o stereografskoj projekciji Demonstratio deplana spera te De numeris datis, prvo naprednije europskoalgebarsko djelo nakon Diofanta. Nemorarius je koristio slova kaooznake nepoznanica, no njegova djela nisu imala veceg utjecaja.


Kasni srednji vijek (14. i 15. st.)

Englez Thomas Bradwardine (ca. 1295.–1349.) je djelovao uOxfordu, a kasnije je bio kancelar crkve St Paul’s u Londonu ikapelan kralja Edwarda III. Godine 1348. postao je nadbiskupCanterburyja, ali kralj Edward ponistio je to imenovanje.Bradwardine je godinu kasnije je ponovno izabran, ovaj put izgledabez protivljenja kralja, no ubrzo je umro od kuge. Bavio selogikom, matematikom, teologijom i filozofijom. Pisao je ozvjezdastim mnogokutima i izoperimetrickim likovima,proporcijama, . . . Razlikovao je dva tipa beskonacnosti: kateticnu(odgovara nasem pojmu transfinitnog, tj. onom sto vec otpocetkanedostaje ogranicenost) i sinkateticnu (odgovara nasem pojmuinfinitnog, tj. onom sto iz konacnog nastaje neogranicenim rastom).


Nicole d’Oresme (ca. 1330–1382)

Francuski biskup i financijski savjetnik francuskog kralja Karla V.Prva osoba koja je dozvolila razlomke kao eksponente. Specijalno,poznavao je pravilo xaxb = xa+b i za razlomljene eksponente.Kod njega nalazimo rano poimanje funkcije i grafa: delatitudinibus formarum. Za njega su sve mjerljive velicine, osimbrojeva (koje dozivljava na starogrcki nacin), kontinuirane te semogu prikazivati duljinama, povrsinama i volumenima.U Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum iQuestiones super geometriam Euclidis opisuje kako ilustriratiodnos protezanja (extensio) i iznosa (intensio) kvalitete (to surazne fizikalne pojave, npr. brzina, koje mogu imati razliciteintenzitete i koje se nalaze u odnosu s protezanjem, primjericevremenom). Intenzitete je nanosio vertikalno kao duljine (latitudo)nad vodoravnom crtom, na kojoj su protezanja prikazana isto kaoduljine (longitudo).


No, to naravno jos nisu bile funkcije ni njihovi grafovi. Oresme nezahtijeva okomitost latituda u odnosu na longitude i spominje imogucnost trodimenzionalne interpretacije.Crtu koja povezuje gornje krajeve naziva Linea intensionis (ili Lineasummitatis). Ovisno o obliku tako dobivene figure Oresmerazlikuje uniformne kvalitete (Qualitas uniformis, konstantnogintenziteta, uniformno diformne (Uniformiter difformis, kod kojih jeLinea intensionis kosi pravac, te diformno diformne (Difformiterdifformis, sve ostale).


Pokazao je i tzv. Mertonski teorem, nazvan po oxfordskom MertonCollege, ciji znanstvenici su ga izrekli 1330ih: U slucaju uniformnodiformne brzine (dakle, gibanja s konstantnom akceleracijom) jeprijedeni put jednako kao za uniformnu brzinu, ako je to ona usrednjem trenutku. Oresme je to pokazao usporedbom povrsinepravokutnika i trapeza te se vidi da je put znao interpretirati kaopovrsinu. To je jedan od najranijih primjera matematicke fizike.Poznat je i po prvom dokazu divergencije nekog reda, konkretno:harmonijskog,

1+1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+ . . . > 1+

1

2+

1

2+

1

2+ . . . ,

a pokazao je i konvergenciju geometrijskog reda∑

n22n .


1/2 1/4

1/4

1/8

1/8

1/8

Documents

Europska srednjevjekovna matematika Franka Miriam Bruckler ...prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat06b-2020.pdf · trivium (gramatika, retorika, dijalektika), a zatim quadrivium