TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS

DARBĄ ATLIKO: ŽIVILĖ BALIONYTĖ IR MINDAUGAS ZAJANKAUSKAS

Trigonometrinės funkcijos

Funkcija f(x) = sin x

Funkcija f(x) = ctg xFunkcija f(x) = cos x

Funkcija f(x) = tg x

Funkcija f(x) = sinx

Grafikas

Nelygybės F (x) = arcsin xLygtys

f(x)=sin x grafikas

Savybės

2

2

2

3 2

y

x0

1

1

F(x)= sin x grafikas vadinamas sinusoide

Savybės f(x)=sin x

1. D(y)= (-∞; +∞)2. E(y)= [-1; 1]3. F-ja didėja x4. F-ja mažėja x5. f(x)= sin x periodinė f-ja T= 26. Nelyginė f-ja sin(-x) = -sin(x) 7. Sin x>0, kai Sin x<0, kai8. fmax= 1, kai fmin = -1,kai

Zn],n22;n2

2[

Zn],n22

3;n2

2[

Zn),n22;n2(x

Zn),n2;n2(x

Zn,n22

x

Zn,n22

x

Lygčių sin x = a sprendimas

1. Kai a =1

sin x =1

2. Kai a=0

sin x=0

3. Kai a= -1

sin x = -1

4. Kai -1<a<1, a≠0

pvz. 2sin x =1 \ :2

sin x = 0,5

Zn,n22

X

Zn,n21arcsinX

Zn,nX

Zn,n0X

Zn,n0arcsinX

Zn,n22

X

Zn,n2)1arcsin(X

Zn,naarcsin)1(X n

Zn,n6

)1(X

Zn,n2

1arcsin)1(X

n

n

Lygčių sin x = a sprendimas

5. Kai a>1 ir a<-1

sin x = a sprendinių neturi

sin x = sin x = -

sprendinių neturi sprendinių neturi

Nelygybių sprendimas

0 2

2

2

3 2

1

1

2

1xsin

2:/1xsin2

Y2=0,5

Nustatome susikir-timo taškusBrėžiame

statmenis Ox ašiaiNustatome spren-

dinių intervalą

y

x0x 1x

62

1arcsinx 0

6

5

6x1

Braižome grafikus:y1=sin xxsiny1

2

1y2

Zn),n26

5;n2

6(x:.Ats

F(x)=arcsin x

Savybės

y

x2

2

0

1

1

2

2

xarcsiny xsiny

y=x

F(x)=arcsin x yra atvirkštinė f-jai y=sin x ir grafikasgaunamas f-jos y=sin x grafiką intervale simetriškai atvaizdavus tiesės y =x atžvilgiu.

]2

;2

[

Savybės f(x)=arcsin x

1. Jei arcsin a = b, tai sin b = a ir2. D(arcsin x) = [-1;1]3. E(arcsin x) = 4. Arcsin x yra nelyginė f-ja, t.y

arcsin(-x) = -arcsin(x)5. Sin(arcsin x) = x, -1≤x≤1

Pvz.:sin(arcsin0,5) = 0,5

2;

2

2b

2

Funkcija f(x) = cosx

Grafikas

F (x) = arccos xLygtys Nelygybės

f(x)=cos x grafikasy

x

2

2

0

1

12

3

xcosy

xsiny

)x2

sin(xcos

Savybės

F(x)= cos x grafikas

vadinamas kosinusoide

F(x)= cos x grafikas gaunamas y=sin x grafiką pastūmus į kairę per vienetų,nes

2

Savybės f(x)=cos x

1. D(cos x) = (-∞;+∞)2. E(cos x) = [-1; 1]3. Lyginė f-ja cos(-x) = cos x4. f(x)= cos x periodinė f-ja T= 25. F-ja didėja, kai xє[-+2n; 2n] nєZ6. F-ja mažėja, kai xє[2n; +2n] nєZ7. Cos x>0, kai Cos x<0, kai8. fmax= 1,kai x= 2n, nєZ fmin = -1,kai x= + 2n, nєZ

Zn),n22

3;n2

2(x

Zn),n22

;n22

(x

Lygčių cos x = a sprendimas

1. Kai cos x=1

x= arccos 1+2n,n є Z

x= 0+2n,n є Z

x= 2n,nєZ

2. Kai cos x= 0

x= arccos0+n,n є Z

3. Kai cos x=-1

x=arccos(-1)+2n,n є Z

x=(-arccos1)+ 2n,n є Z

x= + 2n,n є Z

4. Kai -1<a<1 ir a≠0

cos x = a

x= ± arccos a +2n,n є ZZn,n

2x

Lygčių cos x = a sprendimas

5. Kai a>1 ir a<-1

cos x = a sprendinių neturi

cos x = cos x = -

sprendinių neturi sprendinių neturi

Nelygybių sprendimas

y

x

2

2

0

1

12

3

2

2xcos

Braižome grafikusy1=cos x

Nustatome susikir-timo taškus

Brėžiamestatmenis Ox ašiai

Nustatome spren-dinių intervalą

2

2y2

xcosy

2

2y2

Zn),n24

;n24

(x:.Ats

0x1x

42

2arccosx 0

4x1

F(x)=arccos x

1

x

12

2

0

yF-ja f(x)=arccos x yra

atvirkštinė f-jai y=cos x. F(x)=arccos x grafikas

gaunamas y=cos x grafiką, kaixє [0;]

simetriškai atvaizdavus tiesės y=x atžvilgiu.

xarccosy

Savybėsxcosy

y=x

Savybės f(x)=arccos x

1. Jei arccos a = b, tai cos b = a ir 0≤b≤2. D(arccos x) = [-1;1]3. E(arccos x) = [0; ]4. Arccos x yra nei lyginė, nei nelyginė f-ja

arccos(-x)= -arccos x5. Cos(arccos x) = x

Pvz.:2

2 )

2

2cos(arccos

Funkcija f(x) = tg x

Grafikas

Lygtys Nelygybės F (x) = arctg x

f(x)=tg x grafikas

1

x

12

2

0

y

Savybės

tgxy

F(x)= tg x grafikas vadinamas tangentoide

Savybės f(x)=tg x

1. D(tg x) = (-∞; +∞) išskyrus2. E(tg x) = (-∞; +∞)3. f(x)= tg x periodinė f-ja T= 4. Nelyginė f-ja tg(-x) = -tg(x)5. F-ja didėjanti, kai6. F(x)>0, kai F(x)<0, kai7. Didžiausios ir mažiausios reikšmės neturi

Zn,n2

)n2

;n2

(x

Zn,

Zn),n;n2

(x

Zn),n2

;n(x

Lygčių tg x = a sprendimas

Lygties sprendiniai užrašomi panaudojant bendrų sprendinių formulę:

X = arctg a + n, nєZ (aєR)

Pvz.:

Zn,n12

5x

Zn,n46

x

Zn,n64

x

Zn,n3

3arctg

4x

3

3)

4x(tg

3:/1)4

x(tg3

Nelygybių sprendimas

1

x

12

2

0

y

Brėžiame grafikusy1= tg x

Nustatome susikir-timo tašką

Brėžiamestatmenį Ox ašiai

Nustatome spren-dinių intervalą

3

3tgx

5

1:/

15

3tgx

5

1

3

3y2

tgxy1

Zn),n6

;n2

(x:.Ats

6)

3

3(arctgx

3

3y2

F(x)=arctg x

x

2

2

0

y

tgxy 2

2

arctgxy

F-jos y =tg x atvirkštinėf-ja yra f(x) =arctg x.

Jos grafikas gaunamasy =tg x grafiką

atvaizdavus simetriškai tiesės y =x atžvilgiu.

Savybės

y=x

Savybės f(x)=arctg x

1. Jei arctg a = b, tai tg b = a ir 2. D(arctg x) = (-∞; +∞) 3. E(arctg x) = 4. Nelyginė f-ja arctg(-x) = -arctg(x)5. F-ja didėjanti visoje apibrėžimo srityje6. Tg(arctg x) = x

Pvz.:

)2

;2

(

2b

2

3)3arctg(tg

Funkcija f(x) = ctg x

F (x) = arcctg xNelygybėsLygtys

Grafikas

f(x)=ctg x grafikas

1

x

12

2

0

ytgxy

)2

x(tgctgx

)1(:/ctgx)2

x(tg

Savybės

ctgxy

F(x)= ctg x grafikas vadinamas

kotangentoide

Gaunamas f-jos y= tg x grafiką pastūmus Oxašimi į kairę pusę per vienetų ir atvaizdavus simetriškai Ox ašies

atžvilgiu,nes

2

Savybės f(x)=ctg x

1. D(ctg x) = (-∞; +∞) išskyrus n, nєZ2. E(ctg x) = (-∞; +∞)3. f(x)= ctg x periodinė f-ja T= 4. Nelyginė f-ja ctg(-x) = -ctg(x)5. F-ja mažėjanti, kai x є (n; +n), nєZ6. Ctg x>0, kai Ctg x<0, kai7. Didžiausios ir mažiausios reikšmės neturi

Zn),n;n2

(-x

Zn),n2

;n(-x

Lygčių ctg x = a sprendimas

Lygties sprendiniai užrašomi panaudojant bendrų sprendinių formulę:

X = arcctg a + n, nєZ (aєR)

Pvz.:

Zn,2

n

24x

2:/Zn,n12

x2

3/Zn,n

43x2

Zn,n1arcctg3

x2

1)3

x2(ctg

Nelygybių sprendimas

1

x

12

2

0

y

1y2

ctgxy1 1ctgx

3ctgx3

Brėžiame grafikusy1= ctg x

y2=1

Nustatome susikir-timo tašką

Brėžiamestatmenį Ox ašiai

Nustatome spren-dinių intervalą

Zn),n;n4

(x:.Ats

410

arcctgx

0x

F(x)=arcctg x

x

1

12

2

0

y

ctgxy arcctgxy

Savybės

y=x F-ja f(x)=arcctg x yra atvirkštinė f-jai y=ctg x. F(x)=arcctg x grafikas

gaunamas y=ctg x grafiką simetriškai atvaizdavus tiesės

y=x atžvilgiu.

Savybės f(x)=arcctg x

1. Jei arcctg a = b, tai ctg b = a ir 0<b<2. D(arcctg x) = (-∞; +∞)3. E(arcctg x) = (0; )4. Nei lyginė, nei nelyginė f-ja arcctg(-x) = -arcctg x5. Mažėjanti visoje apibrėžimo srityje6. Ctg(arcctg x) = x

Pvz.:ctg(arcctg 5) = 5