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TRIÂNGULOSProfessor: Antonio Carlos
CLASSIFICAÇÃO
Quanto aos lados:• Equilátero: Todos os lados são congruentes.• Isósceles: Dois lados congruentes.• Escaleno: Nenhum lado congruente.
Quanto aos ângulos:• Acutângulo: Todos os ângulos são agudos (menores que 90º)• Retângulo: Possui um ângulo reto (igual a 90º)• Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (maior que 90º)
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
• Cada lado de um triângulo deve ser menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença entre eles.
RELAÇÃO ENTRE LADOS E ÂNGULOS
• Em um triângulo o maior lado está sempre oposto ao maior ângulo interno e o menor lado, oposto ao menor ângulo interno.
• Isto faz com que os ângulos opostos aos lados congruentes de um triângulo isósceles sejam congruentes. Mostra também que o triângulo equilátero é um polígono regular.
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
• O ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos dois ângulos internos não-adjacentes a ele.
Verde = azul + vermelho
CEVIANAS
• Segmentos de reta que saem dos vértices do triângulo e atingem o lado oposto ou o seu prolongamento.
• As principais cevianas são: Altura, Mediana e Bissetriz Interna.
CEVIANAS
• Altura: Parte do vértice de um triângulo e encontra o lado oposto, formando um ângulo de 90º.
O ponto de encontro das três alturas se chama ORTOCENTRO.
• Ortocentro dentro do triângulo: Acutângulo.
• Ortocentro fora do triângulo: Obtusângulo.
• Ortocentro sobre o vértice: Retângulo.
CEVIANAS
• Mediana: Parte do vértice de um triângulo e encontra o lado oposto, dividindo o lado em duas partes iguais.
O ponto de encontro das três medianas se chama BARICENTRO.
PROPRIEDADE DO BARICENTRO
• O Baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo.
• O Baricentro divide a mediana na proporção 2:1, ou seja, a distância do vértice do triângulo até o baricentro é o dobro da distância do baricentro até o lado.
X
2X
CEVIANAS
• Bissetriz Interna: Parte do vértice de um triângulo e divide o ângulo em duas partes iguais.
O ponto de encontro das três bissetrizes se chama INCENTRO.
PROPRIEDADE DO INCENTRO
• O Incentro é o centro da circunferência inscrita, que é a circunferência escrita “por dentro” do triângulo, tocando todos os lados dele.
• Por isso, o Incentro é o ponto equidistante aos três lados do triângulo.
MEDIATRIZ
• É a reta perpendicular ao lado do triângulo e que passa pelo seu ponto médio.
O ponto de encontro das três mediatrizes se chama CIRCUNCENTRO.
PROPRIEDADE DO CIRCUNCENTRO
• O Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita, que é a circunferência escrita “por fora” do triângulo, tocando todos os vértice dele.
• Por isso, o Circuncentro é o ponto equidistante aos três vértices do triângulo.
PROPRIEDADE DO TRIÂNGULO ISÓSCELES
• No triângulo isósceles, o mesmo segmento que sai do vértice e encontra o lado não congruente é bissetriz, mediana, altura e mediatriz.
PROPRIEDADE DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
• Quando o triângulo é equilátero, todos os lados tem bissetriz, mediana, altura e mediatriz coincidentes.
• O ponto de encontro desses três segmentos é chamado CENTRO.