UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

MASTER RAD

Trinomni model cena opcija

Student: Mentor: Marija Milovanović dr Miljana Jovanović br. indeksa: 11

Niš, januar 2013.

1

Sadržaj

Uvod ...........................................................................................................................................3

Uvodni pojmovi ..........................................................................................................................5

1.1 Finansijski derivati ...........................................................................................................5

1.2 Portfolio hartija od vrednosti .........................................................................................11

1.3 Binomni model cena opcija ............................................................................................16

1.3.1 Binomni model cena evropskih opcija ...................................................................18

1.3.2 Binomni model cena američkih opcija ...................................................................20

1.4 Geometrijsko Braunovo kretanje ...................................................................................21

1.5 Izbor parametara binomnog modela u zavisnosti od volatilnosti ................................23

Trinomni model cena opcija .....................................................................................................26

2.1 Trinomno stablo cena aktive ..........................................................................................26

2.2 Rekombinacija trinomnog stabla sa promenljivom volatilnošću .....................................31

2.3 Modeliranje cena opcija u trinomnom modelu ..............................................................34

2.3.1 Trinomni model cena evropskih opcija ..................................................................35

2.3.2 Trinomni model cena opcija čija aktiva obezbeđuje neprekidan prinos dividende .43

2.3.3 Trinomni model cena opcija čija je aktiva fjučers ..................................................45

2.3.4 Trinomni model cena američkih opcija ..................................................................47

2.4 Parametri zaštite portfolija od rizika ..............................................................................49

Realne opcije ............................................................................................................................52

3.1 Pojam i vrste realnih opcija ............................................................................................52

3.1.1 Opcije za odlaganje projekta .................................................................................54

3.1.2 Opcije za proširenje projekta ................................................................................55

2

3.1.3 Opcije za napuštanje projekta ...............................................................................56

3.2 Primeri...........................................................................................................................57

Zaključak...................................................................................................................................63

Literatura ..................................................................................................................................64

Biografija ..................................................................................................................................66

Uvod

3

Uvod

Finansijskо tržište je tokom godina postajalo sve rizičnije. Kamatne stope su se učestalije

menjale, dok su tržišta akcija i obveznica povremeno bila veoma nestabilna. Zbog toga su

menadžeri finansijskih institucija počeli da vode više računa o smanjenju rizika s kojim su se te

institucije suočavale.

Zainteresovanost za smanjenje rizika dovela je do pojave finansijskih inovacija, tj. do

pojave novih finansijskih instrumenata koji finansijskim institucijama i njihovim menadžerima

pomažu da bolje upravljaju rizicima koji nastaju usled nepredvidivosti u kretanju njihovih cena.

Ti instrumenti nazivaju se finansijski derivati. Najvažniji finansijski derivati koje menadzeri

koriste radi smanjenja rizika su: forvardi, fjučersi i opcije.

Tema ovog rada je trinomni model cena opcija. Sam rad sastoji se iz tri celine.

Prva glava predstavlja uvodni deo posvećen finansijskim derivatima sa akcentom na

opcije. Najpoznatiji model za modeliranje cena opcija je binomni model Cox-Ross-Rubinsteina-a,

koji je opisan u ovoj glavi. Ovaj model pretpostavlja da cena aktive može u svakom trenutku da

raste ili pada sa određenim verovatnoćama. Primenom programskog paketa Mathematica

predstavljeno je binomno drvo cena aktive.

Trinomni model predstavlja napredniji model u odnosu na binomni, jer pretpostavlja da

cena aktive opcije može da u svakom periodu raste, pada ili ostaje ista sa određenim

verovatnoćama. Ovaj model proučavan je u drugoj glavi ovog rada. Modele za izračunavanje

cena opcija dali su mnogi naučnici, a neki od tih modela prikazani su u ovom radu. Primenom

programskog paketa Mathematica predstavljeno je trinomno drvo cena aktive. Takođe,

pomoću ovog programskog paketa prikazano je izračunavanje arbitražnih cena evropskih i

američkih opcija.

Uvod

4

Ideja za modeliranje cena finansijskih derivata pomoću trinomnog modela se može proširiti na prilike za investiranje kapitala u realne instrumente kao što su zemlja, zgrade, biljke i oprema. Poslednja glava posvećena je upravo realnim opcijama. Najpoznatiji metod koji primenjuju investitori za donošenje odluke o investiranju u neki projekat je metod neto sadašnje vrednosti koji je opisan u ovoj glavi. Posebno zahvaljujem mentoru, prof. dr Miljani Jovanović, na podršci i pomoći pri izradi

ovog rada.

Uvodni pojmovi

5

Glava 1

Uvodni pojmovi

Ova glava posvećena je finansijskim derivatima sa akcentom na opcije, vrste opcija,

svojstva opcija, faktore koji utiču na vrednost opcija. Osnovni model za modeliranje slučajnog

kretanja cene aktive i cene opcije je binomni model Cox-Ross-Rubinstein-a, koji će biti opisan u

ovoj glavi. Primenom programskog paketa Mathematica biće predstavljeno binomno stablo

vrednosti cena aktive i opcije u binomnom modelu.

1.1 Finansijski derivati

Finansijski instrumenti predstavljaju predmet trgovanja na finansijskim tržištima i mogu

biti primarni ili sekundarni. U primarne finansijske instrumente spadaju bankovni računi,

obveznice i akcije. Sekundarni finansijski instrumenti ili finansijski derivati su hartije od

vrednosti koje kao aktivu najčešće imaju primarne hartije od vrednosti. U sekundarne

finansijske instrumente spadaju forvardi, fjučersi, opcije, svopovi, itd.

Forvard (forward) je ugovor između dve strane, kojim se određuju cena i količina robe

koja će biti isporučena i plaćena u budućnosti. Usavršena verzija ovog ugovora naziva se fjučers

(futures). Dok su kod forvarda cena, kvalitet, količina i rok isporuke stvar dogovora između

prodavca i kupca, kod fjučersa su svi elementi ugovora, osim cene, standardizovani, a cena se

određuje putem javne aukcije na berzi. Postoji više vrsta fjučersa, među kojima su robni,

Uvodni pojmovi

6

valutni, kamatonosni i indeksni fjučersi. Vrsta tržišnog materijala kojim se trguje određuje da li

je fjučers robni ili finansijski. To znači da robni fjučersi kao aktivu imaju robu, dok su finansijski

fjučersi zasnovani na nekom od postojećih finansijskih instrumenata. Tržišta finansijskih fjučersa

su počela da se razvijaju sredinom 1970-tih godina i znatno su se proširila ranih 1980-tih godina

sa rastom promenljivosti kamatnih stopa. Prvi fjučers ugovori su bili vezani za hartije od

vrednosti koje je emitovala država. Posle toga se razvila čitava paleta finansijskih fjučers

ugovora, od fjučers ugovora na međubankarska sredstva i druge instrumente novčanog tržišta

do fjučersa na indekse akcija. Danas su finansijski fjučersi među najatraktivnijim i najtraženijim

fjučersima.

Do nagle ekspanzije finansijskog tržišta dolazi 70-tih godina XX veka uvođenjem nove

vrste finansijskih derivata – opcija, koje se od fjučersa razlikuju po tome što ova vrsta ugovora

za vlasnika ne predstavlja obavezu već pravo da određenog dana po određenoj ceni kupi ili

proda predmet ugovora.

Opcije su kao finansijski instrumenti poznate više od jednog veka. Naučnik Bachelier je u

svojoj doktorskoj disertaciji “Teorija špekulacije” 1900. godine dao prvu matematičku analizu

cene opcija i obrazložio svrsishodnost investiranja u opcije. Bez obzira na to, opcije su se počele

organizovano prodavati tek 1973. godine.

Opcija predstavlja ugovor koji vlasniku (holder) opcije daje pravo, ali ne i obavezu, da

određenog dana (datum dospeća – exercise date) kupi, odnosno proda, aktivu (underlying

asset) opcije po ugovorenoj ceni (exercise price – strike price).

Dakle, osnovni elementi koje opcijski ugovor mora da sadrži su:

1) da li se radi o pravu kupovine ili prodaje vlasnika opcije;

2) količina i vrsta aktive;

3) ugovorena cena;

4) datum dospeća;

5) način izvršenja u smislu da li se mora predati aktiva ili se može izvršiti isplata u

gotovini;

6) premija.

Prema pravu koje ostvaruju postoje dve vrste opcija: kupovne (call) i prodajne (put).

Prema vremenu kada se mogu realizovati, opcije se mogu podeliti na evropske i američke.

Evropske opcije se mogu realizovati samo na datum dospeća, dok se američke opcije mogu

realizovati u bilo kom trenutku do datuma dospeća zaključno sa tim datumom. Kupovna opcija

vlasniku daje pravo, ali ga ne obavezuje, da kupi aktivu opcije po ugovorenoj ceni na datum

dospeća opcije (kod evropske opcije) ili i pre datuma dospeća opcije (kod američke opcije).

Prodajna opcija vlasniku opcije daje pravo, ali ga ne obavezuje, da proda aktivu opcije po

ugovorenoj ceni na datum dospeća opcije (kod evropske opcije) ili i pre datuma dospeća opcije

(kod američke opcije). S druge strane, prodavac opcije je u obavezi da ispoštuje dati opcijski

Uvodni pojmovi

7

ugovor ukoliko vlasnik opcije to zatraži od njega. Za vlasnika opcije se kaže da zauzima dugu

poziciju u opciji, dok se za prodavca opcije kaže da zauzima kratku poziciju u opciji.

Opcije se mogu podeliti i na:

1) opcije kojima se trguje na berzi:

opcije na akcije

robne opcije

opcije na obveznice

indeksne opcije

opcije na fjučerse

2) vanberzanske opcije:

opcije kamatne stope

opcije unakrsnih kurseva deviza

opcije na svopove

3) opcije na hartije od vrednosti za zaposlene.

Još jedna podela opcija je na:

1) vanila opcije:

evropske opcije

američke opcije

2) opcije sa ne-vanila načinom realizacije:

bermudske opcije

kanarske opcije

opcije sa maksimalnom kamatnom stopom

složene opcije (opcije na opciju)

opcije sa objavom

sving opcije

3) egzotične opcije sa standardnim načinom realizacije:

unakrsne opcije

kvanto opcije

opcije za razmenu

opcije na korpu

dugine opcije

4) egzotične opcije sa ne-vanila načinom realizacije:

opcije po istorijskoj ceni

azijske opcije

ruske opcije

izraelske opcije

Uvodni pojmovi

8

kumulativne pariske opcije

standardne pariske opcije

ograničene opcije

dvostruko ograničene opcije

kumulativne pariske ograničene opcije

standardne pariske ograničene opcije

reopcije (ponovljene opcije)

binarne opcije

izborne opcije

forvard start opcije

grupne (kliket) opcije.

Kako opcijski ugovor podrazumeva pravo za vlasnika opcije, dok za prodavca

podrazumeva obavezu, on mora imati neku vrednost. Dakle, kupac opcije plaća prodavcu pravo,

a prodavac dobija naknadu za preuzimanje obaveze za ispunjenje tog ugovora. Ta suma se

naziva premija. Potrebno je odrediti premiju kao i vrednost opcije u svakom trenutku do

datuma dospeća. Ta vrednost se naziva arbitražna cena opcije.

Neka je vrednost evropske kupovne opcije za aktivu vrednosti u trenutku

. Ako je u trenutku , tj. na datum dospeća opcije, cena aktive veća od ugovorene cene

( ), opcija će se realizovati, pa je naplata te opcije jednaka . Ako je na datum

dospeća opcije cena aktive manja od ugovorene cene ( ), opcija se neće realizovati,

pa je naplata te opcije jednaka 0. Dakle, naplata (payoff) kupovne opcije na datum dospeća

opcije predstavlja vrednost opcije u tom trenutku i iznosi

Naplata (payoff) prodavca evropske kupovne opcije iznosi , tj. ili je 0 ili je

negativna. Kako je za kupovinu takvog finansijskog instrumenta plaćena premija , profit

vlasnika opcije jednak je , dok je profit prodavca opcije jednak .

Neka je vrednost evropske prodajne opcije za aktivu vrednosti u trenutku

. Ako je u trenutku cena aktive manja od ugovorene cene ( ), opcija će se

realizovati, pa je naplata te opcije jednaka . Ako je na datum dospeća opcije cena aktive

veća od ugovorene cene ( ), opcija se neće realizovati, pa je naplata te opcije

jednaka 0. Dakle, naplata prodajne opcije na datum dospeća opcije iznosi

Naplata prodavca evropske prodajne opcije je , tj. ili je 0 ili je negativna.

Za kupovinu takvog finansijskog instrumenta plaćena je premija , pa je profit vlasnika opcije

jednak je , dok je profit prodavca opcije jednak .

Trenutna cena aktive na tržištu se naziva spot cena.

Uvodni pojmovi

9

Opcije se prema odnosu spot cene i ugovorene cene mogu podeliti na:

1) opcije sa dobitkom (in-the-money)

2) opcije na istom (at-the-money)

3) opcije sa gubitkom (out-of-the-money).

Berzanski analitičari imaju dva osnovna zadatka pri radu sa opcijama. Prvi zadatak je

izračunati koliko kupac treba da plati prodavcu opcije (tj. koliko iznosi premija), dok se drugi

zadatak sastoji u minimiziranju rizika koji preuzima prodavac opcije.

Na vrednost opcije utiče sledećih šest faktora:

1) spot cena aktive

2) ugovorena cena

3) datum dospeća opcije

4) volatilnost cene aktive

5) važeća kamatna stopa

6) dividende koje se očekuju za vreme trajanja opcije.

U slučaju da se opcija realizuje na datum dospeća, naplata kupovne opcije je jednaka

sumi za koju cena aktive premaši ugovorenu cenu. Dakle, kupovna opcija je vrednija ako cena

aktive raste, a manje vredna ako ugovorena cena raste. Naplata prodajne opcije je jednaka sumi

za koju ugovorena cena premaši cenu aktive. Dakle, prodajna opcija je manje vredna kada cena

aktive raste, a vrednija ako ugovorena cena raste.

Kod američkih opcija kasniji datum dospeća povećava vrednost te opcije, jer postoji više

mogućnosti za njenu realizaciju. Kod opcija evropskog tipa, to, u opštem slučaju, ne važi.

Cena aktive ima osobinu nestalnosti (volatilnosti), tj. menja se na slučajan način u

vremenu. Što je volatilnost veća, to su veći skokovi na grafiku funkcije cene aktive u zavisnosti

od vremena. To utiče na raspodelu cena na dan isteka, a samim tim, i na očekivanu zaradu od

opcije. Volatilnost se može posmatrati kao mera investitorove nesigurnosti u buduće kretanje

cene aktive.

Cena opcije zavisi i od važeće kamatne stope. Kako se premija isplaćuje u trenutku

sklapanja opcijskog ugovora, cena opcije mora odgovarati nivou dobiti koja bi se ostvarila kada

bi se u banku investirala vrednost aktive. Kod kupovnih opcija, kada kamatna stopa raste, tada

raste i vrednost opcije. Kod prodajnih opcija, kada kamatna stopa raste, vrednost opcije će

opadati.

I dividenda koju obezbeđuje aktiva na koju opcija glasi utiče na formiranje cene opcije.

Dividenda koja se isplaćuje za vreme trajanja opcije umanjuje vrednost kupovne opcije, a

povećava vrednost prodajne opcije.

Neka je vrednost američke kupovne, a vrednost američke prodajne opcije za aktivu

vrednosti u trenutku . Primenom arbitražnih argumenata se ne mogu odrediti tačne

Uvodni pojmovi

10

vrednosti ovih opcija već samo donje i gornje granice njihovih arbitražnih cena. S obzirom da

evropska i američka kupovna opcija daju vlasniku pravo na kupovinu aktive po ugovorenoj ceni

, bez obzira šta se dešavalo na tržištu, vrednost tih opcija ne bi smela da premaši , tj.

i . Evropska i američka prodajna opcija daju vlasniku pravo da proda aktivu po

ugovorenoj ceni na datum dospeća, pa bez obzira šta se dešavalo na tržištu, vrednost tih

opcija ne bi smela da premaši ugovorenu cenu , tj. i .

Donja granica cene evropske kupovne opcije u trenutku ima vrednost:

ako opcija glasi na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu

ako opcija glasi na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu

gde je vrednost u trenutku dividendi koje se isplaćuju za vreme trajanja opcije;

ako opcija glasi na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende

.

Donja granica cene evropske prodajne opcije u trenutku ima vrednost:

ako aktiva na koju glasi ne obezbeđuje dividendu

ako aktiva na koju glasi obezbeđuje predvidivu dividendu

gde je vrednost u trenutku dividendi koje se isplaćuju za vreme trajanja opcije;

ako aktiva na koju glasi obezbeđuje neprekidan prinos dividende

Takođe, primenom arbitražnih argumenata se mogu dokazati sledeće osobine američkih

opcija:

američku kupovnu opciju na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu nikada nije optimalno

realizovati pre datuma dospeća;

američka kupovna opcija na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, a koja je dovoljno duboko

na dobitku, ima vrednost kao i odgovarajuća evropska kupovna opcija;

američku prodajnu opciju na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, a koja je dovoljno

duboko na dobitku, optimalno je realizovati pre datuma dospeća.

Neka investitor poseduje jedinicu aktive i neka zauzima dugu poziciju u prodajnoj i

kratku poziciju u kupovnoj evropskoj opciji. Na datum dospeća opcije vrednost ovakvog

portfolija jednaka je ugovorenoj ceni , bez obzira na odnos cene aktive i ugovorene cene. Zbog

toga vrednost ovog portfolija u proizvoljnom trenutku mora biti

Uvodni pojmovi

11

Ovaj odnos između vrednosti aktive i njenih opcija naziva se prodajno-kupovni paritet.

Za opcije na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu, prodajno-kupovni paritet je

Za opcije na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende, prodajno-kupovni

paritet je

Za američke opcije na aktivu koja ne obezbeđuje dividendu, prodajno-kupovni paritet je

Za američke opcije na aktivu koja obezbeđuje predvidivu dividendu, prodajno-kupovni

paritet je

Za opcije na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos dividende, prodajno-kupovni

paritet je

1.2 Portfolio hartija od vrednosti

Da bi se objasnila slučajnost u čijim okvirima funkcioniše tržište hartija od vrednosti, u

okviru diskretnog prostora verovatnoća uvodi se pojam stohastičkog bazisa

sa filtracijom , tj. neopadajućom familijom -polja za koju važi da je

, pri čemu je . Filtracija se, posmatrano u kontekstu

finansijske matematike, naziva potok informacija, a svaki član ovog niza predstavlja skup svih

informacija o finansijskom instrumentu do trenutka n , uključujući i trenutak n , dostupnih svim

učesnicima tržišta.

Neka je integrabilna slučajna promenljiva koja nije merljiva u odnosu na -

polje . Uslovno matematičko očekivanje slučajne promenljive u odnosu na -polje

se definiše kao jedinstvena slučajna promenljiva koja je -merljiva i za

koju važi

Uvodni pojmovi

12

Teorema 1.2.1. (Teorema Radon-Nikodima) Ako su verovatnosne mere i definisane

na merljivom prostoru i ako važi da je 1 , tada postoji jedinstvena slučajna

promenljiva koja je -merljiva i za koju važi:

Egzistencija i jedinstvenost uslovnog matematičkog očekivanja proizilaze upravo iz

teoreme Radon-Nikodima za .

Definicija 1.2.1. Slučajni niz

je martingal (submartingal, supermartingal)

u odnosu na potok informacija ako su slučajne promenljive

-merljive,

i

, pri čemu je sa označeno

matematičko očekivanje u odnosu na verovatnosnu meru .

Neka je sa označeno tržište hartija od vrednosti koje se sastoji od

finansijskog instrumenta i to: bezrizične investicije (bankovni račun, obveznica) i različitih

rizičnih investicija (akcije). Promena vrednosti bankovnog računa opisuje se pozitivnim

stohastičkim nizom , pri čemu je -merljivo za svako . Promena

vrednosti -tog rizičnog finansijskog instrumenta (akcije) opisuje se pozitivnim stohastičkim

nizom

, pri čemu je

-merljivo za svako .

Apsolutni profit -te akcije u trenutku jednak je razlici

. Relativni profit

predstavlja odnos zarađenih i uloženih sredstava. Relativni profit se još naziva i obrt (return).

Obrt bankovnog računa i -te akcije u trenutku jednaki su, respektivno

U tom slučaju, vrednost bankovnog računa i -te akcije u trenutku jednaki su

respektivno, pri čemu su -merljive slučajne promenljive, a -merljive slučajne

promenljive.

Da bi se obezbedilo normalno funkcionisanje finansijskog tržišta, sa svim finansijskim

instrumentima, neophodno je da očekivani obrt akcije ili drugog rizičnog instrumenta bude

jednak bezrizičnoj kamatnoj stopi, u odnosu na verovatnoću neutralnog rizika, tj.

1 Verovatnosna mera je apsolutno neprekidna sa verovatnosnom merom , u oznaci , ako važi:

, .

Uvodni pojmovi

13

Definicija 1.2.2. Portfolio ili tržišna strategija hartija od vrednosti na tržištu je

stohastički niz , gde je

, a i

,

, su -merljive slučajne promenljive za svako .

Slučajna promenljiva predstavlja broj bezrizičnih investicija u sastavu portfolija u

trenutku , dok slučajna promenljiva predstavlja broj pozicija u -toj rizičnoj investiciji u

sastavu portfolija u trenutku .

Definicija 1.2.3. Kapital portfolija hartija od vrednosti je stohastički niz

sa opštim članom

Ako je za vektore

i

sa označen skalarni

proizvod

tada je

Početni kapital portfolija naziva se početna investicija tržišne

strategije .

Primenom formule za izračunavanje stohastičkog diferencijala

dobija se promena kapitala portfolija

Ova formula pokazuje da promena kapitala portfolija zavisi od promena na bankovnom

računu i promena cena akcija, kao i od promena u sastavu portfolija.

Definicija 1.2.4. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako je odgovarajući

kapital u proizvoljnom trenutku

Teorema 1.2.2. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je

Drugim rečima, kod samofinansirajućeg portfolija nema upliva ni ispliva kapitala, već je

moguće samo povećavati broj jednih investicija na račun smanjivanja drugih.

Uvodni pojmovi

14

Pri formiranju portfolija hartija od vrednosti potrebno je redukovati broj finansijskih

instrumenata iz kojih se on sastoji, ili bar uprostiti njihovu strukturu. Jedna od najčešće

primenjivanih metoda je ona kod koje je vrednost bankovnog računa uvek 1. Uporedo sa

tržištem posmatra se tržište , pri čemu je

i za svako , a

, gde je

i

.

Kapital portfolija na tržištu jednak je

Kako je

može se zaključiti na osnovu Teoreme 1.2.2. da je portfolio hartija od vrednosti

samofinansirajući na tržištu ako i samo ako je samofinansirajući na tržištu .

Teorema 1.2.3. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je

Teorema 1.2.4. Na tržištu diskontovani kapital je martingal u odnosu na

filtraciju .

Promena kapitala portfolija na tržištu opisana formulom

predstavlja najjednostavniji slučaj jer ne uključuje dividende. Neka je , gde je

, pri čemu je

, su -merljive slučajne promenljive za svako i

predstavlja ukupnu dividendu koju je ostvarila -ta rizična investicija zaključno sa trenutkom

. Kod samofinansirajućeg portfolija kapital portfolija u trenutku je

dok je promena kapitala portfolija

Definicija 1.2.5. Portfolio je samofinansirajući ako je oblika

Teorema 1.2.5. Portfolio je samofinansirajući ako i samo ako je

Uvodni pojmovi

15

I u ovom slučaju važi da je portfolio samofinansirajući na tržištu ako i samo ako je

samofinansirajući na tržištu.

Teorema 1.2.6. Portfolio hartija od vrednosti je samofinansirajući ako i samo ako je

U prethodnim razmatranjima je pretpostavljeno neograničeno vreme funkcionisanja

tržišta, . Sve definicije i razmatranja se mogu primeniti i ako se ograniči vreme, odnosno

ako se pretpostavi da je .

Osnovna pretpostavka većine matematičkih modela u finansijama je odsustvo arbitraže.

Pod arbitražom se podrazumeva ostvarivanje profita bez ulaganja sopstvenih sredstava, tj. bez

rizika. Svi učesnici na berzi stalno prate eventualne mogućnosti za arbitražu, jer se na taj način

može ostvariti veliki profit. Međutim, zbog brzog protoka informacija brzo dolazi do

izjednačavanja cena, pa se pretpostavlja da ne postoji mogućnost arbitraže.

Definicija 1.2.6. Samofinansirajući portfolio realizuje arbitražnu priliku u trenutku

ako je za početni kapital , kapital u trenutku s.i. nenegativan, tj.

, i

pozitivan sa pozitivnom verovatnoćom .

Neka je klasa svih arbitražnih samofinansirajućih portfolija.

Definicija 1.2.7. Na tržištu ne postoji arbitražna prilika, tj. tržište je bezarbitražno,

ako je .

Ako je na arbitražnom tržištu početni kapital , uporedo sa pozitivnim dobitkom

mora biti i nekog gubitka. Drugim rečima, na bezarbitražnom tržištu svaka

netrivijalna tržišna strategija (tj. ako je onda je

) mora biti rizična,

odnosno istovremeno važi i i

.

Teorema 1.2.6. (Prva fundamentalna teorema cena finansijskih instrumenata) Da bi

tržište bilo bezarbitražno, potrebno je i dovoljno da je stohastički niz

martingal.

Neka je -merljiva funkcija koja predstavlja neku platežnu obavezu u trenutku .

Definicija 1.2.8. Portfolio hartija od vrednosti je odozgo (odozdo) zaštićen od

rizika ako je i

s.i. ( s.i.).

Uvodni pojmovi

16

Definicija 1.2.9. tržište hartija od vrednosti je -savršeno ili savršeno u trenutku

ako je svaka -merljiva platežna obaveza dostižna, tj. reproduktivna. U suprotnom, tržište je

-nesavršeno ili nesavršeno u trenutku .

Dostižnost, tj. reproduktivnost platežne obaveze znači da se za početni kapital može

konstruisati portfolio čiji će kapital u trenutku biti jednak .

Savršenost tržišta je veoma strog uslov koji tržištu nameće velika ograničenja.

Zbog toga, nije neophodno postojanje savršenog tržišta koji zahteva sve -merljive platežne

obaveze, već je dovoljno raditi sa ograničenim platežnim obavezama.

Definicija 1.2.10. tržište hartija od vrednosti je -kompletno, tj. kompletno u

odnosu na trenutak , ako je svaka ograničena -merljiva platežna obaveza dostižna.

1.3 Binomni model cena opcija

Binomni model cena opcija ili model cena Cox-Ross-Rubinstein-a primenjuje se za

modeliranje cena hartija od vrednosti u diskretnom vremenu. Ovaj model, u praksi, za dovoljan

broj koraka predstavlja dobru aproksimaciju neprekidnih modela. Binomni model predstavlja

najjednostavniji model za razumevanje teorije arbitraže i za određivanje cena rizičnih hartija od

vrednosti.

Neka se tržište sastoji od jedne bezrizične investicije i jedne rizične investicije, na

primer akcije, čije su evolucije cena opisane nizovima i , respektivno.

Cene ovih investicija u trenutku , , jednake su

Prilikom konstrukcije binomnog modela pretpostavlja se da je niz jednako

raspodeljenih nezavisnih slučajnih promenljivih, pri čemu svaka od slučajnih promenljivih uzima

jednu od dve vrednosti i , gde je .

Binomni model koji se najčešće proučava je onaj za koji je , , gde

je . Ako se posmatra cena akcije u početnom trenutku , u sledećem

trenutku njena cena moze biti ili . Ako se uzme u obzir pretpostavka da vrednosti i

zadovoljavaju uslov , tada promena cene sa na predstavlja pad cene

akcije, dok promena cene sa na predstavlja rast cene akcije.

Slučajnost kretanja cena akcija u binomnom modelu može se modelirati bacanjem

novčića na taj način da ako prilikom bacanja padne glava ( ), tada cena akcije raste, a ako

padne pismo ( ), tada cena akcije pada. Neka je cena akcije posle jednog perioda (u trenutku

Uvodni pojmovi

17

) označena sa ako padne glava, a sa ako padne pismo. U

trenutku cena akcije će biti jednaka jednoj od sledećih vrednosti

Slučajno kretanje cene akcije u binomnom modelu može se grafički prikazati pomoću

binomnog stabla na sledeći način

Uporedo sa evolucijom cene akcije posmatra se i evolucija cene bezrizične investicije, tj.

bankovnog računa. Ukoliko se u početnom trenutku investira u bankovni račun jedna novčana

jedinica valute, čija se vrednost menja po formuli , u trenutku vrednost

bankovnog računa iznosi . U ovom slučaju predstavlja kamatnu stopu koja odgovara

periodu.

Naravno, važi da je

Uvodni pojmovi

18

1.3.1 Binomni model cena evropskih opcija

Neka se posmatra evropska opcija čija je aktiva akcija sa ugovorenom cenom , pri

čemu je datum dospeća opcije , i naplata opcije u trenutku . Prodavac opcije, da bi bio u

mogućnosti da na datum dospeća opcije obezbedi naplatu, u trenutku

zauzima pozicija u akcijama, pri čemu je

Slučajna promenljiva je -merljiva, jer u trenutku prodavac opcije

zauzima pozicija u akciji da bi se zaštitio od rizika koji nastaje zbog promene cene akcije na

tržištu.

Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku jednaka je

,

odakle se može zaključiti da je slučajna promenljiva -merljiva.

Arbitražna vrednost opcije u trenutku iznosi

gde su i verovatnoće rasta i pada cene aktive u odnosu na verovatnoću i za njih važe

sledeće formule

Svaka od vrednosti , naziva se delta opcije i predstavlja broj pozicija

u aktivi koje je potrebno zauzeti za svaku kratku poziciju u opciji u cilju zaštite portfolija od

rizika. Takva zaštita portfolija naziva se delta zaštita portfolija od rizika.

Teorema 1.3.1. U binomnom modelu cena sa perioda postoji jedinstvena

verovatnosna mera neutralnog rizika koja se definise sa

gde je

.

Uvodni pojmovi

19

Binomni model cena opcija čija aktiva obezbeđuje neprekidan prinos

dividende

Neka se razmatra evropska opcija na aktivu koja obezbeđuje neprekidan prinos

dividende , sa ugovorenom cenom i datumom dospeća opcije .

Prodavac opcije u trenutku zauzima pozicija u akcijama,

pri čemu je

Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku je

Arbitražna vrednost opcije u trenutku iznosi

odnosno

pri čemu su verovatnoće rasta i pada cene aktive

U slučaju kada je aktiva opcije strana valuta važi , gde je kamatna stopa zemlje

odakle je strana valuta.

Binomni model cena opcija čija je aktiva fjučers

Neka se razmatra evropska opcija čija aktiva je fjučers sa spot cenom , ugovorenom

cenom i datumom dospeća opcije .

Prodavac opcije u trenutku zauzima pozicija u aktivi, pri

čemu je

Vrednost kapitala portfolija investitora u trenutku 1k je

Uvodni pojmovi

20

Arbitražna vrednost opcije u trenutku k iznosi

pri čemu je

1.3.2 Binomni model cena američkih opcija

Neka se posmatra američka opcija čija je aktiva akcija sa ugovorenom cenom i

datumom dospeća , pri čemu je arbitražna cena opcije u trenutku . Posmatra se slučajni

niz , pri čemu su nenegativne -merljive slučajne promenljive i predstavljaju

naplatu američke opcije u trenutku .

Američke opcije se razlikuju od evropskih opcija po tome što se, osim na datum

dospeća, mogu realizovati i pre tog datuma. Zbog toga se postupak izračunavanja cene

američke opcije razlikuje od postupka izračunavanja cene evropske opcije.

Kretanjem unazad u vremenu, arbitražna cena se dobija diskontovanjem očekivane

vrednosti ako se opcija ne realizuje, a ako se realizuje u trenutku tada je

, tj.

Ukoliko je u nekom trenutku arbitražna cena američke opcije jednaka njenoj naplati,

vlasnik opcije je može realizovati. Međutim, ukoliko ne iskoristi priliku za realizaciju, prodavac

opcije ima mogućnost da sumu

koja je s.i. nenegativna, potroši ili ulozi u banku, a da i dalje ostane zaštićen od rizika.

Da bi se zaštitio od rizika, prodavac američke opcije u svakom trenutku zauzima

pozicija u aktivi opcije, gde je

Vrednost kapitala portfolija u početnom trenutku je , dok se u trenutku

definiše kao

Uvodni pojmovi

21

U trenutku njegov kapital je jednak arbitražnoj ceni opcije, tj. , ,

s.i.

1.4 Geometrijsko Braunovo kretanje

Neka slučajni proces predstavlja evoluciju cene neke hartije od

vrednosti, pri čemu je cena date hartije od vrednosti u trenutku . Za mali vremenski interval

cena hartije od vrednosti se promeni za . Obrt koji se ostvari u datom vremenskom

intervalu zavisi od mere srednjeg rasta hartije od vrednosti, koja predstavlja predvidivu

veličinu, i od volatilnosti cene hartije od vrednosti, koja predstavlja slučajnu (nepredvidivu)

veličinu.

U slučaju jednostavnijih neprekidnih modela, investitor zahteva da mera srednjeg rasta

ne zavisi od cene hartije od vrednosti. Kako kapital investitora zavisi od rizika koji sa sobom nosi

promena cene hartije od vrednosti, a koga se ne može osloboditi diversifikacijom, investitor

zahteva da mera srednjeg rasta bude u skladu sa preuzetim rizikom investiranja. Mera srednjeg

rasta zavisi i od važeće bezrizične kamatne stope – viša kamatna stopa indukuje veću meru

srednjeg rasta zarade od svake hartije od vrednosti.

Volatilnost akcije najčešće iznosi između 20% i 40% i predstavlja vrlo važan parametar za

izračunavanje vrednosti svih hartija od vrednosti.

Ostvareni obrt hartije od vrednosti za dati vremenski period može se predstaviti

sledećom stohastičkom diferencijalnom jednačinom

U članu sadržana je sva slučajnost cene hartije od vrednosti. Slučajni proces

predstavlja jednodimenzionalni standardni Vinerov proces definisan na prostoru

verovatnoća , koji je adaptiran u odnosu na rastuću familiju -polja , tj. za

svako slučajne promenljive su -merljive. S obzirom da za svako fiksirano važi da je

za neku invertibilnu funkciju , očigledno je

, odnosno, potok generisan cenom hartija od vrednosti se poklapa sa prirodnom

filtracijom Vinerovog procesa. To znači da se informaciona struktura ovog modela zasniva samo

na procesu koji opisuje evoluciju cena hartija od vrednosti.

Stohastička diferencijalna jednačina (1.4.1) može se zapisati na sledeći način

pri čemu je početna cena hartije od vrednosti, odnosno u integralnom obliku

Uvodni pojmovi

22

Jednačina (1.4.2) zadovoljava uslove teoreme egzistencije i jedinstvenosti rešenja

stohastičke diferencijalne jednačine, pa postoji jedinstveno rešenje ove

jednačine, pri čemu evolucija cene hartije od vrednosti predstavlja geometrijsko Braunovo

kretanje. Da bi se dobilo rešenje stohastičke diferencijalne jednačine (1.4.2), potrebno je

primeniti formulu Itoa za stohastičko diferenciranje.

Teorema 1.4.1. (Formula Itoa) Neka slučajni proces ima stohastički

diferencijal

i neka je funkcija neprekidna i sa neprekidnim parcijalnim izvodima

. Tada proces ima stohastički diferencijal

(1.4.3)

Primenom formule Itoa (1.4.3) na funkciju dobija se rešenje stohastičke

diferencijalne jednačine (1.4.2) oblika

Da bi se odredila raspodela slučajne promenljive , , potrebno je prvo odrediti

raspodelu za

. Kako ima raspodelu, može se

zaključiti da slučajna promenljiva ima

raspodelu za fiksirano

. Primenom ove činjenice dobija se

Dakle, gustina slučajne promenljive je

pa slučajna promenljiva ima log-normalnu raspodelu , pri čemu je

Uvodni pojmovi

23

1.5 Izbor parametara binomnog modela u zavisnosti od

volatilnosti

Kao što je ranije rečeno, binomnim stablom se predstavlja kretanje cene aktive na koju

glasi opcija. Međutim, potrebno je da se parametri koji određuju kretanje cene aktive, i ,

slažu sa volatilnošću cene aktive, . Naime, teško je u konkretnim slučajevima utvrditi koliki su

parametri uzlaznog i silaznog kretanja cene aktive i , dok je volatilnost parametar koji se

statistički određuje i dostupan je na sajtovima berzi. Pretpostavlja se da je, za mali vremenski

period i određene vrednosti parametara i , volatilnost ista i u realnom slučaju i u

slučaju neutralnog rizika.

Binomni model pretpostavlja da cena aktive opcije može u svakom periodu da raste ili

pada, tj.

1) početna cena aktive može da poraste do vrednosti sa verovatnoćom ,

2) početna cena aktive može da se smanji na vrednost sa verovatnoćom

,

gde su i faktor rasta i faktor pada, respektivno.

Parametri se biraju u skladu sa činjenicom da za mali vremenski interval

binomni model konvergira ka neprekidnom modelu. Na osnovu (1.4.4) i u skladu sa

Lindbergovom centralnom graničnom teoremom, sledeći uslovi su dovoljni za obezbeđivanje

ove konvergencije

1) kretanja cene aktive su nezavisna od nivoa, odnosno cena aktive uvek ima istu raspodelu;

2) očekivanje raspodele cene aktive u binomnom modelu jednako je očekivanju lognormalne

raspodele2

3) disperzija raspodele cene aktive u binomnom modelu jednaka je disperziji lognormalne

raspodele

4) verovatnoće i su pozitivne i nalaze se u intervalu između 0 i 1

2 Na osnovu činjenice da važi (1.2.1), očigledno je .

Uvodni pojmovi

24

5) zbir verovatnoća je 1

Dakle, postoje tri jednačine sa četiri nepoznate . Jednačine (1.5.1), (1.5.2) i

(1.5.4) definišu sve statistički važne osobine diskretnog slučajnog kretanja. Dakle, izbor četvrte

jednačine je prilično proizvoljan. Sve korektno izabrane parametrizacije binomnog modela

konvergiraju istoj teoriji, tj. Black-Scholes-ovoj teoriji, za neprekidan slučaj, sa konstantnom

volatilnošću. Kao rezultat dobija se beskonačan broj binomnih stabala. Ako se sve cene aktive,

koje se nalaze na binomnom stablu, pomnože nekom konstantom (umereno malom), koja je

faktor rasta, dobija se binomno stablo koje ima drugačije verovatnoće, ali predstavlja istu

teoriju neprekidnosti. Dobro poznato binomno stablo Cox-Ross-Rubinstein-a (1979) ima osobinu

da svi čvorovi sa istim prostornim indeksom imaju istu vrednost. Binomno stablo Rendlemann-

Bartter-a (1979) ima osobinu da su sve verovatnoće jednake . Takođe, binomno stablo raste

ako je .

Cox, Ross i Rubinstein su postavili četvrtu jednačinu u obliku . Zajedno sa datim

uslovima (1.5.1) – (1.5.4), kada teži nuli, dobija se da važi

Dakle, model Cox-Ross-Rubinstein-a je postao standardan za binomne modele, iako

postoje modeli koji daju tačnija rešenja jednačina (1.5.1) i (1.5.2).

Parametri (1.5.5) koje su izračunali Cox, Ross i Rubinstein zadovoljavaju jednačinu

(1.5.1), a samo aproksimativno zadovoljavaju jednačinu (1.5.2) za dovoljno malo . U slučaju

kada je

jedna od verovatnoća iz (1.5.5) je veća od 1, a druga manja od 0, što

predstavlja najveću zamerku modela Cox-Ross-Rubinstein-a.

Drugi način za određivanje faktora rasta i pada cene aktive opcije je model Rendlemann-

Bartter-a

Uvodni pojmovi

25

Na osnovu (1.5.6) očigledno je da je , pa je narušena osobina centralnosti, tj.

osobina da je vrednost aktive u srednjem čvoru u drugom periodu ista kao u početnom

trenutku. Prednost parametrizacije Rendlemann-Bartter-a je ta da parametri (1.5.6)

zadovoljavaju uslove (1.5.1) - (1.5.4).

Na osnovu prethodno pominjanih binomnih modela može se zaključiti da je standardna

devijacija promene cene aktive za mali vremenski interval približno jednaka . Dakle,

volatilnost se može interpretirati kao procenat standardne devijacije promene cena aktive. Da

bi se primenile metode ocenjivanja pomoću binomnog stabla koristi se činjenica da je

vremenski interval mali. Dakle, umesto primene , može se koristiti precizniji izraz za

standardnu devijaciju promene cene aktive saglasno jednakosti

Binomno stablo može biti konstruisano tako da važi uslov da je . Na taj

način i kada nije toliko malo dobija se model sa faktorima rasta i pada cene aktive, i ,

respektivno, i sa verovatnoćama i

Ovo stablo može biti razmatrano i kao dodatak modela Cox-Ross-Rubinstein-a i kao

dodatak modela Rendlemann-Bartter-a. U tom slučaju su i faktor rasta cene aktive i faktor

pada cene aktive neznatno promenjeni. Kao posledica ovoga javlja se to da središnji red

stabla prati bezrizičnu kamatnu stopu.

Trinomni model cena opcija

26

Glava 2

Trinomni model cena opcija

Trinomni model cena opcija proučavali su mnogi autori. Boyle, Cox, Ross, Rubinstein,

Rendlemann, Bartter samo su neki od naučnika koji su se bavili ovom temom i konstruisali

modele za izračunavanje cena opcija. U ovoj glavi biće predstavljeni različiti izbori parametara

za trinomni model cena opcija, a zatim će biti primenjeni na konkretnim primerima. Primenom

programskog paketa Mathematica biće predstavljeno trinomno stablo vrednosti cena aktive,

kao i izračunavanje arbitražnih vrednosti evropskih i američkih opcija. Poslednji deo ove glave

posvećen je parametrima zaštite portfolija od rizika.

2.1 Trinomno stablo cena aktive

Trinomni model predstavlja napredniji model u odnosu na binomni, jer pretpostavlja da

cena aktive opcije može u svakom periodu da raste, pada, menja se ili ostaje ista sa određenim

verovatnoćama. Faktori rasta, pada, promene ili nepromenjenosti cene aktive označeni su sa ,

i , respektivno. Neka je vrednost aktive opcije u početnom trenutku . Vrednost aktive u

trenutku može da se promeni na jedan od sledeća tri načina:

1) da poraste do vrednosti sa verovatnoćom ,

2) da se promeni na vrednost ili da ostane ista, tj. da je njena vrednost sa verovatnoćom

,

Trinomni model cena opcija

27

3) da se smanji na vrednost sa verovatnoćom .

Kako cena aktive posle prvog perioda može da uzme jednu od vrednosti , i sa

verovatnoćama i , respektivno, zbir tih verovatnoća je jednak 1, pa je

. U trenutku nepoznati parametri modela su: verovatnoće , i , i parametri

i koji određuju vrednosti aktive , i .

Trinomno stablo za jedan period može se konstruisati kao kombinacija binomnog stabla

sa dva perioda. Ovaj način konstrukcije trinomnog stabla se može primeniti na sva standardna

binomna stabla sa konstantnom volatilnošću kao što su binomna stabla u modelima Cox-Ross-

Rubinstein-a, Rendlemann-Bartter-a, itd. Neka se posmatra binomni model Cox-Ross-

Rubinstein-a sa dva perioda dužine . Vrednosti aktive dobijene pomoću binomnog modela

posle dva perioda, odnosno posle vremenskog intervala su istovremeno vrednosti aktive

dobijene pomoću trinomnog modela posle jednog perioda, što je ilustrovano sledećom slikom

Trinomni model cena opcija

28

Na osnovu formula (1.5.5) u binomnom modelu se dobija da su parametri uzlaznog i

silaznog kretanja cene aktive, respektivno

a verovatnoće rasta i pada cene aktive, respektivno

Tada su parametri uzlaznog i silaznog kretanja cene aktive za trinomni model,

respektivno

a verovatnoće kretanja cene aktive su

Dakle, primenom binomnog modela Cox-Ross-Rubinstein-a sa dva perioda dužine ,

dobija se trinomni model sa parametrima

Trinomni model cena opcija

29

Trinomni model se može modelirati polazeći od istih osnovnih pretpostavki i ograničenja

koja su korišćena za binomni model i na osnovu (1.4.4):

1) verovatnoće kretanja cena aktive opcije , i su pozitivne, nalaze se u granicama

između 0 i 1, i zbir tih verovatnoća jednak je 1

2) očekivanje raspodele cene aktive u trinomnom modelu posle jednog perioda jednako je

očekivanju lognormalne raspodele

odnosno

3) disperzija raspodele cene aktive u trinomnom modelu posle jednog perioda jednaka je

disperziji lognormalne raspodele

odakle se, na osnovu (2.1.3), dobija

odnosno

Prvi trinomni model predstavio je Boyle 1986. godine, a 1988. je proširio model na dve

aktive. Na osnovu (2.1.2) – (2.1.4) uz uslov , Boyle je dobio sledeće verovatnoće

kretanja cena aktive

(2.1.5)

Zamenom parametara i iz modela Cox-Ross-Rubinstein-a, odnosno (1.5.5) i

pretpostavke da je , dobija se da neka od verovatnoća iz (2.1.5) neće biti između 0 i 1.

Zbog toga je Boyle predložio korišćenje parametra disperzije za faktor rasta i faktor pada

cene aktive, odnosno

Trinomni model cena opcija

30

Međutim, ova parametrizacija daje negativne verovatnoće kretanja cena aktive za male

vrednosti parametra . Boyle je otkrio da tačnost trinomnog modela sa 5 perioda odgovara

modelu Cox-Ross-Rubinstein-a sa 20 perioda. On je, takođe, dokazao da su najbolji rezultati

postignuti kada je parametar takav, da su verovatnoće kretanja cena aktive približno jednake.

Kamrad (1990) je poboljšao model popravljanjem mogućeg problema negativnih verovatnoća.

Boyle je pronašao optimalno rešenje sistema (2.1.2) – (2.1.4) tako da su verovatnoće

kretanja cena aktive približno jednake, a Tian (1993) kao i Derman, Kani i Chriss (1996) su

dokazali jednakost verovatnoća trinomnog modela. Jedan od izbora parametara trinomnog

modela sa jednakim verovatnoćama kretanja cena aktive je

Konstrukcija trinomnog stabla moguća je i pomoću binomnog modela Rendlemann-

Bartter-a sa dva perioda, analogno kao za model Cox-Ross-Rubinstein-a, pri čemu se dobijaju

sledeći parametri modela

Još jedan način modeliranja cene aktive u trinomnom modelu je ako su zadovoljeni

uslovi

Trinomni model cena opcija

31

Dakle, moguće je konstruisati različite vrste trinomnih stabala u odnosu na uslove (2.1.2)

– (2.1.4).

Trinomni modeli imaju veći broj parametara od binomnih modela, pa cene aktive opcije

imaju veći izbor mogućih pozicija na stablu tokom vremena. Kako trinomni model sadrži šest

parametara, a (2.1.2) – (2.1.4) predstavljaju tri uslova, neophodno je izračunati nepoznatih još

tri parametra. Izborom tih parametara mogu se dobiti različite moguće pozicije cene aktive u

trinomnom stablu.

2.2 Rekombinacija trinomnog stabla sa promenljivom

volatilnošću

Kao što je ranije naglašeno, postoje samo tri jednačine za izračunavanje tri verovatnoće

kretanja cena aktive i tri faktora kretanja cena aktive , pa su neophodne

još tri za određivanje konačnog rešenja. Očigledno je da samo jedan od njih obezbeđuje

rekombinaciju trinomnog stabla i to uslov . Bez rekombinacije broj čvorova

trinomnog stabla u -tom periodu je , dok se rekombinacijom smanjuje na

.

Trinomni model cena opcija

32

Neka se posmatraju jednakosti (2.1.3) i (2.1.4). Tada, u jednakosti (2.1.2) može se

zameniti iz (2.1.3) i (2.1.4). Zatim se mogu izračunati i iz (2.1.3) i zameniti u izraz

(2.1.4). Nakon izvesnih uprošćavanja, jednačine se mogu rešiti tako da daju sledeće izraze za

, i

Pošto uslov obezbeđuje rekombinaciju stabla, Derman (1996) je uz taj uslov

pokazao da cene aktive uzimaju vrednosti

za i neku razumnu vrednost . Nakon ovoga, izborom parametrara koji obezbeđuju

ispunjenje uslova može se konstruisati trinomno stablo.

Ako volatilnost postane približno nula ili tačno nula, verovatno je da će sledeće kretanje

cene aktive na trinomnom stablu biti izvršeno sa verovatnoćom 1 na očekivanu vrednost u

sledećem vremenskom periodu. Na osnovu pretpostavke da je očekivana vrednost aktive u

trinomnom modelu posle jednog perioda jednaka očekivanju lognormalne raspodele, očekivana

vrednost aktive se povećava u skladu sa bezrizičnom kamatnom stopom. Takođe, kako je

, mora biti . Kao rezultat, dobija se da u izrazima (2.2.2) važi da je .

U prethodnim izrazima se može primetiti da figuriše , gde je parametar disperzije

. Potrebno je odrediti približnu vrednost ovog parametra.

Manji parametar disperzije uslovljava manje faktore rasta i pada cena aktive, i . Zbog

toga su vrednosti cena aktive, koje se nalaze u istoj vertikalnoj osi na stablu, tj. u istom nivom,

bliže jedna drugoj. Međutim, kada je vrednost parametra disperzije blizu 1, verovatnoća da će

cena aktive ostati nepromenjena u sledećem trenutku je približno 0. Iz tog razloga, neke

vrednosti aktive na trinomnom stablu se teško postižu, pa se trinomno stablo ponaša slično kao

binomno stablo. Otuda, prednosti trinomnog modela u odnosu na binomni model nestaju, pa se

i tačnost trinomnog modela smanjuje.

Kada se parametar disperzije povećava, povećavaju se i faktori rasta i pada cena aktive

opcije, i , ali su verovatnoće kretanja cena aktive , i takve da svaka vrednost aktive

Trinomni model cena opcija

33

na trinomnom stablu može biti dostignuta. Ukoliko je vrednost parametra disperzije jednaka

, dobija se da su verovatnoće kretanja cena aktive jednake

, kada teži nuli.

Otuda, parametar disperzije se nalazi negde između 1 i . Optimalna vrednost za je

1.12. U tom slučaju, trinomno stablo je gusto i verovatnoće kretanja cena aktive su dovoljno

dobre.

Dakle, za manje verovatnoća da će cena aktive ostati nepromenjena postaje mala. Za

veliko faktori rasta i pada cena aktive u prvom periodu su približno jednaki, pa su verovatnoće

kretanja cena aktive prilično male i sa manjim volatilnostima tokom vremena.

Druga modifikacija je korišćenje tačnije ocene odstupanja date u izrazu (1.5.7) umesto

. Nakon ovih modifikacija, dobijaju se sledeći parametri trinomnog modela

Faktori rasta i pada cena aktive opcije, i , dobijeni na osnovu izraza (2.2.3) i (2.2.4), se

računaju u skladu sa najvećom volatilnošću koja važi za vreme trajanja opcije, tako da je

. Te vrednosti koje se dobijaju za i se koriste za sve vreme trajanja opcije bez

obzira na promenu volatilnosti. Međutim, verovatnoće kretanja cena aktive opcije, dobijene

pomoću izraza (2.2.5), (2.2.6) i (2.2.7) važe samo za vremenski period u kojem je volatilnost

najveća. Verovatnoće kretanja cena aktive u ostalim vremenskim periodima se računaju tako da

(2.1.3) važi za očekivanu vrednost, a (2.1.4) za lokalnu volatilnost.

Na osnovu izraza (2.2.5), (2.2.6) i (2.2.7) za , i , koji važe za vremenski period sa

najvećom volatilnošću, mogu se dobiti verovatnoće kretanja cena aktive opcije ,

i za

neki drugi vremenski period

Trinomni model cena opcija

34

Dakle, dobijena je parametrizacija za konstruisanje rekombinovanog trinomnog stabla sa

promenljivom volatilnošću. Primena tako konstruisanog trinomnog stabla je slična primeni

binomnog stabla. Vrednost opcije se računa tako što se polazi od poslednjeg vremenskog

trenutka, a zatim se kreće unazad kroz trinomno stablo primenom dinamičkog programiranja. U

tom postupku se koriste verovatnoće kretanja cena aktive (2.2.8).

2.3 Modeliranje cena opcija u trinomnom modelu

Postupak izračunavanja arbitražne vrednosti opcije u trinomnom modelu je analogan

kao za binomni model. Međutim tržište sa trinomnim modelom cena, za razliku od onog sa

binomnim, nije kompletno. Pored toga, verovatnoća neutralnog rizika verovatno postoji, ali nije

jedinstvena. To kao posledicu ima da nije moguće kreirati jedinstveni portfolio čija će vrednost

pokriti platežnu obavezu, odnosno, na datum dospeća biti jednak naplati opcije.

U slučaju evropskih opcija, naplata kupovne opcije na datum dospeća je

a prodajne opcije

gde je vrednost aktive opcije u trenutku , a ugovorena cena.

Arbitražna vrednost opcije se određuje tako što se polazi od datuma dospeća opcije , a

zatim se kreće unazad kroz trinomno stablo primenom dinamičkog programiranja. Na taj način,

dobija se da je vrednost evropske opcije na aktivu koja ne obezbeđuje nikakav dobitak u

trenutku

gde su , i vrednosti opcije u trenutku ako je cena aktive opcije između trenutaka

i porasla, ostala nepromenjena ili pala, respektivno, dok je neprekidna kamatna stopa.

U slučaju američkih opcija, naplata kupovne opcije na datum dospeća je

dok je za prodajne opcije

Potpuno analogno binomnom modelu, primenom dinamičkog programiranja, dobija se

da je vrednost američke opcije u trenutku jednaka

Trinomni model cena opcija

35

gde je naplata opcije u trenutku .

2.3.1 Trinomni model cena evropskih opcija

Primer: Neka je cena aktive opcije 32 USD, a volatilnost cene aktive 9%. Ako je kamatna

stopa 0.8% godišnje, nacrtati trinomno stablo cena aktive za dva perioda. Odrediti vrednost

jednogodišnje evropske kupovne opcije sa ugovorenom cenom 34 USD.

Može se zaključiti da je

Ovaj zadatak moguće je rešiti primenom različitih trinomnih modela.

I model:

Primenom formula (2.1.1) dobija se

Pomoću programskog paketa Mathematica i njegovog potpaketa Finance, jednostavno

se izračunavaju buduće vrednosti cena aktive posle jednog i dva perioda, primenom koda

Trinomni model cena opcija

36

Sledeći kod kreira demonstraciju koja je korišćena za dobijanje trinomnog stabla koje

odgovara vrednostima cene aktive

Arbitražne cene opcije nakon jedne godine, tj. u trenutku , su

Trinomni model cena opcija

37

Arbitražne cene opcije u trenutku su

Premija ove opcije jednaka je

Izračunavanje arbitražnih vrednosti opcije može se izvršiti u programskom paketu

Mathematica primenom koda

Trinomni model cena opcija

38

Trinomno stablo arbitražnih cena opcije je oblika

Arbitražne cene evropskih prodajnih opcija se mogu dobiti analogno kupovnim. U

slučaju kada su poznate arbitražne cene evropskih kupovnih opcija jednostavnije je primeniti

prodajno-kupovni paritet (1.1.1). U tom slučaju, dodatkom sledećeg koda mogu se dobiti

arbitražne cene prodajnih opcija

Trinomni model cena opcija

39

II model:

Na osnovu formula (2.1.7) dobija se

Primenom koda sličnog kao u slučaju I modela dobijaju se sledeće vrednosti cene aktive

Trinomno stablo cena aktive je

Trinomni model cena opcija

40

Arbitražne cene opcije se dobijaju malom korekcijom koda koji je korišćen kod I modela

(umesto izračunavanja verovatnoća i , zadati

), tako da se

dobijaju sledeće vrednosti

Trinomno stablo arbitražnih cena opcija je oblika

III model:

Na osnovu formula (2.1.8) dobija se

,

Trinomni model cena opcija

41

Kako su vrednosti parametara i iste kao za I model, dobija se isto trinomno stablo

cena aktive za dva perioda.

Arbitražne cene opcije se dobijaju korekcijom koda korišćenog kod I modela. Potrebno

je zameniti izraze za izračunavanje verovatnoća i vrednostima

. Dobijaju se sledeće arbitražne cene opcije

IV model:

Primenom formula (2.1.9) dobija se

Trinomni model cena opcija

42

Primenom odgovarajućeg koda u programskom paketu Mathematica, dobijaju se

sledeće vrednosti cene aktive

dok je trinomno stablo cena aktive

Arbitražne cene opcije dobijaju se slično kao kod II i III modela i jednake su

Trinomno stablo arbitražnih cena opcije je

Trinomni model cena opcija

43

2.3.2 Trinomni model cena opcija čija aktiva obezbeđuje neprekidan

prinos dividende

Primer: Neka je vrednost aktive evropske kupovne jednogodišnje opcije 32 USD, i neka

aktiva obezbeđuje neprekidan prinos dividende 5% godišnje. Ako je bezrizična kamatna stopa

0.8% godišnje, volatilnost aktive 9% godišnje, nacrtati trinomno stablo za dva perioda i

izračunati premiju date opcije ako je ugovorena cena opcije 34 USD.

Može se zaključiti da je

Na osnovu formula (2.1.1) dobija se

Trinomni model cena opcija

44

Kako su vrednosti i vrednosti parametara i iste kao u prethodnom

primeru za I model, dobija se isto trinomno stablo cena aktive za dva perioda.

Arbitražne vrednosti opcije se dobijaju korekcijom koda primenjenog u prethodnom

primeru za I model, zamenom izraza za izračunavanje verovatnoća i izrazima

Dobijaju se sledeće arbitražne cene opcije

Trinomno stablo cena opcije je

Trinomni model cena opcija

45

Dodavanjem sledećeg koda koji primenjuje prodajno-kupovni paritet (1.1.2) dobijaju se

arbitražne vrednosti odgovarajuće evropske prodajne opcije

2.3.3 Trinomni model cena opcija čija je aktiva fjučers

Primer: Trenutna fjučersna cena je 32 EUR, bezrizična kamatna stopa je 0.8%. Investitor

se odlučuje za ulaganje u jednogodišnju evropsku prodajnu opciju čija je aktiva ovaj fjučersni

Trinomni model cena opcija

46

ugovor. Ugovorena cena je 34 EUR, a volatilnost 9%. Kolika je vrednost opcije u svakom trenutku

tokom dva šestomesečna perioda?

Može se zaključiti da je

Na osnovu formula (2.1.1) dobija se

Kako su vrednosti i vrednosti parametara i iste kao za I model u

primeru za opciju čija aktiva ne obezbeđuje nikakav dobitak, dobija se isto trinomno stablo cena

aktive za dva perioda.

Arbitražne vrednosti opcije se dobijaju korekcijom koda primenjenog u tom primeru za I

model, zamenom izraza za izračunavanje verovatnoća i izrazima

Dobijaju se sledeće arbitražne cene opcije

Trinomni model cena opcija

47

Trinomno stablo arbitražnih cena opcije je

2.3.4 Trinomni model cena američkih opcija

Primer: Neka je cena aktive opcije 32 USD, a volatilnost cene aktive 9%. Ako je kamatna

stopa 0.8% godišnje, nacrtati trinomno stablo cena aktive za dva perioda. Odrediti vrednost

jednogodišnje američke kupovne opcije sa ugovorenom cenom 34 USD.

Može se zaključiti da je

Primenom formula (2.1.1) dobija se

Trinomni model cena opcija

48

Kako su svi parametri isti kao u primeru za opcije čija aktiva ne obezbeđuje nikakav

dobitak za I model, dobija se isto trinomno stablo cena aktive kao u tom primeru za I model.

Arbitražne vrednosti opcije mogu se dobiti primenom sledećeg koda

Trinomni model cena opcija

49

Trinomno stablo arbitražnih vrednosti opcije je

2.4 Parametri zaštite portfolija od rizika

Finansijske institucije koje prodaju opcije i druge finansijske derivate za svoje klijente

susreću se sa problemom upravljanja rizikom koje sa sobom nosi preuzimanje obaveze

izvršavanja nekog ugovora. Ako je prodata opcija ista kao opcije kojima se trguje na tržištu,

finansijska institucija može neutralisati klijentovo izlaganje riziku kupujući na tržištu opciju istog

tipa kao što je prodata. Ali kada opcija kreirana za potrebe klijenta ne odgovara standardnim

opcijama koje se nude na tržištu hartija od vrednosti, zaštita investitora od izlaganja riziku je

mnogo komplikovanija.

Brzinu promene arbitražne cene opcije u zavisnosti od cene aktive pokazuje parametar

delta ( ). U geometrijskom smislu, delta predstavlja nagib krive kojom se opisuje promena cena

Trinomni model cena opcija

50

finansijskog derivata u odnosu na cenu aktive. Pozicija finansijskog derivata za koji je delta

jednako nuli naziva se delta neutralna pozicija. -zaštita portfolija se realizuje uključivanjem

određenog broja pozicija u aktivi čime se neutrališe izloženost portfolija riziku od promene cene

aktive. Investitorova pozicija ostaje delta neutralna samo za kratak vremenski period, zbog toga

što se delta menja sa promenom cene aktive. Dakle, investitor da bi se zaštitio od rizika,

nastalog usled promene cene aktive, periodično zauzima određeni broj pozicija u aktivi. Koliko

često je potrebno da investitor menja pozicije u aktivi pokazuje parametar gama ( ), koji

predstavlja brzinu promene delta u odnosu na promenu cene aktive. Ako je gama malo po

apsolutnoj vrednosti, delta se sporo menja, pri čemu je relativno retko potrebno rebalansirati

portfolio da bi bio delta neutralan. Ako je gama veliko po apsolutnoj vrednosti, delta je veoma

osetljivo na promenu cene aktive, pa je rizično dopustiti da portfolio ne bude delta neutralan.

Gama, u stvari, predstavlja meru zakrivljenosti krive kojom se opisuje odnos između cene opcije

i cene aktive.

Delta zaštita u trinomnom modelu nije jednostavna kao u binomnom modelu, već je

potrebno da se trinomno stablo razloži na nova stabla.

Najjednostavniji način za izračunavanje parametara delta i gama u trinomnom modelu

jeste promena početne cene opcije za neku malu vrednost i konstruisanje dva nova

trinomna stabla sa početnim cenama aktive i . Međutim, postoji drugi metod

za izračunavanje parametara delta i gama u trinomnom modelu, a to je konstruisanje

trinomnog stabla polazeći jedan period ranije. Ovako prošireno trinomno stablo ima tri čvora u

početnom trenutku, . Očigledno je da je metod proširenja trinomnog stabla mnogo

efikasniji nego metod konstruisanja dva trinomna stabla sa početnim cenama i

, jer se ta dva trinomna stabla gotovo u potpunosti preklapaju sa proširenim trinomnim

stablom.

Parametri zaštite portfolija od rizika delta i gama, predstavljaju prvi i drugi izvod cene

opcije u odnosu na cenu aktive, pa su oblika

Trinomni model cena opcija

51

Na slici su tanjim linijama predstavljeni novi delovi stabla koji se dodaju početnom

stablu. U svakom periodu , , dodaju se po dva nova čvora, a ukupno se na celom

trinomnom stablu dodaju čvora.

Realne opcije

52

Glava 3

Realne opcije

Pored finansijskih opcija, poslednjih godina se na finansijskom tržištu sve više koriste

realne opcije na čije se modeliranje vrednosti može primeniti već poznati trinomni model. Šta

su realne opcije, koje vrste realnih opcija postoje, kako se modelira vrednost realnih opcija,

neka su od pitanja na koja se mogu naći odgovori u ovoj glavi. Metod koji najčešće primenjuju

investitori kako bi doneli pravu odluku o tome da li treba investirati u neki projekat ili ne jeste

metod neto sadašnje vrednosti koji će biti opisan u ovoj glavi. Metod neto sadašnje vrednosti

biće primenjen i na konkretnim primerima. Primenom programskog paketa Mathematica biće

predstavljeno trinomno stablo vrednosti realne opcije.

3.1 Pojam i vrste realnih opcija

Opcije mogu biti realne i finansijske, pri čemu se pod realnim opcijama smatraju opcije

na sredstva koja nisu predmet trgovine, kao što su investicioni projekti, zemljište, zgrade, biljke,

oprema.

Investitori pokušavaju da predvide sebe i svoju organizaciju u budućnosti, kreirajući put

kojim će se kretati u dužem vremenskom periodu. Konkurentnost tržišta naprosto zahteva od

investitora da budu fleksibilni i da primenjuju aktivne upravljačke veštine za razliku od pasivnih

sa kojima su se susretali u prošlosti. Danas se sve više pristupa modelu realnih opcija koje služe

Realne opcije

53

da povećaju vrednost investicionog projekta, a sa druge strane da smanje pojavu rizika. Jedan

od glavnih nedostataka realnih opcija je taj što je njih teško procenjivati, teže i u poređenju sa

finansijskim opcijama.

U stvarnom svetu svaka poslovna odluka suočena je sa neizvesnošću o budućnosti koja

utiče na sadašnju vrednost posmatranog projekta. Otuda investitori, pre nego što donesu bilo

kakvu investicionu odluku, koriste različite pristupe da bi utvrdili da li treba investirati ili ne.

Brojne metode izražavanja efektivnosti investicionih projekata, u zavisnosti od toga da li

uvažavaju vremensku vrednost novca, dele se u dve osnovne grupe: statičke (tradicionalne) i

dinamičke (savremene) metode izražavanja efektivnosti investicionih ulaganja.

Statičke metode za ocenu efektivnosti ulaganja ne uvažavaju vremensku vrednost

novca, tako da po ovim metodama 1 dinar ima istu vrednost bez obzira na to u kom je

vremenskom periodu primljen ili potrošen. Tradicionalne metode investicione analize

zanemaruju investitorsku fleksibilnost, odnosno negiraju mogućnost menjanja starih odluka ako

se promene uslovi. One uzimaju u obzir da projekat treba prihvatiti ukoliko se njegovom

realizacijom ostvaruju viši prinosi od zahtevane stope prinosa. Ograničenje tradicionalne

investicione analize ogleda se u tome što ne razmatra veliki broj alternativa u vezi sa

projektima.

Metod neto sadašnje vrednosti predstavlja jedan od dinamičkih metoda koji se

primenjuju u oceni rentabilnosti investicija i može se reći da on predstavlja jedan od

najznačajnijih metoda iz grupe dinamičkih metoda. Ovaj metod, samim tim što spada u grupu

dinamičkih metoda, uzima u obzir vremensku vrednost novca, što ga čini kvalitetnijim i

primenljivijim metodom u odnosu na metode iz grupe statičkih metoda. Neto sadašnja vrednost

predstavlja sumu sadašnje vrednosti razlike očekivanih novčanih tokova od realizacije projekta i

neto ulaganja u projekat

N

t ttrt

INTeNPV1

,

gde predstavlja neto sadašnju vrednost, novčani tok u trenutku , stopu

diskontovanja, vek trajanja projekta, a ulaganje u trenutku .

Dakle, neto sadašnja vrednost zavisi od izbora stope diskontovanja, veka trajanja

investicionog projekta, iznosa očekivanih novčanih tokova i ulaganja.

Kriterijumi neto sadašnje vrednosti koji izražavaju da li je investicioni projekat prihvatljiv,

odnosno neprihvatljiv, su:

Ako je , odnosno ako je sadašnja vrednost očekivanih novčanih tokova veća od

sadašnje vrednosti ulaganja, tada je projekat prihvatljiv;

Ako je , odnosno ako je sadašnja vrednost očekivanih novčanih tokova manja

od sadašnje vrednosti ulaganja, tada je projekat neprihvatljiv;

Realne opcije

54

Ako je , odnosno ako je sadašnja vrednost očekivanih novčanih tokova jednaka

sadašnjoj vrednosti ulaganja, tada projekat ima marginalni značaj, pa je odnos

indiferentan.

Portfolio realnih opcija kao koncept postoji u cilju bolje analize, ali i potvrde da je i pored

negativne neto sadašnje vrednosti nekada opravdano ulagati u nov projekat. Treba imati u vidu

da je češće potrebno uključiti u razmatranje sve dostupne informacije i vrednosti koje utiču na

vrednost projekta nego tradicionalno tražiti projekte kod kojih je neto sadašnja vrednost

pozitivna.

Glavna prednost realnih opcija je fleksibilnost koju one dodaju investicionim projektima.

Koncept realnih opcija je baziran na nekoliko pretpostavki, a između ostalih naglašava se

racionalnost njihove primene. Zahvaljujući racionalnom pogledu, investitori će u velikom broju

alternativa izabrati onu koja donosi najviše pozitivnih efekata. Racionalni donosioci odluke

svesni su važnosti rizika i njegove adekvatne procene, za razliku od tradicionalnog pogleda koji

podrazumeva da je tržište stabilno, da je konkurencija savršena i da učesnici ne moraju da

predviđaju moguće neželjene posledice.

Vrste realnih opcija su:

opcije za odlaganje projekta;

opcije za proširenje (ekspanziju) projekta;

opcije za napuštanje projekta.

3.1.1 Opcije za odlaganje projekta

Za neke investicione projekte postoji opcija čekanja, što znači da se projekat ne mora

realizovati odmah. Čekanjem kompanija može da dobije nove informacije o stanju na tržištu,

cenama i troškovima i samim tim ima veće šanse za uspeh. Očekivani novčani tokovi i diskontne

stope se menjaju tokom vremena, prema tome menja se i neto sadašnja vrednost, što znači da

projekat koji na početku ima negativnu neto sadašnju vrednost može u budućnosti, ako

kompanija bude dovoljno čekala, imati pozitivnu neto sadašnju vrednost.

Neka je sa označena očekivana sadašnja vrednost novčanih tokova, a sa sadašnja

vrednost ulaganja u projekat. Dakle, biće . Kao što je rečeno, projekat je

prihvatljiv kada je , odnosno , a neprihvatljiv kada je , odnosno .

Ako projekat ne bude prihvaćen, izgubiće se ono što je prvobitno bilo uloženo u projekat. Ova

relacija može se predstaviti kao naplata novčanih tokova. Očigledno je da opcija za odlaganje

projekta ima osobine evropske kupovne opcije čija je aktiva projekat, spot cena aktive je

početno ulaganje koje treba izvršiti da bi se projekat realizovao, dok vek trajanja opcije

predstavlja vreme tokom koga kompanija ima pravo na projekat.

Realne opcije

55

Ne treba zaboraviti da odlaganje realizacije projekta nakon što njegova postane

pozitivna uključuje određene troškove. Tokom vremena pravo na realizaciju projekta ističe, a

javljaju se i konkurenti, stoga svaka godina odlaganja predstavlja godinu manje za kreiranje

novčanih tokova koji povećavaju . Pod pretpostavkom da su novčani tokovi ravnomerno

raspoređeni tokom vremena i da je vek projekta godina, troškovi odlaganja se mogu iskazati

kao

godišnji troškovi odlaganja =

.

Opcija o odlaganju projekta može biti odlično sredstvo za upravljanje projektima, ali

prilikom utvrđivanja njene vrednosti javljaju se određeni problemi kao što su otežano

utvrđivanje vrednosti projekta i odstupanja usled činjenice da se projektom kao osnovnim

sredstvom ne trguje na tržištu. Takođe, često se dešava da ne postoji utvrđen period tokom

koga kompanija ima pravo da realizuje projekat što može stvoriti zabunu i poteškoće u

budućnosti.

Dakle, suština opcije da se odloži projekat jeste da, iako projekat ima negativnu neto

sadašnju vrednost, projekat predstavlja opciju čija vrednost nije zanemarljiva. Investitori na ovaj

način ne zanemaruju projekte koji u budućnosti mogu biti veoma značajni.

3.1.2 Opcije za proširenje projekta

Opcija da se pristupi proširenju projekta postoji onda kada kompanija realizuje

određene projekte kako bi u budućnosti mogla da ulaže u druge projekte ili uđe na druga

tržišta. Inicijalni projekti bi se tada posmatrali kao opcije koje omogućavaju kompaniji da

realizuje druge projekte, zbog čega je kompanija spremna da plati ovakve opcije. Kompanija će

prihvatiti projekat koji ima negativnu neto sadašnju vrednost kako bi u narednom periodu

mogla da realizuje projekte sa pozitivnim neto sadašnjim vrednostima. Uslov ostvarenja ove

mogućnosti je ulaganje u inicijalni projekat. Uz to, opcija o ekspanziji ima veću vrednost

prilikom ulaganja u nestabilnije delatnosti sa višim prinosom na projekte. Ovde se govori o

delatnostima kao što su računarski softveri, biotehnologija i druge inovativne grane, dok

stabilne delatnosti poput automobilske industrije karakteriše niži prinos na projekte.

Bitno je napomenuti da će kompanija koristiti opciju i ući na novo tržište onda kada je

sadašnja vrednost očekivanih novčanih tokova viša od troškova ulaska na tržište ili realizacije

projekta.

Kao i opcija za odlaganje projekta, i opcija za proširenje projekta ima karakteristike

evropske kupovne opcije.

Realne opcije

56

U kontekstu opcija za ekspanziju mogu se posmatrati projekti kao što su ulazak na novo

tržište kroz akviziciju, uvođenje nove tehnologije, kao i kupovina određenog preduzeća po višoj

ceni zbog njegovog zvučnog imena na tržištu.

Kada se donosi odluka o investiranju ili ulasku u nov posao, kompanije ponekad imaju

opciju da definišu faze kroz koje će se to i ostvariti. Ovakav pristup smanjuje neizvesnost i

omogućava analizu u svakoj fazi. Drugim rečima, standardni projekat može da se definiše kroz

seriju opcija pri čemu će svaka naredna opcija biti nezavisna od prethodne. Ovakav način

razmišljanja je opravdan uzimajući u obzir da neki projekti na samom početku nisu dovoljno

atraktivni, tj. da se njihova ukupna vrednost povećava kroz investiranje u fazama. Sa druge

strane, projekti za koje se smatra da su vrlo uspešni mogu se sprovoditi u fazama i postati još

uspešniji.

Problemi koji se mogu javiti kod primene ovakvog načina ekspanzije u fazama su pojava

konkurencije u nekoj od faza, kao i nemogućnost tačne procene ukupnih troškova.

3.1.3 Opcije za napuštanje projekta

U situaciji kada novčani tokovi od realizacije projekta nisu dovoljni, odnosno nisu

približno jednaki očekivanim, opravdano je da se opcija o napuštanju projekta izvrši.

Neka je preostala vrednost projekta do kraja trajanja opcije ako bi se realizacija

projekta produžila, a vrednost projekta ako se projekat napusti. Ako je , projekat bi

trebalo da se nastavi, odnosno ne treba realizovati opciju za napuštanje projekta. Ako je ,

trebalo bi realizovati opciju za napuštanje projekta. Dakle, za razliku od prethodna dva slučaja,

opcija za napuštanje projekta ima karakteristike američke prodajne opcije.

Opcija o napuštanju projekta postaje sve atraktivnija kako vreme prolazi, odnosno kako

se skraćuje vek trajanja projekta. Takođe, smanjuje se sadašnja vrednost preostalih novčanih

tokova, pa bi stoga bilo opravdano izvršiti ovu vrstu opcije.

U teoriji je relativno lako doneti odluku jer se uglavnom posmatra idealan slučaj gde je

vrednost napuštanja jasno utvrđena, ali u realnosti je stvar sasvim drugačija. Karakteristike i

vrednosti koje se posmatraju mogu se menjati tokom trajanja veka projekta, što otežava analizu

i primenu koncepta realnih opcija, a samim tim i donošenje pravilne odluke. Međutim, često se

dešava da napuštanje projekta izazove nastanak troškova, ali činjenica je da ova vrsta opcija

daje fleksibilnost pri realizaciji projekta ukoliko rezultati ne odgovaraju očekivanjima.

U cilju racionalnijeg korišćenja opcije da se napusti projekat, ugovori koji se sklapaju

mogu biti privremenog karaktera, zaposleni se mogu angažovati na određeno vreme,

infrastruktura i oprema mogu se iznajmiti. Ovakav način organizovanja poslovanja bi čak bio

preporučljiv, međutim uzimajući u obzir da bi izvršenje opcije da se napusti projekat ostavio

negativan utisak na partnere, posebno one koji učestvuju u projektu zajedno sa investitorom o

Realne opcije

57

kome se govori, treba biti oprezan. Takođe, korišćenjem ovakve opcije gubi se lojalnost i

naklonost korisnika ili kupaca što može ostaviti dugoročne posledice.

3.2 Primeri

Primer 3.2.1. Kompanija bi trebalo da odluči da li će uložiti 15 miliona USD za 6 miliona

barela nafte (po 2 miliona barela nafte polugodišnje tokom naredne 1.5 godine). Fiksni troškovi

su 4 miliona USD polugodišnje, a varijabilni troškovi su 17 USD po barelu nafte polugodišnje.

Neka je bezrizična kamatna stopa 8% godišnje, volatilnost cene nafte 10%, a početna cena nafte

je 20 USD po barelu.

Dati su sledeći podaci

Primenom formula (2.1.1) dobijaju se sledeći parametari trinomnog modela

Primenom programskog paketa Mathematica predstavljene su polugodišnje,

jednogodišnje i jednoipogodišnje cene nafte po barelu u obliku trinomnog stabla

Realne opcije

58

Posle jedne i po godine, tj. posle tri perioda, u čvoru bi se na ime vlasništva nad

miliona barela nafte, koja košta USD po barelu, dobilo miliona USD, fiksno

ulaganje iznosi miliona USD, a varijabilno USD po barelu. Dakle, dobija se novčani tok (u

milionima USD)

dok se analogno u čvoru dobija vrednost

a u čvoru

Vrednost projekta u čvoru jednaka je (u milionima USD)

.

Realne opcije

59

Kako se u čvoru dobija da je razlika dobijene vrednosti i troškova miliona USD,

vrednost projekta u čvoru se dobija diskontovanjem očekivane vrednosti projekta u

čvorovima i i ta vrednost je jednaka miliona USD.

U čvoru neto novčani tok je miliona USD, pa je vrednost projekta u čvoru

jednaka miliona USD.

U čvoru neto novčani tok je miliona USD, pa je vrednost projekta u čvoru

jednaka miliona USD.

U čvoru neto novčani tok je miliona USD, pa je vrednost projekta u čvoru

jednaka miliona USD.

Posle drugog perioda, u čvoru se dobija razlika prihoda od nafte i troškova u iznosu od

miliona USD, pa je ukupna vrednost projekta u tom čvoru (u milionima USD)

Analogno se dobijaju vrednosti projekta u čvoru

i u čvoru

odakle se dobija da je vrednost projekta u čvoru jednaka (u milionima USD)

.

U čvoru razlika prihoda od nafte i troškova je miliona USD, pa je ukupna

vrednost projekta miliona USD, tako da je vrednost projekta u čvoru

miliona USD.

U čvoru razlika prihoda od nafte i troškova je miliona USD, pa je ukupna vrednost

projekta miliona USD, odakle se dobija da je vrednost projekta u čvoru

miliona USD.

Posle pola godine, na potpuno isti način, dobijaju se novčani tokovi u zavisnosti od

kretanja cene robe u čvorovima i u iznosima od miliona USD, miliona USD i

miliona USD, pa je ukupna vrednost projekta u tim čvorovima miliona USD, miliona

USD i miliona USD, odakle se dobija da je vrednost projekta u početnom trenutku, tj. u

čvoru , miliona USD.

Kada se uzme u obzir i početno ulaganje od 15 miliona USD, vrednost projekta iznosi

14.73 miliona USD – 15 miliona USD = -0.27 miliona USD.

Dakle, vrednost projekta je negativna pa se, na osnovu iskazanih kriterijuma, može

zaključiti da projekat ne bi trebalo prihvatiti. U ovom slučaju, to znači da kompanija ne bi

trebalo da ulaže novac u ovaj projekat.

Realne opcije

60

Dobijene vrednosti projekta u određenim trenucima predstavljene su u obliku

trinomnog stabla

Opcije za napuštanje projekta

Neka kompanija iz Primera 3.2.1 ima opciju za napuštanje projekta u nekom trenutku,

koja ima osobine američke prodajne opcije sa ugovorenom cenom jednakom nuli. Vrednost

opcije u čvorovima i je jednaka 0, jer je vrednost projekta, bez obzira na kretanje cene

nafte, 0, pa se prodajna opcija ne realizuje zato što je vrednost projekta u tim čvorovima

pozitivna. Vrednost opcije u čvoru je jednaka miliona USD, jer je vrednost projekta u

čvoru miliona USD, a vrednost projekta posle šest meseci 0, bez obzira na kretanje

cene nafte. Vrednost opcije u čvoru je jednaka miliona USD, pa se američka opcija u

čvorovima i može realizovati.

Vraćajući se unazad kroz trinomno stablo, dobija se da je vrednost prodajne opcije za

napuštanje projekta u čvorovima i jednaka (u milionima USD)

Realne opcije

61

respektivno. Odatle se može zaključiti da se opcija za napuštanje projekta može realizovati u

čvorovima i , jer je vrednost projekta u tim čvorovima pozitivna.

U početnom trenutku, u čvoru , vrednost opcije za napuštanje projekta jednaka je (u

milionima USD)

.

Dakle, opcija za napuštanje projekta vredi 0.03 miliona USD, čime se povećava vrednost

projekta sa miliona USD na miliona USD, što znači da ni u ovom slučaju kompanija

ne bi trebalo da ulaže novac u ovaj projekat.

Dobijene vrednosti opcije za napuštanje projekta prikazane su pomoću trinomnog stabla

Opcije za proširenje projekta

Neka kompanija iz Primera 3.2.1 ima opciju za proširenje projekta za 20% i neka su

troškovi proširenja projekta miliona USD. Ova opcija ima osobine američke kupovne opcije sa

ugovorenom cenom od miliona USD.

Realne opcije

62

U čvoru opcija za proširenje projekta ima vrednost jednaku naplati od

miliona USD, pa može biti realizovana. U čvorovima i opcija za proširenje

projekta ima vrednost 0, jer je, na primer, u čvoru , pa nije

optimalno realizovati je.

U čvoru vrednost opcije ako se realizuje je jednaka miliona

USD, što je veće od vrednosti opcije ako se čeka

miliona USD,

pa je optimalno realizovati opciju u tom trenutku.

U čvorovima i nije optimalno realizovati opciju jer ima negativnu naplatu.

U čvoru vrednost opcije ako se realizuje je jednaka miliona

USD, što je veće od vrednosti opcije ako se čeka

miliona USD,

pa je optimalno realizovati opciju u tom trenutku.

Dakle, opcija za proširenje projekta vredi 0.95 miliona USD, pa se vrednost početnog

projekta povećala sa miliona USD na miliona USD. Zapravo, projekat koji je

prethodno imao negativnu vrednost i bio neprivlačan za investitore sada ima pozitivnu

vrednost, pa je povoljno prihvatiti ovakav projekat sa opcijom za proširenje projekta.

Dobijene vrednosti opcije za proširenje projekta prikazane su pomoću trinomnog stabla

Zaključak

63

Zaključak

Rast popularnosti najpoznatijih finansijskih derivata tumači se činjenicom da oni

omogućavaju relativno jeftin način umanjenja i kontrole različitih vrsta rizika. U uslovima

dinamičkog razvoja finansijskih transakcija, finansijske derivate sve više koriste banke,

kompanije, institucionalni investitori, svetske organizacije i vlade.

Dva modela za modeliranje cena opcija opisana u ovom radu, binomni i trinomni, blisko

su povezana. Oba modela se zasnivaju na kreiranju binomnog, odnosno trinomnog, stabla cena

aktive na koju glasi opcija. Stablo, kao vrlo napredna struktura podataka, omogućuje brz upis

podataka na odgovarajuću poziciju, njihovu izmenu ili čitanje iz date strukture. Na osnovu toga,

moguće je razviti aplikacije koje brzo manipulišu velikim brojem podataka o kretanju cena

aktive na finansijskom tržištu i izračunavaju cene opcija, kao i parametre zaštite od rizika, što za

posledicu ima dinamičniju zaštitu portfolija od rizika.

Trinomni model, opisan u ovom radu, se poslednjih godina sve više primenjuje u praksi.

Kao što je već rečeno, ovaj model se može proširiti na realne opcije koje su u današnje vreme

dosta zastupljene na tržištu, što može biti dobar motiv za dalje proučavanje. Takođe, još jedan

motiv za nastavak rada pruža činjenica da se trinomni model može primeniti za izračunavanje

cena barijernih opcija.

Kako je finansijsko tržište sve bogatije tokom vremena, razumno je očekivati i ubrzan

razvoj sve složenijih matematičkih modela koji bi ispratili date promene i koji bi vezu između

teorijskih modela i prakse učinili još boljim.

Literatura

64

Literatura

[1] S.E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I: Binomial Asset Pricing Model, Springer, 2004.

[2] J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall, 2006.

[3] M. Jovanović, Finansijsko modeliranje, autorizovana predavanja, Prirodno-matematički

fakultet, Univerzitet u Nišu, Niš

[4] P. Clifford, O. Zaboronski, Pricing Options Using Trinomial Trees, 2008,

http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/oleg_zaboronski/fm/trinomial_tre

e_2008.pdf

[5] Tero Haahtela, Recombining Trinomial Tree for Real Option Valuation with Changing

Volatility, 14th Annual International Conference on Real Options, Rome, Italy, 16-19 June

2010.

[6] Emanuel Derman, Iraj Kani, Neil Chriss, Implied Trinomial Trees of the Volatility Smile,

Quantitative Strategies Research Notes, 1-21, 1996.

[7] Chris Hebert, Trinomial Trees, 2010,

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=chris%20hebert%2C%20trinomial%20trees%2C

%202010.&source=web&cd=2&sqi=2&ved=0CCYQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww41.home

page.villanova.edu%2Fklaus.volpert%2Fteaching%2Ffinancial_math%2FFall10%2FPresentati

ons%2FTrinomial.pptx&ei=W3_cUM2bOsnNtQaR6YDwCg&usg=AFQjCNH0htHMJcszOLhvyR

ks6lLxPkfSqw&bvm=bv.1355534169,d.Yms

Literatura

65

[8] Stephen Figlewski, Bin Gao, The Adaptive Mesh Model: A New Approach To Efficient

Option Pricing, 338-339, 1999, Journal of Financial Economics 53

[9] Aswath Damodaran, The Promise And Peril Of Real Options, 25-66,

http://kat.ph/aswath-damodaran-the-promise-and-peril-of-real-options-trading-pdf-

t2926337.html

[10] Predrag S. Stanimirović, Gradimir V. Milovanović, Programski paket Mathematica i

primene, Elektronski fakultet u Nišu, Niš, 2002.

[11] V. Đorđević, Primena programskog paketa “Mathematica“ u finansijama, diplomski rad,

Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Niš, 2009.

[12] http://www.wolfram.com

[13] http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTree/

[14] http://www.wolfram.com/solutions/industry/financial-engineering-and-mathematics/

Biografija

66

Biografija

Marija Milovanović je rođena 29.01.1988. godine u Leskovcu. Osnovnu školu „8. oktobar“ u

Vlasotincu završila je 2003. godine kao nosilac Vukove diplome, a zatim upisala Gimnaziju

„Stevan Jakovljević“ u Vlasotincu koju je završila takođe kao nosilac Vukove diplome.

Školske 2007/2008. godine upisala je osnovne akademske studije matematike na Prirodno-

matematičkom fakultetu u Nišu i završila ih u septembru 2010. godine i dobila zvanje

Matematičar. Iste godine upisala je diplomske akademske studije na Prirodno matematičkom

fakultetu u Nišu, smer Primenjena matematika, gde je diplomirala januara 2013. godine.