8/18/2019 Trisna Ankom Yaw Hihi

1/3

Teorema 4.5

 Diberikan ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y= +

  terdefinisi pada daerahD C⊂

dan

0 z a ib= + ε  D.

0

lim ( ) z z 

 f z A iB→

= +

  jika dan hanya jika

( , ) ( , )lim ( , )

 x y a bu x y A

→

=

 dan( , ) ( , )

lim v( , ) x y a b

 x y B→

=

.

Bukti:

Diberikan bilangan0ε   >

  sebarang. Diketahui0lim ( ) z z   f z A iB→

= +

,

 berarti terdapat bilangan0δ   >

  sehingga jika00 | | z z    δ < − <

  berlaku

| ( ) ( ) | f z A iB   ε − + < dengan kata lain terdapat bilangan

0δ   > sehingga

 jika0 || ( , ) (a, b) || x y   δ < − <

  berlaku| ( , ) ( , ) | ( )u x y iv x y A iB   ε + − + <

  atau

| ( , ) A(x, ) | | ( , ) |u x y v x y B   ε − − − <

!adi, untuk bilangan0ε   >

  di atas terdapat bilangan0ε   >

  sehingga

 jika0 || ( , ) (a, b) || x y   δ < − <

 berlaku:

| ( , ) A(x, ) |u x y   ε − <

 dan

| ( , ) |v x y B   ε − <

!adi terbukti bah"a:

0( , ) ( , )lim ( , )

 x y a bu x y A

→

=

 0( , ) ( , )

lim v( , ) x y a b

 x y B→

=

Diberikan bilangan0ε   >

 sebarang

8/18/2019 Trisna Ankom Yaw Hihi

2/3

#arena( , ) ( , )

lim ( , ) x y a b

u x y A→

=

  berarti bilangan terdapat$   0δ    >

  sehingga

 jika$0 || ( , ) (a, b) || x y   δ < − <  berlaku

| ( , ) A | %u x y

  ε − <

. Dengan kata lain,

untuk bilangan0ε   >

  di atas terdapat bilangan$   0δ    >

  sehingga

0 $0 | | z z    δ < − <

  berlaku

| ( , ) A |%

u x y  ε 

− <

.

#arena ( , ) ( , )lim v( , ) x y a b  x y B→ =

  berarti terdapat bilangan%   0δ    >

  sehingga

 jika%0 || ( , ) (a, b) || x y   δ < − <

  berlaku

| v( , ) A |%

 x y  ε 

− <

. Dengan kata lain,

untuk0ε   >

 di atas terdapat bilangan%   0δ    >

 sehingga0 %0 | | z z    δ < − <

 berlaku

| ( , ) |%

u x y B   ε − <

.

Dipilih$ %min& , 'δ δ δ =

 diper(leh jika00 | | z z    δ < − <

 berlaku:

| ( ( )) (A iB) f z    − + )

| ( ( , )) ( (v, )) B) |u x y v y+

| ( ( , )) ( (v, )) B) |u x y v y≤ +

% %

ε ε ε + =

!adi terbukti bah"a0

lim ( ) z z 

 f z A iB→

= +

8/18/2019 Trisna Ankom Yaw Hihi

3/3