Embed Size (px)
DESCRIPTION
osnovni presjeci i tromosti
Citation preview
7.2 GEOMETRIJSKI MOMENTI TROMOSTI (INERCIJE)
RAVNE POVRŠINE
7.2.1 Definicije
U mehanici čvrstih deformabilnih tijela (Nauka o čvrstoći) koriste se sljedeće geometrijske
karakteristike poprečnog presjeka štapa (nosača) površine A, slika 7.15:
a) statički moment površine:
oko osi y: oko osi z:
)(
dA
y AzS , )(
dA
z AyS ,
b) aksijalni moment tromosti:
oko osi y: oko osi z:
)(
2dA
y AzI , )(
2dA
z AyI ,
c) centrifugalni ili devijacijski moment tromosti:
)(
dA
yz AzyI ,
d) polarni moment tromosti:
)(
2dA
p AI , .zyp III
Slika 7.15
e) određivanje predznaka centrifugalnog momenta tromosti pravokutnog trokuta
z1
y1
z S
S
yS
b
h
y
z
z1
y1
z S
S
yS
b
h
y
z
2 2
72yz
b hI ,
2 2
72yz
b hI
y
z
S
y
z
y
z
y
z
y
z
7.2.2 Osnovni teoremi o momentima tromosti
1) Pravilo o zbrajanju momenata tromosti
Ako je ravna površina sastavljena iz više dijelova, njezin je moment tromosti s obzirom na os
koja leži u ravnini površine jednak algebarskoj sumi momenata tromosti njenih sastavnih
dijelova s obzirom na tu istu os, slika 7.16.
...IIIIII IIII
AI
AII
AIII
Slika 7.16
2) Pravilo o paralelnom pomicanju površine
Moment tromosti s obzirom na neku os, neće se promijeniti, ako se cijeli presjek ili pojedini
njegovi dijelovi pomaknu u pravcu paralelno s tom osi, na primjer konst.I y . za sve presjeke
dane na slikama 7.17 , 7.18 i 7.19.
b1
b2
b1
b2
y
h2
b1
b2
b2b1
b1b2/2
b2
b2/2b2
b2- b1
h1
Slika 7.17
y
h
b bb b
Slika 7.18
y
h
b bb b
Slika 7.19
3) Promjena momenta tromosti zbog translacije koordinatnog sustava
(Steinerovo pravilo)
Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom
na neku os jednak je momentu tromosti oko
paralelne težišne osi uvećanom za umnožak
ploštine A presjeka i kvadrata udaljenosti između
tih dviju osi, slika 7.20.
AbII yy 2
1 , AaII zz 2
1
ili obrnuto
AbII yy 2
1 , AaII 2
z1z .
Devijacijski moment tromosti presjeka s
obzirom na dvije međusobno okomite osi jednak
je devijacijskom momentu tromosti tog presjeka s
obzirom na paralelne težišne osi uvećanom za
umnožak ploštine presjeka i razmaka između oba
para paralelnih osi:
AbaII yzzy 11
ili obrnuto:
AbaII zyyz 11 .
Slika 7.20
4) Promjena momenata tromosti zbog rotacije koordinatnog sustava
Ako su poznati momenti tromosti presjeka s
obzirom na osi koordinatnog sustava zyO , mogu
se odrediti momenti tromosti presjeka s obzirom
na osi zarotiranog koordinatnog sustava zyO ,
gdje je kut rotacije, prema formulama, slika
7.21, gdje su koordinate:
sincos zyy ,
cossin zyz ,
2sin2cos22
yz
zyzy
y IIIII
I ,
2sin2cos22
yz
zyzy
z IIIII
I ,
2cos2sin2
yz
zy
yz III
I .
Kod ovih transformacija nepromjenljive
(invarijante) ovisnosti su:
21 IIIIII zyzy ,
21
22 IIIIIIII yzzyyzzy .
Slika 7.21
7.2.3 Glavni momenti tromosti presjeka
Rotacijom osi presjeka za kut O , yI i zI
poprimaju ekstremne vrijednosti kod kojeg je uvjet
ekstrema funkcije 0dd yI , zapravo 0yzI ,
određene su glavne osi presjeka i glavni momenti
tromosti presjeka, slika 7.22.
zy
yz
II
I
22tan o ,
gdje kut O određuje glavnu os 1 presjeka, mjereno
od osi s obzirom na koju je moment tromosti veći po
algebarskoj vrijednosti.
Glavni momenti tromosti presjeka s obzirom na
glavne osi presjeka su:
.0 ,, 122min1max IIIII
2
2
2,122
yz
zyzyI
IIIII
.
Slika 7.22
Ako su poznati glavni momenti tromosti presjeka, tada su momenti tromosti za koordinatne
osi ( zy, ) koje su zarotirane za kut 1 u odnosu na glavne osi (1,2) tromosti presjeka:
2cos22
sincos 21212
2
2
1
IIII
III y
2cos
22cossin 21212
2
2
1
IIII
III z
2sin2
cossin 2121
IIIII yz .
7.2.4 Mohrova kružnica tromosti
Glavni momenti tromosti presjeka
mogu se odrediti grafičkim postupkom u
dijagramu gdje su na apscisi aksijalni
momenti tromosti, a na ordinati
devijacijski momenti tromosti, crtanjem
Mohrove kružnice tromosti čiji je
polumjer
2
2
2yz
zyI
IIr
,
a središte S na osi apscise.
Postupak crtanja Mohrove kružnice
tromosti za grafičko određivanje glavnih
momenata tromosti i glavnih osi tromosti
presjeka, slika 7.23:
z
yP
z y
1
2
o
A
B
C
D
E
F
S
Iy
Iyz
I2
Iz
zI
Iy
I1
I yz
-Iyz
yI
yzI
O
r
Slika 7.23
z
yP
z y
1
2
o
A
B
C
D
E
F
S
Iy
Iyz
I2
Iz
zI
Iy
I1
I yz
-Iyz
yI
yzI
O
r
A
B
Iy
Iyz
Iz
Iy
I yz
-Iyz
O
A
B
S
Iy
Iyz
Iz
Iy
I yz
-Iyz
O
A
B
S
Iy
Iyz
Iz
Iy I y
z
-Iyz
O
A
B
C
D
S
Iy
Iyz
I2
Iz
Iy I1
I yz
-Iyz
O
A
B
C
D
S
Iy
Iy z
I2
Iz
Iy I1
I yz
-Iyz
O
y
z
P
A
B
C
D
S
Iy
Iyz
I2
Iz
Iy I1
I yz
-Iyz
O
P y
z
1
2
A
B
C
D
S
Iy
Iyz
I2
Iz
Iy I1
I yz
-Iyz
O
P y
z
1
2
o
A
B
C
D
S
Iy
Iyz
I2
Iz
Iy I1
I yz
-Iyz
O
y
z
P
z y E
F
zI yI
yzI
odabere se prikladno mjerilo za prikazivanje momenata tromosti dužinama,
crtamo točku A s koordinatama ( yzy ,II ) i točku B s koordinatama ( yzz I,I ),
točke A i B spojimo dužinom koja siječe os apscise u točki S, središtu Mohrove
kružnice
S ,02
y zI I
,
iz središta S crtamo kružnicu polumjera BSASr kroz točke A i B,
kružnica siječe os apscise u točkama C i D, čije koordinate odgovaraju u
izabranom mjerilu glavnim momentima tromosti presjeka 1I i 2I ,
kroz točku A provlačimo pravac paralelan s osi y, a kroz točku B pravac paralelan s
osi z. Sjecište ovih pravaca na kružnici određuje pol P,
pravac kroz pol P i točku C definira glavnu os 1 tromosti presjeka, a pravac kroz
pol P i točku D definira glavnu os 2 tromosti presjeka.
Momente tromosti presjeka za osi zy, zarotirane za kut u odnosu na osi y, z određujemo
na sljedeći način: iz pola P povučemo pravac koji je paralelan s osi y , tj. čini kut s osi y, a
presjecište na Mohrovoj kružnici je točka E yzy II , .Okomit pravac na spojnicu P E iz pola P
određuje os z , a presjecište na kružnici je točka F ),( yzz II , slika 7.23.
Dužine izmjerene u Mohrovoj kružnici pomnožene s mjerilom određuju vrijednosti
pripadajućih momenata tromosti presjeka.
7.2.5 Polumjer tromosti i elipsa tromosti presjeka
Polumjeri tromosti za osi y i z presjeka
definirani su sa formulama:
A
Ii
A
Ii z
z
y
y , , AiIAiI zzyy 22 , ,
a glavni polumjeri tromosti presjeka:
A
Ii
A
Ii 2
21
1 ,
su poluosi elipse tromosti presjeka:
12
2
2
2
1
2
i
z
i
y.
Slijedi moment tromosti oko osi y :
AiI yy 2 .
Slika 7.24
Elipsa tromosti omogućuje brzo određivanje vrijednosti momenta tromosti s obzirom na
neku os y koja je zarotirana za kut prema osi y presjeka, slika 7.24. Povlači se tangenta na
elipsu tromosti paralelno s tom osi i izmjeri se polumjer tromosti yi te se pomnoži s odabranim
mjerilom. Kvadrat ove veličine pomnoži se s iznosom ploštine A površine presjeka, što je
moment tromosti presjeka yI s obzirom na os y .
7.3 MOMENTI OTPORA PRESJEKA
Momenti otpora presjeka definirani su izrazima, slika 7.15:
aksijalni momenti otpora: maxz
IW
y
y , maxy
IW z
z .
Izrazi za momente tromosti i momente otpora karakterističnih presjeka koji se najčešće
koriste kod proračuna u Nauci o čvrstoći, dani su u tablici 7.4.
Tablica 7.4 Momenti tromosti i momenti otpora ravnih presjeka
y
z
h
b
12
3bhI y ,
12
3hbI z ,
6
2bhWy ,
6
2hbWz .
a
y
z
a
y1
z1
12
4aII zy ,
6
3aWW zy ,
12
4
11
aII zy , 3
1112
2aWW zy .
y
z
R
44 5413,016
35RRII zy ,
33 625,08
5RRWy ,
3
16
35RWz .
B
y
z
b
hH
12
33 bhBHI y
,
12
33 hbHBI z
,
H
bhBHWy
6
33 ,
B
hbHBWz
6
33 .
h
b
y
z y2
y1
e
S
36
3bhI y ,
12
3
1
bhI y , ,
48
3hbI z
4
3
2
bhI y ,
,24
2bhWy he
3
2 ,
24
2hbWz .
b1
y
z
e
S
b2
h
21
2
221
2
1
3 4
36 bb
bbbbhI y
,
21
2
221
2
12
2
4
12 bb
bbbbhWy
, .
2
3 21
21
bb
bbhe
d
y
z
64
4dII zy
,
32
4
p
dI
,
,32
3dWW zy
16
3
p
dW
.
y
z
d
D
dms
64
44 dDII zy
, yII 2p ,
,
32
44
D
dDWW zy
yWW 2p
Za tankostijeni presjek: 1
2
m
d
s,
,8
d3
msII zy
4
2
msdWW zy
.
y
z
2b
2a
baI y
3
, 4
3abI z
,
4
2baWy
,
4
2abWz
.
y
z
2b2
2b1
2a
2
2a
1 a
b
s
2
3
21
3
14
babaI y
,
1
2
3
21
3
1
4a
babaWy
,
Za tankostijeni presjek:
4
3a2 sbaI y
,
4
3a sbaWy
.
2r
y
z
e
44 1098,09
8
8rrI y
,
8
4rI z
, 31908,0 rWy , 8
3rWz
,
rr
re
5756,0
3
4
.
R
y
z
e 2e 1
r
rR
rRrRrRI y
2244 283,0)(1098,0 ,
1/1
eIW yy , 2/2
eIW yy
rR
rrRRe
22
13
4
,
12 eRe .
Primjer 7.10
Za ravni presjek zadan prema slici 7.25 treba odrediti položaj
težišta, glavne težišne momente tromosti i skicirati Mohrovu
kružnicu tromosti. Na skici presjeka ucrtati osi glavnih težišnih
momenata tromosti. Zadano: 3 cma .
Rješenje:
Položaj težišta presjeka:
Neka se značajke vezane uz lik trokuta označe indeksima 1, a
značajke vezane uz lik polukruga (koji je izvađen iz trokuta)
označe indeksom 2.
i 2
i cm ,A
cm ,,
Siy cm ,,
Siz cm ,Siy cm ,Siz
1 9,0000 1,0000 2,000 -0,2350 -0,3233
2 -3,5343 0,6366 1,500 -0,5984 -0,8233
Ploština površine presjeka: 2
1 2 9 3,5343 5,4657 cmA A A ,
z’
y’
a
a
a
1
2
O
Slika 7.25
z’
y’
3
3
3 cm
1
2
O
z’
y
S
1
2
o
y’
z
z S a
a
a
yS
1
2
O
z’
y
S
1
2
o
y’
z
z S
yS
1
2
O
,
Si iS
1 9 0,6366 3,53431, 235 cm
5, 4657
y Ay
A
,
,
Si iS
2 9 1,5 3,53432,323 cm
5,4657
z Az
A
.
b) Težišni momenti tromosti presjeka:
(1) (2)
y y yI I I ,
32
42
3 69 0,3233
36
1,5 3,5343 0,8233 ,
yI
p
8
414,557 cmyI ,
8
5,1
12
36 43,
z
I ,
, 4
z 11,512 cmI ,
22
S
, 235,14657,5512,11 yAII zz ,
4
z 3,1756 cmI ,
(1) (2)
yz yz yzI I I ,
2 23 69 0,235 0,3233
72
0 3,5343 0,5984 0,8233 ,
yzI
4cm 5574,5yzI .
c) Glavni težišni momenti tromosti presjeka:
2
2
1,2
2 2
2 2
8,8663 5,6907 5,5574 ,
y z y z
yz
I I I II I
4
1 max 8,8663 7,9542 16,8205 cmI I ,
4
2 min 8,8663 7,9542 0,9121 cmI I .
Kut Oj glavnih osi tromosti presjeka određen je prema izrazu:
9766,0
2
1756,3557,14
)5574,5(
2
2tan o
zy
yz
II
I ,
O 22,16j .
d) Mohrova kružnica tromosti
Kontrola vrijednosti glavnih
težišnih momenata tromosti provodi
se grafički crtanjem Mohrove
kružnice tromosti, slika 7.26.
Očitano: 4
1 cm 17I ,
4
2 cm 8,0I ,
O 22 .
z
y P
1
2
o
A
B
C D S
Iy
Iyz
I2
Iz
I1
I yz
Iy
-Iyz
O
45 cm
Slika 7.26
Primjer 7.11
Za ravni presjek zadan na slici 7.27 treba
odrediti glavne težišne momente tromosti,
pravce i polumjere glavnih težišnih momenata
tromosti presjeka.
Skicirati elipsu tromosti na skici presjeka.
Rješenje:
a) Položaj težišta presjeka:
,62212122
156282121122SiiS
A
yAy
cm, 6,6S y .0S z
b) Glavni težišni momenti tromosti:
z’
yS
1
2
20
zyS
120 mm 20
6020
i1
12
0
i 2
Slika 7.27
2
4333
cm 33212
68
12
212
12
122II y
,
2
32
32
3
4,82612
264,1122
12
1226,5212
12
212zI ,
1
4cm 4,1946 II z .
Ploština površine presjeka: A = 212 + 122 + 26 = 60 cm2.
c) Polumjer elipse tromosti:
cm, 7,560/4,1946/11 AIi cm. 35,260/332/22 AIi
Primjer 7.12
Za ravni presjek zadan na slici 7.28 treba odrediti
položaj težišta, glavne težišne momente tromosti i pravce
glavnih osi tromosti presjeka. Skicirati i kotirati Mohrovu
kružnicu tromosti presjeka.
Rješenje:
Ploštine dijelova presjeka i koordinate njihovih težišta su:
i 2
i cm,A cm ,,
Siy cm ,,
Siz cm ,Siy cm ,Siz
1 27,000 -2,250 6,0 0,505 0,983
2 6,750 -3,000 2,0 -0,245 -3,017
3 -6,283 -0,849 6,0 1,906 0,983
Ploština površine presjeka:
A = 27 + 6,75 - 6,283 = 27,467 cm2.
a) Položaj težišta presjeka:
z’
S
1
2
o
y’
z
yS
z S
2
1
6 c
m3
y
4,5
y”
O’
z S’
1
2
3
Slika 7.28
755,2849,0283,6375,625,227467,27
11 ,
SiiS yAA
y cm,
017,56283,6275,6627467,27
11 ,
SiiS zAA
z cm.
b) Težišni momenti tromosti:
293,2713283,68
2
12
35,4
3
65,4 2433
"
yI cm4,
55,159017,2467,27293,271z 22,
S" AII yy cm4.
31,2448
2
4
5,43
3
5,46 433
'
zI cm4,
86,35755,2467,2731,244 22
S' yAII zz cm4.
15,9983,0906,1283,6017,3245,075,672
5,43983,0505,027
22
yzI cm4.
c) Glavni težišni momenti tromosti presjeka:
,15,9845,61705,972/2
2222
2,1
yzzy
zyIII
III
223,160518,62705,971 I cm4, 187,35518,62705,972 I cm4.
148,0845,61
15,9
2
2tan o
zy
yz
II
I , 42,82 o , 21,4o .
d) Mohrova kružnica tromosti
Očitano:
I1 = 160 cm4,
I2 = 35 cm4,
o = -4o.
z
yP
1
2
oA
B C
D
S
Iy, Iz
Iyz
I2
Iz
I1
I yz
Iy
O
4
crt cm ... cm 1
Slika 7.29
Primjer 7.13
Za presjek nosača zadan prema slici 7.30,
odrediti glavne težišne momente tromosti.
Skicirati elipsu tromosti.
Za profil [NP 240:
A1 = 42,3 cm2, 4
y1 cm 3600I , 248z1 I cm4
e = 2,23 cm.
Rješenje:
a) Položaj težišta presjeka:
21223,42
6212223,23,42SiiS
A
yAy .
Slijedi:
234,4S y cm,
.0S z
b) Glavni težišni momenti tromosti:
2
S222
)1( 2 zAIII yyy
2
3
132412
21223600yI
z’
y
1
2 z
yS
120 mm
20
20
i2
24
0
i 1S
O
A1
A2
e
z1
S1
z2
S2
A2
y2
y1
Slika 7.30
1
4cm 11728 II y
2
S222
2
S111 2 yAIyAII zzz ;
2
32 766,124
12
1222004,23,42248zI ,
58,1143zI cm4 = I2 , o = 0.
c) Glavni težišni polumjeri tromosti (slika 7.30):
cm 4,113,90/11728/11 AIi , cm 56,33,90/58,1143/22 AIi .
Primjer 7.14
Presjek nosača sastavljen je od dva profila
[NP 180 i INP 200, prema slici 7.31.
Treba odrediti:
težište S presjeka,
glavne težišne momente tromosti,
Mohrovu kružnicu tromosti,
glavne polumjere tromosti,
elipsu tromosti na skici presjeka.
Rješenje:
NP 180: A2 = 28 cm2, e = 1,92 cm,
Iy2 = 114 cm4, Iz2 = 1350 cm4.
INP 200: A1 = 33,5 cm2,
Iy1 = 2140 cm4, Iz1 = 117 cm4.
Ploština sastavljenog presjeka:
A = A1 + A2 = 33,5 + 28 = 61,5 cm2
z’
y’
1
2z
yS
S
z S
y
e
O
i 1
i2
A2
A1
S1y1
z1
y2
S2
z2
o
Slika 7.31
a) Položaj težišta presjeka:
cm 451,25,61
5,45,33'SiiS
A
yAy , 493,6
5,61
92,115,33'SiiS
A
zAz cm.
b) Težišni momenti tromosti:
2
S222
2
1S11
(2)(1) zAIzAIIII yyyyy ,
422 cm 1,442146,129465,3126493,628114427,55,332140 yI ,
2
2S22
2
S111
(2)(1) yAIyAIIII zzzzz ,
422 cm 8,17752,15186,257451,2281350049,25,33117 zI ,
S22S2221S1S111
)2()1( zyAIzyAIIII zyzyyzyzyz ,
.cm 16,81864,44552,372493,6451,2280049,2427,55,330 4yzI
c) Glavni težišni momenti tromosti:
2222
2,1 16,81865,132245,30982/2
yzzy
zyIII
III ,
,cm 7,465325,155545,3098 4
1 I
.cm 2,154325,155545,3098 4
2 I
.87,15,74,312,619,065,1322
16,818
2
2tan o
o
oo
zy
yz
II
I
d) Mohrova kružnica tromosti:
Očitano: 4
1 cm 4650I ,
4
2 cm 1550I ,
o = -16.
e) Glavni težišni polumjeri tromosti (slika 7.31)
7,85,61/7,4653/11 AIi cm,
0,55,61/2,1543/22 AIi cm.
z
y
P
1
2
o A
BC
D
S
Iy
Iyz
I2
Iz
I1
I yz
Iy
O
Slika 7.32
Primjer 7.15
Za šuplji kružni presjek (slika 7.33) treba odrediti
aksijalni i polarni moment tromosti, te aksijalni i polarni
moment otpora. Zadano: D = 10 cm, d = 7 cm.
Rješenje:
Omjer 7,010
7
D
dk
a) Ploština površine presjeka:
055,404
7
4
10
44
2222
dD
A cm2.
S
z
y
D
d
Slika 7.33
b) Aksijalni moment tromosti presjeka:
44
4444
7,0164
101
646464
kDdD
II zy,
015,373 zy II cm4.
c) Polarni moment tromosti presjeka:
yIkDdD
I 21323232
4444
p
,
4
p cm 03,746015,3732 I .
d) Aksijalni moment otpora presjeka:
43
y1
32
2
kD
D
IWy
, 603,74yW cm3.
e) Polarni moment otpora:
43
p
p 116
2
kD
D
IW
, 21,149p W cm3 ili yWW 2p .
Primjer 7.16
Za ravni presjek zadan prema slici 7.34 odrediti
aksijalne momente tromosti i aksijalne momente otpora,
ako je zadano t = 5 mm.
Rješenje:
42
33
6560841212
4122
12
122tttt
ttttI y
,
410yI cm4,
4
33
116012
12t4t2
12
212t
ttI z
,
5,72zI cm4.
34
max
65610
6560
10t
t
t
t
I
z
IW
yy
y ,
825,0656 3 yW cm3,
34
max
33,1936
1160
6t
t
t
t
I
y
IW zz
z ,
167,24zW cm3.
y
z
4t
4t
12t
12t
2t
S
Slika 7.34
Primjer 7.17
Poprečni presjek ravnog nosača zadan je na slici 7.35.
Treba odrediti aksijalne momente tromosti i momente
otpora presjeka. Dimenzije na slici dane su u milimetrima.
Rješenje:
Ploština poprečnog presjeka: A = 31 + 16 = 9 cm2.
Položaj težišta presjeka:
167,29
365,03'SiiS
A
zAz cm.
Aksijalni momenti tromosti presjeka:
737213
61
3
13 33
'
yI cm4,
y
z
S
10
10
60
40
z Sz m
ax
y’
O
Slika 7.35
75,30167,2973 22
S' zAII yy cm4, 75,512
15
12
41 33
zI cm4.
Aksijalni momenti otpora presjeka:
022,8833,3
75,30
max
z
IW
y
y cm3, 875,22
75,5
max
y
IW z
z cm3.
Primjer 7.18
Za presjek u obliku četvrtine kruga treba odrediti težišne
momente tromosti te glavne momente tromosti, slika 7.36.
Zadano: R.
Rješenje:
Momenti tromosti obzirom na osi y1z1:
.8
,19635,016
4
11
44
11
RIR
RII zyzy
Težišni momenti tromosti:
4
224
05488,03
4
416R
RRRII zy
, .01647,0 4RI yz
z1
y1
z
2
1
3
4R
3
4R
S
O
y45
Slika 7.36
Glavni momenti tromosti presjeka: 4
max1 07135,0 RII , .0384,0 4
min2 RII
Primjer 7.19
Poprečni presjek nosača zadan je na slici 7.37. Treba
odrediti glavne težišne momente tromosti presjeka.
Iz priručnika za L 50 x 50 x 5 mm:
8,41 A cm2, 14e mm,
1111 zy II cm4, 4,611 zyI cm4.
Rješenje:
Ploština površine presjeka: 2
21 cm 6,291028,422 AAA .
y
z2
1
20
100S
L 50x50x5
o
A2
A1
S1 y1
z1
A1e
e
Slika 7.37
Momenti tromosti presjeka:
23
2
1S11
3
6,38,411212
1022
12
zAI
bhI yy , Iy = 313,083 cm4,
23
2
1S11
3
4,28,411212
2102
12
yAI
hbI zy , Iz = 83,963 cm4,
6,34,28,44,622 1S1S111 zyAII zyyz , Iyz = -95,744 cm4,
4222
2
2,1 cm 301,149523,198744,9556,114523,19822
yz
zyzyI
IIIII ,
,cm 824,347301,149523,198 4
max1 II 4
min2 cm 222,49301,149523,198 II .
Kut pravaca glavnih osi:
83575,056,114
744,95
2
2tan o
zy
yz
II
I ,
o
o 944,19 .
cm, 43,36,29
824,3471max1
A
Iii cm. 29,1
6,29
222,491min2
A
Iii
