Trường điện từ

Lê Quang Nguyên

www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen

nguyenquangle59@yahoo.com

Nội dung

1. Nhắc lại về cảm ứng điện từ

2. Định luật Maxwell-Faraday

3. Định luật Maxwell-Ampère

4. Trường điện từ – Các phương trình Maxwell

1a. Sức điện động cảm ứng

• Khi từ thông qua một vòng dây dẫn thay đổi thì trong vòng dây xuất hiện một sức điện động cảm ứng:

• Từ thông có thể thay đổi do:

• Từ trường thay đổi theo thời gian: dΦ/dt là đạo hàm của Φ theo thời gian.

• Vòng dây chuyển động trong từ trường tĩnh: dΦ/dt là từ thông mà vòng dây quét được trong một đơn vị thời gian.

Φdε

dt=

dx

x

B l

dΦ = Bldx

1b. Định luật Lenz

• Chiều của dòng cảm ứng hay sức điện động cảm ứng được xác định bởi định luật Lenz:

• Dòng cảm ứng có chiều sao cho chiều của từ trường cảm ứng chống lại sự biến đổi từ thông.

N S B B’

i’

1c. Định luật Faraday

• Định luật Faraday xác định cả chiều lẫn độ lớn của sức điện động cảm ứng:

• trong đó chiều dương của từ thông và chiều dương của sức điện động cảm ứng phải liên hệ với nhau theo quy tắc bàn tay phải.

Φdε

dt= −

Φ > 0

ε > 0

Bài tập 1.1

Một thanh dẫn chiều dài l di chuyển với vận tốc không đổi v ra xa một dòng điện thẳng vô hạn, cường độ I. Ở khoảng cách r, sđđ cảm ứng giữa hai đầu thanh là:

(a) (b)

(c) (d)

0 2vl

ε μπr

= 0 2vIr

ε μπl

=

0 2vI

ε μπr

= 0 2vIl

ε μπr

=

I

r

v

Trả lời BT 1.1

• Trong thời gian dt, thanh quét một diện tích dS = ldr = lvdt.

• Từ thông quét được trong thời gian đó:

• Sđđ cảm ứng trong thanh là:

• Câu trả lời đúng là (d).

I

r

v 0Φ

2I

d BdS μ lvdtπr

= =

0Φ

2d I

ε μ vldt πr

= = dr

x

B

Trả lời BT 1.1 (tt)

• Dòng cảm ứng trong trường hợp này do lực từ tạo nên.

• Fm hướng xuống: các e− đi xuống, còn dòng điện thì đi lên.

• Hai đầu thanh sẽ tích điện trái dấu, với đầu dương ở trên.

• Khi có thanh dẫn chuyển động ta dùng lực từ để tìm chiều của dòng cảm ứng.

I

v

x

B

mF ev B= − ×� ��

−

Fm

+

Bài tập 1.2

Một khung dây dẫn tròn bán kính a được đặt trong một từ trường đều B = B0e−ωt, với B0 không đổi và hợp với pháp tuyến khung dây một góc α. Sức điện động cảm ứng xuất hiện trong khung là:

(a)

(b)

(c)

(d)

20 cosωtε B ωe πa α−=

20

ωtε B ωe πa−=2

0 cosωtε B ωe πa α−=2

0 2 cosωtε B ωe πa α−=

Trả lời BT 1.2

• Từ thông qua khung dây:

• Sức điện động cảm ứng:

• Câu trả lời đúng là (a).

2Φ cos cosBS α Bπa α= =

2Φcos

d dBε πa α

dt dt= − = −

( )0 0ωt ωtdB d

B e B ωedt dt

− −= = −

20 cosωtε B ωe πa α−=

n

B(t)

α

i

Từ thông đi lên giảm, từ trường cảm ứng hướng lên.

B’

2a. Điện trường xoáy

• Trong trường hợp của bài tập 1.2 từ trường biến thiên đã tạo ra một điện trường có đường sức khép kín – điện trường xoáy.

• Điện trường xoáy làm các điện tích trong khung dây chuyển động thành dòng kín, tạo nên dòng cảm ứng.

B(t)

i

E +

F

2b. Định luật Maxwell-Faraday

• Công của lực điện trường xoáy khi dịch chuyển một đơn vị điện tích thành dòng kín chính là sức điện động cảm ứng, do đó:

• (C) là khung dây hay cũng có thể là một chu tuyến bất kỳ, (S) là mặt giới hạn trong (C).

• Đó là định luật Maxwell-Faraday.

( ) ( )C S

dE dr B ndS

dt⇔ ⋅ = − ⋅∫ ∫

� �� �

�Φd

εdt

= −

2b. Định luật Maxwell-Faraday (tt)

• Chiều dương của (C) phải là chiều thuận đối với pháp vectơ của mặt (S).

• Từ thông qua (S) giảm thì lưu số của điện trường theo (C) dương và ngược lại.

• Dạng vi phân của định luật Maxwell-Faraday:

BrotE

t

∂= −∂

��

dr

n

(S)

(C)

3a. Điện trường biến thiên tạo ra từ trường

• Ngược lại, điện trường biến thiên cũng tạo ra từ trường theo:

• (S) là một mặt cong giới hạn trong chu tuyến (C).

• Điện thông qua (S) tăng thì lưu số của từ trường theo (C) dương và ngược lại.

( ) ( )C S

dH dr D ndS

dt⋅ = ⋅∫ ∫� �� �

�dr

n

(S)

(C)

I < 0

(S)

(S)

3b. Nhắc lại định luật Ampère

• I là cường độ dòng qua mặt (S) giới hạn trong (C):

• I > 0 nếu dòng đi qua (S) theo chiều dương.

• Dạng vi phân:

( )C

H dr I⋅ =∫� �

�(C)

(C)

H dr

I > 0

rotH j=� �

n

3c. Định luật Maxwell-Ampère

• Kết hợp định luật Ampère và phần 3a ta có:

• Định nghĩa cường độ dòng điện dịch:

• Suy ra:

( ) ( )C S

dH ds I D ndS

dt⋅ = + ⋅∫ ∫� �� �

�

( )d

S

dI D ndS

dt= ⋅∫

� �

( )d

C

H ds I I⋅ = +∫� �

� drotH j j= +� � �

Bài tập 3.1

Một tụ điện phẳng gồm hai bản hình tròn bán kính R được tích điện bằng một dòng điện không đổi i.

Hãy xác định từ trường cảm ứng ở giữa hai bản.

+

+

+

+

+

–

–

– – –

i i

E

Trả lời BT 3.1 – 1

• Điện trường ở giữa hai bản là đều và có độ lớn:

• hay, nếu gọi q là điện tích trên bản dương:

• Suy ra:

0

σE

ε=

20

qE

ε πR=

2 20 0

1dE dq i

dt dtε πR ε πR= =

Trả lời BT 3.1 – 2

• Điện trường biến thiên này sẽ tạo ra một từ trường có tính đối xứng trụ:

• đường sức là những đường tròn có tâm ở trên trục đối xứng.

• trên một đường sức độ lớn từ trường không đổi.

i i

E

Trả lời BT 3.1 – 3

• Chọn (C) là một đường sức bán kính r, định hướng theo chiều thuận đối với điện trường:

• Bs không đổi trên (C) nên:

i i

E

0( ) ( )

1s

C C

H ds B dsμ

⋅ = ⋅∫ ∫� �

� �

( )

2s s

C

B ds B πr=∫�

(C)

ds

Trả lời BT 3.1 – 4

• Thông lượng của D qua mặt (S) trong (C):

• n theo chiều điện trường:

• Dòng điện dịch qua (S):

i i

E

(C)

(S) 0

( ) ( )

. .S S

D ndS ε E ndS=∫ ∫� �� �

2

( )

.S

E ndS Eπr=∫� �

20

( )

.d

S

d dEi D ndS ε πr

dt dt= =∫

� � 20 2

0d

ii ε πr

ε πR=

Trả lời BT 3.1 – 5

• Dùng định luật Maxwell-Ampère ta có:

• Suy ra:

• Bs > 0: từ trường hướng theo chiều dương của (C).

022

s

μ iB r r R

πR= ≤

i i

E

B

20 2

0 0

2sB iπr ε πr

μ ε πR=

Trả lời BT 3.1 – 6 • Khi r > R dòng điện dịch

qua (S) chỉ khác không trong hình tròn bán kính R:

• Suy ra:

0

2s

μ iB r R

πr= >

i i

B

20

( )

.S

d dED ndS ε πR

dt dt=∫

� �

Hình tròn bán kính R

(S)

4a. Hệ phương trình Maxwell

Định luật Maxwell-Ampère

(S) là mặt giới hạn trong chu tuyến (C)

Định luật Maxwell-Faraday

Định luật Gauss đối với từ trường

(S) là mặt kín

Định luật Gauss đối với điện trường ( )S

D ndS Q⋅ =∫� �

�

( )

0S

B ndS⋅ =∫� �

�

( ) ( )C S

dE ds B ndS

dt⋅ = − ⋅∫ ∫� �� �

�

( ) ( )C S

dH ds I D ndS

dt⋅ = + ⋅∫ ∫� �� �

�

4b. Dạng vi phân của hệ pt Maxwell

Định luật Maxwell-Ampère

Định luật Maxwell-Faraday

Định luật Gauss đối với từ trường

Định luật Gauss đối với điện trường divD ρ=

�

0divB =�

BrotE

t

∂= −∂

��

DrotH j

t

∂= +∂

�� �

4c. Năng lượng của điện từ trường

• Mật độ năng lượng điện từ trường:

• Nếu môi trường là đồng nhất và đẳng hướng:

• Suy ra:

( )2 210 02u εε E μμ H= +

( )12 . .u E D B H= +� � � �

0 0D εε E B μμ H= =� � � �