Upload
arayehan
View
298
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Tugas Sistem Persamaan Linier Dengan Koefisien Eliminasi Gauss Jordan
Citation preview
METODE NUMERIK
Tugas Sistem Persamaan Linier Dengan Koefisien
Eliminasi Gauss Jordan
Oleh
TRI MARGAWATI
2011 020 108
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN
KOMPUTER (STMIK)HANDAYANI MAKASSAR
2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena karunia dan rahmat-Nya
maka penulis dapat menyelesaikan tugas Metode Numerik.
Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk
menyelesaikan tugas mata kuliah Metode Numerik di STMIK HANDAYANI.
Dalam Penulisan makalah ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik
pada teknis penulisan maupun materi, seperti pepatah mengatakan: “Tak ada gading yang
tak retak”. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi
penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk pengembangan
wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.
Makassar, Juli 2013
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................... i
DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ............................................................................................. 1
BAB II PEMBAHASAN ................................................................................................ 2
2.1 Matriks ...................................................................................................... 2
2.2 Matriks Pita ................................................................................................. 6
BAB III KESIMPULAN ................................................................................................ 11
BAB IV DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 12
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan
menggunakan penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri
yang meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun,
bagaimanakah cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-
masing gudang dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah,
permasalahan ini dapat diselesaikan dengan matriks. Susunan bilangan real berbentuk segi
empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai matriks yang diperbesar untuk sistem
persamaan linear. Pada sub bab ini kita akan meninjau susunan-susunan seperti itu dengan
susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan mengembangkan beberapa sifat-sifat
susunan bilangan tersebut.Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan
kolom yang membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan
tersebut disebut entri dalam matriks.
Penggunaan matriks telah banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari
ataupun tidak, penggunaan matriks tersebut telah banyak dimanfaatkan dalam
menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan, misalnya pada
aplikasi perbankan dan juga di dalam dunia olahraga yang digunakan sebagai penentuan
klasemen suatu pertandingan. Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang
dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.
Sehingga matriks merupakan suatu susunan yang berbentuk persegi panjang yang terdiri
dari bilangan-bilangan. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang
mendatar (arah horizontal) dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-
bilangan yang tegak (arah vertikal) dalam matriks.
Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk ( ) atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf
besar, misalnya A, B, dan seterusnya. Entri pada matriks dilambangkan dengan huruf kecil
dan berindeks, misalnya amnyang merupakan entri pada baris ke- m dan kolom ke- n.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-
bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1988: 22). Jika
adalah sebuah matriks, maka akan meggunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di
dalam baris dan kolom dari matriks .
Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom.
Contoh:
Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n
menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij].
Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai a ij. Transpose
dari matriks A dinyatakan dengan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m yang
didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom
pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A,
dan seterusnya, sehingga diperoleh
Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks bujur sangkar
ordo n dan entri a11, a22, …, ann disebut sebagai diagonal utama. Jika A adalah sebuah
matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai
jumlah entri-entri pada diagonal utama A.
Macam-Macam Matriks :
a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal
matriks 33, adalah:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.
MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam
sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom)
harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.
b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali
diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:
A =
44
33
22
11
000
000
000
000
a
a
a
a
c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar
tetapi bukan nol atau satu.
d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal
utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk
berikut ini:
I =
1000
0100
0010
0001
e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
A =
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas
diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
A =
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
g) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:
A =
872
731
215
h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33
yang semua unsur diagonalnya aji = 0.
A =
072
701
210
i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali
pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:
A =
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
aa
aaa
aaa
aa
, disebut juga dengan matriks tridiagonal.
j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris
menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).
Untuk matriks: A =
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
,
maka transposenya (AT) adalah AT =
mnn3n2n1
2m322212
1m312111
aaaa
aaaa
aaaa
k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:
[A]T . [A] = [A] [A]T = [I]
l) Peningkatan matriks
Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-kolom) pada
matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi 33,
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks identitas
sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk sebagai berikut:
100|
010|
001|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua matriks, dengan
demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks, tetapi hanya pada satu
matriks yang ditingkatkan.
2.2 Matrix Pita
Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada
satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:
A =
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
aa
aaa
aaa
aa
,disebut juga dengan matriks tridiagonal.
Suatu matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah suatu matriks persegi dengan semua
elemen diagonal dari matriks bagian persegi di atas diagonal utama dan di bawah diagonal
utama adalah nol. Solusi SPAL yang berbentuk matriks tri-diagonal seringkali dijumpai pada
problem-problem yang berbentuk PDP (persamaan diferensial parsial) yang dominan secara
diagonal (definit positif).
Secara spesifik, bentuk SPAL yang memiliki matriks tri-diagonal dapat disajikan sebagai
berikut:
Sistem Tridiagonal
Metode eliminasi Gauss merupakan metode yang sederhana untuk digunakan khususnya jika
semua koefisien tak nol terkumpul pada diagonal utama dan beberapa diagonal sekitarnya.
Suatu system yang bersifat demikian disebut banded dan banyaknya diagonal yang memuat
koefisien-koefisien tak nol disebut bandwith. Sebuah contoh khusus, namun sering dijumpai,
adalah system tridiagonal.
Yang mempunyai bandwith tiga. Sistem-sistem demikian muncul, misalnya, pada
penyelesaian numeric untuk untuk menyusun spline kubik dan pada penyelesaian masalah
syarat batas. Proses eliminasi untuk system demikian disebut trivial karena hanya dengan
membentuk sebuah subdiagonal nol tambahan, proses penyulihan mundur segera dapat
dilakukan. Dengan (n-1) operasi baris yangdilakukan berurutan.
Matriks spesial Tridiagonal
Banyak masalah terapan melibatkan matriks dengan kebanyakan elemennya nol.
Salah satu bentuk matriks yang elemen nolnya berpola adalah matriks pita (banded matrix).
Lebar pita adalah maksimum banyaknya elemen taknol pada barisbaris suatu matriks pita.
Matriks pita yang terkecil adalah yang lebar pitanya tiga atau dikenal sebagai matriks
tridiagonal, seperti ditunjukkan pada persamaan sebagai Sistem linear tridiagonal NxN.
Jika eliminasi Gauss langsung diterapkan pada sistem (3.12) maka banyak operasi
yang sebenarnya tidak perlu dilakukan. Agar metode lebih efisien diperlukan modifikasi.
Pivoting tidak diperlukan, karena pada umumnya persamaan (3.12) yang dijumpai dalam
praktek bersifat dominan secara diagonal. Setelah eliminasi akan dihasilkan matriks
bidiagonal atas.
Beberapa metode bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem tridiagonal,
diantaranya adalah Secant, Gauss Seidel dan lainnya tergantung dari korelasi
perilaku elemen matriks tridiagonal. Di fisika seringkali dijumpai kasus penyelesaian nilai
eigen dan fungsi eigen dari suatu fungsi keadaan. Akhir bahasan pada studi kasus akan
disinggung tentang nilai eigen dan fungsi eigen untuk partikel yang berada dalam sumur
potensial. Metode yang efisien untuk menyelesaikan sistem tridiagonal diantaranya adalah
algortima Thomas (Thomas Algorithm). Seperti pada dekomposisi konvensial LU, algoritma
terdiri dari tiga langkah yaitu dekomposisi, subtitusi maju dan subtitusi balik.
Teorema Solusi matriks Tri-Diagonal
Jika matriks bujur-sangkar [A] di atas merupakan matriks yang dominan secara diagonal
(atau definit :positif) dan membentuk matriks tri-diagonal, maka [A] memiliki suatu mentuk
faktorisasi LU yang unik, dalam hal ini baik L maupun U hanya memiliki duadiagonal: L
adalah matriks bawah dengan struktur diagonal utama (dituliskan dalam lambang [dl]) dan
diagonal bawah (dituliskan dalam lambang [al]); sedangkan matriks U adalah matriks atas
yang berisi diagonal utama [du] dan diagonal atas [cu]. Langkah solusi yang digunakan
adalah analogi dengan metode ELIMINASI GAUSS. Dalam hal ini jika penulisan SPAL di atas
disusun ulang menjadi:
Langkah solusi yang digunakan adalah analogi dengan metode ELIMINASI GAUSS. Dalam hal
ini jika penulisan SPAL di atas disusun ulang menjadi:
Dapat dilihat dengan jelas, selain ketiga diagonal di atas matriks [A] hanya diisi oleh elemen
0 (nol), yang berarti bahwa matriks [A] di atas, tidak perlu disimpan dalam suatu variabel
berbentuk matriks, melainkan cukup hanya dalam 3 buah ventor dengan panjang masing-
masing (maksimum) sebesar n elemen. Jumlah memori untuk penyimpanan menjadi
semakin sangat berarti pada saat harga n menjadi sangat besar. Hal lain yang perlu dicatat
adalah, bahwa pada setiap kolom, hanya diperlukan 1 buah elemen tak-nol (bukan 0) yang
dieliminasi, yang berarti juga sebagai “penghematan usaha dan daya komputasi numerik”
yang relatif sangat besar, bila dibandingkan dengan penghitungan melalui matriks penuh.
Selanjutnya, langkah algoritma penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
BAB III
KESIMPULAN
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom
sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau sistem penulisan
objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek matriks dapat berupa bilangan
real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf
besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks.
Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang
tersusun dalam jalur vertical disebut kolom. Operasi yang yang ada pada matriks meliputi:
penjumlahan matriks, pengurangan matriks ,perkalian matriks , dan determinan.
BAB IV
DAFTAR PUSTAKA
http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-
jordan.pdf
http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iii-matriks-solusi-persamaan-linear.pdf
http://winita.staff.mipa.uns.ac.id/files/2011/09/SPL-bag-1.pdf
http://oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=145
http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf