Upload
hutahaean-dipen
View
96
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
11
ABDUL KOLIK MUZAKIABDUL KOLIK MUZAKI : 12.22.201.0031: 12.22.201.0031
APRIA MAHFUDINAPRIA MAHFUDIN : 12.22.201.0044: 12.22.201.0044
ARYA BUDI WALUYOARYA BUDI WALUYO : 12.22.201.0039: 12.22.201.0039
BAHRUDINSYAHBAHRUDINSYAH : 12.22.201.0048: 12.22.201.0048
DIPEN P HUTAHAEANDIPEN P HUTAHAEAN : 12.22.201.0030: 12.22.201.0030
HARYANTOHARYANTO : 12.22.201.0010: 12.22.201.0010
NOVIANTO IRAWANNOVIANTO IRAWAN : 12.22.201.0063: 12.22.201.0063
04/20/2304/20/23
FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
22
Buku PustakaBuku Pustaka
1.1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Prentice hall Englewood Cliffs , New JerseyPrentice hall Englewood Cliffs , New Jersey
2.2. Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Mathematics’, 6Mathematics’, 6thth ed, John Wiley & Sons, ed, John Wiley & Sons, New York.New York.
3.3. Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’ , edisi Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’ , edisi terjemahan Penerbit Erlangga.terjemahan Penerbit Erlangga.
4.4. Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’, ErllanggaAnalit’, Erllangga
5.5. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Geometri Analitik ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Geometri Analitik ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta. Erlangga, Jakarta.
04/20/2304/20/23
Sistem Sistem KoordinatKoordinat
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
33
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R2(Bidang) R3(Ruang)
y
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
Permukaan di Ruang Permukaan di Ruang (R3)(R3)
02222 a,azyx
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
44
Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : lain :
● ● Bola, mempunyai bentuk umum :Bola, mempunyai bentuk umum :
Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa lingkaran222 ayx
Jejak di bidang XOZ, y = 0 222 azx , berupa lingkaran
Jejak di bidang YOZ, x = 0 222 azy , berupa lingkaran
Gambar BolaGambar Bola
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
55
Z
x
y
Permukaan di RuangPermukaan di RuangEllipsoida mempunyai bentuk
umum :
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
66
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
, a, b, c > 0
1b
y
a
x2
2
2
2
Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips
1c
z
a
x2
2
2
2
Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Ellips
1b
y
c
z2
2
2
2
Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Ellips
Gambar EllipsoidaGambar Ellipsoida
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
77
Z
x
y
Permukaan di RPermukaan di R33
Hiperboloida berdaun satu, mempunyai ben
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
88
tuk umum:
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
, a, b, c > 0
1b
y
a
x2
2
2
2
Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips
1c
z
a
x2
2
2
2
Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbolik
1c
z
b
y2
2
2
2
Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbolik
Gambar Hiperbolik Berdaun Gambar Hiperbolik Berdaun SatuSatu
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
99
Z
x
y
Permukaan di RPermukaan di R33
Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
1010
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, a, b, c > 0
12
2
2
2
b
y
a
xJejak di bidang XOY, z = 0
, berupa Hiperbolik
12
2
2
2
c
z
a
xJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbolik
12
2
2
2
c
z
b
yJejak di bidang YOZ, x = 0
, tidak ada jejak
12
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y , maka terdefinisi saat x - a atau x a
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips.
Gambar Hiperbolik Berdaun Gambar Hiperbolik Berdaun DuaDua
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
1111
Z
x
y
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
1212
Permukaan di RPermukaan di R33
Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:umum:
cz
by
ax
2
2
2
2
, a, b, c > 0
Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:
cz
by
ax
2
2
2
2
, a, b, c > 0
Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:
02
2
2
2
2
2
cz
by
ax
Bidang , mempunyai bentuk umum:
DCzByxA
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
1313
GambarGambar
Z
x
y
z
x
y
Z
x
y
Paraboloida EliptikParaboloida Hiperbolik
Kerucut EliptikBidang
y
x
z
FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA SANG BUMI RUWA
JURAIJURAI
1414
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
Definisi : Fungsi dua peubah adalah aturan yang Definisi : Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)dengan tepat satu z =f(x,y)
Notasi : f : A Notasi : f : A R ( A C R R ( A C R22))
(x,y) (x,y) z = z = f f (x,y)(x,y)
Diketahui D daerah di dalam R 2 pada bidang
XOY.
Fungsi f : D . didefinisikan z = f (x,y) untuk
setiap (x,y) D disebut fungsi dua peubah
(variable), dengan x dan y peubah bebas.
04/20/2304/20/23
FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
1515
Ilustrasi GrafisIlustrasi Grafis
f : D , (x,y)D dan z = f(x,y) pada bidang S.
X
Z
Y
(x,y)
Z=f(x,y) S
a bc
d
04/20/2304/20/23
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
1616
Daerah Asal (DDaerah Asal (Dff) dan Daerah Nilai ) dan Daerah Nilai (R(Rff))
R)y,x(fR)y,x(D f 2
Contoh. Tentukan dan gambarkan DContoh. Tentukan dan gambarkan Dff dari : dari :
fD)y,x()y,x(ffR
1. f(x,y) = x2 + 4 y2
2429363
12 yx)y,x(f.
)y(x)y,x(f. 13
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
1717
Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)
1.Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}
= {(x,y) R2}
x
y
2.
= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}
RyxRyxDf222 4936
31
),(
= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}
1
94),(
222 yx
Ryx x
y
2
3
04/20/2304/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
1818
Contoh Contoh (Jawab)(Jawab)3
.= {(x,y) R2| x(1 – y) R}
x
y
RyxRyxDf )1(),( 2
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0}
= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}
FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
1919
Contoh .1 .1 .Contoh .1 .1 .
Fungsi f didefinisikan :
z = f(x,y) = .
nilai fungsi f, di titik(2,1) adalah f (2,1) =
yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikan
22 2 yxyx
xy
92
04/20/2304/20/23
FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI
2020
Contoh 1.2.Contoh 1.2.
Dengan cara yang sama untuk Dengan cara yang sama untuk z = f(x,y) = xz = f(x,y) = x22 + y + y2 2 nilai fungsi z nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah f(1,-1) = 2dititik (1,-1) adalah f(1,-1) = 2
04/20/2304/20/23
FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAIUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
2121
Contoh 1.3.Contoh 1.3.
Luasan yang terbentuk untuk fungsí Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan persamaan dengan persamaan z = f(x,y) = xz = f(x,y) = x22 + y + y22 menyajikan paraboloida dengan titik menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb :puncak (0,0,0) adalah sbb :
04/20/2304/20/23
Z
x
y
FAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA JURAI
2222
R e s u m eR e s u m e
1. Apabila D daerah di dalam 2
atau bidang XOY, fungsi f : D
didefinisikan z = f (x,y) untuk setiap
(x,y) D disebut fungsi dua variabel,
dengan x dan y variabel independen.
04/20/2304/20/23
04/20/23 FAKULTAS TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK SIPILUNIVERSITAS SANG BUMI RUWA UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAIJURAI
23
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah
Grafiknya berupa permukaan di Grafiknya berupa permukaan di ruang.ruang.
Z=f(x,y)
Df
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.satu titik.
24
FAKULTAS TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SANG BUMI RUWA
JURAI04/20/23