406 11. Kalorimetľiii

11.3. Vedenie tepla. Energia môže prechádzať z telesa na teleso ako teplo trojako: vedením (kondukciou), 'prúdením (konvekciou) a žiarením (radiáciou). Pri vedení a prúdení sprostredkuje prenos energie hmotné prostredie, pri žiarení je to elektromagnetické vlnenie, ktoré sa môže šíriť aj vo vákuu. V tomto a v nasledujúcom Článku budeme sa zaoberať len prechodmi tepla vedením a prúdením. Tepelným žiarením, ktoré má rovnakú fyzikálnu povahu ako svetlo, budeme sa zaoberať až v optike. Najprv odvodíme zákony vedenia tepla, ktoré -— ako sa hneď presvedčíme — majú rovnaké matematické vy ­jadrenie ako Fickove zákony difúzie (čl. 10.10).

Keď sa jeden koniec kovovej tyče T (obr. 11.4) udržuje napríklad vodnou parou vystupujúcou z vriacej vody pri teplote 100 °C a druhý koniec zmesou

vody a ľadu pri teplote0 °C, pozdĺž tyče postu­puje teplo z miest vyššej teploty na miesta teploty nižšej. Svedčí o tom ubú­danie ľadu v jeho zmesi s vodou pri chladenom konci tyče. Keď je pritom prierez 'tyče vzhladom na jej dĺžku pomerne malý, v ustálenom stave sa tep­lota voľnej tyče — ako sa o tom môžeme pre­

svedčiť napríklad pomocou termoČlánkov — mení pozdĺž jej dĺžky spô­sobom na obrázku vyznačeným. Príčinou tohto rozloženia teploty je, že teplo odchádza aj povrchom tyče do jej okolia. Ale ak je tyč pomerne krátka, alebo ak je obalená látkou ťažko prepúšťajúcou teplo, teplo len v zanedbateľ­nom množstve odchádza cez plášť tyče do jej okolia a teplota klesá pozdĺž tyče prakticky rovnomerne. Z meraní (napríklad pomocou množstva roztope­ného ľadu) vyplýva, že v takomto prípade množstvo tepla Q prechádzajúceho cez ktorýkoľvek prierez tyče za čas r je priamo úmerné tomuto času, rozdielu teplôt t1 a t2 obidvoch koncov tyče a veľkosti prierezu tyče S a nepriamo úmerné dĺžke tvče Z, teda

11 ť2 _Q = XSl (1)

Konštanta úmernosti A sa nazýva mernou tepelnou vodivosťou materiálu tyče.Ak stotožníme os X s osou tyče a orientujeme ju napríklad súhlasne rovno­

bežne so smerom klesania teploty, pokles teploty pripadajúci na jednotku

11.3. Vedenie tepla m

dx

t j ^i'ptm

. Vzorec (!) je potom

dĺžky tyče, čiže tzv. teplotný spád — — , môžem<* vyjadriť aj výrazom d t

<2)

Tento vzorec vyjadruje správne teplo prechádzajúce cez prierez tyče v mieste,dŕ da:kde spád teploty je — , aj v prípade, že teplota neklesá pozdĺž tyče

rovnomerne.Pri vedení tepla teplo prechádzajúce za jednotku času cez plošnú jednotku,

ktorá je na smer postupu tepla kolmá, nazýva sa hustotou tepelného toku. Pre túto hustotu zo vzorca (2) v našom prípade dostávame :

„ dŕ— ' t <3)

Pre všeobecnejšie úvahy je však výhodné hustotu tepelného toku definovať ako vektor /, ktorého smer je so smerom postupu tepla súhlasne rovnobežný. Znásobením rovnice (3) jednotkovým vektorom v smere osi X pre tento vektor vychádza :

/ = — A grad ŕ (4)

lebo v tyči, ktorú stále máme ešte na mysli, teplota je funkciou len x-ovej súradnice a teplo postupuje v nej v smere orientácie osi X .

Vedenie tepla v nejakom telese nazývame stacionárnym, ked sa pri ňom teplota jednotlivých objemových elementov telesa s časom už nemení, takže je funkciou len miesta, ŕ = t(x, y, z) — t(r). V opačnom prípade hovoríme, že vedenie tepla je nestacionárne. Pri nestacionárnom vedení tepla teplota objemových elementov telesa je teda funkciou aj času. čiže v takomto prípade je t = t(r, r).

Vzorec (4) sme odvodili z pokusov, pri ktorých teplota v každej rovine na určitú priamku kolmej je všade rovnaká. Takéto vedenie tepla sa nazýva jednorozmerné. Je však velmi prirodzené predpokladať, že velmi jednoduchý a prehľadný vzorec (4) má pre izotropné látky všeobecnú platnosť, čo plne potvrdzujú dôsledky z neho vyplývajúce. Vzorec (4) vyjadruje teda základný zákon vedenia tepla v izotropných telesách, podľa ktorého vektor hustoty tepelného toku je úmerný gradientu teploty, má však smer opačný.

V izotropnom telese, v ktorom teplota je v určitom okamihu náhodilou funkciou miesta, predstavme si ľubovoľnú v sebe uzavretú plochu. Podľa vzorca (4) cez plošný element tejto plochy d$, ktorému sme priradili plošný

11. Kalorimetria

vektor d S. za čas dr z vnútra plochy na jej vonkajšiu stranu jjrechádza množ­stvo tepla dQ = i . d S dr = — X d S . (grad ŕ) dr. Cez celý povrch plochy za čas dr opúšta teda jej vnútro tepelné množstvo

Q — —- (j) X dr(grad t) . dS = — dr J A(div grad t) dF = —dr J Á At d F

Ked súčasný pokles teploty objemových elementov d F vo vnútri plochy je —dŕ> teplo Q je zrejme tiež

Q = I — sc d F d t — J —sc d ŕ d V

kde s je merná hmotnosť a c merné teplo. Porovnanie obidvoch vyjadrení tepla Q poskytuje rovnicu

—dr J XAt d F = f — sc dŕ d F

t. j. keďže sme v sebe uzavretú plochu, na ktorú sa vzťahujú integrácie po obidvoch stranách znamienka rovnosti, boli zvolili úplne ľubovoľne, rovnicu

sc dŕ = XAt dr

Keďže ale teplota je funkciou nielen miesta, ale aj času, je správna aj rovnica

dt Á A, /KXdr ~ f sc O

Rovnica (5), ktorá na rozdiel od rovnice (4) už nijaké tepelné množstvá neobsahuje, je základnou diferenciálnou rovnicou vyrovnávania teplôt v izo­tropnom telese. V prípade jednorozmerného vedenia tepla sa zjednodušuje na tvar

d t 1 d H== ----- °)or sc dx2

Riešením diferenciálnej rovnice (5) alebo v jednoduchšom prípade rovnice (6), na čo treba poznať príslušné začiatočné a okrajové podmienky (teplotu všade vo vnútri telesa v čase r = r0 a na povrchu telesa v každom neskoršom čase), nájdeme teplotu ŕ ako funkciu času a miesta. Hustotu tepelného toku určuje potom rovnica (4).

Konštanta a = Á/cs v rovniciach (5) a (6), kde Á je tepelná vodivosť, c merné teplo a s merná hmotnosť, nazýva sa teplotná vodivosť.

Tabuľka 11.1

Merné tepelné vodivosti látok pri 18 °C

11.3. Vedenie tepla 409

Látkal Látka A

cal/cm s deg cal cm s deg

Striebro 1,01 Mramor

ooo

Med 0,91 Ľad 0,005Hliník 0,48 Tehla 0,002

Zinok 0,27 Sklo 0 ,001— 0,002

Mosadz 0,15— 0,30 Voda 0,00139Cín 0,15 Drevo 0,0003— 0,0006Železo 0,14— 0,17 Vodík 0,00041Olovo 0,083 Korok 0,00013Ortuť 0,020 Vzduch 0,00006

Podľa tejto tabuľky najlepším vodičom tepla sú kovy, najmä striebro a med. Nekovy vedú teplo podstatne horšie a používajú sa ako tepelné izolátory. Tepelná vodivosf kvapalín je priemerne asi 1 OOOkrát menšia než kovov a najmenšia je tepelná vodivosť plynov (v tenkých vrstvách alebo v malých objemoch, aby nemohlo vzniknúť prúdenie). Vzduchom vyplnené póry v pevných látkach preto značne zmenšujú ich tepelnú vodivosť, čo sa využíva pri výrobe látok, ktoré nemajú dobre prepúšťať teplo (duté tehly, penový a plynový betón a pod.). Tepelná vodivosť kovových zliatin je vždy menšia ako ich vo­divosť vypočítaná z vodivosti zložiek pomocou zmiešavacieho pravidla.

V technickej praxi sa merná tepelná vodivosť vyjadruje obyčajne v kcal/mh deg

. kcal 1 000 cal = ^ cal = ^ ?8 calmh deg m 3 600 s deg ’ ms deg

Je veľmi zaujímavé, že tepelná vodivosť kovov A sa zväčšuje súbežne s ich vodivosťou elektrickou x, a podľa pokusov Wiedemannových a Franzových podiel obidvoch vodi­vostí je úmerný abs. teplote, teda

A—- = const . T x

Pre konštantu úmernosti v tomto vzťahu L o ren tz a L oren z odvodili z elektrónovej / R \2

teórie kovov hodnotu 3 (-^r) > kde R je plynová konštanta a F Faradayov náboj, t. j.

náboj 1 gramiónu jednomocného prvku, F = 96 494 A S. Dosadením vychádza

3 ' ( 4 ) ’ = 3 ' ( 9 5 1 ^ = 2,22 •

Príklad 1. Vypočítame množstvo tepla, ktoré za ustáleného tepelného toku prejde za čas r = 10 s plášťom dutého medeného valca (X = 0,91 cal/cms deg).

11. Kalorirnetria

keď rozdiel teplôt vnútornej a vonkajšej steny je tx — 12 — 10 °C a rozmery valca sú: l = 50 cm, r1 — 2 cm, r2 = 5 cm.

Podlá vzorca (2), ak x je vzdialenosť od osi valca, valcovou plochou s ľubo­voľným polomerom x a teda s povrchom S = 2nxl za čas r prejde od polomeru x nezávislé množstvo tepla

^ . dí Q = — A . 271 xl —r— r

dx

Úpravou tejto rovnice dostávame diferenciálnu rovnicu

Q dxŽ iM i ----- -------- (a)

alebor2 t9

Qj * - - /r, t.

z ktorej integráciou vyplýva

0 ln — = tt2 ti I á t r1

Hľadané teplo je teda11 t2

Q — 2 tzIA t ln r2 — ln r1

= 2 . . 50 cm . 0,91 “ K 10* . - >0, °C„ „ = 2,88 . 10* cal cms deg 2,3 . log 2,5

Závislosť teploty od vzdialenosti x by sme našli integráciou rovnice (a) v hra­niciach od rx po x , resp. od tx po t.

Vychádza■ . Q , x ln x — ln rxt — ti — j-, ln — ti (ŕx 12), ;

2tzIat rx ln r2— ln rx

Riešenie tej istej úlohy nájdeme aj pomocou parciálnej diferenciálnej rov­

nice (5), ktorá sa pre prípad stacionárneho vedenia tepla | = 0 j redukuje

na rovnicu At = 0. Pri valcovej súmernosti poľa Laplaceova funkcia teplotyje:

V našom prípade teplota ako funkcia miesta, keďže je len funkciou r, spĺňa teda rovnicu

« + _L J L _ od r2 r d r

Zaveďme označenie = u. Máme potom — j— — - 0 alebo .dr dr r u rc d t cIntegráciou vychádza ln u = — ln r -j- ln c, u — — , —:— = — a ďalšou in-r dr r

tegráciou rovnice — = —- d t vzťah ln r = bt + h, t. j.

t = A\r\ r B

Integračné konštanty A a B nájdeme z podmienok

ŕx = J. In rx -f- B

t2 — A ln r2 -1- BVychádza:

A = , , B = t, — , ----- ln rtm rx — ln r2 ln rx — ln r2teda

t = tx --------- :— —-------- ------------' O11 r — r l )ln r2 — ln rx

Príklad 2. Rovinná doska hrúbky d sa skladá z n vrstiev hrubých dk, kto­rých merné tepelné vodivosti sú Xk. Treba |vypočítať množstvo tepla Q, ktoré za ustáleného tepelného toku prejde doskou za čas r. ak plocha dosky je S a okrajové teploty sú t0 a 11.

Keď teploty na styku vždy dvoch vrstiev sú postupne tx, t 2, tn_ x. potom sú splnené rovnice

i = = = • • • = * ' H ŕ 1 < a )

Sčítaním z týchto rovníc vyplývajúcich n rovníc tvaru

• dkh - i h- — 1 ^

dostávame rovnicun

dk

11.3. Vedenie tepla 411

tn - %sk^l

412 11. Kalorimetria

7. ktorej vyplýva, že hustota tepelného toku je :

takže celkový tepelný tok je :

I = iS =

to t n

Y íL A ,

- KA v l i

Ä Z j Xk L h ST l

Teploty na rozhraní jednotlivých vrstiev možno vypočítať postupne pomocou rovníc (a). Pre teplotu tx vychádza napríklad:

í — ( — i — — t — ( t — n <*1̂ 1

Veličina V sa nazýva tepelným odporom vrstvy.L .j Aa- o

11.4. Prenos tepla prúdením, prestup tepla. V predchádzajúcom článku sme sa zaoberali vedením tepla v telesách rôznych skupenstiev, pričom o kvapalinách a plynoch sme predpokladali, že ich objemové elementy pri vedení tepla ostávajú v pokoji. V skutočnosti, ak teplota v kvapaline alebo plyne nie je všade rovnaká, v dôsledku závislosti ich mernej hmotnosti od teploty, môže byť v nich porušená aj mechanická rovnováha. Tak dochádza v kvapalinách alebo v plynoch, ktoré ohrievame zdola, k prúdeniu, pri ktorom dolné teplejšie, a preto aj špecificky lahšie časti si ustavične vymieňajú miesto s vyššie polo­ženými chladnejšími, a preto špecificky ťažšími. Je zrejmé, že pri takomto pohybe, ktorý — ked treba — môže byť pomocou miešačiek, čerpadiel alebo

ventilátorov aj umele udržiavaný, prechá­dza teplo z miest teplejších na miesta chladnejšie vo väčšej miere než v prípade, keď teplo je len vedené a nie aj prenášané.

Na prenose tepla prúdením sa zakladá ústredné vykurovanie budov, pri ktorom sa teplo prenáša teplou vodou, prehriatou vodnou parou alebo horúcim vzduchom,

■j Prenos tepla prúdením sa uplatňuje aj pri tzv. prestupe tepla cez rozhranie, ktoré oddeľuje pevnú látku od kvapaliny alebo plynu. Majme na mysli prechod tepla cez pevnú stenu hrúbky d a špe­cifickej tepelnej vodivosti A, ktorá od-