TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL 4.1 Devinisi
Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f yang nilainya pada
bilangan x dan didefinisikan oleh : untuk semua x dengan limit
tersebut ada. hx f h x fx fh) ( ) () ( 'lim0 +=TURUNAN DAN
DIFERENSIAL Contoh Andaikan cari f (4) ? Penyelesaian : hhhf h ffh
h] 6 ) 4 ( 13 [ ] 6 ) 4 ( 13 [ ) 4 ( ) 4 () 4 ( 'lim lim0 0 += += 6
13 ) ( = x x f13 1313lim lim0 0= = = h hhhTURUNAN DAN DIFERENSIAL
Keterdiferensial Menunjukkan Kekontinuan Teorema A Jika f (c) ada,
maka f kontinu di c TURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti Kita perlu
menunjukkan) ( ) (lim0c f x fh=), () ( ) () ( ) ( c xc xc f x fc f
x f + =c x =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Karenanya ((
+ = ) () ( ) () ( ) (lim limc xc xc f x fc f x fc h c x) () ( )
() (lim lim limc xc xc f x fc fc x c x c x+ = ) (0 ). ( ' ) (c fc f
c f=+ =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Persamaan f(x) didefinisikan oleh
aturan x) x ( f - ) x + x ( fm i l = ) x ( ' fx 0ym i l =x 0xKarena
y = f(x) maka persamaan itu dapat pula dinyatakan dalam bentuk: m i
l = ) x ( ' fx 0fxym i lx 0xm i lx 0fxBentuk-bentuk serta Lazim
dinotosikan dengan yang dfdxdisebut dengan notasi leibniz Jadi
untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan
notasi-notasi berikut: dfdx) x ( ' f ataudfdxNotasidapat juga
ditafsirkan sebagai: dfdxdydx) f(x dd)y(x dd=dan=dimana x
dddydxdfdxmenyatakan operasi turunan terhadap x. Jadi dibaca
turunan dari y terhadap x dan dibaca turunan f terhadapx Jadi
apabila ada persamaan, maka adalah 2X 1 +2xdydxTURUNAN DAN
DIFERENSIAL 4.2 Aturan Pencarian Turunan Proses pencarian turunan
suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun
hasil bagi selisih dan menghitung limitnya. hx f h x f ) ( ) (
+TURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema A (Aturan Fungsi Konstanta) Jika
f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f(x)=0 0 )
( ) ( = = k D kdxdTURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti 0 0) ( ) () ( 'lim
lim lim0 0 0= == += h h hhk khx f h x fx fTURUNAN DAN DIFERENSIAL
Teorema B (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x)=x maka untuk
sembarang x, f(x)=1 1 ) ( ) ( = = x D xdxdTURUNAN DAN DIFERENSIAL
Bukti 1) ( ) () ( 'lim lim lim0 0 0= = += += hhhx h xhx f h x fx fh
h hTURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema C (Aturan Pangkat) , dengan n
bilangan bulat positif, maka nx x f Jika = ) ( .1) ( '=nnx x f1) (
) (= =n n nnx x D xdxdTURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti hx h xhx f h x
fx fn nh h += += ) ( ) ( ) () ( 'lim lim0 0hx h nxh h xn nh nx xn n
n n n nh + + ++ += 1 2 2 10...2) 1 (limhh nxh h xn nh nx hn n n
nh((
+ + ++= 1 2 2 10...2) 1 (limTURUNAN DAN DIFERENSIAL Di dalam
kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai
faktor,sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h
mendekati nol, jadi Ilustrasi Teorema C 1) ( '=nnx x f2 3 33 ) ( )
( x x D xdxd= =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema D (Aturan Kelipatan
Konstanta) Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdefinisikan, maka ) ( ' . ) ( )' ( x f k x kf =) ( . )] ( . [ x
Df k x f k D =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti Andaikanmaka x f k x F
), ( . ) ( =hx f k h x f khx F h x Fx Fh h) ( . ) ( ' . ) ( ) ()
(lim lim0 0 += += hx f h x fkhx f h x fkh h) ( ) (.) ( ) (lim lim0
0 += += ) ( ' . x f k =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema E (Aturan
Jumlah) Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ) ( ) ( )
( )' ( x g x f x g f + = +) ( ) ( )] ( ) ( [ x Dg x Df x g x f D +
= +TURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti Andaikanmaka x g x f x F ), ( / )
( ) ( =hx g x f h x g h x fx Fh)] ( ) ( [ ) ( ) ( [) (lim0+ +
+=((
++ +=hx g h x ghx f h x fh) ( ) ( ) ( ) (lim0hx g h x ghx f h x
fh h) ( ) ( ) ( ) (lim lim0 0 ++ += ) ( ' ) ( ' x g x f + =TURUNAN
DAN DIFERENSIAL Teorema F (Aturan Selisih) Jika f dan g fungsi yang
terdeferensialkan, maka ) ( ) ( ) ( )' ( x g x f x g f = +) ( ) (
)] ( ) ( [ x Dg x Df x g x f D = TURUNAN DAN DIFERENSIAL Bukti )] (
) 1 ( ) ( [ )] ( ) ( [ x g x f D x g x f D + = )] ( ) 1 [( ) ( x g
D x Df + =) ( ) 1 ( ) ( x Dg x Df + =) ( ) ( x Dg x Df =TURUNAN DAN
DIFERENSIAL Contoh ) 6 ( ) 7 ( ) 5 (2D x D x D + =) 6 ( ) 7 5 ( ) 6
7 5 (2 2D x x D x x D + = +) 6 ( ) ( 7 ) ( 52D x D x D + =0 1 . 7 2
. 5 + + = x7 10 + = xTURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema G (Aturan
Perkalian) Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ) ( ' )
( ) ( ) ( ) ( )' * ( x f x g x g x f x g f + =) ( ) ( ) ( ) ( )] (
) ( [ x Df x g x Dg x f x g x f D + =TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contohcari turunan dari) 2 )( 5 3 (4 2x x x ) 5 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 5
3 ( )] 2 )( 5 3 [(2 4 4 2 4 2 + = x D x x x x D x x x x D) 6 )( 2 (
) 1 8 )( 5 3 (4 3 2x x x x x + =2 5 3 2 56 12 5 40 3 24 x x x x x +
+ =5 9 40 362 3 5+ = x x xTURUNAN DAN DIFERENSIAL Teorema H (Aturan
Hasilbagi) Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan dengan Yaitu,
maka x g , 0 ) ( =) () ( ' ) ( ) ( ' ) () (2'x gx g x f x f x gxgf
=||.|
\|) () ( ) ( ) ( ) () () (2x gx Dg x f x Df x gx gx fD=TURUNAN
DAN DIFERENSIAL Contoh 1 Cari turunan dari2 22) 7 () 2 )( 5 3 ( ) 3
)( 7 (+ +=xx x x) 7 () 5 3 (2+xx2 22 22) 7 () 7 ( ) 5 3 ( ) 5 3 ( )
7 () 7 () 5 3 (++ +=((
+xx D x x D xxxD2 22) 7 (21 10 3++ + =xx xTURUNAN DAN
DIFERENSIAL Contoh 2 Buktikan aturan Pangkat berlaku untuk pangkat
integral negatif; yaitu Penyelesaian 1) ( =n nnx x D12121. 1 0 . 1)
( ===|.|
\|=nnnnn nnnnxxnxxnx xxD x DTURUNAN DAN DIFERENSIAL 4.3 Turunan
Sinus dan Kosinus Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya dapat
didiferensialkan. x x D cos ) (sin =x x D sin ) (cos =TURUNAN DAN
DIFERENSIAL Contoh CariPenyelesaian ) cos 2 sin 3 ( x x D ) (cos 2
) (sin 3 ) cos 2 sin 3 ( x D x D x x D = x x sin 2 cos 3 + =TURUNAN
DAN DIFERENSIAL Pembuktian Dua Pernyataan Limit 1sinlim0= =ttt0cos
1lim0==tttTURUNAN DAN DIFERENSIAL Contoh ? .....sincos
1lim0==ttt010sincos 1sincos 1lim lim0 0= == == ttttttt tTURUNAN DAN
DIFERENSIAL 4.4 Aturan Rantai (Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan
u=g(x) menentukan fungsi komposit. Jika g terdiferen-sialkan di x
dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka terdiferensialkan di x dan
yakni, g f ) )( ( )) ( ( x g f x g f y = =) ( ' )) ( ( ' ) ( )' ( x
g x g f x g f = u yD D y Dx u x=TURUNAN DAN DIFERENSIAL Contoh Jika
Penyelesaian : kita pikirkan ini sebagai dan Jadi, y Dxcari x x y ,
) 1 4 2 (60 2+ =60u y =1 4 22+ = x x uu D y D y Dx u x. =) 4 4 )(
60 (59 = x u) 4 4 ( ) 1 4 2 ( 6059 2 + = x x xTURUNAN DAN
DIFERENSIAL 4.5 Turunan Tingkat Tinggi Operasi pendiferensialan
mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f .
Jika f kita diferensialkan menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh
f dan disebut turunan kedua dari f, dan seterusnya. TURUNAN DAN
DIFERENSIAL Contoh 0 ) ( " "12 ) ( ' ' '8 12 ) ( ' '7 8 6 ) ( ':8 7
4 2 ) (22 3== =+ = + =x fx fx x fx x x fmakax x x x fTURUNAN DAN
DIFERENSIAL 4.6 Diferensial Terdefinisi Andaikan y=f(x)
terdiferensialkan di x dan andaikan bahwa dx, diferensilkan dari
peubah bebas x, menyatakan pertambahan sembarang dari x.
Diferensial yang bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y
didefinisikan oleh :dx x f dy ) ( ' =TURUNAN DAN DIFERENSIAL Aturan
Pangkat Andaikan r bilangan rasional sembarang, maka1) (=r rxrx x
DTURUNAN DAN DIFERENSIAL Contoh Cari dy jika 1 33+ = x x ydx x dy )
3 3 (2 =
