TURUNAN PARSIAL - turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat

  • View
    232

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of TURUNAN PARSIAL - turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2...

  • TURUNAN

    PARSIAL MK. Kalkulus Lanjut

    MKMAT3315

    Aswad2016 1

  • Review

    Aswad2016

    2

  • Turunan (derivatif) tidak sama dengan

    diferensial.

    Pada fungsi satu variabel, Dxy = dy/dx = f(x)

    adalah notasi untuk turunan

    dy atau dx saja menyatakan diferensial

    Misalkan f(x) = x2 3x + 1.

    Turunan dari x2 3x + 1 adalah 2x 3 karena

    Dxy = d(x2 3x + 1)/dx = 2x 3

    Diferensial dari x2 3x + 1 adalah (2x-3)dx

    karena dy = d(x2 3x + 1) = f(x) dx = (2x-3) dx

    Aswad2016

    3

  • Aswad2016

    4

  • Aswad2016

    5

    Sehingga jelas bahwa turunan (derivativ)

    adalah hasil pembagian antara dua buah

    diferensial.

    Pencarian turunan disebut diferensiasi

    Bagian kalkulus yang berhubungan

    dengan turunan disebut kalkulus

    diferensial

    Differentiable artinya dapat diturunkan

    atau turunan fungsi tsb di titik itu ada.

  • Aswad2016

    6

    Perhatikan bahwa turunan pada fungsi

    satu variabel didefinisikan sebagai

    asalkan limit ini ada, bukan atau - .

    Perhatikan pula bahwa jika f(c) ada

    maka f kontinu di c untuk c sebarang

    bilangan, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

  • Aswad2016

    7

    Misalkan f(x) = 2x + 1.

    Maka

    Sehingga, jika f(2) ada maka f kontinu di 2.

    0 0

    0 0

    0

    00

    00

    22 2

    2

    2lim lim 2 2

    2

    2lim 2 lim lim 2

    2

    lim5 .0

    5 2

    lim

    lim

    .lim 0 5

    ' 2

    h h

    h h h

    h

    h

    h

    h

    f x ff x

    f

    f x

    f

    x

    f x ff x f x

    x

    f x

    f

    x

    f x ff x

    x

    x

  • Aswad2016

    8

    Misalkan f(x) = |x|.

    Fungsi f(x) jelas kontinu di 0 tetapi f(0) tidak ada.

    Perhatikan bahwa:

    Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan

    maka tidak ada. akibatnya f(0) tidak ada.

    Terbukti bahwa apabila suatu fungsi kontinu di x

    maka belum tentu memiliki turunan di x.

    0 0

    0 0' 0 lim lim

    h h

    f h f hf

    h h

    0 0 0 0lim lim 1 lim lim 1h h h h

    h hh hdan

    h h h h

    0limh

    h

    h

  • Aswad2016

    9

  • Definisi dan Tafsiran

    Geometris

    Aswad2016

    10

  • Aswad2016

    11

    Definisi 3.1.

  • Aswad2016

    12

    Contoh 1

    Carilah fx(1, 2) dan fy(1, 2)

    Apabila diketahui f(x, y) = x2y + 3y3.

  • Aswad2016

    13

    Cara 1: By Definisi 3.1.

    Turunan parsial

    terhadap y

    ditinggalkan

    sebagai

    latihan.

  • Aswad2016

    14

    Cara 2: Langsung

    E.o.E.1

  • Aswad2016

    15

    Contoh 2

    Jika z = x2 sin (xy2). Tentukanlah z/x dan

    z/y.

  • Aswad2016

    16

    E.o.E.2

  • Perhatikan bahwa ada beberapa notasi

    yang biasa digunakan berkenaan dengan

    turunan parsial dari suatu fungsi. Misalkan z

    = f(x, y) maka notasi yang biasa digunakan

    untuk turunan-turunan parsial dari f(x, y)

    pada (x0, y0) adalah sebagai berikut:

    Aswad2016

    17

  • Tinjau permukaan z = f(x, y).

    Bidang y = y0 memotong permukaan ini

    pada kurva bidang PQR. Persamaan

    bidang PQR = g(x) = f(x, y0). Nilai fx(x0, y0)

    adalah kemiringan garis singgung pada

    kurva di P(x0, y0, f(x0, y0)). Perhatikan

    Gambar 1.(a). Dengan cara yang sama,

    bidang x = x0 memotong permukaan pada

    kurva bidang LPM. Persamaan bidang LPM

    = h(y) = f(x0, y). Nilai fy(x0, y0) adalah

    kemiringan garis singgung pada kurva di P.

    Perhatikan Gambar 1.(b).

    Aswad2016

    18

  • Aswad2016

    19

    Gambar 1.

  • Aswad2016

    20

    Contoh 3

    Jika f(x, y) = 4 x2 2y2. Tentukanlah fx(1, 1)

    dan fy(1, 1). Kemudian gambarkan bentuk

    grafik dari masing-masing turunan parsial

    yang dimaksud.

  • fx = -2x maka fx(1, 1) = -2

    fy = -4y maka fy(1, 1) = -4

    bentuk grafik dari f(x, y) = 4 x2 2y2 adalah suatu paraboloid.

    Bidang y = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 2 x2. Jadi, kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fx(1, 1) = -2. Perhatikan Gambar 2.(a).

    Dengan cara yang sama, bidang x = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 3 2y2. Jadi kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fy(1, 1) = -4. Perhatikan Gambar 2.(b).

    Aswad2016

    21

  • Aswad2016

    22

    Gambar 2.

    E.o.E.3

  • Turunan Parsial Fungsi

    Implisit

    Aswad2016

    23

  • Aswad2016

    24

    Misalkan diketahui z = f(x, y) dengan yang

    dinyatakan F(x, y, z) = C.

    Turunan parsial fungsi f terhadap x dan

    terhadap y dapat dihitung sebagai

    / /

    / /

    z F x z F ydan

    x F z y F z

  • Aswad2016

    25

    Contoh 4

    Tentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y.

    x2 + y2 + z2 = 1

  • Aswad2016

    26

    2 2 2( , , )

    / 2

    / 2

    / 2

    / 2

    F x y z x y z

    z F x x x

    x F z z z

    z F y y y

    y F z z z

    E.o.E.4

  • Turunan Parsial Tingkat

    Tinggi

    Aswad2016

    27

  • Jika f suatu fungsi dua variabel, maka

    turunan parsial fx dan fy adalah juga suatu

    fungsi dua variabel. Dengan demikian,

    kedua turunan parsial tersebut dapat

    diturunkan lagi terhadap variabel x dan y

    sehingga menjadi (fx)x, (fx)y, (fy)x, dan (fy)y,

    yang tidak lain merupakan turunan parsial

    kedua dari f. Selengkapnya perhatikan

    Definisi 3.2. berikut

    Aswad2016

    28

  • Aswad2016

    29

    Definisi 3.2.

  • Aswad2016

    30

    Contoh 5

    Tentukan turunan parsial kedua dari fungsi berikut

    f(x, y) = x3 + x2y3 2y2.

  • Aswad2016

    31

    E.o.E.5

  • Latihan

    Aswad2016

    32

  • Aswad2016

    33

  • Aswad2016

    34

  • Selesai

    Aswad2016

    35